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STATISTICAL ANALYSIS IN DETECTION OF DEVIATION OCCURRENCE IN
THE DISTRIBUTION OF FIRST SIGNIFICANT DIGIT OF STATE PUBLIC
SPENDING IN RELATION TO THE STANDARD DISTRIBUTION DEFINED IN
NEWCOMB-BENFORD'S LAW
José Isidio de Freitas Costa (Tribunal de Contas do Estado de Pernambuco, Pernambuco,
Brasil) -jisidio@tce.pe.gov.br
Silvana Karina de Melo Travassos (Centro de Ensino Superior e
Desenvolvimento/FACISA, Paraíba, Brasil ) -silvanakmt@yahoo.com.br
Tiago de Moura Soeiro (Universidade Federal de Pernambuco, Pernambuco, Brasil) -
tiago-soeiro@hotmail.com
Josenildo dos Santos (Universidade Federal de Pernambuco, Pernambuco, Brasil) -
jsnipcontabeis@yahoo.com.br
In this paper, the investigated question is structured as follows: Are there significant
deviations in the distribution of the first digit of State expenditure in relation to the
behavior predicted by Newcomb-Benford's Law? This question elucidates an application
of statistical data analysis for the accounting audit which uses an interdisciplinary
approach to assess 109,888 endeavors notes issued by 20 Management Units (UGs) in two
northeastern states, with 10 UGs in each state. The objective of the research is to detect the
approach of statistical analysis in the occurrence of significant deviations in the
distribution of the first digit of State expenditure in relation to the standard distribution
defined in the Newcomb-Benford Law (NB-Law). One accounting model based on
hypothesis tests, Z-test, Chi-square, and Relative Discrepancy and Semi-Absolute
Deviation was applied to the analysis of data, assessing the conformity between the
observed and expected distribution in the NB-Law. As a result of the research, it was
found the occurrence of excess in digit 7 and scarcity in digits 8 and 9 for the UGs. Such
behavior denotes a tendency to escape bidding processes. It was concluded that NB-Law is
a valid methodology to aid the audit public.
Keywords: Statistical Analysis Tests, Public Expenditure, First Digit, Newcomb-Benford
Law.
CONTABILOMETRIA NA DETECÇÃO DE OCORRÊNCIA EM DESVIOS
SIGNIFICATIVOS NA DISTRIBUIÇÃO DO PRIMEIRO DÍGITO DOS GASTOS
PÚBLICOS ESTADUAIS EM RELAÇÃO À DISTRIBUIÇÃO-PADRÃO
DEFINIDA NA LEI DE NEWCOMB-BENFORD
Neste artigo, a questão investigada estrutura-se da seguinte forma: Existem desvios
significativos na distribuição do primeiro dígito dos gastos públicos estaduais em relação
ao comportamento previsto pela Lei de Newcomb-Benford? Tal questão elucida uma
aplicação da contabilometria na análise de dados para a auditoria contábil a qual se utiliza
de uma metodologia interdisciplinar para avaliar 109.888 notas de empenhos emitidas por
20 Unidades Gestoras (UGs) de dois estados do nordeste, sendo 10 UGs de cada estado. O
objetivo da pesquisa consiste em detectar no enfoque da contabilometria a ocorrência de
desvios significativos na distribuição do primeiro dígito dos gastos públicos estaduais em
relação à distribuição-padrão definida na Lei de Newcomb-Benford (NB-Lei). Foi aplicado
à análise dos dados um modelo contabilométrico fundamentado em testes de hipóteses, Z-
teste, Quiquadrado, Discrepância Relativa e Semi-Desvio Absoluto, avaliando-se a
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conformidade entre a distribuição observada e a prevista na NB-Lei. Como resultado da
pesquisa, constatou-se excesso de ocorrência no dígito 7 e escassez no 8 e 9 para as UGs.
Tal comportamento denota uma tendência de fuga aos processos licitatórios. Conclui-se
que a NB-Lei é uma metodologia válida para o auxílio a auditoria pública.
Palavras-chave: Testes Contabilométricos, Despesas Públicas, Primeiro Dígito, Lei de
Newcomb-Benford.
1 INTRODUÇÃO
As ciênciasmatemáticase estatísticasse fizeram presenteshá muito tempo no
cotidiano das sociedades, ainda que muitos não percebam suas aplicações diretas. Elas são
de fundamental importância para o modo de vida empregado nesta era de avanços
tecnológicos, compondo nossos computadores, celulares, dispositivos de inteligência
artificial, atletas de alta performance, decisões empresariais dentre outros.
Deste modo, as aplicações dos métodos quantitativos fazem parte do dia-a-dia sem
mesmo serem percebidas. No presente trabalho foi dado enfoque na aplicação dos métodos
quantitativos às ciências sociais, em especial às ciências contábeis, aqui entendidas como
contabilometria, visando demonstrar a importância deste ramo de pesquisa na
contabilidade e no cotidiano dos profissionais de auditoria e usuários da informação
contábil.
A questão investigada no presente artigo estrutura-se da seguinte forma: Existem
desvios significativos na distribuição do primeiro dígito dos gastos públicos estaduais em
relação ao comportamento previsto pela Lei de Newcomb-Benford?
O objetivo da pesquisa consiste em detectar no enfoque da contabilometria a
ocorrência de desvios significativos na distribuição do primeiro dígito dos gastos públicos
estaduais em relação à distribuição-padrão definida na Lei de Newcomb-Benford.
Delimita-se a pesquisa em dois estados do nordeste brasileiro e também nos
empenhos de 10 Unidades Gestoras (UGs) de cada estado. Restringiu-se o acesso aos
dados nos portais oficiais de cada estado. Foi adotado como critério de escolha para os
testes utilizados no estudo, a acessibilidade na revisão de literatura, relacionada a aplicação
da Lei de Newcomb-Benford (NB-Lei) na auditoria. Para alcançar o objetivo desta
pesquisa foi necessário realizar uma revisão de literatura em produções científicas
nacionais e internacionais relacionadas com o assunto, sendo realizada a posteriori uma
análise qualitativa dos trabalhos, possibilitando a esquematização lógica dos assuntos
correlatos para o entendimento desta obra.
Esse estudo tem forte influência do estudo de Costa, Santos e Travassos (2012) por
ser o primeiro estudo a utilizar a NB-Lei como base de uma metodologia interdisciplinar
de análise aplicada aos gastos públicos dos Estados brasileiros, bem como pela introdução
no Brasil da aplicação da NB-Lei para o segundo dígito. Justifica-se esse estudo pela
continuidade das discussões acerca dos testes contabilométricos aplicados aos gastos
públicos, viabilizando informações de apoio ao auditor na decisão de escolha do teste e
amostra a ser auditada.
O artigo é constituído de cinco seções, tendo por início esta introdução. A próxima
seção apresenta um breve histórico da contabilometria, enquanto que a terceira seção
discorre sobre o proceder metodológico utilizado nesta pesquisa. A quarta seção apresenta
os resultados da análise dos dados, sendo a quinta seção dedicada às considerações finais
deste trabalho.
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2 BREVE HISTÓRICO DA CONTABILOMETRIA
A origem dos métodos quantitativos é bastante remota, há indícios de censos feitos
em 3000 a.C. na Babilônia, China e Egito (Memória, 2004:11). Já no quarto livro do
Velho Testamento (Números) faz referência a uma instrução dada a Moisés, para que
fizesse um levantamento dos homens de Israel que estivessem aptos para guerrear. (Caneca
&Vasconcellos, 2007: 3). Em outras palavras, no passado já se tinha a ideia de realização
de censos com finalidades diversas, dentre elas a militar, taxação de impostos, etc.
Mais a frente na linha do tempo, na Inglaterra do século XVII, surgiu os primeiros
aritméticos políticos, como John Graunt e William Petty, que se preocuparam em estudar
os números dos fenômenos sociais e políticos, visando encontrar leis quantitativas que os
explicassem, consistindo de estudos incessantes de análises de nascimentos e mortes,
realizadas através de tábuas de mortalidade, o que deu origem as tábuas de mortalidade
utilizada pelas companhias de seguros e estatísticas. (Caneca & Vasconcellos, 2007: 3), ou
seja, a escola dos aritméticos políticos é considerada em virtude disto como o berço da
demografia, ressaltando o uso da estatística como um meio indutivo de investigação
(Memória, 2004: 12).
Outra área de investigação importante é a teoria das probabilidades. De acordo com
Memória (2004) alguns autores sustentam que o cálculo de probabilidades teve a sua
origem na Itália, com especial referência para Luca Pacioli (1445-1517), Girolamo
Cardano (1501-1576), Nicolo Fontana Tartaglia (1500-1557) e Galileu Galilei (1564-
1642).
A Estatística, apesar de ser uma ciência relativamente recente na área da pesquisa,
remonta à antiguidade, onde operações de contagem populacional já eram utilizadas para
obtenção de informações sobre os habitantes, riquezas e poderio militar dos povos. Após a
Idade Média,os governantes na Europa Ocidental preocuparam-se com a difusão de
doenças endêmicas, visto que poderiam devastar populações e, consequentemente, afetar o
poderio militar e político de uma nação. Em razão disto foi vista uma maior preocupação
com a obtenção e armazenamento de informações sobre batizados, casamentos e funerais.
Entre os Séculos XVI e XVIII,as nações, com aspirações mercantilistas,
começaram a buscar o poder econômico como forma de poder político. Os governantes,
por sua vez, viram a necessidade de coletar informações estatísticas referentes a variáveis
econômicas tais como: comércio exterior, produção de bens e de alimentos (Escola
Nacional de Ciências Estatísticas [ENCE], 2012).
A Estatística é uma coleção de métodos para planejar experimentos, obter dados e
organizá-los, resumi-los, analisá-los, interpretá-los e deles extrair conclusões. Em outras
palavras,o que modernamente se conhece como Ciências Estatísticas,ou simplesmente
Estatística,é um conjunto de técnicas e métodos de pesquisa que entre outros tópicos
envolve o planejamento do experimento a ser realizados, a coleta qualificada dos dados, a
inferência, o processamento, a análise e a disseminação das informações (ENCE, 2012).
2.1 Contabilometria
Os métodos quantitativos passaram a ser utilizados também dentro do processo
decisório das ciências sociais aplicadas, como na Administração, Contabilidade e
Economia, para auxiliar os gestores no desempenho de suas tarefas de um modo mais
seguro e racional, visto o mercado instável e incerto configurado nas competições diárias
promovidas pelo sistema capitalista.
Devido a isto surgiu aaplicação dos métodos quantitativos, incluindo a estatística,
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nas Ciências Econômicas e nas Ciências Contábeis, sendo conhecida como Econometria e
Contabilometria. Esta última será estudada melhor mais a frente, por ser mais recente e
estar em constante debate acadêmico sobre sua inclusão nas grades curriculares das
graduações em Ciências Contábeis e sobre suas metodologias de ensino. Para Guimarães e
Chaves Neto (2002), o emprego de métodos científicos, especialmente os quantitativos não
é uma prática muito difundida no Brasil. Para Beuren (2003), a abordagem quantitativa, no
tratamento de problemas de pesquisa em Contabilidade no Brasil é relativamente recente e
que nos Estados Unidos, observam-se vários periódicos de Contabilidade com artigos
publicados que usam estatísticas.
A interdisciplinaridade é observada pelos diversos autores, entretanto, faltava na
Contabilidade, uma disciplina que congregasse esses estudos e que deveria ser largamente
divulgada no meio contábil (Silva, Chacon, & Santos, 2005:3) Para isso surgiu afigura da
Contabilometria. Buscando entender a Contabilometria pelos seus radicais temos: ‘metria’,
relativo a medição de algo e ‘contábil’, referente à Contabilidade,que é uma ciência que
tem como objeto de estudo o patrimônio da entidade. Sendo assim, a Contabilometria une a
Contabilidade e os métodos quantitativos. Para tanto, Iudícibus (1998: 313) afirma que
“um dos desenvolvimentos mais acentuados na gestão moderna das empresas consiste no
emprego cada vez mais crescente da matemática e estatística”.
Vale ressaltar que esta área da contabilidade auxiliará na criação de cenários
contábeis que poderão nortear o gestor a tomar decisões fundamentadas na utilização de
informações mais precisas e confiáveis, trazendo,com isso,uma melhoria no processo
decisório. Contudo, Iudícibus (1982) ressalta que não basta apenas aplicar métodos
quantitativos para resolver um problema econômico que pode ser solucionado por um
matemático ou estatístico, mas extrair toda a inferência e avaliar o grau de aplicabilidade
do modelo para previsões, tarefa esta que somente um economista pode fazer, pois ele
dispõe de todo o conhecimento de economia necessário para isto. Embasado nisto, a
Contabilometria, não seria a simples aplicação dos métodos quantitativos nos problemas
contábeis, embora a Matemática e a Estatística sejam instrumentos da Contabilometria.
As propriedades da Contabilometria são os pilares de sustentação da disseminação
do seu uso entre as empresa, vindo a contribuir com uma tomada de decisão de forma
objetiva com menor risco. Deste modo de acordo com Matsumoto, Pereira e Nascimento
(2006)as propriedades são:
Relevância: Tomando-se por base a relação de custo-benefício, avalia-se a
importância da informação para o processo decisório;
Simplicidade: A necessidade da compreensão do modelo é fundamental para uma
boa inferência no processo decisório;
Capacidade explicativa: Capacidade de explicar o maior número possível de dados
contábeis possíveis, disponíveis e relevantes;
Capacidade preditiva: Capacidade de prever ou estimar, de alguma forma,
acontecimentos futuros;
Plausibilidade teórica: Comprovação teórica em partes ou total.
2.1.1 Instrumentos Matemáticos
Dentro do processo de tomadas de decisão existem as diversas escolhas ou opções
que podem ser avaliadas pelos gestores e administradores. Para que este processo resulte
em bons frutos, deve-se ter uma informação útil e tempestiva.
Tem-se noção de que muitas decisões empresariais são baseadas, no mínimo em
parte, em dados contábeis. Deste modo a ciência contábil é considerada como a ciência
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responsável por todo o processo de mensuração, registro e comunicação dos fatos que
envolvem a atividade empresarial (Carvalho &Nakagawa, 2004). Beuren (2000) afirma
que a contabilidade juntamente com a utilização de instrumentos matemáticos, propícia
benefícios relevantes relacionados a evidenciação das informações aos gestores, a fim de
capacitá-los a alcançar os objetivos da organização com o uso eficiente de seus recursos.
Para Figueiredo e Moura (2001:53): “A expressão modelos quantitativos é utilizada nas
ciências gerenciais e descreve técnicas estatísticas e matemáticas que são usadas para a
solução de problemas,existindo numerosas ferramentas disponíveis sobre este assunto”.
No contexto do mundo dos negócios, que está cada vez mais competitivo e
complexo, faz-se necessário que muitas das decisões corriqueiras das entidades envolvam
múltiplos objetivos. Por exemplo:o caso de uma companhia que deseja, além da
maximização do lucro, manter inalterado o ecossistema em que se situa, maximizar o nível
de satisfação de seus funcionários, prover sua comunidade com projetos sociais, ou ainda
elevar a qualidade de seus produtos (Corrar &Theófilo, 2004).
2.1.1.1 Auditoria na Gestão Pública e a Auditoria para Detecção de Fraudes
Siqueira (2007) afirma que a literatura especializada classifica a auditoria pública
em auditoria operacional, auditoria de programas, auditoria de desempenho, auditoria de
sistemas, auditoria de gestão, auditoria contábil e auditorias especiais. Deste modo,quando
comparadas com a auditoria para detecção de fraudes e erros, a auditoria deve ser mais
direcionado indo além do proposto pelas auditorias públicas. Partindo desta concepção, os
órgãos de auditoria deveriam atuar no “ciclo de vida defraude e projeto de busca e
garimpagem de fraudes” em três macromomentos definidos por Gil (1999), são eles:
Prever a existência de fraudes enquanto da ocorrência das atividades normais da
organização;
Buscar evidências de indícios e provas relativas a fraudes;e
Adotar medidas corretivas quanto à punibilidade dos responsáveis e coniventes de
fraudes comprovadas.
Sendo assim,para Siqueira (2007) a prevenção e detecção de fraudes na auditoria
busca analisar os controles internos adotados, incluindo os sistemas informatizados,
identificação dos stakeholders e avaliação de fatores externos que podem representar
indícios de irregularidades. Assim fica evidente que a auditoria deve buscar minimizar a
ocorrência de irregularidades, buscando identificá-las antecipadamente, atuando na
detecção de fraudes e identificação de erros.
2.1.1.2 Teoria das probabilidades na auditoria Lei de Newcomb-Benford
A NB-Lei afirma que aocorrência dos dígitos na natureza não possuia mesma
probabilidade. Deste modo,os dígitos menores têm uma maior probabilidade de ocorrência
do que os maiores, assim temos que os números 1, 2 e 3; são mais frequentes do que 4, 5, 6
... 9.
Este fenômeno foi descoberto inicialmente por Simon Newcomb (1881) quando
observou que as tábuas de logaritmos estavam mais desgastadas nas primeiras páginas,
mostrando que as pessoas procuravam mais pelo digito 1 do que o 9. O fenômeno foi
redescoberto em pesquisas por Frank Benford (1938), o qual se valeu de uma análise mais
aprofundada com 20.229 dados de diversas fontes: áreas de rios, números de casas de uma
rua, etc.
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Em busca de determinar a expressão matemática que define o Primeiro Dígito
Significativo (PDS), Hill (1996) definiu a seguinte fórmula:
Baseado nesta fórmula é possível calcular as seguintes probabilidades para primeiro
dígito significativo.
Tabela 1
Probabilidade esperada para o primeiro dígito NB-Lei
Dígito 123456789
P(d) 0,301 0,176 0,125 0,097 0,079 0,067 0,058 0,051 0,046
Nota. Fonte: Costa, J. I. F., Santos, J., & Travassos, S. K. M. (2012, setembro/outubro/novembro/dezembro).
Análise de conformidade nos gastos públicos dos entes federativos: estudo de caso de uma aplicação da Lei
de Newcomb-Benford para o primeiro e segundo dígito em dois estados brasileiros. Revista de Contabilidade
&. Finanças –USP, São Paulo, 23 (60) 187-198
A NB-Lei determina a proporção esperada para a distribuição dos dados,
observando-se a ocorrência para cada dígito e posição. Diante disto a comparação entre a
probabilidade observada com a esperada (conformidade de po com pe) pode indicar a
ocorrência de fraudes e erros quando forem detectadas distorções significativas.
Vale ressaltar que a NB-Lei não diz se de fato existe uma fraude ou não, ela aponta
para dados que não estão conforme o comportamento esperado, apontando para o auditor
indícios para que devaser feita uma investigação naqueles pontos. Outrossim, convém
ressaltar que não está extinta a possibilidade de ocorrência de fraudes e erros onde não foi
detectado desvios de conformidade na ocorrência dos dígitos à luz da NB-Lei.
3PROCEDER METODOLÓGICO
No que concerne à abordagem científica, este trabalho é fruto de uma pesquisa
interdisciplinar estrategicamente fundamentada na análise qualitativa e quantitativa que
tem como pilares as Ciências Contábeis e as Ciências Matemáticas (teoria da
probabilidade, estatística e informática) aplicadas à auditoria das contas públicas. Raupp e
Beuren (2008) explicam que a pesquisa quantitativa utiliza-se de instrumentos estatísticos
para analisar os dados. A análise qualitativa, de acordo com Denzim e Lincoln (1994),
corresponde a um conjunto de operações necessárias para a sistematização e para a
formação coerente de um processo de coleta, armazenagem e recuperação de dados.
Martins e Theóphilo (2009) completam dizendo que é descabido o entendimento de que
possa haver pesquisa exclusivamente qualitativa ou quantitativa.
Quanto à técnica de trabalho,classifica-se esta pesquisa como empírico-analítica. O
estudo exploratório pode ser definido como sendo uma das principais formas de construção
do conhecimento que incorpora características inéditas, permitindo ao investigador
aumentar sua experiência em torno de um determinado problema (Raupp &Beuren, 2008;
Triviños, 1987).
Os dados utilizados neste estudo foram obtidos junto aos respectivos portais oficiais
dos estados analisados disponibilizados na Internet. Foi selecionada uma amostra
determinística composta por 20 Unidades Gestoras (UGs), 10 para cada Estado,dentre as
que possuíam o maior volume de gasto e um quantitativo mínimo de 800 empenhos não
nulos emitidos. A partir da escolha da amostra das UGs foram obtidos todos os empenhos
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por ela emitidos durante o exercício de 2010, sendo descartados apenas aqueles com saldos
nulos, onde valor do empenho + valor do reforço do empenho –valor das anulações do
empenho foi igual a zero. Foi assegurado desta forma que todas as observações, 109.888
ao todo, tivessem um primeiro dígito significativo, ou seja, não nulo.
Os testes foram aplicados considerando os valores dos dígitos extraídos da primeira
posição de cada empenho, agrupando-os, separadamente, a um mesmo nível de
observações usando o software Microsoft Excel versão 2007.
Visando ao atendimento da problemática proposta e à consecução do objetivo geral
desta pesquisa foi utilizado por referência o modelo contabilométrico introduzido por
Carslaw (1988), o qual se utiliza de testes de hipóteses (Z-teste e χ2-teste) para avaliar a
conformidade observada na distribuição de um conjunto de dados (po) em relação aos
percentuais previstos pela NB-Lei (pe). Adicionalmente, foram aplicados de forma local, a
cada dígito de 1 a 9, o teste da discrepância relativa (DR) e de forma global, para o
conjunto dos desvios observados nos dígitos 1 a 9 da primeira posição, o teste do semi-
desvio absoluto (DA/2).
Para Ribeiro, Montenegro, Santos e Galvão (2005) os desvios dos padrões
identificados neste modelo de análise podem ter origem em fraudes, erros contábeis ou de
digitação, sendo a sua detecção uma respectiva contribuição no campo da Auditoria
Contábil.
O Z-teste foi utilizado como medida de significância estatística na determinação
das diferenças entre as distribuições de probabilidades observadas (po) e esperadas (pe),
aplicadas separadamente para cada dígito, mediante a utilização da seguinte fórmula:
Onde né o número de observações; 1/2n é o termo de correção de continuidade e
que só é usado quando ele for menor que |po - pe|. Foi adotado um nível de significância de
α = 0,05 com um Zcrítico igual a 1,96.
Também foi utilizadana análise local dos dígitos a discrepância relativa que é a
diferença entre dois valores medidos de uma grandeza. Silva (2009) diz que “discrepâncias
relativas (DR) de probabilidade são definidas como diferenças entre probabilidades exatas
(calculadas numericamente) e as respectivas probabilidades assintóticas divididas pelas
probabilidades assintóticas.” Em outras palavras, a DR é uma relação percentual entre duas
medidas, observadas e/ou esperadas. Adaptado para o contexto contabilométrico, a DR
seria definida como a diferença entre as probabilidades observada (po) e a probabilidade
esperada (pe) divididas pela probabilidade esperada. Segundo a fórmula:
Onde po e pe representam a frequência relativa observada para o dígito e o
percentual previsto pela NB-Lei para a posição e dígito analisado, tal como utilizado no Z-
teste.
Em razão da problemática proposta à análise local dos desvios em cada dígito,
foram estabelecidas as seguintes hipóteses:
H0A: po=pe -Não existe diferença estatisticamente significativa para o primeiro
dígito considerando o z-teste;
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H1A: po≠pe -Existe diferença estatisticamente significativa para o primeiro dígito
considerando o z-teste;
H0B: po=pe -Não existe diferença significativa para o primeiro dígito considerando
o DR;
H1B: po≠pe -Existe diferença significativa para o primeiro dígito considerando o
DR.
O χ2-teste foi utilizado para determinar se as duas distribuições de probabilidade na
sua totalidade estão em conformidade uma com a outra. Verifica-se neste teste se as
frequências observadas dos dígitos como um todo seguem a distribuição prevista na NB-
Lei, mediante a aplicação das seguintes fórmulas para o primeiro e segundo dígito:
Onde PO e PE são as proporções observadas e esperadas definidas por: PO = (po) x
(nº da população) e PE = (pe) x (nº da população). Foi adotado um nível de significância α
= 0,05, para um grau de liberdade 8 (primeiro dígito) obtendo-se valor crítico para o χ2
iguala 15,507.
Para a análise global dos dígitos foi utilizado ainda o teste do semi-desvio absoluto
(DA/2), proposto por Costa (2012), mediante a utilização da seguinte fórmula:
Onde po e pe representam a frequência relativa observada para o dígito e o
percentual previsto pela NB-Lei para a posição e dígito analisado, tal como utilizado no Z-
teste.
Em razão da problemática proposta à análise global do desvio da sequência de
todos os dígitos, foram estabelecidas as seguintes hipóteses:
H0C: PO=PE -Não existe diferença estatisticamente significativa para os dígitos da
primeira posição considerado o χ2-teste;
H1C: PO≠PE -Existe diferença estatisticamente significativa para os dígitos da
primeira posição considerado o χ2-teste;
H0D: po=pe - Não existe diferença estatisticamente significativa para os dígitos da
primeira posição considerado o semi-desvio absoluto (DA/2);
H1D: po≠pe - Existe diferença estatisticamente significativa para os dígitos da
primeira posição considerado o semi-desvio absoluto (DA/2).
O DA de um elemento foi considerado como o valor absoluto entre este elemento e
um dado ponto. Na literatura este teste foi um dos primeiros a serem utilizadosna
determinação da conformidade com a NB-Lei, mediante a aplicação respectiva das
seguintes fórmulas para a primeira e demais posições:
Onde (po) é a proporção observada para o dígito, obtida pela divisão entre a
frequência observada para o dígito (PO) pelo tamanho da amostra (n), ou seja, po = PO/n,
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e (pe) é a probabilidade de ocorrência prevista pela NB-Lei para a posição e dígito
analisado.
Ressalte-se que este teste possui um grau de liberdade a mais que a distribuição,
fazendo com que todo desvio positivo gerado em um dígito provoque um desvio negativo
na mesma ordem para outro dígito. Desta forma, não fossem os desvios tomados em sua
forma absoluta, seu somatório seria nulo para qualquer situação analisada.
Nigrini e Mittermaier (1997) utilizaram o desvio absoluto médiono inglês Mean
Absolute Deviation (MAD), obtendo-o pela divisão do somatório dos desvios absolutos
pela quantidade de dígitos significativos 9 para a primeira posição e 10 para as demais,
mediante o seguinte cálculo:
Krakar e Zgela (2009) ressaltam que o MAD não possui limites ou intervalos sobre
os quais se possam afirmar que o desvio é significativo ou não, tal como ocorre com o Z-
teste e o χ²-teste, ficando esta interpretação a cargo do analista.
Por outro lado, Costa (2012) aponta que o MAD, diferentemente dos dois testes
anteriores,não é afetado pelo tamanho do conjunto dos dados, o mesmo ocorrendo com o
teste do DA e da DR. Ainda em relação aos testes DA e MAD, vê-se a possibilidade de sua
aplicação tanto na forma local, para um único dígito ou sequência de dígitos, como na
forma global pela soma dos desvios observados em uma ou mais posições.
Visto que o pressuposto para a aplicação da análise consiste na detecção dos fatores
humanos que explicam a ocorrência dos desvios, ou seja, a inclusão de dados não
conformes ao conjunto, vê-se que os desvios nos dígitos indicativos de excessos, onde po
> pe, assumem um papel de maior importância em relação aos desviospor falta, onde po
< pe. Isto ocorre porque a seleção dos elementos com desvios positivos conterão,
necessariamente, uma maior proporção dos elementos desconformes introduzidos,
enquanto que nos elementos com desvios negativos ela será inferior, podendo até mesmo
ser nula (Costa, 2012).
Isto posto, vê-se que a utilização do semi-desvio absoluto (DA/2) como medida de
conformidade padrão a ser adotada, além de possuir as vantagens das suas outras variantes
(DA e MAD), identifica pelo seu resultado diretamente a proporção das ocorrências com
desvios positivos no total da amostra analisada.
4ANÁLISE DOS RESULTADOS
Valendo-se da metodologia anteriormente apresentada, a Tabela 2demonstra os
resultados dos testes locais (Z-teste e Discrepância Relativa) aplicados aos dígitos da
primeira posição (1 a 9) das 10 (dez)UGs que compõem a amostra do Estado1. Analisando
os resultados do Z-teste, aplicado individualmente para cada dígito, vê-se que 24 testes
apresentaram desvios não significativos para o nível de confiança estabelecido, valendo
aceitar a hipótese nula H0a, os demais 66 apresentaram desvios significativos e deve-se
rejeitar H0ae aceitar a hipótese alternativa H1a. Embasado no Z-teste a UG6 foi a que
menos apresentou desvios, tendo somente um teste rejeitado; e a UG1, UG4, UG9 foram as
piores com todos os testes apontando desvios significativos. Deste modo constata-se que
todas as UGs tiveram ao menos um desvio significativo.
Tabela 2
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Teste local para a primeira posição do Estado1: Z-teste e Discrepância Relativa
E1 UG1 UG2 UG3 UG4 UG5
Dígito Z-teste Δ Z-teste Δ Z-teste Δ Z-teste Δ Z-teste Δ
1 -8,25* -7,67* -2,92* -4,12 5,737* 14,12* -11,2* -33,8* -5,8* -33,8*
2 -7,17* -9,42* 1,37 2,714 4,938* 17,45* -6,33* -25,9* -1,88 -13,7*
311,51* 18,11* -2,12* -5,15* -7,8* -35,2* -4,01* -19,9* -2,03* -18*
419,09* 34,39* 3,804* 10,64* -11* -57,4* 25,56* 133,3* -4,06* -42*
5 -16,7* -34,8* 0,749 2,323 21,2* 114,2* 28,69* 167* -2,42* -27,7*
6 -17,6* -40* -3,1* -10,6* -9,43* -59,8* -7,79* -54,7* -2,73* -34,2*
76,852* 16,5* 4,916* 18,12* 2,854* 19,02* -2,3* -17,2* 35,92* 414,6*
811,26* 28,79* -4,12* -16,5* -1,09 -7,95* -7,2* -58,1* -0,97* -14*
911,06* 30,02* 3,653* 15,19* -8,79* -67,9* -3,28* -27,9* -1,04 -15,8*
E1 UG6 UG7 UG8 UG9 UG10
Dígito Z-teste Δ Z-teste Δ Z-teste Δ Z-teste Δ Z-teste Δ
1 -0,45 -31,2* -1,6 -1,72 2,248* -8,926* 8,244* 9,572* -8,85* 20,76*
20,613 3,347 -0,08* -0,61 -7,46* -48,34* 5,976* 21,84* -2,17* -12,5*
3 -0,48 -3,2 2,981* 27,77* -3,29* -25,2* 3,071* 13,97* -3,42* -24,2*
4 -0,15 -1,12 3,807 40,79* -2,13* -18,68* -9,81* -53,3* 0,514 4,126*
5 -0,67 -5,81* -1,39 -17,1* -0,68 -6,662* -3,57* -21,3* -1,6 -14,5*
60,396 3,817 -1,85 -25* -3,87* -41,72* -6,44* -42,2* 15,45* 143,8*
71,726 17,53* -1,38 -20,1* 27,2* 283,8* -3,06* -21,5* 21,48* 212,2*
8 -2,24* -24,6* 0,531 8,088* -1,28 -15,91* -9,69* -73,7* -4,01* -46*
91,688 19,35* -1,12 -18,5* -2,88* -37,92* 8,017* 62,27* -3,76* -45,7*
Nota. O símbolo de (*) indica que o Z-teste: Desvio significativo para um α = 0,05, com um Z crítico <=
1,96 e um Δ critico = 0,050=5%
Ainda na Tabela 2, no que concerne a análise individual pela DR, constata-se que
apenas 9(nove) testes mostraram-se conforme o padrão esperado para o valor crítico
aplicado, deste modo sendo aceita a hipótese nula H0b, os demais 81 testes apresentaram
desvios significativos o que aponta para a rejeição da hipótese nula H0b e a aceitação da
hipótese alternativa H1b. Assim como o Z-teste, a DR também constatou que a UG6
apresentou os melhores resultados com 4 testes aceitos. A UG2 e UG7 apresentaram
resultados intermediários, com 2 testes aceitos cada uma. As demais UGs apresentaram
desvios em todos os dígitos, mostrando que o teste da discrepância relativa foimais
rigoroso que o Z-teste para o nível de 5%, uma vez que constatou desvios significativos
H1b em 15 testes com desvios não significativos H0a.
Tabela 3
Teste local para a primeira posição do Estado2: Z-teste e Discrepância Relativa
E2 UG1 UG2 UG3 UG4 UG5
Dígito Z-teste Δ Z-teste Δ Z-teste Δ Z-teste Δ Z-teste Δ
10,883 -38,2* -11* 3,063 -22,3* -18,8* -0,23 -24,2* -12,5* -0,79
2 -2,99* -15* 31,02* 67,12* 17,32* 24,69* -2,57* -13* -4,25* 83,08*
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3 -2,71* -16,5* -8,61* -25* -8,85* -16* -1 -6,06* 4,894* 21,52*
4 -6,03* -43* 20,93* 66,57* 3,396* 7,006* 8,393*57,09* 9,371* 46,97*
53,173* 24,42* -3,76* -14* 11,88* 27,1* 3,288* 25,46* 2,062* 11,76*
62,541* 21,58* -17* -70,5* -2,95* -7,42* -1,62 -13,9* 20,39* 122,6*
70,173 1,579 -0,29 -1,26 43,56* 114,6* -0,76 -7,05* -8,66* -59,9*
83,969* 38,49* -1,36 -6,41* -13,8* -40,9* -3,29* -32,9* -0,71 -5,25*
95,342* 54,82* -14,1* -70,9* -13,5* -42,3* -2,58* -27,3* 1,512 11,49*
E2 UG6 UG7 UG8 UG9 UG10
Dígito Z-teste Δ Z-teste Δ Z-teste Δ Z-teste Δ Z-teste Δ
18,513* -34,5* 1,64 16* 3,18* 4,078 -5,72* 9,237* 4,944* -27*
20,713 1,959 0,493 1,743 -0,13 -0,534 7,771* 46,72* 2,404* 9,029*
3 -2,77* -9,39* -3,39* -14,9* -2,44* -12,65* 3,473* 26,45* -4,14* -19,4*
40,162 0,641 2,395* 11,94* -0,77 -4,553 4,773* 41,73* 0,537 2,882
5 -8,36* -37* -2,45* -13,8* -0,77 -5,148* -1,11 -11,1* 2,923* 17,33*
614,64* 68,2* 6,392* 38,75* -1,88 -13,67* -2,44* -26,9* -0,11 -0,66
7 -8,55* -44,6* -4,18* -27,9* 0,948 7,393* -2,55* -30,4* -4,05* -28,9*
8 -8,34* -46,5* 0,629 4,349 4,049* 33,45* -1,01 -12,8* -4,13* -31,5*
9 -2,65* -15,6* -2,7* -20,5* -3,62* -32,41* -3,78* -51,3* -3,64* -29,5*
Nota. O símbolo de (*) indica que o Z-teste: Desvio significativo para um α = 0,05, com um Z crítico <=
1,96 e um Δ critico = 0,050=5%
Do mesmo modo que a Tabela 2, a Tabela 3apresenta os resultados dos testes
locais para o primeiro dígito, das 10 (dez)UGs que compõem a amostra do Estado2.
Analisando os resultados de modo individual para o Z-teste resta evidente que 22testes
apresentaram desvios não significativos para o nível de confiança estabelecido, valendo
aceitar a hipótese nula H0a, os demais 68apresentaram desvios significativos e deve-se
rejeitar H0ae aceitar a hipótese alternativa H1a. Embasado no Z-teste a UG8 foi a que
menos apresentou desvios, tendo quatro desvios significativos; enquanto a UG3 foi a que
apresentou o pior resultado tendo apresentado todos os testes com desvios significativos.
Constatando-se, desta maneira, que todas as UGs tiveram ao menos quatro desvios.
Na análise individual pela DR, 14testes estavam conforme o padrão esperado para
o valor crítico aplicado, deste modo sendo aceita a hipótese nula H0b, os demais 76testes
apresentaram-se com desvios significativos indicando para a rejeição da hipótese nula e a
aceitação da hipótese alternativa H1b. Assim como no resultado observado para o Z-teste,
a DR também constatou que a UG8 apresentou os melhores resultados com 3 testes aceitos;
enquanto que a UG3 e UG4 apresentaram os piores resultados com desvios significativos
em todos os dígitos. Mais uma vez os testes com a DR se demonstraram mais rigorosos
para o valor crítico de 5%, uma vez que constatou desvios significativos H1b em 8 testes
com desvios não significativos H0a.
Tabela 4
Testes Globais para os Estados 1 e 2: Quiquadrado e Semi-Desvio Absoluto
UG E1 E2
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χ2 -1ª P DA/2 - 1ª P χ2 -1ª P DA/2 - 1ª P
UG1 1362,66*9,41%*105,22*8,88%*
UG2 85,44*3,45% 1701,26*18,27%*
UG3 756,11*17,47%*2859,94*13,82%*
UG4 1430,03*26,14%*95,83*7,55%*
UG5 968,79*24,05%*671,13*16,90%*
UG6 11,50 2,75% 456,22*9,78%*
UG7 30,21*7,84%*84,22*5,50%*
UG8 667,48*19,34%*45,35*4,92%
UG9 384,11*14,69%*128,17*15,57%*
UG10 688,10*22,32%*89,23*7,11%*
Nota. O símbolo de (*) indica que o Χ²crítico <= 15,507 e DA/2 = 5%
A Tabela4apresenta os resultados obtidos com os testes Quiquadrado e o Semi-
Desvio Absoluto para a proporção do primeiro dígito nos dois estados.
Conforme resultados obtidos com o χ²-teste para o Estado1, a análise mostra que a
UG4 apresentou o maior desvio (1430,03) e que a UG6 (11,50) apresentou o menor desvio,
sendo a única a ter H0c aceita. Já para o Estado2 a UG3 apresentou o maior desvio
(2859,94) e a UG8 o menor desvio (45,35). Resta evidente dos resultados que em todos os
casos, exceto o da UG6 do Estado1, deve-se rejeitar a hipótese nula H0c e aceitar a H1c,
ou seja, o resultado indica que as distribuições dos valores das notas de empenho de quase
todas as UGs não estão compatíveis com a probabilidade esperada para o primeiro dígito
da NB-Lei.
No que tange ao Semi-Desvio Absoluto para o Estado1, a UG6 foi a que apresentou
o menor desvio (2,75%) e o maior desvio se visualiza na UG4 (26,14%). Enquanto no
Estado2, o maior desvio foi identificado na UG2 (18,27%) e a UG8 apresentou o menor
desvio (4,92%). Porém, o valor crítico adotado em 5% presume aceitar a hipótese nula H0d
para a UG2 e UG6 do Estado1 e apenas a UG8 do Estado2, e aceitar H1d para os demais
casos.
De modo a facilitar a visualização dos padrões dos desvios, o Gráfico1 apresenta a
proporção esperada pela NB-lei, contra a média ponderada da probabilidade observada nas
UGs de cada estado.
Segundo Krakar e Zgela (2009) deve-se dar uma atenção maior aos dígitos que se
apresentam em excesso, embasado na análise cuidadosa dos históricos de eventos e
possíveis causas de sua ocorrência. Os dígitos que se apresentam escassos, normalmente
são o reflexo dos excedentes dos outros dígitos, não merecendo assim tanta atenção.
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0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
PROPORÇÃO
Probabilidade Esperada (NB-Lei) 0,301 0,1761 0,1249 0,0969 0,0792 0,0669 0,058 0,0512 0,0458
Probabilidade Observada (E1) 0,2801 0,1655 0,1286 0,1145 0,0757 0,0463 0,0705 0,0507 0,0516
Probabilidade Observada (E2) 0,2520 0,2021 0,0989 0,1056 0,0787 0,0594 0,0754 0,0363 0,0270
123456789
Gráfico 1.Comparativo entre a pe da NB-Lei e po de E1 e E2
Deste modo, analisando o padrão das distorções verificadas para o primeiro dígito,
deduz-se uma possível influência da Lei Federal nº 8.666/93, que no seu escopo estabelece
limites de dispensa do processo licitatório, afetando assim no comportamento do gasto
público. Uma vez que o limite de dispensa para compras e serviços que não de engenharia
é de até R$ 8.000,00, os desvios sugerem que tal limite esteja deslocando os valores
iniciados em 6 e 9 para os dígitos 7 e 8 em valores iguais ou inferiores ao limite legal.
Desta forma, restou a evidência para as UG’s do Estado2 uma redução de
ocorrência para o dígito 9, sinalizando uma fuga das despesas acima do limite licitatório.
Por outro lado, a escassez de ocorrências verificada para o dígito 6, demonstrada para os
dois estados, seria o reflexo deste mesmo deslocamento, desta vez motivado por uma
maximização do benefício da dispensa, levando a um excesso de ocorrências no dígito 7.
Tabela 5
Evidenciação da variação entre po e pe.
Probabilidade esperada Probabilidade observada Variação (po-pe) Variação %
Probabilidade
Esperada (NB-Lei)
Probabilidade
Observada (E1)
Probabilidade
Observada (E2) E1 E2 E1 (%) E2 (%)
10,3010 0,2801 0,2520 -0,0209 -0,0490 -6,94% -16,28%
20,1761 0,1655 0,2021 -0,0106 0,0260 -6,02% 14,76%
30,1249 0,1286 0,0989 0,0037 -0,0260 2,96% -20,82%
40,0969 0,1145 0,1056 0,0176 0,0087 18,16% 8,98%
50,0792 0,0757 0,0787 -0,0035 -0,0005 -4,42% -0,63%
60,0669 0,0463 0,0594 -0,0206 -0,0075 -30,79% -11,21%
70,0580 0,0705 0,0754 0,0125 0,0174 21,55% 30,00%
80,0512 0,0507 0,0363 -0,0005 -0,0149 -0,98% -29,10%
90,0458 0,0516 0,0270 0,0058 -0,0188 12,66% -41,05%
Baseado na mesma metodologia adotada na abordagem gráfica, a Tabela 5mostra a
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variação entre a po e a pe mostrado lado a lado para os dois estados. Deste modo fica
evidente que o dígito 7 apresentou os maiores desvios positivos para as duas UGs (21,55%
e 30%) seguido do dígito 4 do Estado1 (18,66%) e do dígito 2 do Estado2 (14,76%). O
dígito 6 de Estado1 foi o que apresentou o maior desvio negativo, já os dígitos 1, 6, 8 e 9
de Estado2 apresentaram os maiores desvios negativos, corroborando a ideia da
necessidade de uma auditoria nos valores que apresentam os maiores desvios positivos,
uma vez que os escassos tendem a ser um reflexo dos excessos.
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS
O presente artigo avaliou a existência de desvios significativos na distribuição do
primeiro dígito para gastos públicos de dois estados do nordeste brasileiro em relação ao
comportamento esperado pela NB-Lei.
Foi constatado, na análise local das UGs e agrupadas por estado, a ocorrência de
desvios por excesso no dígito 7 e por escassez nos dígitos 6 e 8 dos dois estados e dígito 9
do Estado1 em relação ao previsto pela NB-Lei, o que sugere uma concentração dos
valores num patamar próximo e abaixo do limite licitatório, amparado pelo artifício legal
previsto na Lei nº 8.666/93 [vide Gráfico 1 e Tabela5].
Também foi observado, em relação às primeiras hipóteses levantadaspara este
artigo, que a hipótese nula H0a do Z-teste foi aceita em 24 testes de Estado1 e 22 testes de
Estado2enquanto a H0b do DR foi aceita em 9 e 14testes para o Estado1 e Estado2,
respectivamente, mostrando assim um certo rigor para o valor crítico de 5%. [vide Tabelas
2e 3].
As hipóteses seguintes que trata da análise global dos desvios aplicados ao primeiro
dígito, demonstram para o χ²-teste que H0c foi rejeitadaem todos os casos exceto para
UG6 do Estado1. No desvio absoluto, presumiu-se aceitar H0d para a UG2 e UG6 do
Estado1 e apenas a UG8 do Estado2, sendo as demais aceitas a hipótese alternativa. [vide
Tabela 4].
Sendo assim, a utilização da NB-Lei como metodologia aplicada à auditoria no
setor público tem se demonstrado eficaz, assim como no artigo base deste trabalho, quanto
à determinação de desvios no comportamento dos gastos, os quais, mediante análise
qualitativa do histórico dos eventos e das possíveis causas da ocorrência destes desvios,
podem auxiliar o auditor a detectar a existência de incongruências na utilização dos
recursos públicos.
Neste aspecto, ressalta-se a utilização desta metodologia como um subsídio às
equipes de auditoria, principalmente no que concerne ao planejamento da amostra a ser
auditada, o que possibilita uma melhora nos resultados obtidos.
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