Content uploaded by Tetiana Osipchuk
Author content
All content in this area was uploaded by Tetiana Osipchuk on Jun 16, 2015
Content may be subject to copyright.
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2010, том 7, N 2, 393–402
UDC 514.17+517.55
Т. М. Осiпчук, Ю.Б. Зелiнський,
М.В. Ткачук
(Iнститут математики НАН України, Київ)
Аналiтичнi умови локальної
узагальненої опуклостi в Cm
p,q
otm82@mail.ru
В термiнах невiд’ємностi та додатностi деяких спецiальних диференцi-
альних форм другого порядку знайдено вiдповiдно необхiднi та доста-
тнi умови локальної узагальненої опуклостi областей з гладкою межею
вm-вимiрному Клiффордовому просторi Cm
p,q (m≥2).
In terms of nonnegativity and positivity of some special quadratic di-
fferential forms we give, respectively, necessary and sufficient conditions
for locally generally convexity of domains with smooth boundary in m-
dimensional Clifford space Cm
p,q (m≥2).
Розглянемо n-вимiрний дiйсний ортогональний векторний простiр
(X, B), де X—n-вимiрний дiйсний векторний простiр, в якому задана
невироджена симетрична бiлiнiйна форма B(ν, µ). Елементи νiµцьо-
го простору називаються ортогональними, якщо B(ν, µ)=0. Будемо
казати, що простiр (X, B)є простором типу (p, q), де p+q=n, якщо
квадратична форма, породжена B, має такий канонiчний вигляд:
B(ν, ν) =
p
i=1
ν2
i−
p+q
i=p+1
ν2
i,
де νi(i= 1, . . . , n) — координати вектора νв канонiчному базисi.
Означення 1 (див. [1]).Нехай (X, B)— невироджений n-вимiрний
дiйсний ортогональний векторний простiр, A— дiйсна асоцiативна ал-
гебра з одиничним елементом 1 така, що:
c
Т. М. Осiпчук, Ю.Б. Зелiнський, М.В. Ткачук, 2010
394 Т.М. Осiпчук, Ю.Б. Зелiнський, М.В. Ткачук
1) Aмiстить пiдпростiр, iзоморфний простору X;
2) для всiх ν∈X,ν2=B(ν, ν) 1;
3) Aпороджена {1}та простором X.
Тодi Aназивається дiйсною алгеброю Клiффорда простору (X, B)i
позначається Cp,q.
Нехай {e1, . . . , en}— канонiчний базис простору (X, B). З пункту 2
означення 1 та з асоцiативностi алгебри випливає:
e2
i=1, i = 1,2, . . . , p,
−1, i =p+ 1, . . . , p +q,
eiej+ejei= 0, i =j.
Введемо наступнi позначення. Для кожної впорядкованої за зро-
станням пiдмножини A:= {α1, α2. . . , αk}множини N:= {1, . . . , n},
де 1≤α1< α2< . . . < αk≤n, позначимо eA:= eα1eα2. . . eαkта
e∅:= 1. Вiдомо [2], що r:= dim Cp,q = 2nабо r= 2n−1i елементи e∅,
eA,A⊂N, утворюють базис алгебри Клiффорда. Тодi кожен елемент
a∈Cp,q можна подати у виглядi:
a=
r−1
k=0
akek,
де ak∈Riek— елементи базису алгебри Клiффорда. Елемент a∈
∈Cp,q називається Клiффордовим числом.
Розглянемо m-вимiрний Клiффордовий простiр
Cm
p,q := Cp,q ×Cp,q ×. . . ×Cp,q
m
та елемент цього простору z:= (z1, z2, . . . , zm)∈Cm
p,q, де zj:=
:=
r−1
k=0
xj
kek∈Cp,q,j= 1, m. Кожну точку x= (x0, x1, . . . , xr−1)∈
∈Rrm, де xk={xj
k}m
j=1,k= 0, r −1, будемо ототожнювати з точкою
z∈Cm
p,q.
Нехай
∥z∥=|x|=
m
j=1
r−1
k=0 xj
k2
.
Аналiтичнi умови локальної узагальненої опуклостi в Cm
p,q... 395
Околом U(w)точки w= (w1, w2, . . . , wm)∈Cm
p,q є множина U(w) =
={z:∥z−w∥< ρ0}.
Означення 2. Область Ω⊂Cm
p,q називається локально узагальнено
опуклою злiва (справа), якщо в кожнiй точцi w= (w1, w2, . . . , wn)межi
∂Ωобластi Ωiснує гiперплощина
m
j=1
cj(zj−wj) = 0 m
j=1
(zj−wj)cj= 0,
cj∈Cp,q,z= (z1, z2, . . . , zn)∈Cm
p,q, яка проходить через точку w∈∂Ω
i не перетинає Ωв деякому околi цiєї точки.
Зауважимо, що розмiрнiсть гiперплощин не менша нiж r(m−1) за
рахунок iснування дiльникiв нуля в алгебрах Клiффорда.
Розглянемо такi матрицi розмiрностi 2k×2k,k= 1, n:
A11 =1 1
1−1, A22 =A1A1
A1−A1, . . . ,
Ann =An−1n−1An−1n−1
An−1n−1−An−1n−1=
1 1 . . 1 1
1−1. . 1−1
.
.
..
.
.....
.
..
.
.
1 1 . . (−1)n−1(−1)n−1
1−1. . (−1)n−1(−1)n
.
Для детермiнантiв dnматриць Ann виконуються спiввiдношення
dn= (−2)2n−1d2
n−1. Тому легко одержуємо рiвнiсть
dn= 2n2n−1.
Оскiльки dn= 0, то iснує матриця A−1
nn , обернена до матрицi Ann. Вона
визначається у такий спосiб:
A−1
n1=1
2n1
2n
1
2n−
1
2n, A−1
n2=A−1
n1A−1
n1
A−1
n1
−A−1
n1, . . . ,
A−1
nn =A−1
nn−1A−1
nn−1
A−1
nn−1
−A−1
nn−1=
1
2n
1
2n. . 1
2n
1
2n
1
2n−1
2n. . 1
2n−1
2n
.
.
..
.
.....
.
..
.
.
1
2n
1
2n. . (−1)n−11
2n(−1)n−11
2n
1
2n−1
2n. . (−1)n−11
2n(−1)n1
2n
.
396 Т.М. Осiпчук, Ю.Б. Зелiнський, М.В. Ткачук
Тепер з використанням матрицi Ann побудуємо такi Клiффордовi
числа (тут nвiдповiдає порядку степеня двiйки в розмiрностi rалгебри
Клiффорда Cp,q):
z0
j:= xj
0+xj
1e1+...+xj
r−2er−2+xj
r−1er−1,
z1
j:= xj
0−xj
1e1+...+xj
r−2er−2−xj
r−1er−1,
...................................................................
zr−2
j:= xj
0+xj
1e1−...+ (−1)n−1xj
r−2er−2+ (−1)n−1xj
r−1er−1,
zr−1
j:= xj
0−xj
1e1+...+ (−1)n−1xj
r−2er−2+ (−1)nxj
r−1er−1.
Тодi очевидно, що
xj
0:= 1
2nz0
j+z1
j+. . . +zr−2
j+zr−1
j,
xj
1:= 1
2ne−1
1z0
j−z1
j+. . . +zr−2
j−zr−1
j,
..................................................................
xj
r−2:= 1
2ne−1
r−2z0
j+z1
j−. . . + (−1)n−1zr−2
j+ (−1)n−1zr−1
j,
xj
r−1:= 1
2ne−1
r−1z0
j−z1
j+. . . + (−1)n−1zr−2
j+ (−1)nzr−1
j
(1)
або
xj
0:= 1
2nz0
j+z1
j+. . . +zr−2
j+zr−1
j,
xj
1:= 1
2nz0
j−z1
j+. . . +zr−2
j−zr−1
je−1
1,
..................................................................
xj
r−2:= 1
2nz0
j+z1
j−. . . + (−1)n−1zr−2
j+ (−1)n−1zr−1
je−1
r−2,
xj
r−1:= 1
2nz0
j−z1
j+. . . + (−1)n−1zr−2
j+ (−1)nzr−1
je−1
r−1.
(2)
Нехай Ω = {z:ρ(z)<0}— область в Cm
p,q з межею ∂Ω =
={z:ρ(z)=0}, де ρ(z) = ρ(z0, z1, . . . , z r−1) = ρ(x0, x1, . . . , xr−1) :
Cm
p,q →R— двiчi неперервно диференцiйовна функцiя в околi U(∂Ω),
zk= (zk
1, zk
2, . . . , zk
m)∈Cm
p,q,k= 0, r −1, i grad ρ= 0 скрiзь на ∂Ω. То-
дi повний диференцiал функцiї ρяк дiйсної функцiї вiд незалежних
змiнних {xj
l}m
j=1,l= 0, r −1, в точцi wобчислюється за формулою
dρ(w) =
m
j=1
r−1
l=0
∂ρ(w)
∂xj
l
dxj
l.(3)
Аналiтичнi умови локальної узагальненої опуклостi в Cm
p,q... 397
Замiнюючи змiннi xj
0, xj
1, . . . , xj
r−1iz0
j, z1
j, . . . , zr−1
jв (1) вiдповiдно на їх
диференцiали dxj
0, dxj
1, . . . , dxj
r−1idz0
j, dz1
j, . . . , dzr−1
jта пiдставляючи
в (3) отриманi вирази для dxj
l, одержуємо
dρ(w) =
m
j=1
r−1
l=0
∂ρ(w)
∂zl
j
dzl
j,(4)
де формальнi похiднi ∂ρ(w)
∂zl
j
обчислюються за формулами:
∂ρ(w)
∂z0
j
=1
2n∂ρ(w)
∂xj
0
+e1
e2
1
∂ρ(w)
∂xj
1
+. . . +er−2
e2
r−2
∂ρ(w)
∂xj
r−2
+er−1
e2
r−1
∂ρ(w)
∂xj
r−1,
∂ρ(w)
∂z1
j
=1
2n∂ρ(w)
∂xj
0
−e1
e2
1
∂ρ(w)
∂xj
1
+. . . +er−2
e2
r−2
∂ρ(w)
∂xj
r−2
−er−1
e2
r−1
∂ρ(w)
∂xj
r−1
er−1,
.........................................................................
∂ρ(w)
∂zr−2
j
=1
2n∂ρ(w)
∂xj
0
+e1
e2
1
∂ρ(w)
∂xj
1
−...
. . . + (−1)n−1er−2
e2
r−2
∂ρ(w)
∂xj
r−2
+ (−1)n−1er−1
e2
r−1
∂ρ(w)
∂xj
r−1,(5)
∂ρ(w)
∂zr−1
j
=1
2n∂ρ(w)
∂xj
0
−e1
e2
1
∂ρ(w)
∂xj
1
+...
. . . + (−1)n−1er−2
e2
r−2
∂ρ(w)
∂xj
r−2
+ (−1)ner−1
e2
r−1
∂ρ(w)
∂xj
r−1.
Зазначимо, що e2
k=±1.
Приймаючи до уваги вигляд формальних похiдних (5), визначимо
398 Т.М. Осiпчук, Ю.Б. Зелiнський, М.В. Ткачук
оператор ∂
∂zl
j
у наступний спосiб:
∂
∂zl
j
=1
2nγl0
∂
∂xj
0
+γl1
e1
e2
1
∂
∂xj
1
+. . .
. . . +γlr −2
er−2
e2
r−2
∂
∂xj
r−2
+γlr−1
er−1
e2
r−1
∂
∂xj
r−1, l = 0, r −1, j = 1, m, (6)
де γlk,l, k = 0, r −1, приймають значення вiдповiдних елементiв ма-
трицi Ann.
Нехай
∂M
i=1
fi(w)eidxi
∂xl
j
=
M
i=1
∂(fi(w)eidxi)
∂xl
j
=
M
i=1
∂fi(w)
∂xl
j
eidxi,(7)
де fi:Cm
p,q →R,dxi— рiзнi диференцiали з множини диференцiалiв
{dxl
j:j= 1, m, l = 0, r −1},M:= mr.
Справедливе наступне твердження.
Лема 1. Для повного диференцiалу другого порядку вiд функцiї ρ
в точцi wсправедлива рiвнiсть:
d2ρ(w) =
m
i,j=1
r−1
k,l=0
∂2ρ(w)
∂zk
i∂zl
j
dzl
jdzk
i,(8)
де ∂2ρ(w)
∂zk
i∂zl
j
:= ∂
∂zk
i∂ρ(w)
∂zl
j.
Доведення. Оскiльки
d2ρ(w) =
m
i,j=1
r−1
k,l=0
∂2ρ(w)
∂xi
k∂xj
l
dxi
kdxj
l=
=
m
i=1
r−1
k=0
∂
∂xi
k
m
j=1
r−1
l=0
∂ρ(w)
∂xj
l
dxj
l
dxi
k,
Аналiтичнi умови локальної узагальненої опуклостi в Cm
p,q... 399
то, використовуючи рiвностi (4), (6), (7), одержуємо:
d2ρ(w) =
m
i=1
r−1
k=0
∂
∂zk
i
m
j=1
r−1
l=0
∂ρ(w)
∂zl
j
dzl
j
dzk
i=
=
m
i,j=1
r−1
k,l=0
∂
∂zk
i∂ρ(w)
∂zl
jdzl
jdzk
i.
Лему доведено.
Нехай при j= 1, m
s0
j=σj
0+σj
1e1+. . . +σj
r−2er−2+σj
r−1er−1,
s1
j=σj
0−σj
1e1+. . . +σj
r−2er−2−σj
r−1er−1,
................................................................
sr−2
j=σj
0+σj
1e1−. . . + (−1)n−1σj
r−2er−2+ (−1)n−1σj
r−1er−1,
sr−1
j=σj
0−σj
1e1+. . . + (−1)n−1σj
r−2er−2+ (−1)nσj
r−1er−1.
Будемо говорити, що вектор s= (s1, s2, . . . , sn)∈Cm
p,q належить гiпер-
площинi TL
Cm
p,q (w)чи TR
Cm
p,q (w), дотичнiй до областi Ωв граничнiй
точцi w∈∂Ω, якщо
m
i=1
∂ρ(w)
∂z0
i
s0
i= 0 або вiдповiдно
m
i=1
s0
i
∂ρ(w)
∂z0
i
= 0.
Тодi
Re
m
i=1
∂ρ(w)
∂z0
i
s0
i= Re
m
i=1
s0
i
∂ρ(w)
∂z0
i
=1
2n
m
i=1
r−1
k=0
∂ρ(w)
∂zk
i
sk
i= 0.(9)
Основним результатом роботи є така теорема.
Теорема 1. Для того, щоб область Ωбула локально узагальнено
опуклою злiва, необхiдно, щоб для кожної точки w∈∂Ωвиконувалась
нестрога нерiвнiсть
m
i,j=1
r−1
k,l=0
∂2ρ(w)
∂zk
i∂zl
j
sl
jsk
i≥0(10)
400 Т.М. Осiпчук, Ю.Б. Зелiнський, М.В. Ткачук
для всiх векторiв s= (s1, s2, . . . , sn)∈Cm
p,q,∥s∥= 1,s∈Cm
p,q, i доста-
тньо, щоб для кожної точки w∈∂Ωвиконувалась строга нерiвнiсть
m
i,j=1
r−1
k,l=0
∂2ρ(w)
∂zk
i∂zl
j
sl
jsk
i>0(11)
для тих самих векторiв s.
Доведення. Достатнiсть. Запишемо формулу Тейлора для дiй-
сної функцiї ρвiд (r−1)mдiйсних змiнних в околi U(w)довiльної
точки w∈∂Ωв термiнах формальних похiдних. Використовуючи при
цьому формулу (4) та, наприклад, перше зi спiввiдношень (8) (для
решти спiввiдношень доведення буде аналогiчним), маємо
ρ(z) = ρ(w) +
m
j=1
r−1
k=0
∂ρ(w)
∂zk
j
(zk
j−wk
j)+
+1
2
m
i,j=1
r−1
k,l=0
∂2ρ(w)
∂zk
i∂zl
j
(zl
j−wl
j)(zk
i−wk
i) + o(∥z−w∥2), z →w.
Оскiльки в граничних точках wвиконується рiвнiсть ρ(w) = 0, то
для всiх точок z∈U(w)∩TL
Cm
p,q (w), враховуючи умову (9), одержуємо
ρ(z) =
1
2
m
i,j=1
r−1
k,l=0
∂2ρ(w)
∂zk
i∂zl
j
(zl
j−zl
j)(zk
i−zk
i)
∥z−w∥2
∥z−w∥2+
+o(∥z−w∥2), z →w. (12)
Тодi з (11), (12) для усiх z∈U(w)∩TL
Cm
p,q (w)випливає нерiвнiсть ρ(z)≥
≥0, яка означає локальну узагальнену опуклiсть областi Ω.
Необхiднiсть доводиться методом вiд супротивного так само, як
i в [3, 4]. Припустимо, що область Ωє локально узагальнено опу-
клою та для деякої точки w0= (z0
1, z0
2, . . . , z0
n)∈∂Ωi деякого вектора
t= (t1, t2, . . . , tn)∈Tl
Cm
p,q (w0),|t|= 1, виконується нерiвнiсть
m
i,j=1
r−1
k,l=0
∂2ρ(w0)
∂zk
i∂zl
j
tl
jtk
i<0.(13)
Аналiтичнi умови локальної узагальненої опуклостi в Cm
p,q... 401
Оскiльки при z∈U(w0)∩TL
Cm
p,q (w0)має мiсце асимптотична рiвнiсть
(12), то для точки z0= (z0
1, z0
2, . . . , z0
n)∈U(w0)∩TL
Cm
p,q (w0), яка вiдповiд-
ає дотичному вектору t= (t1, t2, . . . , tm)при вiдповiдностi ti=(z0
i−w0
i)
|z0−w0|,
i= 1, m, за припущенням (13) виконується нерiвнiсть ρ(z0)<0, що су-
перечить локальнiй узагальненiй опуклостi областi Ω.
Зауваження 1. З формули (9) та доведення теореми 1 фактично
випливає, що для того, щоб область Ωбула локально узагальнено
опуклою справа, необхiдно, щоб для кожної точки w∈∂Ωвиконува-
лась нестрога нерiвнiсть (10) для всiх векторiв s= (s1, s2, . . . , sn)∈
∈Cm
p,q,∥s∥= 1,s∈TR
Cm
p,q (w), i достатньо, щоб для кожної точки
w∈∂Ωвиконувалась строга нерiвнiсть (11) для тих самих векторiв
s.
Зауваження 2. При q= 1,p= 0 та q= 2,p= 0 алгебра Клiффор-
да Cp,q iзоморфна вiдповiдно алгебрi комплексних чисел Cта алгебрi
кватернiонiв H. Тому теорема 1 є узагальненням вiдповiдних резуль-
татiв робiт [4, 5].
Автори дякують В.В. Кiсiлю, О.Ф. Герусу, В.С. Шпакiвському та
Ю.А. Чаповському за надану консультацiю при написаннi роботи.
Лiтература
[1] Aragon G., Aragon J. L., Rodriguez M. A. Clifford Algebra and
Geometric Algebra // Advanced in Applied Clifford Algebras. — 1997.
—7, № 2. — P. 91 – 102.
[2] Delanghe R., Sommen F., Sou˘
cek V. Clifford algebra and
spinor-valued functions. A function theory for the Dirac operator
// Mathematics and its Applications. — 53. — Dordrecht: Kluwer
Academic Publishers Group, 1992. — 485 p.
[3] Зелинский Ю. Б. Многозначные отображения в анализе. — Ки-
ев: Наукова думка, 1993. — 264 с.
[4] Зиновьев Б. С. Аналитические условия и некоторые вопросы ап-
проксимации линейно выпуклых областей с гладкими границами
в пространстве Cn// Изв. вузов, сер. математика. — 1971. — № 6.
— С. 61 – 69.
402 Т.М. Осiпчук, Ю.Б. Зелiнський, М.В. Ткачук
[5] Осiпчук Т. М. Аналiтичнi умови локальної лiнiйної опуклостi в
Hn// Зб. праць Iн-ту математики НАН України. — 2005. — 2,
№ 3. — С. 244 – 254.
