Content uploaded by Yuri Borysovych Zelinskii
Author content
All content in this area was uploaded by Yuri Borysovych Zelinskii on Mar 17, 2015
Content may be subject to copyright.
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2012, том 9, N 2, 175–179
УДК 517.9
Ю. Б. Зелинский, Б. А. Клищук,
М. В. Ткачук
(Институт математики НАН Украины, Киев)
Теоремы о неподвижной точке
для многозначных отображений
zel@imath.kiev.ua
bogdanklishchuk@mail.ru
max@imath.kiev.ua
Посвящается светлой памяти Ю. И. Самойленко
Стаття присвячена вивченню деяких властивостей многозначних
вiдображень в евклiдовому просторi. Доведено теореми про нерухому
точку для многозначних вiдображень, звуження яких на деяку
пiдмножину в замиканнi областi евклiдового простору задовольняють
"умовi гострого кута" або "умовi строгого гострого кута". Одержанi
результати справедливi i у випадку розривних вiдображень.
This paper is devoted to studying of some properties of multivalued map-
pings in Euclidean space. There were proved theorems on a fixed point for
multivalued mappings whose restrictions to some subset in the closure of a
domain of Euclidean space satisfy "an acute angle condition" or "a strict
acute angle condition". Obtained results still true also in the case of non
continuous mappings.
В работе изучены варианты теорем о существовании решений
многозначных включений в евклидовых пространствах, в том числе
теорем о неподвижной точке для многозначных отображений,
основанных на обобщении “условия острого угла” [1]. Направление
исследования инспирировано работами К. Н. Солтанова [2 — 4],
в которых разработан метод нахождения неподвижных точек для
c
Ю. Б. Зелинский, Б. А. Клищук, М. В. Ткачук, 2012
176 Ю. Б. Зелинский, Б. А. Клищук, М. В. Ткачук
разрывных отображений. Другие подходы к доказательству существо-
вания неподвижных точек можно найти в [5].
Пусть En—n-мерное евклидово (дейсвительное или комплексное)
пространство, ⟨∗,∗⟩ — скалярное произведение в En,conv A —
выпуклая оболочка множества A.
Далее будем рассматривать многозначные (в том числе одно-
значные и разрывные) отображения подмножеств евклидового про-
странства. Если F1, F2:X→Y— два многозначных отображения,
то будем говорить, что F2есть сужением отображения F1, если
F1(x)⊃F2(x)=∅для всех точек x∈X. Скажем, что на множестве
Aотображение Fудовлетворяет “условию острого (строгого острого)
угла”, если X=Yи выполнено условие Re ⟨x, y⟩ ≥ 0(Re ⟨x, y⟩>0)
для всех пар точек x∈A,y∈F(x). Под отображением G=Id −F
понимаем многозначное отображение G:X→X, ставящее в соотве-
тствие точке x∈Xмножество точек G(x) = {x−y|y∈F(x)}.
Чтобы не было недоразумений, введем следующее определение.
Определение. Ограничением функции f:A→Bна подмноже-
ство C⊂Aназов¨eм сужение функции fна C, т. е.
f|C(x) = {f(x), x ∈C,
∅, x /∈C.
Теорема 1. Пусть D— область евклидова пространства En,
которая содержит начало координат. Пусть K⊂D— под-
множество в замыкании этой области, обладающее следующим
свойством (α): на каждом луче, выходящем из начала координат,
лежит хотя бы одна точка, принадлежащая K. Пусть ограничение
F|Kмногозначного отображения F:D→Enна подмножество
Kудовлетворяет “условию острого угла” и conv F (K)— компакт.
Тогда если F(D)⊃conv F (K), то 0∈F(D).
Доказательство. Предположим, что 0/∈F(D). Следовательно,
0/∈conv F (K). Тогда согласно геометрической форме теоремы Хана–
Банаха [6] существует гиперплоскость L, которая отделяет начало
координат от conv F (K). Выберем луч l, выходящий из начала
координат перпендикулярно к гиперплоскости Lи направленный в
сторону противоположную этой гиперплоскости. Согласно условию
(α)этот луч пересечет множество K. Выберем точку x∈l∩K. С
одной стороны, точка F(x)∈F(K)⊂conv F (K), а с другой —
согласно “условию острого угла” образ должен находиться в том же
Теоремы о неподвижной точке для многозначных отображений 177
полупространстве по отношению к гиперплоскости L, что и точка x.
Полученное противоречие доказывает теорему.
Поскольку мы не требовали от отображения Fни однозначности,
ни непрерывности, то, очевидно, справедливы следующие следствия.
Следствие 1. Пусть K⊂D— подмножество области D,
обладающее свойством (α). Пусть ограничение F|Kмногозначного
отображения F:D→Enна подмножество Kимеет сужение
F1, которое удовлетворяет “условию острого угла” и conv F1(K)—
компакт. Тогда если F(D)⊃conv F1(K), то 0∈F(D).
Следствие 2. Пусть K⊂D— подмножество области D,
обладающее свойством (α). Пусть ограничение F|Kмногозначного
отображения F:D→Enна подмножество Kимеет сужение F1,
для которого conv F1(K)— компакт и F(D)⊃conv F1(K). Тогда
если 0/∈F(D), то найдется пара точек x∈K,y∈F(x)таких, что
Re ⟨x, y⟩<0.
Следствие 3. Пусть K⊂D— подмножество области D,
обладающее свойством (α). Пусть ограничение G|Kмногозначного
отображения G=Id −F:D→Enна подмножество K
имеет сужение G1, которое удовлетворяет “условию острого угла”
иconv G1(K)— компакт. Тогда если G(D)⊃conv G1(K), то
отображение Fимеет неподвижную точку x∈F(x).
Теорема 2. Пусть D— область евклидова пространства En,
которая содержит начало координат. Пусть K⊂D— подмно-
жество в замыкании этой области, обладающее свойством (α).
Пусть ограничение F|Kмногозначного отображения F:D→En
на подмножество Kудовлетворяет “условию строгого острого угла”.
Тогда если F(D)⊃conv F (K), то 0∈F(D).
Доказательство. Предположим, что 0/∈F(D)и, следовательно,
0/∈conv F (K). Внутренность Int (conv F (K)) будет выпуклым
открытым множеством, не содержащим начало координат. Если
Int (conv F (K)) = ∅, то множество conv F (K)полностью лежит
в некоторой гиперплоскости, поэтому существует гиперплоскость L,
которая проходит через начало координат и которая или полностью
содержит множество conv F (K), или с ним не пересекается. Если
же Int (conv F (K)) =∅, то существует гиперплоскость L,
которая проходит через начало координат и не пересекает множество
Int (conv F (K)). Для произвольного выпуклого множества Aс
непустой внутренностью (Int A =∅) справедливо I nt A =A.
178 Ю. Б. Зелинский, Б. А. Клищук, М. В. Ткачук
Следовательно, в обоих случаях множество conv F (K)полностью
лежит в одном из замкнутых полупространств, на которые плоскость
Lразбивает пространство. Теперь, как и в случае теоремы 1,
выберем луч l, выходящий из начала координат перпендикулярно
к гиперплоскости Lи направленный в сторону, противоположную
полупространству, содержащему множество conv F (K). Согласно
условию теоремы этот луч пересечет множество K. Выберем точку
в пересечении: x∈l∩K. Согласно “условию строгого острого
угла”, её образ F(x)должен находиться во внутренности того же
полупространства по отношению к гиперплоскости L, что и точка
xи, естественно, не может принадлежать conv F (K). Полученное
противоречие доказывает теорему.
Cправедливы следующие утверждения, являющиеся аналогами
следствий 1 — 3.
Следствие 4. Пусть K⊂D— подмножество области D,
обладающее свойством (α). Пусть ограничение F|Kмногозначного
отображения F:D→Enна подмножество Kимеет сужение F1,
которое удовлетворяет “условию строгого острого угла”. Тогда если
F(D)⊃conv F1(K), то 0∈F(D).
Следствие 5. Пусть K⊂D— подмножество области D,
обладающее свойством (α). Пусть ограничение F|Kмногозначного
отображения F:D→Enна подмножество Kимеет сужение F1,
для которого F(D)⊃conv F1(K). Тогда если 0/∈F(D), то найдется
пара точек x∈K,y∈F(x)таких, что Re⟨x, y⟩ ≤ 0.
Следствие 6. Пусть K⊂D— подмножество области D,
обладающее свойством (α). Пусть ограничение G|Kмногозначного
отображения G=Id −F:D→Enна подмножество Kимеет
сужение G1, которое удовлетворяет “условию строгого острого
угла”. Тогда если G(D)⊃conv G1(K), то отображение Fимеет
неподвижную точку x∈F(x).
Замечание 1. Если в предыдущих результатах K⊂D
(подмножество лежит во внутренности области), то все изложенные
результаты остаются справедливыми, если рассматривать отображе-
ния открытой области.
Замечание 2. Для справедливости предыдущих результатов
достаточно существования в пространстве Enинвариантного
относительно рассматриваемого отображения подпространства T
(т. е. F(T)⊂T), для ограничения F|Tна котором должны
Теоремы о неподвижной точке для многозначных отображений 179
выполняться условия соответственных утверждений.
Пример. Пусть f:B2→B2— разрывное однозначное отображе-
ние замкнутого единичного круга на себя со следующими свойствами.
Если будем рассматривать граничную окружность ∂B2как множество
точек S1={z=eiφ,0≤φ < 2π}, то пусть
f(eiφ) =
ei(φ−π/2) ,0≤φ≤π/2,
ei(φ+π/2), π/2< φ ≤π,
eiφ, π < φ < 2π.
На внутренности круга пусть f— произвольный гомеоморфизм
внутренности круга B2на открытый единичный полукруг
B2
−={z∈Int B2, I m z < 0}.
Очевидно, что образ f(B2)совпадает с выпуклой оболочкой множе-
ства f(S1), но 0/∈f(B2).
Этот пример показывает, что в обеих теоремах есть ограничения,
которые невозможно существенно ослабить. В теореме 1 — это
требование компактности conv F (K), а в теореме 2 — “условие строгого
острого угла”.
Исследования этой работы частично поддержаны грантом
Тюбитек–НАНУ номер 110T558.
Список литературы
[1] Красносельский М. А. Топологические методы в теории нелинейных
интегральных уравнений. — Москва: Гостехиздат. — 1956. — 392 с.
[2] Солтанов К. Н. О нелинейных отображениях и разрешимости
нелинейных уравнений // Докл. АН СССР. — 1986. — 289, № 6. —
С. 1318—1323.
[3] Soltanov K. N. Remarks on Separation of Convex Sets, Fixed-Point Theo-
rem and Applications in Theory of Linear Operators // Fixed Point Theory
and Applications. — 2007. — 14 p.
[4] Soltanov K. N. On semi-continuous mappings, equations and inclusions in
the Banach space // Hacettepe J. Math. Statist. — 2008. — 37. — P. 9—24.
[5] Зелинский Ю. Б. Многозначные отображения в анализе. — Киев:
Наук. думка. — 1993. — 264 с.
[6] Эдвардс Р. Функциональный анализ. — Москва: Мир. — 1969. — 1072 с.
