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Representación Algebraica de las Escalas Musicales

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Representación Algebraica de las Escalas Musicales

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Abstract

Resumen Durante lo ultimos treinta años, eí ambito de la teoría de la músi-ca ha ido incorporado un conjunto de conceptos y formulaciones ma-temáticas de sofistificación creciente. Entré estas, se encuentran las que presentan y discuten las propiedades de las escalas musicales ba-jo lá optica y el lenguaje del algebrá moderna. La comprensión de estos conceptos resulta de utilidad para entender o abordar algunos desarrollos musicales modernos, tales como la música microtonal. Pe-ro también resulta de utilidad para enmarcar, al menos en parte, el proceso histórico que, en eí ambito de las escalas musicales, se ha ido produciendo en lo ultimos siglos. En esté ambito, es notaria la caren-cia de trabajos que presenten aportaciones en idioma español. Por ello, este artículo se plantea realizar una recapitulación de algunas de estas aportaciones. En particular, este artículo presentará las escalas musi-cales como objetos matemáticos que, en algunos casos, pueden poseer las propiedades de lo que, e algebra, se llama estructura de grupo. Se introducirá el importante concepto de generadores de una escala y se discutirán algunas representaciones y propiedades, específicas, de las escalas de más doce sonidos por octava. Finalmente, el artículo aporta una clasificación de las escalas atendiendo al número y tipo de sus generadores.

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A musical scale based on the 3:5:7:9 tetrachord is described. It has clearly audible harmonic properties that are derived from the harmonies of the tetrachord. In its equal‐tempered version, the nine tones of the scale are selected from a set of 13 equal steps, which have a frequency ratio equal to 31 / 1 3. The tenth note of the scale, here called the tritave, has a 1:3 frequency ratio with respect to the first note and has a role similar to that of the traditional octave. Both ‘‘major’’ and ‘‘minor’’ chords can be formed from the notes of the scale. Musicians and untrained listeners rated the consonance of all possible triads formed from a 1‐tritave range of the equal‐tempered chromatic scale. A wide range of consonance ratings was observed, and chords were judged as most dissonant when they had 1‐step intervals. A critical bandwidth dissonancemodel fits the data well. The same subjects rated the consonance of a harmonized passage played in different tunings. Both groups judged the equal‐tempered version as most consonant, but only the musicians were influenced by previous exposure to these sounds. Subjects also judged the similarity of chords and their inversions, both for chords from the new scale and for traditional chords. Musicians were influenced by key relationships, inversions, and chord type in their ratings of the traditional chord set but judged the new chords only by pitch height. Untrained listeners relied on pitch height for both chord sets. This suggests that the ability to abstract more complex information depends on training.