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Un Marco teórico para el Conocimiento Especializado
del Profesor de Matemáticas
LISTADO DE AUTORES Y AFILIACIÓN
Álvaro Aguilar, Universidad de Huelva: España
Enrique Carmona, Universidad de Huelva: España
José Carrillo, Universidad de Huelva: España
Luis Carlos Contreras, Universidad de Huelva: España
Nuria Climent, Universidad de Huelva: España
Dinazar Escudero-Ávila, Universidad de Huelva: España
Eric Flores-Medrano, Universidad de Huelva: España
Pablo Flores, Universidad de Granada: España
José Luis Huitrado, Universidad de Zacatecas: México
Miguel Ángel Montes, Universidad de Huelva: España
M. Cinta Muñoz-Catalán, Universidad de Sevilla: España
Nielka Rojas, Universidad de Granada: España
Leticia Sosa, Universidad de Zacatecas: México
Diana Vasco, Universidad Técnica Estatal de Quevedo, Ecuador
Diana Zakaryan, Universidad de Valparaíso, Chile
ÍNDICE
CAPÍTULO 1: REFLEXIONES SOBRE LA NATURALEZA DEL
CONOCIMIENTO, LAS CREENCIAS Y LAS CONCEPCIONES
Miguel Montes, Eric Flores-Medrano, Enrique Carmona, José Luis Huitrado y Pablo
Flores
1.1 Sobre el conocimiento
1.2 Sobre creencias, concepciones y conocimiento
1.3 Posicionamiento Epistemológico
1.3.1 Posicionamiento Epistemológico
1.3.2 ¿Qué significa observar?
1.3.3 Revisión de la noción de objetividad
1.3.4 Representaciones y modelos
1.3.5 Criterios de verdad y justificación
1.4 Naturaleza del conocimiento y la actividad matemática
1.5 Referencias
CAPÍTULO 2: NUESTRAS CONCEPCIONES SOBRE LA
ENSEÑANZA Y EL APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS
José Carrillo, José Luis Huitrado, Diana Vasco, Diana Zakaryan y Luis Carlos
Contreras
2.1 Introducción
2.2 El aprendizaje de las matemáticas
2.2.1 La naturaleza de la actividad matemática en el aula
2.2.2 Epistemología de la matemática escolar: la indagación como caracterizadora
2.2.3 El aprendizaje matemático y la competencia matemática
2.3 Cómo concebimos la enseñanza de las matemáticas
2.3.1 Elementos de buena práctica
2.4 Referencias
CAPÍTULO 3: EL CONOCIMIENTO DEL PROFESOR PARA LA
ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA
Nuria Climent, Dinazar Escudero-Ávila, Nielka Rojas, José Carrillo, M. Cinta Muñoz-
Catalán, Leticia Sosa
3.1 El Conocimiento Profesional visto desde el Desarrollo Profesional
3.2 Contenido del conocimiento profesional
3.3 Naturaleza: algunas características del conocimiento profesional y su consideración
en la generación del MTSK y en la investigación sobre éste
3.4 Algunas consideraciones para el acercamiento metodológico en la investigación
sobre MTSK del profesor
3.5 Algunas notas sobre el aprendizaje del profesor
3.6 El profesor experto y su conocimiento profesional
3.7 Contextos de desarrollo profesional. La investigación colaborativa como contexto
de desarrollo profesional
3.8 Relevancia de la investigación sobre el conocimiento del profesor
3.8.1 Para el conocimiento del área de Didáctica de la Matemática
3.8.2 Para la formación inicial y continua del profesorado
3.9 Referencias
CAPÍTULO 4: NUESTRA MODELACIÓN DEL CONOCIMIENTO
ESPECIALIZADO DEL PROFESOR DE MATEMÁTICAS, EL MTSK
Eric Flores-Medrano, Dinazar Escudero-Ávila, Miguel Montes, Álvaro Aguilar y José
Carrillo
4.1 Naturaleza
4.2 Subdominios
4.2.1 Conocimiento matemático
4.2.1.1 Conocimiento de los temas matemáticos (KoT)
4.2.1.2 Conocimiento de la estructura matemática (KSM)
4.2.1.3 Conocimiento de la práctica matemática (KPM)
4.2.2 Conocimiento didáctico del contenido
4.2.2.1 Conocimiento de las características del aprendizaje (KFLM)
4.2.2.2 Conocimiento de la enseñanza de la matemática (KMT)
4.2.2.3 Conocimiento de los estándares de aprendizaje de las Matemáticas
(KMLS)
4.2.3 Síntesis
4.3 Algunas relaciones entre los subdominios
4.4 Papel de las creencias
4.5 Referencias
INTRODUCCIÓN
Este documento resume algunos de los esfuerzos desarrollados en los últimos años por
el grupo SIDM
1
, coordinado desde la Universidad de Huelva, por conceptualizar un
modelo de conocimiento profesional, denominado Conocimiento Especializado del
Profesor de Matemáticas (MTSK por sus siglas en inglés
2
). Más allá de la mera
explicitación del contenido del constructo teórico, creemos que para entender un
constructo teórico de esta índole es necesario profundizar en cómo este grupo
comprende algunos aspectos que han influido en el proceso de construcción de este
modelo.
Los aspectos que abordaremos de manera previa al desarrollo del modelo teórico se
centrarán en tres grandes núcleos, reflejados en los tres primeros capítulos. El primero
de ellos refleja nuestro posicionamiento epistemológico acerca del conocimiento, las
creencias y las concepciones, esto es, qué significa para nosotros ‘conocer’. Este
capítulo es fundamental para comprender a qué llamamos conocimiento, ya que es el
contenido del modelo MTSK, y entendemos que carece de sentido plantearse un modelo
de conocimiento sin tener una perspectiva establecida acerca de aquello que se pretende
modelar.
En el segundo capítulo explicitaremos nuestras concepciones sobre la enseñanza y
aprendizaje de las matemáticas, ya que entendemos que nuestra percepción del
conocimiento que el profesor posee está sesgada por la forma en que comprendemos los
procesos de enseñanza y aprendizaje.
En el tercer capítulo se hará un recorrido general por investigaciones previas sobre
conocimiento del profesor, muchas de ellas desarrolladas en el seno del grupo, en las
que nos basamos para desarrollar el MTSK. Este recorrido no pretende ser una revisión
histórica, sino una muestra del bagaje investigador, tanto el desarrollado por el propio
grupo, como el reflejado en la literatura relativa al tema, el cual nos ha permitido
proponer un modelo que responde a la complejidad del conocimiento requerido para
impartir clase de matemáticas.
1
Seminario de Investigación en Educación Matemática
2
El grupo SIDM decidió usar las siglas en inglés al ser en un contexto internacional donde se presentó el
modelo por primera vez.
El último capítulo de este documento muestra el modelo de Conocimiento
Especializado del Profesor de Matemáticas, MTSK, que, tras las reflexiones vertidas en
los capítulos previos, entendemos podrá ser comprendido como un constructo coherente
con la visión del grupo acerca de la labor del profesor. En la presentación del modelo se
mostrará su vertebración en los subdominios que, a nuestro entender, modelan el
conocimiento requerido por el profesor de matemáticas para impartir clase. Esta
descomposición en subdominios, útil para los propósitos analíticos, no olvida el carácter
sintético e integrado del conocimiento del profesor, al tiempo que intenta poner de
relieve el papel fundamental del conocimiento de diferentes aspectos ligados a las
matemáticas. Se brindarán ejemplos de cada uno de los subdominios, así como una
primera aproximación a un sistema de categorías que también incluye ejemplos que
muestran la utilidad analítica de las mismas. Posteriormente, se mostrarán relaciones
entre diferentes subdominios que reforzarán la idea de la complejidad del conocimiento
del profesor, y mostrarán la necesidad de contemplar el modelo de conocimiento, no
como una colección de compartimentos estancos, sino como un conjunto de elementos
del conocimiento del profesor que pueden ser detectados, teniendo en cuenta la
necesidad de ser consciente de que dichos elementos, interrelacionados, y
condicionados unos por otros, son lo que denominamos “conocimiento especializado
del profesor de matemáticas”.
Finalizaremos con reflexiones sobre el papel de las creencias y concepciones en el
modelo MTSK, como elemento que permea el conocimiento del profesor, y por tanto,
de necesaria comprensión para explorar dicho conocimiento.
R
EFLEXIONES SOBRE LA NATURALEZA DEL
CONOCIMIENTO
,
LAS CREENCIAS Y LAS CONCEPCIONES
Miguel Montes, Eric Flores-Medrano, Enrique Carmona, José Luis Huitrado y Pablo
Flores
1.1 SOBRE EL CONOCIMIENTO
Este apartado responde a la necesidad de clarificar el significado que asignamos al
término conocimiento los investigadores del grupo SIDM de la Universidad de Huelva.
La revisión bibliográfica nos lleva a dar una definición integradora útil que distinga
conocimiento de otros elementos.
Un término muy relacionado con conocimiento es comprensión. Richard Skemp (1978)
define comprensión como la asimilación de diferentes elementos dentro de esquemas,
que constituyen el conocimiento. Para este autor, la comprensión relacional está
constituida por saber aquello que se debe hacer y porqué, y la comprensión instrumental
por saber las reglas sin las razones. Posteriormente consideró la comprensión lógica,
equivalente a la conciencia de la estructura de lo que se hace, como pueda suceder en la
prueba formal, y comprensión simbólica, conexión entre el simbolismo y la notación
con ideas asociadas. Esta definición de comprensión ha sido reelaborada posteriormente
por diferentes autores (consultados especialmente referentes de educación matemática),
caracterizando cómo se pone en juego y desarrolla:
• Superar obstáculos cognitivos. (Cornu, 1991; Sierpinska, 1990).
• Generar imágenes y definiciones del concepto (Vinner, 1991; Tall y Vinner,
1981).
• Operar con múltiples representaciones (Kaput, 1989).
• Construir concepciones operacionales y estructurales (Sfard, 1991).
En literatura relativa al conocimiento profesional (e. g. Schön, 1983; Ponte, 1994;
Climent 2005), encontramos la siguiente afirmación:
“En la medida que las tareas [del profesional] cambian, lo harán también las
demandas de un conocimiento utilizable, y los modelos de tarea y conocimiento
serán intrínsecamente inestables” (Schön, 1983, p.26).
Esta reflexión nos lleva a otra: ¿hasta qué punto es útil tener una definición y modelo de
conocimiento inmutable? Entendemos que, aceptando las palabras de Schön, el modelo
que elaboremos, y la definición que adoptemos de conocimiento tendrá que estar sujeta
a permanente revisión, siendo por tanto un constructo que satisfaga al grupo en el
momento científico, social, cultural, profesional y en el que se encuentre, de forma que
si alguno de estos contextos varía, podría ser revisado.
En la literatura relativa a los modelos de conocimiento del profesor (Shulman 1986,
1987; Llinares y Sánchez, 1990; Pajares, 1992; Bromme 1994; Bromme y Tillema,
1995; Even, Tirosh y Markovits, 1996; Llinares 1998; Tirosh, 2000; Ball, Thames y
Phelps, 2008; Rowland, Turner, Thwaites y Huckstep, 2009; Schoenfeld, 2010; Carrillo,
Climent, Contreras y Muñoz-Catalán, 2013),se hace poco énfasis en los
posicionamientos epistemológicos acerca del término conocimiento, más allá de ciertas
reflexiones sobre la naturaleza a la que ha de aspirarse en el conocimiento de los
profesores, “Conocer algo sin comprender el por qué, en el contexto de su
conocimiento como profesor, no tiene más sentido para éste que en el contexto
puramente matemático” (Tirosh, 2000, p.20), que usan los términos comprensión y
conocimiento con significados que parecen muy próximos, con la salvedad de que el
conocimiento parece cercano a algo que podríamos llamar “entendimiento declarativo”,
o “no entendimiento”. Aceptamos esto como una llamada de atención sobre la
necesidad de abordar el conocimiento de forma íntimamente ligada al entendimiento.
Por tanto nos planteamos la utilidad de distinguir entre ambos, ya que podemos
entender que existen grados de profundidad en la reflexión establecida sobre el
conocimiento. Llinares (1998) adopta la siguiente caracterización de conocimiento:
“Este conocimiento incluye no sólo la información específica sobre datos y
métodos de comprobación de resolución de problemas, sino también la
información necesaria para definir y comprender los problemas con los que debe
enfrentarse el profesional” (p. 55).
Por otro lado, Pajares (1992), utiliza el conocimiento para referirse a la amplia red de
conceptos, imágenes, y habilidades inteligentes que poseen los seres humanos.
Una vez más encontramos caracterizaciones sobre elementos que están englobados en el
conocimiento, de forma que estos intentos de definición caracterizarían algunos de los
elementos que pertenecen al conocimiento, pero aportan características que permiten
discutir sobre elementos que pudieran pertenecer al mismo. En el caso de Pajares, se
incluyen las habilidades como parte del conocimiento, hecho a remarcar, teniendo en
cuenta las discusiones establecidas sobre qué es conocimiento, y qué no, que han tenido
lugar en el seminario.
Finalmente, los aportes de Schoenfeld (2010) dan mayor precisión, con una definición
del conocimiento que resulta bastante operativa para utilizarla en las investigaciones,
que es compatible con la propuesta por Pajares:
“Yo defino el conocimiento de un individuo como la información que tiene
disponible para usar para resolver problemas, alcanzar metas, o desarrollar
cualquier tarea. ¡Nótese que, de acuerdo a esta definición, el conocimiento no ha
de ser necesariamente correcto!” (Schoenfeld, 2010, p.25).
Además de los términos propios de su modelo de conocimiento, como el referido a las
metas, esta definición introduce dos elementos importantes:
- Información disponible: Bajo esta nomenclatura caben acciones, comprensión de
diferentes tipos, ya sea relacional, instrumental, lógica o simbólica según Skemp,
y es adaptable a las diferentes situaciones en las que se ponen en juego
comentadas anteriormente.
- Para usar: Este es el elemento discriminador de la definición. Aquella
información que no tenga sentido usar en la actividad que se desempeñe (en la
tarea concreta de la enseñanza de la matemática en este caso), no tendrá cabida en
esta definición de conocimiento. Así, si encontráramos un profesor de primaria
que poseyera con amplias nociones de Análisis Funcional, no nos permitiría
afirmar que dichas nociones fueran constituyentes de su conocimiento
especializado, como profesor de matemáticas del ciclo en que enseña.
- No necesariamente correcto: Esta aclaración es una llamada de atención sobre la
posición del investigador que busca comprender el conocimiento del profesor,
siendo la diferencia entre conocimiento correcto o incorrecto irrelevante en
algunos casos, especialmente si la intención del investigador es saber qué conoce
el profesor, ya que, coincida con el referente de corrección o no, el profesor posee
dicha información, aunque puede resultar interesante, dependiendo del tipo de
investigación en curso, para comprender el conocimiento del profesor o su
actuación. Además, creemos necesario hacer una llamada de atención sobre la
consideración negativa del término incorrecto, definiéndolo no cómo algo
negativo, sino como no coincidente con el referente de verdad.
Tras la revisión realizada de la literatura, y después de hacer una honda reflexión sobre
las posibles implicaciones de la definición aportada por Schoenfeld, proponemos
adoptarla para su uso como punto de acuerdo en lo referente a lo que entendemos por
conocimiento, para definir el modelo de conocimiento del profesor de matemáticas
denominado MTSK. Cabe destacar que pese a que Schoenfeld (2010) busca una
definición para el conocimiento profesional, sus aportes constituyen un posicionamiento
general sobre el conocimiento, compatible y complementaria con la noción de Pajares
(1992) tradicionalmente usada en investigaciones anteriores (Carrillo, 1998; Contreras
1999).
1.2
SOBRE CREENCIAS, CONCEPCIONES Y CONOCIMIENTO
Usaremos la base teórica que diferentes miembros de este grupo han desarrollado y
usado a lo largo de su historia, partiendo de la tesis de Carrillo (1998), en la que se
comenta la diferenciación establecida por Ponte (1994) siguiendo a Pajares (1992), entre
creencia, concepción y conocimiento:
“Utilizo conocimiento para referirme a la amplia red de conceptos, imágenes, y
habilidades inteligentes que poseen los seres humanos. Las creencias son las
‘verdades’ personales incontrovertibles que tiene cada uno, derivadas de la
experiencia o de la fantasía, que tienen una fuerte componente afectiva y
evaluativa (Pajares, 1992). Las concepciones son los esquemas subyacentes de
organización de los conceptos, que tienen esencialmente naturaleza cognitiva.
Creencias y concepciones son parte del conocimiento” (Ponte 1994, p.199).
Esta definición, sin embargo, ha sido abordada por diferentes autores con posterioridad.
Especial relevancia tiene la publicación de Furinghetti y Pehkonen (2002), en la que
recogen la revisión que 22 expertos en Educación Matemática, conocedores de la
temática, hacen de nueve definiciones de creencia/concepción dadas por diferentes
autores.
Estos autores preguntaron a los expertos si consideraban adecuada cada definición,
indicando los motivos, y dando una caracterización propia. La definición de Ponte
(1994) fue duramente criticada por tres de sus elementos centrales: El carácter
incontrovertible, la relación directa entre creencia y conocimiento, y el término
concepción. Las definiciones que fueron aceptadas por la mayoría de revisores fueron
las de Schoenfeld (1992) y la de Thompson (1992). La experiencia del grupo empleando
la definición de Ponte nos lleva a tenerla muy en cuenta, pero no podemos ignorar la
revisión de Furinghetti y Pehkonen, y manifestar que no nos sentimos plenamente
satisfechos con el carácter incontrovertible de las creencias, aunque sí con considerarlas
parte del conocimiento, y de igual modo, entendemos que las creencias pueden ser
personales, por lo que proponemos un tratamiento integrado, incluyendo estas
características, y evitando la diferenciación explícita entre creencia y concepción, ya
que entendemos que resulta de escasa utilidad, al ser nuestro foco el conocimiento, al
que dichas creencias y concepciones permean.
Así, las creencias pueden ser entendidas, en la línea de los propuesto por Ponte (1994),
como verdades personales, sostenidas individual y/o colectivamente, derivadas de la
experiencia o el propio pensamiento, con cierta componente afectiva y evaluativa, sobre
la que se pueden tener diferentes grados de convencimiento, así como pudiendo ser
justificadas en base a argumentos que no sigan criterios que puedan responder a cánones
de evidencia, es decir, no son falsables (en el sentido de Poper)
3
. Muy cercana a esta
definición se encuentra la propuesta por Thompson (1992) para las concepciones,
entendidas como las estructuras mentales generales, que abarcan significados,
conceptos, proposiciones, reglas, imágenes mentales, etc., (Thompson 1992). La
diferenciación, por tanto, entre creencia y concepción, puede entenderse, a priori, en
base a la implicación de la componente afectiva y emocional en las creencias, frente a la
racionalización que suponen las concepciones. Sin embargo, esta relación entre
creencias y concepciones, así como su integración en el conocimiento, es una faceta que
aún no se ha explorado en la profundidad necesaria como para llegar a puntos de
consenso.
En cuanto al conocimiento, adoptaremos la definición propuesta por Pajares (1992) Red
amplia de conceptos, imágenes y habilidades inteligentes poseídas por el ser humano
Entendemos que esta red abarca concepciones y creencias, y está construida también
mediante éstas. Esta definición es totalmente compatible con la propuesta de Schoenfeld
(2010), citada en el punto anterior, recogiendo el énfasis que ponen tanto Schoenfeld en
la utilidad del conocimiento, como Pajares en la posesión, siendo ‘posesión útil’
equiparable al término “información disponible”.
3
Por tanto, el paso de la subjetividad a la objetividad (intersubjetividad) está ligado a la posibilidad de
formulación en términos falsables, lo que requiere una disposición a romper con el sustento afectivo que
conlleva la creencia.
Entendemos, por supuesto, que ninguna de estas definiciones es inmutable, sino que
todas están sujetas a cambio, a través de la reflexión y experimentación. En la tradición
investigadora del grupo, encontramos diferentes aproximaciones a estos elementos.
En cuanto a las creencias y las concepciones, basados en los trabajos de Ernest (1989,
1991), entre otros, establecemos tres concepciones sobre la matemática articuladas en
un sistema de categorías que incluye el tipo de conocimiento (¿qué lo compone y cómo
es?), la finalidad y el modo de evolución [proceso de construcción y tipo de
razonamiento] (Carrillo y Contreras, 1994). En la concepción Instrumentalista, el núcleo
de la matemática está compuesto de resultados cuya veracidad y existencia no están
sujetas a discusión; su finalidad es el desarrollo de otras ciencias y su modo de
evolución está basado en la creación y uso de algoritmos generados como relaciones
causa-efecto. En la concepción Platónica, el núcleo está en los conceptos y valores
racionales, en el marco de un cuerpo de conocimientos preexistente; su finalidad es el
desarrollo de la propia ciencia matemática y emerge como explicación a problemas de
la propia matemática o de otras ciencias. En la concepción de la matemática como
Resolución de Problemas (Ernest, 1989; Carrillo y Contreras, 1995), la esencia está en
las estructuras conceptuales, que conforman un conocimiento sometido a revisión
constante; su finalidad es el desarrollo de capacidades intelectuales del ser humano y su
evolución es dinámica, basada en la resolución de problemas. Es en esta última
concepción en la que nos posicionamos para desarrollar nuestros trabajos.
En cuanto al conocimiento, se han desarrollado diversas investigaciones, en torno, por
ejemplo al conocimiento que permite al profesor explicar matrices (Sosa, 2010), o
justificar diferentes aspectos relacionados con la enseñanza de las fracciones (Moriel-
Junior, Wielewski y Montes, 2013), así como gestionar el diseño de actividades de
geometría en el aula (Carmona y Climent, 2012). También se ha profundizado en el
desarrollo del conocimiento (Climent, 2005; Muñoz-Catalán).
Asimismo, creemos interesante la investigación de la relación entre conocimiento y
concepciones, como futura (y presente) línea de investigación (Flores y Carrillo, 2014),
utilizando ambas dimensiones como complementarias a la hora de analizar el
conocimiento del profesor, siguiendo la línea propuesta por Skott, van Zoest y Gellert
(2013). La exploración de esta línea de investigación supone la aceptación de la
integración de conocimiento y concepciones como parte de la red amplia de conceptos,
imágenes y habilidades que el profesor tiene disponibles para desarrollar su actividad
docente.
1.3
POSICIONAMIENTO EPISTEMOLÓGICO
Dependiendo del objeto de estudio, y por tanto de la naturaleza del conocimiento a la
que nos refiramos, podemos distinguir distintos niveles de concreción epistemológica:
- Epistemología de las ciencias
4
- Epistemología de las matemáticas
- Epistemología de la didáctica de las matemáticas
- Epistemología de las matemáticas escolares
En la presente reflexión nos centraremos en el primer nivel de concreción, y por tanto,
en el modo en que las ciencias se han desarrollado y se desarrollan. Entendemos que la
reflexión epistemológica es, en sí misma, una oportunidad para ejercitar la honestidad
científica y el gusto por la verdad, que nos conduce a comprender mejor esa compleja
obra que son las ciencias; y un medio para tomar conciencia de los límites y
ambigüedades inherentes a la propia ciencia. Nos permite cuestionarnos acerca de lo
que somos, de lo que hacemos, del sentido que tiene lo que hacemos y nos obliga a
revisar las ideas recibidas, profundizando en el porqué de las cosas.
1.3.1 Nuestro Posicionamiento epistemológico
Nos vamos a aproximar a la noción de ciencia desde una perspectiva epistemológica
socioconstructivista con raíces en el socioconstructivismo pedagógico y en el
socioconstructivismo socio-histórico. Partimos de la creencia de que al igual que toda
actividad intelectual
5
, la ciencia implica elegir con qué ojos ver el mundo, y que por
tanto, conocer implica ineludiblemente tomar decisiones (Fourez, 2008, 2010).
Entendemos que todas las prácticas científicas, y por consiguiente sus producciones,
4
Hablamos de epistemología de las ciencias en plural con la intención de remarcar la existencia de una
gran variedad de disciplinas científicas, donde cada una de las distintas aproximaciones comporta una
manera de abordar el mundo y de construir sus objetos (Fourez, 1997).
5
Conocer, comprender, observar, representar, modelar, describir, etc.
están impregnadas de dimensiones éticas, políticas, sociales, psicológicas, y en
definitiva humanas.
En consonancia con las afirmaciones de Fourez (1997, 2008, 2010) y Bronowski (1968,
1978), entendemos que la ciencia es una producción histórica construida por humanos y
para humanos, y por tanto no es algo existente por sí mismo, con valores intrínsecos
propios; como afirma Maslow (1991) “sus orígenes están en las motivaciones del
hombre; sus objetivos son humanos, y es creada, renovada y mantenida por seres
humanos” (p.277). Sus teorías, sus modelos, su organización, sus articulaciones, no
descansan sólo en la naturaleza de la realidad, sino que también lo hacen en la propia
esencia de la naturaleza humana que la construye. “Creer que la ciencia es una empresa
neutra, desinteresada, autónoma y autorregulada, con reglas propias y fijas es falso,
poco realista, e incluso antiempírico” (p.277).
El socioconstructivismo es, en principio, una visión constructivista, por el hecho de que
reconocemos el rol que juega el sujeto en la construcción del conocimiento (Glasersfeld,
1996). El constructivismo es una manera de situar al sujeto en el centro de la visión,
poniendo el acento en que cada sujeto se construye sus representaciones del mundo, y
que además lo hace a través de lo que da sentido al propio sujeto: sus creencias, sus
presupuestos, sus proyectos, su medio social, su salud psicológica, etc.
El constructivismo fija su atención en la construcción de los saberes vinculados a las
personas consideradas como individuos, por ello entendemos que dicha aproximación
epistemológica por sí sola no cubre nuestras necesidades, como afirman Fourez,
Englerbert-Lecompte y Mathy (1997)“para comprender la construcción de los saberes,
de las disciplinas científicas, y de las representaciones, no es suficiente pensar en una
producción vinculada únicamente a intereses individuales, sino que es necesario la
toma en cuenta de los intereses sociales” (p. 31).
Que nuestra perspectiva epistemológica tenga raíces en el socioconstructivismo
pedagógico implica que concedemos importancia a las interacciones sociales que
condicionan cómo se construyen los conocimientos individuales sobre el mundo, y por
tanto, reconocemos que la ciencia es un producto social fruto de una aventura humana
(Fourez et al. 1997; Fourez, 2008, 2010).
En este sentido las teorías, los modelos, las nociones, y todo lo que constituye y articula
una disciplina científica son representaciones puestas a punto por los humanos y para
los humanos, con la intención de comprender su mundo.
Que nuestra perspectiva epistemológica tenga raíces en el socioconstructivismo socio-
histórico implica que consideramos que la construcción del conocimiento estandarizado
(física, biología, matemáticas, medicina, etc.) es una aventura humana que se desarrolla
y evoluciona en la historia, marcada por un lugar, unas preguntas y unas situaciones
(presión de factores sociales, económicos, políticos y culturales) (Fourez, 1997, 2008,
2010).
1.3.2 ¿Qué significa observar?
En consonancia con los trabajos de Fourez (1997) y Maslow (1979, 1991) descartamos
la existencia de información “pura
6
”, ya que toda información está previamente
organizada por nuestros conocimientos y por tanto, desestimamos la existencia de la
observación pasiva, neutra y desinteresada, ya que todo sujeto al observar interactúa con
el mundo desde su realidad biológica, psicológica y cultural, y por tanto toda
observación se hace siempre previamente desde una modelización que implica el
contexto del propio sujeto, los proyectos que sustentan su observación e incluso sus
destinatarios. Así, “una observación es la construcción de una representación o de un
modelo de una situación” (Fourez et al., 1997, p.64).
Así, por ejemplo, en la observación del conocimiento especializado de un profesor de
matemáticas, hay más que un “sujeto individual” en juego, hay una situación donde hay
seres humanos inmersos en un contexto social, con características psicológicas y
culturales, interesados en un proyecto (identificar, describir y comprender el
conocimiento profesional de un profesor con la mirada puesta en la mejora de la
educación matemática) y que desean poder discutirlo entre ellos.
Esta conciencia de la dimensión interpretativa de toda observación, implica que la
observación científica parte de una selección hecha en nombre de una perspectiva
particular (Fourez, 1997, 2008).
1.3.3 Revisión de la noción de objetividad
6
Siguiendo a Fourez (2008), el objeto que se observa no es un dato sino una construcción del sujeto que
organiza su mundo para poner en evidencia el objeto.
La percepción que tenemos del mundo es plenamente subjetiva, está marcada por las
interpretaciones y representaciones que elabora nuestro cerebro a través de los estímulos
que reciben nuestros órganos sensoriales, y modelada por la organización del mundo
que heredamos de nuestra cultura. En este sentido toda representación depende siempre
de los sujetos que la construyen, de los criterios que emplean a este efecto, y de sus
intenciones (Fourez, 1997, 2008).
Las nociones de objetividad y subjetividad están siempre vinculadas, sin embargo,
desde nuestra perspectiva la objetividad no puede significar ausencia de subjetividad y
debe ser interpretada desde una dimensión social. El establecimiento de criterios
comunes y convenciones en el marco de una institución social (comunidad científica) es
lo que permite realizar una descripción objetiva.
A pesar de que las representaciones de los sujetos presentan diferencias, y por tanto son
necesariamente subjetivas, consideramos que las “cosas” pueden ser descritas
objetivamente si la descripción se hace con referencia a los indicadores sobre los cuales
el observador se ha puesto de acuerdo con una comunidad científica, es decir, si se
realizan en base a un consenso social, siguiendo a Fourez “ser objetivo es respetar las
reglas de una subjetividad compartida” (Fourez, et al., 1997, p.174).
Así, por ejemplo, observar una secuencia de aula de un profesor de matemáticas, es
observar con los criterios definidos por la comunidad de los investigadores en didáctica
de las matemáticas. Pero los criterios de los investigadores en didáctica de las
matemáticas corresponden a una visión particular propia de esta comunidad y son por lo
tanto subjetivos.
1.3.4 Representaciones y modelos
Comprender, comunicar o actuar sobre una situación implica comenzar por construir
una representación o modelo
7
, más o menos elaborado, que simplifique la complejidad
del mundo; sin olvidar que ineludiblemente siempre nos aproximarnos a dicha situación
insertos en un contexto determinado y desde un proyecto preciso. Coincidimos de nuevo
con Fourez al entender que “el mundo no es perceptible más que por representaciones,
que toman el lugar de lo que es siempre más complejo que ellas” (Fourez et al., 1997,
p.155).
7
Así, por ejemplo, inferir que en tal acción, discurso o declaración de un profesor se pone en evidencia
una característica de su conocimiento profesional es modelizar, mientras que la noción de conocimiento
profesional es un modelo.
Ninguna situación obliga a formular una modelización determinada, y por ello, existen
una infinidad de maneras de modelizar una situación. De igual manera, ante una misma
situación, según el contexto y el proyecto, se puede recurrir a modelizaciones diferentes.
Especialmente interesantes resultan los modelos científicos, se trata de modelos
históricamente estandarizados o normalizados (Kuhn, 1972, creo que está referenciado
con 2006, pero no estoy seguro) por comunidades científicas que están socialmente
disponibles “para todos aquellos que los quieran aceptar” (Fourez et al., 1997, p.22).
Los modelos estandarizados que constituyen el conocimiento científico son modelos,
fruto del trabajo colectivo de reflexión y refinamiento, que han resultado exitosos,
debido a que se han revelado más eficaces para interpretar las situaciones en un
contexto y proyecto preciso. La estandarización de la ciencia, no es un proceso
desarraigado y puramente racional, se realiza “según lógicas sociales e involucra
referencias sociales, políticas económicas, estratégicas y culturales, es decir, también
ideológicas” (Fourez et al., 1997, p.23).
Sin embargo, aunque las modelizaciones estandarizadas no son necesariamente mejores
que otras, poseen un valor especial, el de facilitar la comunicación entre personas o
grupos que utilizan los mismos estándares (Fourez, 1997, 2008).
Creemos necesario hacer énfasis en el valor de los modelos y teorías en educación
matemática, así como en su naturaleza. Para la investigación reflejada en este
documento, tomamos como base los criterios propuestos por Schoenfeld (2000), para la
consideración de un modelo como tal, “poder descriptivo, poder explicativo, alcance,
poder predictivo, rigor y especificidad, falseabilidad, replicabilidad y triangulación”
(p.646). En base a estos criterios, y nuestro propio posicionamiento epistemológico, se
comenzó la reflexión teórica expuesta en el capítulo 4.
1.3.5 Criterios de verdad y justificación
Como grupo de investigación, entendemos necesario explicitar nuestro criterio de
justificación. Así, como criterio de verdad y justificación partimos de la lógica del
descubrimiento matemático propuesta por Lakatos (1978) basada en la prueba y
refutación, es decir, una visión de la construcción de la ciencia basada en la negociación
y aceptación.
Al igual que Latour (1989), creemos que la actividad científica es un proceso social, y
por tanto, toda producción científica (teorías, modelos y representaciones del mundo) es
presidida por una negociación donde se toman decisiones en un marco de riesgo,
relaciones de fuerza, tensiones y diversos grados de certidumbre
8
.
La negociación de una representación o modelo se realiza siempre en función del
proyecto que lo sustenta, en relación con los contextos donde se insertan, teniendo en
cuenta las exigencias ligadas a la naturaleza del objeto de estudio y a los destinatarios
de la comunicación; y para ello se seleccionan qué aspectos de la situación se van a
tener en cuenta y cuáles se van a obviar. Como remarca Latour (1989), estas
negociaciones son triangulares, se hacen entre humanos, pero también entre los
humanos y las “cosas” representadas por científicos.
Es importante señalar, que reconocer la existencia de una diversidad de puntos de vista,
es decir, creer en la relatividad de las representaciones teórica, no implica caer en el
relativismo ni en el anarquismo epistemológico, puesto que reconocer su existencia no
conlleva nivelarlas, ni suponer que todas las maneras de ver el mundo sean
equivalentes.
Creer en la relatividad de las representaciones teóricas
9
implica “sostener que la
fecundidad de un modelo depende del contexto y del proyecto para los cuales ha sido
concebido” (Fourez, 2008, p.32). Por ello, al igual que Quine (2001), entendemos que
las distintas representaciones de una situación deben evaluarse no solo en función de los
“objetos” de estudio, sino también en función de los proyectos para los que han sido
construidas y en función de los contextos donde se insertan; es precisamente a la luz de
dichos proyectos y contextos donde se pone de relieve su campo de validez, ya que
ciertas representaciones de una situación son más interesantes o adecuadas que otras
Fourez (2008, 2010).De manera que el valor de un modelo subyace, por tanto,
vinculado a las situaciones particulares donde su uso resulta interesante.
8
Coincidimos con Feynman (1990, p.286) cuando manifiesta que los diversos grados de certidumbre que
conforman el conocimiento científico “algunos son sumamente inseguros, algunos casi seguros, pero
ninguno es absolutamente cierto”.
9
Así, creer en la relatividad de las representaciones teóricas conducirá a decir, por ejemplo, que la
distinción entre el conocimiento matemático especializado para la enseñanza y conocimiento común es
interesante, pero solamente en función de ciertos contextos y proyectos.
Todo modelo es limitado y su campo de aplicación lo es igualmente, por ello desde esta
perspectiva diremos que el valor de un modelo es relativo al uso que se quiera hacer de
él, como concluyen Fourez et al. (1997) “las modelizaciones serán más o menos
adecuadas según lo que se quiera extraer de ellas” (p.61).
1.4
NATURALEZA DEL CONOCIMIENTO Y LA ACTIVIDAD
MATEMÁTICA
La necesidad de posicionarnos acerca de la naturaleza del conocimiento y la actividad
matemática, supera el deseo de contar con un elemento de referencia en el sustento
teórico y supone situarnos firmemente en un paradigma que dé congruencia al trabajo
que realizamos.
Las interpretaciones sobre conocimiento matemático se reflejan en las publicaciones
sobre educación matemática, que consideran diversas perspectivas sobre su naturaleza:
absolutismo o relativismo, prescriptiva (o normativa) y descriptiva (o naturalista); los
enfoques: logicista, formalista o intuicionista, o las tendencias surgidas en la segunda
mitad del siglo XX: el empirismo, el cuasi-empirismo, el convencionalismo y el
naturalismo. En el reconocimiento del contexto de la presente reflexión, la investigación
sobre la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas y considerando los diversos
enfoques y su relación con las posturas fundamentales, argumentamos nuestra adhesión
a una postura contextualizada sobre la naturaleza del conocimiento y de la actividad
matemática en la práctica educativa. En pocas palabras, se pretende tender un nexo
claro y congruente, desde una posición filosófica hasta una postura de enseñanza, que si
bien no encorseta las propuestas que pudieran trabajarse en el grupo a una metodología
de enseñanza específica, contribuya al acuerdo sobre las bases para un marco teórico
compartido.
En épocas recientes, principalmente a partir del desarrollo de las didácticas específicas
como bases de las metodologías de enseñanza, se ha puesto el acento en reconocer que
la tipología de los contenidos que se pretende que sean aprendidos, sugiere una
diferenciación metodológica de su enseñanza. Para el caso del conocimiento
matemático se reconocen, en general, dos formas extremas de concebir la matemática,
por un lado una concepción filosófica de la matemática denominada formalista y, por
otro lado, la epistemología constructivista.
El formalismo, concepción filosófica dominante en gran parte del siglo XX, ha
favorecido un desarrollo significativo de la estructura de la matemática actual. Este
reconocimiento del papel de la concepción formalista para atender y afrontar las
inconsistencias formales de la estructura de la matemática, ha dado realce a una forma
de presentar los conocimientos, de manera no afortunada para la propuesta educativa
(Moreno y Waldegg, 1992; Eingenheer, 1995).
El formalismo, “grosso modo", nos presenta a la matemática como un cuerpo
estructurado de conocimiento conformado por los objetos matemáticos, las relaciones
entre ellos y los criterios para validar resultados, dentro de un marco axiomático-
deductivo. Así:
“El formalismo exige extirpar el significado de los objetos a fin de trabajar
exclusivamente con las formas y con las relaciones entre dichos objetos que se derivan
de la base axiomática de las teorías” (Moreno y Waldegg, 1992, p.52).
Esta caracterización, productiva para la actividad matemática, como se ha mencionado,
favoreció el surgimiento de notables y variados resultados durante el siglo XX; por otro
lado, su influencia en lo educativo, producto de una vulgarización poco reflexiva,
difundió la concepción de que la matemática consiste simplemente en la manipulación
formal de símbolos no interpretados o en un raciocinio formal deductivo a partir de
cualquier presupuesto (Eingenheer, 1995).
La influencia del formalismo en la tarea educativa se ve acentuada por la influencia de
la era industrial, que aplica modelos mecanicistas a la enseñanza, generando una
fragmentación de los contenidos, producto de los principios de reduccionismo,
mecanicismo y análisis que caracterizan a esta etapa.
Como ejemplo de tal influencia en las actividades educativas, podemos mencionar que:
a) Las actividades de enseñanza no revelan el origen de ese conocimiento, no dicen
cuál fue la necesidad, la motivación o la intuición inicial.
b) Se trata de modelos que toman como punto de partida definiciones que son, en
realidad, el punto de llegada de un largo proceso de conocimiento.
c) Se promueve: la reducción a las partes, el mecanicismo de las reglas (haga así y
obtendrá el producto) y la pérdida de la visión del conjunto.
Una visión que contrasta con la expuesta es la que toma como base la postura
epistemológica del constructivismo, para la cual, la historia de la creación del
conocimiento matemático nos da cuenta de las múltiples motivaciones, necesidades y
métodos que sustentaron esa creación que, en realidad, fue rica y diversificada, tanto en
términos de contenido como de forma (Eingenheer, 1995).
La epistemología genética pone el acento en el proceso y no sólo en los conceptos
conseguidos. Así, el conocimiento matemático “es resultado de esta reflexión sobre
acciones interiorizadas (abstracción reflexiva). La matemática no es un cuerpo
codificado de conocimientos (así como la lengua no es el texto de su enseñanza) sino,
esencialmente, una actividad” (Moreno y Waldegg, 1992, p.31).
Dicha actividad estimula que el alumno construya su conocimiento en un proceso que
podría describirse como el paso de un estado a otro de mayor conocimiento, a través de
situaciones que les provoquen desequilibrios que favorecen la restructuración de sus
conocimientos (Sierpinska, 1990). Así, se puede examinar la construcción del
conocimiento matemático a lo largo de la historia para apreciar ciertos paralalelismos
con el proceso de construcción de los conocimientos por parte de los alumnos,
considerando esta perspectiva histórica equivalente a un laboratorio epistemológico
(Moreno y Waldegg, 1992).
A diferencia de la concepción formalista del conocimiento matemático, en la postura
constructivista:
a) El conocimiento es siempre contextual y nunca separado del sujeto.
b) Conocer consiste en construir significados asociados a su propia experiencia.
c) A lo largo del proceso constructivo —que es permanente— el estudiante
encuentra situaciones que cuestionan el “estado” actual de su conocimiento y le
obligan a un proceso de reorganización; con frecuencia el estudiante se ve
obligado a rechazar, por inviable, mucho de lo que ya había construido (Moreno y
Waldegg, 1992).
Aunque reconocemos que el conocimiento matemático presenta, en su estado final de
construcción, un alto nivel de abstracción y generalidad; una naturaleza esencialmente
deductiva que se valida mediante un proceso interno de demostración y que este
carácter deductivo le permite una estructura altamente integrada y jerarquizada; que se
apoya en un lenguaje formal específico, que busca la precisión, el rigor, la abreviación y
la universalidad; reconocemos que “las matemáticas tienen también una dimensión
menos abstracta y descontextualizada, más funcional y relacionada con la resolución
de problemas prácticos en situaciones concretas, más pragmática y situada” (Barberá y
Gómez, 1996; citado por Serrano, Parra y Padilla, 2011).
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NUESTRAS
CONCEPCIONES
SOBRE
LA
ENSEÑANZA
Y
EL
APRENDIZAJE
DE
LAS
MATEMÁTICAS
José Carrillo, José Luis Huitrado, Diana Vasco, Diana Zakaryan y Luis Carlos
Contreras
2.1
INTRODUCCIÓN
Como ya hemos señalado en el capítulo anterior, en nuestra consideración, toda
actividad de investigación, respecto de la enseñanza, requiere de un posicionamiento
epistemológico explícito que fundamente, al menos, de qué hablamos cuando nos
referimos al aprendizaje y qué podemos reconocer como actividad de enseñanza. Este
posicionamiento compartido aporta elementos para la congruencia y cohesión de los
productos de investigación.
Cuando hablamos de aprendizaje pensamos en el que aprende; principalmente, en las
actividades físicas y operaciones mentales que realiza para aprender, en cómo accede al
conocimiento. Asimismo, asumimos que cierto aprendizaje puede producirse, y de
hecho en ocasiones se produce, de manera independiente de los procesos de enseñanza.
Mientras que algunos utilizan esta idea para ilustrar un aparente divorcio entre la
enseñanza y el aprendizaje, nosotros pensamos que el aprendizaje es posible en la
autonomía y que, incluso, se aspira a desarrollar en los alumnos la capacidad de
aprender de manera independiente. Sin embargo, nuestra postura considerada en el
presente planteamiento se orienta al reconocimiento del valor de la enseñanza,
identificando las acciones del profesor (o del sistema educativo) que favorecen que el
aprendizaje sea más eficaz, organizado y productivo. Así, nuestra alusión al aprendizaje
se refiere a aquel que se produce en las actividades formales de la enseñanza; esta
decisión nos permite, por una parte, situar las actividades de docentes y alumnos en
situaciones intencionadas a la producción de los aprendizajes y, en este sentido,
coincidimos con Altet (2005) en que la enseñanza es “una práctica relacional con una
finalidad precisa, puesto que enseñar es hacer aprender, y la enseñanza no existe sin su
finalidad de aprendizaje” (p.38); por otra parte, nos permite reconocer una
correspondencia en la naturaleza de las actividades desarrolladas por docentes y
alumnos; nos referimos a la simetría entre los procesos de enseñar y aprender (Kaye,
1982, citado en Monereo, 1994). Bajo estas consideraciones nuestro planteamiento
considera de manera natural la integración de los procesos de enseñanza y aprendizaje y
sólo acentúa la atención en uno de ellos respecto de requerimientos sumamente
específicos.
Los apartados que siguen muestran nuestra visión sobre la matemática escolar y sus
procesos de enseñanza y aprendizaje. En el primero de ellos expondremos nuestro
posicionamiento epistemológico acerca de la matemática escolar, lo que implica
describir la naturaleza de la actividad matemática en el aula y analizar las características
de su aprendizaje. También abordaremos nuestro significado de lo que supone ser
matemáticamente competente. En el segundo mostraremos nuestras concepciones
acerca de la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas junto con lo que para nosotros
caracteriza una buena práctica.
2.2 EL APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS
2.2.1 La naturaleza de la actividad matemática del aula
En la discusión actual sobre cómo enseñar matemáticas se reconoce una variedad de
posturas sustentadas, en menor o mayor medida, sobre posicionamientos filosóficos,
psicológicos y epistemológicos muy diversos. Estos posicionamientos suponen
concepciones sobre la naturaleza del conocimiento matemático, la forma en que
funciona la mente de los demás y cómo se produce el conocimiento, e influyen
fuertemente en las decisiones que tomamos en el acto de enseñar, principalmente
respecto de: la forma de estructurar los contenidos, la naturaleza de las actividades
propias de la enseñanza, los recursos y materiales (su naturaleza y uso), el rol que
desempeñan tanto profesores, como alumnos y la forma en que evaluamos los
conocimientos de los alumnos. Nuestra postura, al respecto de estas actividades de
enseñanza y aprendizaje, parte de nuestra perspectiva constructivista y reconoce que, en
las actividades de enseñanza, dicha perspectiva suele tomar matices muy diversos y que
difícilmente podemos reconocer en las acciones de los profesores una postura
completamente pura.
Para fundamentar nuestra adopción de una postura constructivista del aprendizaje de las
matemáticas, bastaría con reconocer lo que apreciamos como aprendizaje; en este
sentido promovemos una diferenciación entre lo solamente memorizado y lo
comprendido, entre la adquisición de conocimiento frágil y la comprensión (Perkins,
1992), entre el poder expresar definiciones, postulados, principios, procedimientos y
algoritmos, sin mucho éxito en su aplicación, y pensar y actuar ante situaciones diversas
con base en lo que se sabe.
En consecuencia, concebimos propuestas de enseñanza que, de alguna manera, se
derivan de los postulados de la epistemología genética y que podríamos denominar de
corte constructivista, las cuales se articulan en torno a dos ideas: la construcción del
conocimiento y la naturaleza del mismo (Moreno, 1998).
De acuerdo con Kilpatrick (1987), el constructivismo basa sus resultados en dos
premisas principales, que el conocimiento se construye activamente por el sujeto
cognoscente, no pasivamente recibido del entorno, y que llegar a conocer es un proceso
adaptativo que organiza el mundo experiencial de uno; no se descubre de un
independiente y preexistente mundo fuera de la mente del conocedor.
Desde una perspectiva amplia, dentro del posicionamiento epistemológico
constructivista, reconocemos como positivo que, en términos generales, durante las
actividades de aprendizaje de las matemáticas en el aula, se promuevan actividades que
reflejen los siguientes principios:
• Las situaciones propuestas deben conducir a una génesis escolar del conocimiento
(Block y Papacostas, 1986). La acción (física o mental) precede siempre al
conocimiento, el conocimiento nace en su forma funcional (como herramienta) y
después cobra su forma cultural.
• El profesor debe imaginar y proponer a los alumnos situaciones que ellos puedan
vivir y en las cuales puedan desarrollar estrategias que les conduzcan al
conocimiento a través de la búsqueda de soluciones de los problemas propuestos
(Brousseau, 1986).
• El profesor debe favorecer la discusión sobre los procesos de resolución de los
problemas formulados y brindar la oportunidad de discernir
10
entre los diferentes
puntos de vista (Lerner, 1996), de forma que el pensamiento de sus alumnos gane
en flexibilidad (Bono, 1987).
10
La discusión entre las diferentes perspectivas con que se puede abordar una situación supone, como dice
Bono (1987) metafóricamente, “ponerse el sombrero” del otro, y por tanto es una acción en la que no solo
se comparte conocimiento, sino también emociones.
• El proceso de aprendizaje debe de promover la evolución del conocimiento
mediante reformulaciones sucesivas del concepto tratado hasta alcanzar un
conocimiento próximo al saber socialmente establecido (Lerner, 1996).
• El trabajo intelectual del alumno debe ser, en ciertos momentos, comparable a esta
actividad científica, exigiéndole que intervenga, que formule, que pruebe, que
construya modelos, lenguajes, conceptos, teorías, que los intercambie con otros,
que reconozca los que están conformes con la cultura, que tome los que le son
útiles, etc. (Brousseau, 1986). Es la metáfora del niño como científico (Puche,
2001), que asume que el proceso de aprendizaje debe ser coherente y, de alguna
manera homotético, al proceso de construcción del conocimiento.
• El conocimiento se construye en una comunidad de práctica donde un gestor
ayuda a convertir en tangibles los procesos implícitos (y, muchas veces,
informales) de evolución del conocimiento en la organización educativa,
tejiéndose una estructura formal que permite adquirir más conocimiento a través
de las experiencias compartidas dentro del grupo, las cuales hay que detectar,
poner en evidencia y reformular (Wenger, 2001).
2.2.2 Epistemología de la matemática escolar: la indagación como caracterizadora
Sostener una posición constructivista del aprendizaje de la matemática supone aceptar
algunos principios fundamentales que responden al cuestionamiento de ¿cómo se
aprende matemáticas? Dichos principios le dan sentido a la problematización, elemento
compartido por las propuestas que se desprenden de esta postura.
Toda postura epistemológica concibe una forma de construir el conocimiento; en el caso
del constructivismo, para Piaget, “los conocimientos no se apilan, no se acumulan, sino
que pasan de estados de equilibrio a estados de desequilibrio, en el transcurso de los
cuales los conocimientos anteriores son cuestionados. Una nueva fase de equilibrio
corresponde entonces a una fase de reorganización de los conocimientos, donde los
nuevos saberes son integrados al saber antiguo, a veces modificado (cf. Piaget)”
(Charnay, 1994, p.58).
Así como se sostiene que no hay nada en el intelecto del estudiante que no sea
resultado de una construcción, también se afirma que “Sólo hay aprendizaje cuando el
alumno percibe un problema para resolver… es decir cuando reconoce el nuevo
conocimiento como medio de respuesta a una pregunta… Lo que da sentido a los
conceptos o teorías son los problemas que ellos o ellas permiten resolver” (Charnay,
1994, p.59).
Nuestra postura reconoce la diversidad de tendencias de enseñanza y aprecia aquellas en
las que la actividad se orienta a un aprendizaje activo, donde los alumnos aprenden
enfrentándose a situaciones que promueven la reestructuración de sus conocimientos
previos.
Esto nos sitúa en las puertas de la indagación como caracterizadora de la actividad
matemática del aula. Sin embargo, consideramos necesario explicitar algunos rasgos
fundamentales de la indagación, pues podría confundirse con la tendencia a solicitar de
los alumnos la búsqueda de información, la respuesta a preguntas cerradas o el simulado
descubrimiento de las características o propiedades de procedimientos predeterminados;
nosotros en cambio apreciamos la actividad del aula que promueve una atmósfera de
investigación en la que los alumnos han de implicarse, de forma que les permita
enfrentar situaciones para responder a sus propias inquietudes.
Indagar es resolver problemas, es enfrentarse a situaciones problemáticas, es reconocer
regularidades y generalizarlas; bajo esta postura el aula se constituye en el espacio
propicio para la resolución de problemas, para la búsqueda de respuestas a las
inquietudes. Pero nos equivocaríamos si afirmáramos que la sola actividad de
resolución de problemas produce el aprendizaje, y no porque es obligado reconocer que
otras vías para el aprendizaje son posibles, sino porque, para que ese aprendizaje se
produzca, es preciso que las actividades de indagación provengan de una selección
teleológica, que los estudiantes y el profesor interaccionen y compartan significados,
que los aprendizajes individuales sean institucionalizados, que se busquen hueco en la
red semántica que el aprendiz tenía al comienzo, modificándola, enriqueciéndola.
2.2.3 El aprendizaje matemático y la competencia matemática
Kilpatrick, Swaford y Findell (2001) utilizan la noción mathematical proficiency
(pericia o competencia matemática) que abarca experiencias, conocimientos,
competencias y facilidad en las matemáticas para describir lo que a su parecer es
necesario para que cada individuo se desenvuelva con las matemáticas con éxito. De
este modo, determinan cinco componentes (strands)
11
de mathematical proficiency:
- “Comprensión conceptual (conceptual understanding) – comprensión de los
conceptos, operaciones y relaciones.
- Fluidez de procedimientos (procedural fluency) – destreza en el cumplimiento de
los procedimientos con fluidez, eficacia y apropiadamente.
- Competencias estratégicas (strategic competence) – habilidad para formular,
representar y resolver problemas matemáticos.
- Razonamiento flexible (adaptive reasoning) – capacidad para el razonamiento
lógico, la reflexión, la explicación y la justificación.
- Disposición productiva (productive disposition) – inclinación habitual de ver las
matemáticas como algo con sentido, útil y valioso, junto con la creencia en la
eficacia y la predisposición propia” (p.116).
Estas cinco componentes no son independientes, sino que constituyen diferentes
aspectos de un todo complejo. Compartimos con sus autores la interrelación e
interdependencia de estas cinco componentes en el desarrollo de la mathematical
proficiency.
La determinación de estas componentes se basa sobre todo en las aportaciones de las
teorías cognitivas que postulan que la competencia en el área de investigación depende,
no del conocimiento meramente almacenado, sino del conocimiento mentalmente
representado y organizado (conectado y estructurado), de manera que facilite
apropiadamente su activación y aplicación. Además, los estudios en resolución de
problemas han documentado la importancia de la experiencia de adaptación (adaptive
expertise) y de la metacognición: conocimiento acerca de su propio pensamiento y la
habilidad de administrar su propia comprensión y la actividad de la resolución de
problemas (Kilpatrick, et al., 2001). En la misma línea, según Schoenfeld (1992), el
éxito de un resolutor al resolver problemas matemáticos se debe a la presencia de las
11
El marco que proporcionan estas cinco componentes para discutir los conocimientos, destrezas, habilidades y
creencias que constituyen mathematical proficiency, tiene similitudes con el que ha sido empleado en la evaluación
organizada por National Assessment of Education Progress (NAEP). En esta evaluación, que anteriormente había
considerado tres habilidades matemáticas (comprensión conceptual, procedimental y resolución de problemas), han
añadido especificaciones adicionales respecto al razonamiento, conexiones y comunicación. Se ha prestado la mayor
atención al papel de las representaciones mentales, es decir, a cómo los estudiantes representan y conectan unidades
de conocimiento, vistos como un factor clave en cuanto a su comprensión profunda y la capacidad de usar tal
conocimiento en la resolución de problemas(Kilpatrick, 2001).
siguientes cuatro componentes: recursos (conocimiento matemático), estrategias
heurísticas, control y sistemas de creencias; añadiríamos en concordancia con Hannnula
(2012), la componente afectiva, en sus aspectos cognitivos, motivacional y emocional.
Cabe destacar el paralelismo entre un resolutor eficiente y una persona competente en
matemáticas. Aunque la actividad matemática no se limita a la resolución de problemas,
sin embargo, es aquella en la cual la competencia se manifiesta con más evidencia. Es
decir, en general, nos aproximamos a la competencia matemática de alguien según
cómo se enfrenta con la resolución de problemas complejos. Por tanto, para nosotros
existe una relación muy estrecha (de ida y vuelta) entre ser competente en matemática y
ser capaz de resolver problemas.
Es evidente el consenso entre diferentes autores y organismos respecto a los aspectos
esenciales de la competencia matemática: se trata de un sólido dominio de
conocimientos y destrezas matemáticas; de la capacidad de plantear y resolver
problemas en situaciones nuevas empleando diferentes estrategias; de la habilidad para
conjeturar, argumentar, justificar y razonar matemáticamente, unidas a una disposición
o actitud positiva hacia las matemáticas que esas habilidades conllevan.
De este modo, la noción de competencia, entendida como la capacidad de afrontar
situaciones nuevas y complejas, movilizando varios procesos cognitivos
(conocimientos, habilidades o actitudes), va más allá de una conducta o ejecución,
supone que al elegir algo que hacer se sabe por qué se hace. En este caso está presente
el componente comprensivo o reflexivo de la competencia.
Para quienes la comprenden en este sentido es obvio que los conocimientos se
encuentran en el meollo de la competencia; cuando hablamos de una persona
competente suponemos que posee conocimientos, nunca es ignorante y, aún más, sabe
qué conocimiento usar y cómo usarlo, y comprende por qué lo usa.
2.3
CÓMO CONCEBIMOS LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS
Coherente con esta concepción dinámica de la matemática (Ernest, 1989, 1991), como
Resolución de problemas, donde la esencia está en las estructuras conceptuales, que
conforman un conocimiento sometido a revisión constante, su finalidad es el desarrollo
de capacidades intelectuales del ser humano y su evolución es dinámica, basada en la
resolución de problemas, nos posicionamos en una tendencia investigativa para su
enseñanza (Carrillo y Contreras, 1994, 1995; Contreras y Carrillo, 1998). Desde esta
perspectiva, vemos al profesor como promotor de la adquisición de conocimientos a
través de la investigación mediante una organización dinámica de los contenidos. Le
interesan los conceptos, el desarrollo de procedimientos y el fomento de actitudes
matemáticas. Concebimos un profesor que cree que se aprende investigando, por lo que
estima necesario que el alumno otorgue significado a lo que aprende, haciéndole
consciente de su propio proceso de aprendizaje, para lo cual organiza la actividad del
aula (interna o externamente) hacia la búsqueda de respuestas a determinados
interrogantes, en una actitud de co-responsabilidad del aprendizaje. Este profesor,
experimentador interactivo del contenido y de los métodos, ha de provocar la curiosidad
de aquél conduciendo la investigación hacia la consecución de aprendizajes,
promoviendo para ello una comunicación reflexiva e instructiva (Carrillo, Climent,
Gorgorió, Rojas y Prat, 2008
12
), al otorgar oportunidades a los alumnos para reflexionar
sobre las relaciones entre los tópicos matemáticos, e integrar sus ideas.
En esta misma línea, concebimos la evaluación como un sensor permanente del
aprendizaje que permite reconducirlo en cada momento, orientando la enseñanza hacia
los aprendizajes previstos a través de contextos más apropiados, con la intención de
medir el grado de implicación del alumno y la significatividad de sus aprendizajes. El
diagnóstico inicial, pensamos que debe poner de relieve todos aquellos aspectos del
conocimiento del alumno (conceptos, procedimientos, actitudes, teorías implícitas,
concepciones,...) que, de una u otra manera, puedan influir en el proceso de enseñanza-
aprendizaje. El proceso de aprendizaje permitirá al alumno contrastar su conocimiento
ofreciéndole vías para su adecuación y progresión, lo que supone una postura
compartida en la validación del conocimiento puesto en juego. Admitimos la validez de
una evaluación final (examen) como un instrumento educativo con el que conseguir una
doble finalidad: de aprendizaje, en la medida en que es considerado como una actividad
individual inserta en el proceso de creación de conocimiento del alumno, y de control
(uno más) de dicho proceso.
12Responsabilidad del aprendizaje: implicación cognitiva del estudiante en las actividades matemáticas, puede
presentar diferentes grados: transmisión, ceder responsabilidad del profesor hacia el alumno, co-responsabilidad.
Comunicación promovida: puede ser unidireccional, contributiva, reflexiva o instructiva.
Validación del conocimiento: admitir o crear consenso sobre algo, de modo que permita el progreso del aprendizaje;
puede ser hecha por el profesor, por el profesor y los alumnos o solamente por los alumnos.
En definitiva, la tendencia investigativa, en la que nos posicionamos, tiene como
principio didáctico caracterizador la investigación, integrando las aportaciones de la
psicología constructivista y una concepción compleja de la realidad educativa.
Entendemos que otras tendencias (como la tecnológica o espontaneísta) suponen
intentos parciales de abordar los problemas del currículum tradicional que, si bien
suponen aportaciones significativas en determinados aspectos, también generan nuevos
problemas inherentes a ese carácter parcial. Así, la tendencia tecnológica aporta un
conjunto de criterios racionales para planificar con rigor la intervención, pero olvida la
necesaria incorporación de los alumnos al conjunto del proceso, que no pueden asumir
la responsabilidad de su aprendizaje en un modelo donde la trasmisión del profesor se
ve tan solo interrumpida por puntuales cesiones de responsabilidad. Prescribe criterios
valiosos para asegurar una dirección del aprendizaje, pero prescinde de criterios
relativizadores que hagan posible la negociación de experiencias y significados en el
aula. Además, la comunicación promovida es unidireccional o a lo sumo contributiva,
sin profundizar demasiado en aquello que se comparte y teniendo un interés de
naturaleza correctiva, lo que impide un mayor grado de profundización en la
exploración del conocimiento. Finalmente, es el profesor el único responsable de validar
el conocimiento, estableciendo lo correcto o incorrecto sin detenerse en situaciones que
propicien compartir los significados de lo aprendido.
La tendencia espontaneísta, por el contrario, aporta una visión democratizadora de la
dinámica escolar, pero olvida el carácter intencional de la enseñanza y la necesaria
orientación que el profesor ha de ejercer. Pretende que los alumnos sean protagonistas
de su aprendizaje, en una cesión de responsabilidad casi total, pareciendo ignorar que
una necesaria, adecuada y difícil tarea de dirección por parte del profesor es
imprescindible. La comunicación promovida es habitualmente contributiva, pero la
cesión de responsabilidad difícilmente permite un grado de reflexión sobre el
conocimiento movilizado y carece de finalidad instructiva al no integrar las
contribuciones de los alumnos ni las ideas de los estudiantes. En la tendencia
espontaneísta parece olvidarse que se pueden negociar los significados, pero no el
conocimiento en sí, y eso repercute en una ausencia de validación del conocimiento
adquirido.
La tendencia investigativa no está ausente de problemas prácticos y dilemas. En efecto,
la filosofía que subyace en la tendencia investigativa es la del aprendizaje a través de la
resolución de problemas (que corresponde a uno de los indicadores esenciales de esta
tendencia), y uno de los primeros problemas prácticos se derivan del difícil equilibrio
entre aprender a resolver problemas y aprender resolviendo problemas (Puig, 1992),
conjugando adecuadamente la resolución de problemas como contenido, medio, método
y aplicación del conocimiento.
Otra gama importante de conflictos surgen derivados de la gestión del aula (ritmos de
aprendizaje, conexiones conceptuales, control de los procesos individuales,
temporalización,...) y los cambios importantes que implica en la responsabilidad a
asumir por los alumnos, acostumbrados a procesos educativos que han potenciado la
heteronomía intelectual.
En otro nivel, se encuentran los dilemas ante los que se puede situar el profesor: ante las
presiones del contexto educativo (padres, otros profesores o el propio sistema) o ante
situaciones de validación externa (pruebas de acceso a la universidad, paso de
Secundaria a Bachillerato, pruebas de diagnóstico, pruebas PISA...) con patrones más
difíciles decompatibilizar con el esquema metodológico utilizado.
2.3.1 Elementos de buena práctica
Cualquier caracterización de buena práctica (de modo análogo a lo que afirma
Schoenfeld, 2011, en relación con la caracterización de profesor experto) es,
ineludiblemente, una caracterización subjetiva, que se corresponde con una visión
subjetiva (aunque compartida) del mundo (cosmovisión). Ello lleva implícito una visión
de la enseñanza, del papel de la escuela en la sociedad, del papel del profesor en el
proceso de enseñanza-aprendizaje, del papel del alumno en dicho proceso, del sentido
de autoridad, de las relaciones personales y un largo etcétera que permite detallar lo que
podríamos considerar una concreción del pensamiento y de una filosofía de vida.
También lo es de quien trata de responder o aproximarse a responder y a comprender
qué es una buena práctica, cómo debe ser la práctica del profesor para que la
consideremos buena.
Es evidente que nuestro posicionamiento respecto de la naturaleza de la actividad
matemática del aula, así como respecto de los aspectos que acabamos de mencionar,
particularmente nuestro posicionamiento en relación con las tendencias didácticas,
especialmente el papel del profesor y el alumno, es decir, nuestra visión de las
dimensiones presentadas en este capítulo, determinan o moldean lo que entendemos por
buena práctica.
Asumimos la caracterización presentada en Climent y Carrillo (2007), fruto del trabajo
de un grupo (denominado PIC, Proyecto de Investigación Colaborativa) integrado por
profesores universitarios y no universitarios y dedicado a la reflexión sobre la propia
práctica y a su mejora desde una concepción investigativa de la enseñanza. Se
caracteriza una buena práctica por la variedad de focos matemáticos, entre los cuales el
razonamiento y la resolución de problemas sean relevantes, el uso frecuente de
contextos realistas en las actividades matemáticas, que deben inducir un aprendizaje
significativo, y el uso de estrategias didácticas que consideren los conocimientos
previos y donde la exploración sea frecuente, tengan en cuenta la motivación del
alumnado y la importancia de las ayudas del profesor para apoyar el aprendizaje sin
menoscabar la responsabilidad del alumnado en su aprendizaje. Esta caracterización se
basa en cuatro dimensiones: el foco matemático de la lección, las tareas matemáticas, la
estrategias didácticas implementadas (procedentes de Andrews, 2005
13
), y la gestión por
parte del profesor de la participación de los alumnos en las tareas matemáticas
(procedente de Carrillo et al., 2008).
Junto a esta caracterización que podemos considerar estática, es preciso considerar una
caracterización dinámica, que nos proporcione elementos de mejora en la comprensión
de la práctica, la cual identificamos con el incremento en la pericia del profesor y, por
consiguiente, como detonante de una mejor práctica (Carrillo y Climent, 2011). En
Carrillo y Climent (2011) se presentan 14 indicadores que permiten informar de la
mejora en la comprensión de la práctica por parte del profesor. Estos indicadores
proceden de Climent (2005):
13Foco matemático: se refiere a los objetivos subyacentes en las acciones y en la toma de decisiones del profesor.
Puede haber más de un foco en cada episodio en una lección o, incluso, puede no existir foco para un episodio en
particular. El foco puede ser Conceptual, Derivacional, Estructural, Mecánico, Eficiente, de Resolución de Problemas
o de Razonamiento.
Estrategias didácticas: Los profesores utilizan diferentes estrategias didácticas o pedagógicas en función de las
diferentes condiciones y contextos, para facilitar la capacidad de sus estudiantes para comprender y utilizar las
matemáticas. A excepción de la actividad didáctica de compartir las propias ideas, la cual consiste en un acto público
explícito todas las estrategias podían ser vistas tanto en sus dos contextos tanto público (el grupo clase) como privado
(trabajo individual). Las estrategias pueden ser: Activación del conocimiento previo, Ejercitación del conocimiento,
Explicación, Expresión de las propias ideas, Exploración, Entrenamiento (coaching), Valoración/Evaluación,
Motivación, Formulación de preguntas o Diferenciación.
Tipos de tareas: En las tareas propuestas por el profesor, distinguimos los diferentes grados de complejidad de las
mismas por el tipo de procesos cognitivos que se activan en los estudiantes para llevarlas a cabo. Otro aspecto
importante, al tratar las tareas propuestas por el profesor, son situaciones y contextos en los cuales se plantean las
tareas.
(1) La comprensión del profesor del proceso de aprendizaje matemático se amplía por
la inclusión de más variables a su interpretación de dicho proceso.
(2) La comprensión del profesor del proceso de enseñanza de las matemáticas se
amplía por la inclusión de más variables a su interpretación de dicho proceso.
(3) El profesor establece nuevas conexiones entre variables en su interpretación del
proceso de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas.
(4) El profesor se hace más consciente de los contenidos matemáticos que enseña.
(5) El profesor se hace más consciente de por qué enseña (matemáticas).
(6) El profesor se hace más consciente de cómo enseña matemáticas.
(7) El profesor aprende nuevas estrategias y modos de acción para conseguir
objetivos determinados en la enseñanza de las matemáticas.
(8) El profesor reflexiona sobre su actuación en el aula (y los aspectos incluidos en 5,
6 y 7).
(9) El profesor está más dispuesto a explicitar las razones y propósitos de su
enseñanza y las decisiones que toma.
(10) El profesor crea conexiones entre los constructos teóricos y sus acciones y
creencias manifestadas en el aula, dotándolas de mayor significado.
(11) El profesor adquiere un discurso profesional que le permite pensar sobre la
enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas y expresarse con mayor precisión.
(12) El profesor gana consciencia de sus puntos fuertes y sus áreas de mejora.
(13) El profesor planifica modos de continuar aprendiendo sobre la enseñanza y el
aprendizaje de las matemáticas.
(14) El profesor formula nuevas cuestiones sobre la enseñanza y el aprendizaje de las
matemáticas, o reformula cuestiones anteriores.
Conviene aclarar que los indicadores dinámicos guardan una relación indirecta con los
indicadores estáticos. Mientras que aquellos nos hablan mayoritariamente de aspectos
actitudinales y de consciencia, los estáticos toman un partido inequívoco por
características identificables en un profesor con tendencia investigativa. En nuestra
experiencia en el PIC (antes mencionado), constatamos una mejor comprensión de la
práctica que desembocó en una práctica con muchos rasgos de lo que hemos
caracterizado como buena práctica.
2.4
REFERENCIAS
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EL
CONOCIMIENTO
DEL
PROFESOR
PARA
LA
ENSEÑANZA
DE
LA
MATEMÁTICA
Nuria Climent, Dinazar Escudero-Ávila, Nielka Rojas, José Carrillo, M. Cinta Muñoz-
Catalán, Leticia Sosa
3.1
EL
CONOCIMIENTO
PROFESIONAL
VISTO
DESDE
EL
DESARROLLO
PROFESIONAL
El interés fundamental en nuestra trayectoria de investigación (en lo que se refiere a
conocimiento del profesor) ha sido el desarrollo profesional del profesor (Climent,
2005; Muñoz-Catalán, 2009; Ribeiro, 2010), entendiendo que incluye la formación
inicial del futuro profesor (Carrillo, Coriat y Oliveira, 1999). Pretendemos que el MTSK
nos sirva como marco analítico para comprender mejor el conocimiento del profesor de
matemáticas (qué conoce, cómo, qué le posibilita, qué necesita), lo que nos permitiría
diseñar propuestas de formación (inicial y continua) consistentes con dichas
necesidades.
Podemos ver el conocimiento profesional como sustento del desarrollo del profesor (lo
posibilita) y como producto de dicho desarrollo (enriquecimiento del conocimiento
profesional).La reflexión sobre la práctica, en un sentido amplio de práctica (no sólo la
que transcurre en el aula), se nutre, entre otros, del conocimiento del profesor. Éste
interviene en los aspectos en los que el profesor se fija, cómo los contempla, y qué
genera de la reflexión sobre ellos. Por otra parte, el producto de ese aprendizaje es, en
parte, conocimiento. En Carrillo y Climent (2011) describíamos el desarrollo
profesional del profesor en términos de: añadir variables o establecer nuevas relaciones
entre variables para interpretar el proceso de aprendizaje de la matemática; el aumento
de conciencia sobre qué contenidos matemáticos enseña, para qué y cómo; el
cuestionamiento de su actuación y establecimiento de relaciones con constructos
teóricos; aprendizaje de estrategias para conseguir determinados fines en la enseñanza
de la matemática; o aumento en la competencia en hacer explícitas sus decisiones,
adquiriendo un discurso profesional que le permite pensar de forma más estructurada
sobre la enseñanza y aprendizaje de la matemática, y comunicarlo. Estos indicadores
ponen el énfasis en algunos aspectos que consideraremos en el MTSK (relaciones entre
conocimientos; relaciones entre conocimiento experiencial y teoría; conocimiento
consciente y comunicable -discurso-; conocimiento sobre qué enseñar, para qué y cómo;
o conocimiento de estrategias de enseñanza).
Nuestro referente principal en el conocimiento profesional, desde el desarrollo
profesional, es el profesor reflexivo (que toma cierta distancia de la práctica,
analizándola de forma sistemática, tanto de modo individual –Schön, 1983, 1987-, como
de forma compartida –Keiny, 1994). Su conocimiento (en el sentido de comprensión de
la práctica –Krainer, 1999) permite al profesor “mirar con sentido” (Mason, 2002),
pudiendo identificar problemas de la práctica (preguntas sobre las que construir
respuestas provisionales). El referente de profesor desde nuestra perspectiva del
desarrollo profesional es el resolutor de problemas profesionales (relacionados con la
enseñanza-aprendizaje de la matemática –esto es, considerando la especificidad de los
mismos respecto de la enseñanza de la materia, Jaworski 1996, 1998; Climent, 2005),
incluyendo como parte fundamental la formulación de los mismos y su refinamiento. La
tendencia didáctica investigativa (referida en el capítulo 2, como referente en las
concepciones del profesor) enlaza con el resolutor de problemas profesionales
(“investiga en y sobre la acción”, es uno de los indicadores con que se describe la
tendencia en Carrillo, 1998).
3.2
CONTENIDO
DEL
CONOCIMIENTO
PROFESIONAL
El MTSK se enmarca dentro de una larga tradición de investigaciones que se han
preocupado por examinar, con fines analíticos, cuál es el contenido del conocimiento
del profesor, entendiendo que los modelos que se construyen no pretenden reflejar cómo
se organiza el conocimiento del profesor, sino cómo puede enfocarse (para investigar
sobre él o pensar sobre él de cara a su desarrollo).
Nuestra comprensión del contenido del conocimiento del profesor es heredera de la
contribución de Shulman (1986,1987), respecto de su llamada de atención sobre la
especificidad del conocimiento profesional en relación con la materia a enseñar
(Sánchez, 1996) y su distinción de una componente referida al conocimiento de
contenido de la materia a enseñar (para nosotros MK) y otra componente relativa al
conocimiento didáctico del contenido a enseñar (PCK).
Además, en lo que se refiere al MK, recoge la denuncia de que el conocimiento de
contenido matemático que necesita el profesor es distinto que el que necesita otro
profesional o el que se necesita para la vida diaria (Ball, 2000), configurándose en un
modo distinto de conocer la materia. Se trata de un modo de comprensión profunda de
los contenidos ligada a la comprensión de su aprendizaje y enseñanza, lo que le confiere
su carácter especializado (en el sentido atribuido en el MTSK al conjunto del
conocimiento del profesor que se considera en el modelo). Como es evidente, el
principal referente en nuestra creación del MTSK es el MKT –Mathematical
Knowledge for Teaching (Ball, Thames y Phelps, 2008) (que supone un refinamiento y
expansión de las ideas de los escritos de Ball de alrededor de la década de los 90 –e.g.
Ball, 1991, 2000). En el capítulo 4 presentaremos con detalle el modelo MTSK. Con el
objeto de familiarizar al lector con sus bases, introducimos a continuación brevemente
el modelo MKT.
En el MKT se considera el conocimiento del profesor para la enseñanza de la
matemática estrechamente ligado al contenido matemático y se evidencia a partir de
situaciones de enseñanza (de ahí su denominación). Son diferenciadas subdimensiones
del conocimiento del contenido y del conocimiento didáctico del contenido (referido a
la matemática), agrupadas en dos grupos de tres. Tres de ellas (el conocimiento común
del contenido, el conocimiento especializado del contenido y el conocimiento del
horizonte matemático) corresponderían al conocimiento de la materia (en términos de
Shulman y otros autores), mientras que las tres restantes (el conocimiento matemático y
de la enseñanza, conocimiento matemático y del aprendizaje, y conocimiento
matemático y del currículo) se asocian al conocimiento didáctico del contenido
(especialmente las dos primeras dimensiones citadas).
Las aportaciones fundamentales del modelo del MKT se encuentran en las dimensiones
referidas al conocimiento de contenido. Por un lado, se perfila la diferencia entre el
conocimiento matemático que necesita el profesor (conocimiento especializado del
contenido) y el que necesita otro usuario de la matemática (conocimiento común -
dependiendo del contenido podría ser un ciudadano cualquiera instruido en ese
contenido o un matemático u otro tipo de especialista que necesita utilizar un
conocimiento matemático avanzado pero no necesita enseñarlo). La especialización, por
tanto, se refiere a la tarea de la enseñanza, no a lo avanzado del conocimiento
matemático necesario. Por otro lado, toma cuerpo la idea de la importancia del
conocimiento de la estructura de la materia, en el sentido de relaciones entre los propios
contenidos, y relaciones con otros contenidos de otras materias. Esto último queda
reflejado en el conocimiento del horizonte matemático
14
.
Brevemente, basándonos en Ball, Thames y Phelps (2008), retomamos la definición de
cada dimensión:
CCK
15
(conocimiento común de contenido): el conocimiento del contenido que el
profesor tiene en común con otros usuarios de la matemática.
SCK (conocimiento especializado del contenido): el conocimiento del contenido que
sólo se necesita para enseñar. Involucra un tipo de matemáticas descomprimidas que no
es necesaria o incluso no es deseable en otros entornos que no sean la enseñanza (Ball
et al., 2008, p. 400).
HCK (conocimiento del horizonte matemático): Es la conciencia de cómo los tópicos
matemáticos están relacionados con otros del currículo (Ball et al., 2008, p. 403).
KCS (conocimiento del contenido y los estudiantes): es un conocimiento que combina
saber sobre los estudiantes y sobre la matemática. Es lo que permite a los profesores
anticipar e interpretar cómo piensan y aprenden los alumnos respecto de las tareas y
contenidos matemáticos.
KCT (conocimiento del contenido y la enseñanza): es un conocimiento que combina
saber sobre la enseñanza y sobre la matemática. Recoge, por ejemplo, el conocimiento
sobre representaciones del contenido.
KCC (conocimiento del contenido y el currículo): conocimiento del propio currículo de
matemáticas, qué se propone y sugiere en cada curso/nivel.
Nos interesa especialmente el modelo del MKT porque considera la especificidad del
conocimiento respecto de la matemática, porque tiene potencial para ser usado como
herramienta analítica en la investigación sobre el conocimiento del profesor y para
orientar la formación del profesor, y porque supone un avance en el trabajo de Shulman,
manteniendo su esencia. Finalmente, da soporte a la consideración de un conocimiento
14
En Ball (1991) se asignaban tres criterios al conocimiento sustantivo de los profesores: corrección,
significado y conexión, pudiéndose ver el reflejo del conocimiento común, especializado y del horizonte
matemático, respectivamente.
15
Hemos mantenido las siglas correspondientes al término en inglés, por facilitar la referencia a
documentos originales.
matemático complejo, por parte del profesor, aun cuando éste imparte en la Educación
Primaria, o incluso en los primeros niveles de escolarización. De este modo, el
conocimiento especializado y el conocimiento del horizonte del MKT, subrayan que la
diferencia entre matemática elemental y avanzada no debe entenderse asociada al
conocimiento matemático del profesor de Primaria y de Secundaria o niveles superiores,
respectivamente.
El reconocimiento de la complejidad del conocimiento matemático del profesor da
cuerpo al trabajo de Ma (1999) sobre lo que denomina una comprensión profunda de las
matemáticas fundamentales:
… es más que una sólida comprensión conceptual de la matemática elemental,
es la consciencia de la estructura conceptual y las actitudes básicas de la matemática
inherentes en la matemática elemental y la habilidad para aportar un fundamento para
tal estructura conceptual […] Una comprensión profunda de la matemática tiene
amplitud (capacidad de conectar un tópico con tópicos de similar o menor poder),
profundidad (capacidad de conectar un tópico con aquellos de mayor potencia
conceptual) y rigurosidad (capacidad de conectar todos los tópicos) (p. 124).
Un elemento clave en esta comprensión profunda es el conocimiento de la estructura
matemática subyacente a los contenidos y la capacidad para relacionar éstos con ideas
principales de la materia y entre sí. El contenido se comprende inserto en un núcleo de
contenidos en el que se incluyen principios básicos de la materia, que aportan
justificación conceptual y sustantiva.
3.3
N
ATURALEZA
:
ALGUNAS CARACTERÍSTICAS DEL CONOCIMIENTO PROFESIONAL Y SU
CONSIDERACIÓN EN LA GENERACIÓN DEL
MTSK
Y EN LA INVESTIGACIÓN SOBRE ÉSTE
Algunas de las características que hemos asociado en otros trabajos (Climent, 2005) al
conocimiento profesional del profesor son: personal, contextualizado, integrado y
complejo, práctico, dinámico, y parcialmente tácito
16
. Brevemente, explicaremos lo que
entendemos por cada una de estas características:
16
A éstas se añadían social y crítico, que no hemos considerado aquí al no ver su reflejo claro, tal como
estaban consideradas, en el MTSK.
Personal: El conocimiento profesional del profesor es propio del individuo y diferente
del de otro profesor; depende de sus concepciones, valores y actitudes, recoge su
experiencia (tanto docente como vital).
Contextualizado: se genera ligado a contextos profesionales y dichos contextos pasan a
formar parte de ese conocimiento.
Integrado y complejo: integrador de diversos saberes, constituyendo un sistema en el
que los elementos son difíciles de aislar.
Práctico: El conocimiento del profesor es un conocimiento para la práctica y que se
nutre de la misma. Cobra sentido en la acción y la experiencia docente es una de sus
fuentes de generación principales. Ahora bien, esa experiencia, en sí misma, no
constituye aprendizaje, sino que debe ir acompañada de una reflexión teórica. Con ésta
nos referimos al análisis crítico de la experiencia por parte del profesor y al apoyo y la
búsqueda de principios más generales que respalden dicho análisis. Tres pilares parecen
fundamentales: experiencia, reflexión y respaldo teórico (Carrillo, 1999).
Dinámico: cambiante, en evolución continua (Elbaz, 1983). El conocimiento del
profesor crece a través de las interacciones con los alumnos, las experiencias
profesionales y las propias experiencias personales.
Parcialmente tácito: El conocimiento práctico común es, para Schön (1983, 1987), un
conocimiento tácito o saber desde la acción. Este conocimiento tácito se desarrolla
sobre todo con la experiencia. La reflexión desde la acción puede permitir convertir
saber desde la acción en conocimiento desde la acción –o teoría desde la acción-
(consciente).
Algunas de las características señaladas sustentan la comprensión del conocimiento del
profesor que encierra el MTSK, otras nos llevan a consideraciones metodológicas de
cara a la investigación.
Como hemos señalado, el propósito fundamental del desarrollo del MTSK y de nuestra
investigación sobre éste es comprender qué conocimiento tiene/necesita el profesor (en
general en el segundo caso, un profesor particular en el primer caso). Ese objetivo alude
en sí mismo a una consideración de lo idiosincrático de cada profesor (el carácter
personal de su conocimiento). Además, en el caso de la investigación sobre profesores
concretos, buscamos comprender los matices de su conocimiento, así como la
interrelación con sus concepciones.
Parte de ese conocimiento personal, es recogido en forma de imágenes (Clandinin y
Conelly, 1988) o de casos (Shulman, 1986), ligado a experiencias y a los contextos
donde se ha desarrollado. Podemos ver esta consideración en aspectos del MTSK
considerados en la dimensión del PCK (ligados a situaciones de enseñanza y
aprendizaje de la matemática) y en la dimensión del MK (ligados a situaciones de
práctica matemática)
17
.
De la complejidad y carácter integrado del conocimiento profesional somos conscientes
en nuestra comprensión de los modelos de análisis del conocimiento de profesor como
artificios analíticos, que más que mostrar una realidad, nos ayudan a diseccionarla para
comprenderla. Como mencionábamos en el epígrafe anterior, asumiéndolo, hacemos un
esfuerzo por desglosar sus partes, para poder considerarlo con más detalle.
Vislumbramos que consideraremos dicho carácter integrado y su papel en el
conocimiento y la práctica del profesor, en el estudio de las interrelaciones entre los
distintos subdominios/categorías/sub-categorías del MTSK (en investigaciones sobre
MTSK de profesores). Además, conjeturamos que la riqueza de estas interrelaciones son
evidencias de un MTSK más rico, en la línea de conjuntos integrados de conocimiento
(package de Ma, 1999, o complejos de conocimiento de Sherin, Sherin y Madanes,
2000).
Algunas categorías de los subdominios del MTSK (en el PCK) recogen explícitamente
lo que para nosotros supone considerar el carácter práctico del conocimiento
profesional. Entendemos que el conocimiento del profesor sobre el aprendizaje de los
contenidos matemáticos y sobre su enseñanza pueden ser fundamentados (dando cabida
a la que provenga de la reflexión sobre la práctica, que puede interaccionar con otras
fuentes, incluyendo las disciplinares y metadisciplinares, dando como fruto teorías
prácticas del profesor -Azcárate, 1999). Aunque no haya mención explícita en las
categorizaciones de los subdominios del MK, entendemos que el profesor también
aprende MK de la práctica (en sentido amplio, no sólo en el aula); esto es, el
conocimiento matemático del profesor se transforma, junto con su conocimiento
didáctico del contenido, con la práctica.
17
En el PCK, por ejemplo, en relación con formas de pensamiento de los estudiantes o en el
conocimiento de actividades. En el MK, en el conocimiento de formas de proceder en matemáticas (por
ejemplo, respecto de la demostración).
3.4
ALGUNAS
CONSIDERACIONES
PARA
EL
ACERCAMIENTO
METODOLÓGICO
EN
LA
INVESTIGACIÓN
SOBRE
MTSK
DEL
PROFESOR
Algunas de las características citadas del conocimiento profesional nos llevan a
consideraciones en el diseño metodológico de las investigaciones sobre MTSK. En
concreto, nos referimos a su carácter dinámico y parcialmente tácito, y a que también se
almacena o toma la forma de cápsulas/amalgamas de conocimiento práctico, donde es
evidente la integración de conocimiento relativo a distintos subdominios (casos o
imágenes de la práctica). En lo relativo al conocimiento tácito, aunque el conocimiento
fundamental que consideramos en nuestras investigaciones es el conocimiento explícito
(que el profesor puede comunicar, argumentar), podemos inferir un posible
conocimiento tácito del profesor, por ejemplo de su actuación. Éste se contrastaría con
su discurso sobre su actuación. En algunos casos el profesor puede hacer explícito el
conocimiento que sustenta dicha actuación, lo que nos permitirá tener constancia del
mismo, pasando de la inferencia a la argumentación sobre la comprensión del profesor.
En caso contrario, se mantendría en el terreno hipotético, si bien el investigador puede
mostrar argumentos que apoyen su hipótesis. La consciencia del profesor de su
conocimiento supone para nosotros un conocimiento de distinto nivel del conocimiento
tácito. En este sentido podemos hablar de conocimiento tácito (habla de su grado de
consciencia), informal (habla de su precisión en relación con su formulación, con su
comunicabilidad) y experiencial (habla de su origen), con relaciones sobre todo entre
los dos primeros. En el caso de la transformación de saber desde la acción (tácito) en
conocimiento desde la acción (consciente) en ambos casos se alude a un conocimiento
que proviene de la experiencia docente.
3.5
ALGUNAS
NOTAS
SOBRE
EL
APRENDIZAJE
DEL
PROFESOR
En este documento no nos ocuparemos de cómo aprende el profesor, dado que, en este
momento, más que interesarnos cómo se genera el conocimiento profesional, nos
interesa qué lo constituye. En concordancia con nuestra visión del conocimiento
profesional desde el desarrollo profesional, definimos “aprender” (el profesor) en el
sentido de enriquecimiento de su conocimiento profesional, en el deseo de dar sentido a
situaciones de enseñanza y aprendizaje de la matemática:
… el aprendizaje ha tenido lugar cuando se disciernen detalles, reconocen
relaciones, y perciben propiedades que antes no se discernían, a través de atender de
un modo “fresco” o distinto, y cuando se tienen posibilidades nuevas de acción de las
cuales elegir. El aprendizaje necesariamente envuelve cambios en la forma así como en
el foco de la atención (Mason, 2010, p.24),
En nuestra consideración del conocimiento profesional en el MTSK nos ocupamos
sobre todo del conocimiento que posee un profesor (como individuo). Podemos
encontrar aspectos de este conocimiento derivados o reflejo de la práctica social, en el
propio MK, las creencias del profesor y en el PCK:
El trabajo social de comunidades de profesores son productivas de creencias,
prácticas, propósitos y objetivos, no sólo las reflejan (Lerman, 2001).
3.6
EL
PROFESOR
EXPERTO
Y
SU
CONOCIMIENTO
PROFESIONAL
En la década del 70, los trabajos en la línea de formación de profesores se encaminaron
a identificar factores sobre la eficacia docente (Marcelo, 1987; Llinares, 1991; Brown y
Borko, 1992). Se generó un amplio interés en explorar las características de expertos,
basándose en la comparación de particularidades de profesores expertos y noveles
(Berliner, 2004).
Los primeros estudios aspiraban a identificar relaciones y a encontrar conexiones entre
la enseñanza en el aula y el aprendizaje de los estudiantes. Estos estudios son descritos
como investigaciones proceso-producto, donde son observados los aspectos puntuales
de la actuación del profesor mientras enseña (proceso), que describen un mejor
rendimiento de los estudiantes (producto); determinando la eficacia docente en relación
con la conducta del profesor.
Luego, debido al realce de la psicología cognitiva y el constructivismo, los estudios se
focalizan en los cambios en la estructura cognitiva del sujeto, introduciéndose
elementos sobre el procesamiento de la información y la adquisición del conocimiento.
Aparece así el paradigma del pensamiento del profesor que busca conocer cuáles son
los procesos de razonamiento que ocurren en la mente del docente durante su actividad
profesional (Marcelo, 1987). El eje de los estudios son los procesos psicológicos que
apoyan los comportamientos, dejándose atrás la conducta.
La conceptualización de profesor experto es amplia y los criterios para seleccionar a los
docentes con cierto grado de pericia quedan a juicio, normalmente, de los investigadores
(Schoenfeld, 2011). Por ejemplo, un profesor puede describirse como experto según
variadas dimensiones, tales como sus cualidades académicas, años de experiencia en el
trabajo, consenso entre pares, evaluación basada en alguna tarea o evaluación del
dominio de conocimiento en su área (Chi, 2011). También pueden considerarse las
cualidades de cada sujeto, como por ejemplo sus habilidades, capacidad innata o su
índice de especialización. Sin embargo, dentro de las caracterizaciones de profesores
expertos, el conocimiento es un componente importante en las diferencias entre expertos
y novatos.
Leinhardt, Putnam, Stein y Baxter (1991) identifican que los profesores con una mayor
comprensión de los temas escolares que enseñan (conocimiento del contenido), tienen
mejores resultados en su práctica profesional. Además, los profesores expertos de
matemáticas generan mayores conexiones entre los contenidos y elaboran estructuras
conceptuales más complejas. Igualmente, Ma (1999) encontró que los profesores
experimentados, sujetos de su investigación, tienen una comprensión más profunda de
las matemáticas elementales, conectan distintos contenidos entre sí y vinculan los
principios básicos de la materia con otros contenidos.
En la literatura se destaca el conocimiento de los estudiantes como una de las partes más
desarrollada en la práctica de los profesores expertos (Yang, 2014). Aquellos docentes
con cierta pericia conocen las capacidades cognitivas de sus estudiantes, establecen las
dificultades que se presentan al abordar ciertos contenidos, se anticipan a los errores que
pueden cometer los estudiantes y a su vez son hábiles para modificar sus estrategias de
enseñanza cuando es necesario (Berliner, 2004).
El estudio reciente de Yang (2014), sobre profesores expertos, identifica que los
docentes con cierta pericia tienen una base de conocimiento profundo y amplio, que
incluye: el conocimiento de las matemáticas (de las distintas ramas de la disciplina y el
proceso de desarrollo de las matemáticas) y una fuerte capacidad de resolución de
problemas; el conocimiento de teorías educativas y psicológicas (de instrucción,
aprendizaje, cognitivas y curriculares); el conocimiento de los estudiantes, es decir, el
profesor ha de conocer las características de sus alumnos, los hábitos de aprendizaje, las
personalidades, las fortalezas, las debilidades, etc. También, el conocimiento de los
estándares curriculares, que incluye tener una imagen clara y completa de los textos
escolares no solo del nivel de enseñanza, saber diseñar pruebas y saber cómo evaluar el
aprendizaje de los estudiantes; y, por último, un profesor experto debe tener un amplio
conocimiento en otros campos.
A lo largo de su desarrollo profesional un profesor va enriqueciendo e integrando
distintos elementos de conocimiento que lo hace beneficiario de cierta pericia. Por tanto,
trabajar con profesores expertos puede permitir profundizar en una de las áreas
prioritarias de la línea de investigación de formación de profesores, que es el
conocimiento del profesor.
La comprensión de la pericia lleva a los investigadores en educación a dedicar una
mayor atención a los conocimientos de los docentes expertos y en la organización que
presentan dichos conocimientos en su práctica (Li y Kaiser, 2011; Yang, 2014). Bajo
esta línea de trabajo estamos desarrollando investigaciones sobre el conocimiento
especializado de profesores de matemática expertos, al enseñar contenidos específicos,
estudios que inicialmente nos han permitiendo vislumbrar los conocimientos de los
profesores en su acción docente y ejemplificar con episodios de clases reales los
subdominios de conocimiento del modelo MTSK (Rojas, Carrillo y Flores, 2012).
Para el grupo de investigación es de gran interés interpretar mejor el trabajo del
profesor, profundizar en su naturaleza y establecer relaciones entre los conocimientos de
los profesores. En general, comprender la enseñanza de expertos es la clave para el
desarrollo profesional “si uno sabe qué encierra la enseñanza experta, esperaría
encontrar formas de ayudar a que los profesores desarrollen tales competencias”
(Schoenfeld, 2011, p.333).
3.7
CONTEXTOS
DE
DESARROLLO
PROFESIONAL.
LA
INVESTIGACIÓN
COLABORATIVA
COMO
CONTEXTO
DE
DESARROLLO
PROFESIONAL
Un proceso de desarrollo profesional basado en una reflexión exclusivamente individual
del profesor sería muy limitado (Day, 1993). El desarrollo profesional suele venir
provocado por algo externo, y es necesario que el profesor experimente y reflexione
sobre otras ideas y modelos de enseñanza.
El trabajo en entornos colaborativos puede presentar las ventajas de que se aúnan
esfuerzos en pro de objetivos comunes, con lo que la determinación para conseguirlos es
mayor, el profesor se siente más seguro para desarrollar innovaciones, el trabajo se
enriquece con la variedad de perspectivas, se tiene más fuerza ante los obstáculos y se
profundiza en la reflexión y el aprendizaje mutuos (Boavida y Ponte, 2002). Estos
beneficios no son una cualidad inherente a los grupos colaborativos, sino que podrán
darse en distinta medida en función de sus características y funcionamiento.
Entre los entornos colaborativos, aquellos en los que se integran profesores e
investigadores-formadores pueden ser especialmente beneficiosos para el desarrollo
profesional de sus componentes, promoviendo vínculos entre teoría y práctica,
profesores e investigadores, escuela y universidad (Climent, 2005; Climent y Carrillo,
2003; Muñoz-Catalán, 2009; Raymond y Leinenbach, 2000). Jaworski (2004a), debido
a la complejidad de la enseñanza de la matemática, propone la investigación conjunta
entre profesores y formadores de profesores como modo de promover formas más
profundas de comprensión en la comunidad de desarrollo del profesor.
Nuestra investigación sobre el desarrollo profesional del profesor en el PIC
18
nos ha
permitido estudiar la potencialidad y limitaciones de este modelo en función de sus
características. Describimos el contexto del PIC basándonos en la triada de enseñanza
de Jaworski (1992, 1994) (inspirados en la extensión del mismo al contexto de la
formación de profesores de matemáticas realizada por Zaslavsky y Leikin, 2004) y la
noción de triángulo educativo (con los vértices profesor, estudiantes y matemáticas -o
contenido en general). De este modo podemos considerar el siguiente triángulo de
desarrollo profesional representado en la figura 1 (Carrillo y Climent, 2009).
En este triángulo, el vértice formadores-investigadores destaca la principal actividad de
los investigadores en el grupo, si bien no debe ser olvidado su papel de co-aprendices
(Jaworski, 2001). De hecho, uno de los beneficios de este modelo lo constituye el hecho
de potenciar el desarrollo profesional de los formadores-investigadores. En este caso, el
contenido foco de atención es el propio triángulo educativo.
18
El PIC (Proyecto de Investigación Educativa) es un grupo constituido por profesores e investigadores
del área de Didáctica de la Matemática de la Universidad de Huelva, que trabaja desde el curso 1999-
2000, bajo distintos proyectos de investigación de la Consejería de Educación de la Junta de Andalucía.
En líneas generales, el objetivo del trabajo del PIC es el desarrollo profesional de sus componentes y la
investigación sobre ello.
Figura 1.Triángulo de desarrollo profesional
Los entornos de investigación colaborativos que integran profesores e investigadores
presentan diversas problemáticas, algunas de ellas de dimensiones morales-éticas y
relativas a las relaciones de poder entre los distintos grupos de participantes. Desde la
investigación se han establecido distintas dimensiones para analizar dichos entornos y
clasificaciones de los mismos en función de sus características. Detrás de estos análisis
subyacen cuestiones como qué puede ser considerado una colaboración real y cuándo se
puede decir que es equitativa (Feldman, 1993). Sin detenernos en un análisis detallado
de la cuestión, extraemos aquí aquellas características que asociamos a modelos de
colaboración como el PIC, que proponemos como modelo de desarrollo profesional,
basándonos en nuestra investigación y otros referentes teóricos,. Si consideramos las
clasificación de Wagner (1997), se trataría de una colaboración consistente con el tipo
de co-learning agreements, en la que prácticos e investigadores comparten
responsabilidad y poder tanto en el diseño de investigación como en el proceso, aunque
no desempeñen los mismos roles y objetivos. El papel de los investigadores-formadores
(cuya definición es crucial en esta problemática) comparte, como refiere Jaworski
(2004b), rasgos del outsider (citado por Jaworski, 2004b, en referencia al trabajo de
Bassey, 1995), en cuanto a su interés en la práctica de otro (los otros profesores) y del
insider al integrar el interés mencionado con el de su propia práctica como formador de
profesores. Feldman (1993) discute las características de una investigación colaborativa
equitativa en función del grado de intervención de profesores e investigadores en el
diseño de la investigación, la definición de objetivos (considerándose los intereses de
todos), la detección de problemas, la recogida de datos y el análisis de los mismos, el
Formadores-
investigadores
Profesores
TRIÁNGULO EDUCATIVO
Profesor
Estudiantes Matemáticas
grado en que se comparten y discuten los resultados, la satisfacción de todos los
participantes respecto de sus necesidades, la participación en la publicación de los
resultados de la investigación, y relación horizontal (no jerárquica) entre los distintos
colectivos. En Climent y Carrillo (2003), discutíamos con detalle cada una de las
características anteriores en relación con el PIC. En síntesis, los entornos colaborativos
de desarrollo profesional e investigación, como los que proponemos, aprovechan la
pericia de cada colectivo y cada individuo que lo compone en diferentes ámbitos. Como
señala Muñoz-Catalán (2009), aunque los roles y objetivos son diferentes para cada
práctico-investigador, el elemento que define a esta relación es que todos logran un
aprendizaje orientado hacia la propia práctica, que se adquiere en la relación de
mutualidad; de ahí el término del co-learning. Cada miembro del grupo es responsable
no sólo de su propio aprendizaje, sino del de sus compañeros.
Además de la problemática señalada, la colaboración presenta otras dificultades: su
imprevisibilidad (con lo que hay que adaptar constantemente su diseño), las diferencias
derivadas por los diferentes colectivos (de intereses, modos de trabajo, culturas
profesionales…), la necesidad de equilibrar costes y beneficios, y el riesgo de caer en la
autocomplacencia (Boavida y Ponte, 2002). Como señalan estos autores, la
colaboración no es un valor en sí mismo, sino un medio posible y deseable para resolver
problemas concretos y reales.
En entornos colaborativos como los descritos la reflexión compartida (joint reflection,
Ticha y Hospesová, 2006) juega un papel crucial. Permite al profesor desarrollar
competencia para la reflexión individual, siendo incluso más decisiva en el caso de los
profesores noveles, dadas la dificultades que encuentran para reflexionar sobre su
práctica (Goodell, 2006; Muñoz-Catalán, 2009). La reflexión de profesores expertos
puede aportarles las destrezas de las que ellos carecen, guiándoles hacia un análisis más
completo de las situaciones de aula y actuando como modelos de práctica reflexiva
(Muñoz-Catalán, Carrillo y Climent, 2010).
La reflexión compartida es una práctica relacional y cognitiva, en la que comunicación
y cognición están ligadas dialógicamente. El diálogo, que se desarrolla a través de
interacciones y es mediado semióticamente, no se considera una secuencia de actos
discursivos individuales, sino una secuencia de actividades con el propósito de
establecer comprensión mutua de los tópicos objeto de discusión. A través del estudio
de las interacciones de los profesores, dentro de un grupo colaborativo de profesores,
podemos analizar las construcciones de significado de éstos dentro del marco de la
construcción compartida (Muñoz-Catalán, Carrillo y Climent, 2010), accediendo de este
modo a su desarrollo profesional en relación con el contexto colaborativo. Se concibe el
desarrollo del profesor, por tanto, desde la perspectiva del constructivismo social
(Ernest, 1996). Los profesores se desarrollan a través de procesos que afectan a lo
individual y a través de sus interacciones con otros, en un proceso de interpretación
constante de conocimiento construido socialmente.
Nuestro foco en las investigaciones desarrolladas ha estado puesto en los procesos
individuales de construcción que contribuyen a la construcción compartida. Hemos
estudiado dichos procesos analizando las interacciones desde una perspectiva dialógica
(Linell, 1998), aplicada fundamentalmente a la componente epistemológica de los
procesos relacionales (Muñoz-Catalán, 2009).
8.
RELEVANCIA
DE
LA
INVESTIGACIÓN
SOBRE
EL
CONOCIMIENTO
DEL
PROFESOR
Han existido leyes educativas que, como la LOGSE (1990) en España, organizaron el
fruto de una reflexión compartida por varios estamentos, particularmente la reflexión
del profesorado. Hay otras leyes que, desde los despachos ministeriales, norman la
futura acción de la enseñanza y el aprendizaje a espaldas de la opinión de los
participantes en esa acción. Pero, sea como fuere, el profesorado media entre la
administración y la situación de aula, entre el centro escolar y los padres y madres de
los alumnos, entre el saber y la construcción del conocimiento en la escuela.
Matemáticas, alumnos y profesor comparten un escenario, con la intervención de otros
elementos, en el que el profesor es responsable de facilitar el acercamiento del
alumnado a las matemáticas, un acercamiento que, desde nuestro punto de vista, es
individual y colectivo, y basado en un proceso de construcción de significados.
La investigación sobre el conocimiento del profesor, tanto el que posee, como el que
puede considerarse idóneo, debería constituirse en elemento a considerar en las
reflexiones sobre los planes de estudio y de formación del profesorado, todo ello en
función de las pretensiones de la sociedad en relación con sus ciudadanos más jóvenes.
La administración educativa debería ser quien proyectara los deseos de una sociedad en
continua evolución, y debería transformar los resultados de las evaluaciones a las que se
somete (por ejemplo, PISA) y los de las que ella misma organiza en variables a
considerar para mejorar el conocimiento del profesorado y su competencia y desarrollo
profesional.
La sociedad en general muestra sus anhelos y objetivos, la administración debería ser
sensible a ellos y estructurar su actuación para acometer un proceso que conduzca a
lograrlos. En ese proceso, el profesorado es imprescindible, relevante. Su conocimiento,
incluyendo sus concepciones y creencias, sus emociones y afectos, sus motivaciones,
desempeñan un papel crucial que debería estar impulsado por la administración
educativa y por la sociedad en su conjunto. La valoración social del profesorado,
mediada por la valoración de la administración educativa, debería incrementarse,
considerando al profesorado como lo que es, el principal ayudante que posee el ser
humano social para desarrollar sus capacidades intelectuales y sociales.
3.8.1 Para el conocimiento del área de Didáctica de la Matemática
El área de Didáctica de la Matemática (o Matemática Educativa) está integrada por
profesores e investigadores que se ocupan de la Educación Matemática como disciplina
científica, uno de los tres sentidos que Rico y Sierra (2000) distinguen en Educación
Matemática, junto al sentido referido “al conocimiento matemático como objeto de
enseñanza y aprendizaje” (p. 81) y al referido “al análisis y estudio de las condiciones
para la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas” (p. 81), donde añaden que “parte
importante de este ámbito se refiere al conocimiento y desarrollo profesional de los
profesores de matemáticas” (p. 81). Es evidente que estos tres sentidos de la Educación
Matemática se hallan imbricados, aunque corresponden a propósitos, focos y prácticas
diferenciadas.
La investigación sobre el conocimiento del profesor hemos de situarla en el dominio de
la investigación en Educación Matemática, con una intrínseca relación con la evolución
de la disciplina científica, al tiempo que una relación de reciprocidad con el campo del
conocimiento y el desarrollo profesional del profesorado de matemáticas. Es en este
campo donde se relacionan la investigación y la formación del profesorado, nutriéndose
mutuamente, siendo la formación tanto campo de implementación de los avances
investigadores, como ámbito de planteamiento de problemas para la investigación.
Ya en 1992, el Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning
(Grouws, 1992) dedicó una de sus cinco partes, compuesta por siete capítulos, a la
enseñanza de las matemáticas, enfocando los capítulos 7, 8, 10 y 11 directamente al
profesor, particularmente el capítulo 8, titulado “Teachers' Knowledge and Its Impact”
(Fennema y Franke, 1992).
El Second Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning (Lester,
2007) también dedicó una de sus seis partes a los profesores y la enseñanza, destacando
el capítulo 4, titulado “Assessing Teachers' Mathematical Knowledge: What Knowledge
Matters and What Evidence Counts?” (Hill, Sleep, Lewis y Ball, 2007).
Aunque estructurado de un modo diferente a sus predecesores, en el Third International
Handbook of Mathematics Education (Clements, Bishop, Keitel, Kilpatrick y Leung,
2013) podemos encontrar capítulos orientados al conocimiento y Desarrollo profesional,
como “Linking Research to Practice: Teachers as Key Stakeholders in Mathematics
Education Research” (Kieran, Krainer y Shaughnessy, 2013) y “Teachers Learning
from Teachers” (White, Jaworski, Agudelo-Valderrama y Gooya, 2013).
Los congresos también se han hecho eco de la relevancia que posee la investigación
sobre el conocimiento del profesor. En el Handbook of Research on the Psychology of
Mathematics Education. Past, Present and Future (Gutiérrez y Boero, 2006), se dedica
un capítulo, titulado “Mathematics Teachers’ Knowledge and Practices” (Ponte y
Chapman, 2006), al conocimiento del profesor, donde se comentan las comunicaciones
sobre este campo realizadas en el PME hasta la fecha. Este capítulo es coherente con el
hecho de que Teacher beliefs, Teacher knowledge and practice, y Teacher profesional
development son categorías de investigación para el envío de informes de investigación
a este congreso.
Análogamente, es habitual que en los congresos, como el propio PME o como ICME,
RELME, CIBEM, SEIEM o CERME existan grupos de trabajo, grupos de discusión o
foros donde se presente, se trabaje y se discuta sobre el conocimiento del profesor de
matemáticas. Conviene recordar que en el PME 33, Ball, Rowland y Davis (2009)
discutieron sus modelos de conocimiento del profesor de matemáticas en uno de los
Research Forum.
En la SEIEM existe, desde sus comienzos, un grupo dedicado a la investigación sobre el
profesor llamado “Conocimiento y desarrollo profesional del profesor de matemáticas”.
Asimismo, fruto de las investigaciones de estos, el grupo publicó un libro coordinado
por Contreras y Blanco (2002) y un monográfico en el número 61 de la revista
Investigación en la escuela.
En el CERME también existe el grupo “From a study of teaching practices to issues in
teacher education” desde sus orígenes. En este grupo se han presentado diversas
comunicaciones sobre el conocimiento del profesor. En el último CERME, celebrado en
Turquía en 2013, una sesión completa de este grupo se dedicó a la discusión del modelo
MTSK a través de 4 comunicaciones, junto a otras comunicaciones sobre el MKT.
Otra muestra de la importancia que la investigación sobre (conocimiento de) el profesor
posee es la creación de la revista Journal of Mathematics Teacher Education en 2001,
así como la publicación en Sense Publishers de cuatro volúmenes sobre el profesor,
destacando el titulado “Knowledge and beliefs in mathematics teaching and teaching
development” (Sullivan y Wood, 2008).
Asimismo, en revistas como Teaching and Teacher Education, Relime, Bolema,
Educational Studies in Mathematics o Enseñanza de las Ciencias son frecuentes los
artículos sobre este campo de investigación.
Dentro de esta línea de trabajo, los investigadores han establecido distintos focos de
interés a partir de los cuales intentan aportar evidencia empírica y teórica que permita
profundizar en la comprensión y análisis de la labor del profesor como profesional de la
educación matemática. Sánchez (2011) propone una clasificación de los principales
intereses de investigación en los que los grupos de investigación se han enfocado entre
1999 y 2009, haciendo una revisión de publicaciones en las principales revistas y
congresos de algunos de los grupos y reuniones mencionadas anteriormente,
clasificándolas en cinco grupos:
• Creencias, puntos de vista y concepciones de los profesores: Se engloban
trabajos sobre comprensión de las creencias de los profesores, relación entre las
creencias de los profesores y su práctica, y cambios en las creencias de los
profesores.
• La práctica de los profesores: Investigaciones interesadas en la observación
directa en el aula (en acción) puesto que se asume una suposición de que este es el
momento más importante en el proceso de enseñanza.
• La relación entre teoría y práctica: Se interesa por el análisis de las relaciones
entre teoría y práctica, tomando como base que la teoría se asocia a los
investigadores y la práctica a los profesores.
• Pensamiento reflexivo: Investigaciones que se ocupan de los profesores o
formadores de profesores que reflexionan y aprenden de sus propias experiencias.
Se asocian a estos trabajos los términos de reflexión, la actitud reflexiva, reflexión
crítica, la reflexión conjunta y la auto-reflexión.
• El conocimiento y las habilidades de los profesores: Se busca investigar acerca
del tipo de conocimientos y habilidades necesarios para ser un “buen” profesor de
matemáticas. Además de identificar y comprender las demandas de conocimiento
que tiene el profesor para así intentar dar respuesta a ellas.
Dentro de cada uno de estos enfoques encontramos una variedad de herramientas que
pretenden ser útiles para identificar, desarrollar o analizar, desde diferentes
perspectivas, al profesor como profesional. Esto nos permite dimensionar la importancia
de esta línea de trabajo y la variedad de intereses y enfoques que existen para abordarla,
así como las necesidades que los investigadores tienen de encontrar herramientas que
les permitan indagar cada vez más profundamente en la práctica del profesor. Por su
parte el MTSK atiende a varios de estos intereses de manera integrada.
Poniendo como foco principal, el interés por comprender la naturaleza del conocimiento
del profesor de matemáticas, este modelo pretende ofrecer al investigador que lo utiliza,
una herramienta de sistematización del conocimiento profesional que posee el profesor
y separarlo (de manera artificial y con fines analíticos), en seis subdominios, para poder
así caracterizar cada uno de ellos de manera profunda y establecer posibles relaciones y
repercusiones que cada tipo de conocimiento tiene con los otros.
La intención de poner como centro del gráfico del modelo las creencias sobre
matemáticas y sobre la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas del profesor,
responde a la búsqueda de una imagen cada vez más precisa sobre su práctica, puesto
que coincidimos con Ponte (2012) que señala que para comprender una práctica de
enseñanza es preciso comprender cuáles son las concepciones que subyacen a la misma.
El impacto de las creencias de los profesores sobre su práctica ha sido uno de los
intereses más notorios de la investigación en didáctica de la matemática (Skott, 2006),
por lo que el MTSK considera las creencias como una componente que permite al
investigador considerar la relación entre las concepciones sobre la matemática, su
enseñanza y su aprendizaje, y el conocimiento del profesor, el que tiene y el que utiliza
para su labor. Así, actualmente trabajamos en la búsqueda de elementos que nos
permitan identificar y sistematizar dichas relaciones.
Con respecto a la visión del grupo en lo que se refiere a la práctica del profesor,
podemos decir que no sólo nos interesa el profesor durante la acción en el aula, puesto
que concebimos la práctica profesional del profesor desde una perspectiva integral que
contempla la reflexión del profesor dentro y fuera del aula, sino que nos referiremos a
todos aquellos momentos en que el profesor interactúa con el contenido matemático
(puede ser durante la formación inicial, la planeación de clase o el diseño de
actividades, al analizar las producciones de los estudiantes, durante las sesiones de clase
o en reflexiones posteriores a ella, que pueden ser individuales o en conjunto con otros
profesores, además de considerar los entornos de formación continua o reflexiones
personales sobre experiencias de trabajo con los contenidos). La reflexión que el
profesor pueda realizar sobre el conocimiento matemático nos interesa también como un
escenario de potencial observación del conocimiento especializado.
El modelo que proponemos muestra también interés por explicitar cierto tipo de relación
entre la teoría generada por los investigadores en didáctica de la matemática y el
conocimiento que usa el profesor dentro de su práctica. Dicha relación puede verse más
patente dentro de los subdominios que conforman el conocimiento didáctico, en el cual
hemos incluido posibles conocimientos formales o informales de teorías de enseñanza y
aprendizaje.
Ahora bien, aunque no es uno los objetivos actuales del MTSK el lograr un desarrollo
del conocimiento de los profesores participantes o una reflexión profunda sobre el
contenido en sí mismo, somos conscientes de que esto podría darse como consecuencia
lógica del trabajo con los profesores como sujetos participantes de una investigación
enmarcada en este enfoque. Esto es porque la naturaleza misma del paradigma
interpretativo, y el enfoque relativista adoptado en el modelo, obligan al investigador a
considerar que juega un papel clave en el proceso de interpretación de la realidad que
observa. Hacer preguntas o la mera observación podría cambiar o influir en la situación
que estudia el investigador, al convertirse en parte de la realidad que observa,
reconociéndose a sí mismo como posible variable de la investigación, por lo que en este
proceso puede cambiar lo que está intentado observar (Bassey, 1999; Jaworski,
1994;Muñóz-Catalán, 2009).
3.8.2 Para la formación inicial y continua del profesorado
La administración educativa interviene en el conocimiento del profesorado a través de
su formación inicial y de su formación continua. No es este el lugar para realizar un
extenso análisis de esta formación (Carrillo, 2000; Carrillo y Coriat, 1999), diferenciada
en función de las etapas educativas, pero sí queremos subrayar las carencias de
conocimiento para la enseñanza de las matemáticas del profesorado de primaria, el de
secundaria y el de bachillerato, tanto en el domino matemático como en el del
conocimiento didáctico del contenido, unas veces por su escasez, pero sobre todo por su
orientación. Es preciso añadir la falta de relación institucional entre ambos períodos
formativos, lo que dificulta la necesaria relación entre la investigación y la práctica,
entre los resultados que emanan del área de conocimiento y su implementación en las
aulas.
La investigación sobre el conocimiento del profesor puede incidir en varios aspectos de
la formación continua para y del profesor. Por ejemplo, en el diseño de planes y
programas de estudio para la formación continua no sólo para los profesores sino
también para los formadores de profesores, así como en el diseño de tareas como
oportunidades de aprendizaje y reflexión (colectivo o individual) para el profesor.
La relevancia de estudios sobre el conocimiento del profesor podría verse reflejada en el
diseño de planes y programas de estudio secuenciados y no aislados, que favorezcan la
formación continua (no eventual, vista a la formación continua como un proceso y no
como un evento–Sowder, 2007) del profesor de matemáticas, no sólo del profesor de
nivel primaria sino del de secundaria, bachillerato, superior, e incluso de los formadores
de esos profesores. Entendiendo que
[…] los cambios en las posturas de enseñanza, suponen periodos prolongados de
tiempo y son producto de estrategias sistemáticas compartidas por el colectivo, pero
principalmente que los cambios no se dan por decreto sino que suponen la
manifestación de la voluntad del docente, sobre todo si toman en cuenta su
conocimiento y experiencia y se erigen como el ejercicio de su profesionalidad (Sosa y
Huitrado, 2013, p.2)
En este particular, el MTSK puede funcionar como un elemento que ayude a organizar
una reflexión (colectiva o individual) sobre el conocimiento para enseñar matemáticas.
De tal manera que el profesor haga uso de su conocimiento práctico (Elbaz, 1983),
donde él mismo sea consciente de los conocimientos correspondientes a distintos
subdominios del MTSK que posee o que le faltan, pero que por alguna razón él mismo
no era consciente de ellos.
Además, el MTSK puede representar una oportunidad de adquisición de conocimientos
para el profesor en formación continua, a través de diseños de tareas (propios o
guiados/tomados de alguna propuesta específica) y la ejecución de las mismas. Por
ejemplo, en Sosa, Aguayo y Huitrado (2013) se reportan algunos resultados
correspondientes a una experiencia en la formación de profesores de matemáticas de
nivel medio superior, en el que se toma como base el conocimiento de las
características del aprendizaje de la matemática para formar un entorno de aprendizaje
para profesores mediante sus propias reflexiones, a partir de la asignación y realización
de una tarea relacionada con el análisis de los errores de sus estudiantes en la clase de
matemáticas. Más aún, el MTSK también ofrece una oportunidad para ser aplicado en
diseños de tareas con una estructura específica (PLT – profesional learning tasks-
propuesta por Wilson, Sztajn y Edgington, 2013).
Lo anterior nos permite evidenciar que el diseño de tareas es una actividad
particularmente interesante como momento propicio para el desarrollo del MTSK en sus
distintos subdominios. Nos referimos a tareas en las que se involucre al profesor, con la
intención de que él aprenda, (en este caso nos referimos a un aprendizaje de
conocimiento especializado, no de conocimiento matemático) y sea capaz de inferir e
indagar sobre los distintos matices de cada subdominio. Inclusive, una vez que el
profesor comprenda el significado de cada subdominio, él mismo puede ser diseñador
de sus propias tareas y aplicar el MTSK en su propio desarrollo profesional,
convirtiéndose incluso en investigador de su propia práctica o de la de otros profesores.
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NUESTRA
MODELACIÓN
DEL
CONOCIMIENTO
ESPECIALIZADO
DEL
PROFESOR
DE
MATEMÁTICAS,
EL
MTSK
Eric Flores-Medrano, Dinazar Escudero-Ávila, Miguel Montes, Álvaro Aguilar, José
Carrillo
4.1 NATURALEZA
El Mathematics Teachers’ Specialised Knowledge (MTSK) tiene una dualidad en tanto
es una propuesta teórica que modela el conocimiento núcleo del conocimiento
profesional del profesor de matemáticas y es, a su vez, una herramienta metodológica
que permite analizar distintas prácticas del profesor de matemáticas a través de sus
categorías (Flores, Escudero y Aguilar, 2013).
El grupo de investigación en Didáctica de las Matemáticas de la Universidad de Huelva,
España, ha desarrollado trabajos de investigación en diversas temáticas que tratan sobre
el profesor de matemáticas (para más detalles ver Carrillo, Flores, Climent, Contreras,
Aguilar, Escudero y Montes, 2013). En particular, con respecto al estudio del
conocimiento del profesor de matemáticas algunos trabajos (Sosa, 2011) se interesan
por el establecimiento de categorías y descriptores de conocimiento para los
subdominios del Mathematical Knowledge for Teaching (MKT) de Ball, Thames y
Phelps (2008). La experiencia de este tipo de investigaciones y el análisis profundo de
las asignaciones de evidencias a subdominios ayudó a nuestro grupo en la detección de
dificultades con respecto a la delimitación entre distintos subdominios y otras
provenientes de la caracterización de los subdominios mediante acciones en lugar de
caracterizarlos por medio de los conocimientos que permiten su realización (Escudero,
Flores y Carrillo, 2012; Flores, Escudero y Carrillo, 2013).
El MTSK surge como respuesta a las dificultades detectadas en el MKT y toma como
base las potencialidades de éste y de otros modelos que caracterizan el conocimiento del
profesor de matemáticas (Carrillo, Climent, Contreras y Muñoz-Catalán, 2013). Este
modelo considera el carácter especializado del conocimiento del profesor de manera
integral en todas sus subdimensiones y evita hacer alusión a referentes externos
(conocimientos de otras profesiones). Mantiene la separación que hace Shulman (1986)
en dos dominios de conocimiento (conocimiento matemático y conocimiento didáctico
del contenido matemático) y dota de contenido a cada uno de estos dominios con tres
subdominios y categorías internas a éstos.
En las siguientes secciones detallaremos la caracterización del MTSK como modelo
analítico para interpretar el conocimiento especializado del profesor de matemáticas.
4.2 SUBDOMINIOS
El MTSK considera, al igual que Shulman (1986), dos grandes grupos de conocimiento
cuya naturaleza y medios de validación difieren entre sí. Por un lado, consideramos el
conocimiento que tiene el profesor de las matemáticas como disciplina científica en un
contexto escolar. En el modelo, llamamos a este dominio el Mathematical Knowledge
19
.
El otro dominio es el conocimiento de aspectos relacionados con el contenido
matemático como objeto de enseñanza-aprendizaje. Llamamos a este dominio el
Pedagogical Content Knowledge
20
(Carrillo, Climent, et al., 2013), siguiendo la
nomenclatura establecida por Shulman (1986, 1987). A continuación se describirán los
subdominios correspondientes a cada dominio de conocimiento definiéndolos y
presentando una serie de categorías con algunos ejemplos que las ilustran. El sistema de
categorías que se presenta en cada subdominio surge de la elucubración teórica y de los
datos empíricos con los que hemos trabajado hasta el momento. No se trata de una
categorización exhaustiva, pero sí recoge de manera integral los datos con los que hasta
el momento contamos.
4.2.1 Conocimiento matemático
Un elemento fundamental en el conocimiento del profesor es el conocimiento de la
propia disciplina que enseña. Por lo cual, resulta necesario plantearnos como objeto de
investigación saber qué y cómo conoce/debe conocer matemáticas un profesor de
matemáticas.
19
Nos separamos de la idea del Subject Matter Knowledge que propone Shulman (1986) y que utilizan,
entre otros, Ball, et al. (2008). Dicha separación responde a la consideración de características de la
matemática cual disciplina científica, sin que esto signifique que no reconozcamos la distinción entre la
Matemática y la Matemática Escolar.
20
Asumimos este dominio como un conocimiento didáctico que se deriva de la matemática como fuente
principal, más que entenderlo como la intersección entre el conocimiento matemático y el conocimiento
didáctico.
Existen diversos modelos que proponen mecanismos de explicación e investigación
sobre el conocimiento matemático (McCrory, Floden, Ferrini-Mundy, Reckase y Senk,
2012), que, como característica común, señalan la diferencia entre la forma de conocer
matemáticas por parte de los profesores y la de otros usuarios de esta disciplina.
Dentro de la caracterización sobre el conocimiento matemático del profesor de
matemáticas existen modelos que diferencian la naturaleza del propio conocimiento. Por
ejemplo, Usiskin (2001) propone tres tipos de conocimiento matemático que requiere el
profesor. El primero consiste en la extensión y generalización del contenido de las
matemáticas escolares; el segundo es el análisis de conceptos y distingue a éste del
análisis de problemas, que es el tercer tipo de conocimiento matemático. Ball et al.
(2008) distinguen el conocimiento común del especializado y añaden a estos el del
horizonte matemático.
En el MTSK consideramos tres subdominios que componen y dan sentido al
conocimiento matemático: el conocimiento (profundo) del contenido matemático en sí
(conocimiento de los temas matemáticos), de su estructura (conocimiento de la
estructura matemática) y de cómo se procede y produce en matemáticas (conocimiento
de la práctica matemática).
4.2.1.1 Conocimiento de los temas matemáticos (KoT)
El profesor debe conocer los contenidos que enseña a sus estudiantes. Diversos autores
se han cuestionado sobre qué y cómo requiere conocerlos. Por ejemplo, en el MKT esta
idea se asocia, en un extremo, con el Common Content Knowledge (CCK):“[los
profesores] deben ser capaces de hacer el trabajo que asignan a sus estudiantes” (Ball et
al., 2008, p. 399, la traducción es nuestra). En el otro extremo consideran que el
Specialised Content Knowledge (SCK) es “conocimiento del contenido requerido para
la enseñanza, más allá del conocimiento común del contenido” (Markworth, Goodwin y
Glisson, 2009, p.69, la traducción es nuestra). Esta dicotomía que plantean en el MKT
reconoce que hay, por lo menos, dos formas en las que el docente conoce las
matemáticas que enseñará a sus estudiantes [el Horizon Content Knowledge es la tercera
forma que proponen para conocer matemáticas, a veces llamado conocimiento ampliado
(Godino, 2009), otras veces conocimiento periférico de las matemáticas (Foster, 2011) y
también conocimiento avanzado (Zazkis y Mamolo, 2011), pero no es claro el grado de
asociación con el conocimiento que enseñan a sus estudiantes].
En Flores, Escudero, et al. (2013) señalamos algunas problemáticas de definir
subdominios mediante complementariedad. Para fines analíticos, dichos tipos de
definiciones nos obliga a establecer criterios de diferenciación cuyo grado de
subjetividad ocasiona la consideración de aspectos no equivalentes en diferentes países,
sistemas escolares u otros.
Para describir qué y cómo el profesor de matemáticas conoce los temas que va a
enseñar, en el MTSK consideramos el KoT, que supone conocer los contenidos
matemáticos y sus significados de manera fundamentada. Integra el contenido que
queremos que aprenda el alumno y permite la consideración de un conocimiento con un
nivel de profundización mayor al esperado para los alumnos. Por ejemplo, la
comprensión del profesor de Educación Primaria sobre la suma puede incluir
significados de combinación, comparación y de cambio con situaciones
correspondientes (el total de objetos que tienen entre dos personas, el total de objetos
que tendrá una persona al añadir una nueva cantidad), así como conocer su
fundamentación (comprender la suma como una operación binaria sobre conjuntos
numéricos, con sus propiedades correspondientes).
Entendemos por tema los contenidos provenientes de los bloques de conocimiento
tradicionalmente considerados en matemáticas. Consideramos como referente las áreas
propuestas por el NCTM (2000) en los estándares matemáticos: números y operaciones,
álgebra, geometría, medida, análisis de datos y probabilidad, los cuales están
relacionados entre sí. Los temas son los componentes de estas grandes ramas y pueden
variar de acuerdo al currículo de cada país.
Se proponen cinco categorías para caracterizar el contenido del KoT y que pueden
emplearse indistintamente del tema que el profesor esté abordando. A continuación se
describe y ejemplifica cada una de estas.
La categoría Fenomenología tiene un carácter bivalente. Por un lado, consideramos el
conocimiento que el profesor tiene acerca de modelos atribuibles a un tema, vistos estos
como fenómenos que pueden servir para generar conocimiento matemático, entre ellos,
los que aparecen en la génesis del propio concepto. Por ejemplo, el conocimiento que
tiene un profesor sobre el tipo de problemática ad hoc a cada algoritmo para resolver
una división de fracciones (Flores, 2008) estaría en esta acepción de la categoría. Por
otro lado, se considera el conocimiento que tiene acerca de usos y aplicaciones de un
tema. Por ejemplo, que el profesor conozca que una aplicación para el teorema de
Thales es la medición de distancias inaccesibles.
Otra categoría es el conocimiento de las Propiedades y sus Fundamentos atribuibles a
un tema o procedimiento en particular. Por ejemplo, el conocimiento que tiene el
profesor de que el producto de matrices no cumple algunas propiedades de estructura
algebraica (como la conmutatividad), forma parte de esta categoría.
Consideramos, además, el conocimiento que el profesor tiene acerca de las distintas
formas en que puede representar el tema trabajado (numérica, gráfica, verbal, analítica,
etcétera), así como el conocimiento de la notación y vocabulario adecuado asociado a
dichas representaciones. A esta categoría la hemos denominado Registros de
Representación
21
.
En la matemática escolar es común definir los objetos matemáticos utilizando una serie
de propiedades que cumplen éstos (se define número par como aquel que es múltiplo de
dos; se define triángulo acutángulo como aquel que tiene tres ángulos
agudos).Proponemos la categoría Definiciones para considerar el conocimiento del
conjunto de propiedades que hacen definible a un objeto determinado además de formas
alternativas que utilice el profesor para definir (aunque no incluimos aquí el
conocimiento de las características que ha de tener una definición).
En la categoría Procedimientos consideramos, por ejemplo, el conocimiento de
algoritmos convencionales y alternativos (¿cómo se hace/utiliza?); las condiciones
suficientes para proceder (¿cuándo se puede hacer/utilizar?); los fundamentos de los
algoritmos (¿por qué se hace/utiliza así?) y las características que tendría el objeto
resultante asociadas al tema en cuestión. Por ejemplo, para la división de fracciones,
conocer el algoritmo de los productos cruzados, el de invertir el divisor y utilizar el
algoritmo para multiplicar, o bien el de dividir sólo los numeradores una vez
convertidas ambas a fracciones con denominador común forma parte de esta categoría.
Construir ejemplos para un tema matemático determinado es una actividad que requiere
de distintos conocimientos considerados en las categorías, sobre todo, en la de
propiedades y sus fundamentos. Distintos niveles de profundidad en esos conocimientos
21
Con base en la nomenclatura de los trabajos de Raymond Duval (Duval, 1999; Duval, 2006).
darán como resultado distintos niveles de sustento, transparencia y validación de dichos
ejemplos (Watson y Mason, 2005). De igual forma, construir demostraciones, o
conocerlas per se, involucra conocimientos identificables en las distintas categorías,
además de, por supuesto, conocimiento sobre las cualidades de la demostración (que lo
consideramos en el KPM, descrito más adelante en este mismo capítulo).
4.2.1.2 Conocimiento de la estructura matemática (KSM)
Este subdominio tiene sus bases en el Horizon Content Knowledge descrito como “an
awareness of how mathematical topics are related over the span of mathematics
included in the curriculum” (Ball et al., 2008, p.403). El HCK contempla el
conocimiento que le permite a un profesor enseñar los temas de un curso como
fundamentación para cursos posteriores. Consideramos, además, el trabajo de Ball y
Bass (2009), en el cual proponen una serie de subdivisiones del HCK: con respecto a los
temas [HCK(T)], en el que están las conexiones tanto entre temas de matemáticas como
con temas de otras disciplinas; con respecto a las prácticas [HCK(P)], en el que se
contempla cómo es construida la matemática, y con respecto a los valores
[HCK(V)],que contiene los principales valores cuando se trabaja o se hacen
matemáticas. De esta distinción consideramos como conocimiento de la estructura
matemática únicamente las conexiones contempladas en el HCK(T) y, de estas,
específicamente las intramatemáticas ya que las relaciones extramatemáticas las
consideramos en la fenomenología y aplicaciones, que son parte del KoT. El HCK(P)
forma parte de nuestro subdominio de la Práctica Matemática (descrito más adelante) y
el HCK(V) lo consideramos como parte de las concepciones del profesor acerca de las
matemáticas, su enseñanza y aprendizaje.
En los trabajos de Figueiras, Ribeiro, Carrillo, Fernández y Deulofeu (2011) y Martínez,
Giné, Fernández, Figueiras y Deulofeu (2011), se incorporan la diferenciación de tres
tipos de conexiones al estudio del HCK. Las conexiones intraconceptuales (tienen lugar
en la proximidad de un único concepto), las conexiones interconceptuales [“los
conectores son ideas matemáticas que permiten vincular diferentes representaciones del
mismo concepto o diferentes conceptos que los estudiantes afrontan en el mismo
momento” (Martínez et al., p.431)] y las conexiones temporales (se dan entre
conocimientos previos y futuros).
El KSM es el conocimiento de las relaciones que el profesor hace entre distintos
contenidos (Montes, Aguilar, Carrillo y Muñoz-Catalán, 2013), ya sea del curso que
está impartiendo o con contenidos de otros cursos o niveles educativos. Se trata
específicamente de conexiones entre temas matemáticos.
Reconocemos dos aspectos no excluyentes entre sí que generan conexiones de interés
para el KSM:
- La temporalidad, no como visión curricular, sino como visión secuenciadora que
genera conexiones de complejización y simplificación.
- La delimitación de objetos matemáticos que genera conexiones
intraconceptuales e interconceptuales. Estas primeras ya son contempladas en el
KoT, ya que se trata de cualidades de un tema matemático (el conocimiento
acerca de ángulos que muestra el profesor al clasificar triángulos sería, según
nuestra óptica, un conocimiento de triángulos, no lo consideramos como una
relación a estudiar en el KSM, sino como un conocimiento de características al
interior de un tema matemático central).En el KSM sólo consideramos las
conexiones interconceptuales.
Proponemos cuatro categorías de conexiones matemáticas. En el MTSK estudiamos el
conocimiento que corresponde al profesor de matemáticas sobre estas conexiones.
La primera categoría son las Conexiones de Complejización, en la cual se relacionan los
contenidos enseñados con contenidos posteriores. Una visión de la matemática
elemental desde un punto de vista avanzado (en el sentido de Klein, 1933) se refleja en
la proyección de los contenidos enseñados como potenciadores para futuros. Por
ejemplo, el conocimiento que tiene un profesor del trabajo con escalas como una
complejización de la actividad de ordenar por tamaños de educación infantil, es parte de
esta categoría.
La siguiente categoría son las Conexiones de Simplificación, en la cual se relacionan los
contenidos enseñados con contenidos anteriores. Una visión de la matemática avanzada
desde un punto de vista elemental se refleja en la retrospección de los contenidos
enseñados potenciados por los previos. En Montes, Contreras y Carrillo (2013), se
presenta la discusión entre un profesor y una estudiante acerca de cómo tratar una
expresión algebraica que resulta de obtener la derivada segunda de la función (Figura 1)
y en la que debe explorar los puntos de inflexión. El profesor sugiere que el trabajo de
simplificación de la expresión es equivalente a manipular
/
. En este ejemplo, el
profesor simplifica el tratamiento de expresiones algebraicas al tratamiento con números
racionales.
1
1
Figura 1. Expresión algebraica obtenida al calcular la derivada segunda.
La tercera categoría comprende las Conexiones de Contenidos Transversales. No son
conexiones de contenidos más simples o más complejos entre sí, sino que hay una
cualidad común en estos que les relaciona, y los modos de pensamiento asociados a
dichos temas contemplan esta característica común. Por ejemplo, los patrones de
igualdad y similitud relacionan los tres temas siguientes: propiedades de relaciones de
equivalencia (por ejemplo, la propiedad conmutativa, · · ), resultados de
aplicar operadores a conjuntos numéricos (la función
aplicada al conjunto
de los números reales), y la congruencia y semejanza entre figuras (∆ ∆ !").
En el límite, la derivada, la continuidad puntual y global, la integral, subyacen procesos
infinitos que les hacen relacionarse (en este ejemplo existe, además del infinito, otras
posibilidades para relacionar esos temas, pero se quiere resaltar aquí la conexión
provocada por el infinito como idea transversal en matemáticas).
La última categoría considera las Conexiones Auxiliares. Por ejemplo, el uso de
ecuaciones como auxiliar para determinar las raíces (o determinar la no existencia de
estas) de una función es una conexión interconceptual entre ecuaciones y funciones. No
se trata de una conexión intraconceptual, ya que la ecuación no es una cualidad de la
función (la existencia de la ecuación depende de la continuidad de la función en el
punto evaluado) y tampoco es una complejización o simplificación entre ecuaciones y
funciones. Aquí, la necesidad de encontrar raíces puede hacer de la ecuación un
elemento auxiliar para la función.
4.2.1.3 Conocimiento de la práctica matemática (KPM)
Este subdominio destaca la importancia de que el profesor no sólo conozca resultados
matemáticos establecidos (conocimiento considerado en el KoT), sino también las
formas de proceder para llegar a ellos y las características del trabajo matemático. Se
trata de saber cómo se explora y se genera conocimiento en matemáticas, cómo se
establecen relaciones, correspondencias y equivalencias, cómo se argumenta, se razona
y se generaliza, qué papel tiene el convenio, y qué características tienen algunos de los
elementos con los que se hacen matemáticas (como una definición o una demostración).
Esta idea, que nace de la consideración del HCK(P) de Ball y Bass (2009) y de los
trabajos de Schwab (1978); Ball y McDiarmid (1990); Ball (2003), y Rowland, Turner,
Thwaites y Huckstep (2009), acerca del conocimiento sintáctico, supone considerar que
un profesor ha de saber razonar matemáticamente y, más aún, conocer distintos tipos de
razonamientos y saber en qué contextos matemáticos unos son más adecuados que
otros.
Consideramos el conocimiento que tiene el profesor acerca de la lógica proposicional,
de los modos de proceder (el conocimiento de heurísticos en la resolución de
problemas, por ejemplo) y de la sintaxis propia de las matemáticas.
Para este subdominio hemos construido dos categorías al diferenciar el conocimiento
ligado a la matemática en general y el ligado a la idea de temática
22
en matemáticas.
La categoría Prácticas ligadas a la Matemática en General considera un tipo de
conocimiento sobre cómo se desarrollan las matemáticas independientemente del
concepto abordado, como pudiera ser, por ejemplo, saber el significado de una
condición necesaria y una condición suficiente o saber que las cualidades de una
definición (por ejemplo, que posee límites). Este conocimiento, usado para trabajar
genéricamente en matemáticas, es necesario en el profesor ya que provee de estructuras
lógicas de pensamiento que ayudan a entender el funcionamiento de diversos aspectos
matemáticos.
Un ejemplo de la categoría Prácticas ligadas a una Temática en Matemáticas aparece
cuando, por ejemplo, un profesor, al trabajar con conjuntos numerables infinitos, recurre
a la inducción para probar cierta propiedad. Es posible que la use porque sepa que esa
propiedad en concreto requiere una demostración que ha memorizado, caso en el que no
podríamos hablar de un conocimiento de gran profundidad, pero también es posible que
ese profesor use la inducción en dicha propiedad al saber que, como el conjunto es
infinito y numerable, una aproximación al razonamiento sobre dichos conjuntos
mediante un pensamiento inductivo suele usarse para la búsqueda de generalización.
22
Lo consideramos como un conjunto de temas conectables por una posible forma de proceder en ellos.
Así, entendemos que este subdominio es fundamental para que el profesor no solo sea
capaz de conocer los diferentes temas que pudiera impartir, así como su integración en
la estructura matemática que considere el propio profesor, sino que también ha de tener
conciencia de cómo se razona y produce en matemáticas, para dar solidez a su propio
conocimiento, así como para saber gestionar los razonamientos matemáticos puestos en
juego por sus alumnos, a la hora de aceptarlos, refutarlos, o refinarlos, en caso de ser
necesario.
4.2.2 Conocimiento didáctico del contenido
A partir de que Shulman (1986) propusiera como un dominio de conocimiento el
Pedagogical Content Knowledge (PCK) se generó entre los investigadores un especial
interés por indagar en éste (Carpenter, Fennema, Peterson y Carey, 1988; Even y
Tirosh, 1995; Llinares, 2000; Park y Oliver, 2008). Entre los aspectos que lo hacen
especialmente interesante está su caracterización como un conocimiento particular del
profesor, propio de la labor de enseñanza. Estas características le atribuyen un papel
importante dentro de la conformación del conocimiento profesional. Las investigaciones
realizadas sobre PCK han buscado obtener una mejor conceptualización de este
constructo en términos de sus características.
La inclusión de aspectos correspondientes al PCK en el MTSK responde al
reconocimiento de la importancia de que el profesor conozca el contenido matemático
desde el punto de vista de un contenido a enseñar (conocimiento de la enseñanza de las
matemáticas), desde el punto de vista de un contenido a aprender (conocimiento de las
características de aprendizaje de las matemáticas) y desde una visión general de los
estándares de aprendizaje que se pueden/pretenden alcanzar (conocimiento de los
estándares de aprendizaje de las matemáticas).
En los subdominios que consideramos en el PCK, no incluimos conocimientos
pedagógicos en contextos de actividades matemáticas, sino tan solo aquellos donde el
contenido matemático condiciona la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas. Es
en este dominio en el cual las investigaciones en Didáctica de las Matemáticas cobran
mayor relevancia como posibles fuentes de conocimiento para el profesor.
4.2.2.1 Conocimiento de las características del aprendizaje (KFLM)
Este subdominio engloba los conocimientos sobre las características de aprendizaje
inherentes al contenido matemático. Evita mirar al estudiante como el foco principal del
proceso cambiándola mirada hacia el contenido matemático como objeto de
aprendizaje. Esto no implica que quitemos importancia al papel del estudiante en el
proceso, sino que nos interesa el conocimiento relacionado con las características de
aprendizaje derivadas de su interacción con el contenido matemático y no las
características del estudiante en sí mismo.
Consideramos la categoría Formas de Aprendizaje, con la que se reconoce el
conocimiento que tiene el profesor acerca de los posibles modos de aprehensión
asociados a la naturaleza misma del contenido matemático. Incluye el conocimiento de
estructuras o teorías personales o institucionalizadas sobre el desarrollo cognitivo del
estudiante tanto para la matemática en general como para contenidos particulares. Por
ejemplo, un profesor puede conocer, de manera formal o informal, la secuencia de
Acciones, Procesos, Objetos y Estructuras (Arnon, et al., 2014) como explicación del
desarrollo cognitivo del estudiante cuando éste se enfrenta a la tarea de aprender en
matemáticas.
La categoría Fortalezas y Dificultades asociadas al Aprendizaje engloba conocimientos
sobre los errores, obstáculos y dificultades asociados a la matemática en general y a
temas concretos. Por ejemplo, el conocimiento que tiene el profesor sobre las posibles
confusiones entre el área y el perímetro en estudiantes de primaria. También se
considera aquí el conocimiento de las ventajas o potencialidades que podrían
aprovecharse para el aprendizaje, asociados a la naturaleza de la matemática en sí
misma o de un contenido particular, por ejemplo reconocer la potencialidad y
dificultades implicadas en el aprendizaje de las ecuaciones de segundo grado como
consecuencia de su tratamiento gráfico. Estos pueden estar asociados al contexto
específico en el cual se aprende el contenido matemático, de manera que puedan
reconocerse distintos matices en las características de aprendizaje de un grupo particular
de individuos (Pinto y González, 2006).
La categoría de conocimiento sobre las Formas de Interacción de los Alumnos con el
Contenido Matemático, se refiere al conocimiento que tiene el profesor acerca de los
procesos y estrategias de los estudiantes, tanto los típicos como los no habituales, y a los
conocimientos sobre el posible lenguaje o vocabulario usado comúnmente al abordar un
determinado contenido (Sosa, Aguayo y Huitrado, 2013). Por ejemplo, el conocimiento
que tiene el profesor sobre los algoritmos típicamente usados para resolver un sistema
de ecuaciones lineales, de acuerdo a la forma en la que se presenta la ecuación (general,
punto pendiente, ordenada al origen).
Finalmente, la categoría del conocimiento de Concepciones de los Estudiantes sobre
Matemáticas, considera el conocimiento que tiene el profesor sobre las expectativas e
intereses que tienen los estudiantes con respecto a las matemáticas. Por ejemplo, el
conocimiento que tiene el profesor sobre las preconcepciones de facilidad o dificultad
que los estudiantes asocian a las distintas áreas de la matemática.
4.2.2.2 Conocimiento de la enseñanza de la matemática (KMT)
Incluimos en este subdominio el conocimiento de recursos, materiales, modos de
presentar el contenido y el potencial que puede tener para la instrucción, así como el
conocimiento de ejemplos adecuados para cada contenido, intención o contexto
determinado.
Al igual que el KFLM, en este subdominio hablamos de conocimientos intrínsecamente
dependientes de los contenidos matemáticos en sí. No se trata de conocimiento de
matemáticas por un lado y de la enseñanza por otro, sino que se incluyen tan solo
aquellos conocimientos en donde el contenido matemático condiciona la enseñanza
(excluimos, por ejemplo, estrategias de enseñanza que pueden resultar potentes desde la
visión de la pedagogía en general, como el trabajo en equipo).
Como en el resto de subdominios del PCK, puede ser un conocimiento fundamentado
en resultados de la investigación en Educación Matemática o en la observación y
reflexión de la actividad matemática en el aula, por ejemplo, enseñar a través de la
resolución de problemas. Para este subdominio se han considerado tres categorías:
La primera categoría es el conocimiento de Teorías personales o institucionalizadas de
enseñanza. De manera general el profesor puede tener conocimiento de teorías de
enseñanza específicas de la Educación Matemática. Por ejemplo, el conocimiento de la
estructura general propuesta en la Teoría de Situaciones Didácticas de Brousseau (1986)
[Acción, Formulación, Validación e Institucionalización] bajo las cuales pueden
diseñarse actividades para el aula y ambientes de trabajo matemático ad hoc a dichas
actividades. En esta categoría consideramos los conocimientos sobre la potencialidad
que pueden tener ciertas actividades, estrategias o técnicas didácticas asociadas a un
contenido matemático, así como los alcances que éstas tienen. Nos referimos, además,
al conocimiento de las analogías, ejemplos típicos, metáforas, explicaciones, etcétera,
que los profesores consideren potentes en el abordaje de un contenido matemático y un
momento particular de enseñanza, las cuales pueden definirse como posibles
representaciones del contenido para la instrucción.
En otra categoría consideramos el conocimiento de Recursos Materiales y Virtuales
asociados al contenido a enseñar. Se refiere a los conocimientos del profesor sobre los
recursos materiales y virtuales como elementos para la enseñanza de las matemáticas
(libros de texto, regletas, pizarras normales y electrónicas, Tangrams, software como
Cabri o Geogebra, etcétera) y los beneficios o dificultades asociadas al uso de éstos
como apoyo para la enseñanza de un determinado contenido matemático, es decir, no
consideramos incluido en este subdominio, por ejemplo, el reconocimiento de un
recurso como herramienta pedagógica motivadora de actitudes positivas de trabajo en
los estudiantes. Un ejemplo es el conocimiento que tiene el profesor acerca de las
limitantes a las que se enfrentará si utiliza el Geoplano en una actividad en la que
pretende clasificar triángulos, puesto que con esta herramienta no es posible generar
triángulos equiláteros.
Finalmente, consideramos la categoría Actividades, Tareas, Ejemplos, Ayudas. Aunque
estas ideas pueden ser relacionadas con recursos para la enseñanza y pertenecer a la
categoría anterior, vimos la dificultad analítica de asociarlos a recursos por la amplitud
que conformaría dicho constructo. Es por eso que, a diferencia de la categoría anterior
en la que se contempla el conocimiento del profesor del objeto material o virtual en sí,
en esta categoría consideramos aquellos elementos que denotan la intencionalidad de
enseñanza del profesor en un tema determinado. Saber, por ejemplo, en qué momento y
qué tipo de ayuda brindar a los estudiantes, cuáles ejemplos son más potentes de
acuerdo al momento e intencionalidad de la clase o conocer alguna tarea específica para
propiciar el aprendizaje de un contenido matemático (conocer la Situación Didáctica del
rompecabezas
23
para el tema de proporciones) forman parte de esta categoría.
4.2.2.3 Conocimiento de los estándares de aprendizaje de las Matemáticas (KMLS)
23
Una variante de la situación didáctica original diseñada por el grupo de Guy Brousseau, se encuentra en
la página:
http://www.proyectosmatedu.cinvestav.mx/situaciones/images/rompecabezas1.html
La relevancia de considerar el conocimiento que un profesor tiene acerca de lo que está
estipulado que aprenda un estudiante y el nivel conceptual con el que se espera que lo
aprenda en un determinado momento escolar ha sido reflejada por diversos autores. Por
ejemplo, Shulman (1987) utiliza como categoría al Conocimiento Curricular y señala
que es:
“represented by the full range of programs designed for the teaching of particular
subjects and topics at a given level, the variety of instructional materials available
in relation to those programs, and the set of characteristics that serve as both the
indications and contraindications for the use of particular curriculum or program
materials in particular circumstances” (p.10).
Por otro lado, Ball et al. (2008) consideran el conocimiento curricular como parte del
Pedagogical Content Knowledge, sin embargo, hacen dicha consideración con reservas:
“we are not yet sure whether this may be a part of our category of knowledge of content
and teaching or whether it may run across the several categories or be a category in its
own right” (p.400). En ambos casos, se ha considerado, sobre todo, el conocimiento de
materiales y programas que sirvan como herramientas de trabajo para los profesores.
De manera genérica, coincidimos con el documento del Ministerio de Educación,
Cultura y Deporte [España] (2014) para entender al currículo como una “regulación de
los elementos que determinan los procesos de enseñanza y aprendizaje para cada una
de las enseñanzas y etapas educativas” (p.19351). Sin bien creemos que resulta
conveniente que un profesor conozca en profundidad y pueda integrar a su labor cada
uno de los aspectos que contempla el currículo, para fines analíticos nos preguntamos
por los aspectos que tienen sentido solamente para el profesor de matemáticas. Es de
esta forma que nos preocupamos por el Conocimiento de los Estándares de Aprendizaje
de las Matemáticas.
Entendemos como estándar de aprendizaje aquello que indica el nivel de capacidad-
atribuible a los estudiantes en un determinado momento escolar- para entender,
construir y saber matemáticas. Estas nociones de nivel de capacidad pueden ser
construidas por el profesor a partir del estudio o contacto con diversas fuentes. La
principal, y que habitualmente rige en su labor, es el currículo institucional. Otros
currículos que no pertenezcan a su institución (de otros países o sistemas escolares, por
ejemplo) también pueden ser fuente de información al respecto. Consideramos que otra
fuente es la literatura de investigación que aborda temas referentes al estudio de estadios
de conocimiento matemático (NCTM, 2000).
Para este subdominio consideramos tres categorías de conocimiento. La primera se
refiere al conocimiento que el profesor tiene acerca de qué Contenidos Matemáticos se
requieren Enseñar en el grado escolar en el que esté impartiendo clases. Este
conocimiento puede ser adquirido por el profesor, ya sea mediante la consulta de un
documento rector que indique cuáles son esos contenidos, o como abstracción de las
capacidades matemáticas específicas que requiere desarrollar en sus estudiantes en ese
momento escolar. Por ejemplo, en los estándares de la NCTM (2000) señalan que se
espera que los estudiantes adquieran, entre los grados 3 y 5, la capacidad de explorar
semejanza y congruencia. El conocimiento que el profesor usa para determinar qué
temas sirven para lograr este fin es un ejemplo del contenido de esta categoría.
En la segunda categoría consideramos el Conocimiento del Nivel de Desarrollo
Conceptual y Procedimental esperado
24
para un tópico en un determinado momento
escolar. Saber, por ejemplo, qué tipos de clasificaciones de figuras se espera que haga
un alumno de tercer grado, forma parte de esta categoría.
La tercera categoría se refiere a la Secuenciación de diversos Temas, ya sea dentro del
mismo curso o pensando en cursos anteriores (conocimientos y capacidades previas que
tiene un estudiante para enfrentar tareas) o cursos posteriores (conocer las
potencialidades que debe desarrollar para un determinado tópico). Por ejemplo, según el
Ministerio de la Presidencia [España] (2006), en el primer ciclo (grados 1 y 2), la
multiplicación es trabajada como el número de veces y en el segundo ciclo (grados 3 y
4) es vista como suma abreviada, en disposiciones rectangulares y problemas
combinatorios. El conocimiento de esta secuenciación tanto conceptual como
procedimental para la multiplicación proveniente de las pretensiones de cada ciclo,
forma parte de esta categoría.
Así, en este subdominio consideramos el conocimiento que posee el profesor de
matemáticas acerca de aquello que el estudiante debe/puede alcanzar en un curso
escolar determinado (o lo que ha alcanzado en uno anterior, o lo que alcanzará en uno
posterior). Es aquello que el profesor sabe sobre las capacidades conceptuales,
24
De manera genérica nos referimos a niveles de abstracción, de complejización, etcétera.
procedimentales y de razonamiento matemático que se promueven en determinados
momentos educativos.
4.2.3 Síntesis
En el MTSK hemos enfocado la especialización del conocimiento del profesor de
matemáticas pensando en el conocimiento que sólo tiene sentido para él como una
integración de distintos dominios de conocimiento, en las diferentes formas en que el
profesor interactúa con el conocimiento matemático de cara a su enseñanza. La
especialización del MTSK permite diferenciarlo del PPK (conocimiento de pedagogía y
psicología general), del XTSK (conocimiento especializado del profesor de otra
materia) y del MYSK (conocimiento especializado de otro profesional de la
matemática).
La caracterización en subdominios y categorías internas a estos es la estructura
fundamental en el modelo. A ésta se añaden descriptores que permiten una
caracterización cada vez más fina. Este trabajo de interiorización y refinamiento en los
subdominios pretende conformar una herramienta que permita focalizar en los
elementos de conocimiento que le son útiles al profesor de matemáticas para desarrollar
su labor. Nos basamos en la elucubración teórica y en estudios empíricos. Estos
segundos son realizados en distintas prácticas del profesor (dentro y fuera del aula,
incluyendo los procesos de formación inicial y permanente). Reconocemos que el actuar
del profesor no está exclusivamente basado en aquello que conoce y que el buen
desempeño de éste no guarda una relación directa con el buen conocer, pero también
reconocemos que es necesario delimitar aquellos conocimientos fundamentales que dan
entidad a la profesión.
4.3 ALGUNAS RELACIONES ENTRE LOS SUBDOMINIOS
El hecho de que el MTSK represente secciones de conocimiento a través de la
consideración de los seis subdominios tiene fines específicamente analíticos. No
pretende reflejar una visión del conocimiento del profesor como una estructura
particionada. Consideramos que el conocimiento del profesor tiene todos los
subdominios de forma integral y que el MTSK permite una visión holística de dicho
conocimiento, pudiendo, en un mismo episodio, encontrar varios subdominios del
conocimiento del profesor. En esta sección señalaremos algunas relaciones que
permiten el regreso a la integración de los elementos que pueden ser estudiados de
manera diferenciada.
Relaciones KSM-KMLS: De las categorías del KMLS, la referente a la secuenciación
de temas tiene aspectos similares con las ideas de conexiones de complejización y
simplificación del KSM. Determinar cuáles son conocimientos previos (o posteriores)
para un tema T trae consigo dos líneas de argumentación. Por un lado, se pueden señalar
y justificar las relaciones matemáticas de complejización (o simplificación) del tema
previo (posterior) en T, lo cual consideramos en KSM. Por otro lado se puede hacer
referencia al nivel de abstracción esperada para un determinado curso en comparación
con el nivel esperado para el tema T, lo cual es información acerca del KMLS. En
cualquier caso, las relaciones entre temas posteriores y anteriores promueven
reflexiones conjuntas entre estos dos subdominios, siendo las justificaciones
matemáticas parte del KSM y las justificaciones didácticas del contenido serían parte
del KMLS.
Relaciones KoT-KMLS: Al igual que en las relaciones anteriores, éstas surgen cuando
es considerada la categoría de secuenciación del KMLS. La relación con el KoT se
presenta cuando dicha secuenciación responde, desde el punto de vista matemático, a
conexiones intraconceptuales (el mínimo común múltiplo como tema anterior a la suma
de fracciones, por ejemplo).
Relaciones KFLM-KMLS: Reconocemos que existen diversas formas de desarrollar
propuestas curriculares y que estas estarán en función de objetivos e ideologías más
amplias al aprendizaje de temas o desarrollo de capacidades. Sin embargo, la
interpretación e incluso la elaboración de algunas propuestas sí puede guardar relación
directa con la búsqueda de un desarrollo cognitivo adecuado por parte del que aprende.
Es en esta noción donde estos dos subdominios encuentran sus puntos en común.
Relaciones KFLM-KMT: Explorar, a partir de las intenciones del profesor, el
conocimiento que sustenta una determinada decisión de éste, puede generar
explicaciones de enseñanza-aprendizaje que tengan entidad en sí misma y que los
argumentos para asignarlas a uno u otro subdominio requieran tener una carga subjetiva
demasiado elevada. Para fines analíticos, en el KFLM consideramos el conocimiento
que sustenta las explicaciones acerca del propio proceso de apropiación de un objeto
matemático, mientras que en el KMT consideramos las herramientas (técnicas y de
recursos) que emplea el profesor para lograr esos fines.
Relaciones KoT-KPM: Las prácticas consideradas en el KPM, en diversas ocasiones
dan sustento a la generación de conocimiento que es contemplado en el KoT. Por
ejemplo, mientras en el KPM se considera el conocimiento que el profesor tiene acerca
de qué y cómo es una demostración, en el KoT consideramos el conocimiento que tiene
de, por ejemplo, la demostración de que √2 es irracional. Lo mismo sucede para el caso
de definir, ejemplificar, conocer condiciones de suficiencia y necesidad, entre otros.
Relaciones MK-KMT/KFLM: Los subdominios KFLM y KMT no contienen
conocimiento matemático, pero sí requieren de éste para su funcionamiento. Así, un
diseño de actividades para el aula, puede involucrar conocimiento de características de
aprendizaje, de recursos y ejemplos potentes para el contenido que se pretenda enseñar
y todo esto estará normado por el conocimiento matemático de dicho contenido. Ese
conocimiento que norma a los de las otras dos naturalezas es puramente matemático y
puede dar sustento desde esa óptica disciplinar a las determinaciones de carácter
didáctico del contenido que tome el profesor.
4.4 PAPEL DE LAS CREENCIAS
En diversas investigaciones sobre el conocimiento utilizado por profesores en diferentes
prácticas se señalan carencias de ciertos conocimientos (Linchevsky y Vinner, 1989;
Even, 1990; Llinares y Sánchez, 1991). Este fenómeno comprende, entre otras cosas, la
incorporación de aquello que el investigador (o el marco teórico con el que se investiga)
considere como conocimiento deseable para el profesor de matemáticas. Al hablar de lo
deseable, podemos plantearnos varios cuestionamientos acerca de la libertad
metodológica que esto permite. Por ejemplo, lo relacionado al perfil de profesor a
investigar y el paradigma que más se adecua a fijar un estado deseable.
Somos conscientes de que las concepciones del investigador sobre matemáticas, su
enseñanza y aprendizaje influyen constantemente en la toma de determinaciones y en el
análisis e interpretación de las producciones que conforman su investigación. Al igual
que somos conscientes de que la práctica del profesor tiene detrás una filosofía de las
matemáticas que la respalda (Thom, 1973, citado en Ponte, 2012). Entendemos que esta
filosofía contiene un conjunto de concepciones y creencias del profesor acerca de las
matemáticas, su enseñanza y aprendizaje.
Precisamente, las concepciones antes mencionadas son colocadas en el MTSK al centro
del esquema y con líneas punteadas. Esta representación indica que consideramos que
las concepciones que tiene el profesor acerca de las matemáticas, su enseñanza y
aprendizaje, permea al conocimiento que tiene en cada uno de los subdominios. La
misma representación tiene además un significado metodológico: buscamos construir
imágenes cada vez más precisas que permitan interpretar la práctica del profesor a la luz
de aspectos que influyen en ella basándonos en los conocimientos que sustentan dicha
práctica. Para este fin, nos posicionamos en lo que Leatham (2006) llama Sistema
Sensible, con el cual, más que focalizar las inconsistencias entre las concepciones
declaradas, las exhibidas en una clase o las que surgen en reflexiones concretas del
profesor, se focalice en cómo todas éstas pueden conformar un sistema que sea
explicado en sí mismo. Coincidimos también en que las concepciones representan una
predisposición a través de las acciones y que no pueden ser directamente observadas o
medidas, solamente inferidas.
Al igual que el resto de elementos en el modelo, las concepciones son consideradas con
fines analíticos. Así, nos hemos planteado entenderlas bajo categorías como las que
proponen Carrillo y Contreras (1995).
REFERENCIAS
Arnon, I., Cottrill, J., Dubinsky, E., Oktaç, A., Roa-Fuentes, S., Trigueros, M., &
Weller, K. (2014). The Teaching of Mathematics Using APOS Theory. APOS
theory: A Framework for Research and Curriculum Development in Mathematics
Education (pp. 57-91). Nueva York: Springer.
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