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PROPAGAÇÃO DAS ONDAS MARÍTIMAS E DOS TSUNAMI

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Resumo Neste artigo tratamos da propagação das ondas marítimas em geral (ondas de gravidade) e dos tsunami em especial. Mostra-se que, a partir de alguns resultados básicos da teoria, importantes aspectos qualitativos e práticos podem ser entendidos e previstos. Abstract The propagation of ocean waves, particularly of the tsunami, is ana-lyzed in this paper. We show that, starting from some basic results of the theory, many important qualitative and practical features can be understood and predicted.
Content may be subject to copyright.
190
Cad. Brás. Ens. Fís., v. 22, n. 2: p. 190
-
208, ago. 2005
PROPAGAÇÃO DAS ONDAS MARÍTIMAS E
DOS TSUNAMI+*
Fernando Lan
g da Silveira
Instituto de Física
UFRGS
Maria Cristina Varriale
Instituto de Matemática
UFRGS
Porto Alegre
RS
Resumo
Neste artigo tratamos da propagação das ondas marítimas em geral
(ondas de gravidade) e dos tsunami em especial. Mostra
-
se que,
a partir
de alguns resultados básicos da teoria, importantes aspectos
qualitativos e práticos podem ser entendidos e previstos.
Palavras
-
chave:
Ondas marítimas, tsunami.
Abstract
The propagation of ocean waves, particularly of the tsunami, is an
a-
lyzed i
n this paper.
We show
that, starting from some basic results of the
theory, many important qualitative and practical features can be unde
r-
stood and predicted.
Keywords:
Ocean waves, tsunami.
I. Introdução
Tsunami
é uma palavra japonesa que designa ondas geradas em oceanos,
mares, baías, lagos, a partir ou de movimentos sísmicos, ou de vulcanismo, ou de
deslizamento de terra submarino, ou de impacto de meteorito, ou até de fenômenos
+
The propagation of ocean waves and tsunami
*
Recebido: março de 2005.
Aceito: junho de 2005.
Silveira, F. L. e Varriale, M. C.
191
meteorológicos (BRYANT, 2001). O que distingue os
tsunami
1 de outras ondas na
superfície da água são os
períodos
das
oscilações
da água. Enquanto em uma
onda
marítima
normal podem ocorrer
períodos
de até algumas dezenas de segundos, em
um
tsunami
este tempo atinge alguns minutos ou até meia-hora. Desta forma, os
tsunami
são
on
das longas, que em alto-mar possuem entre 10 km e 500 km de
comprimento de onda. Esta característica torna os
tsunami
muito diferentes das outras
ondas, me
s
mo daquelas que podem ser observadas durante as tempestades.
Os t
sunami
, apesar de em alto-
mar apres
entarem pequenas
amplitudes
(da
ordem de metro), podem se agigantar quando atingem as águas rasas nas
proximidades da costa. Um dos raros
tsunami
no Oceano Atlântico aconteceu em 1o
de novembro de 1755, quando Lisboa foi destruída por um terremoto (TUFTY,
1978). Cerca de 50 min após o tremor que devastou a cidade, as águas no porto
baixaram e, alguns minutos depois2, uma onda com 15 m de altura atingiu as docas e
a cidade, matando inúmeros sobreviventes do terremoto. Em 15 de junho de 1896, em
Sanriku no Japão, um
tsunami
com cerca de 30 m de altura matou 27.000 pessoas,
feriu 9.000 pessoas, destruindo 13.000 casas (BRYANT, 2001). O maior
tsunami
registrado ocorreu no Alasca, em 9 de julho de 1958, quando 90 milhões de toneladas
de rocha e gelo desabaram
dentro de uma baía
Lituya Bay
,
gerando uma onda
com
cerca de 50 m de altura3, elevando a água até 524 m
quinhentos e vinte e quatro
metros
(BRYANT, 2001)
no outro lado da baía (a altura foi avaliada pelas marcas
na floresta das montanhas que circun
dam a baía)
.
O
tsunami
que ocorreu em 26 de dezembro de 2004, vitimando cerca de
300.000 pessoas, infelizmente constituiu-se em apenas um novo evento entre mais de
1.500 registros históricos existentes. Em 22 de maio de 1782 um
tsunami
vitimou
cerca de 50.
000 pessoas em Taiwan. Em 26 de agosto de 1882, como conseqüência da
grande erupção do vulcão Krakatoa na Indonésia, um
tsunami
matou 36.417 pessoas.
Somente na região do Oceano Pacífico foram registrados mais de 1.100
tsunami
nos
últimos vinte séculos, se
ndo que os quinze mais terríveis (anteriores a 26 de dezembro
1 Em japonês,
tsunami
designa uma ou mais ondas produzidas em
maremotos
. Neste trabalho,
adotaremos a palavra
tsunami
, sem o s final, tanto para designar uma quanto mais de uma onda.
2 O recuo das águas é comum, mas nem sempre acontece (BRYANT, 2001), antes da chegada
das grandes ondas. Segundo relato do navegador João Sombra, que estava com seu veleiro em
Phuket na Tailândia em 26 de dezembro de 2004 a grande baía de acesso ao estaleiro
começou a secar de forma espantosa; os peixes pulavam no seco. (...) Isso durou cerca de 20
minutos e de repente no horizonte algo começou a crescer. Uma grande onda principiava. Era
algo monstr
uoso!
(Jo
r
nal Zero Hora, Porto Alegre, RS, 28/12/2004; p. 10).
3 O barco de 12 m de um casal de navegadores foi apanhado pela onda, surfou durante alguns
minutos, e, finalmente, foi deixado ileso em alto-mar. Os navegadores relataram que durante a
surfagem viam, abaixo deles (!!), as árvores da floresta que circundava a baía (TUFTY,
1978).
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de 2004) produziram aproximadamente 330.000 mortes (BRYANT, 2001). Um dos
primeiros registros de
tsunami
remonta ao século XIV a.C. quando a cidade de
Knossos, capital de Creta, teria sido destruída por uma onda gigante originada da
erupção do vulcão de Santorini no Mar Egeu (TUFTY, 1978). Evidências geológicas
de
tsunami
em épocas remotas são encontradas em diversas regiões da Terra
(BR
YANT, 2001).
O objetivo deste artigo é o de apresentar algumas características básicas
que permitam uma compreensão elementar sobre a propagação de ondas marítimas e,
especialmente, a propagação dos
tsunami.
II. Velocidade de propagação das ondas marítimas
As ondas que se propagam na interface líquido-
s, devido à influência
do
campo gravitacional, são denominadas ondas de gravidade4 (gravity waves
).
Exemplos deste tipo de ondas são as ondas marítimas. Durante a propagação das
ondas, as partículas do líquido oscilam. É facilmente perceptível a
oscilação
da água
na direção do campo gravitacional, perpendicularmente à direção de propagação da
onda. Entretanto também ocorre uma
oscilação
das partículas do líquido na própria
direção de propagação da onda. Assim as ondas marítimas possuem uma componente
oscila
tória
transversal
(na direção do campo gravitacional) e uma componente
oscilatória longitudinal (na direção de propagação), determinando que uma partícula
do meio descreva uma
elipse
(ou em um caso particular, uma circunferência
)
enquanto a onda marítima passa por ela (na seção III, trataremos com detalhes das
trajetórias das pa
rtículas d água).
Segundo Elmore e Heald (1985, p. 187), a velocidade de propagação
v
das ondas na superfície de líquidos é dada por:
d2d2
d2d2
ee
ee
2
gd2
tanh
2
g
v
(1)
onde
d é a espessura da lâmina de líquido
,
é o comprimento de onda e g é a
intensidade do campo gravitacional
.
O gráfico da Fig. 1 mostra como a velocidade de propagação de
ondas
marítimas
varia com o comprimento de onda, para diversas
es
pessuras da lâmina
4 Na interface líquido-gás há também a possibilidade de ondas de tensão superficial. No
entanto, efeitos de tensão superficial são totalmente desprezíveis para as ondas marítimas, pois
eles somente se fazem sentir na
velocidade de propagação
das ondas na água se o
comprimento
de onda
for inf
e
rior a centímetro.
Silveira, F. L. e Varriale, M. C.
193
d água5
. Em alto
-
mar a profundidade máxima chega a 5.000 m e, excepcionalmente, a
cerca de 10.000 m. Neste gráfico conseguimos abranger um grande intervalo de
comprimentos de onda (desde ondas com pequeno
comprimento
até aqueles atingido
s
pelos
tsunami
) e um grande intervalo de
espessuras da lâmina d água
(desde as
á
guas
rasas próximas ao litoral até as águas profundas do alto-mar), pois o construímos em
escala logarítmica
, tanto para as abscissas, quanto para as ordenadas (escala
log
-
log
).
Fig. 1 - Variação da velocidade de propagação de ondas marítimas em
função do compr
imento de onda, para diversas espessuras da lâmina d água.
Observa
-se na Fig. 1 que, independentemente da espessura da lâmina
d água, a velocidade de propagação
v
cresce com o aumento do comprimento de
onda
, tendendo a um certo valor limite, próximo do qual v praticamente não se
altera. A velocidade de propagação está muito próxima deste limite máximo
quando
= 10 d. Outro comportamento limite, que nos chama atenção na Fig. 1, está
relaci
onado à reta inclinada; retas em gráficos
log
-
log
identificam leis de potência6
relacionando a variável dependente com a independente. A seguir estudaremos
melhor tais co
m
por
tamentos assintóticos.
5 Na equação (1) tem-se que a velocidade de propagação de ondas de gravidade na interface
líquido
-gás independe da densidade do líquido porque, na sua dedução, supõe-se que a
densidade do líquido seja muito maior do que a densidade do gás.
6
Uma
lei de potência
é uma função do tipo
y = a x
b.
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Observamos que, se
2d
, a função
tangente hiperbólica
envolvida na
equação (1) pode ser aproximada pelo seu valor limite superior, 1, pois neste caso
1
0,996
d2
tanh
(2)
A
velocidade de propagação é, portanto, com excelente aproximação,
dada pela
lei de potência:
2
g
v,
(3)
cujo expoente 1/2 (na potência
1/2
) é a inclinação da reta que se , no gráfico da
Fig. 1, para pequenos valores de
(quando comparados com
d
).
Por outro lado, se
d,
vale a aproximação:
d2d2
tanh
,
(4)
que, após
substituída na equação (1), fornece para a
velocidade de propagação:
dgv
(5)
como boa aproximação para os valores máximos observados na Fig. 1. Visto que a
velocidade de propagação independe do comprimento de onda, concluímos que as
ondas se propagam sem
dispersão
7.
A equação (3) permite calcular a velocidade de propagação de ondas
marítimas normais em alto-mar, onde a espessura da lâmina d água é da ordem de
quilôm
etro e o comprimento de onda é da ordem de algumas centenas de metros. Se
= 300 m, a equação (3) resulta em v = 22 m/s = 79 km/h; o
período
desta onda é
300
m
22 m/s =
14 s
.
Os
tsunami
, por terem comprimento de onda de até centenas de
quilômetros
8, mesmo em a
lto
-mar, onde a espessura da lâmina d água é cerca de 5
km, satisfazem a condição >> d
e, portanto, suas velocidades são dadas pela
equação (5). Eles se propagam com velocidades muito maiores
do que as
ondas
marítimas
normais pois se
d = 5.000 m
, a equ
ação (5) resulta em
v = 221 m/s = 800
km/h
.
7 Para ondas de qualquer natureza, denomina-se de
dispersão
a dependência da velocidade de
propagação
com o
comprimento de onda
ou com a
freqüência
. Uma conseqüência da
dispersão
é a decomposição da luz branca ao atravessar um prisma.
8
Os
tsunami
se constituem em
pacotes ondas
(às vezes um único
pulso
). É bem sabido que de
acordo com o
teorema de Fourier
uma onda com forma arbitrária pode ser obtida da
superposição de ondas senoidais. Assim sendo, os
comprimentos de onda
de um
tsunami
devem
ser entendidos como os
comprimentos de onda
das suas
componentes
.
Silveira, F. L. e Varriale, M. C.
195
Quando um
tsunami
se aproxima da costa, atingindo a plataforma
continental, a espessura da lâmina d água
d
diminui, e a velocidade de
propagação
v
do
tsunami
, de acordo com a equação (5), também diminui.
Para
uma lâmina d água com
espessura
de 50 m, obtém-se uma velocidade de cerca de 80
km/h. O
pe
ríodo
do
tsunami
não se altera e, portanto, uma redução por um fator de 10
na sua velocidade de propagação implica em uma redução pelo mesmo fator no seu
co
m
prim
ento de onda
.
A Fig. 2 representa, de maneira esquemática, as frentes de onda (linhas
que ligam pontos na crista da onda) planas de um
tsunami
que passa do alto-
mar
(espessura da lâmina d água de 5.000 m) para o mar raso da plataforma continental
(
espe
s
sur
a da lâmina d água
de 50 m).
Fig. 2 - Redução na velocidade de propagação e no comprimento de
onda de um tsun
a
mi que passa do alto
-
mar para o mar raso.
III. As oscilações transversal e longitudinal em ondas mar
í
timas
Conforme comentado no início da seção II, as ondas marítimas
possuem duas componentes
oscilatórias
: uma
transversal
e outra
longitudinal
. A
teoria que embasa a dedução da equação (1), também permite obter interessantes
resultados para as
oscilações
transversal
e
longitudinal
das partículas de água (no
Apêndice são apresentadas as equações que dão suporte teórico ao que discutiremos a
seguir):
Ambas as
oscilações
necessariamente acontecem com o mesmo
perí
o
do
e suas
amplitudes
estão relacionadas entre si. Mostra-se que as amplitudes da
oscil
ação transversal
e
da
oscilação longitudinal
são funções dos mesmos parâmetros
(vide equações (A.3) e (A.4) no Apêndice).
196
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Quando a condição
2d
está preenchida, e portanto uma
onda
marítima
normal (ou até uma onda marítima produzida por tempestade) se propaga
em alto-mar, as trajetórias das partículas de água são aproximadamente
circulares
(vide equação (A.5) do Apêndice), com raio que diminui
exponencialmente
com a
profu
n
didade
9.
Quando se verifica a condição >> d
(condição preenchida por
ondas
marítimas
normais
próximas do litoral e pelos
tsunami
inclusive em alto-mar), a
trajetória das partículas de água assume a forma
elíptica
. A amplitude da componen
te
longitudinal
é sempre muito maior
do que a
amplitud
e da componente
transve
r
sal10
,
sendo que a primeira é independente da
profundidade
11
e a segunda decai
linearmente
com a
profundidade
, anulando-se junto ao leito oceânico (vide equações
(A.6) e (A.7) do Apêndice).
A Fig. 3 representa as trajetórias das partículas de água em diferentes
profundidades
nas duas condições.
É importante destacar, de acordo com o representado na figura 3, que nas
duas situações (
>> d
e
2d
), quando uma partícula de água atinge o ponto mais
alto da sua trajetória, ela se desloca no mesmo sentido
da propagação da onda. Ao
atingir o ponto mais baixo da sua trajetória, uma partícula de água se desloca em
sentido
contrário
ao sentido da propagação da onda.
Mesmo que as duas componentes oscilatórias sejam
senoidais
(presunção
assumida para se traçar as trajetórias representadas na figura 3), o perfil
senoidal
das
ondas marítimas é perdido quando a condição >> d
es
tiver preenchida e,
adicionalmente, a
amplitude
da componente transversal máxima
H
for da mesma
ordem de grandeza da espessura da lâmina d água (ver o final do Apêndice). A Fig.
4, construída a partir das equações (A.1) e (A.2), representa os perfis de uma onda
9 Assim se entende como é que, mesmo com mar agitado, um submarino pode navegar em mar
calmo quando suficientemente submerso. Em grandes profundidades o ambiente marinho não
sofre a influência das ondas, inclusive aquelas produzidas em tempestades.
10 O fato de que a
amplit
ude longitudinal
é muito maior do que a
amplitude transversal
implica
em um movimento da água na direção de propagação da onda perceptível pelo banhista
suficientemente afastado da linha litorânea (além da zona de
rebentação
das ondas). Como este
movimento
tran
s
versal
é oscilatório, o banhista se sentirá arrastado para dentro do mar depois
que uma
crista
de onda passou por ele; a expressão popular para tal ocorrência é
repuxo
.
Adiante retomaremos este efe
i
to com mais detalhes.
11 O leito do oceano, em águas rasas próximas da costa, é constantemente agitado pela
passagem das ondas marítimas. Há evidências de que as ondas marítimas de tempestade
possam agitar a areia do fundo do oceano em profundidades de até 200 m e, excepcionalmente,
nas costas da Escóc
ia até 400 m (GORSHKOV; YAKUSHOVA, 1967).
Silveira, F. L. e Varriale, M. C.
197
(inclusive em níveis inferiores à da interface com o ar) com
período
de 10 s, com
amplitude vertical de 2 m, propagando-se em uma região onde a espessura da lâmina
d água é 5 m; sua velocidade de propagação
dada pela equação (5)
é 7 m/s e o
s
eu
comprimento de onda
é 70 m.
Fig. 3 - Trajetórias das partículas de água na região de propagação de
ondas marítimas em duas condições específicas.
Conforme se observa na Fig. 4, o perfil da onda difere de uma
senóide
(apesar das componentes
longitudina
l
e
transversal
serem oscilações
senoidais
no
tempo). A parte do perfil situada acima do nível não perturbado da água (represent
a
do
pela reta horizontal superior) é mais estreita do que uma
senóide
e a parte inferior
mais larga12
, assumindo a forma de
calha
.
Ainda é importante notar outros aspectos das ondas marítimas quando a
condição
d
estiver preenchida e, adicionalmente, a
amplitude
da componente
tran
sversal máxima
H
for da mesma ordem de grandeza da espessura da lâmina
d água
.
Eles dizem respeito ao movimento das partículas de água (vide observações
após as equações (A.8) e (A.9) do Apêndice):
12 A teoria que fundamenta tais resultados é uma teoria
linear
, onde na equação de Bernoulli o
termo dependente do quadrado da velocidade é desprezado; todos os resultados até aqui
apresent
ados são válidos para ondas de pequena amplitude (ELMORE; HEALD, 1988). Desta
forma, na situação agora tratada, onde certamente ocorrem efeitos não-
lineares
, os resultados
constituem uma aproximação grosseira da realidade. Tais efeitos não-
lineares
são responsáveis
por acentuar ainda mais o perfil não-
senoidal
da onda, tornando a região superior ao nível
normal da água mais estreita e
a
largando a
calha
inferior. Estes efeitos se acumularão conforme
a
espessura da lâmina d água diminui, levando à
rebentação
da onda. Mais adiante tra
taremos
da
rebentação
.
198
Cad. Brás. Ens. Fís., v. 22, n. 2: p. 190
-
208, ago. 2005
Fig. 4 - Perfil não-senoidal de uma onda marítima, com comprimento de
70 m e amplit
u
de
transversal máxima de 2
m, propagando
-
se em uma r
egião rasa.
Em conseqüência do fato de que as trajetórias são
elipses
e de que no
ponto mais alto uma partícula se desloca no mesmo sentido
da propagação da onda,
decorre que na
crista
da onda a água se movimenta no mesmo sentido
da propagação
da onda13
.
Em conseqüência do fato de que as trajetórias são
elipses
e de que no
ponto mais baixo uma partícula se desloca em sentido contrário
ao da propagação da
onda, decorre que no fundo da calha da onda a água se movimenta em
sentido
contrário
ao da propagaçã
o da onda.
Qualquer partícula verticalmente abaixo da
crista
ou abaixo do
fundo
da calha da onda, movimenta-se da mesma forma que na
crista
ou no fundo da calha
e com a mesma velocidade, pois a
amplitude
da oscilação
longitudinal
não se altera
com a posição vertical da partícula. Em todos esses pontos a velocidade longitudinal
das partículas de água atinge o seu valor máximo; em ordem de grandeza esta
velocidade é comparável à
velocidade de propagação
da onda14
.
A Fig. 5 representa, para a mesma onda da Fig. 4, as velocidades das
partículas de água em pontos na
crista
e no fundo da calha, movimentando-
se
paralelamente à direção de propagação da onda, no mesmo sentido (
crista
) e em
sentido contrário (fundo da calha), bem como as velocidades verticalmente aba
ixo
de
sses dois pontos. Observa-se que as velocidades com as quais a água se desloca
horizontalmente, apesar de terem um valor (2,8 m/s) menor do que o valor da
velocidade de prop
a
gação da ond
a (7 m/s), são da mesma ordem de grandeza desta.
13
O surfista que se encontra na
crista da onda
tende a ser arrastado pela onda.
14 Este fato pode ser observado pelo banhista, surfista ou nadador que ultrapassa a região de
rebe
n
tação
: ele vivencia uma correnteza
mar adentro
, um
rep
uxo
, quando se encontra na
calha
.
O surfista e o nadador experiente aproveitam este efeito para avançar contra a próxima onda .
Silveira, F. L. e Varriale, M. C.
199
IV. Energia mec
ânica transportada
Ondas marítimas transportam energia mecânica; em Elmore e Heald
(1988, p. 203-205) encontram-se as equações que permitem calcular as
dens
idades de
energia potencial, cinética e mecânica e a
intensidade
(densidade de po
tência
) de
ondas na superfície de líquidos. Para a análise que se segue, deve-se saber que a
energia mecânica
E
que se encontra ao longo de um comprimento de onda em
uma onda com frente de onda com extensão z, é diretamente proporcional ao
quadrado da
amplitude
da componente transversal máxima da onda
H
, ao
comprimento de o
n
da
e à extensão da
frente de onda
z
, como segue
:
Fig. 5 - Velocidade das partículas de água em alguns pontos na região
de propag
a
ção da onda marítima.
zHg
2
1
E2
(6)
onde
é a densidade da água.
De acordo com a equação (6), a energia mecânica transportada ao longo
de um comprimento onda é igual à energia potencial gravitacional de um
paralelepípedo de águ
a
cuja base tem arestas
z
e
, e cuja altura é
H.
O
tsunami
em alto-mar tem
amplitude
pequena; mesmo assim transporta
grande quantidade de
energia
devido ao seu grande comprimento de onda15. Quando
se aproxima da costa oceânica, passando para regiões menos profundas, a sua
velocidade de propagação, e conseqüentemente o seu comprimento de onda, se reduz
15
Um
tsunami
com
amplitude
transversal
de 1 m e
comprimento de onda
de 200 km transporta,
ao longo do seu comprimento de onda
,
a
energia mecânica 1 GJ (!!) por metro de sua frente de
on
da.
200
Cad. Brás. Ens. Fís., v. 22, n. 2: p. 190
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208, ago. 2005
(conforme já discutido na seção II). Como há pouca dissipação de energia neste
processo, a
e
nergia
transportada permanece inalterada. Desta forma:
21 EE
(7)
A relação (6) permite reescrever a igualdade (7) sob a forma:
22
2
211
2
1z.Hz.H ,
(8)
donde
0,5
2
1
0,5
2
1
1
2z
z
.
H
H
(9)
Dado que a razão entre os comprimentos de onda é igual à razão entre as
velocidades de propagação, e sendo a velocidade de propagação expressa pela
equação (5), obtém
-
se:
0,5
2
1
0,5
2
1
1
2z
z
.
v
v
H
H,
(10)
ou ainda,
0,5
2
1
0,25
2
1
1
2z
z
.
d
d
H
H
(11)
A equação (11) demonstra que dois fatores geométricos
a razão entre as
espessuras das lâminas d água e a razão entre as extensões das frentes de onda
são
importantes para a modificação da amplitude transversal máxima dos
tsunami
(e
conseqüentemente, pela equação (A.4) do Apêndice, da amplitude longitudinal
).
Admitindo
-se que a extensão da
frente de onda
permaneça inalterada, i
s
to
é,
z1
= z
2
, obtém
-
se a chamada
Lei de Green
(BRYANT, 2001, p. 31), dada por:
0,25
2
1
1
2d
d
H
H
(12)
Um
tsunami
que passa do alto-mar, onde tinha 1 m de
amplitude
transversal máxima e onde a
esp
essura da lâmina d água era cerca de 5.000 m, para
uma região próxima à costa, onde a espessura da lâmina d água se reduziu a 20 m,
atingirá aí a amplitude transversal máxima de cerca de 4 m, conforme se calcula
facilme
n
te pela equação (12):
m
3,98
1.
20
5000
H
0,25
2
O gráfico da Fig. 6 representa a
amplitude
de um
tsunami
, que em alto-
mar (d1 = 5.000 m) tem a amplitude H1 = 1 m, em função da espessura da lâmina
d água
. O gráfico foi construído em escala logarítmica para a variável independente.
O crescimento
da
amplitude
, concomitante com o encurtamento do
comprimento de onda, torna-se cada vez mais acentuado à medida que o
tsunami
se
aproxima da costa; somente quando o
tsunami
atinge regiões onde a lâmina d água
tem pequena espessura é que acontece o seu agigantamento. O
tsunami
que devastou
Silveira, F. L. e Varriale, M. C.
201
Sanriku em 1896 passou desapercebido para os pescadores que se encontravam a
alguns quilômetros da costa, navegando em frágeis embarcações; na manhã seguinte,
quando retornaram para casa, ficaram estupefatos com a destruição verificada
(TUFTY, 1978).
Fig. 6 - Relação da amplitude transversal máxima de um tsunami com a
espessura da lâm
ina d água por onde ele se propaga.
Turistas, que mergulhavam em frente a uma das praias devastadas pelo
tsunami
de 26 de dezembro de 2004, relataram que estavam próximos ao fundo do
oceano e que apenas notaram uma correnteza forte . Ao retornarem ao barco,
constataram que objetos no seu interior estavam desarrumados, evidência de
sacudida mais forte . Tais constatações são consistentes com o exposto
anteriormente sobre as ondas na condição d(vide seção III ou o Apêndice): a
amplitude da componente transversal do
tsunami
é máxima na superfície, anulando-
se no fundo do oceano; entretanto, a
amplitude
da componente longitu
dinal
é
muito
maior
do que a
amplit
ude da componente transversal máxima (isto é, na superfície),
202
Cad. Brás. Ens. Fís., v. 22, n. 2: p. 190
-
208, ago. 2005
permanecendo inalterada em todas as
profundidades
, inclusive junto do leito
oceânico16
. A Fig. 7 representa esquematicamente a propagação de um
tsunami
que
se a
proxima da costa oceânica17.
Fig. 7 - Ao se aproximar da costa, a velocidade de propagação e o
comprimento de onda de um tsunami decrescem enquanto a sua amplitude aumenta.
A Fig. 7 também representa a etapa em que finalmente o
tsunami
reben
ta.
A condição para que ocorra a
rebentação
de uma onda é uma função que depende de
um fator geométrico
k
relacionado com o leito do oceano, além de depender da
amplitude
transversal máxima
H
e do
período
T
da própria onda. Uma
grandeza adimensional, denomin
ada
parâmetro de rebentação da onda
Br ,
é
definido por (BRYANT, 2001, p. 35):
k
g T
H
B2
r,
(13)
16
Para um
tsunami
com
amplitude transversal H = 3 m
,
período T = 15 min
, propagando
-
se em
uma lâmina de água com
espessura
de 40 m, estima-se pelas equações (A.7) e (A.10) do
Apêndice uma
amplit
ude longitudinal de cerca de 210 m (210 m >> 3 m) e uma
velocidade
longitudinal
máxima da água de cerca de 1,5 m/s (5,3 km/h). Uma correnteza com velocidade
de alguns km/h não poderia passar desapercebida para um mergulhador próximo ao leito do
oceano, p
ois o arrastaria.
17
A figura 7 não deve ser interpretada literalmente. Além das
amplitudes
, dos
comprimentos
de onda
, e das
espessuras da lâmina d água
não se encontrarem em escala, um
tsunami
não se
const
i
tui em um longo trem de ondas que se estende desd
e o alto
-
mar até a costa. Esta figura é
uma forma pictórica de representar
o
aumento de
amplitude
das
componentes
de um
tsunami
,
quando este se propaga
de
alto
-
mar
para as imedi
a
ções da costa.
Silveira, F. L. e Varriale, M. C.
203
e a condição Br > 1 indica
rebentação
da onda. As ondas marítimas normais ,
produzidas por ventos, caracterizam-se por terem
períodos
muito menores
do que o
de um
tsunami
. Mesmo as ondas produzidas em tempestades, não excedem algumas
dezenas de segundos em seus
períodos
, enquanto os
tsunami
atingem
períodos
de
minutos ou de até meia-hora. Ondas produzidas em tempestades podem atingir
amplitudes
comparáveis às de um
tsunami
próximo da costa. A equação (13) implica
em que o parâmetro de
rebentação
para as ondas de tempestade seja muito maior do
que para um
tsunami
, ambos na mesma região. Ou seja, as ondas de tempestade
rebentam antes do que um
tsunami
, dissipando a maior parte da sua energia antes de
atingirem a linha da costa. Alguns
tsunami
podem atingir a linha da costa como uma
parede d água, ou seja, sem rebentar, deslocando-se com velocidades de 5 a 8
m/s (B
R
YANT, 2001, p.35).
V. Efeitos de refração
Quando uma onda sofre variações no valor da sua velocidade de
propagação
, também pode variar a sua direção de propagação. Este conhecido
fenômeno, a
refração
,
também ocorre com as
ondas mar
ítimas
.
A Fig. 8 representa um trem de ondas marítimas que se aproxima da
costa em uma direção inclinada em relação à linha do litoral. Ao passar de uma reg
i
ão
para outra, a espessura da lâmina d água diminui, diminuindo conseqüentemente a
velocidade de pr
opagação
, alterando a sua direção de propagação, que se aproxima
da normal à linha do litoral. Não importando em que direções se propaguem as
ondas
marítimas
longe da costa, elas tendem a atingir o litoral sempre em uma direção
aproximadamente perpendicula
r à linha costeira,
devido à
refração
.
A Fig. 8 também indica que a extensão da frente de onda se altera em
cons
eqüência da
refração
. De acordo com a equação (11), tal mudança também será
respo
n
sável por modificar a
amplitude
dessas
ondas marítimas
.
Mesmo
em alto-mar os
tsunami
sofrem
refração
devido ao relevo do leito
oceânico, já que a sua velocidade de propagação depende da espessura da lâmina
d água (os
tsunami
, diferentemente das ondas marítimas normais em alto-mar, são
capazes de sentir os contorn
os batimétricos
, isto é, a topografia do fundo do
oceano). A Fig. 9 representa o que pode ocorrer com um
tsunami
que se propaga
atr
a
vés de regiões com diferentes profundidades máximas.
Na situação representada na Fig. 9, os efeitos de
refração
determinam q
ue
a
energia
transportada pelo
tsunami
se concentre, convergindo para uma frente de
onda
menos extensa, após a passagem pela região menos profunda.
Conseqüentemente, a
amplitude
do
tsunami
aumenta. É possível também ocorrer a
divergência das direções de pr
opagação
(estes efeitos são análogos aos acontecidos
com a luz em lentes convergentes e divergentes) quando o
tsunami
passa por uma
região com rel
e
vo no fundo do oceano.
204
Cad. Brás. Ens. Fís., v. 22, n. 2: p. 190
-
208, ago. 2005
Fig. 8 - Em conseqüência da refração, independentemente da direção de
propagação das ondas marítimas longe da costa, elas atingirão a costa quase
perpendicula
r
mente à linha do litoral.
Fig. 9
-
Tsunami sofrendo refração que concentra a energia transportada.
Tsunami
gerados na costa oeste das Américas propendem para o
longínquo Japão através de efeitos de
refração
, tendo as suas energias concentradas
no litoral japonês. Por sua vez, o Tahiti está protegido contra a chegada de grandes
tsunami
porque o relevo do fundo do oceano desconcentra a energia de seu litoral
(BRYANT, 2001).
Silveira, F. L. e Varriale, M. C.
205
VI. Conclusão
Os livros texto de física geral, sejam para o ensino médio ou para o
ensino superior, são quase todos omissos em relação à matéria das
ondas marítimas18
.
Quando ministramos disciplinas de física geral para o ensino superior, t
emos
abordado este assunto e percebemos que os alunos mostram um interesse acima do
usual, principalmente no que diz respeito aos
tsunami
. Esta constatação é anterior à
tragédia do dia 26 de dezembro de 2004. Por motivos óbvios, acreditamos que o
interesse
v
e
nha a crescer.
O objetivo desse artigo foi o de dar uma contribuição ao tema das
ondas marítimas, já que a literatura disponível não é facilmente acessível para os
profess
ores. Em textos mais avançados, como por exemplo Elmore e Heald (1988),
encontram
-se as deduções das equações que descrevem o comportamento das
ondas
marítimas
(sem qualquer referência aos
tsunami
), mas há pouca discussão sobre as
impl
i
cações qualitativas e práticas de tais equações.
Referências bibliográficas
BRYANT, E. Tsunami. The underrated hazard. Cambridge: Cambridge University
Press, 2001.
ELMORE, W. C.; HEALD, M. A.
Physics of waves
.
New York: Dover, 1988.
GASPAR, A.
Física 2
.
São Paulo: Ática, 2001.
GORSHKOV, G.; YAKUSHOVA, A.
Physical geology
.
Moscou: MIR, 1967.
TUFTY, B. 1001 questions answered about earthquakes, avalanches, floods and other
natural disasters.
New York: Dover, 1978.
Apêndice
A Fig. 1.A representa
um sistema de coordenadas, cujo eixo dos
x
situa
-
se
sobre o leito do oceano, onde a espessura da lâmina d água
é
d. A posição de
equilíbrio de uma partícula de água é P0. Quando uma onda marítima, cuja
amplitude
transversal
na superfície do oceano é H, cruza por esta região, propagando-
se
segundo a orientação do semi-
eixo
x positivo, uma partícula em uma
profundid
ade
(d
y) afasta-se da posição P0, assumindo a posição P1. Os afastamentos na direção
18
Uma exceção encontra
-se em GASPAR (2001).
206
Cad. Brás. Ens. Fís., v. 22, n. 2: p. 190
-
208, ago. 2005
transversal
(direção vertical) e
longitudinal
(direção de propagação da onda), em um
instante de tempo
t
, são respectivamente
h
e
l.
Admitindo
-se que as oscilações
tran
sversal
e longitudinal de uma
partícula d água sejam
harmônicas
(isto é, descritas por funções
seno
ou
cosseno
),
valem as seguintes funções (ELMORE e HEALD, 1988; p. 188):
twxk
sen
H
d,
y,
aH
d,
y,
t;
x,
h
(A.1)
twxkcH
d,
y,
bH
d,
y,
t;
x,
l
os
,
(A.2)
onde
a(y, d, H)
e
b(y, d, H) são as amplitudes das oscilações transversal
e
longitudinal
, respectivamente, e dependem dos parâmetros
y
,
d
e
H
através de:
kd
-dk
ky
-
ky
ee
ee
H
dk
senh
yk
senh
HH
d,
y,
a,
(A.3)
kd
-dk
ky
-
ky
ee
ee
H
dksenh ykcosh
HH
d,
y,
b,
(A.4)
sendo
2
k
,
onde
é o comprimento de onda, e
T
2
w, onde T é o
período
de
ambas as oscilações. O parâmetro H tem o mesmo valor da amplitude da oscilação
transversal
da onda na superfície do oceano.
Fig. 1.A - Posição e componentes transversal e longitudinal da oscilação
de uma partícula d água.
Sabe
-se que a superposição de dois movimentos
harmônicos
ortogonais
no espaço e no tempo, ambos com o mesmo
período
, gera uma trajetória
elíptica
. De
acordo com as equações anteriores, as oscilações
transversal
e
longitudinal
de uma
partícula de água cumprem tais condições e, portanto, a trajetória de uma partícula de
água é uma
elipse
com semi-eixo menor a (
amplitud
e da oscilação
transversal
) e
semi
-eixo maior b (
amplitud
e da oscilação
longitudinal
), os quais,
para
0y
são
Silveira, F. L. e Varriale, M. C.
207
fu
n
ções crescentes de
y
. Assim sendo, quanto menor o valor de
y
, isto é, quanto maior
a
profundidade (d
y), menor será o tamanho dos semi-eixos. Junto ao leito do
oceano (y = 0) têm-
se
a = 0, ou seja, a amplitude da oscilação transversal se anula,
sendo máxima e igual a
H
na superfície do oceano (onde
y = d
).
Analisaremos, a seguir, o que ocorre com a trajetória de uma partícula
d água, nas duas situações de interesse, apresentadas na Fig. 3.
Se
2d
, que equivale à condição dk
, podemos escrever, para
os fatores que multiplicam
H
, nas equações (A.3) e (A.4), as seguintes aproximações:
ydk
dk2-
y)
(d
k2
y)
(d
k
dkdk
ykyk e
e-1
e1
e
ee
ee ,
donde obtemos que:
yd
-k
eHH
d,
y,
bH
d,
y,
a
(A.5)
Concluím
os, portanto, que a trajetória de uma partícula d água será
aproxim
adamente uma circunferência, e seu raio diminuirá exponencialmente com o
aumento da profundidade (d
y). Em uma
profundidade
2k
1
yd , o raio
será
37%
0,37
e1
do seu valor máximo H (que ocorre na superfície do oceano).
Note
-se que, aumentando a
profundidade
, o raio da trajetória tende para zero, ou seja,
por mais agitada que esteja a superfície do oceano, em águas
profundas
isto é
2
yd
a águ
a se encontrará virtualmente em repouso.
Se
>> d
(condição preenchida por
ondas marítimas
normais próximas
do litoral e pelos
tsunami
inclusive em alto-mar), que equivale à condição 2dk
,
obtém
-
se, de (A.3) e (A.4), as seguintes aproximações:
d
y
HH
d,
y,
a
(A.6)
dk
H
H
d,
y,
b
(A.7)
A expressão (A.6) implica em que a
amplitud
e
da oscilação
transversal
é
máxima na superfície (y = d) e decresce linearmente com o aumento da
profundidade
(com a diminuição de y), anulando-se junto ao leito oceânico. A expressão (A.7)
implica em que a
amplitud
e
da oscilação
longitudinal
da onda marítima independe da
profundidade
, sendo muito maior do que a
amplitude transversal
.
As
velocidades
transversal
e
longitudinal
de uma partícula de água
podem ser obtidas, calculando-se as derivadas parciais como relação ao tempo t, a
partir de (A.1) e (A.2), como segue:
twxk
cos
Hd
y,
awh
t
vv hy
(A.8)
208
Cad. Brás. Ens. Fís., v. 22, n. 2: p. 190
-
208, ago. 2005
twxk
sen
H
d,
y,
bwl
t
vv lx
(A.9)
Das equações (A.8) e (A.9), juntamente com as equações para
h
e
l,
decorre que
vx
tem
o mesmo sinal
de
h
e portanto:
na
crista
da onda (onde
h>0
e é máximo) a água se movimenta com
0vx, assumindo o valor máximo possível. Ou seja, na
crista
da onda a água se
mo
vimenta no mesmo sentido de propagação da onda.
no
fundo da calha
da onda (onde
h<0
e é mínimo) a água se movimenta
com
0vx, assumindo em módulo o valor máximo possível. Ou seja, no fundo da
calha
da onda a água se movimenta em sentido contrário ao da propagação da onda.
Particularizando a equação (A.9) para >> d, isto é, substituindo-
se
b(y,d, H) pela aproximação obtida em (A.7), observamos de imediato que a
velocidade
longitudinal
vx
da água independe da
profundidade.
Além disso,
obtém
-
se:
twxk
sen
d
H
vtwxksen
d
H
k
w
vx
(A.10)
onde
v
é a
velocid
ade de propagação
da onda.
Quando um
tsunami
se propaga em alto-
mar,
H << d, a
velocidade
máxima
longitudinal
e
transversal
da água é muito pequena quando comparada com a
velocidade de propagação
do
tsunami. Demonstra-se facilmente também que as
aceleraçõe
s da água associadas à passagem de um
tsunami
são muito menores
do que
a
aceleração gravitacional
g. Por tudo isto, é difícil o reconhecimento de um
tsunami
em alto
-
mar.
Se adicionalmente na equação (A.10) a
amplitude
transversal máxima
da
onda
H
for da ordem de grandeza da espessura da lâmina d água
d
, o valor
máximo
para vx tem a mesma ordem de grandeza de
v
velocidade de propagação da
onda. Esta condição é preenchida pelas ondas marítimas próximas à região de
rebentação
.
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