Control Discontinuo de Máquinas Sincrónicas Mediante Modos Deslizantes

Abstract

Una técnica novedosa de control robusto es desarrollada y aplicada para el control de máquinas sincrónicas en sistemas eléctricos de potencia. La técnica pertenece a la teoría de sistemas de estructura variable y se denomina control por modos deslizantes. La ley de control que se emplea es única, ya que es no-lineal y además, es discontinua. Esto permite que el controlador sea robusto; es decir, insensible ante incertidumbres paramétricas y perturbaciones externas. Se proponen dos estrategias distintas, utilizando la misma teoría de control por modos deslizantes; las cuales se aplican a modelos completos de la máquina sincrónica considerando o no, el modelo de la turbina hidráulica acoplada al eje de la máquina. En ambos casos los resultados muestran las ventajas del control propuesto, sobre estrategias de control convencional como la combinación del control automático de tensión y el estabilizador de potencia. Los resultados también demuestran la propiedad robusta del controlador, comparándose esta característica contra estrategias propuestas en trabajos anteriores en el campo del control no-lineal utilizando control por linealización realimentada. Las ventajas obtenidas con el control, se traducen en mejoras en las condiciones de estabilidad del sistema, ante pequeñas y grandes perturbaciones; lo que aumentaría la capacidad de generación de la máquina. Finalmente, se proponen algunas estrategias para la futura aplicación de la técnica.

Full text

davidh@usb.ve
Control Discontinuo de Máquinas Sincrónicas Mediante Modos Deslizantes
David Hernández, Alberto J. Urdaneta
Universidad Simón Bolívar
RESUMEN
Una técnica novedosa de control robusto es desarrollada y aplicada para el control de máquinas
sincrónicas en sistemas eléctricos de potencia. La técnica pertenece a la teoría de sistemas de
estructura variable y se denomina control por modos deslizantes. La ley de control que se emplea
es única, ya que es no-lineal y además, es discontinua. Esto permite que el controlador sea
robusto; es decir, insensible ante incertidumbres paramétricas y perturbaciones externas. Se
proponen dos estrategias distintas, utilizando la misma teoría de control por modos deslizantes;
las cuales se aplican a modelos completos de la máquina sincrónica considerando o no, el modelo
de la turbina hidráulica acoplada al eje de la máquina. En ambos casos los resultados muestran las
ventajas del control propuesto, sobre estrategias de control convencional como la combinación
del control automático de tensión y el estabilizador de potencia. Los resultados también
demuestran la propiedad robusta del controlador, comparándose esta característica contra
estrategias propuestas en trabajos anteriores en el campo del control no-lineal utilizando control
por linealización realimentada. Las ventajas obtenidas con el control, se traducen en mejoras en
las condiciones de estabilidad del sistema, ante pequeñas y grandes perturbaciones; lo que
aumentaría la capacidad de generación de la máquina. Finalmente, se proponen algunas
estrategias para la futura aplicación de la técnica.
PALABRAS CLAVE
Estabilidad, Máquinas Sincrónicas, Modos Deslizantes, Control Discontinuo.
Comité Nacional Venezolano
I CONGRESO VENEZOLANO DE REDES Y ENERGÍA
ELÉCTRICA
Noviembre 2007
123

2
INTRODUCCIÓN
La máquina sincrónica, así como prácticamente casi todos los dispositivos de conversión de energía
electro-mecánica, puede operar como motor o como generador. El uso más típico que se le da a este tipo
de máquina es el de generador sincrónico, debido a las características propias del convertidor en cuanto a
su eficiencia, capacidad de generar grandes bloques de potencia, entre otras; de hecho estas máquinas
constituyen la principal fuente de potencia eléctrica del mundo. Un sistema de potencia debe ser capaz de
cumplir con requerimientos básicos de operación como: operar a mínimo costo, soportar cambios
continuos y variaciones de potencia, mantener criterios de calidad del servicio eléctrico, entre otros. Para
cumplir con estos requerimientos, existe toda una estructura en la que se organizan los distintos
dispositivos de control del sistema de potencia. El objetivo de estos sistemas de control es el de mantener
las variables del sistema dentro de los límites aceptables de operación ante cualquier perturbación que
pueda ocurrir en la red. El control de excitación de la máquina regula la tensión y la potencia reactiva en
los bornes de la misma; por otro lado el control carga-frecuencia mantiene en equilibrio la relación entre la
potencia generada y la carga del sistema, regulando la frecuencia y los flujos de interconexión hacia
sistemas vecinos. Desde cualquier punto de vista el desarrollo durante muchas décadas de la teoría de
control y el desarrollo de técnicas cada vez más novedosas dentro de la teoría de control moderna, han
sido de vital importancia para la operación efectiva de procesos que requieren ser controlados con altos
niveles de confiabilidad y precisión. En un contexto más general, el objetivo principal de los dispositivos
de control es el de mantener el sistema estable; es decir, mantener entre límites razonables las condiciones
de operación y de sincronismo entre la máquina y el sistema ante una perturbación dada [1].
Esta investigación lidia entonces con el diseño y simulación de estrategias de control moderno, basadas en
este caso en el control por modos deslizantes, que permitan mejorar las condiciones de estabilidad en
pequeña y gran señal del sistema generador-turbina, con el objetivo de comparar y contrastar esta técnica,
con los dispositivos tradicionales de control y regulación de la máquina sincrónica. En [2]-[6] se presentan
bajo un contexto más amplio, las tendencias actuales en aplicaciones de estrategias de control moderno a
sistemas eléctricos de potencia tratando específicamente el problema de la estabilidad.
CONTROL POR MODOS DESLIZANTES Y EL MODELO DE LA PLANTA
En [7]-[12] se presentan de forma detallada la teoría detrás de esta técnica de control, además de algunas
técnicas para la transformación de la representación matemática de un sistema a algunas de las formas
canónicas propuestas en la literatura, como la representación desacoplada de entrada-salida. Esta
representación forma parte de la teoría de control no-lineal basada en las técnicas de “linealización
realimentada” y es la base para la aplicación del control por modos deslizantes en este trabajo.
El control por Modos Deslizantes, es una técnica que pertenece al control robusto no-lineal. Esta
estrategia, como parte del control de estructura variable, permite obtener una señal de control robusta en la
que el sistema controlado es insensible a incertidumbres paramétricas y perturbaciones externas. Sin
embargo, esto ocurre a cambio de una actividad de control excesivamente alta, debido a la naturaleza no-
lineal de la señal de control. El fenómeno que se obtiene debido a esta alta actividad, es el de oscilaciones
a altas frecuencias alrededor de la superficie de deslizamiento, para la cual durante años se han
desarrollado distintas estrategias con el objetivo de atenuar sus efectos. El diseño de sistemas de control
utilizando la técnica de control por modos deslizantes, se puede dividir en dos etapas. La primera etapa
comprende el diseño de las superficies de deslizamiento y la segunda etapa, el diseño de la ley de control.
Ésta última se puede dividir también en dos componentes: la ley de control equivalente y la ley de control
de alcance.

3
Para un sistema expresado en variables de estado, se tiene: (1)
Donde:
nx dim
y
mu dim
. El problema del control se puede reducir al diseño del vector de
superficies de deslizamiento s(x) de dimensión “m” y a la selección de una señal de control de estructura
variable del tipo [9]:







0)(),(
0)(),(
),( xstxu
xstxu
txu
(2)
El vector de superficies de deslizamiento se puede escribir de la forma:
 
T
mxsxsxsxs )()()()( 21 
(3)
Donde cada superficie de deslizamiento si(x) se puede escribir de la forma:
0)( 2211  xcxxcxcxs T
ni 
(4)
Con:
Si los autovalores deseados de la expresión (4) son respectivamente λ1, λ2,..., λn-1; la selección de estos
coeficientes puede efectuarse siguiendo el procedimiento tradicional de técnicas de control lineal como la
reubicación de polos. Entonces se tiene:
 
0)()())((121  typpp n


(5)
Donde p es el operador d/dt. Finalmente, comparando las expresiones (4) y (5), se pueden obtener las
expresiones para cada uno de los términos del vector de parámetros cT en función de los autovalores
deseados en la superficie de deslizamiento. Esto es [13]:
 
 
1211
221131132
2
2
121
1
1211
)1(
)1()())((









nn
nnn
n
n
n
n
c
c
c







(6)
La segunda etapa del diseño, corresponde a la selección de la ley de control, esta se puede escribir como:
)()()( tututu eqh
(7)
La primera componente de esta expresión corresponde a la componente de alcance, la cual tiene como
objetivo dirigir cualquier trayectoria de estado hacia la superficie de deslizamiento. La segunda, es la
componente equivalente, la cual tiene como objetivo impedir que las trayectorias de estado se desvíen de
su movimiento a través de la superficie de deslizamiento [13]-[15].
Una vez seleccionadas las superficies de deslizamiento, la ley de control completa obtenida es [9]:

















)()sgn()(
)(
)(
)(
)( 1sKfsQxa
x
xs
xb
x
xs
xu
(8)
uxbxatx )()()( 

 
1
21 cccT

4
Ó también como se propone en [10]:
 
)]()sgn()([)()( 1sKfsQxaxbxu  
(9)
Donde Q y K son matrices constantes y:
 
 
T
mm
T
m
sfsfsfsf
ssss
)()()()(
)sgn()sgn()sgn()sgn(
2211
21




Es importante destacar la importancia que tiene la selección de la función f(s) para reducir los efectos de
las oscilaciones de alta frecuencia. En [9] y [16] se propone seleccionar esta función en su forma
exponencial, esto permite ajustar la velocidad de la trayectoria de estado en la fase de alcance y, lo más
importante, es una forma simple de atenuar las oscilaciones y sus efectos.
Fig. 1. (a) Modo deslizante con oscilaciones, (b) Solución con banda frontera.
El modelo de la máquina sincrónica expresado en términos de las corrientes del sistema, se desarrolla en
[17] y [18], y parte de la aplicación de la transformación de Park al modelo de la máquina en coordenadas
primitivas. Se obtiene la representación completa del modelo de la planta, incluyendo las escuaciones
dinámicas de la máquina sincrónica y las ecuaciones dinámicas de la turbina hidráulica de la siguiente
forma:
uxbxax )()( 

(10)
Donde:
En esta representación la entrada UF es la tensión de campo vF, y la entrada UG corresponde a la señal de
entrada del modelo de la turbina hidráulica. En el modelo anterior los coeficientes aij (i=1:7, j=1:6) son
constantes y dependen de los parámetros de la máquina contenidos en las matrices
)
ˆˆ
(NR


y
L
ˆ
. Los
coeficientes aij (i=8:9, j=1:2) dependen de las constantes asociadas al modelo de la turbina propuesto en
[17], lo mismo ocurre con los coeficientes de la matriz b(x).









































991
2
9
2
8
8281
6
2
96
3
8
666655164436342624161
756555454635362526151
746545444634362426141
73665356434333232131
72665256424323222121
71665156414313212111
)1(
)cos(
)cos(
)sin(
)sin(
)sin(
)(
xa x
x
aa
xxx
x
axaxxaxxaxxaxxa
xaxaxaxxaxxaxxa
xaxaxaxxaxxaxxa
xaxxaxxaxaxaxa
xaxxaxxaxaxaxa
xaxxaxxaxaxaxa
xa
R






 
 
 
GF
T
T
QqDFd
T
T
UUu
xxxxxxxxx
Gqiiiiix
b
b
b
bbb
xb

















987654321
2
1
92
312111 00000000
000000
)(


5
ESTRATEGIAS DE CONTROL PROPUESTAS
1) Primera Estrategia de Control Propuesta: El esquema y la estrategia de control de múltiples variables,
desarrollado a partir del modelo del sistema presentado anteriormente, ha sido propuesto en [17]; sin
embargo, en este caso el control no-lineal está basado en el control por modos deslizantes.
Un diagrama esquemático de la primera estrategia de control se muestra en la siguiente figura:
Fig. 2. Estrategia de control propuesta en [17].
Se elijen como salidas a controlar, la tensión en terminales de la máquina (Vt) y la posición angular del
rotor de la máquina (δ). Al aplicar la transformación de entrada-salida [9], el sistema de ecuaciones que
describe las dinámicas externas, está dado por:
uxx
U
U
xx
xx
x
x
Vt
dt
d
G
F)()(
)()(
)()(
)(
)(
2221
1211
2
1


































(11)
En este caso se tienen sólo dos salidas, entonces el vector de superficies de deslizamiento está dado por:
 
)()()( 21 xsxsxs 
(12)
Para seleccionar los coeficientes de las superficies de deslizamiento éstas se definen en función de los
errores de seguimiento ei de cada variable de estado xi. Esto es:
iREFii xxe 
(13)
Se propone elegir la superficie de deslizamiento para la primera salida del sistema (tensión en terminales)
como:
 
REF
VtVtCxs  111)(
(14)
Mientras que para la segunda salida (posición angular), se propone:
 
   
 
REFREFREFREF GGCCCCxs  242322212)(


(15)
Donde el último término de la expresión (15) estabiliza las dinámicas internas del modelo del sistema
expresado en la forma normal. Sin perder el criterio de notación, para los coeficientes C11 y C23 se elige la
unidad. Mientras que el resto se puede elegir utilizando la ubicación de polos, en nuestro caso se tienen
dos polos λ1 y λ2, entonces:
2121

C
y
 
2122

C
(16)

6
El siguiente paso en el diseño, es obtener la ley de control del sistema.
 
)]()sgn()([)()( 1sKfsQxxxu  

(17)
En este trabajo, se propone utilizar la ley de alcance exponencial, según la cual la componente de alcance:
)()sgn( sKfsQs 

(18)
Se selecciona como:
)sgn( iii ssks i



(19)
Con esta componente, al evitarse el término Qsgn(s) y al elegir convenientemente las constantes ki, las
oscilaciones de alta frecuencia en la señal de control pueden reducirse considerablemente. Finalmente la
ley de control del sistema será:
 
))](sgn()()([)()( 1xsxsKxxxu


 
(20)
Para nuestro sistema, la ley de control de la tensión de campo se obtiene como:
 
))(sgn()()(
)(
11111
11
1xsxskx
x
UF




(21)
Por último, la señal de control del nivel de apertura de la compuerta de la turbina hidráulica, esta dada por:
 





 ))(sgn()()(
)(
1
)( )( 2222
2222
21 2xsxskx
x
U
x
x
UFG




(22)
2) Segunda Estrategia de Control Propuesta: En la estrategia de control mostrada anteriormente, se
reducen los modelos del sistema (modelo completo y modelo simplificado), a la forma normal, para luego
aplicar el control por modos deslizantes. En ambos casos, el control se aplica a sistemas de múltiples
entradas y múltiples salidas. La segunda estrategia de control que se propone ahora, se aplica a un sistema
de entrada y salida simple, donde no se incluye el modelo de la turbina hidráulica. En este caso, la señal de
control es la tensión de campo, y la turbina es controlada con un controlador tipo PID convencional, como
se muestra en la siguiente figura:
Fig. 3. Segunda estrategia de control propuesta.

7
Como se excluyen ahora las ecuaciones dinámicas del modelo de la turbina hidráulica, el sistema de
ecuaciones está dado por:
uxbxax )(
~
)(
~

(23)
Donde los términos de la expresión (23) se calculan de forma similar a los obtenidos utilizando la primera
estrategia de control propuesta. Ahora, la salida del sistema es la tensión en terminales de la máquina (Vt),
al aplicar la primera derivada sobre esta salida, se obtiene explícitamente la entrada vF del sistema, por lo
que el grado relativo del mismo es uno. El sistema transformado a la forma normal está dado por:
uxx
dt
dVt )(
~
)(
~


(24)
Por último, en este caso, la ley de control estará dada por:
 
))](sgn()()(
~
[)(
~1xsxsKxxvU FF


 
(25)
RESULTADOS
Se han efectuado simulaciones utilizando dos casos de prueba: sistema de una máquina conectada a barra
infinita y sistema de varias máquinas. Para cada caso de prueba y para cada estrategia de control, se han
obtenido resultados de la respuesta del sistema y la efectividad del control, ante dos tipos de
perturbaciones posibles: perturbaciones a gran señal (fallas trifásicas) y perturbaciones en pequeña señal
(escalones de variación en la tensión de referencia). Adicionalmente se llevaron a cabo pruebas de
variaciones paramétricas a través de la variación de ±5% en la inductancia de magnetización del eje
directo.
En las graficas 4, 5 y 6, se muestran algunos resultados obtenidos utilizando la primera estrategia de
control propuesta.
Fig. 4. Desviación angular ante falla trifásica con la primera
estrategia de control propuesta, caso máquina conectada a
una barra infinita (AVR=Automatic Voltage Regulator,
PSS=Power System Stabilizer, CMD=Control por Modos
Deslizantes).
Fig. 5. Tensión en terminales ante falla trifásica con la
primera estrategia de control propuesta, caso máquina
conectada a una barra infinita.

8
Fig. 6. Desviación angular ante escalón en la tensión de
referencia con la primera estrategia de control propuesta,
caso máquina conectada a una barra infinita.
Fig. 7. Desviación angular ante falla trifásica con la
segunda estrategia de control propuesta, caso máquina
conectada a una barra infinita.
Utilizando la segunda estrategia de control propuesta se obtuvieron resultados muy similares a los
obtenidos con la primera estrategia de control. Análogamente en el caso multi-máquina:
Fig. 8. Desviación angular ante falla trifásica, caso multi-
máquina.
Fig. 9. Tensión en terminales ante falla trifásica, caso multi-
máquina.
En las figuras 4 a la 7 se muestran algunos de los resultados obtenidos para el primer caso de prueba. Ante
ambos tipos de perturbaciones estudiadas las respuestas obtenidas en todos los casos es superior al utilizar
el control por modos deslizantes, en comparación con las técnicas de control convencional lineal (AVR,
AVR+PSS). Adicionalmente en el estudio se evaluó la respuesta robusta del control ante variaciones
paramétricas en el sistema, a través de la simulación de variaciones paramétricas en la inductancia de
magnetización del eje directo. Finalmente para el segundo caso de prueba igualmente se muestra la alta
superioridad del control por modos deslizantes sobre las técnicas de control convencional (figuras 8 y 9),
con tiempos de establecimiento significativamente más rápidos con el control por modos deslizantes.
CONCLUSIÓN
Se han desarrollado y validado dos estrategias de control robusto, para su aplicación a máquinas
sincrónicas, basadas en la técnica de control por modos deslizantes, de la teoría de sistemas de estructura
variable. Para la aplicación de la técnica se ha asumido sin embargo, que todas las variables de estado del
sistema están disponibles. En todo caso, se podría asumir que se dispone de todas las variables de estado si
se desprecian el efecto de las corrientes en los devanados de amortiguación de la máquina. Los resultados

9
obtenidos comprueban no sólo la característica robusta del controlador, sino también su efectividad al
mejorar la respuesta del sistema ante pequeñas y grandes perturbaciones. La validación de las estrategias,
se han obtenido al comparar las respuestas obtenidas del control por modos deslizantes con la respuesta de
dispositivos de control convencional como el control PID, el control automático de tensión y el
estabilizador de potencia, en conjunto. Una mejora sustancial de la respuesta del sistema ante distintos
tipos de perturbaciones, se traduce directamente en una mejora en las condiciones límites para la
operación en estado estable del sistema. Por lo tanto, podría operarse la máquina de forma segura en
condiciones próximas a estos puntos límites, aprovechando así aún más, la capacidad de generación de
potencia de la máquina.
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