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An invitation to Clifford Analysis

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Abstract

In this paper, an overview of the main topics and basic tools of Clifford Analysis is presented. At the same time, the main integral formulas related to the Cauchy type integral -and its singular version- are analyzed in a multidimensional context with the use of Clifford algebra techniques. Some historical notes on the development of this research field are also included.
109
REVISTA CIENCIAS MATEMATICAS Vol. 21, No. 2, 2003
UNA INVITACION AL ANALISIS DE CLIFFORD
R. Delanghe, Dpto. de Análisis Matemático, Universidad de Gante, Gante, Bélgica
J. Bory-Reyes∗∗, Dpto. de Matemática, Universidad de Oriente, Santiago de Cuba, Cuba
RESUMEN
Una panorámica de los tópicos principales y herramientas básicas del Análisis de Clifford se presenta
en este artículo, al mismo tiempo, las principales fórmulas integrales relacionadas con la integral tipo
Cauchy -y su versión singular- son analizadas en un contexto multidimensional, con el uso de las
técnicas de álgebras de Clifford. Se incluyen también algunas notas históricas sobre el desarrollo de
este campo de investigación.
Palabras clave: Análisis de Clifford
Clasificación de materia: 30G35
ABSTRACT
In this paper, an overview of the main topics and basic tools of Clifford Analysis is presented. At the
same time, the main integral formulas related to the Cauchy type integral -and its singular version- are
analyzed in a multidimensional context with the use of Clifford algebra techniques. Some historical
notes on the development of this research field are also included.
Key words: Clifford Analysis
I. ALGUNAS NOTAS HISTORICAS Y OBSERVACIONES
El Análisis de Clifford posee sus orígenes en el Análisis Cuaterniónico, este último dio sus primeros pasos
cuando en 1843 R. W. Hamilton, en un intento de introducir un análogo tres-dimensional del sistema de los
números complejos, inventó, como es bien conocido, los cuaterniones reales (ver [40]). Luego de su
esclarecimiento de la noción de “número complejo” como un par ordenado de números reales por un lado, y
la deducción a partir de este hecho, de que las operaciones con números complejos son esencialmente
reducidas a operaciones con números reales; y por otro lado, el hecho de que los matemáticos, alrededor del
año 1930 se percataron de que el álgebra de los números complejos se suplantaba trabajando con vectores
en el plano, Hamilton deseaba probar si un análogo espacial del álgebra de números complejos podría ser
trabajado de modo que las operaciones con este fueran suplantadas por vectores. El estableció que sus
nuevos “números” (los cuales fueron llamados cuaterniones) debían poseer cuatro componentes reales y la
propiedad conmutativa de la multiplicación debía ser sacrificada. Posterior a Hamilton esta nueva álgebra fue
denotada por H.
Un cuaternio real es un elemento q de la forma
,kzjyixtq +++=
donde i, j, k son las unidades “imaginarias” de H. Ellas satisfacen las siguientes reglas básicas de
multiplicación
.jki,ijk,kij
1kji
222
===
===
Nótese que, por ejemplo
kij =
y
,kji =
luego la propiedad conmutativa del producto de hecho no es
válida.
La parte real o escalar de q; Re q, y su parte vectorial pura o imaginaria, Vec q están dadas por
Email:
rd@cage.rug.ac.be
∗∗
jbory@bioeco.ciges.inf.cu; jbory@rect.uo.edu.cu
110
Re q = t, Vec
.kzjyixq ++=
Dos cuaternios son sumados componente a componente y son multiplicados usando la distributividad y las
reglas básicas indicadas anteriormente.
Definiendo la conjugación
q
de q por
,kzjyixtq =
obtenemos que
,zyxtqqqqq
2222
2
+++===
de donde cada
0q
posee un inverso
1
q
con
.
q
q
q
2
1
=
R. W. Hamilton también introdujo un operador diferencial de primer orden, el llamado - operador, definido
por
.
z
k
y
j
x
i:
+
+
=
Actuando por (la izquierda) sobre una función u con valores cuaterniónicos vectoriales puros
,kujuiuu 321 ++=
donde
r
u
, r = 1, 2, 3 son funciones R-valuadas, este da lugar a
.
y
u
x
u
k
x
u
z
u
j
z
u
y
u
i
z
u
y
u
x
u
u12
3
12
33
21
+
+
+
+
+
=
De este modo, en el lenguaje del álgebra de vectores, esto significa que, denotando
),u,u,u(u
321
=
u
representa una función con valores cuaterniónicos tal que
Re
udivu
=
y
Vec
.urotu
=
Nótese también que, si aplicamos el operador
a una función R-valuada
,
u
entonces
,
z
u
k
y
u
j
x
u
iu
+
+
=
es decir, se obtiene grad u.
Además
.
zyx
3
2
2
2
2
2
2
2
=
=
111
donde
3
representa el Laplaciano en el espacio Euclidiano tres-dimensional.
Finalmente denotando
,
tz
k
y
j
x
i
t
:D +
=
+
+
+
=
obtenemos que
,DDDD
4
==
donde
4
representa el Laplaciano en el espacio Euclideano cuatro-dimensional.
El operador D fue introducido por R. Fueter en [33, 34] como una generalización en R
4
del operador clásico
de Cauchy-Riemann
yx
i: +=
en el plano complejo.
Las soluciones nulas del operador D en cierto subconjunto abierto
R
4
, es decir, funciones “suaves”
cuaternio valuadas
3210
kujuiuuu
+++=
satisfaciendo
0Du =
en , fueron denominadas funciones regulares (a la izquierda) de una variable
cuaterniónica.
Independientemente, Gr. Moisil [57] y posteriormente N. Teodorescu [78] también introdujeron el operador
D como un ejemplo de un operador diferencial lineal el cual factoriza al Laplaciano. En trabajos iniciales,
ellos obtuvieron ya una descomposición del Laplaciano
3
como
3
=
,DDDD =
donde
D
,
zyx
zyx
γ+
γ+
γ=
y
zyx
,,
γγγ
son apropiadas
4
x
4
matrices sobre R.
Con la idea en mente de la descomposición del Laplaciano
1m
+
en el espacio Euclidiano (
1
m
+
)-
dimensional, Gr. Moisil y N. Teodorescu (ver [58]) consideraron, sin referirse como tal, al álgebra real de
Clifford R
0,m
construida sobre el espacio vectorial cuadrático R
0,m
con base ortonormal (
m21
e,...,e,e
)
satisfaciendo las reglas de multiplicación
0eeee
ijji
=+
,
ji
1e
2
i
=
,
.m,...,1i =
Ellos luego definieron formalmente el operador generalizado de Cauchy-Riemann
m10
xmx1x
e...eD
+++=
y obtuvieron la relación
,DDDD
1m
+
==
donde
.e...eD m10
xmx1x
=
112
Siguiendo la tradición de la escuela rumana iniciada por D. Pompeiu (ver [64]) ellos obtuvieron el operador
D, al menos en el caso cuaterniónico, como una derivada “areolar”.
P. Bosshard [12] y W. Nef [62], ambos alumnos de Fueter, también emplearon el álgebra de Clifford
R
0,m
,
con el objetivo de factorizar al Laplaciano en espacios Euclidianos.
Nótese que la propiedad
1m
DDDD
+
==
asegura la armonicidad de las componentes de las soluciones
R
0,m
-valuadas de
.0Du =
Pero existe más aún: fórmulas integrales básicas pueden ser establecidas.
Precisamente:
i) Para soluciones de
0Df =
y
0gD
=
en un abierto
R
m+1
, un teorema de tipo Cauchy es válido. La
demostración de este se basa esencialmente en la propiedad de ser cerrada la
R
0,m
-valuada
m
-forma
,fgd
σ
con
=
=σ
m
0j
jj
j
,x
ˆ
de)1(:d
y la aplicación directa del Teorema de Stokes.
ii) Las soluciones de Df = 0 en un dominio acotado
de
R
m+1
son reproducidas por sus valores de fronteras.
La demostración se basa en el Teorema de Cauchy aplicado a la
R
0.m
-valuada m-forma ,fedσ donde
,EDe =
siendo E la solución fundamental estándar del operador de Laplace
.
1m
+
El principal interés de R. Fueter, en la introducción del operador D (en el caso cuaterniónico) fue asegurar
la validez del Teorema de Cauchy.
Como nosotros ya hemos mencionado, el punto de vista desarrollado por Gr. Moisil y N. Teodorescu se
basa esencialmente en la factorización del Laplaciano.
Ambos enfoques conducen a la fórmula integral de Cauchy, dejando abierto el camino a la generalización
de los teoremas fundamentales en el Análisis complejo clásico al caso de dimensiones superiores: Teorema
de Liouville, Teorema del Valor medio, Teorema del módulo máximo, desarrollo en series, etc.
Más adelante en [77] A. Sudbery analizó las relaciones profundas entre el Análisis complejo y el Análisis
cuaterniónico, las que preveen un gran número de nuevos hechos. Los primeros trabajos conocidos en esta
temática fueron dados por A. C. Dixon en [31], y más tarde C. Lanczos describe los rudimentos del Análisis
cuaterniónico en su tesis doctoral (ver [47]).
El acercamiento dado por R. Fueter y Gr. Moisil–N. Teodorescu fue retomado nuevamente en los años
1960 y de forma independiente por V. Iftimie [43]. David Hestenes [41] y Richard Delanghe [27]. Estos
trabajos marcaron el inicio de una nueva y autónoma disciplina en el análisis matemático, llamada Análisis
de Clifford (ver [44]). El término Análisis de Clifford fue empleado primeramente por J. Ryan a finales de los
años 70, y luego usado por Brackx, Delanghe y Sommen [14] para el título del primer libro publicado en esta
área.
Nótese que la factorización de operadores diferenciales parciales de segundo orden con coeficientes
constantes, con el uso de álgebras de matrices u otros tipos de álgebras lineales asociativas, es una técnica
bien conocida por físicos. Probablemente el ejemplo más famoso fue construido por P. M. Dirac en 1928 (ver
[30]), cuando él introduce el operador llamado posteriormente “raíz cuadrada” del operador de onda.
Recordemos que el operador de Dirac D, dado por
,D 3210
x3x2x1x0
γ+γ+γ+γ=
satisface
2
D
.
xxxx
2
3
2
2
2
2
2
1
2
2
0
2
=
Aquí
3210
,,,
γγγγ
son las llamadas γ-matrices, que satisfacen las reglas de multiplicación básicas
,I
4
2
0
=γ
I
j
=γ
3,2,1j
=
113
y
,0
ijji
=γγ+γγ
ji
Como es bien conocido, el álgebra de Dirac, i.e., el álgebra de matrices generadas por las
γ
-matrices, es
una realización particular del álgebra real de Clifford
R
1,3
. Más generalmente, si para
p,q
N
fijos,
R
p,q
se
entiende como el espacio vectorial real
R
n
(
q
p
n
+
=
) adueñado con una forma bilineal simétrica y no
degenerada B de signatura (p, q) y
R
p,q
denota el álgebra universal real de Clifford construida sobre
R
p,q
,
entonces el Laplaciano para el espacio real cuadrático
R
p,q
puede ser factorizado por el operador de Dirac
asociado D. Precisamente, si
)e,...,e,e,...,e(e
qp1pp1
++
=
es una base ortonormal para R
p,q
, i.e.,
B(e
i
, e
j
) = 1, i = 1,…,p,
B(e
i
, e
j
) = -1, i = p + 1,…,p + q,
B(e
i
, e
j
) = 0, i j,
tenemos que, tomando
k
x
n
1k
k
eD
=
=
,
.
xx
D
n
1pj 2
j
2
p
1i 2
i
2
2
+==
==
Obviamente el caso
)3,1()q,p(
=
alude el álgebra "espacio-tiempo" considerada por Dirac.
Por otra parte, el álgebra de Clifford
R
p,q
puede ser empleada para construir grupos dobles de cubrimiento
para el grupo ortogonal O(p,q) y para el grupo de rotaciones SO(p,q). Además, el espacio spinor
m2
S
puede
ser obtenido como un ideal izquierdo minimal dentro del álgebra de Clifford compleja C
2m
, esto aclara que las
álgebras de Clifford juegan un importante papel en las aplicaciones a problemas de la física-matemática.
En 1985 J. S. R. Chisholm organiza en Canterbury la primera de una serie de conferencias sobre “Clifford
Algebras and Their Applications in Mathematical Physics”, continuando esta con las celebradas en
Montpellier (1989), Deinze (1993), Aachen (1996), Ixtapa (1999), Cookeville (2002). En 1988 se celebra el
Taller sobre Álgebra de Clifford, Análisis de Clifford y sus Aplicaciones en la Física Matemática, organizado
en la Universidad de Gante por el Seminario de Álgebra y Análisis Funcional (Facultad de Ciencias) y el
Seminario de Análisis Matemático (Facultad de Ingeniería). La fundación de la revista “Advances in Applied
Clifford Algebras”, por Jaime Keller, así como también la inauguración de un sitio de INTERNET
http://www.clifford.org/, por W. M. Pezzaglia ha contribuido, sin lugar a dudas, a crear una atmósfera
entusiasta y de buena voluntad para futuras cooperaciones a partir de la celebración de estas conferencias.
En los años 1980, los contactos entre investigadores ocupados del estudio del operador de Dirac fueron
estimulados por la celebración en Srni, República Checa, de la Escuela Anual de Invierno Geometría,
Análisis Hipercomplejo y Campos Calibrados.
Aunque en cada una de las conferencias mencionadas, una sección especial fue dedicada completamente
al tema del Análisis de Clifford y sus aplicaciones, la rápida evolución de esta nueva disciplina desde 1990,
condujo a la organización de conferencias independientes: Holzhan (1992), Fayeteville (1993), Warsaw
(1994), Ciudad de México (1994), Trieste (1994), Sieffen (1996), Delaware (1997), Cetrano (1998), Beijing
(2000), Prague (2000) y Macao (2002).
Debemos notar que en el marco del 4
to
encuentro CMFT (2001), que tuvo lugar en Aveiro. Portugal, se
desarrolló una sección especial sobre Análisis de Clifford con el objetivo de poner en contacto el Análisis
complejo clásico con este campo de investigación.
Por la rica variedad de temas que aborda el Análisis de Clifford y sus aplicaciones los autores de este
artículo introductorio desean provocar, así como también establecer, en los jóvenes investigadores, el interés
114
por este tema y refieren la lectura de las actas de los eventos celebrados y algunos libros publicados al
respecto (ver [13, 14, 15, 16, 18, 29, 36, 37, 38, 39, 45, 46, 54, 55, 59, 60, 63, 66, 68, 70, 71]).
Los métodos del Análisis de Clifford han constituido cada vez más una herramienta matemática importante
usada para el tratamiento de problemas físicos y matemáticos. En el año 2001, en ocasión de la celebración
de la 107 Reunión Anual de la Sociedad Americana de Matemática, le fue otorgado a Sijue Wu el premio
“Ruth Lyttle Satter”, por sus relevantes aportes en el campo de las ecuaciones de ondas superficiales sobre
un líquido en dos y tres dimensiones (ver [79, 80]). A decir de la propia Wu el Análisis de Clifford (las
integrales singulares y las álgebras de Clifford) constituyen una herramienta efectiva para el estudio del
problema de ondas superficiales sobre un líquido.
En los últimos años han sido varios los intentos por presentar los resultados básicos del Análisis de Clifford
a través de trabajos introductorios al tema (ver [20, 26, 28, 56, 69, 77]), pero no conocemos que exista un
intento de presentar un trabajo introductorio al Análisis de Clifford redactado en idioma español, lo cual
facilitaría la lectura del mismo a estudiantes y jóvenes investigadores de países de América Latina y el
Caribe. El presente artículo pretende cubrir esta posibilidad, para la cual los autores agradecen la amabilidad
del Consejo de Redacción de la Revista Ciencias Matemáticas UH, Cuba, al ofrecernos este espacio.
II. ALGEBRAS DE CLIFFORD
En esta sección nosotros introduciremos las álgebras de Clifford reales y complejas
R
o,m+1
y
C
m+1
respectivamente. Aunque para las aplicaciones, las álgebras de Clifford
R
p,q
,
q
,
p
N
, son muy importantes,
nosotros restringiremos aquí al caso p = 0, q = m + 1 y esto entonces corresponderá esencialmente con el
contexto en que ciertos conceptos básicos del Análisis de Clifford serán presentados.
Para una mayor información acerca de las álgebras de Clifford, nosotros referimos al lector la lectura de
[14, 29], ver también [36, 42, 51, 65].
2.1. Algebras de Clifford reales
2.1.1. Definiciones
Sea
m
N
y consideremos el espacio vectorial real
R
m+1
, un elemento arbitrario del cual será denotado
por
).x,...,x,x(x
m10
=
Nosotros deseamos construir un álgebra real asociativa A de dimensión maximal y que contenga a
R
y
R
m+1
como un subespacio tal que para
x
R
m+1
=
==
m
0j
2
j
2
2
xxx
(2.1.1)
Claramente éstos requerimientos implican que para los elementos básicos estándar e
j
de
R
m+1
, j =
0,1,…,m, se tiene que
.1e
2
j
=
(2.1.2)
Además, como para
ji
2ee)ee(
2
ji
2
ji
=+=+
y
ijji
2
jijji
2
i
2
ji
eeee2eeeeee)ee( ++=+++=+
,
nosotros obtenemos que los elementos básicos deben además satisfacer las relaciones siguientes:
,0eeee
ijji
=+
.ji
(2.1.3)
Esto arroja que (2.1.2) y (2.1.3) determinan completamente la multiplicación en A. Precisamente, puede
ser probado que el álgebra A, denotada por
R
0,m+1
y llamada álgebra de Clifford universal real, construida
115
sobre el espacio real cuadrático
R
0,m+1
, posee dimensión 2
m+1
. Obviamente la notación
R
0,m+1
alude el hecho
que, por la relación (2.1.1), la forma cuadrática no degenerada
Q
=
=
m
0j
2
j
x)x(
ha sido introducida en
R
m+1
.
La base estándar para
R
0,m+1
es obtenida de
)e,...,e,e(e
m10
=
por la asociación con A =
)i,...,i(
n1
),m,...,1,0(
con
mi...ii0
n21
<<<
, al elemento
.e...eee
n21
iiiA
=
Para
φ=A
, ponemos
,1e =
φ
el elemento identidad en
R
0,m+1
.
Esto conduce a que cada elemento
a
R
0,m+1
, puede ser escrito como
,eaa
A
A
A
=
A
a
R
.
Además, denotando por
A
el cardinal de A y poniendo para cada
},1m,...,1,0{k +
)k( 1m,0 +
R
=
,eaa:a
A
kA
A1m,0
=
=
+
R
tenemos que
R
0,m+1
+
=
=
1m
0k
R
.
)k( 1m,0 +
Consecuentemente, cada
a
R
0,m+1
también posee la expresión
+
=
=
1m
0k
a[a
]
k
,
donde
k
]a[
se entiende como la proyección de a sobre
.
)k( 1m,0 +
R
λPara
0k =
,
RR
+
)0( 1m,0
y [a]
0
se denomina parte escalar de a.
λPara
1
k
=
,
1m
)1( 1m,0 +
+
RR
y [a]
1
se denomina parte
vectorial
de a.
De esta forma
R
y
R
m+1
son identificados con subespacios de
R
0,m+1
y esto por medio de los isomorfismos
R
R
)0(
1,0 +m
y
R
m+1
R
)1(
1,0 +m
. Por esto, en lo que sigue un elemento
= )x,...,x,x(x
m10
R
m+1
, será también
escrito como
.exx
j
m
0j
j
=
=
Los elementos de
a
R
)2( 1m,0
+
son denominados bivectores. Una base para
R
)2( 1m,0
+
está dada por el
conjunto
}.m,...,0j,i,ji,ee{
ji
=<
En
general, elementos de
R
)k( 1m,0
+
son denominados k-vectores.
Notemos que para cualquier par de vectores
y
,
x
R
m+1
,
116
y
x
y
.
x
xy
+
=
donde
j
m
0j
j
yx:y.x
=
=
es el producto interior estándar (Euclideano) y
)xxxx(ee:yx
ijjij
ji
i
=
<
es el producto exterior estándar en
R
m+1
.
Esto significa que el producto de dos vectores en
R
m+1
produce un escalar más un bivector.
Si para cualquier k-vector a nosotros definimos la aplicación
a
ˆ
a
por
aa
ˆ= si
)2(mod0k
aa
ˆ= si
)2(mod1k
y si extendemos este aplicación por linealidad a R
0,m+1
, entonces obtenemos una involución
,a
ˆ
a
llamada
la involución principal, la cual induce una partición
2mod
sobre R
0,m+1
.
R
0,m+1
=
R
+
+1m,0
R
+1m,0
,
donde
R
+
+1m,0
=
:
park
R
)k( 1m,0 +
R
+1m,0
=
:
impark
R
)k( 1m,0 +
.
R
+
+1m,0
es una subálgebra fija bajo esta involución, y es denominada “subálgebra par” de R
0,m+1
. Nótese que
R
+
+1m,0
R
+
+1m,0
R
+
+1m,0
R
+1m,0
R
+1m,0
R
+
+1m,0
R
+
+1m,0
R
+1m,0
R
+1m,0
R
+1m,0
R
+
+1m,0
R
.
1m,0
+
2.1.2. Ejemplos
1) R
0,1
C
Tomemos e = {e
0
} como una base ortonormal para R
0,1
. Luego nosotros tenemos que
R
0,1
=
R
)0(
1,0
R
)1(
1,0
,
donde R
)0(
1,0
R, y R
)1(
1,0
R
0,1
=
span
R
(e
0
) con
.1e
2
0
=
Luego según la identificación e
0
= i,
R
0,1
C
.
117
2)
R
0,2
C
Tomemos e = (e
0
, e
1
) como una base ortonormal para
R
0,2
luego nosotros tenemos que
R
0,2
=
R
)0(
2,0
R
)1(
2,0
R
)2(
2,0
donde
R
)0( 2,0
R
,
R
)1( 2,0
span
R
(e
0,
e
1
) y
R
)2( 2,0
span
R
(e
0,
e
1
)
.
Luego, por la identificación
,ie
0
=
,je
1
=
,kee
21
=
nosotros tenemos que
R
0,2
H
.
Esto muestra que para ,1m las álgebras
R
0,m+1
no son más conmutativas.
3)
R
0,3
Tomemos e =
(e
0,
e
1
, e
2
) como una base ortonormal para
R
0,3
. Luego nosotros tenemos que
R
0,3
=
R
+3,0
R
3,0
donde
R
+3,0
span
R
)ee,ee,ee,1(
100221
.
Por la identificación
,iee
21
=
jee
02
=
y
,k)ee)(ee(ee
022110
==
tenemos que
R
+2,0
R
. De este modo
W. K. Clifford interpretó el álgebra de Hamilton de los cuaternios reales como la subálgebra par de
R
0,3
(ver [19]).
Notemos que la descomposición
R
0,3
=
R
+3,0
R
,
3,0
puede ser también escrita como
R
0,3
=
R
+3,0 012
e
R
,
3,0
+
donde
.eee:e
210012
=
El elemento
012
e
conmuta con e
0
, e
1
y e
2
y consecuentemente este pertenece al centro
Z
del álgebra
R
0,3
.
Un cálculo directo prueba que
Z
=
R
R
012
e
.
Dado que
,1e
2
012
=
los elementos
+
w
y
w
, definidos por:
)e1(
2
1
w
012
±=
±
son idempotentes ortogonales y no triviales en
R
0,3
, i.e.:
±±
=ww
2
y
.0wwww ==
++
Esto prueba que, en contraste con los casos
R
0,1
y
R
0,2
donde un campo se ha obtenido, para el caso
2
m
,
R
0,m+1
contiene divisores de cero.
118
2.1.3. Involuciones-Normas
En 2.1.1 hemos introducido ya la involución principal a
ˆ
a en
R
0,m+1
. Esta satisface
A
k
A
e)1(e
ˆ=
si
kA =
,b
ˆ
a
ˆ
)
ˆ
ab( =
b,a
R
0,m+1
.
Ahora vamos a definir dos tipos de anti-involuciones en
R
0,m+1
.
i) La reversión
*
aa
Para
}m,...,1,0{A
ponemos
11nn
iii
*
A
e...eee
=
si
n21
iiiA
e...eee =
y extendiendo por linealidad a
R
0,m+1
, i.e.,
*
A
A
A
*
A
A
A
*
eaeaa
=
=
.
Nosotros tenemos
,ab)ab(
***
=
para todo b,a
R
0,m+1
.
ii) La conjugación
)a(a α
Para
}m,...,1,0{A
ponemos
)
ˆ
e()e
ˆ
()e(
*
A
*
AA
==α
y extendiendo por linealidad a
R
0,m+1
, i.e.,
α=α=α
A
AA
A
AA
)e(a)ea()a(
.
Tenemos
),a()b()ab( αα=α
b,a
R
0,m+1
.
Un producto interior
,
y una norma asociada puede ser definida en
R
0,m+1
por
b)a([b,a α=
]
0
, b,a
R
0,m+1
y
a)a([a
2
α=
]
0
.
Notemos que para un vector no nulo
x
R
m+1
,
2
2
xxx)x(x)x( ===α
de modo que x es invertible con
.
x
x
x
)x(
x
22
1
=
α
=
119
Además, para cualesquiera
y
,
x
R
m+1
,
22
yxy)x)x()(y()xy)(xy(xy =αα=α=
.
No obstante,
no es una norma de álgebra en
R
0,m+1
. Tal norma de álgebra puede ser obtenida
poniendo
a,a2a
1m
2
+
=
,
a
R
0,m+1
.
2.2. Algebra de Clifford compleja
El álgebra de Clifford compleja
R
m+1
, m
N
, está definida por
C
m+1
=
R
0,m+1
R
C
y la misma es un álgebra lineal asociativa sobre
C
con la base estándar
}).m,...,1,0{A:1e(
A
Mantendremos la escritura
.1ee
AA
=
Un elemento
a
C
m+1
puede luego ser representado por
A
A
A
eaa
=
,
A
a
C
.
Por supuesto, nosotros tenemos que
C
m+1
=
+
=
1m
0k
C
,
)k( 1m
+
donde
C
)k( 1m
+
=
span
C
).kA,e(
A
=
Consecuentemente un elemento
a
C
m+1
puede también ser escrito como
.]a[a
k
1m
0k
+
=
=
El espacio vectorial complejo
C
m+1
=
{
),z,...,z(:z
m1
=
j
z
C
} puede luego ser identificado con
C
.
)1( 1m
+
Obviamente la anti-involución introducida en la sección 2.1.3 puede ser extendida a
C
m+1
. Tomando el
producto tensorial de la conjugación α en
C
0,m+1
y la conjugación compleja en
C
, se obtiene una nueva anti-
involución ,aa llamada aplicación "barra" en
C
m+1
con
).e(aaeaa
A
A
AA
A
A
α==
Claramente para b,a
C
m+1
.abab =
120
Por supuesto que la aplicación “barra” restringida a
R
0,m+1
C
m+1
coincide con α. Por esta razón para
elementos
a
R
0,m+1
nosotros usaremos también la notación
a
en lugar de ).a(α
Un producto interior
,
en
C
m+1
está dado por
ba[b,a =
]
0
, b,a
C
m+1
.
Este introduce la norma de álgebra
,a2a
2
A
A
1m
2
+
=
a
R
m+1
.
2.3. R
m+1
como subespacio de R
0,m+1
. Operadores de Dirac y de Cauchy-Riemann en R
m+1
Obviamente, el espacio vectorial real
R
m+1
es isomorfo con cualquier
)1m( +
-dimensional subespacio de
R
0,m+1
. No obstante, es acostumbrado identificar a
R
m+1
con los siguientes dos subespacios:
i)
R
m+1
R
0,m+1
R
.
)1( 1m,0 +
Como señalamos, tempranamente (ver sección 2.1.1), este isomorfismo implica que, dado
= )x,...,x(x
m0
R
m+1
, este es identificado con
=
=
m
0j
jj
exx
R
.
)1( 1m,0 +
Esta identificación se denomina formalismo vectorial. Un
elemento arbitrario
x
R
m+1
es escrito como
),x,x()x,...,x(x
0m0
==
con
= )x,...,x(x
m1
R
m
.
Como ,xx = tenemos que
.xxxxx
2
==
A esta identificación le está asociado el llamado operador de Dirac
x
en
R
m+1
con
j
x
m
0j
jx
e: =
=
,
donde
.
x
:
j
x
j
=
Este representa un operador diferencial lineal de primer orden el cual factoriza al Laplaciano
1m
+
en
R
m+1
como sigue
1m
2
x
+
=
ó
.
1mxxxx
+
==
Como usaremos la notación
)x,x(x
0
=
para un elemento arbitrario
x
R
m+1
con
0
x
R
y
x
R
m
, nosotros
también escribiremos frecuentemente
x
como
,e
xx0x
0
+=
donde
121
.e
i
x
m
1i
ix
=
=
ii)
R
m+1
R
R
0,m
Consideremos la base ortonormal estándar
)e,...,e,e(e
m10
=
de
R
0,m+1
y pongamos para
,m,...,1j =
.ee
j0j
=ε
Luego los elementos
j
ε
son bivectores en
R
0,m+1
que satisfacen
m,...,1j,1
2
j
==ε
y
0
jkkj
=εε+εε
,
.kj
Esto significa luego que el conjunto
),...,(
m1
εε=ε
pudiera ser considerado como una base ortonormal para
el espacio cuadrático real
R
0,m
y luego como una familia generadora del álgebra real de Clifford
R
0,m
.
En efecto, como se ve fácilmente
),...,(
m1
εε=ε
genera la subálgebra par
R
+
+
1,0 m
de
R
0,m+1
, de donde
R
+
+
1m,0
R
0,m
.
Un elemento
== )x,x()x,...,x(x
0m0
R
m+1
con
= )x,...,x(x
m1
R
m
, es luego identificado con
ε+=
=
m
1j
jj0
xxx
R
R
0,m
.
Los elementos de
R
R
0,m
son frecuentemente denominados paravectores en
R
0,m
y luego la identifica-
ción hecha es denominada formalismo paravectorial.
Desde el punto de vista geométrico, nosotros podemos decir que cuando usamos el formalismo
paravectorial, estamos seleccionando una dirección especial en
R
m+1
, precisamente la dirección
0
e
, ó
equivalentemente, nosotros hemos escogido una abcisa real, precisamente la abcisa
0
x
.
Esta identificación de
R
m+1
con
R
R
0,m
puede también ser obtenida por la multiplicación por la izquierda
en
=
m
0j
jj
ex
R
0,m+1
R
)1( 1m,0
+
de
0
e
, i.e.
).ex(exxx
m
1j
jj0
m
1j
jj0
==
=ε+=
Como
,xxx
m
1j
jj0
=
ε=
tenemos
.xxxxx
2
==
A esta identificación le está asociado el llamado operador de Cauchy-Riemann
x
D
en
R
m+1
definido por
.e:D
x0x
m
1j
jxx
j0
=ε+=
=
122
Este representa un operador diferencial lineal de primer orden el cual factoriza al Laplaciano
1m
+
en
R
m+1
como sigue
.DDDD
1mxxx
+
==
Observaciones:
1. Nótese que cualquier subconjunto (no vacío)
)e,...,e(e
h1
ii
=
de
)e,...,e,e(e
m10
=
puede ser considerado
como una base ortonormal para el espacio vectorial real cuadrático
R
0,h
, de modo que al interior de
R
0,m+1
este genera un álgebra real de Clifford isomorfa a
R
0,h
. Un caso especial está dado tomando
)e,...,e(e
m10
=
y considerando esta como una base ortonormal para
R
0,m
y por lo tanto como una familia
generadora para
R
0,m
. Podemos entonces escribir
R
0,m+1
=
R
0,m
0
e
R
0,m
.
2. El modo en que hemos introducido los formalismos vectorial y paravectorial en la definición de los
operadores
x
y
x
D
de hecho requieren aún ser sometidos a una mayor discusión en dependencia de la
paridad de
1
m
+
. Para más detalles nosotros referimos al lector a [14].
III. TEORIA DE FUNCIONES
Sea
R
m+1
un dominio acotado no vacío con
Γ
=
una superficie continua y cerrada. Introduzcamos
los siguientes espacios de funciones
R
0,m+1
-valuadas y definidas en D*
R
m+1
, donde D* puede entenderse
como
,
Γ
o cualquier subconjunto de
:
i)
)k(
C
(D*,
R
0,m+1
) ( ,...2,1k =); el espacio de funciones,
k
-veces continuamente diferenciable en D*.
ii)
)(
C
α
(D*,
R
0,m+1
) (
10 α<
); el espacio de funciones Hölder continuas en D con exponente α.
iii)
p
L
(D*,
R
0,m+1
) (1
+∞
p); el espacio de todas las funciones cuyas
p
-th potencia es Lebesgue integrable
en D*.
Las funciones u definidas en D* y que toman valores en
R
0,m+1
son de la forma
),x(ue)x(u
A
A
A
=
donde las funciones
A
u
son reales. Propiedades como la continuidad, diferenciabilidad, etc, que le son propias
a u, es porque las mismas le son a su vez a cada una de las funciones componentes
.u
A
La función conjugada de la función u, es la función
u
dada por
).x(ue)x(u
A
A
=
Introduzcamos las coordenadas polares en
R
m+1
y escribiremos x
R
m+1
como ,rx
ξ
=
donde
xr =
y
ξ
,S
m
aquí
m
S
denotará la esfera unitaria en
R
m+1
. Tenemos entonces que
.
x
x
=ξ
El área de
m
S
se denotará por
m
σ
y como
)1(B
1m
+
denotaremos la bola unitaria (
1
m
+
)-dimensional. Para
el caso general, la bola de radio
0R >
se denotará por
)R(B
1m
+
, y además
)R(B
1m
+
su interior.
Finalmente pondremos
R
1m
0
+
=
:
R
m+1
\{0}.
123
3.1. Funciones Monogénicas
En general funciones monogénicas son aquellas que representan el núcleo del operador de Dirac o de
Cauchy-Riemann. En lo que sigue la monogenicidad estará referida al caso del operador de Dirac.
Definición Una función
1
Cu
(
,
R
0,m+1
)
se dice monogénica a la izquierda (a la derecha) si y solo si
0u
x
=
(
0u
x
=
)
en
.
Si introducimos las componentes de
u
, la monogenicidad a la izquierda se puede entender como
=
A,i
AxAi
,0uee
i
(3.1.1)
lo cual es equivalente a un sistema de
1m
2
+
ecuaciones diferenciales en derivadas parciales homogéneas de
primer orden con coeficientes constantes. Este sistema es elíptico.
El conjunto de funciones monogénicas a la izquierda (a la derecha) en
se denota por
(M
)l(
,
R
0,m+1
) (
(M
)r(
,
R
0,m+1
)).
Notas:
i. Como ya hemos mencionado la monogenicidad puede ser también introducida con respecto al operador
Cauchy-Riemann, i.e.
,(Cu
1
R
0,m+1
) es monogénica a la izquierda (a la derecha) en
si y solo si
0uD
x
=
(
0uD
x
=
) en
.
ii. Nótese que
0uD0ue0u
xx0x
===
y
0Du0eu0u
x0xx
===
iii. Además
,0u0u0u0u
xxxx
====
i.e. si
u
es monogénica a la izquierda (con respecto a
),
x
entonces
u
es monogénica a la derecha.
iv. Como
x
es fuertemente elíptico, se desprende inmediatamente que las funciones monogénicas en
son funciones analíticas reales y
R
0,m+1
-valuadas en
.
Ejemplo.
Sea
u
una función
R
0,m+1
-valuada y definida en
,
i.e.
),x(ue)x(u
j
m
0j
j
=
=
entonces el sistema (3.1.1) toma la forma
=
=
=
0
x
u
x
u
0
x
u
i
j
j
i
m
0j j
j
,
.ji <
124
Claramente esto significa que las componentes
,u
j
m,0j =
satisfacen el sistema de Riesz y que dada la
conexidad de
entonces existe una función real
f
armónica en
tal que
,
x
f
u
j
j
=
,m,0j =
lo que puede decirse en otras palabras que si f es real y armónica en
,
entonces
f
x
es una función
R
0,m+1
-valuada y monogénica a la izquierda.
De modo que cualquier función
u
monogénica
R
1,0
+
m
-valuada en
con
,euu
m
0j
jj
=
=
determina un sistema
)u,...,u(
m0
llamado sistema de funciones armónicas conjugadas en
en el sentido de Stein-Weiss (ver [76]).
Un ejemplo de extrema importancia de una función monogénica a ambos lados lo representa el llamado
núcleo generalizado de Cauchy
)x(e
dado por:
,
x
x1
)x(E:)x(e
1m
m
x
+
σ
==
donde
)1m(
m
x
)m1(
11
)x(E
σ
=
(
1
m
>
).
Es fácil ver que
)x(e
representa la solución fundamental del operador de Dirac. Tenemos que
i)
)x(e
es localmente integrable en
R
m+1
.
ii)
)x(e
es monogénica a ambos lados en
R
1m
0
+
y
.0)x(elim
x
=
iii)
δ==
xx
ee
, donde
δ
es la clásica
δ
-función en
R
m+1
.
Para introducir otros ejemplos de funciones monogénicas consideremos las siguientes transformadas
integrales:
La transformada de Cauchy
i) Para una función u perteneciente a los espacios
,(C Γ
α
R
0,m+1
) ó
,(L
p
Γ
R
0,m+1
) (
10 α<
,
+∞<< p1
), la
transformada izquierda de Cauchy
uC
)l(
Γ
está definida por
Γ
Γ
= )y(u)y(n)yx(e)x(uC
)l(
dH
m
),y(
donde H
m
representa la medida m-dimensional de Hausdorff (ver [32,48,67]).
uC
)l(
Γ
define una función
monogénica a la izquierda en
R
m+1
\
Γ
. Análogamente puede introducirse la transformada derecha.
ii) Supongamos que µ es una medida
R
0,m+1
-valuada con soporte compacto [µ] en
R
m+1
. Entonces la
convolución e * µ define una función monogénica en
R
m+1
\[µ]. Precisamente, para casi todo
x
R
m+1
),y(d)yx(e)x(e
1m
R
µ=µ
+
además
.0)x(elim
x
=µ
+∞
125
La transformada de Teodorescu
Sea
(Lu
p
,
R
0,m+1
) (
+∞<p1
) con
un dominio acotado y consideremos
,uu
~
χ=
donde
χ
representa la función característica de
,
entonces la transformada izquierda
uT
)l(
es una función
monogénica a la izquierda en
R
m+1
\
y está dada por
+
==
1m
R
)l(
)y(u
~
)yx(e)x(u
~
e)x(uT
dL
m+1
(y)
= )y(u)yx(e
dL
m+1
(y),
donde L
m+1
representa la medida de Lebesgue en
R
m+1
. También puede definirse la transformada derecha
.T
)r(
Las propiedades de la transformada de Teodorescu han sido intensamente estudiadas. Nótese por
ejemplo que es posible demostrar que si
(Cu
2
,
R
0,m+1
)
(C
,
R
0,m+1
) entonces
,uuT
)l(
x
=
lo cual indica que
)l(
T
es una transformada inversa (a la derecha) para
.
x
Precisamente entonces la
ecuación no homogénea de Dirac
,vu
x
=
admite la solución u =
vT
)l(
3.2. Teorema de Cauchy. Fórmula de Borel-Pompeiu
En esta sección precisaremos las versiones Cliffordianas de los teoremas básicos de la Teoría de
Funciones Analíticas de variable compleja. Un resultado de mucha importancia para ello lo representa la
fórmula integral de representación de funciones Clifford valuadas.
Consideraremos en lo que sigue
=
+
(
R
m+1
\
)
+
un dominio simplemente conexo, acotado por una
superficie suficientemente regular, esto es, posee medida
m
-dimensional de Hausdorff finita y por lo tanto
posee vector normal (teórico-medible) definido para casi todo x Γ, que denotaremos por
).x(n
Esta condición
geométrica representa en cierto sentido un condición natural sin estimación cuantitativa del "tamaño" de la
superficie. Entre los tipos de superficies que satisfacen esta condición se encuentran las superficies
rectificables (ver [32, 48]), que representan esencialmente la clase más amplia de aquellas donde las
propiedades básicas de las superficies suaves posee análogos razonables.
Es bien conocido que uno de los resultados analíticos de mayor importancia que conforma la base del
Análisis de Clifford es la fórmula m-dimensional de Stokes, la cual es usualmente planteada para dominios
con fronteras suficientementes suaves, por otro lado no resulta obvio el hecho de que esta fórmula se
conserva válida aún en el caso que la frontera del dominio posea una geometría complicada (ver [32, 48]).
Teorema 3.2.1
Si
,(Cv,u
1
R
0,m+1
)
,(C
R
0,m+1
) entonces
Γ
)x(v)x(n)x(u
dH
m
+= )]v(uv)u[()y(
xx
dL
m+1
).y(
Teorema 3.2.2
(Cauchy)
Si
,(Mu
)r(
R
0,m+1
)
,(C
R
0,m+1
) y
,(Mv
)l(
R
0,m+1
)
,(C
R
0,m+1
) entonces
Γ
)x(v)x(n)x(u
dH
m
)y(
.0=
Teorema 3.2.3
(Borel-Pompeiu)
Si
,(Cu
1
R
0,m+1
)
(C
,
R
0,m+1
)
entonces las transformadas de Cauchy
y Teodorescu de la función
u
están relacionadas por las fórmulas
126
),x(u
~
)x(uT)x(uC
)l()l(
=
Γ
x
R
m+1
),x(u
~
)x(uT)x(uC
)r()r(
=
Γ
x
R
m+1
i.e.
)y(u)y(n)yx(e
Γ
dH
m
)y()u)(yx(e)y(
x
dL
m+1
)y(
=
.x,0
x),x(u
)yx(e)y(n)y(u
Γ
dH
m
)yx(e)y()u()y(
x
dL
m+1
=)y(
=.x,0
x),x(u
Observación.
Una consecuencia inmediata del Teorema 3.2.3 son las versiones Cliffordianas de las
fórmulas de representación integral para funciones monogénicas: Precisamente
Γ
= )y(u)y(n)yx(e)x(u
dH
m
(y), si
,(Mu
)l(
R
0,m+1
)
(C
, R
0,m+1
)
(3.2.1)
Γ
= )yx(e)y(n)y(v)x(v
dH
m
(y), si
,(Mv
)r(
R
0,m+1
)
(C
,
R
0,m+1
).
La fórmula de Borel-Pompeiu muestra la diferencia que existe entre los espacios
,(C
1
R
0,m+1
) y
,(M
)l(
R
0,m+1
) ó
,(M
)r(
R
0,m+1
).
Las fórmulas (3.2.1) son las fórmulas integrales de Cauchy, con las cuales es posible entonces obtener
directamente la totalidad de consecuencias que de la misma se deducen clásicamente.
Teorema 3.2.4
(Weierstrass)
Sea
(u
k
)
kIN
una sucesión de funciones en
,(M
)l(
R
0,m+1
),
la cual converge
uniformemente a
u
en cada conjunto compacto
,K
entonces
,(Mu
)l(
R
0,m+1
)
.
Nota.
Un teorema análogo es posible obtener para el caso de series uniformemente convergentes.
Teorema 3.2.5
(Valor medio)
Sea
ρ )x,(B
R
m+1
,
la bola con centro en
x
y radio
ρ
. Para toda función
,(Mu
)l(
R
0,m+1
)
tal que
)x,(B ρ
ρ
+
+
ρ
+
=
)x,(B
1m
1m
)y(u
A
1m
)x(u
dL
m+1
(y)
.
Teorema 3.2.6
(Módulo máximo)
Sea
R
m+1
conexo y sea
,(Mu
)l(
R
0,m+1
)
. Si existe un
z
tal que
,)z(u)x(u
(
x
),
entonces
u
es una función constante en
.
Corolario 3.2.7 Sea
R
m+1
acotado y sea
,(Mu
)l(
R
0,m+1
)
,
C (,
R
0,m+1
).
Entonces
.)x(usup)x(usup
x
x
=
Nota
.
Los teoremas de Weierstrass, Valor medio y Módulo máximo poseen un análogo natural para funciones
,(Mv
)r(
R
0,m+1
).
127
El Teorema 3.2.2 nos expresa que para
,(Mu
)l(
R
0,m+1
) (respectivamente
,(Mv
)r(
R
0,m+1
)) entonces
para cada intervalo cerrado
I
I
)x(n)x(u
dH
m
(y) = 0
.0)y(dH)x(v)x(n
I
m
=
Un inverso de este resultado se puede expresar de la siguiente forma
Teorema 3.2.8
(Morera)
Una función
,(Mu
)l(
R
0,m+1
) (
respectivamente
,(Mv
)r(
R
0,m+1
)
si y solo si
,(Cu
R
0,m+1
)
(
,(Cv
R
0,m+1
))
y además
I
)x(n)x(u
dH
m
(y) = 0
.0)y(dH)x(v)x(n
I
m
=
para todo intervalo cerrado
I
.
Una consecuencia importante del Teorema de Morera lo representa el siguiente Teorema de Painlevé.
Teorema 3.2.9
(Painlevé)
Sea
R
m+1
un abierto y sea
Γ
una
C
-superficie inyectiva
m
-dimensional en
tal que
Γ
/
es abierto. Además
)l(
Mu
,/( Γ
R
0,m+1
) C(
,
R
0,m+1
).
Entonces
u M
(I)
(,
R
0,m+1
).
Nota
.
Es bueno señalar que el Teorema de Painlevé
es válido también para el caso de considerar la
monogenicidad a la derecha. Además resulta importante destacar que dado el hecho de que la
demostración del Teorema de Painle está basado en la fórmula integral de Cauchy, el requeri-
miento de la suavidad de la superficie
Γ
puede ser debilitado considerablemente.
Las siguientes consecuencias del Teorema de Cauchy son menos conocidas, aún en el caso del Análisis
complejo.
Necesitamos la siguiente notación adicional:
)z,(B)z( ρΓ=Γ
ρ
,
Γ
z
,
d0 <ρ<
, donde d representa el
diámetro de Γ.
Teorema 3.2.10
i)
Si
(Mu
)l(
,
R
0,m+1
)
(C
, R
0,m+1
)
, entonces
.)z(u)x(umax)y(dH))z(u)y(u)(y(n)yz(e
x
zx
m
)z(\
ρ=
ΓΓ
ρ
ii)
Si
)l(
Mu
R
m+1
\
,
R
0,m
) C(
R
m+1
\
,
R
0,m+1
)
y
0)(u =
, entonces
)z(u)x(umax)y(dH))z(u)y(u)(y(n)yz(e
\Rx
zx
)z(\
m
1m
ρ=
ΓΓ
+
ρ
Corolario 3.2.11 Si
,(Mu
)l(
R
0,m+1
)C(,
R
0,m+1
) (
ó
)l(
Mu
(
R
m+1
\
,R
0,m+1
) C(
R
m+1
\
,R
0,m+1
)
,
0)(u =
),
entonces
)x(umaxM)y(dH)y(u)y(n)yz(e
x
)z(\
m
ΓΓ
ρ
ó
128
)x(umaxM)y(dH)y(u)y(n)yz(e
\Rx
)z(\
m
1m
ΓΓ
+
ρ
aquí
M
es una constante positiva que no depende de
u.
Corolario 3.2.12
i)
Si
(Mu
)l(
,
R
0,m+1
)
(C
,
R
0,m+1
)
, entonces para toda
Γ
z
Γ
))z(u)y(u)(y(n)yz(e
dH
m
(y) = 0.
ii)
Si
)l(
Mu
(
R
m+1
\
,
R
0,m+1
) C(
R
m+1
\
, R
0,m+1
)
con
0)(u =
, entonces para toda
Γ
z
Γ
))z(u)y(u)(y(n)yz(e
dH
m
(y) = -u(z).
3.3. Fórmulas de Sokhotzki-Plemelj
En el presente epígrafe dirigiremos nuestra atención al estudio del operador integral singular en el contexto
del Análisis de Clifford, particular atención tendrá lo relacionado con el comportamiento en la frontera de
integración de la transformada de Cauchy y la validez de las fórmulas para los valores límites de ésta. Por
comodidad sólo consideraremos el caso relacionado con la monogenicidad izquierda, aunque análogos
resultados se prueban para la monogenicidad derecha.
Consideremos el siguiente operador integral singular
Γ
Γ
= ))x(u)y(u)(y(n)yx(e2)x)(uS(
dH
m
),x(u)y( +
la integral aquí se entiende en el sentido del valor principal de Cauchy.
Dado que, para
Γ
suficientemente suave se cumple que
)y(n)yx(e2
Γ
dH
m
1)y( =
,
,x
Γ
entonces el operador integral singular dado en (3.2.2) se reduce al siguiente operador
)y(u)y(n)yx(e2)x)(uS
~
(
Γ
Γ
=
dH
m
),y(
.
x
Γ
El estudio de la acotación del operador integral singular
Γ
S
~
en
,(L
p
Γ
R
0,m+1
) (
+∞<p1
) ha sido objeto de
atención por varios autores dentro del Análisis armónico clásico (ver [17, 21, 22, 23, 25, 61, 72, 73]), pero
más recientemente este problema ha tenido una inesperada atención en el contexto del Análisis de Clifford
(ver [9, 24, 35, 49, 50, 52, 53]).
El siguiente teorema muestra la expresión de las fórmulas de Sokhotzki-Plemelj en el marco ciertamente
general de las superficies Alhfors-David regular. Precisamente, supondremos que Γ posee densidades
superiores e inferiores, con respecto a la medida de Hausdorff m-dimensional, positivas y finitas, es decir Γ
representa un conjunto regular según Alhfors-David. Para futuras consultas acerca de conjuntos AD-regulares
el lector podrá revisar la exposición sobre el tema en [24, 25, 73].
129
Teorema 3.3.1 Sea
,(Cu Γ
α
R
0,m+1
)
,
(
10 α<
) entonces las siguientes fórmulas son lidas para todo
Γ
z
.
±
x
zx
lim
(
uC
Γ
)(x) =
)z)(uP(:))z(u)z)(uS((
2
1
±
Γ
±=±
.
Los operadores
±
Γ
P
son comúnmente llamados operadores de proyección de Hardy y cumplen las
siguientes propiedades
i)
±
Γ
±
Γ
=PP
2
,
.0PPPP ==
+
Γ
Γ
Γ
+
Γ
ii)
+
Γ
P
representa la proyección en el espacio de todas las funciones que pueden ser extendidas monogé-
nicamente en el dominio
.
+
iii)
Γ
P
representa la proyección en el espacio de todas las funciones que pueden ser extendidas monogé-
nicamente en el dominio
y que además se anulan en el infinito.
Teorema 3.3.2 El operador
Γ
S
es un operador acotado que actúa del espacio
,(C Γ
α
R
0,m+1
)
en mismo.
Más precisamente este representa una involución en
,(C Γ
α
R
0,m+1
), i.e.
)x(u)x)(uS(
2
=
Γ
(
Γ
x
).
Teorema 3.3.3
Sea
,(Cu Γ
α
R
0,m+1
), (
10 α<
), entonces
i)
La igualdad
)x(u)x)(uS( =
Γ
es válida si y solo si u(x) representa el valor límite en
Γ
de una función
de
,(M
)l(
+
R
0,m+1
).
ii)
La igualdad
)x(u)x)(uS( =
Γ
, es válida si y solo si
)x(u
representa el valor límite en
Γ
de una función
de
,(M
)l(
R
0,m+1
) la cual se anula en el infinito.
Los anteriores resultados del presente epígrafe poseen una extensión natural para los espacios
,(L
p
Γ
R
0,m+1
) (
+∞<< p1
), los mismos son totalmente análogos.
Una vía menos natural de obtener estos resultados puede probarse si se considera el espacio
S
(Γ,
R
0,m+1
)
de todas las funciones
,(Cu Γ
R
0,m+1
) bajo la condición adicional que la siguiente integral
))z(u)y(u)(y(n)yz(e
)z(
ρ
Γ
dH
m
(y)
converge uniformemente a cero, cuando
0ρ
.
Es cierto el siguiente resultado.
Teorema 3.3.4 Sea
u
S
(
,
Γ
R
0,m+1
),
entonces
,(CuC Γ
±
Γ
R
0,m+1
) y son válidas las
fórmulas de
Sokhotzki-Plemelj.
Tomando en cuenta el Teorema 3.3.4, es posible expresar toda función
u
S
,(Γ
R
0,m+1
) según la expresión
,uuu
+
+=
donde
,uP:u
±
Γ
±
=
de este modo podemos introducir en
S
(Γ,
R
0,m+1
) la norma
130
+
+= uuu
, donde
,)x(usup:u
x
Γ
=
lo cual convierte al espacio en un espacio de Banach real.
Resulta necesario destacar que el operador integral singular
Γ
S
actuando en
S
(Γ,
R
0,m+1
) resulta ser un
operador acotado y unitario en la norma asociada a este espacio.
Siguiendo la idea anterior es posible introducir en el espacio
,(C Γ
α
R
0,m+1
) una nueva norma; i.e.
α
α
+
+= uu:u
de modo que también para este caso el operador
Γ
S
actuando en dicho espacio
Γ
α
(C
,
R
0,m+1
) se convierte
también en un operador unitario. Puede verse fácilmente que un razonamiento análogo puede emplearse
para el caso del espacio
,(L
p
Γ
R
0,m+1
).
Los resultados del presente epígrafe sugieren al lector la idea de aplicar los mismos al estudio de los
problemas de frontera para funciones monogénicas en el marco del Análisis de Clifford, de hecho éstos han
sido estudiados intensamente en los últimos años (ver por ejemplo [37, 38, 45, 63]).
El problema de contorno de Riemann es un ejemplo de ello, ver [1-7, 10, 11, 74, 75, 81, 82, 83], pero
puede afirmarse que en la actualidad los resultados alcanzados en la solubilidad de dicho problema son aún
discretos. Lo anterior se debe a dos razones fundamentales, expuestas como problemas abiertos
1
en el libro
basado en la conferencia “Clifford Algebras in Analysis and Related Topics", celebrada en Fayetteville,
Arkansas del 8-10 de abril de 1993 (ver [68]), que son:
No existe una noción de índice análoga al caso complejo, que permita estimar la dimensión del espacio de
soluciones del problema (Problema planteado por Zhenyuan Xu).
No se ha encontrado una factorización explícita para las funciones, definidas sobre una frontera dada, con
valores en álgebras de Clifford (Problema planteado por K. Gürlebeck).
En [8, ver también 6] la autora presenta una acercamiento y con buenas razones a los principales
resultados que se han obtenido respecto a la solución del primer problema planteado, al demostrar que es
posible obtener, de un modo elemental una relación entre el índice del operador integral singular Clifford
valuado y el número de "envoltura", pero la solución completa de esta dificultad está aún lejos de alcanzarse.
Estos inconvenientes han imposibilitado dar solución al problema de Riemann para funciones
monogénicas, salvo en el caso particular de considerar constante el coeficiente del problema, de modo que
el mismo se reduzca a las fórmulas de Sokhotski-Plemelj.
En el caso general (coeficiente no constante), se han obtenido resultados a través de un enfoque
operacional, que permite utilizar la Teoría General de Operadores, y en particular el Teorema de Banach del
punto fijo, para ofrecer condiciones suficientes que garantizan la existencia y unicidad de la solución del
problema (ver [1, 5, 81, 82]). Aunque para ello se requiere la búsqueda de las soluciones en una clase de
funciones Clifford valuadas con cierta exigencia adicional.
Un criterio para la validez de la propiedad de Fredholm de la ecuación integral singular equivalente al
problema de Riemann en el Análisis cuaterniónico fue obtenido por Shapiro y Vasilievski, así como también
por Bernstein (ver [4, 74, 75]). Posteriormente resultados análogos fueron demostrados en el contexto del
Clifford Análisis (ver [5, 6]). Nosotros mencionaremos aquí que las técnicas de la Teoría del Símbolo
empleada por estos autores, puede ser utilizada óptimamente sólo cuando el problema de frontera es
estudiado sobre esferas e hiperplanos, aunque un acercamiento al estudio de esta problemática sobre
superficies no suaves puede encontrarse en [2, 3].
1
los cuales en la actualidad aún quedan sin solución efectiva.
131
3.4. Series de Taylor y de Laurent
El objetivo de esta sección es describir el comportamiento local de una función monogénica a la izquierda,
el caso derecho resulta totalmente análogo. Para simplificar, nosotros consideraremos los casos:
),R(B(Mf
)l(
R
0,m+1
) y
)R(B(Mf
1)l(
\
),R(B
2
R
0,m+1
), ,0R >
.RR0
12
<<
Estos casos conducen a los llamados
desarrollos de Taylor y Laurent respectivamente para la función f.
3.4.1. Polinomios homogéneos monogénicos
Denotando con
P
(k) el conjunto de polinomios homogéneos de grado k en
R
m
, k
N
fijo. Entonces
P
P
(k) puede ser expresado como
α
α
=α
=ax)x(P
k
,
donde el multíndice
αα=α ),...,(
m1
N
m
,
α
a
R
0,m+1
y
m
1
m
1
x...xx
α
α
α
=
.
Es fácilmente comprobable que el polinomio
)x(P
*
con
)x(P)e(
!j
)x(
)x(P
j
x0
k
0j
j
0
*
=
=
es homogéneo de grado k en
)x,x(x
0
=
y monogénico.
Más precisamente
*
P
|
R
m+1
)x(P)x,0(P
*
==
.
P* es llamado la extensión Cauchy-Kowalewska de P. Este es el único polinomio homogéneo de grado k
cuya restricción a
R
m
es exactamente el polinomio
P
P
(k) dado.
Si en particular consideramos los polinomios básicos
α
x
de
P
(k), entonces
),x(V!)x(
*
α
α
α=
(3.4.1)
donde
)x(V
α
pueden ser expresados como sigue.
Primero tomemos k = 1 y consideremos x
j
, j = 1,…,m, entonces
.eexxz)x(
j00jj
*
j
==
Ahora sea
αα=α ),...,(
m1
N
m
dado y tal que
kx
m
1j
j
=α=
=
, además asociado con éste la secuencia
k
k1
}m,...,1{)l,...,l(
tal que j está apareciendo
j
α
-veces en
),l,...,l(
k1
.m,...,1j =
Entonces uno puede probar
que el polinomio
)x(V
α
que aparece en (3.4.1) admite la expresión
π
α
==
)l,...,l(
llll...l
k1
k21k1
z...zz
!k
1
)x(V)x(V
(3.4.2)
donde la suma se realiza sobre todas las permutaciones distintas π de todas las
)e,...,e(
k1
.
132
Observación
Notemos que en el caso m = 1
,eexxz
10011
=
de modo que, identificando
101
ee=ε
con
i
, la unidad imaginaria en
C
, nosotros obtenemos que
,iz)ixx(i)xeex(eez
101100101
=+==
donde
10
ixxz +=
.
Para
k=α
, nosotros tenemos que
)x(V
α
.z)i(
!k
1
z
!k
1
kkk
1
==
Esto último muestra que
)x(V
α
está tomando el papel de
k
z
en el caso complejo.
3.4.2. Funciones homogéneas monogénicas de grado –(m + k)
Considerando la solución fundamental
)x(e
de
x
y dado que
)l(
Me
(
R
,
1m
0
+
R
1m,0 +
)
se tiene lugar que, en
R
.
1m
0
+
eee
x0x
0
=
.
Esto significa que para todo
k
N
,
e
k
x
0
span
1m,0
R
+
:e(
α
α
N
m
,
),k=α
donde
....
m
m
1
1
xx
αα
α
=
Nosotros pondremos para
α
N
m
,
k=α
,
).x(e)1()x(W
α
α
α
=
Por definición, nosotros tenemos claramente que
α
W
es una función monogénica y homogénea de grado
)km( +
en
R
.
1m
0
+
Como e es una solución vector-valuada, lo mismo ocurre con cada
).x(W
α
Notas:
Notemos que el caso
1
m
=
.
xx
xeex
2
1
xx
exex
2
1
)x(e
2
1
2
0
1100
2
1
2
0
1100
+
π
=
+
+
π
=
De este modo, nuevamente identificando
101
ee=ε
con i, y poniendo
,ixxz
10
+=
obtenemos que
.e
z
1
2
1
)x(e
0
π
=
133
Esto luego conduce a que para ,k=α
)x(e)1()x(W
k
x
k
k
1
=
que se comporta como
1k
z
1
+
en el caso clásico del Análisis complejo.
3.4.3. Series de Taylor y de Laurent
Como puede ser esperado, el comportamiento local de una función monogénica es obtenido por el uso de
la fórmula integral de Cauchy y la consideración de un apropiado desarrollo del núcleo de Cauchy.
Nosotros tenemos que para
y
,
x
R
m+1
con
yx <
 
= =α
αα
=
0k k
)y(W)x(V)xy(e
).x(V)y(W
0k k
α
= =α
α
 
=
Teorema 3.4.1
(Desarrollo de Taylor)
Sea
),R(B(Mf
)l(
R
0,m+1
)
. Entonces
,a)x(V)x(f
0k k
α
= =α
α
 
=
donde para
Rr0 <<
,
).y(fd)y(Wa
y
)r(B
σ=
αα
Teorema 3.4.2
(Desarrollo de Laurent)
Sea
)R(B(Mf
1)l(
\
),R(B
2
R
0,m+1
).
Entonces
α
= =α
= α
ααα
 
+= b)x(Wa)x(V)x(f
0k k 0k
,
donde para
21
RrR0 <<<
,
),y(fd)y(Wa
)r(B
y
αα
σ=
).y(fd)y(Vb
)r(B
y
α
α
σ=
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... Intense interest in the Clifford analysis is evidenced by the hundreds of reported papers from MathSciNet, Mathematical Reviews on the Web, during the last five years. Some introductory papers to the basic rudiments of the Clifford analysis, which include historical notes have been worked out in [15,22,23,54,60,62,63]. In different latitudes, there have been developed scientific conferences to approach the theme of Clifford analysis and related topics, which gained a lot of attention and meant as a favorable place for the fruitful debate and the clarification of important ideas in this field. ...
Article
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. The main goal of this paper is centred around the study of the behavior of the Cauchy type integral and its corresponding singular version, both over nonsmooth domains in Euclidean space. This approach is based on a recently developed quaternionic Cauchy integrals theory [1, 5, 7] within the three-dimensional setting. The present work involves the extension of fundamental results of the already cited references showing that the Clifford singular integral operator has a proper invariant subspace of generalized Hlder continuous functions defined in a surface of the (m+1)-dimensional Euclidean space.
Article
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In this paper we discuss the notion of the Bochner–Martinelli kernel for domains with rectifiable boundary in \({\mathbb{C}}^2 \), by expressing the kernel in terms of the exterior normal due to Federer (see [17,18]). We shall use the above mentioned kernel in order to prove both Sokhotski–Plemelj and Plemelj–Privalov theorems for the corresponding Bochner–Martinelli integral, as well as a criterion of the holomorphic extendibility in terms of the representation with Bochner–Martinelli kernel of a continuous function of two complex variables. Explicit formula for the square of the Bochner–Martinelli integral is rediscovered for more general surfaces of integration extending the formula established first by Vasilevski and Shapiro in 1989. The proofs of all these facts are based on an intimate relation between holomorphic function theory of two complex variables and some version of quaternionic analysis.