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On the Riemann problem in Clifford Analysis

Abstract

The Riemann boundary value problem for analytic functions in the complex plane is a well established field and in this paper we are concerned with a higher dimensional version of it. The aim of this text is to give an up-to-date account on the study of the Riemann problem in the sense of Clifford analysis and domains with boundary complicated geometrically. It is possible to transfer, in a suitable way, the principal ideas for three-dimensional problem offered in [2, 3, 10, 11] to the higher dimensional case. The main tool is to consider the integration on the boundary of the domains regarding the Hausdorff measure.
138
REVISTA CIENCIAS MATEMATICAS Vol. 21, No, 2, 2003
SOBRE EL PROBLEMA DE RIEMANN
EN EL ANALISIS DE CLIFFORD
Dixan Peña-Peña
*
y Juan Bory-Reyes
**
, Departamento de Matemática, Universidad de Oriente,
Santiago de Cuba, Cuba
RESUMEN
El problema de contorno de Riemann para funciones analíticas en el plano complejo es bien conocido,
en el presente artículo nosotros consideramos una versión de éste en dimensiones superiores. El
objetivo de este texto es ofrecer un informe moderno en el estudio del problema de Riemann en el
sentido del análisis de Clifford en dominios con fronteras geométricamente complicadas. Es posible
transferir, de una manera conveniente, las ideas principales para el problema tres-dimensional,
ofrecidas en [2, 3, 10, 11], al caso de altas dimensiones. La herramienta principal utilizada es
considerar la integración sobre las fronteras de los dominios respecto de la medida de Hausdorff.
Palabras clave: Problema de Riemann, Análisis de Clifford, medida de Hausdorff
Clasificación de materia: 30E20, 30E25, 30G35
ABSTRACT
The Riemann boundary value problem for analytic functions in the complex plane is a well established
field and in this paper we are concerned with a higher dimensional version of it. The aim of this text is to
give an up-to-date account on the study of the Riemann problem in the sense of Clifford analysis and
domains with boundary complicated geometrically. It is possible to transfer, in a suitable way, the
principal ideas for three-dimensional problem offered in [2, 3, 10, 11] to the higher dimensional case.
The main tool is to consider the integration on the boundary of the domains regarding the Hausdorff
measure.
Key words and phrases: Riemann problem, Clifford analysis, Hausdorff measure
Classification Categories: 30E20, 30E25, 30G35
1. INTRODUCCION
El análisis de Clifford representa una generalización del análisis Complejo unidimensional a espacios
Euclideanos de altas dimensiones. Esta teoría estudia las propiedades de las funciones con valores en las ya
hoy bien conocidas álgebras de Clifford, y han devenido, en los últimos años en herramienta de importancia
creciente en el análisis de ecuaciones diferenciales parciales y sus aplicaciones en matemática, física e
ingeniería. Entre los textos que tratan esta temática podemos mencionar [13, 23, 27, 28, 29, 30, 34, 40, 44,
45]. Algunos artículos introductorios a aspectos básicos del análisis de Clifford que incluyen notas históricas
son [17, 22, 48, 55].
Han sido desarrollados en diferentes latitudes, eventos científicos que abordan la temática del análisis de
Clifford y tópicos relativos a éste, los cuales han servido de escenario propicio para el debate y el
esclarecimiento de importantes ideas en este campo (ver [12, 14, 15, 31, 38, 47, 49, 50]). Una lista de las
conferencias internacionales con partes en el análisis de Clifford desde 1981 hasta 1999 fue publicada en
[31], donde además se recogen breves informaciones de cada una de ellas. Para una visión del estado del
arte de las investigaciones en el análisis de Clifford y sus aplicaciones podemos referir la lectura de [12].
Las álgebras de Clifford fueron introducidas en el siglo XIX por matemáticos y físicos en varias tentativas
de obtener una buena fundamentación para el cálculo geométrico en los espacios Euclideanos de dimensión
finita. El descubrimiento de los cuaterniones por R. W. Hamilton en 1843 representó un paso decisivo en esa
dirección. Las álgebras geométricas son descritas por W. K. Clifford en el trabajo [16] publicado un año antes
de su muerte. Su interés y dedicación al estudio de estas álgebras condujeron a que las mismas heredaran
su nombre. Esta famosa estructura algebraica es la clave para el desarrollo de un gran número de ideas
geométricas presentes actualmente en la Matemática y en la Física.
Email:
*
dixan@csd.uo.edu.cu
**
jbory@bioeco.ciges.inf.cu; jbory@rect.uo.edu.cu
139
El poder y la elegancia de la Teoría de Funciones Analíticas en toda la Matemática y sus aplicaciones,
conducen a la búsqueda de teorías similares en dimensiones superiores. El análisis de Clifford representa
una de las vías más acertadas de extender la Teoría de Funciones Analíticas en altas dimensiones, teniendo
esta última como análogo natural la Teoría de Funciones Monogénicas o Hiperanalíticas. La analogía
estructural entre estas dos teorías, junto a las aplicaciones exitosas a un número importante de problemas
en la Física, han motivado un desarrollo intenso del análisis de Clifford en las dos últimas décadas.
Son varios los resultados clásicos de la Teoría de Funciones Analíticas que han sido extendidos de
manera natural al caso de la Teoría de Funciones Monogénicas, entre éstos debemos mencionar: las
ecuaciones de Cauchy-Riemann, el teorema y la fórmula integral de Cauchy, las series de Taylor y Laurent, y
las fórmulas de Sokhotski-Plemej.
Vale señalar que algunos otros temas de la teoría unidimensional de funciones complejas no han sido
suficientemente desarrollados en el contexto del análisis de Clifford. En particular, algunos relacionados con
generalizaciones de ciertos problemas de contorno para funciones analíticas definidas sobre curvas
rectificables de Jordan cerradas.
El problema de contorno de Riemann, también denominado problema de Riemann-Hilbert, es uno de los
problemas básicos de la teoría de los problemas de contorno del análisis Complejo. La literatura básica
acerca del problema de Riemann está dividida en libros y memorias de eventos
1
, concerniente a los
diferentes planteamientos que del mismo han sido considerados (ver por ejemplo [35] pp 151-153). Una
introducción al estudio de la metodología de solución del problema de Riemann en el análisis Complejo
puede encontrarse en los libros [26, 36, 43], así como en varios otros textos que tratan este tópico (ver [24,
35, 39, 41, 42]).
En los últimos años el problema de Riemann en el análisis de Clifford ha sido discutido en trabajos de Xu,
Shapiro y Vasilievski, Stern, Bernstein, Abreu y Bory entre otros (ver [2-7, 9-11, 51-54, 56, 57]).
El problema de Riemann en el contexto cuaterniónico fue reportado por Shapiro y Vasilievski (ver [52, 53]),
los cuales consideraron el problema en términos de una ecuación integral singular equivalente. Los
resultados obtenidos sobre la solubilidad efectiva del problema de Riemann para funciones monogénicas,
han sido relativamente pocos. Lo anterior se debe a dos razones fundamentales, expuestas como problemas
abiertos
2
en el libro basado en la conferencia “Clifford Algebras in Analysis and Related Topics", celebrada
en Fayetteville, Arkansas del 8-10 de abril de 1993 (ver [47]), que son:
No existe una noción de índice análoga al caso complejo, que permita estimar la dimensión del espacio de
soluciones del problema (Problema planteado por Zhenyuan Xu).
No se ha encontrado una factorización explícita para las funciones, definidas sobre una frontera dada, con
valores en álgebras de Clifford (Problema planteado por K. Gürlebeck).
En [9, ver también 6] la autora presenta una acercamiento y con buenas razones a los principales
resultados que se han obtenido respecto a la solución del primer problema planteado, al demostrar que es
posible obtener, de un modo elemental, una relación entre el índice del operador integral singular Clifford
valuado y el número de "envoltura", pero la solución completa de esta dificultad está aún lejos de alcanzarse.
Estos inconvenientes han imposibilitado dar solución al problema de Riemann para funciones
monogénicas, salvo en el caso particular de considerar constante el coeficiente del problema, de modo que
el mismo se reduzca a las fórmulas de Sokhotski-Plemelj.
En el caso general (coeficiente no constante), se han obtenido resultados a través de un enfoque
operacional, que permite utilizar la Teoría General de Operadores, y en particular el Teorema de Banach del
punto fijo, para ofrecer condiciones suficientes que garantizan la existencia y unicidad de la solución del
problema (ver [2, 4, 56, 57]). Aunque para ello se requiere la búsqueda de las soluciones en una clase de
funciones Clifford valuadas con cierta exigencia adicional.
En los últimos años el problema de Riemann y otros tópicos relacionados, han sido intensamente
estudiados (ver [1, 8] y sus referencias).
1
aunque también son cientos los artículos científicos publicados sobre esta temática
2
los cuales en la actualidad aún quedan sin solución efectiva
140
2. PRELIMINARES
Por R
m+1
, denotaremos el espacio Euclideano (m + 1) -dimensional con la norma
(
)
,xx:x
2
1
2
m
2
0
++= K
para x = (x
0
,x
m
) R
m+1
.
Los conjuntos abiertos y conexos en R
m+1
se denominarán dominios. Denotaremos por H
m
, la medida de
Hausdorff m--dimensional en R
m+1
(ver [37, 46]).
En lo adelante por
+
R
m+1
entenderemos un dominio acotado y simplemente conexo con frontera una
superficie Ahlfors-David regular Γ de diámetro d, es decir, existe una constante positiva c tal que:
c
-1
r
m
)r(
m
z
θ
cr
m
,
para cualesquiera z Γ y r
(0,d], donde
)(
)r,z(B:)r(
mmm
z
Γ=θ H
y
)r,z(B
m
representa la bola cerrada con
centro en z y radio r. Por
-
denotaremos el dominio complementario de
+
Γ en R
m+1
.
En el curso de todo el trabajo serán de particular importancia las superficies Ahlfors-David regulares. El
requerimiento de que un conjunto sea Ahlfors-David regular puede ser visto como una versión cuantitativa de
la propiedad de poseer este conjunto densidades superiores e inferiores, con respecto a H
m,
finitas y
positivas. Las superficies suaves y las superficies de Lipschitz constituyen ejemplos de tales superficies
regulares. Para más información sobre conjuntos regulares según Ahlfors-David el lector puede consultar la
exposición en [18-21, 37].
Aquí, y en lo adelante, el símbolo c denota una constante positiva no necesariamente la misma en
diferentes ocurrencias. Escribiremos z
x
, para representar un punto de Γ que cumple la condición
),,x(zx
x
Γρ=
siendo x un elemento arbitrario del espacio R
m+1
y ρ(x,Γ) representa la distancia del
punto x a Γ.
Consideremos el álgebra de Clifford real R
0,m
, 2
m
-dimensional generada por la base ortonormal {e
1
e
m
}
de R
m
. Esta álgebra posee como elementos básicos e
A
: =e
i1
e
ik
para A: = {i
1
,,i
k
} {1,,m} con i
1
< i
2
<…< i
k
.
Para A = φ, e
φ
: = e
0
: = 1 es la unidad en R
0,m
. De esta manera un elemento arbitrario a R
0,m
, puede ser
escrito como
=
A
AA
,eaa
con a
A
R,
y su norma está definida por
.a:a
2
1
A
2
A
=
Especialmente los elementos x = (x
0
,,x
m
) R
m+1
serán
identificados con
=
m
0i
ii
ex
R
0,m.
La multiplicación en R
0,m
es gobernada por las reglas básicas
,1e
2
i
=
i = 1,,m
y
e
i
e
j
+ e
j
e
i
= 0, i j.
Desafortunadamente, la norma
.
no posee la propiedad submultiplicativa, de modo que
141
|ab| K
0,m
|a||b|, para a,b R
0,m
.
El valor óptimo de la constante K
0,m
fue determinado en [32]. Denotaremos por
,a el conjugado de
a
R
0,m
, el cual se define por la igualdad
,ea:a
A
A
A
=
donde
.eee)1(:e
12k
iii
k
A
K=
Para los elementos generadores tenemos
ii
ee =
y para la unidad
.ee
00
=
En particular
R
0,1
es el campo
de los números complejos y
R
0,2
el skew-field de los cuaterniones reales de Hamilton. Hacemos notar que
para m
2, el álgebra
R
0,m
no es conmutativa.
Las funciones u:
R
m+1
R
0,m
, pueden ser escritas como
u(x) =
,e)x(u
A
A
A
donde las funciones u
A
son reales. Todas las propiedades que exijamos a una función u serán entendidas
como válidas para cada una de las componentes u
A
.
De este modo para F
R
m+1
, diremos que u
C
p
(F,
R
0,m
) (p = 0,1,
), si cada función componente u
A
de u
posee derivadas parciales continuas, hasta de orden p inclusive, en el conjunto F. Si p = 0, C
0
(F,
R
0,m
)
representa el espacio de las funciones Clifford valuadas y continuas en F, el cual denotaremos por
comodidad C(F,
R
0,m
). Si F es un conjunto compacto, la norma en C(F,
R
0,m
) estará dada por
.)x(usup:u
Fx
=
El concepto de función Clifford valuada monogénica surge como un análogo natural del concepto de
función compleja analítica, a partir del operador de Cauchy-Riemann
,e
x
:D
m
0i
i
i
m
=
=
como un análogo del operador
.
z
La no conmutatividad de las álgebras de Clifford, nos obliga a considerar el concepto de función
monogénica en dependencia del lado en que este operador actúa sobre la función.
Definición 2.1
Dado un dominio
R
m+1
y una función u
C
1
(
,
R
0,m
). Se dice que
i) La función u es monogénica a la izquierda en
si D
m
u = 0 en
.
ii) La función u es monogénica a la derecha en
si uD
m
= 0 en
.
Para m = 1 los conceptos de función monogénica a la izquierda y a la derecha coinciden con el concepto
de función analítica. En todo el trabajo consideraremos sólo funciones monogénicas a la izquierda, a las
cuales llamaremos simplemente monogénicas. El conjunto de las funciones monogénicas en
será
denotado por M(
,
R
0,m
).
Considerando el operador
,e
x
:D
m
0i
i
i
m
=
=
142
es fácil comprobar que
,DDDD
1mmmmm
+
==
donde
,
1m
+
representa el operador de Laplace en
R
m+1
, de
este modo, al igual que en el caso clásico, las componentes de una función monogénica son funciones
armónicas.
Un ejemplo simple, pero de gran importancia, de función monogénica a ambos lados es el llamado núcleo
de Clifford-Cauchy
,
x
x1
:)x(E
1m
m
m+
σ
=x
R
m+1
\{0},
donde
σ
m
denota el área de la esfera unitaria en
R
m+1
.
Señalemos la siguiente propiedad del núcleo de Clifford-Cauchy que será utilizada más adelante (ver [27])
=
+
σ
1m
0j jm
2
1j
1
m
21
2m1m
xyxy
1
xx
)xy(E)xy(E
(2.1)
Haciendo uso del núcleo de Clifford-Cauchy, definamos los siguientes operadores integrales
)y(n)xy(E:)x(uC
m
=
Γ
Γ
u(y)dH
m
(y), x
Γ
,
(integral del tipo Cauchy)
))x(u)y(u)(y(n)xy(E2:)x(uS
m
=
Γ
Γ
dH
m
(y) + u(x), x
∈Γ
,
(operador integral singular)
donde n(y) representa el vector normal unitario exterior a la frontera
Γ
en el punto y, definido por H. Federer
en [25] y u
C(
Γ
,
R
0,m
). La integral que define el operador integral singular S
Γ
es entendida en el sentido del
valor principal de Cauchy.
Definamos los operadores de proyección
),SI(
2
1
:Qy)SI(
2
1
:P
ΓΓΓΓ
+=+=
donde I denota el operador identidad.
Estos operadores representan las proyecciones en el espacio de todas las funciones continuas en
Γ
y que
poseen extensiones monogénicas en
±
respectivamente, y en el caso de Q
Γ
que además se anulan en el
infinito.
Dada una función real positiva
ϕ
:(0,d
]
R
+
con
ϕ
(0+) = 0, diremos que ésta es una mayorante si
ϕ
(
τ
) es
no decreciente y
ϕ
(
τ
)
τ
-1
es no creciente, para
τ
(0,d
]
. Si en adición, existe una constante positiva c tal que
),(cd
)(
d
)(
d
2
0
δϕτ
τ
τϕ
δ+τ
τ
τϕ
δ
δ
para
δ
(0, d
]
, entonces diremos que
ϕ
es además una mayorante regular.
Denotaremos por H
ϕ
(
Γ
,
R
0,m
) (
ϕ
es una mayorante) a la clase compuesta por funciones u de C(
Γ
,
R
0,m
),
que satisfacen la condición generalizada de Hölder
|
u(x) – u(y)
|
ϕ
(
|
x – y
|
), (2.2)
143
cualesquiera sean x,y
Γ
(ver [33]). A través del módulo de continuidad de u en
Γ
de la forma
ω
u
(
τ
): =
τ
sup
t≥τ
t
-1
sup
|x-y|≤t
|
u(x) – u(y)
|
,
la condición (2.2) puede ser escrita equivalentemente como sigue:
ω
u
(
τ
)
c
ϕ
(
τ
),
τ
[
0,d
]
.
Es fácil probar que el espacio H
ϕ
(
Γ
,
R
0,m
) con la norma
,
)(
)(
supu:u
u
d,0(
H
τϕ
τω
+=
]τ
ϕ
es un espacio de Banach real.
Seguidamente, por I
0
(
Γ
,
R
0,m
), denotaremos el espacio de las funciones que satisfacen la condición de Dini
en
Γ
, es decir
.d
)(
:),(Cu:),(I
0
u
m0,m0,0
+∞<τ
τ
τω
Γ=Γ
δ
RR
Recordemos algunos hechos auxiliares relacionados con ciertas estimaciones integrales que serán
relevantes para nosotros en lo adelante. Ya que las demostraciones de los siguientes lemas son similares a
las desarrolladas en [1, 2, 10, 11] para el caso cuaterniónico, las mismas son omitidas.
Lema 2.1.
Sea f una función no negativa y no creciente en (0,d
]
. Entonces, para cualesquiera sean
r
1
, r
2
(0,d
]
, r
2
>
r
1
, la siguiente igualdad es válida
.z),(d)(f)y(dH)zy(f
2
1
1
r
2
r
r
r
m
z
)z(\)z(
m
Γτθτ=
ΓΓ
Lema 2.2
. Sea U
M(
+
,
R
0,m
)
C(
+
Γ
,
R
0,m
), z
Γ
, r
(0,d
]
, entonces
i)
.)z(U)x(Umaxc)y(dH))z(U)y(U)(y(n)zy(E
x
rzx
)z(\
m
m
r
Γ
=
ΓΓ
+
ii)
.Uc)y(dH)y(U)y(n)zy(E
)z(\
m
m
r
ΓΓ
Lema 2.3
. Sea
ϕ
una mayorante regular. Entonces el espacio H
ϕ
(
Γ
,
R
0,m
) representa un subespacio invariante
para el operador S
Γ
, es más
,ucuS
HH
ϕϕ
Γ
para cualquiera u
H
ϕ
(
Γ
,
R
0,m
).
Lema 2.4
. (fórmulas de Sokhotski-Plemej) Para u
H
ϕ
(
Γ
,
R
0,m
) siendo
ϕ
una mayorante regular, se tiene que
144
i)
)z(uP)x(uClim
ZX
ΓΓ
=
+
ii)
),z(uQ)x(uClim
ZX
ΓΓ
=
para cualquiera z
Γ
.
Lema 2.5
. (Painlevé) Sea
R
m+1
un abierto y sea
Γ
una superficie inyectiva m-dimensional en
tal que
\Γ
es abierto. Además u
M(
\Γ
,
R
0,m
)
C(
,
R
0,m
). Entonces u
M(
,
R
0,m
).
La no conmutatividad de los números de Clifford conduce a considerar dos análogos directos del problema
de contorno de Riemann para funciones monogénicas. Ellos pueden ser formulados como sigue (ver [52,
53]):
Problema de Riemann a la izquierda
: Encontrar si existe una función u, monogénica en
R
m+1
\
Γ
, u(
) =0,
cuyos valores límites sobre
Γ
,
),x(ulim:)z(u
ZX
±
±
=
satisfacen la condición de frontera
u
+
(z) – G(z)u
-
(z) = g(z), z
Γ
,
donde G y g son funciones conocidas de C(
Γ
,
R
0,m
), con la particularidad de que G no se anula en
Γ
.
Si cambiamos la condición de frontera por
u
+
(z) – u
-
(z)G(z) = g(z), z
Γ
,
tenemos el problema de Riemann a la derecha.
Análogo al caso complejo, las funciones G y g serán denominadas coeficiente y término independiente
respectivamente. En todo el trabajo nos dedicaremos solamente al estudio del problema de Riemann a la
izquierda en superficies Ahlfors-David regulares.
3. UN CASO PARTICULAR DEL PROBLEMA DE RIEMANN
En la presente sección se obtiene la solución explícita del problema de Riemann, en el caso particular de
considerar el coeficiente constante, el cual pertenece al centro del álgebra
R
0,m
, es decir, el mismo conmuta
con todo elemento del álgebra
R
0,m
y además supondremos que éste posee inverso. Nótese que el inverso
de un elemento del centro del álgebra
R
0,m
, si existe, también pertenece al centro.
Consideraremos que el término independiente del problema es de la forma Ug, donde
U
M(
+
,
R
0,m
)
C(
+
Γ
,
R
0,m
) y g
I
0
(
Γ
,
R
0,m
)
Consideremos el siguiente operador auxiliar
),y(dH))z(u)y(u)(y(n)zy(E)z(u)x(uC:)x,z,u(L
)z(\
m
m
ε
ΓΓ
Γε
=
para u
C(
Γ
,
R
0,m
), z
Γ
,
ε
(0,d
]
.
Lema 3.1
. Sea U
M(
+
,
R
0,m
)
C(
+
Γ
,
R
0,m
) y g
I
0
(
Γ
,
R
0,m
). Entonces se verifica que
145
+
x,0zx),z(g)z(U
x,0zx,0
)x,z,Ug(L
)zx(
2
Demostración
. Tomemos X
+
y pongamos 2
|
x - z
|
=
ε
, entonces
+=
ε
ΓΓ
ε
))z(g)z(g)(y(dH)y(U)y(n)zy(E)x,z,Ug(L
x
m
)z(\
m
++
ε
ΓΓ
)y(dH))z(g)y(g)(y(U)y(n))zy(E)xy(E(
m
xm
)z(\
m
++
ε
Γ
))z(g)z(U)z(g)x(U()y(dH))z(g)y(g)(y(U)y(n)xy(E
x
m
x
)z(
m
.J:)z(g)y(dH))z(U)y(U)y(n)zy(E
5
1k
k
m
)z(\
m
=
ΓΓ
=
ε
En virtud del Lema 2.2, tenemos
)zz(UcJ
xg1
ω
y por lo tanto J
1
0 cuando x
z. Por otro lado
)zy()zy(E)xy(EUJ
xg
)z(\
mm2
ω
ε
ΓΓ
dH
m
(y).
Considerando que
zy3zyyxy2zy
xx
ε+
para y
Γ\Γ
ε
(z), entonces en virtud de (2.1)
.
)zy(zy
zxc
)zy(E)xy(E
x
m
x
mm
ε+
Haciendo uso del Lema 2.1 y teniendo en cuenta la regularidad de
Γ
,
.d
)(
)(
UcJ
d
0
g
2
τ
ε+ττ
τω
ε
Como g
I
0
(
Γ
, R
0,m
), entonces
,0si,0d
)(
)(
d
0
g
ετ
ε+ττ
τω
ε
por lo tanto J
2
0 cuando x
z.
Ya que
Γ
ε
(z)
Γ
2ε
(z
x
), entonces para 2
ε
<
d se tiene que
m
x
xg
)z(
3
zy
)zy(
UcJ
x2
ω
ε
Γ
dH
m
(y)
.d
)(
Uc
g
0
2
τ
τ
τω
ε
146
De aquí que J
3
0 cuando x
z. Por otro lado, como Ug es continua en
Γ
, J
4
0 cuando x
z.
Finalmente en virtud del Lema 2.2 el último sumando J
5
tiende a cero cuando x
z, lo cual completa la
demostración. Para x
-
la demostración es similar.
Lema 3.2
. Sea U
M(
+
,
R
0,m
)
C(
+
Γ
,
R
0,m
) y g
I
0
(
Γ
,
R
0,m
). Entonces la integral
))z(g)z(U)y(g)y(U()y(n)zy(E
m
Γ
dH
m
(y), z
Γ
.
existe en el sentido del valor principal de Cauchy y converge uniformemente en
Γ
.
Demostración
. Sea
ε
(0,d
]
, entonces
))z(g)z(U)y(g)y(U()y(n)zy(E
)z(\
m
ε
ΓΓ
dH
m
(y) =
))z(g)y(g)(y(U()y(n)zy(E
)z(\
m
=
ε
ΓΓ
dH
m
(y) +
))z(U)y(U()y(n)zy(E
)z(\
m
+
ε
ΓΓ
dH
m
(y)g(z).
En virtud del Lema 2.2 y teniendo en cuenta que g es una función acotada en
Γ
, se tiene que el segundo
sumando de la igualdad anterior converge uniformemente en z. Luego, para completar la demostración es
suficiente estimar el primer sumando.
Para 0
<
ε
1
<
ε
2
d, se tiene
εε
ΓΓ
)y(dH))z(g)y(g)(y(U)y(n)zy(E
m
)z(\)z(
m
12
m
g
)z(\)z(
zy
)zy(
Uc
12
ω
εε
ΓΓ
dH
m
(y).
Teniendo en cuenta el Lema 2.1 y la regularidad de la superficie
Γ
, se obtiene finalmente
ε
ε
ΓΓ
τ
τ
τω
εε
2
1
12
.d
)(
Uc)y(dH))z(g)y(g)(y(U)y(n)zy(E
g
m
)z(\)z(
m
De este modo el primer sumando converge uniformemente en
Γ
cuando
ε→
0.
Teorema 3.1
. Sean U y g como en los lemas anteriores, y G una Clifford constante que pertenece al centro
del álgebra
R
0,m
y tal que existe el inverso G
-1
. Entonces la única solución del problema de Riemann con
término independiente Ug posee la forma
),y(dH)y(g)y(UG)y(n)xy(E)x(X)x(u
m1
m
Γ
=
donde
147
=
+
.x,1
xG
:)x(X
Demostración
. A partir de los dos lemas anteriores, es evidente que la función u es una solución del
problema de Riemann, y es fácil comprobar la unicidad de esta solución. En efecto, asumiendo la existencia
de otra solución
ν
, se observa que la función u*: = X
-1
(u -
ν
) es monogénica en
R
m+1
\
Γ
y puede ser
prolongada continuamente hasta
Γ
. Según el Teorema de Painlevé, u* es monogénica en todo
R
m+1
y se
anula en el infinito. Luego según el Teorema de Liouville (ver [13]) obtenemos que u* = 0, en consecuencia
u =
ν
.
4. EL PROBLEMA DE RIEMANN EN ESPACIOS GENERALIZADOS DE HÖLDER
Consideremos el problema de contorno de Riemann en la clase H
ϕ
(
Γ
,
R
0,m
), es decir, G y g son funciones
de H
ϕ
(
Γ
,
R
0,m
), siendo
ϕ
una mayorante regular. En la presente sección se obtienen condiciones suficientes
que garantizan la existencia y unicidad de las soluciones del problema de Riemann, buscadas en la clase de
funciones monogénicas fuera de
Γ
y cuyos valores límites existen y representan funciones de H
ϕ
(
Γ
,
R
0,m
).
A partir del Lema 2.3, tenemos que los operadores lineales P
Γ
y Q
Γ
actúan acotadamente sobre el espacio
H
ϕ
(
Γ
,
R
0,m
).
Sea u una solución del problema de Riemann tal que u
±
H
ϕ
(
Γ
,
R
0,m
), entonces ésta se representa de la
forma
u(z) = C
Γ
ν
(z), (4.1)
donde
ν
es una función de H
ϕ
(
Γ
,
R
0,m
). Véase que esta representación es válida para toda solución del
problema bajo las condiciones exigidas, pues bastaría tomar
ν
= u
+
- u
-
. Nótese que, en general, si u es una
solución cualquiera del problema de Riemann, la misma parece imposible de representar por (4.1), o al
menos no tenemos idea de cómo esto puede ser logrado. En los trabajos [56, 57], en el desarrollo de un
análisis similar, la autora no explica como este importante hecho puede ser obtenido. Por otra parte la
necesidad de tal exigencia queda muy bien explicada en los trabajos [52, 53], donde los autores introducen
una clase de funciones monogénicas en
R
m+1
\
Γ
(donde se exige encontrar la solución del problema de
Riemann) que satisfacen entre otras, esta exigencia.
Evidentemente u es monogénica en
R
m+1
\
Γ
, se anula en el infinito y además, teniendo en cuenta el
Lema 2.4, es posible prolongarla continuamente hasta
Γ
. Por tanto, la función
ν
satisface la siguiente
ecuación integral singular
P
Γ
ν
(z) = - G(z)Q
Γ
ν
(z) + g(z), z
∈Γ
. (4.2)
Recíprocamente, si
ν
es una solución de (4.2), entonces la función definida por (4.1) es una solución del
problema de Riemann. La ecuación integral singular (4.2) puede ser escrita de la siguiente manera
ν
(z) = (1 - G(z))Q
Γ
ν
(z) + g(z), z
∈Γ
. (4.3)
De este modo la solubilidad del problema de Riemann puede ser reducido a la solución de una ecuación
integral singular equivalente.
Teorema 4.1
. Sean G y g funciones de H
ϕ
(
Γ
,
R
0,m
),
ϕ
una mayorante regular. Si G satisface la relación
,
QK
1
HG1
m,0 Γ
ϕ
<
entonces el problema de Riemann posee solución única.
Demostración
. Pongamos en correspondencia con el miembro derecho de la ecuación (4.3) al operador R,
definido del siguiente modo
148
Rv:= (1 - G)Q
Γ
ν
+ g.
Probemos que el operador R, que actúa del espacio de Banach H
ϕ
(
Γ
,
R
0,m
), en sí mismo, es un operador
contraído. Sean v,w
H
ϕ
(
Γ
,
R
0,m
),
=
ϕϕ
ΓHH
)wv(Q)G1(RwRv
,wvG1QK
HH
m,0
ϕϕ
Γ
donde según hipótesis
.1G1QK
H
m,0
<
ϕ
Γ
De este modo, a partir del Teorema de Banach del punto fijo, queda demostrado que existe una única
solución de (4.3), o lo que es lo mismo, el problema de Riemann posee solución única en la clase
H
ϕ
(
Γ
,
R
0,m
), y la misma está determinada por (4.1).
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... Hence, it is not surprising that this object has also been studied in the context of Clifford analysis (see e.g. [1,2,5,6,7,17,18,19,20,21,22,71,86,107,108,122,123]). ...
... Hence, it is not surprising that this object has also been studied in the context of Clifford analysis (see e.g. [1,2,5,6,7,17,18,19,20,21,22,71,86,107,108,122,123]). ...
... A predecessor of the above intention was developed in [2]. A review report by D. Peña and J. Bory regarding Riemann boundary value problem for monogenic Clifford algebra-valued function in non-smooth domain using singular integral equations will appear in [49]. ...
Article
Full-text available
. The main goal of this paper is centred around the study of the behavior of the Cauchy type integral and its corresponding singular version, both over nonsmooth domains in Euclidean space. This approach is based on a recently developed quaternionic Cauchy integrals theory [1, 5, 7] within the three-dimensional setting. The present work involves the extension of fundamental results of the already cited references showing that the Clifford singular integral operator has a proper invariant subspace of generalized Hlder continuous functions defined in a surface of the (m+1)-dimensional Euclidean space.
Book
In its traditional form, Clifford analysis provides the function theory for solutions of the Dirac equation. From the beginning, however, the theory was used and applied to problems in other fields of mathematics, numerical analysis, and mathematical physics. recently, the theory has enlarged its scope considerably by incorporating geometrical methods from global analysis on manifolds and methods from representation theory. New, interesting branches of the theory are based on conformally invariant, first-order systems other than the Dirac equation, or systems that are invariant with respect to a group other than the conformal group. This book represents an up-to-date review of Clifford analysis in its present form, its applications, and directions for future research. Readership: Mathematicians and theoretical physicists interested in Clifford analysis itself, or in its applications to other fields.