ArticlePDF Available

Derivation of the Dirac matrices in the real, complex and quaternionic representations

Authors:

Abstract

The article examines the relationship between the laws of the multiplication of vectors in the co-variant Clifford algebra and Dirac matrices. The result is that spatial Dirac matrices are recorded in the form of a matrix structural permanent Clifford algebra over a geometric space. Spatio-temporal Dirac matrices represent the structural constants of the condensed Clifford algebra on the space-time. The structural constants are considered on the set of real numbers, complex numbers and qua-ternions.
Вывод матриц Дирака в действительном, комплексном и кватернионном
представлениях
к.т.н. доц. Кецарис А.А.
Университет машиностроения
8 (495) 223-05-23 доб. 1312
Аннотация. В статье исследуется связь между законами умножения векторов в ковариантной алгеб-
ре Клиффорда и матрицами Дирака. В результате устанавливается, что пространственные матрицы Дирака
представляют собой записанные в матричной форме структурные постоянные алгебры Клиффорда над гео-
метрическим пространством. Пространственно-временные матрицы Дирака представляют собой структур-
ные постоянные сжатой алгебры Клиффорда над пространством-временем. Структурные постоянные рас-
сматриваются над множеством действительных чисел, комплексных чисел и кватернионов.
Ключевые слова: матрицы Дирака, ковариантная ассоциативная алгебра, алгебра Клиффорда, струк-
турные постоянные, структурные матрицы.
В основе этой статьи лежит предположение о том, что структурные матрицы алгеб-
ры Клиффорда как-то связаны с матрицами Дирака. Но сами структурные матрицы опре-
деляются законами умножения алгебры нашем случае законам умножения векторов в
алгебре Клиффорда). Следовательно, между этими законами и матрицами Дирака должна
существовать взаимосвязь [1]. Если нам удастся вывести матрицы Дирака, исходя из зако-
нов умножения алгебры Клиффорда, то это будет свидетельством в пользу выдвинутого
предположения. А если учесть, что строгий вывод матриц Дирака в настоящее время от-
сутствует, то получение такого вывода само по себе представляет интерес [2]. Матрицы
Дирака мы свяжем с присоединенным представлением ковариантной алгебры Клиффорда.
1. Присоединенное представление базисных векторов
Введем в рассмотрение ковариантную ассоциативную алгебру
C
. Ее векторы запишем в
следующем виде
I
IESS
,
где
I
S
координаты ковариантного вектора,
I
E
базисные векторы. Запишем закон ум-
ножения базисных векторов в алгебре C следующим образом:
L
L
IKKI ECEE
.
(1)
Здесь
L
IK
C
структурные постоянные алгебры. Они рассматриваются в виде матриц, назы-
ваемых структурными. Индекс I нумерует сами матрицы. Номер матрицы совпадает с но-
мером левого базисного вектора. Индекс K нумерует строки, а индекс L столбцы струк-
турных матриц. Запишем условие ассоциативности для произведения трех базисных век-
торов
NKINKI EEEEEE )()(
.
Отсюда, используя закон умножения базисных векторов (1), получим
.
Откуда
M
LN
L
IK
M
IL
L
KN CCCC
.
(2)
Сравнивая это выражение с самим законом умножения базисных векторов (1), заключаем,
что базисным векторам
I
E
можно поставить в соответствие структурные матрицы
L
IK
C
.
При этом умножению базисных векторов ставится в соответствие обычное умножение
матриц в обратном порядке. Это соответствие составляет присоединенное или регулярное
представление алгебры
C
и обозначается здесь следующим образом
L
IKICE ~
.
В регулярном представлении произвольному вектору алгебры соответствует матрица
I
I
L
IK
I
L
KESSCSS ~
.
В соответствии с нашей программой будем рассматривать ковариантную алгебру как ал-
гебру Клиффорда над четырехмерным пространством–временем специальной теории от-
носительности. Итак, мы имеем алгебру Клиффорда, построенную на шестнадцати базис-
ных векторах
I
E
, где индекс I пробегает значения от 0 до 15 [3]. Укажем эти базисные
векторы и законы умножения, которым они подчиняются.
- Вектор
0
E
. Для него имеет место закон умножения
000 EEE
.
- Векторы
i
E
, где индекс i пробегает значения от 1 до 4. Эти векторы называются
образующими. Для образующих вкторов имеют место следующие законы умножения
iii EEEEE 00
,
iii EsignEE
,
причем
04321 EEsignEsignEsignEsign
.
Пространство, построенное на образующих векторах, представляет собой пространство–
время специальной теории относительности. Это пространство является образующим для
рассматриваемой алгебры Клиффорда. (Далее все индексы, обозначаемые малыми латин-
скими буквами, начиная с i, пробегают значения от 1 до 4.)
- Векторы
ikik EEE
, (i k), для которых выполняется правило перестановки
индексов и, соответственно, сомножителей – условие антикоммутативности произведения
kiik EE
.
Остальные законы умножения, в которых участвуют эти векторы, следуют из ус-
ловий ассоциативности и антикоммутативности. В частности,
kiikkiikik EsignEsignEEEEEE )(
.
- Векторы
lkiikl EEEE
, (i ≠ k, i ≠ l, k ≠ l),
для которых выполняются следующие правила перестановки индексов, вытекающие из
условий ассоциативности и атикоммутативности
lkiilkkillikkliikl EEEEEE
.
Остальные законы умножения этих векторов также следуют из из условий ассоциа-
тивности и антикоммутативности. В частности,
lkiikllkiiklikl EsignEsignEsignEEEEEEEE ))((
.
- Вектор
mlkiiklm EEEEE
, (i ≠ k, i ≠ l, i ≠ m, k ≠ l, k ≠ m, l ≠ m).
Для этого вектора выполняются следующие правила перестановки индексов, вытекающие
из условий ассоциативности и антикоммутативности
kmilklmiimklikmlilkmimklilmkiklm EEEEEEEE
limklkmilikmlmikkimlklimkmlikilm EEEEEEEE
mlkimilkmkilmlikmklimikllkimlmki EEEEEEEE
.
Остальные законы умножения, в которых участвует этот вектор, также следуют из усло-
вий ассоциативности и антикоммутативности. В частности,
iklmmlkiiklmiklm EEEEEEEEEE )))(((
mlki EsignEsignEsignEsign
.
В соответствии с нашим общим замыслом необходимо для указанных базисных векторов
I
E
найти структурные матрицы
L
IK
C
, пользуясь (1) и правилами умножения векторов в
алгебре Клиффорда, и сравнить их с матрицами Дирака.
Из (1) следует алгоритм вычисления структурных матриц, соответствующих базис-
ным векторам. Сначала нужно установить номер структурной матрицы в соответствии с
номером базисного вектора. Затем для вычисления элемента структурной матрицы с но-
мером I, расположенного в строке с номером K и в столбце с номером L, необходимо ба-
зисный вектор, номер которого совпадает с номером строки матрицы, умножить слева на
базисный вектор, номер которого совпадает с номером структурной матрицы. Далее нуж-
но определить базисный вектор, на который проецируется это произведение, и численное
значение проекции. Тогда номер L указанного базисного вектора определит номер столб-
ца, на пересечении которого с рассматриваемой строкой, необходимо поставить указанное
численное значение проекции.
В том случае, когда необходимо подчеркнуть размерность образующего простран-
ства алгебры Клиффорда, используется обозначение
4
С
вместо обозначения
С
. Это осо-
бенно полезно при выделении подалгебры алгебры Клиффорда. Например, подалгебру
алгебры
4
С
с тремя образующими базисными векторами (например,
321 ,, EEE
) удобно
обозначать
3
С
.
Теперь вычислим структурные матрицы
L
IK
C
по приведенному алгоритму для
двух случаев:
1. алгебра
3
С
с тремя образующими базисными векторами
321 ,, EEE
;
2. алгебра
4
С
с четырьмя образующими базисными векторами
4321 ,,, EEEE
.
2. Ковариантная алгебра Клиффорда
3
С
2.1. Действительное представление
Для алгебры
3
С
структурные матрицы будем вычислять для особого порядка индексов
(32, 13, 21, 0, 1, 2, 3, 123).
Приведенный порядок индексов оправдан тем, что, как будет показано далее, для него
структурные матрицы алгебры Клиффорда в комплексном представлении совпадают с
матрицами Дирака. С математической точки зрения порядок индексов несущественен
вследствие аддитивности сложения компонент вектора, но с физической точки зрения
указанному порядку индексов нужно придавать определенное значение. Таким образом,
будем записывать слагаемые вектора в следующей последовательности
123
123
3
3
2
2
1
1
0
0
21
21
13
13
32
32 ESESESESESESESESS
.
(3)
В результате получим действительные матрицы 8×8 присоединенного представления ба-
зисных векторов
I
E
. Они приведены в разделе 2.4. Помимо действительного представле-
ния рассмотрим комплексное и кватернионное представления базисных векторов алгебры
Клиффорда, удобные в силу своей компактности.
2.2. Комплексное представление
Остановимся на вопросе о представлении произведения алгебр Клиффорда. Алгебру
Клиффорда
n
С
можно записать в виде произведения
)( mnm СС
. И затем представить
алгебру
)( mn
С
как алгебру гиперчисел. Например, вектор (3) алгебры
3
С
можно записать
в следующем виде:
)()( 0
0
21
21
00
13
21
32
13 ESESEESESES
)()( 0
123
21
3
1230
2
21
1
2ESESEESESE
.
Эта запись соответствует записи алгебры
3
С
в виде произведения
12 СС
. Базисными
векторами алгебры
3
С
являются
13
E
,
0
E
,
2
E
,
123
E
; базисными векторами алгебры
1
С
являются
21
E
,
0
E
. Пространство
1
С
можно рассматривать как пространство комплексных
чисел. Для этого базисному вектору
21
E
алгебры
1
С
поставим в соответствие мнимую
единицу i с обратным знаком, имея в виду, что
1
21 Esign
, а базисному вектору
0
E
ал-
гебры
1
С
поставим в соответствие действительную единицу. В результате получим век-
тор алгебры
3
С
в комплексном представлении
)()( 021
0
1332
13 SiSESiSES
)()( 1233
123
21
2SiSESiSE
.
Комплексное представление дается матрицами 4×4, в которых блоки заменены базисны-
ми единицами 1 и i. Они приведены в раздел 2.4.
2.3. Кватернионное представление
Напомним, что кватернионы это числа вида
3
3
2
2
1
1
0
0qqqq
,
где
3210 ,,,
действительные числа, а
3210 ,,, qqqq
базисные кватернионы,
для которых выполняются следующие правила умножения:
)3,2,1(,,, 000000 iqqqqqqqqqqq iiiii
,
231131233231221 ,, qqqqqqqqqqqqqqq
.
Кватернионное представление базисных векторов основано на следующем разложении
вектора
00
0
21
21
13
13
32
32 )( EESESESESS
1230
123
21
3
13
2
32
1)( EESESESES
.
(4)
Эта запись соответствует записи алгебры
3
С
в виде произведения
21 СС
. Базисными
векторами алгебры
1
С
являются
0
E
,
123
E
; базисными векторами алгебры
2
С
являются
32
E
,
13
E
,
21
E
,
123
E
. Так как
1,1 0211332 EsignEsignEsignEsign
,
то пространство
2
С
можно рассматривать как пространство кватернионов. Для этого ука-
занным базисным векторам ставятся в соответствие базисные кватернионы, которые обо-
значим соответственно 1,
1
i
,
2
i
,
3
i
. Заменяя в (4) базисные векторы
0
E
,
32
E
,
13
E
,
21
E
базисными кватернионами, получим вектор алгебры
3
С
в кватернионном
представлении
0
0
3
21
2
13
1
32 )( ESiSiSiSS
123
123
3
3
2
2
1
1)( ESiSiSiS
.
Кватернионное представление базисных векторов дается структурными матрицами 2×2, в
которых соответствующие блоки обозначены 1,
1
,
2
,
3
. Эти матрицы приведены в
следующем разделе.
2.4. Структурные матрицы ковариантной алгебры Клиффорда
3
С
В этом разделе приведем структурные матрицы ковариантной алгебры Клиффорда
3
С
При преобразовании матриц от действительного представления к комплексному исполь-
зованы следующие обозначения для блоков 2×2
При преобразовании матриц от комплексного представления к кватернионному исполь-
зованы следующие обозначения для блоков 2×2
Матрицы
1
,
2
,
3
. представляют собой матрицы Паули (с той разницей, что по сооб-
ражениям симметрии в качестве
3
взята матрица с противоположным знаком).
3. Ковариантная алгебра Клиффорда
4
С
3.1. Действительное представление
Структурные матрицы алгебры
4
С
будем вычислять для особого порядка индексов,
обобщающего порядок индексов, указанный в разделе 2.1:
(32, 13, 21, 0, 42, 14, 1324, 34, 1, 2, 3, 123, 134, 234, 4, 124) .
То есть, будем записывать слагаемые вектора в следующей последовательности
14
14
42
42
0
0
21
21
13
13
32
32 ESESESESESESS
123
123
3
3
2
2
1
1
34
34
1324
1324 ESESESESESES
124
124
4
4
234
234
134
134 ESESESES
.
В результате получим матрицы 16×16 действительного представления базисных векторов
I
E
. Они приведены в разделе 3.4.
3.2. Комплексное представление
Комплексное представление основано на следующем разложении вектора:
)()( 0
0
21
21
00
13
21
32
13 ESESEESESES
)()( 0
34
21
1324
340
14
21
42
14 ESESEESESE
)()( 0
123
21
3
1230
2
21
1
2ESESEESESE
)()( 0
124
21
4
1240
234
21
134
234 ESESEESESE
.
Это представление соответствует записи
4
С
в виде произведения
13 СС
. Базисными
векторами алгебры
3
С
являются
13
E
,
0
E
,
14
E
,
34
E
,
2
E
,
123
E
,
234
E
,
124
E
;
базисными векторами алгебры
1
С
являются
21
E
,
0
E
. Заменяя базисный вектор
21
E
мнимой единицей с обратным знаком, а базисный вектор
0
E
действительной единицей,
получим вектор алгебры
4
С
в комплексном представлении
)()( 021
0
1332
13 SiSESiSES
)()( 341324
34
1442
14 SiSESiSE
)()( 1233
123
21
2SiSESiSE
)()( 1244
124
234134
234 SiSESiSE
.
Комплексное представление базисных векторов дается структурными матрицами 8×8, в
которых соответствующие блоки заменены базисными единицами 1 и i. Эти матрицы при-
ведены в разделе 3.4.
3.3. Кватернионное представление
Кватернионное представление базисных векторов основано на разложении вектора
00
0
21
21
13
13
32
32 )( EESESESESS
340
34
21
1324
13
14
32
42 )( EESESESES
1230
123
21
3
13
2
32
1)( EESESESES
1240
124
21
4
13
234
32
134 )( EESESESES
.
Это представление соответствует записи алгебры
4
С
в виде произведения
22 СС
. Ба-
зисными векторами одной алгебры
2
С
являются
0
E
,
34
E
,
123
E
,
124
E
; базисными век-
торами другой алгебры
2
С
являются
32
E
,
13
E
,
21
E
,
0
E
. Как и прежде, заменяя послед-
нюю группу базисных векторов базисными кватернионами, получим вектор алгебры
4
С
в кватернионном представлении
0
0
3
21
2
13
1
32 )( ESiSiSiSS
34
34
3
1324
2
14
1
42 )( ESiSiSiS
123
123
3
3
2
2
1
1)( ESiSiSiS
124
124
3
4
2
234
1
134 )( ESiSiSiS
.
Кватернионное представление базисных векторов дается структурными матрицами 2×2, в
которых соответствующие блоки обозначены 1,
1
,
2
,
3
. Эти матрицы приведены в
следующем разделе.
3.4. Структурные матрицы ковариантной алгебры Клиффорда
4
С
В этом разделе приведем структурные матрицы ковариантной алгебры Клиффорда
4
С
.
Для компактности статьи мы приведем только четыре матрицы из шестнадцати. Эти мат-
рицы соответствуют образующим базисным векторам алгебры
4
С
. Обозначения для бло-
ков 2×2, использованых при преобразовании матриц от действительного представления к
комплексному и при преобразовании матриц от комплексного представления к кватерни-
онному, приведены в разделе 2.4.
Выводы
Восемь структурных матриц ковариантной алгебры
3
С
в комплексном представлении
совпадают с восьмью пространственными матрицами Дирака. К мнимой единице и ком-
плексным числам мы приходим после обозначения ими блочных матриц. Таким образом,
загадочная роль мнимой единицы, комплексных величин и пространства Гильберта в
квантовой механике объясняется правилами умножения базисных векторов в алгебре
Клиффорда. Шестнадцать структурных матриц ковариантной алгебры Клиффорда
4
С
обобщают шестнадцать матриц Дирака, отличаясь от них прежде всего размерностью.
Так в комплексном представлении эти матрицы имеют размерность 8×8, в то время как
матрицы Дирака имеют размерность 4×4. Если предположить вырождение части компо-
нент вектора ковариантной алгебры
4
С
, то структурные матрицы вырожденной алгебры
4
С
сводятся к полному набору матриц Дирака.
Литература
1. Кецарис А.А. Алгебраические основы физики. Пространство-время и действие как уни-
версальные алгебры, М., Издательство УРСС, 2004г., 280с.
2. D. Hestenes, A. Weingartshofer, The electron, new theory and experiment, Kluwer Academic
Publishers, Dordrecht, 1991.
3. D. Hestenes, G.Sobczyk, Clifford algebra in geometric calculus, Riedel Publishing Compa-
ny, Dordrecht, 1984.
ResearchGate has not been able to resolve any citations for this publication.
Book
techniques, and raises new issues of physical interpretation as well as possibilities for deepening the theory. (3) Barut contributes a comprehensive review of his own ambitious program in electron theory and quantum electrodynamics. Barut's work is rich with ingenious ideas, and the interest it provokes among other theorists can be seen in the cri tique by Grandy. Cooperstock takes a much different approach to nonlinear field-electron coupling which leads him to conclusions about the size of the electron. (4) Capri and Bandrauk work within the standard framework of quantum electrodynamics. Bandrauk presents a valuable review of his theoretical approach to the striking new photoelectric phenomena in high intensity laser experiments. (5) Jung proposes a theory to merge the ideas of free-free transitions and of scattering chaos, which is becoming increasingly important in the theoretical analysis of nonlinear optical phenomena. For the last half century the properties of electrons have been probed primarily by scattering experiments at ever higher energies. Recently, however, two powerful new experimental techniques have emerged capable of giving alternative experimental views of the electron. We refer to (1) the confinement of single electrons for long term study, and (2) the interaction of electrons with high intensity laser fields. Articles by outstanding practitioners of both techniques are included in Part II of these Proceedings. The precision experiments on trapped electrons by the Washington group quoted above have already led to a Nobel prize for the most accurate measurements of the electron magnetic moment.