La ley de Benford y su aplicabilidad en el análisis forense de resultados electorales

Abstract

En este artículo se analiza la viabilidad de la ley de Benford para el estudio forense de la detección de fraudes electorales. De acuerdo con esta ley, los dígitos iniciales de un conjunto de números siguen una distribución logarítmica cuando los datos no han sido perturbados. La generación de esta ley en datos socioeconómicos y de otra índole depende de la presencia de un doble proceso aleatorio: eventos de una distribución y distribuciones de probabilidad elegidas de un conjunto reducido. A partir de un modelo basado en agentes se muestra que esta ley no ofrece una prueba robusta para distinguir entre elecciones limpias y las que han sido manipuladas. En dicho modelo las preferencias partidistas se modifican a partir del contagio social, y los parámetros son calibrados con datos de las elecciones mexicanas de 2006.

Full text

297
Política y gobierno
VOLUMEN XVIII · NÚMERO 2 · II SEMESTRE DE 2011 · PP. 297-329
La ley de Benford y su aplicabilidad
en el análisis forense
de resultados electorales
Gonzalo Castañeda*
Resumen: En este artículo se analiza la viabilidad de la ley de Benford para el estudio fo-
rense de la detección de fraudes electorales. De acuerdo con esta ley, los dígitos iniciales
de un conjunto de números siguen una distribución logarítmica cuando los datos no han
sido perturbados. La generación de esta ley en datos socioeconómicos y de otra índole
depende de la presencia de un doble proceso aleatorio: eventos de una distribución y
distribuciones de probabilidad elegidas de un conjunto reducido. A partir de un modelo
basado en agentes se muestra que esta ley no ofrece una prueba robusta para distinguir
entre elecciones limpias y las que han sido manipuladas. En dicho modelo las preferencias
partidistas se modifican a partir del contagio social, y los parámetros son calibrados con
datos de las elecciones mexicanas de 2006.
Palabras clave: ley de Benford, análisis de fraude electoral, modelos basados en agen-
tes, preferencias políticas, elecciones mexicanas de 2006.
Benford’s Law and its Applicability in the Forensic Analysis
of Electoral Results
Abstract: This article analyses the viability of Benford’s Law in the forensic study of the
detection of electoral frauds. According to this law, the initial digits of a set of numbers
follow a logarithmic distribution as long as the data has not been disturbed. Implementa-
tion of this law in socioeconomic data —or in other types of data— depends on the pres-
ence of a two-fold randomized process: events of a distribution, and probability distribu-
tions selected from a reduced group. Through agent-based models, it is demonstrated
that this law does not offer a robust test to distinguish between clean elections and elec-
tions that have been manipulated. In the model-in-question, partisan preferences are
modified by means of social transmission and the parameters are calibrated with data from
the Mexican 2006 elections.
Keywords: Benford’s Law, analysis of electoral fraud, agent-based models, political
preferences, Mexican 2006 elections.
*Gonzalo Castañeda es profesor-investigador del Centro de Estudios Económicos de El Colegio de
Mé xico. Camino al Ajusco 20, Pedregal de Santa Teresa, México D.F., 10740, Apartado Postal 20671.
Tel. (52 55) 54 49 30 00, fax (52 55) 56 45 04 64. Correo electrónico: sociomatica@hotmail.com.
Artículo recibido en julio de 2009 y aceptado para su publicación en octubre de 2010.

298 Política y gobierno VOLUMEN XVIII · NÚMERO 2 · II SEMESTRE DE 2011
Gonzalo Castañeda
Introducción
A
l percatarse de que las páginas de los primeros dígitos en las tablas de
logaritmos estaban más desgastadas que las páginas de los últimos dí-
gitos, el astrónomo y matemático Simon Newcomb descubrió, en 1881, que
los dígitos iniciales significativos de los números (i.e. excluyendo el cero) no
se distribuían de manera uniforme. Dado que estas tablas eran utilizadas
por científicos de diferentes disciplinas, Newcomb conjeturó que este fe-
nómeno debía estar presente en bases de datos provenientes de distintos
ámbitos de la vida. Pero fue en 1938, cuando el físico Frank Benford redes-
cubrió el fenómeno en 20 muestras de diferentes fuentes, que se aportó
evidencia rigurosa sobre la presencia recurrente de la distribución logarít-
mica de los dígitos (Hill, 1998). Entre las bases de datos que mostraban esta
frecuencia relativa se encontraban las siguientes: cuentas de electricidad,
área de los ríos, peso atómico de los elementos químicos, números de los
inmuebles en las calles, número de habitantes en las poblaciones, estadísti-
cas de la liga americana de beisbol, número de defunciones en desastres.
Una aplicación importante de la ley de Benford (o ley del primer dígito)
se encuentra en la detección de fraudes fiscales (Nigrini, 1996; Durtschi et
al., 2004), por lo que varios analistas han sugerido que esta prueba forense
podría utilizarse para detectar la posibilidad de manipulación en otros tipos
de datos socioeconómicos (Varian, 1972; Diekmann, 2004). La inclusión de
datos falsos en un conjunto de números suele llevarse a cabo mediante una
distribución uniforme y, por lo tanto, el comportamiento anómalo en este
conjunto puede detectarse al comparar la frecuencia empírica de estos nú-
meros con la distribución teórica asociada con la ley de Benford.
En años recientes algunos autores, liderados por Walter Mebane, han
empleado esta metodología para detectar fraudes electorales. Por lo general,
este procedimiento estudia el primer o segundo dígito inicial en la cuenta de
votos recibidos por cada candidato, ya sea en la casilla o en las secciones elec-
torales. Ejemplos de estos estudios forenses se presentan en Mebane
(2006a, 2006b, 2007a, 2007b, 2007c y 2008), y Pericchi y Torres (2004).
En este artículo se cuestiona la aplicabilidad de la ley de Benford como
prueba forense de los resultados electorales. Este cuestionamiento obedece
a la dificultad de saber si, efectivamente, las decisiones de voto producen
una distribución logarítmica en los primeros dígitos de las cuentas de las di-
ferentes casillas o distritos. Para descifrar la naturaleza estocástica de las
campañas electorales se utiliza un modelo basado en agentes (abm, por sus

VOLUMEN XVIII · NÚMERO 2 · II SEMESTRE DE 2011 299
Política y gobierno
La ley de Benford y su aplicabilidad en el análisis forense de resultados electorales
siglas en inglés), ya que los procesos electorales son caracterizados como
sistemas adaptables complejos. En otras palabras, el modelo computacional
aquí descrito plantea que las preferencias partidistas se ven condicionadas
por la información local y global, y que la interacción social de los individuos
modifica, a su vez, los clústeres partidistas y los sondeos nacionales de opi-
nión pública. De esta forma las campañas virtuales que se simulan con un
abm permiten generar datos artificiales para calcular las frecuencias relativas
de los dígitos iniciales significativos y así contrastarlas con la ley de Benford.
Además de esta introducción, el artículo se divide en cuatro secciones.
En la segunda se formaliza el concepto de la ley de Benford y se presentan
estudios que aplican este tipo de análisis forense a datos electorales mexi-
canos. En la tercera sección se hace una breve síntesis de las premisas y los
mecanismos del abm utilizado, lo que de entrada es ya una contribución
original para el estudio de preferencias partidistas durante una campaña
electoral. En la cuarta sección se presentan simulaciones en las que la vali-
dación (rechazo) de la ley de Benford no es del todo consistente con la
presencia de elecciones virtuales limpias (trucadas). En cambio, en las con-
clusiones se plantea que las simulaciones con abm y sus patrones emergen-
tes sí pueden ser empleados como una prueba forense alternativa en un
análisis electoral.
La ley de Benford, sus limitaciones y aplicación en el caso mexicano
Resulta muy sencillo establecer la distribución teórica para el dígito ubica-
do en la k-ésima posición (de izquierda a derecha) de números generados
de acuerdo con un cierto proceso estadístico. En particular, la frecuencia
relativa que caracteriza la ley de Benford para el primer dígito significativo
(1-bl) se describe de la siguiente manera:
(1)
de este modo, el dígito 1 tiene una probabilidad de 0.301 mientras que el
dígito 9 tiene una probabilidad de sólo 0.0458. Las probabilidades restantes
se presentan en el cuadro A.1 del apéndice a, en el que también se descri-
ben las distribuciones de la ley de Benford para diferentes dígitos.
Prob (d1)=log1 0 1+
1
d1
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟, d1=1, 2, 3,.....,9

300 Política y gobierno VOLUMEN XVIII · NÚMERO 2 · II SEMESTRE DE 2011
Gonzalo Castañeda
Asimismo, la distribución teórica que caracteriza la ley de Benford para
el segundo dígito está dada por la siguiente expresión:
(2)
cabe notar que para la distribución 2-bl existe una probabilidad positiva
para el dígito 0, que es igual a 0.11968, dado que el cero sí puede presentar-
se en la segunda posición inicial de un número.
Finalmente, la ley del dígito-significativo con que se generaliza la ley de
Benford en términos de una densidad conjunta de los dígitos en las prime-
ras k posiciones iniciales se define de la siguiente manera (Hill, 1995):
(3)
por ejemplo, Prob (D
1
= 1, D
2
= 2, D
3
= 9) = log
10
[1 + (1 x 10
3-1
+ 2 x 10
3-2
+ 9 x
10
3-3
)
-1
] = log
10
[1 + (129)
-1
] ≈ 0.00335.
También se puede demostrar que la distribución del k-ésimo dígito sig-
nificativo (D
k
) se aproxima muy rápidamente a una distribución uniforme
cuando la k-ésima posición se mueve hacia la derecha (Zhipeng, Ling y
Huajia, 2004). Por medio de histogramas es fácil visualizar la presencia de
distribuciones no-uniformes para la primera y segunda posición pero no así
para las demás posiciones. De hecho, cuando k ≥ 3 las distribuciones asocia-
das tienen un valor medio muy cercano a 4.5 y una varianza cercana a 8.25,
valores que coinciden con los de una distribución uniforme.
Limitaciones de la ley
Hill (1995) presenta una explicación bastante convincente de por qué es
muy común observar la ley de Benford en tablas numéricas generadas con
fenómenos muy diversos. De acuerdo con este autor, la distribución logarít-
mica se establece cuando el conjunto de números analizados proviene de
un proceso aleatorio generado con una mezcla estadística. Es decir, una tabla
de números sigue la ley de Benford cuando éstos son producidos a partir de
Prob(d2)=log10 1+
1
10k+d2
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟
k=1
9
∑ , d2=0, 1, 2,.......,9
Prob(D1=d1, ......., Dk=dk)= log10 1+di•10k−i
i=1
k
∑
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟
−1
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥

VOLUMEN XVIII · NÚMERO 2 · II SEMESTRE DE 2011 301
Política y gobierno
La ley de Benford y su aplicabilidad en el análisis forense de resultados electorales
realizaciones aleatorias de un conjunto pequeño de distribuciones diferen-
tes que, a su vez, son elegidas aleatoriamente.
1
A manera de ejemplo, este
escenario prevalece en una tabla recopilada con números que aparecen en
un periódico, ya que estos números provienen de diferentes fuentes de
datos: estadísticas deportivas, información financiera, fechas de eventos,
precios de productos anunciados.
En consecuencia, para que la ley de Benford prevalezca en datos electo-
rales la decisión de votar tiene que ser explicada en términos de una colec-
ción de funciones de distribución. Por ejemplo, un voto emitido en deter-
minada casilla debe provenir, en ciertas ocasiones, de un votante duro; en
otras, de la decisión de un individuo con un compromiso partidista débil;
mientras que otros más serían emitidos por independientes. En cualquiera
de estos tres casos la decisión de votar por un candidato en particular está
determinada por una distribución de probabilidad específica. De esta for-
ma, el tipo de votante y la decisión que adopta son el resultado de un doble
proceso de aleatorización. No obstante, no existe garantía de que el patrón
emergente observado en los resultados electorales reales efectivamente se
produzca a partir de este tipo de caracterizaciones.
Algunos autores han sugerido que las leyes de dígitos-significativos no
son relevantes para datos electorales. Por ejemplo, Taylor (2005), al igual
que otros politólogos cuantitativos, plantea que la decisión de votar puede
describirse a partir de un esquema de lotería. De esta manera, la probabi-
lidad que tiene un individuo de votar por un candidato se define en térmi-
nos de un modelo multinomial y, por ende, existen diferentes distribuciones
dependiendo de variables sociodemográficas, ideología y otros elementos
que ayudan a categorizar a la población de votantes; por lo tanto, la cuenta
total de votos es la suma de una serie de realizaciones de eventos aleatorios.
Para el caso de Venezuela, Taylor muestra que la distribución simulada de
los dígitos-significativos a partir de un modelo multinomial que incluye
exclusivamente variables que reflejan un proceso electoral limpio es similar
a la distribución observada en el referéndum real bajo estudio, pero discre-
pa de la referencia teórica establecida por Benford.
Sin embargo, cabe resaltar que no es válido simular una elección limpia
por medio de una multinomial en la que las regresiones no son controladas
por variables que indican el efecto distorsionador de un fraude. La omisión
de estas variables como factores explicativos puede sesgar los parámetros
1
Para la explicación de un proceso estocástico alternativo véase Pietronero et al. (2001).

302 Política y gobierno VOLUMEN XVIII · NÚMERO 2 · II SEMESTRE DE 2011
Gonzalo Castañeda
estimados y, por lógica, la simulación que procede de este modelo no refle-
ja adecuadamente las condiciones que prevalecen en una elección nítida.
Asimismo, dicho modelo probabilístico no incorpora la mezcla estadística que
conduce a la ley de Benford. Como bien lo apunta Mebane (2006a), esta ley
requiere un conjunto pequeño de distribuciones, en contraposición al enor-
me conjunto que se genera con una multinomial.
Una segunda limitante de la aplicabilidad de la ley de Benford para datos
electorales tiene que ver con el hecho de que la frecuencia de ciertos dígi-
tos se ve restringida por determinadas reglas institucionales, por lo que dichos
datos violan la 1-bl por construcción. Por ejemplo, cuando una casilla tiene
como mucho 750 boletas, como en el caso mexicano, las cuentas de votos
para un candidato que inician con los dígitos 8 y 9 tienen menor probabilidad
de aparición que aquellas cuentas que inician con los dígitos restantes; en
otras palabras, las cuentas con 800 y 900 votos son descartados por definición.
Como sugiere Brady (2005), un artefacto similar se introduce cuando las
secciones electorales se diseñan de tal forma que incluyen aproximada-
mente el mismo número de votantes potenciales. Este escenario permite,
por ejemplo, que en una contienda bipartidista cerrada haya muchas sec-
ciones en las que las votaciones presenten participaciones de 50 por ciento.
En consecuencia, con secciones electorales de tamaño similar existen mu-
chas cuentas en las que cada candidato recibe un número de votos que
empieza con un determinado dígito; por ejemplo, con 1 cuando el total de
votos posibles es de 350 000 (=162 500 x 2). A raíz de estas dos complicacio-
nes se aconseja usar la 2-bl como la referencia teórica comparable con las
distribuciones empíricas.
Algunas aplicaciones para las elecciones mexicanas de 2006
Diferentes autores llevaron a cabo pruebas forenses con la metodología de
Benford para detectar fraude en las elecciones que tuvieron lugar en Méxi-
co el 6 de julio de 2006.
2
Un ejemplo es Mansilla (s. f.), quien compara las
2
Los partidos registrados para esta contienda electoral fueron los siguientes: Partido Acción
Nacional (pan), cuyo candidato era Felipe Calderón; Alianza por México, una coalición entre el
Partido Revolucionario Institucional (pri) y el Partido Verde Ecologista de México y cuyo candi-
dato era Roberto Madrazo; la Coalición por el Bien de Todos que unió al Partido de la Revolución
Democrática (prd) con el Partido del Trabajo y Convergencia Democrática a través de la nomina-
ción de Andrés Manuel López-Obrador (AMLO); el Partido Nueva Alianza (Panal) que tenía

VOLUMEN XVIII · NÚMERO 2 · II SEMESTRE DE 2011 303
Política y gobierno
La ley de Benford y su aplicabilidad en el análisis forense de resultados electorales
distribuciones empíricas del primer dígito inicial para los votos obtenidos
por Calderón y AMLO respecto a la distribución teórica de la 1-bl. Como
se mencionó, esta prueba no es válida debido a los sesgos que surgen de
determinadas reglas institucionales de la contienda. A pesar de ello el autor
sostiene que, de acuerdo con los datos a nivel casilla que se obtuvieron de
una muestra del conteo del prep (Programa de Resultados Electorales Pre-
liminares), existe evidencia estadística que rechaza la validez de la ley de
Benford para el caso mexicano, por lo que los resultados electorales quedan
en entredicho.
3
En un análisis mucho más riguroso, Mebane (2006a) pone a prueba la
2-bl para las elecciones presidenciales de México. Las cuentas de votos
para los cinco partidos (o coaliciones) se definen, en este ejercicio, a nivel
de la casilla y de la sección electoral. El autor presenta la bondad de ajuste
de la distribución empírica para los 32 estados y para los datos globales (i.e.
frecuencias observadas en el ámbito nacional). Con 95 por ciento de con-
fianza, el autor encuentra que la ley de Benford se rechaza en los datos
globales y en muchos de los estados.
4
En otro artículo, Mebane (2007a) estudia los resultados de las eleccio-
nes de presidente, senadores y diputados de 2006 usando las cuentas por
secciones. En su análisis encuentra muchas inconsistencias con la 2-bl en
los votos para los candidatos del pan y el prd en municipalidades cuyo alcal-
de tiene la misma filiación política. Para este autor, dicho resultado pone en
evidencia que la maquinaria política del partido localmente dominante
operó en la fabricación de votos; no obstante, este patrón no se observa en
municipalidades gobernadas por el pri. Asimismo, Mebane sostiene que las
anomalías detectadas en la prueba 2-bl para los partidos que no resultaron
ser competitivos podrían ser producto de la intimidación o del voto estraté-
gico. En un estudio más, Gutiérrez y Calderón (2006) presentan pruebas
como candidato a Roberto Campa y el Partido Alternativo Socialdemócrata (pas) que postuló a
Patricia Mercado
3
Un estudio similar fue realizado por la compañía consultora AC Nielsen (2006), aunque en
este caso se consideraron las 128 771 casillas procesadas en el prep y también se calculó la distri-
bución de los votos recibidos por Madrazo, de nueva cuenta la 1-bl es rechazada.
4
Mebane sostiene que la prueba 2-bl no es válida a nivel de la casilla cuando existe un pro-
blema de “división aproximadamente similar con remanentes” (redwl, por sus siglas en inglés).
Esto es, la mayoría de los votos son emitidos en un número específico de casillas y se distribuyen
equitativamente, mientras que los votos remanentes se esparcen en las urnas restantes. Este
factor introduce un sesgo en la 2-bl empírica.

304 Política y gobierno VOLUMEN XVIII · NÚMERO 2 · II SEMESTRE DE 2011
Gonzalo Castañeda
basadas en la 2-bl para resultados por sección analizados a nivel distrital.
Los autores detectan 47 distritos con severas anomalías.
En contraste, Pliego (2007) argumenta que la violación a la ley de Ben-
ford no es un buen indicador de fraude electoral. En su trabajo, Pliego ana-
liza exclusivamente las casillas en las que el tribunal electoral decidió re-
contar los votos. Por lo tanto, Pliego plantea que la 2-b l puede ser
considerada como una prueba potente sólo cuando la desviación observada
en la frecuencia empírica respecto a la distribución teórica se incrementa
conforme aumenta el número de irregularidades detectadas en el recuento.
De acuerdo con la Ji-cuadrada calculada para 12 de los 15 distritos electora-
les involucrados (usando cuentas a nivel de casilla y de sección), no se ob-
serva patrón alguno entre el valor de esta estadística y las modificaciones en
los votos obtenidos. De aquí que la validez de la ley de Benford sea descar-
tada. Cabe aclarar que una limitante del enfoque de Pliego tiene que ver
con que la desviación respecto a la 2-bl puede deberse a la presencia de
intimidación del voto y no a inconsistencias aritméticas en las actas de es-
crutinio, en cuyo caso no se esperaría detectar un patrón en las Ji-cuadradas
obtenidas de una muestra que incluye casillas seleccionadas exclusivamen-
te por irregularidades en las actas.
Metodología para la validación teórica de la ley de Benford
en elecciones limpias
Con el propósito de corroborar que una competencia electoral nítida pro-
duce la 2-bl, Mebane (2006a) simula un proceso de votación en secciones
electorales de igual tamaño en donde el resultado de los comicios se gene-
ra con un conjunto pequeño de distribuciones seleccionadas al azar. Para
modelar el mecanismo de votación se suponen tres tipos de individuos
(prefieren a la oposición, al gobierno establecido, seleccionan al azar),
pero la decisión a favor de un candidato se efectúa con un cierto error cuya
frecuencia varía de una sección a otra pero es constante al interior de las
mismas. Aunque cada sección tiene el mismo número de votantes, la pro-
porción de cada tipo varía entre secciones al definirse en términos de una
distribución uniforme. En consecuencia, los votos recibidos por los distin-
tos candidatos dependen de dos procesos aleatorios: 1) la selección del
tipo de individuo que emite el voto en una sección en particular, y 2) la
realización del voto efectuado por los individuos de cada tipo.

VOLUMEN XVIII · NÚMERO 2 · II SEMESTRE DE 2011 305
Política y gobierno
La ley de Benford y su aplicabilidad en el análisis forense de resultados electorales
Por medio de una simulación de Monte-Carlo este autor encuentra que
a partir de este mecanismo sencillo de votación se producen resultados
electorales que satisfacen la 2-bl para diferentes especificaciones de los
parámetros. Sin embargo, en el citado artículo no se ofrece evidencia empí-
rica alguna de que los supuestos planteados caracterizan adecuadamente
un escenario real de formación de preferencias y votación. No basta con
suponer que detrás de un proceso electoral prevalece una mezcla estadística
que replica una 2-bl en los resultados del conteo de votos. En aras del rea-
lismo metodológico también es necesario validar que dicha mezcla es pro-
ducto de un proceso estocástico de formación de opiniones como el que se
observa a lo largo de una campaña real.
Por lo tanto, en este artículo se sugiere que una metodología más sólida
para validar la relevancia de la ley de Benford en el análisis forense de datos
electorales requiere simular una campaña a través de un modelo basado en
agentes. Un primer paso en esta dirección consiste en construir un modelo
computacional cuyos parámetros y condiciones iniciales sean calibrados di-
rectamente con datos reales o a partir de la bondad de ajuste de los datos
artificiales a una serie de sondeos de opinión realizados a lo largo de la cam-
paña. Posteriormente, en una segunda etapa, se calcula la distribución para
el segundo dígito inicial de los datos electorales que se generan en una
campaña simulada en donde el conteo final se lleva a cabo con transparen-
cia. De esta forma, la relevancia de la ley de Benford no se rechaza cuando
la distribución generada con las cuentas de los votos artificiales obtenidos
por cada candidato es estadísticamente cercana a la 2-bl teórica. Se dice
que la distribución logarítmica es robusta cuando se pude hacer crecer inde-
pendientemente de las realizaciones que producen las distintas variables
aleatorias incluidas en el modelo.
La descripción de las campañas electorales mediante un abm
A partir de la evidencia empírica que indica que las redes de discusión polí-
tica son muy importantes para explicar la formación de opiniones, Castañe-
da e Ibarra (2011) desarrollan un abm para las elecciones presidenciales de
2006. En este modelo computacional se establece un mecanismo de conta-
gio social en el que cada agente está sujeto a la influencia de información
local y global. Simultáneamente, el modelo permite combinar diversos ele-
mentos institucionales de los procesos electorales, como debates, campañas

306 Política y gobierno VOLUMEN XVIII · NÚMERO 2 · II SEMESTRE DE 2011
Gonzalo Castañeda
negativas y sesgos inducidos por la televisión u otros medios masivos de
comunicación, con los incentivos de los votantes, a través del voto estraté-
gico y el costo-beneficio de la decisión de votar.
Una campaña electoral es considerada un sistema adaptable complejo,
ya que las posiciones de individuos y partidos afectan las encuestas de opi-
nión y éstas, a su vez, inciden en la formación de opiniones y estrategias
partidistas. Estos sistemas son analizados a partir de modelos computacio-
nales en los que es posible incorporar agentes heterogéneos y mecanismos
de decisión condicionados por la interacción local y el contexto social. A
diferencia de los modelos matemáticos tradicionales, la simulación median-
te modelos basados en agentes permite explicar comportamientos agrega-
dos que provienen de dinámicas no lineales causadas por la retroalimenta-
ción entre agentes y entre éstos y el entorno de adaptación.
5
El abm descrito en este artículo enfatiza el contagio social entre votantes
potenciales por lo que se estructura a partir de un autómata celular en el que
una retícula caracteriza el espacio geográfico/social de interacción.
6
La regla
de transición de cada agente (o célula) hace que la variable de estado (in-
tención de voto) varíe, esencialmente, en función de opiniones mayorita-
rias locales (red de discusión política) y globales (encuestas nacionales). De
esta forma, la preferencia partidista de un porcentaje de agentes activados
aleatoriamente en cada periodo del modelo computacional (o día de cam-
paña) puede cambiar por efecto del contagio social.
Las preferencias políticas iniciales de los ciudadanos y la mayoría de los
pa rá metros del modelo son calibrados con datos agregados de encuestas elec-
torales y con datos panel que le dan seguimiento a los cambios en las pre fe-
rencias políticas de los encuestados.
7
En particular, el sembrado inicial de
preferencias en las distintas regiones del país hace uso del Estudio Panel
5
Castañeda (2009) presenta una revisión analítica de la literatura sobre sociomática, es decir,
sobre la explicación de fenómenos socioeconómicos a través de la teoría de la complejidad y los
abm.
6
El abm fue construido con NetLogo versión 4.0.3 autorizado por Uri Wilensky en 1999, http://
ccl.northwestern.edu/netlogo/. Center for Connected Learning and Computer-Based Modeling,
Northwestern University, Evanston, IL.), el cual puede solicitarse en la siguiente dirección de
correo electrónico: sociomatica@hotmail.com.
7
Para la serie de preferencias agregadas se empleó la encuesta sobre encuestas calculada por el
Centro de Investigación para el Desarrollo A.C. (cidac), que utiliza un conjunto de encuestas
periódicas realizadas por diferentes compañías (Mitofsky y Gea-Isa) y periódicos nacionales (Re-
forma, El Universal y Milenio): http://www.cidac.org/es/modules.php?name=Content&pa=showp
age&pid=98. [Consultado el 15 de febrero de 2008].

VOLUMEN XVIII · NÚMERO 2 · II SEMESTRE DE 2011 307
Política y gobierno
La ley de Benford y su aplicabilidad en el análisis forense de resultados electorales
México 2006 organizado por mit y el periódico Reforma, el cual ofrece tres
oleadas de entrevistas (octubre 2005, abril-mayo 2006 y julio 2006) con 2 400
entrevistados y cerca de cien preguntas relacionadas con la intención del voto,
información sociodemográfica y opiniones de temas económicos y políticos.
8
La configuración del modelo computacional
La descripción detallada del modelo, bajo la premisa de un proceso electo-
ral limpio, se presenta en el artículo antes referido. Sin embargo, en este
apartado y en el apéndice b se hace una breve exposición del mismo de tal
manera que el lector pueda entender cómo se simula la formación de prefe-
rencias políticas durante una campaña electoral. El abm en cuestión está
diseñado con módulos específicos que se activan en diferentes periodos
según la cronología real de la campaña por la presidencia de México. Por
ende, se plantea un proceso que dura 240 días (correspondiente a ocho me-
ses, noviembre-junio); encuestas nacionales que se levantan mensualmen-
te y en el día posterior a dos debates, éstos tienen una amplia cobertura y se
efectúan en los periodos 180 y 220; un sesgo-TV que opera de manera con-
tinua hasta el día 200; escándalos políticos que son lanzados en 2 por ciento
de los días que dura la campaña; un voto estratégico que es activado diez
días antes de la elección y una decisión costo-beneficio sobre votar o abste-
nerse en el último día de cada corrida.
El entorno de interacción social se representa a través de una retícula
120 x 120 con fronteras y vecindades de tipo Moore (i.e. un agente tiene a lo
más ocho vecinos con los que puede interactuar). El espacio geográfico está
dividido en 16 zonas electorales, cada una de las cuales se identifica con un
conjunto de estados de la república, de tal forma que todas las zonas corres-
ponden, aproximadamente, a regiones del país que tienen el mismo núme-
ro de votantes registrados en el padrón electoral real (véase el cuadro A.2 en
8
Los cuestionarios para cada oleada, el conjunto de datos, la metodología y algunos estudios
relacionados se encuentran disponibles en el portal de la 2006-mps: http://web.mit.edu/polisci/
research/mexico06 Proyecto dirigido por las siguientes personas (en orden alfabético): Andy
Baker, Kathleen Bruhn, Roderic Camp, Wayne Cornelius, Jorge Domínguez, Kenneth Green,
Joseph Klesner, Chappell Lawson (investigador principal), Beatriz Magaloni, James McCann,
Alejandro Moreno, Alejandro Poiré y David Shirk; bajo el apoyo financiero de la National Scien-
ce Foundation (ses-0517971) y el periódico Reforma; el trabajo de campo fue llevado a cabo por el
equipo de investigación y encuestas del periódico bajo la dirección de Alejandro Moreno.

308 Política y gobierno VOLUMEN XVIII · NÚMERO 2 · II SEMESTRE DE 2011
Gonzalo Castañeda
el apéndice a). Por otra parte, las zonas tienen una dimensión 30 x 30 y es-
tán conformadas por nueve distritos electorales de igual tamaño (10 x 10).
Cabe mencionar que es, precisamente, en estos distritos donde los agentes
ejercen su voto.
Mientras que las preferencias políticas (Calderón, Madrazo, AMLO,
otros e indecisos) de cada agente se siembran aleatoriamente de acuerdo
con la participación partidaria a nivel estatal observada en los datos de la
encuesta panel, los valores de otras variables se siembran al inicio de cada
corrida a partir de criterios definidos en el ámbito nacional. Entre estas va-
riables se encuentran las siguientes: compromiso ideológico (voto-duro,
voto-débil e indecisos), exposición a la televisión (o proclividad a ser influi-
do), atributos sociodemográficos (género, edad, escolaridad, ingreso y reli-
gión), confianza en la equidad del proceso electoral.
9
Módulos de contagio local y global
Durante los primeros 30 días, la información local es la única fuente de con-
tagio en el modelo. Éste es posible cuando un agente que ha sido activado
en la simulación establece comunicación con uno de sus interlocutores po-
líticos. Los interlocutores son parte de la red de discusión política si perte-
necen a la vecindad del agente y superan un umbral de similitud, es decir,
si comparten al menos un número determinado de atributos sociodemográ-
ficos. Una vez que la comunicación se produce, el interlocutor elegido al
azar logra incidir en la opinión del agente activado cuando la opinión del
primero coincide con la expresión mayoritaria de la vecindad.
Posteriormente, al hacerse pública la primera encuesta de opinión, el
contagio se produce cuando el interlocutor elegido al azar entre los vecinos
del agente tiene una preferencia política que coincide con la opinión mayo-
ritaria reflejada en la encuesta nacional. Estas encuestas se levantan con 10
por ciento de los agentes de cada una de las zonas electorales, por lo que se
puede afirmar que los sondeos son representativos del sentir nacional. El
observador especifica en la interfaz del programa el porcentaje de individuos
que pueden ser activados en cada periodo,
10
aunque la influencia solamente
es viable en la medida en que el agente activado no sea un votante duro.
9
De estas variables, el compromiso ideológico se obtiene de datos de encuestas, la percep-
ción de equidad se calibra mediante un método indirecto y las demás son definidas por el obser-
vador en la interfaz del programa.
10
Este porcentaje y otros que se describen a continuación son calibrados indirectamente.

VOLUMEN XVIII · NÚMERO 2 · II SEMESTRE DE 2011 309
Política y gobierno
La ley de Benford y su aplicabilidad en el análisis forense de resultados electorales
Módulo de campañas negativas
En 2 por ciento de los días definidos al azar, el partido en el segundo lugar
de la contienda, de acuerdo con las encuestas, lanza un escándalo político
en contra del candidato que lidera las encuestas. Si el observador especifica
en la interfaz que el partido atacante sigue una estrategia agresiva, el escán-
dalo puede ser de gran repercusión (o de amplio espectro) y por ello el ata-
cante puede hacerse de 6 por ciento de los adherentes no duros del líder
con una probabilidad de 80 por ciento. No obstante, también existe el ries-
go de alienar al mismo porcentaje de sus adherentes cuando éstos desacre-
ditan el uso de dichas tácticas. En contraste, cuando la estrategia se define
como moderada, la posibilidad de ganar/perder adeptos una vez propagado
el escándalo disminuye a sólo 2 por ciento de los votantes.
Módulo de sesgo-TV
La imagen de un candidato puede ser promovida de manera sostenida a
través de medios electrónicos por parte de figuras públicas, noticieros, gru-
pos de cabildeo y gerentes de campaña. Por esta razón, el abm incluye un
módulo que especifica que un partido tiene la posibilidad de atraer por este
mecanismo a nuevos adeptos cada día de la campaña hasta 40 días antes de
la elección debido a la suspensión de este tipo de publicidad. Periodo que
coincide con la fecha establecida en el acuerdo de neutralidad firmado por
todos los partidos al inicio de la campaña. Este acuerdo también prohibe la
transmisión de spots promoviendo programas sociales y obras públicas.
El modelo supone que el sesgo-TV favorece al pan debido al apoyo indis-
criminado dado por Fox a Calderón en sus discursos púbicos y a las acusacio-
nes del prd sobre la injerencia de las cámaras empresariales. El observador
especifica en la interfaz el porcentaje de individuos que están sujetos a la in-
fluencia de los mensajes de los medios. Esta propensión se limita a los agentes
que no son votantes duros y que tienen una exposición a la TV relativamente
alta. A diferencia del módulo de interacción local, en el que el contagio se pre-
senta dentro de las vecindades, el cambio de preferencias políticas a través de
este módulo se produce de manera esparcida en el territorio nacional. De tal
manera que el sesgo-TV permite introducir agentes con preferencias políticas
antagónicas en clústeres de individuos que mantienen cierta afinidad política.
Módulo de debates
En cada uno de los debates existe un ganador con una probabilidad que es
especificada por el observador. En el primer debate, el candidato victorioso

310 Política y gobierno VOLUMEN XVIII · NÚMERO 2 · II SEMESTRE DE 2011
Gonzalo Castañeda
se elige entre los dos contendientes principales (dado que AMLO no par-
ticipó), y entre los tres candidatos importantes en el segundo debate. La
victoria ofrece a los partidos la posibilidad de conseguir el apoyo de ciuda-
danos indecisos y votantes débiles. El porcentaje de individuos que pue-
den modificar su opinión en estas circunstancias también se especifica en
la interfaz del programa.
Módulo de voto-estratégico
Cuando la primera opción política de un agente no corresponde a ninguno
de los dos candidatos que van a la cabeza en la encuesta previa al día de las
elecciones es posible que la intención de voto se modifique a favor de su
segunda opción. Esta última se define, en el modelo, con el candidato que
tiene las preferencias mayoritarias en la vecindad del agente. El abm tam-
bién incorpora la posibilidad de que los adherentes de Calderón vayan con
Madrazo y viceversa en un escenario en que AMLO es considerado un ries-
go para el país, mientras que los votantes indecisos activados en este módu-
lo seleccionan al azar entre Calderón y Madrazo. De nueva cuenta el por-
centaje de votantes tácticos se define en la interfaz del programa.
Módulo de participación
Mediante un análisis costo-beneficio los ciudadanos deciden participar o
abstenerse de votar el día de la elección. Mientras que el costo de votar es
definido por el observador, el beneficio se determina usando una probabi-
lidad heurística que mide la posibilidad de ganar que tiene el candidato
preferido por el agente. Esta probabilidad se estima al multiplicar la propor-
ción de las intenciones de voto recibidas por su candidato en las encuestas
nacionales, por el porcentaje de individuos que lo apoyan en la vecindad y
por un índice binario que indica si el agente confía o no en la elección. Ob-
viamente, los votantes duros siempre ejercen su voto.
Método de calibración
El porcentaje de votantes duros para cada partido se obtiene de una en-
cuesta preelectoral conducida por el periódico Reforma entre los meses de
enero y junio de 2006.
11
De acuerdo con esta encuesta, 59 por ciento de los
11
Más detalles en Moreno y Méndez (2007, cuadro 1).

VOLUMEN XVIII · NÚMERO 2 · II SEMESTRE DE 2011 311
Política y gobierno
La ley de Benford y su aplicabilidad en el análisis forense de resultados electorales
individuos entrevistados declaró una identidad partidaria; de este porcen-
taje, los votantes-duros se distribuyeron de la siguiente forma: pan (38%),
prd (40%), pri (48%). Por falta de información, el valor correspondiente de
votantes duros para Otros (42%) es simplemente un promedio porcentual
de los tres partidos principales.
Algunos parámetros que son definidos por el observador en la interfaz
del programa también pueden ser calibrados indirectamente. Mediante un
procedimiento de optimización no lineal (hill-climbing) se estiman los pará-
metros cuyos valores difícilmente se pueden obtener directamente de las
encuestas. Con este propósito se especifica una función de adaptación que
mide el ajuste de los datos simulados a los datos reales. Esta función se de-
fine como un error cuadrático medio, en el que cada error se calcula con la
diferencia relativa entre la participación de la intención de voto de cada
partido según las encuestas de opinión reales y la participación estimada
con los datos que se generan artificialmente.
12
Mecanismos de fraude electoral
En los módulos previos del modelo se representa un proceso electoral lim-
pio dado que la decisión individual de voto es respetada; es decir, la vota-
ción por un candidato en específico no es inducida con amenazas o premios
otorgados por autoridades o partidos, ni el conteo final de votos es alterado
por funcionarios electorales. En contraste, en un abm que simula un proceso
fraudulento se supone que las decisiones de los agentes son manipuladas el
día de la elección. En particular, el módulo de fraude plantea que existen
varios distritos electorales controlados por la maquinaria panista. En estos
distritos los operadores de Calderón pueden modificar a discreción cierto
porcentaje de votos por medio de diversos mecanismos, porcentaje que el
observador determina en la interfaz del modelo. Por lo tanto, el conteo final
anunciado por las autoridades electorales oculta el hecho de que algunos de
los votos obtenidos por el pan fueron inducidos con regalos o alterados por
funcionarios distritales o federales.
12
En el cuadro A.3 del apéndice a se presentan los valores de parámetros calibrados a partir de
este criterio, los cuales son utilizados para llevar a cabo las corridas en los escenarios de elecciones
limpias y trucadas.

312 Política y gobierno VOLUMEN XVIII · NÚMERO 2 · II SEMESTRE DE 2011
Gonzalo Castañeda
Los mecanismos de fraude implementados en el modelo consideran
diferentes procedimientos para especificar en qué zonas electorales el voto
puede ser manipulado a favor de Calderón: 1) “autoridades”: cuando en la
zona electoral existe al menos un gobernador panista en el momento de la
elección; 2) “enclaves”: cuando el pan tiene una mayoría relativa en las pre-
ferencias políticas de la zona de acuerdo con los sondeos levantados al inicio
de la campaña; 3) “inconsistencias”: cuando, en los datos reales, los distritos
electorales de la zona tienen un gran número de actas que presentan irregu-
laridades. De acuerdo con estos criterios, el cuadro A.4 del apéndice a
muestra las zonas electorales que tienen el potencial de producir un esce-
nario fraudulento.
Asimismo, el modelo supone que en los procedimientos de autoridades
y enclaves la posibilidad de un fraude por parte de los operadores del pan
requiere superar dos filtros. En primer término, la zona electoral tiene que
estar dominada por el pan (ya sea por la presencia de gobernantes afiliados
al partido o por la mayoría relativa de las preferencias panistas). En segundo
término, las preferencias iniciales por Calderón tienen que superar un um-
bral de relevancia partidista. En otras palabras, para que una zona electoral
pueda ser considerada como un reducto del pan se requiere que el apoyo
partidista no esté muy pulverizado.
En una zona de control-panista la fabricación de votos puede ser de dos
tipos: “intercambio de votos” o “creación de votos”. En el primer método,
un porcentaje f de los votos no panistas (m) seleccionado al azar se modifi-
can de tal forma que Calderón incrementa su cuenta en f x m votos en cada
uno de los distritos capturados. En el segundo método, m corresponde al
número de individuos registrados en el distrito que prefirieron no votar el
día de la elección, de tal forma que las elevadas tasas de participación en los
distritos capturados se deben a la fabricación de votos a favor de Calderón.
¿Es válida la 2-bl en los datos artificiales de una campaña electoral
simulada?
Resulta indudable que los individuos emiten su voto en cada uno de los
distritos electorales en función de la ubicación espacial de las preferencias
e ideologías. De igual forma, la heterogeneidad en el voto se debe a la alea-
toriedad inherente a las diferentes fuentes de influencia que inciden en el
individuo (debates, contagio local y global, sesgo-TV) y a los incentivos

VOLUMEN XVIII · NÚMERO 2 · II SEMESTRE DE 2011 313
Política y gobierno
La ley de Benford y su aplicabilidad en el análisis forense de resultados electorales
geográficamente diferenciados que condicionan sus decisiones (costo-be-
neficio de la participación, voto estratégico). En consecuencia, es razonable
pensar que la cuenta de votos a favor de un candidato en los diferentes dis-
tritos electorales sea el resultado de una mezcla de estadísticas, aunque no es
evidente que dicha mezcla tenga los atributos necesarios para producir la
2-bl. Debido a la complejidad de la interacción entre las diferentes varia-
bles aleatorias del modelo y a la dificultad de caracterizar matemáticamente
el proceso estocástico, en esta sección se emplea un abm de campañas elec-
torales para simular la distribución del segundo dígito inicial.
La ley de Benford en una campaña virtual limpia
Una vez calibrado el modelo computacional con datos de la campaña presi-
dencial mexicana de 2006 se llevan a cabo diez corridas suponiendo un
proceso electoral limpio y, en cada caso, se compara la distribución simulada
con la 2-bl teórica. En el cuadro 1 se presentan las diferentes Ji-cuadradas
de Pearson con nueve grados de libertad que se calcularon para cada una de
las diez simulaciones. Esta estadística se obtiene para los votos recibidos
por cada uno de los principales candidatos de la contienda a nivel del distri-
to electoral (cien agentes) y las frecuencias relativas correspondientes se
estiman de los datos artificiales generados en los 144 distritos de la retícula
del abm, como se indica en la siguiente expresión:
(4)
en donde sd
i
es el número de distritos con el número i en el segundo dígito inicial en
la cuenta de los votos recibidos por el candidato C en determinado distrito;
sd =
S
sd
i
es el número total de distritos que tienen un segundo dígito inicial
en la cuenta de votos para el candidato C (i.e. distritos en los que el
candidato C obtuvo cuentas de votos de un dígito son descartados), pBL
2i
es el valor teórico para el número i de acuerdo con 2-bl.
De acuerdo con los resultados presentados en el cuadro 1 existen tres co-
rridas en donde los votos obtenidos para uno de los candidatos no obedece la
ley de Benford dado que el valor crítico para la Ji-cuadrada es de 16.9 en una
prueba con un nivel de confianza de 95 por ciento. Por lo tanto, la ley de Ben-
X2BL
2=
(sd
i−
sd
•
pBL
2i
)
2
sd •pBL2i
i=0
9
∑

314 Política y gobierno VOLUMEN XVIII · NÚMERO 2 · II SEMESTRE DE 2011
Gonzalo Castañeda
ford no parece ser un fenómeno que siempre está presente en los resultados
de procesos electorales limpios. La gráfica 1 describe la 2-bl teórica (línea
Benford) y las frecuencias relativas empíricas para los tres contendientes
principales de la elección presidencial (pan = Calderón, prd = AMLO, pri =
Madrazo) en un contexto en el que se suponen elecciones nítidas.
GRÁFICA 1. La 2-BL teórica y las frecuencias relativas simuladas en un
proceso electoral limpio (con datos de la corrida 10 descrita en el cuadro 1)
Fuente: Elaboración propia.
0.3
0
Frecuencia relativa
Segundo dígito
Ley de Benford
0 9
PAN Benford PRD PRI
CUADRO 1. Ji-cuadrada en un proceso electoral limpio
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Calderón
12.826 10.603 13.342 4.516 8.826 11.979 12.607 17.368* 5.468 12.484
AMLO
11.979 13.132 21.053* 6.356 4.85 11.595 12.885 7.421 5.685 9.449
Madrazo
14.934 9.837 13.58 7.982 4.278 10.749 19.018* 6.107 5.276 9.583
Fuente: Elaboración propia. *La 2-BL se rechaza con una confianza de 95%.

VOLUMEN XVIII · NÚMERO 2 · II SEMESTRE DE 2011 315
Política y gobierno
La ley de Benford y su aplicabilidad en el análisis forense de resultados electorales
La ley de Benford en el caso de un abm con fraude en el conteo de votos
Una prueba forense que utiliza la ley de Benford es válida cuando la ley es
robusta, es decir, cuando la ley se mantiene en ciertas condiciones (i.e. una
elección nítida) pero no en otras (i.e. elecciones fraudulentas). En el aparta-
do anterior se mostró que la 2-bl no siempre se presenta en una elección
limpia, el siguiente paso consiste en analizar si este tipo de distribución se
rechaza la mayoría de las veces en elecciones en las que un porcentaje de
los votos son fabricados. Por esta razón, se simulan elecciones fraudulentas
a través de un abm que utiliza el procedimiento de autoridades para determi-
nar los distritos capturados por la maquinaria panista y el mecanismo de cam-
bio de votos para alterar las actas.
Se corren diez simulaciones con las que se estiman las distribuciones
artificiales del segundo dígito inicial, las cuales se comparan con la distribu-
ción de la 2-bl teórica. El cuadro 2 presenta los promedios de fraude que se
simulan (6.41, 14.40, 20.52 y 11.93%). En los dos primeros casos la fabrica-
ción de votos se produce sólo en las zonas con gobierno panista que tienen
un control regional mayor de 20 por ciento, mientras que en los dos últimos
casos el fraude se esparce por toda la retícula.
Cabe notar que la 2-bl se rechaza para las cuentas de un candidato en
sólo cuatro corridas cuando el fraude es de alrededor de 6.41 por ciento de
los votos emitidos, y para una sola corrida cuando el nivel de fraude es de
14.40 por ciento. En consecuencia, el grado de rechazo no es muy diferente
al encontrado en los resultados del cuadro 1, en donde las elecciones son
limpias por construcción. Estas simulaciones indican que una prueba foren-
se para la detección de fraude basada en la 2-bl no es muy poderosa y, por
ende, el rechazo de la 2-bl que se encontró en los diferentes estudios de los
datos electorales mexicanos dista de ser una evidencia concluyente sobre la
manipulación del voto.
Sin embargo, se podría argumentar que esta prueba se desempeña mejor
cuando se aplica a un nivel menos agregado, de tal forma que los datos anali-
zados no mezclan zonas electorales con datos fabricados con aquellos que
reflejan las decisiones verdaderas de los individuos. Esto se puede observar
en el cuadro 2, cuando el fraude se esparce en toda la retícula y alrededor de
20.52 por ciento de los votos ha sido alterado. En este escenario, ocho de diez
corridas rechazan la 2-bl para al menos un candidato; asimismo, este número
de rechazos se incrementa cuando el grado de fraude es aún mayor (los resul-
tados no se presentan aquí). En particular, en la gráfica 2 se presenta una

316 Política y gobierno VOLUMEN XVIII · NÚMERO 2 · II SEMESTRE DE 2011
Gonzalo Castañeda
CUADRO 2 . Ji-cuadrada con elecciones fraudulentas simuladas (procedimiento de autoridades)
Corrida 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Fraude (%) 6.41 6.45 6.42 6.47 6.49 6.5 6.4 6.26 6.48 6.25
Calderón 18.332* 6.334 8.281 15.515 26.048* 7.539 5.503 4.93 7.491 6.059
AMLO 11.712 7.588 8.087 11.547 3.999 11.387 5.802 8.753 11.904 18.274*
Madrazo 5.573 20.059* 15.425 7.232 5.695 5.049 11.993 16.831 13.906 10
Fraude (%) 14.72 14.08 14.5 14.22 14.48 14.5 14.48 14.47 14.01 14.58
Calderón 14.505 13.519 11.33 9.613 8.255 5.635 10.018 9.05 13.542 5.502
AMLO 7.893 14.002 13.965 5.11 5.857 6.504 6.437 5.395 11.828 5.516
Madrazo 10.195 5.86 20.075* 6.737 9.327 6.619 10.654 5.808 5.528 13.257
Fraude (%) 20.82** 20.04** 20.58** 20.82** 20.59** 20.67** 19.97** 20.23** 20.67** 20.82**
Calderón 23.574* 10.759 9.663 16.305 5.378 12.38 13.877 11.518 5.718 16.526
AMLO 22.641* 13.602 8.575 6.188 3.201 10.893 8.264 7.072 16.981* 9.777
Madrazo 16.028 20.13* 20.558* 15.273 19.967* 23.14* 17.942* 18.307* 21.741* 6.97
Fraude (%) 11.76** 12.02** 11.99** 11.85** 11.84** 11.98** 11.87** 12.01** 12.01** 12.01**
Calderón 10.524 12.109 26.354* 13.901 6.12 24.966* 9.81 2.839 6.673 9.456
AMLO 2.948 10.163 10.485 11.749 12.319 3.167 3.993 15.799 12.637 7.467
Madrazo 14.31 15.307 10.515 21.175* 16.644 18.176* 6.34 11.307 19.138* 9.069
Fuente: elaboración propia. *La 2-BL se rechaza con una confianza de 95%. **Incluye fraude en todas las zonas electorales de la retícula.

VOLUMEN XVIII · NÚMERO 2 · II SEMESTRE DE 2011 317
Política y gobierno
La ley de Benford y su aplicabilidad en el análisis forense de resultados electorales
desviación significativa de la frecuencia simulada respecto a la 2-bl teórica
para el caso de Madrazo (pri).
A pesar de que existen algunos escenarios en los que la 2-bl se rechaza,
la mayoría de las veces cuando opera el fraude, pero no cuando se trata de
elecciones limpias, la confiabilidad de esta prueba es limitada. Para que se
pueda detectar la fabricación de votos, el fraude tiene que ser masivo y
concentrado en regiones muy específicas, de tal forma que distritos nítidos
(secciones electorales o casillas) no se mezclen con distritos sucios. Por
ejemplo, en un escenario en donde el promedio de fraude es de alrededor
de 11.93 por ciento de los votos emitidos, la prueba es muy débil ya que
sólo en cuatro de diez corridas la 2-bl se rechaza aun cuando por construc-
ción todas las zonas electorales presentan fraude.
Por otra parte, la debilidad de esta prueba se agudiza en un abm que in-
troduce un módulo que produce errores aritméticos neutrales en el conteo
de votos. El cuadro 3 muestra un escenario con alrededor de 25.52 por cien-
to errores de conteo esparcidos en toda la retícula. En este escenario tres
corridas rechazan la 2-bl aun cuando el proceso electoral sea limpio. Cabe
GRÁFICA 2. Ley de Benford con elecciones fraudulentas
(cuadro 2, corrida 3, fraude: 20.58% esparcido en todas las zonas)
Fuente: Elaboración propia.
0.3
0
Frecuencia relativa
Segundo dígito
Ley de Benford
0 9
PAN Benford PRD PRI

318 Política y gobierno VOLUMEN XVIII · NÚMERO 2 · II SEMESTRE DE 2011
Gonzalo Castañeda
también notar que con errores que rondan alrededor de 86 por ciento de los
votos emitidos, la distribución de preferencias políticas es más cercana a la
distribución uniforme y, por ello, el rechazo de la 2-bl ocurre en 50 por cien-
to de las corridas.
Conclusiones
La presunción de fraude aparece recurrentemente en las contiendas elec-
torales de países democráticos. El poder en disputa, los intereses en juego
y las formas diferentes de concebir el mundo dan pauta a que determinados
grupos y partidos intenten, en ocasiones, asegurar el triunfo por medio de la
manipulación del voto. La existencia de fraude, o al menos la percepción
de que éste ha ocurrido, es más común en países cuyos sistemas democráti-
cos no están del todo consolidados. Si bien los actores políticos en estas so-
ciedades han aceptado dirimir sus disputas a través de organismos guberna-
mentales elegidos por las mayorías, su compromiso con la democracia suele
ser débil y la desconfianza hacia los grupos antagónicos es profunda. Dicho
CUADRO 3. Ley de Benford con errores aritméticos
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Errores (%)
25.72 25.36 25.77 25.77 25.78 24.96 25.25 26 25.74 24.82
Calderón
6.582 11.398 15.713 2.381 13.661 10.965 11.252 5.271 10.849 16.053
AMLO
6.109 17.339* 6.033 12.873 8.355 26.078* 6.195 20.459* 8.321 6.516
Madrazo
6.543 9.36 6.716 6.861 7.367 4.076 10.121 8.211 7.724 12.239
Errores (%)
85.69 87.26 86.77 86.82 86.93 85.6 85.85 83.46 86.75 84.92
Calderón
7.413 5.876 16.859 3.562 22.089* 10.089 13.804 3.224 2.469 3.849
AMLO
18.81* 17.003* 14.01 12.867 11.359 10.594 9.646 9.218 5.69 5.629
Madrazo
7.97 19.814* 9.439 9.064 5.48 13.638 29.221* 10.375 16.772 22.226*
Fuente: Elaboración propia. *La 2-BL se rechaza con una confianza de 95%.

VOLUMEN XVIII · NÚMERO 2 · II SEMESTRE DE 2011 319
Política y gobierno
La ley de Benford y su aplicabilidad en el análisis forense de resultados electorales
entorno hace que los triunfos electorales de un partido sean, con frecuen-
cia, cuestionados por los otros partidos argumentando la presencia de frau-
de en los comicios.
Las acusaciones de fraude son, por lo general, expresadas al calor de la
contienda y utilizando argumentos poco fundamentados. De aquí la nece-
sidad de desarrollar nuevas pruebas forenses de análisis electoral que per-
mitan a los partidos y a los tribunales electorales tener criterios más objeti-
vos para exponer alegatos y dirimir disputas. Tradicionalmente, las pruebas
forenses se basan en el análisis estadístico de los resultados numéricos, ya
sea a través de la detección de patrones anómalos en la distribución de los
votos (o errores registrados) y en el comportamiento dinámico del conteo
de actas, o bien mediante el establecimiento de asociaciones con variables
que no deberían incidir en la decisión del voto en una contienda limpia.
En una reciente serie de artículos Walter Mebane Jr., investigador de la
Universidad de Michigan, ha propuesto el uso de la ley de Benford para la
detección del fraude electoral. De acuerdo con esta ley los dígitos iniciales
de un conjunto de números (i.e. los votos obtenidos por los diferentes can-
didatos en cada casilla, sección o distrito) deben seguir una distribución lo-
garítmica cuando los datos no han sido manipulados; sin embargo, en este
artículo se muestra que dicha prueba no es una herramienta forense robus-
ta. Mediante un modelo basado en agentes, calibrado con datos de la elec-
ción mexicana de 2006, se llevan a cabo simulaciones de Monte Carlo en las
que la violación a la ley de Benford no permite distinguir entre procesos
electorales limpios y trucados.
Por otra parte, el abm de campañas virtuales utilizado en este artículo, en
el que las preferencias partidistas se modifican a partir del contagio social,
parece ser una herramienta más atractiva para los estudios forenses. Este
tipo de ejercicio se lleva a cabo en Castañeda e Ibarra (2010), quienes com-
paran las distribuciones de datos artificiales y datos reales a través de una
estadística no paramétrica. En este trabajo se observa que la distribución
artificial generada a través de una contienda limpia replica mucho mejor la
distribución real de las participaciones de los tres partidos principales que
la distribución artificial obtenida en un escenario en el que un porcentaje de
los votos han sido manipulados en el conteo final. Aunque los resultados
del estudio sólo pueden descartar la presencia de un fraude masivo del orden
de 5-6 por ciento de los votos emitidos, la técnica es promisoria para de-
tectar fraudes más refinados a partir de modelos que presenten un mayor
detalle y niveles de calibración más precisos.
P
g

320 Política y gobierno VOLUMEN XVIII · NÚMERO 2 · II SEMESTRE DE 2011
Gonzalo Castañeda
Referencias bibliográficas
AC Nielsen (2006), “¿La Ley de Benford se puede aplicar a los votos en las
casillas?”, presentación en power point.
Brady, Henry (2005), “Comments on Benford’s Law and the Venezuelan
Election”, manuscrito, Berkeley, University of California.
Castañeda, Gonzalo (2009), “Sociomática: El estudio de los sistemas adap-
tables complejos en el entorno socioeconómico”, El Trimestre Económico,
76 (1), pp. 5-64.
Castañeda, Gonzalo e Ignacio Ibarra (2010), “Detección de fraude con mo-
delos basados en agentes: Las elecciones mexicanas de 2006”, Perfiles
Latinoamericanos, 18 (36), julio-diciembre, pp. 43-69.
______ (2011), “Campañas, redes de discusión y volatilidad de las prefe-
rencias políticas: Un análisis de las elecciones mexicanas de 2006”, Foro
Internacional 203 (LI), enero-marzo.
Diekmann, Andreas (2004), “Not the First Digit! Using Benford’s Law to
Detect Fraudulent Scientific Data”, working paper, Swiss Federal Ins-
titute of Technology.
Durtschi, Cindy, William Hillison y Carl Pacini (2004), “The Effective Use
of Benford’s Law to Assist in Detecting Fraud in Accounting Data”,
Journal of Forensic Accounting, 5, pp. 17-34.
Gutiérrez, Luis H. y Emiliano Calderón (2006), “La Ley de Benford para
el segundo dígito y los resultados electorales en México”, uam-Iztapala-
pa/ Facultad de Ciencias-unam.
Hill, Theodore P. (1995), “A Statistical Derivation of the Significant-Digit
Law”, Statistical Science, 10 (4), pp. 354-363.
______ (1998), “The First Digit Phenomenon”, American Scientist, 86 (4),
julio-agosto.
Mansilla, R. (s.f.), “Análisis de los resultados electorales a partir de la Ley
de Benford”, Centro de Investigaciones Interdisciplinarias en Ciencias
y Humanidades (ceiich)-unam.
Mebane, Walter Jr. (2006a), “Election Forensics: Vote Counts and
Benford’s Law”, working paper, Department of Political Science, Uni-
versity of Michigan.
______ (2006b), “Election Forensics: The Second-digit Benford’s Law
Test and Recent American Presidential Elections”, working paper, De-
partment of Political Science, University of Michigan.
______ (2007a), “Election Forensics: Statistics, Recounts and Fraud”, wor-

VOLUMEN XVIII · NÚMERO 2 · II SEMESTRE DE 2011 321
Política y gobierno
La ley de Benford y su aplicabilidad en el análisis forense de resultados electorales
king paper, Department of Political Science, University of Michigan.
______ (2007b), “Statistics for Digits”, working paper, Department of Po-
litical Science, University of Michigan.
______ (2007c), “Evaluating Voting Systems to Improve and Verify Accu-
racy”, working paper, Department of Political Science, University of
Michigan.
______ (2008), “Election Forensics: Outlier and Digit Tests in America and
Russia”, working paper, Department of Political Science, University of
Michigan.
Moreno, Alejandro y Patricia Méndez (2007), “La identificación partidista
en las elecciones presidenciales de 2000 y 2006 en México”, Política y
Gobierno XIV (1), pp. 43-75.
Nigrini, Mark (1996), “A Taxpayer Compliance Application of Benford’s
Law”, Journal of the American Taxation Association, 18, pp. 72-91.
Pericchi, Luis Raúl y David Torres (2004), “La Ley de Newcomb-Benford
y sus aplicaciones al referéndum revocatorio en Venezuela”, Reporte téc-
nico no-definitivo, 2ª versión, octubre, manuscrito, Universidad de Puerto
Rico y Universidad Simón Bolívar.
Pietronero, E., E. Tossati, V. Tossati y A. Vespignani (2001), “Explaining
the Uneven Distribution of Numbers in Nature: The Laws of Benford
and Zipf”, Physica A 293, pp. 297-304.
Pliego, Fernando (2007), “El mito del fraude electoral en México”, Méxi-
co, Editorial Pax.
Taylor, Jonathan (2005), “Too Many Ties? An Empirical Analysis of the
Venezuelan Referendum Counts”, manuscrito, Stanford University.
Varian, Hall (1972), “Benford’s Law”, American Statistics, 23, pp. 65-66.
Zhipeng, Li, Cong Ling y Wang Huajia (2004), “Discussion on Benford’s
Law and its Applications”; http://arxiv.org/abs/math/0408057.

322 Política y gobierno VOLUMEN XVIII · NÚMERO 2 · II SEMESTRE DE 2011
Gonzalo Castañeda
Apéndice A
CUADRO A.1. Distribuciones de la ley de Benford para la k-ésima posición
inicial
Dígito (di) P(d
1
) P(d
2
) p(d
3
) p(d
4
)
0 0.11968 0.10178 0.10018
1 0.30103 0.11389 0.10138 0.10014
2 0.17609 0.10882 0.10097 0.10010
3 0.12494 0.10433 0.10057 0.10006
4 0.09691 0.10031 0.10018 0.10002
5 0.07918 0.09668 0.09979 0.09998
6 0.06695 0.09337 0.09940 0.09994
7 0.05799 0.09035 0.09902 0.09990
8 0.05115 0.08757 0.09864 0.09986
9 0.04576 0.08500 0.09827 0.09982
Fuente: Dieckmann (2004).

VOLUMEN XVIII · NÚMERO 2 · II SEMESTRE DE 2011 323
Política y gobierno
La ley de Benford y su aplicabilidad en el análisis forense de resultados electorales
CUADRO A.2. Distribución de preferencias por zona electoral (porcentajes)
Región
Estados Calderón
(pan,
azul)
AMLO
(prd,
amarillo)
Madrazo
(pri, rojo) Otros
(gris) Indecisos
(naranja) Proporción
de ciuda danos
empadro nados
1 Baja California
y Sonora 34 17 32 2 15 0.0525
2 Sinaloa, Colima,
Dgo. y Zacatecas 29 10 45 2 14 0.058
3 Chihuahua y
Coahuila 18 18 38 6 20 0.073
4 Nuevo León y
Tamaulipas 28 18 28 4 22 0.059
5 Nayarit y Michoacán 17 36 30 5 12 0.067
6 Jalisco 34 15 33 5 13 0.059
7 Guanajuato y
Aguascalientes 45 12 23 7 13 0.06
8 Querétaro,
San Luis Potosí
e Hidalgo
32 23 23 2 20 0.05
9 Estado de México 18 40 25 5 12 0.065
10 Estado de México 18 40 25 5 12 0.065
11 Distrito Federal
y Tlaxcala 17 59 8 7 9 0.055
12 Distrito Federal
y Tlaxcala 17 59 8 7 9 0.055
13 Guerrero y Oaxaca 12 35 35 6 12 0.063
14 Puebla y Morelos 29 27 21 6 17 0.065
15 Veracruz 31 41 13 9 6 0.069
16 Tabasco, Campe che,
Chiapas y Yucatán 13 34 38 5 10 0.079
Fuente: Cálculos propios con datos de la primera oleada del Estudio Panel para México 2006 y del ife (ciuda-
danos empadronados por estado). Notas: Las participaciones de las preferencias por zonas se calcularon con
los promedios ponderados de las participaciones de los estados incluidos en cada región, en donde los pon-
deradores están dados por la proporción de ciudadanos empadronados en cada estado. Debido a que por
construcción cada región tiene aproximadamente el mismo número de ciudadanos empadronados (columna
8), las participaciones en las regiones (9 y 10) y (11 y 12) se duplican, de tal forma que las grandes poblaciones
del Estado de México y el Distrito Federal están adecuadamente representadas en el espacio geográfico.

324 Política y gobierno VOLUMEN XVIII · NÚMERO 2 · II SEMESTRE DE 2011
Gonzalo Castañeda
CUADRO A.3. Parámetros calibrados indirectamente
Parámetro Valor
Contagio 20
Debate 10
Voto-estrat. 5
Sesgo 0.08
Equitativa 50
Costo 0.01
Crisis No
Escándalo Sí
Tipo-pan Moderado
Tipo-pri Moderado
Tipo-prd Agresivo
Fuente: Valores calculados en Castañeda e Ibarra (2011). Nota: Contagio se refiere al porcentaje de agentes que
son activados en cada periodo para un posible contagio, ya sea local o global; debate se refiere al porcentaje de
agentes que pueden ser influidos por los resultados de los debates presidenciales; voto-estrat, se refiere al
porcentaje de individuos que utilizan un comportamiento estratégico al momento de votar en caso de ser
necesario; sesgo se refiere a la proporción de agentes que pueden ser influidos por actores externos en caso de
estar muy expuestos a los medios; equitativa se refiere al porcentaje de agentes que consideran que las elec-
ciones son justas; costo se refiere a los costos de acudir a las urnas; crisis se refiere al uso del voto estratégico
bajo la premisa de que la presidencia de AMLO puede dañar al país; escándalo se refiere al uso de campañas
negativas para atraer votantes, en estas circunstancias las estrategias de campaña para cada partido pueden ser
agresivas o moderadas.

VOLUMEN XVIII · NÚMERO 2 · II SEMESTRE DE 2011 325
Política y gobierno
La ley de Benford y su aplicabilidad en el análisis forense de resultados electorales
CUADRO A.4. Zonas electorales capturadas de acuerdo con diferentes criterios
Zona 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Autoridades sí sí sí sí sí sí***
Enclaves* sí sí sí sí sí sí
Inconsis-
tencias**
7 1 4 2 2 5 5 8
Fuente: Cálculos propios con datos de Gobierno Legítimo de México,
http://www.amlo.org.mx
. *Fuen te: Es-
tudio Panel México 2006, las zonas electorales se definen en el cuadro A.2. **Ranking de acuerdo con el
número más alto de inconsistencias en las actas de escrutinio. ***Esta zona no se incluye cuando el control
regional se establece en 20 por ciento.

326 Política y gobierno VOLUMEN XVIII · NÚMERO 2 · II SEMESTRE DE 2011
Gonzalo Castañeda
Apéndice B
Con el objetivo de que el lector tenga un mejor entendimiento sobre la
forma en que opera el modelo computacional utilizado en este artículo se
describe a continuación el protocolo odd (Overview, Design and Detail) co-
rrespondiente.
Panóramica
(i) Propósito. El objetivo de este modelo es describir el proceso de forma-
ción de preferencias partidistas a lo largo de una campaña electoral conce-
bida como un sistema adaptable complejo. Con este enfoque la intención
de voto se ve influida por procesos de interacción social, los cuales se repre-
sentan a través de influencias de carácter local (redes de discusión política)
y global (encuestas nacionales). Con este abm se pretende mostrar la rele-
vancia que tienen la interacción social y los factores institucionales en la
volatilidad de las preferencias individuales y en la distribución espacial del
voto. Los factores institucionales considerados en el modelo son los si-
guientes: debates, campañas negativas y sesgos mediáticos.
(ii) Entidades, variables de estado y escala temporal. En relación con las en-
tidades el abm considera que los sitios de la retícula de un autómata celu-
lar describen a individuos, que pueden ser de dos tipos: votantes débiles
(i.e. susceptibles de cambiar preferencias) o votantes duros (i.e. adheridos
permanentemente a una preferencia política). Estos individuos se insertan
en un entorno geográfico-social, por lo que forman parte de una vecindad
(comunidad) ubicada en una zona geográfica del país y de una red social de
discusión política al interior de su vecindad.
Las variables de estado de cada individuo son las siguientes: preferencia
partidista (Calderón, Madrazo, AMLO, otros e indecisos), que puede cam-
biar en cualquier día de la campaña una vez que el agente ha sido activado;
atributos sociodemográficos (ingreso, religión, edad, sexo y escolaridad);
exposición a la TV, y confianza en las elecciones. Estas tres últimas varia-
bles permanecen fijas a lo largo de la campaña.
Cada periodo (o tic) de la corrida representa un día de la campaña, por lo
que ésta dura hasta el día 240 en que los individuos votan y se hace el con-
teo electoral. Las preferencias agregadas de los votantes se describen a tra-
vés de una encuesta de carácter nacional que se levanta cada 30 días y un

VOLUMEN XVIII · NÚMERO 2 · II SEMESTRE DE 2011 327
Política y gobierno
La ley de Benford y su aplicabilidad en el análisis forense de resultados electorales
día después de los debates (periodos 180 y 220). El sesgo-TV deja de ope-
rar en el periodo 200 y el voto estratégico se produce diez periodos antes del
día de la elección.
(iii) Procesos, activación y cronología. En cada periodo de la campaña un
porcentaje de individuos es elegido al azar (i.e. activación asincrónica alea-
toria), por lo que en caso de ser votantes débiles tienen la posibilidad de
cambiar sus preferencias partidistas. Los procesos que determinan el cam-
bio de preferencia partidista tienen que ver con las siguientes reglas de
transición: interacción social, debate, escándalo político y voto estratégico.
Asimismo, existe un proceso adicional que determina si el individuo opta
por participar el día de las elecciones. Cada uno de estos procesos se descri-
be en el texto. La interacción social opera todos los días de la campaña pero
la influencia de las encuestas se inicia a partir del periodo en que se levanta
la primera encuesta (día 30). El escándalo político (campaña negativa) sur-
ge exclusivamente en 2 por ciento de los días de la campaña, mientras que
la incidencia de los debates y el voto estratégico sobre las preferencias se
dan exclusivamente los días arriba referidos.
Diseño de conceptos
(i) Emergencia y adaptación. En cada periodo de la campaña y en el día de las
elecciones se produce una distribución espacial de los votos que se puede
describir a través de diferentes funciones. Por ejemplo: las participaciones
que los partidos obtienen en los votos escrutados en los distintos distritos
electorales o la frecuencia del diferencial de votos recibidos entre el primer
y el segundo lugar de cada distrito. Estos patrones son producto de la inte-
racción social que los individuos tienen en sus redes de discusión política,
del proceso coevolutivo preferencias → encuestas → preferencias, y de los
factores institucionales antes referidos.
(ii) Objetivos, aprendizaje y predicción. Los individuos no deciden por
quién votar en función de algún criterio racionalista, por lo que su prefe-
rencia partidista obedece a factores ideológicos (votante duro) o bien a es-
quemas de imitación o contagio social (votante débil). Sin embargo, el
agente sí hace uso de un análisis estratégico en dos circunstancias: cuando
su candidato favorito se ha descarrilado según las encuestas y por ello se
inclina por su mejor opción de entre los candidatos que tienen la posibili-
dad de ganar, y cuando toma la decisión de votar sopesando el costo de

328 Política y gobierno VOLUMEN XVIII · NÚMERO 2 · II SEMESTRE DE 2011
Gonzalo Castañeda
acudir a las urnas con el beneficio esperado de ganar, el cual se define a
partir de la heurística descrita en el texto.
(ii) Percepción. Los individuos son conscientes de las preferencias parti-
distas de cada uno de los integrantes de su red de discusión política y de las
preferencias agregadas reflejadas en las encuestas levantadas en el ámbito
nacional y difundidas ampliamente por los medios de comunicación. Con
esta información se percatan de las posibles discrepancias entre sus prefe-
rencias personales y las del resto de la población. Asimismo, su exposición
a la televisión los vuelve susceptibles a las influencias de los medios de co-
municación y de las campañas publicitarias de amplia cobertura.
(iii) Interacción. Los individuos forman parte de un área geográfica del
país y de una red de discusión política, por lo que el contagio social sólo es
posible entre individuos que tienen un alto grado de similitud sociodemo-
gráfica y se comunican al momento de ser activados. En consecuencia, las
preferencias de los individuos están sujetas a las presiones sociales de su
entorno cuando éste tiene opiniones diferentes a las de su interlocutor y
estas últimas son avaladas por las encuestas nacionales o el sentir mayorita-
rio de la red de discusión.
(iv) Estocasticidad. Existen varios elementos de carácter aleatorio en el mo-
delo cuya realización se produce en distintos periodos de la corrida: el sem-
brado inicial con que se establece una caracterización descriptiva de las parti-
cipaciones partidistas observadas en las distintas zonas geográficas del país; el
procedimiento utilizado para el levantamiento de la encuesta en el ámbito
nacional; la activación asincrónica de los individuos seleccionados en cada
periodo para el contagio social; el periodo en que surgen los escándalos políti-
cos por parte de los candidatos que se encuentran en el segundo lugar de las
encuestas; la selección de individuos que pueden cambiar sus preferencias por
efecto de las campañas negativas, los debates y la exposición a la televisión.
Detalles
(i) Inicialización. En la interfaz del programa el observador puede optar por
un sembrado aleatorio de las preferencias partidistas en los sitios de la retí-
cula que refleje los promedios nacionales de participación obtenidos con
los datos de la primera oleada de la encuesta panel. También es posible que
la representatividad de las preferencias partidistas se exprese a nivel de las
16 zonas geográficas en las que se divide la retícula.

VOLUMEN XVIII · NÚMERO 2 · II SEMESTRE DE 2011 329
Política y gobierno
La ley de Benford y su aplicabilidad en el análisis forense de resultados electorales
(ii) Insumos. El modelo utiliza datos de la encuesta panel de Reforma-
mit para calibrar el sembrado inicial, datos de encuestas para determinar
el porcentaje de votantes duros por partido y datos de promedios de encues-
tas periódicas sobre preferencias agregadas para calibrar indirectamente
parámetros del modelo no estimados con encuestas. Por último, el mo-
delo se valida de forma empírica al comparar los datos artificiales con los
datos reales a nivel distrito electoral según el cómputo oficial del Institu-
to Federal Electoral. Este proceso de validación se lleva a cabo a partir de
una prueba no paramétrica (Kolmogorov-Smirnov) en la que se analiza si
los datos de ambas fuentes provienen de la misma distribución teórica.
(iii) Submodelos. Los detalles particulares de los procesos con los que
se pueden modificar las preferencias y con los que se decide votar o abs-
tenerse se describen en el cuerpo central de este artículo, mientras que la
justificación teórica/empírica de los mismos se presenta en Castañeda e
Ibarra (2011).