Histórias de investigações matemáticas

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HISTÓRIAS DE INVESTIGAÇÕES
MATEMÁTICAS
João Pedro da Ponte
Hélia Margarida Oliveira
Maria Helena Cunha
Maria Irene Segurado

Histórias de investigações matemáticas
2
Sobre o livro
Uma actividade matematicamente rica por parte dos alunos surge, em especial, quando
o professor valoriza e fomenta nas aulas a realização, discussão e avaliação de activida-
des de investigação. O presente trabalho enquadra-se no Projecto Matemática Para
Todos — Investigações na Sala de Aula, e teve por objectivo estudar os problemas e
dilemas profissionais bem como o conhecimento profissional necessário ao professor
que pretende envolver os seus alunos neste tipo de actividade matemática.
Tomam-se por base quatro ideias fundamentais. A primeira, refere-se à Matemática a
ensinar, e respeita a uma perspectiva epistemológica sobre esta ciência que a encara
muito mais como uma actividade no decurso da qual se constrói novo conhecimento do
que como um corpo de saber a transmitir. A segunda, refere-se à importância da inte-
racção social no processo de negociação dos significados matemáticos, e
consequentemente na aprendizagem. A terceira, tem a ver com a dinâmica da inovação
curricular e coloca o problema da concretização prática de novas orientações
pedagógicas, nomeadamente quando subscritas pelos programas oficiais. Finalmente, a
quarta, é de ordem metodológica, apostando nas potencialidades de uma análise
narrativa das situações de ensino-aprendizagem, numa base de pesquisa cooperativa.
Sobre os autores
João Pedro da Ponte, licenciado em Matemática pela Faculdade de Ciências da Univer-
sidade de Lisboa e doutor em Educação Matemática pela Universidade da Georgia. Tem
coordenado diversos projectos de investigação na área da educação, com especial des-
taque para o ensino da Matemática, a formação de professores e as novas tecnologias. É
presentemente Professor Associado da FCUL e Presidente do respectivo Departamento
de Educação.
Hélia Margarida Oliveira, licenciada em Ensino da Matemática e mestre em Educação
pela Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa, onde desempenha presentemen-
te as funções de Assistente. Participa no Grupo de Trabalho de História e Ensino da
Matemática da Associação de Professores de Matemática.
Maria Helena Cunha, licenciada em ensino, na Variante de Matemática e Ciências, pela
Escola Superior de Educação de Viseu e mestre em Educação pela Faculdade de Ciên-
cias da Universidade de Lisboa. É presentemente Equiparada a Assistente do Segundo
Triénio naquela Escola Superior de Educação.
Maria Irene Segurado, licenciada em Economia pelo Instituto Superior de Economia de
Lisboa e mestre em Educação pela Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa, é
professora de nomeação definitiva do 4º grupo da EB 2,3 Rui Grácio, em Montelavar.
Integrou o Projecto MINERVA e colabora no Grupo de Trabalho da Internet e no Cen-
tro de Formação da Associação de Professores de Matemática.

Histórias de investigações matemáticas
1
ÍNDICE
1. INTRODUÇÃO 3
O estudo 3
Contexto e objectivo 3
A Matemática como actividade 4
A interacção social no processo de aprendizagem 5
A dinâmica de inovação curricular 7
Investigações na aula de Matemática 8
O que são actividades de investigação? 8
A preparação de aulas de investigação 11
A realização de aulas de investigação 15
Dificuldades a ultrapassar 18
2. METODOLOGIA DE TRABALHO 21
Narrativas de situações de ensino-aprendizagem 21
Histórias, narrativas e conhecimento humano 21
Histórias, narrativas e conhecimento profissional 23
O processo de construção de uma narrativa 25
O trabalho da equipa 27
A elaboração e análise das narrativas 29
3. HISTÓRIAS 35
Conjecturando... (JP-IS5) 36
Matemática: Calcular ou pensar? (JP5) 44
Números quadrados e triangulares (HC5A) 50
Contra factos não há argumentos (HC5B) 57
Uma investigação em grande grupo (IS5) 62

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E se os alunos seguem caminhos imprevistos? (IS6) 68
Matemática por conveniência?! (HO8A) 72
Quando os expoentes se tornam negativos (HO8B) 79
E os fósforos transformaram-se em palitos (HO8C) 84
Um problema com muitas soluções (AV8) 92
4. CONCLUSÕES 99
O conhecimento profissional do professor em actividades de investiga-
ção 99
A Matemática 99
Os processos de aprendizagem 102
O currículo 105
A instrução 107
Reflexão geral sobre o trabalho desenvolvido 112
Tarefas de investigação e saber matemático 113
As interacções sociais no processo de aprendizagem 114
O professor e a inovação educativa 116
A metodologia 117
Nota final 120
5. BIBLIOGRAFIA 124
6. ANEXOS 128
Potências e regularidades 129
Números quadrados e triangulares 131
Explorações com números 132
Às voltas com os múltiplos 133
Propriedades das potências de expoente inteiro 134
Quadrados com fósforos 135

Histórias de investigações matemáticas
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1. INTRODUÇÃO
Este trabalho centra-se sobretudo no professor. Pretendemos dar um
contributo para o estudo do seu conhecimento profissional em contextos de
inovação curricular. E procuramos fazê-lo através de uma abordagem meto-
dológica de algum modo também inovadora, pelo menos na educação
matemática: a análise narrativa das situações de ensino-aprendizagem. Nes-
te capítulo damos conta dos principais objectivos e pressupostos teóricos
do estudo relativamente à Matemática, ao professor e à inovação curricular
nesta disciplina.
O estudo
Contexto e objectivo
O presente trabalho decorre de um projecto1 cujo objectivo era estu-
dar, numa perspectiva de análise narrativa, o conhecimento profissional
necessário ao professor que pretende envolver os seus alunos em actividade
matemática significativa, bem como os problemas e dilemas profissionais
com que se confronta nestas situações de ensino-aprendizagem. Uma acti-
vidade matemática rica por parte dos alunos surge, em especial, quando o
professor valoriza a realização, discussão e avaliação de actividades de
investigação por parte dos alunos. Pretendia-se estimular os professores
participantes e cooperantes a explicitar, desenvolver e produzir materiais de
divulgação das suas teorias práticas acerca do modo de organizar e condu-
zir tais actividades educativas. O projecto, que se revestiu de um carácter
de investigação-acção, envolveu professores e alunos do 2º e 3º ciclos do
1 Projecto “Prática e reflexão sobre a prática: Análise narrativa de situações de ensino aprendizagem”,
apoiado pelo Instituto de Inovação Educacional, Sistema de Incentivos à Qualidade de Educação (Con-
curso 1995 — Medida 2)

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ensino básico, decorrendo as suas actividades de campo em escolas das
zonas de Viseu e Lisboa.
Tomámos por base quatro ideias fundamentais. A primeira, refere-se
à Matemática a ensinar, e respeita a uma perspectiva epistemológica sobre
esta ciência que a encara muito mais como uma actividade no decurso da
qual se constrói novo conhecimento do que como um corpo de saber a
transmitir. A segunda, refere-se à importância da interacção social no pro-
cesso de negociação dos significados matemáticos, e consequentemente na
aprendizagem. A terceira, tem a ver com a dinâmica da inovação curricular
e coloca o problema da concretização prática de novas orientações pedagó-
gicas, nomeadamente quando subscritas pelos programas oficiais. Final-
mente, a quarta, é de ordem metodológica, apostando nas potencialidades
de uma análise narrativa das situações de ensino-aprendizagem, numa base
de pesquisa cooperativa.
Assumindo um carácter eminentemente interpretativo, este projecto
não pretendia testar hipóteses empíricas. Mas, como projecto de investiga-
ção, assenta em diversos pressupostos sobre a natureza do saber matemáti-
co em contexto escolar, sobre o processo de aprendizagem, sobre a inova-
ção educativa e sobre o processo de investigação. Analisamos no fim do
trabalho em que medida a sua validade sai reforçada ou, pelo contrário,
enfraquecida.
A Matemática como actividade
A Matemática tem sido tradicionalmente encarada como um corpo de
conhecimento. Mas ela pode igualmente ser vista como uma actividade
humana e isso constitui uma primeira ideia fundamental deste projecto. A
Matemática permeia muitas áreas da sociedade actual de modos dificilmen-
te imagináveis há alguns anos atrás (Hammond, 1978). À medida que ela se
tem tornado uma ferramenta cada vez mais poderosa para interpretar situa-
ções e para agir nos mais diversos domínios, novas competências têm pas-
sado igualmente para o primeiro plano. Mais do que executar algoritmos ou
procedimentos repetitivos, o que se exige hoje às pessoas é flexibilidade
intelectual, capacidade de lidar com diferentes tipos de representações,
capacidade de formular problemas, de modelar situações diversificadas e de
avaliar criticamente os resultados obtidos usando diferentes metodologias
(MSEB, 1989).

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A Matemática está em evolução permanente e a sociedade também.
O mesmo se pode dizer dos alunos. De um ensino selectivo e destinado
apenas a uma elite, passámos a um ensino de massas, generalizado e obri-
gatório para todos. Nesta situação, os objectivos e as práticas de ensino da
Matemática têm também que mudar profundamente.
As perspectivas absolutistas (Ernest, 1991), que encaram o conheci-
mento matemático como um edifício solidamente alicerçado, construído
dedutiva e cumulativamente, qual paradigma do rigor absoluto, contribuí-
ram para a cristalização de um currículo fortemente estruturado em torno
dos conteúdos. Como consequência, considerava-se que o papel do profes-
sor era a simples exposição clara e rigorosa dos conceitos matemáticos e o
treino dos alunos na resolução de exercícios repetitivos. Esta forma de
apresentar a disciplina impõe aos alunos uma visão muito limitada e imper-
feita da sua natureza.
Diversos matemáticos têm afirmado, desde há muito, a sua discor-
dância em relação a esta visão. Por exemplo, Bento Caraça (1958) contrasta
a ideia de ciência feita com a de ciência em processo de elaboração. Na
mesma linha de pensamento, George Pólya (1945) refere que “a Matemáti-
ca apresentada à moda de Euclides surge como uma ciência dedutiva e sis-
temática mas a Matemática no seu processo de criação aparece como ciên-
cia experimental e indutiva” (p. vii). A aprendizagem da Matemática deve
contemplar oportunidades de os alunos se envolverem em momentos
genuínos de actividade matemática. Num movimento que tem igualmente o
seu paralelo no ensino experimental das ciências, passa-se a dar atenção aos
processos de criação do saber e não simplesmente ao seu produto final.
Nesta abordagem, a Matemática é vista como uma construção social,
impregnada de valores e, em última análise falível como qualquer outro
produto do pensamento humano. Os processos sociais que ditam a aceita-
ção de certos conceitos e a rejeição de outros têm uma expressão paralela
na negociação do significado matemático que decorre na sala de aula
(Bishop e Goffree, 1986). Em suma, sublinha-se a importância de aproxi-
mar a actividade do aluno da actividade do matemático, contribuindo para
que as salas de aula se constituam como comunidades matemáticas
(Schoenfeld, 1992).

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A interacção social no processo de aprendizagem
Surge assim uma segunda ideia fundamental deste projecto: a impor-
tância das interacções na sala de aula. Na nossa tradição de ensino, a inte-
racção professor-aluno tende a ser fortemente privilegiada no processo de
ensino-aprendizagem. A interacção entre os alunos ou é quase inexistente
ou é pouco valorizada pelo professor.
O diálogo na sala de aula é na maior parte dos casos completamente
conduzido pelo professor, limitando-se muitas vezes a perguntas fechadas
que suscitam respostas unívocas e imediatas (Correia, 1995). Este tipo de
interacção é de certo modo natural quando as tarefas propostas se limitam à
resolução de exercícios rotineiros de aplicação da matéria dada, mas não
basta quando se oferecem aos alunos experiências matemáticas mais inte-
ressantes. Na verdade, ao pretender que os alunos desenvolvam a capacida-
de de formular problemas, de explorar, de conjecturar e de raciocinar
matematicamente, que desenvolvam o seu espírito crítico e a flexibilidade
intelectual, é-se levado a um outro modo de conceber o ensino e a criar um
outro ambiente de aprendizagem. Para isso, é essencial mudar de modo
fundamental o discurso na sala de aula (NCTM, 1994). Os alunos, ao for-
mularem as suas conjecturas, ao defenderem as suas ideias, ao questiona-
rem e compararem os processos desenvolvidos por si e pelos seus colegas,
bem como os resultados obtidos oralmente ou por escrito, dão passos
essenciais para clarificar o seu pensamento e para alcançar uma compreen-
são mais profunda de conceitos e princípios matemáticos.
Em termos educativos torna-se importante valorizar a interacção dos
alunos uns com os outros e com o professor. São, pois, necessárias tarefas
específicas que favoreçam este tipo de actividades. No entanto, não será a
simples introdução de tarefas que irá alterar só por si a aprendizagem. É de
realçar a grande importância da acção do professor nas questões que colo-
ca, nas interacções que promove, em especial encorajando os alunos a dis-
cutir e a explicar a Matemática que desenvolvem. As discussões assumem
um papel importante, favorecendo o desenvolvimento da capacidade de
argumentar e de comunicar matematicamente. O professor terá como papel
fundamental iniciar e dirigir o discurso, envolver cada um dos alunos, man-
ter o interesse pelo assunto, colocar questões esclarecedoras ou provocantes
e não aceitar apenas a contribuição dos alunos que têm habitualmente res-

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postas correctas ou ideias válidas. Terá de respeitar a diversidade dos alu-
nos.
Por outro lado, o professor fica a saber mais sobre as ideias e os
conhecimentos dos alunos quando os observa e ouve. Os momentos de dis-
cussão permitem que ele dê atenção individual aos alunos, coloque ques-
tões para sondar os seus conhecimentos, e note a partir das suas respostas
eventuais dificuldades conceptuais (NCTM, 1994). Além disso, o professor
deve constituir um modelo vivo das atitudes e competências que deseja
desenvolver no aluno. Como diz John Mason, “é através do seu ser mate-
mático e do modo como esse ser se manifesta que o professor influenciará
as atitudes e inclinações da maioria dos alunos” (1991, p. 17). Todos estes
aspectos requerem uma competência profissional significativa. É, pois,
importante que o professor reflicta sobre o novo papel que é chamado a
desempenhar e o modo de contornar as respectivas dificuldades.
A dinâmica de inovação curricular
Chegamos deste modo à terceira ideia fundamental do projecto: as
inovações curriculares impõem uma análise dos saberes profissionais
requeridos para a sua concretização. A orientação para o ensino da Mate-
mática que temos vindo a apresentar está de algum modo já presente nos
novos programas portugueses (em vigor desde 1991), nomeadamente
quando indicam a resolução de problemas como eixo do currículo ou se
referem ao papel do aluno na aprendizagem. Mas estas ideias têm ainda
reduzida expressão nas práticas pedagógicas. Na verdade, uma coisa é
reconhecer a importância de um conjunto de princípios sobre o ensino da
Matemática. Outra coisa, bem diferente, é levá-los à prática em condições
muitas vezes adversas — em aulas superlotadas, sem se dispor dos mate-
riais necessários, perante alunos muitas vezes fortemente desmotivados em
relação à disciplina e pouco receptivos a experiências inovadoras. Como
apresentar aos alunos uma actividade de investigação se eles não têm um
mínimo de pré-requisitos matemáticos? O que fazer quando eles não com-
preendem o enunciado de um problema nem se mostram dispostos a fazer o
mínimo esforço? Como conduzir uma discussão quando todos os alunos
querem falar ao mesmo tempo e mostram pouco interesse em ouvir os seus
colegas? Que rotinas são necessárias para conduzir uma aula em que os
alunos realizam trabalho de investigação? Qual a articulação entre o traba-

Histórias de investigações matemáticas
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lho investigativo e outras actividades de aprendizagem como a resolução de
exercícios?
Não é necessariamente por pouco empenho profissional que os pro-
fessores têm, por vezes, dificuldade em encontrar maneiras de concretizar
um ensino de cunho mais inovador. Trata-se, de um problema mais profun-
do, que remete para competências ao nível do saber-fazer, para zonas de
indefinição no que respeita a concepções essenciais sobre os assuntos que
se ensina e sobre o processo de aprendizagem, para dificuldades de monito-
rização da avaliação de actividades de aprendizagem com uma dinâmica
significativamente complexa.
Neste projecto pretendem-se equacionar os saberes profissionais
relevantes para este tipo de prática pedagógica, para o que se têm em conta
diversas tradições teóricas, nomeadamente a perspectiva psicológica (que
recorre a conceitos como esquemas, rotinas e guião curricular), a perspecti-
va da psicologia social (que se preocupa sobretudo com a influência das
representações sociais e das identidades profissionais) e a perspectiva
fenomenológica (que incide essencialmente no significado das experiências
pessoais do professor)2.
São estes os elementos-chave da fundamentação teórica do projecto e
do seu enquadramento na realidade educativa portuguesa, à luz da reforma
curricular. Uma quarta ideia fundamental do projecto, relativa ao sentido da
análise narrativa e à sua concretização em termos metodológicos, será abor-
dada no capítulo seguinte.
Investigações na aula de Matemática
O que são actividades de investigação?
Uma vez que existe uma profusão de formulações sobre o que se
entende por “investigações matemáticas”, é necessário explicitar o sentido
que lhes atribuímos neste projecto. As investigações matemáticas são parte
do que alguns autores designam por “actividade matemática”, o que corres-
ponde a identificar aprender Matemática com fazer Matemática. Nesta
2 Ver Ponte (1994).

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perspectiva, esta ciência é encarada mais como uma forma de gerar conhe-
cimento do que como um corpo de conhecimentos. Love (1988) define
implicitamente este tipo de actividade, ao afirmar que os alunos devem ter
oportunidade de:
• identificar e iniciar os seus próprios problemas;
• expressar as suas próprias ideias e desenvolvê-las ao resol-
ver problemas;
• testar as suas ideias e hipóteses de acordo com experiências
relevantes;
• defender racionalmente as suas ideias e conclusões e sub-
meter as ideias dos outros à crítica ponderada. (p. 260)
Um conceito muito próximo de investigação matemática é o de reso-
lução de problemas. Os dois termos são usados muitas vezes de modo
indistinto. Ambas as noções se referem a processos matemáticos complexos
e ambas envolvem actividade fortemente problemática. A resolução de pro-
blemas envolve uma grande variedade de tarefas, tanto de cunho mais
fechado como mais aberto, tanto relativas a situações puramente matemáti-
cas como referentes a situações da vida real. “Actividades investigativas”
ou “investigações matemáticas” designam, no contexto deste projecto, um
tipo de actividade que dá ênfase a processos matemáticos tais como procu-
rar regularidades, formular, testar, justificar e provar conjecturas, reflectir e
generalizar. São actividades de cunho muito aberto, referentes a contextos
variados (embora com predominância para os exclusivamente matemáticos)
que podem ter como ponto de partida uma questão ou uma situação propos-
ta quer pelo professor, quer pelos alunos.
O aspecto mais distintivo das actividades de investigação em relação
à resolução de problemas diz respeito à natureza da questão a estudar.
Enquanto que na resolução de problemas a questão tende a ser apresentada
já completamente especificada ao aluno, na actividade de investigação as
questões iniciais são de um modo geral vagas, necessitando de ser trabalha-
das, tornadas mais precisas e transformadas em questões concretas pelo
próprio aluno. As actividades de investigação envolvem assim uma compo-
nente essencial de formulação de problemas, etapa normalmente ausente
(porque já cumprida de antemão pelo professor) na resolução de problemas.
Outra distinção diz respeito às estratégias a seguir. Enquanto que na
resolução de problemas faz sentido sugerir heurísticas gerais (como as de

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Pólya, 1945) ou estratégias mais específicas (como as de Schoenfeld,
1982), nas actividades de investigação o leque de possibilidades é de tal
maneira vasto que se torna difícil fazer semelhante sistematização.
Assim, enquanto que na resolução de problemas o objectivo é a
estratégia seguida e a solução a que conduz, na actividade de investigação o
objectivo é a compreensão de um domínio problemático. Esta distinção é
bem ilustrada na metáfora geográfica: “o objectivo é a jornada, não o desti-
no” (Pirie, 1987, p. 2). A mesma ideia é reforçada por Ernest (1991) ao
referir que nesta actividade “a ênfase está na exploração de uma terra des-
conhecida” (p. 285), enquanto que na resolução de problemas se procura
encontrar um caminho que conduza à solução ou soluções. O processo
investigativo tem, assim, um carácter mais divergente do que, em geral, a
resolução de um problema.
Para que uma situação possa constituir uma investigação é essencial
que seja motivadora e desafiadora, não sendo imediatamente acessíveis, ao
aluno, nem o processo de resolução nem a solução ou soluções da questão.
As actividades de investigação contrastam-se claramente com as tarefas
que são habitualmente usadas no processo de ensino-aprendizagem, uma
vez que são muito mais abertas, permitindo que o aluno coloque as suas
próprias questões e estabeleça o caminho a seguir. Numa investigação par-
te-se de uma situação que é preciso compreender ou de um conjunto de
dados que é preciso organizar e interpretar. A partir daí formulam-se ques-
tões, para as quais se procura fazer conjecturas. O teste destas conjecturas e
a recolha de mais dados pode levar à formulação de novas conjecturas ou à
confirmação das conjecturas iniciais. Neste processo podem surgir também
novas questões a investigar.
As investigações matemáticas caracterizam-se, igualmente, pelo estí-
mulo que fornecem ao aluno para este justificar e provar as suas afirma-
ções, explicitando matematicamente as suas argumentações perante os seus
colegas e o professor. As capacidades de argumentação e prova são dois
aspectos destacados da capacidade de comunicar matematicamente. O
desenvolvimento desta capacidade é, também, um dos grandes objectivos
educacionais do ensino da Matemática (NCTM, 1991). Ao confrontarem as
suas diferentes conjecturas e justificações, os elementos da turma consti-
tuem-se como pequena comunidade matemática, na qual o conhecimento
matemático se desenvolve em conjunto.

Histórias de investigações matemáticas
11
O trabalho do aluno aproxima-se, assim, do trabalho do matemático.
Ernest (1991), afirma mesmo que, “a actividade matemática de todos os
alunos de Matemática, desde que produtiva, envolvendo a formulação e a
resolução de problemas, não é qualitativamente diferente da actividade do
matemático profissional” (p. 283). Para este autor, a actividade matemática
do aluno, se bem que possuindo um reduzido grau de complexidade de
acordo com os seus conhecimentos matemáticos, compara-se à do matemá-
tico em termos dos processos a que recorre.
A preparação de aulas de investigação
Este modo de ver a aprendizagem vem, naturalmente, relativizar a
importância dos conteúdos no currículo. Ainda que estes continuem a cons-
tituir o suporte da actividade, o desenvolvimento de capacidades de ordem
superior torna-se um objectivo destacado, e os processos característicos da
actividade matemática passam a constituir o foco do ensino. Como defende
Lerman (1989), “a Matemática é identificada por modos particulares de
pensar, conjecturar, procurar contradições formais e informais, etc., não
pelo ‘conteúdo’ específico” (p. 77). Porém, dado que os programas vigen-
tes se centram nos conteúdos, organizados de uma forma hierárquica e
compartimentada, o professor tem necessidade de fazer surgir as investiga-
ções matemáticas na aula em ligação com eles. Isto não significa que, em
cada momento, as propostas tenham obrigatoriamente que introduzir ou
explorar conceitos que estão a ser abordados. Significa apenas que se refe-
rem de modo especial a certos tópicos do programa ao mesmo tempo que
permitem que os alunos recorram a todo o arsenal matemático de que já
dispõem.
O ponto de partida de uma investigação, tal como foi pensado pelo
professor, pode relacionar-se de modo mais ou menos directo com um ou
outro tema do currículo. Mas a actividade que o aluno realiza, particular e
única, pode originar outras questões, seguir por caminhos inusitados e aca-
bar por se relacionar com muitos outros temas. Há que procurar um ponto
de equilíbrio entre a preocupação de seguir de forma ordenada o currículo e
a valorização da natureza aberta das investigações, reconhecendo o contri-
buto importante que estas podem fornecer para o desenvolvimento matemá-
tico dos alunos.

Histórias de investigações matemáticas
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O professor tem um papel fundamental na planificação de activida-
des de investigação na sala de aula. A selecção das propostas e o estabele-
cimento de objectivos para a sua realização relacionam-se com a especifi-
cidade da turma e com o contexto em que surgem na aula. Nem os objecti-
vos nem as tarefas podem ser completamente definidos, de antemão, pelos
autores dos programas. O professor surge, deste modo, como alguém que
participa no processo de elaboração do currículo — delineando objectivos,
metodologias e estratégias, e reformulando-os em função da sua reflexão
sobre a prática.
A maior ou menor ligação das actividades de investigação com os
conteúdos pode ser um dos factores que restringe ou amplia o tempo dispo-
nível para a sua realização. O professor é confrontado com decisões difíceis
quanto à gestão do tempo devido ao número elevado de aspectos que
necessita de relativizar e conjugar. Para além de definir qual o peso relativo
que estas actividades devem ocupar no cômputo das actividades de uma
turma, tem também de ponderar sobre a frequência com que elas devem
surgir: será mais vantajoso para os alunos aparecerem várias tarefas de
investigação em sequência ou, pelo menos, com grande proximidade, ou
mais espaçadas ao longo do ano?
A articulação com os conteúdos leva também a questionar em que
medida podem as investigações ser propostas no início, durante ou no fim
de um assunto. Se a tarefa de investigação for introduzida num momento
qualquer, que pontes se podem estabelecer com o trabalho já desenvolvido?
Ao seleccionar ou criar uma tarefa, o professor deve definir clara-
mente os objectivos a atingir e ter em atenção o nível etário e o desenvol-
vimento matemático dos alunos. A maior ou menor familiaridade dos alu-
nos com este tipo de actividade é um factor muito importante a considerar.
Quer a criação quer a reformulação das propostas de investigação são
actividades que consomem tempo e exigem do próprio professor uma atitu-
de investigativa. A natural insegurança do professor num tipo de trabalho
que ainda não domina, aliada ao investimento que exige, especialmente
quando faltam os recursos apropriados na escola, podem constituir obstácu-
los senão intransponíveis, pelo menos limitantes ao desenvolvimento deste
tipo de actividade.
Uma investigação matemática pode-se iniciar em condições muito
variadas. No entanto, existem questões e situações que são potencialmente

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mais ricas. A atenção que deve merecer a escolha de uma tarefa encontra-se
expressa nas seguintes palavras de Ollerton (1994):
Uma parte importante da minha planificação tem a ver com o
encontrar tarefas que:
• sejam um começo apropriado para todos na aula trabalha-
rem;
• forneçam oportunidades ricas para muitos desenvolvimen-
tos;
• possibilitem que sejam trabalhadas uma variedade de com-
petências de conteúdo;
• criem oportunidades para os alunos explorarem ideias e
colocarem questões;
• apoiem diferentes tipos de intervenções do professor desde
o colocar questões ao explicar e expor;
• permitam aos alunos tomar a maior parte da responsabili-
dade no seu desenvolvimento;
• tenham uma variedade de resultados, alguns dos quais
podem ser inesperados;
• permitam que o conteúdo seja processado;
• extraiam contextos transcurriculares “reais”, tais como usar
de informação de um jornal, ou contextos de resolução de
problemas;
• sempre que possível tenham um começo prático de forma a
prover experiências concretas a partir das quais abstracções
possam ser feitas. (p. 64)
Este professor indica diversos aspectos que devem ser contemplados
na criação e selecção de tarefas de cunho exploratório e investigativo.
Saliente-se, por exemplo, a preocupação com a possibilidade de os alunos
desenvolverem múltiplas abordagens e colocarem questões, bem como com
a adequação da tarefa inicial a todos os alunos.
Nesta mesma linha de pensamento, Lampert (1990) chama-nos a
atenção para o que considera ser o principal critério de selecção de um pro-
blema, entendido como situação problemática. Para a autora, os problemas
devem levar todos os alunos a fazerem e testarem conjecturas, que são, pos-
teriormente, alvo de discussão na turma. Numa das propostas que apresen-
tou aos seus alunos procurava potenciar a sua progressão em direcção a
ideias matemáticas mais complexas e abstractas, ou ainda, segundo as suas

Histórias de investigações matemáticas
14
palavras, criar “um cenário para um ziguezague entre a observação indutiva
e a generalização dedutiva, que Lakatos e Pólya vêem como características
da actividade matemática” (p. 39).
A ideia de que as situações a propor devem ser abertas, no sentido de
estimularem o aluno a colocar as suas próprias questões, é um dos aspectos
mais fortes das tarefas de natureza investigativa. Este grau de abertura pode
até mesmo traduzir-se em propostas não necessariamente na forma interro-
gativa. Lerman (1989), ilustra este último caso, através da situação:
Considera triângulos de lados inteiros. Existem três triângulos
com 12 unidades de perímetro. Investiga. (p. 77)
Em seguida apresenta uma figura com três triângulos com a indica-
ção da medida do comprimento de cada um dos lados. Esta “situação”, em
que não é colocada nenhuma pergunta, permite a formulação de problemas
diversos de acordo com o interesse e conhecimento matemático do aluno.
Todavia, há que ser cuidadoso ao introduzir estas situações no processo de
ensino-aprendizagem porque podem tornar-se algo frustrantes para os alu-
nos que, no dia-a-dia da aula de Matemática, lidam apenas com questões
muito estruturadas. Por outro lado, podem também criar uma certa insegu-
rança no professor visto que envolvem uma grande margem de imprevisibi-
lidade.
Após a selecção da situação a propor, segue-se uma fase não menos
importante: o planeamento da aula. As questões ligadas à organização e
gestão da aula são tanto mais relevantes quanto menor é a experiência do
professor nesta área. Decisões sobre se os alunos irão trabalhar individual-
mente ou em grupo, como se irão constituir os grupos, e se haverá momen-
tos de trabalho em grande grupo, dependem não só da natureza da tarefa
apresentada mas, principalmente, dos objectivos estabelecidos pelo profes-
sor.
O modo de trabalho escolhido será um dos factores a ter em conta
para se prever o tempo de duração da actividade. Será possível realizar a
investigação numa única aula? Por quanto tempo conseguirão os alunos
manter-se interessados na tarefa?
Frequentemente, a estrutura escolhida pelo professor para uma aula
de investigação consiste nas seguintes fases:

Histórias de investigações matemáticas
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• introdução da tarefa pelo professor (quer seja apenas um
ponto de partida ou uma questão bem definida) e arranque
da sua realização pelos alunos (interpretação da situação e
definição do caminho a seguir);
• realização da tarefa (durante a qual o professor interage
com os alunos individualmente ou em pequeno grupo); e
• apresentação de resultados pelos alunos e sua discussão
(comparação das interpretações da tarefa, estratégias segui-
das e resultados obtidos; neste ponto é frequente surgirem
novas questões para futura investigação).
Por vezes, as discussões intermédias do professor com um grupo de
alunos ou mesmo com toda a turma durante a fase da realização da tarefa
mostram-se bastante profícuas. Numa aula de investigação, mais do que em
qualquer outra, não é possível prever com exactidão o que irá acontecer. É,
pois, necessária uma grande flexibilidade na preparação de uma aula deste
tipo.
A realização de aulas de investigação
O modo como a tarefa de investigação é apresentada aos alunos
constitui um elemento extremamente relevante da actuação do professor:
Mesmo os adeptos mais extremistas da Matemática investiga-
tiva não acreditam, em geral, que não seja necessária interven-
ção alguma do professor para que o aluno aprenda. Isso seria
esperar que cada indivíduo recriasse, do princípio, toda a
Matemática. (Hatch, 1995, p. 37)
A situação, quer tenha sido criada ou recriada pelo professor, é já um
refazer, sob a forma de questão, do processo investigativo em que o seu
autor se envolveu. Tal como o trabalho do matemático que é publicado apa-
rece com uma forma definitiva, não dando a conhecer o percurso, os avan-
ços e os recuos, também a investigação que é proposta ao aluno surge-lhe
burilada e acabada. Com isto quer dizer-se que não é razoável supor que as
questões propostas ao aluno o levarão, necessariamente, a percorrer os
mesmos caminhos que quem as gerou. Como refere Mason (1978), “o alu-
no não está no mesmo estado que o originador” (p. 45). O professor não
pode antecipar, fidedignamente, todas as suas reacções.

Histórias de investigações matemáticas
16
Adicionalmente, a preocupação do professor com a exploração cabal
da situação, pode levar a uma construção demasiadamente estruturada da
investigação. Como consequência, o aluno tenderá a encarar a proposta de
trabalho como um conjunto de tarefas específicas a serem resolvidas, e não
como uma investigação cujos objectivos e estratégias são por ele definidos.
O grau de abertura das situações depende não só (e talvez, não primaria-
mente) do tipo de questão a investigar mas também da abordagem que é
escolhida pelo professor. Quem já se embrenhou numa investigação e ten-
tou transformá-la numa situação a ser apresentada (por escrito ou oralmen-
te), sabe que não é fácil conseguir, sem se ser demasiado directivo, colocar
questões que levem os alunos a explorarem todas as potencialidades que
lhe reconhecemos.
O papel do professor na fase de arranque de uma actividade de inves-
tigação é, pois, extremamente importante. De acordo com Mason (1991),
“uma questão é apenas um grupo de palavras com um ponto de interroga-
ção” (p. 16), ou seja, uma questão, só por si, pode não gerar investigação. É
necessário que o professor manifeste consistentemente uma atitude investi-
gativa no decorrer das suas aulas para, desse modo, influenciar positiva-
mente a curiosidade dos alunos.
Na fase seguinte, tendo os alunos iniciado a actividade, o professor
dará atenção ao desenvolvimento do seu trabalho. O apoio a conceder, no
sentido de os ajudar a ultrapassar eventuais bloqueios ou a tornar mais rica
a sua investigação, é um dos aspectos mais complexos da intervenção do
professor. Tem extrema importância numa investigação a reflexão do aluno
sobre o seu trabalho. Esta pode ser estimulada directa ou indirectamente
pelo professor. É necessária experiência e sensibilidade para lidar com
estes problemas de uma forma bem sucedida.
Num curso criado pelo Shell Centre (1993) para auxiliar os professo-
res na implementação e avaliação da resolução de problemas e de activida-
des de investigação, apresentam-se indicações sobre a pertinência, ou não,
de certas intervenções por parte do professor. Assim, com base na avalia-
ção de um trabalho realizado em mais de 30 escolas, incentiva-se o uso de
questões que levem o aluno a reflectir sobre o modo como está a abordar a
situação (por exemplo, “o que tentaste fazer?”); recomenda-se alguma
moderação no fornecimento de indicações quanto às estratégias (por exem-
plo, “comprovaste se isso funciona?”); desaconselha-se a referência a
aspectos específicos da situação (por exemplo, “por que não experimentas

Histórias de investigações matemáticas
17
com três fichas?”) (p. 191). O objectivo é ir diminuindo a orientação do
professor, à medida que o aluno vai ficando mais familiarizado com este
tipo de actividade.
Barbara Jaworski (1994) relata amplamente num estudo por si reali-
zado os desafios que esta abordagem metodológica levanta ao professor,
um dos quais designa por “tensão-didáctica”. E recorda as seguintes pala-
vras de John Mason:
Quanto mais explícito sou sobre o procedimento que espero
que os meus alunos efectuem, mais provável é que eles o efec-
tuem sem recurso à compreensão do que o procedimento é
suposto indicar; isto é, mais eles tomarão a forma pela subs-
tância... Quanto menos explícito sou sobre os meus objectivos
(...) menos provável é que eles encontrem o que se pretendia
ou que percebam o seu significado. (Mason, 1988, citado em
Jaworski, 1994, p. 180)
Em relação a alguns professores que participaram no seu estudo,
Jaworski indica como observou essa tensão: “eram relutantes em dizer aos
alunos factos que eles queriam que soubessem; no entanto, ficavam contra-
riados quando esses factos não emergiam através da investigação” (p. 207).
Pode observar-se que a implementação destas actividades não é de todo
linear, colocando o professor perante inúmeros dilemas.
Um dos grandes objectivos das actividades de investigação é a con-
dução dos alunos a graus progressivos de generalização e de abstracção.
Consequentemente, a justificação das conjecturas apresentadas é uma com-
ponente importante do seu trabalho. Tal como foi mencionado anteriormen-
te, o grau de formalização dessa justificação depende do nível de desenvol-
vimento matemático do aluno. No entanto, é tarefa do professor fazer notar
ao aluno a necessidade de se “convencer” a si próprio e aos outros dos seus
argumentos de forma que, a pouco e pouco, acabe por o fazer espontanea-
mente (Mason, 1991).
A importância da realização de uma discussão final sobre a activida-
de dos alunos tem sido referida com alguma insistência por diversos auto-
res. Já no relatório Cockcroft (1982) se encontra a indicação explícita de
que sem essa discussão o sentido da investigação se poderia perder. Usual-
mente, é nesta fase que serão postas em confronto as estratégias, as hipóte-
ses e as justificações que os diferentes alunos ou grupos de alunos construí-

Histórias de investigações matemáticas
18
ram, e que o professor assume as funções de moderador. Ele procura trazer
à atenção da turma os aspectos mais destacados do trabalho desenvolvido e
estimula os alunos a questionarem as asserções dos seus pares. Assim, o
desenvolvimento da capacidade dos alunos para comunicar matematica-
mente e do poder de argumentação são dois dos objectivos destacados desta
fase da actividade de investigação.
O professor tem um papel determinante na feitura de propostas de
investigação e na condução de aulas em que os alunos se empenham neste
tipo de actividade. Todavia, para que os alunos sintam autenticidade nas
suas propostas de trabalho é necessário que ele próprio demonstre um espí-
rito investigativo. Os alunos só poderão compreender plenamente o que
significa fazer matemática se tiverem oportunidade de o observar como um
matemático em acção.
Dificuldades a ultrapassar
As investigações constituem um meio privilegiado de proporcionar
aos alunos uma experiência matemática autêntica, porque facilitam o
envolvimento num tipo de trabalho que se encontra muito próximo da acti-
vidade matemática, abrangendo o desenvolvimento e a utilização de algu-
mas capacidades de ordem superior que, de um modo geral, não são con-
templadas noutro tipo de actividades.
Antecipamos nesta reflexão grande parte das dificuldades e limita-
ções referentes à realização de actividades de investigação na aula de
Matemática. Muitas delas apontam para a necessidade de investigação
aprofundada com base em situações de sala de aula. Passamos, brevemente,
em revista algumas questões que se colocam.
Uma das dificuldades decorre das limitações programáticas. A exten-
são do programa é vulgarmente apontada como impeditiva da diversifica-
ção de estratégias na sala de aula. Um aspecto que merece atenção diz res-
peito às dificuldades manifestadas pelo professor ao tentar articular este
tipo de actividades com os conteúdos programáticos e com os constrangi-
mentos de tempo. Por outro lado, será que as investigações, quando apenas
surgem como uma actividade esporádica, chegam a promover uma atitude
investigativa nos alunos?
Relativamente ao papel do professor no desenvolvimento das aulas
surgem questões sobre a organização da turma — os alunos trabalham indi-

Histórias de investigações matemáticas
19
vidualmente ou em grupos? como são formados os grupos? Outras questões
referem-se ao apoio a fornecer aos alunos, à gestão do tempo concedido
para os alunos realizarem o seu trabalho, à orientação da discussão final e
ao modo de avaliar a actividade desenvolvida.
Alguns impedimentos à realização de actividades de investigação
advêm da falta de preparação que o professor possa sentir para ultrapassar
os diversos obstáculos com que se depara. Outros problemas podem decor-
rer do facto do professor possuir uma visão parcial ou redutora do que sig-
nifica investigar. Torna-se, assim, imprescindível que ele tenha acesso a
material diversificado e que sejam criadas condições para que possa discu-
tir em conjunto com outros colegas sobre esta problemática.
A margem deixada pelos actuais programas para a integração de
investigações matemáticas não é muito explícita. Exige-se, por isso, algum
engenho ao professor para manobrar no espaço deixado ao seu cuidado.

Histórias de investigações matemáticas
20
2. METODOLOGIA DE TRABALHO
Este trabalho, que se desenvolve numa lógica de investigação-acção3,
tem por base a elaboração, análise e divulgação de narrativas referentes a
situações de ensino-aprendizagem em que os alunos trabalham em tarefas
de investigação matemática. Pretende-se que estas narrativas testemunhem
aspectos dos dilemas e incertezas dos professores e evidenciem elementos
relevantes do seu conhecimento profissional neste tipo de actividades edu-
cativas.
Narrativas de situações de ensino-aprendizagem
O método narrativo, como método de investigação educacional, tem
vindo a ganhar uma proeminência cada vez maior, configurando-se como
uma importante abordagem no quadro da investigação qualitativa de tipo
interpretativo. Passamos em revista, de modo sucinto, as principais ideias
que nos levaram a considerar a sua utilização neste estudo.
Histórias, narrativas e conhecimento humano
Uma história é uma forma de contar uma sequência de acontecimen-
tos, que tem três elementos básicos: (a) uma situação envolvendo algum
conflito, ou dificuldade, (b) um ou mais personagens que se envolvem na
situação com um dado propósito, e (c) uma sequência temporal na qual o
conflito é de algum modo resolvido. Por outras palavras, uma história con-
tém referência a personagens, locais e acontecimentos enquadrados numa
sequência temporal que sugere implicitamente tanto causalidade como sig-
3 Trata-se de um projecto com características de investigação-acção porque os participantes pretendem
incluir nas suas práticas docentes usuais actividades de tipo investigativo e de resolução de problemas,
valorizando a correspondente comunicação/discussão no seio da turma, procurando, através da experi-
mentação e da reflexão sistematizada, encontrar formas viáveis de o concretizar na sala de aula.

Histórias de investigações matemáticas
21
nificado. Todo o ser humano é um contador de histórias: vê o presente nas-
cer do passado e dirigir-se ao futuro. Pode-se dizer que percebe a realidade
de um modo narrativo (Carter, 1993; Clandinin e Connelly, 1991).
Neste domínio, como em muitos outros, a terminologia varia de autor
para autor. Diremos, com Connelly e Clandinin (1990), que uma história é
um fenómeno natural do nosso pensamento, que ocorre constantemente, e
que uma narrativa é o uso da história como método de investigação. Trata-
se portanto de uma história produzida deliberadamente, com um propósito
muito particular. Por outro lado, um continuum na experiência de uma pes-
soa é uma unidade narrativa se torna a sua experiência de vida significativa
através da unidade que lhe proporciona (Carter, 1993; Connelly e Clandi-
nin, 1986).
As histórias constituem parte integrante da nossa experiência quoti-
diana. Uma ideia fundamental é a de que organizamos as nossas experiên-
cias de interacção social através de histórias. De acordo com Bruner
(1991), o nosso conhecimento diz respeito a dois domínios distintos: o
mundo físico e o mundo das interacções humanas. A maior parte dos estu-
dos acerca do processo de aquisição do saber incide sobre o modo como
nós conhecemos o mundo físico e não o mundo humano ou simbólico.
Para aquele autor, organizamos a nossa experiência e a nossa memó-
ria de acontecimentos humanos na forma de histórias, que são assim fenó-
menos naturais do nosso pensamento. Vivemos através de histórias, ou
seja, pensamos, percebemos, imaginamos e fazemos escolhas morais de
acordo com estruturas narrativas. A criação de histórias permite-nos estabe-
lecer ordem e coerência no fio da nossa experiência e construir a partir daí
um sentido para os incidentes e acontecimentos do mundo real (Carter,
1993). Por outro lado, a pessoa que conta uma história tanto é moldada pela
situação como molda a situação vivida (Clandinin e Connelly, 1991).
Uma segunda ideia importante é a de que uma história é uma forma
de pensamento convencional, culturalmente transmitida, constrangida
pelas capacidades de cada pessoa e pela natureza do meio em que está
inserida. Deste modo, as construções narrativas não são verdadeiras ou fal-
sas, mas apenas mais ou menos verosímeis e mais ou menos evocativas. A
sua aceitação é governada por convenção e por “necessidade narrativa”. Ou
seja, a cultura fala através de histórias individuais, histórias que são cons-
truídas em torno de temas que permitem a projecção dos valores humanos
(Carter, 1993; Riessman, 1993).

Histórias de investigações matemáticas
22
O modo de pensar narrativo é profundamente distinto do modo de
pensar lógico ou científico e sujeita-se a diferentes critérios de qualidade.
Riessman (1993), por exemplo, aponta os seguintes aspectos como essen-
ciais numa boa narrativa: persuasividade, correspondência, coerência e uso
pragmático. Não é qualquer história que pode ser relevante para fins de
investigação, mas apenas as histórias que satisfazem estas características
fundamentais.
Uma terceira ideia marcante é a de que o conhecimento humano se
baseia em ferramentas culturais, sendo por isso o grupo cultural uma uni-
dade de análise fundamental. Na perspectiva de Bruner (1991), havendo
domínios específicos do conhecimento e competência humanos que são
suportados e organizados por conjuntos de ferramentas culturais, a unidade
de análise não pode ser apenas o indivíduo, mas tem de ser o grupo cultu-
ral. O pensamento, as percepções e as experiências dos professores são
elementos integrantes da sua cultura, fazendo com que a força dos contex-
tos culturais esteja presente nos seus pensamentos: “o que os professores
nos dizem acerca das suas práticas é, fundamentalmente, um reflexo da sua
cultura, e não pode ser compreendido correctamente sem referência a essa
cultura que é interpessoal” (Olson, 1988, citado em Solas, 1992, p. 213).
Em qualquer cultura existe necessariamente um largo consenso
implícito no que respeita às crenças sociais — ou seja, como é que nós pen-
samos que as pessoas são e como é que lidamos uns com os outros. Trata-
se de um bom exemplo de um domínio do conhecimento organizado narra-
tivamente (Bruner, 1991). Nele se incluiu, naturalmente, as representações
dos docentes sobre os processos de aprendizagem dos seus alunos.
As histórias tornaram-se assim num dos meios de captar a complexi-
dade, a especificidade e as relações existentes entre os fenómenos com que
lidamos. Elas relembram constantemente as limitações das abordagens
positivistas tradicionais, para as quais o ensino surgia decomposto em
variáveis discretas e em indicadores de eficácia (Carter, 1993).
Histórias, narrativas e conhecimento profissional
O conhecimento profissional do professor evidencia-se na sua práti-
ca. Ora, uma outra ideia fundamental é que as histórias e as narrativas
constituem um modo de conhecimento particularmente ligado à acção.
Como diz Carter (1993), as histórias são “modos de conhecimento emer-

Histórias de investigações matemáticas
23
gindo da acção... explicações das intenções humanas no contexto da acção”
(p. 6). As histórias, com a sua multiplicidade de sentidos, são uma forma
particularmente adequada para expressar o conhecimento associado à com-
plexidade da acção. Uma vez que o ensino é uma acção intencional numa
situação, o conhecimento essencial que os professores têm do ensino vem
da sua prática, isto é, de agirem como professores nas salas de aula. Assim,
para compreender o pensamento de um professor, podemos começar por
procurar as histórias que estruturam o modo de pensar sobre os aconteci-
mentos da sala de aula desse mesmo professor (as suas teorias práticas). No
entanto, devemos ter presente que, nas suas narrativas, os professores não
se limitam a recordar e a relatar as suas experiências, mas repetem e
recriam as suas próprias histórias, reconstruindo significados, redefinindo o
seu eu pessoal e profissional (Cortazzi, 1993).
Segundo Connelly e Clandinin (1986), os académicos têm sido irre-
dutivelmente teóricos e têm falhado na compreensão do pensamento práti-
co. Para estes autores, a prática tem de ser o ponto de partida para a inves-
tigação e não um mero lugar de aplicação da teoria. O estudo narrativo
muda a ênfase da análise da prática em termos da teoria para o desenvolvi-
mento da teoria em termos da prática.
Uma última ideia-chave é a de que a produção de narrativas é uma
forma de promover uma relação de colaboração entre investigadores e
professores. Para estabelecer uma relação colaborativa é necessário tempo,
relação pessoal, espaço e voz (Connelly e Clandinin, 1990). Este tipo de
investigação permite o estabelecimento de formas de colaboração que pro-
movem uma estreita relação entre todos os participantes. Esta relação
envolve sentimentos de “interligação”, igualdade, afecto, propósito e inten-
ção partilhados e de proximidade. Desta relação, mutuamente inspiradora,
podem resultar insights sobre o pensamento dos professores que seria
improvável obter através de qualquer outro tipo de investigação.
A relação que se estabelece entre investigador e professor fomenta a
reflexão sobre as práticas deste último, permitindo uma compreensão mais
profunda das eventuais mudanças operadas nessa prática, bem como do
papel dessas mudanças. Assim, será de realçar o contributo dado pelas nar-
rativas no sentido do crescimento profissional, social e pessoal dos profes-
sores.
As histórias captam dum modo especial a riqueza, as nuances de sig-
nificado, as ambiguidades e as contradições dos assuntos humanos, ao con-

Histórias de investigações matemáticas
24
trário do pensamento paradigmático ou científico que requer precisamente
consistência e não contradição (Bruner, 1991; Carter, 1993). Uma razão
para valorizar a narrativa na investigação educacional é a sua grande capa-
cidade para representar a vida e promover a ligação entre esta e as expe-
riências educativas. As narrativas são uma forma de capturar a complexi-
dade, a especificidade e as ligações internas e externas do fenómeno com
que estamos a tratar e, desse modo, ultrapassar as limitações das aborda-
gens atomistas e positivistas. As narrativas são, por isso, uma forma de
conhecer e de pensar particularmente adequada para lidar com as questões
com que nos debatemos na investigação educacional (Carter, 1993).
O resultado da investigação narrativa é a produção de uma filosofia
pessoal, traduzindo a forma como cada professor pensa acerca de si próprio
em situações de ensino. Obtém-se assim uma visão do seu conhecimento
prático e pessoal. A filosofia pessoal não é uma reconstrução do investiga-
dor nem do participante. É uma reconstrução dos dois em colaboração
(Connelly e Clandinin, 1986).
Uma história, uma vez contada (oralmente ou por escrito), deixa de
pertencer apenas ao personagem que a narrou. Passa a ter uma existência
independente da sua vontade, das suas intenções ou da sua interpretação
(Clandinin e Connelly, 1991). Passa a pertencer a toda a comunidade edu-
cativa.
O processo de construção de uma narrativa
O método geral de investigação narrativa consiste em compreender e
reconstruir em colaboração com os professores unidades narrativas dentro
das suas histórias. A investigação narrativa tende a começar sem um pro-
blema pré-especificado, mas com um interesse num fenómeno que possa
ser entendido narrativamente (Connelly e Clandinin, 1986).
Para Labov (citado em Riessman, 1993), uma narrativa pode ser
decomposta em 6 elementos fundamentais:
• resumo (sumário da substância da narrativa);
• orientação (tempo, lugar, situação, participantes);
• acção complicadora (sequência de acontecimentos);
• avaliação (o significado da acção, a atitude do narrador);
• resolução (o que finalmente aconteceu);

Histórias de investigações matemáticas
25
• coda (faz regressar à perspectiva do presente).
A escrita das narrativas é o primeiro passo da interpretação. As fon-
tes de dados podem ser as mais variadas: notas de campo de experiência
partilhada, registos em diários de bordo, entrevistas não estruturadas, histó-
rias contadas, cartas escritas, escritos biográficos e autobiográficos, etc. Às
várias fontes de dados o investigador acrescenta a sua própria reflexão.
Nesta abordagem, a observação e a reflexão conjunta sobre situações vivi-
das desempenham um papel fundamental. O processo de investigação nar-
rativo tem um primeiro movimento da experiência para as notas de campo,
transcrições, documentos e reflexões do investigador e do professor, avan-
çando depois para uma reconstrução mútua da narrativa (Connelly e Clan-
dinin, 1986, 1990).
A construção de uma narrativa pressupõe diversas etapas, que Riess-
man (1993) sistematiza no seguinte modelo:
• viver ou participar da experiência;
• contar a experiência (pelo sujeito que a viveu);
• transcrever a experiência;
• analisar a experiência, implicando a elaboração de um testemunho
(usualmente escrito);
• ler, pressupondo uma recontagem da experiência.
Para esta autora, trata-se no fundo de diversos níveis de representa-
ção de uma experiência. Ao falar da experiência há que notar que se ergue
um fosso inevitável entre a experiência como foi vivida e toda a comunica-
ção que é feita acerca dela. Contar uma experiência implica também a cria-
ção de uma identidade — um modo como se quer ser conhecido pelos
outros. Toda a narrativa é inevitavelmente uma auto-representação.
A transcrição é (como os outros níveis de representação) necessaria-
mente incompleta, parcial e selectiva. Transcrever o discurso, tal como
fotografar a realidade, é uma acção interpretativa. Decisões acerca de como
transcrever, tal como acerca de falar e ouvir, são guiadas pela teoria e por
normas retóricas.
Analisar implica seleccionar, salientar, relacionar e comparar. Como
em todo o processo investigativo, é o passo-chave da actividade criativa de
investigação. Pretende-se que essa análise não deturpe a voz e o sentido das

Histórias de investigações matemáticas
26
práticas profissionais, mas os enriqueça e clarifique tirando partido da mul-
tiplicidade de experiências e perspectivas dos elementos da equipa.
Uma vez na sua forma final, a narrativa continua aberta a várias lei-
turas e a várias construções. O significado de um texto é sempre significado
para alguém. As narrativas transportam uma carga cultural e histórica mui-
to acentuada. As verdades que construímos são significativas para comuni-
dades interpretativas específicas em circunstâncias históricas bem defini-
das. Cada nível do modelo envolve uma redução, mas também uma expan-
são: os contadores seleccionam para narrar os aspectos da sua experiência
total mas juntam outros elementos interpretativos.
O trabalho da equipa
A equipa do projecto é constituída por dois docentes universitários,
uma docente de uma escola superior de educação e uma professora do 2º
ciclo do ensino básico4, interessados na exploração das possibilidades das
narrativas como instrumento de investigação educacional e de formação de
professores. Todos os membros da equipa têm vários anos de experiência
de leccionação no ensino básico e secundário5. Os elementos presentemente
no ensino superior trabalham na formação inicial e contínua de professores.
O programa de trabalhos inicial previa que os elementos da equipa do
projecto e outros professores cooperantes iriam promover durante o ano
lectivo de 1995-96 um número significativo de aulas em que fossem reali-
zadas e discutidas actividades investigativas e de resolução de problemas
por parte dos alunos. Essas aulas, bem como o subsequente processo de
avaliação das aprendizagens, seriam objecto de observação e registo vídeo
por parte dos membros da equipa do projecto, dando lugar à realização de
discussões e consequente produção de narrativas.
As narrativas incidiriam sobre as situações de ensino-aprendizagem
efectivamente vividas. Seriam produzidas tanto pelos professores que rege-
ram essas aulas como pelos elementos que as observaram. Uma primeira
4 Uma outra professora do 3º ciclo e do ensino secundário (Ana Vieira), inicialmente prevista para inte-
grar o projecto, acabou por não participar na equipa, tendo sido uma das professoras cooperantes. Esta
professora elaborou uma das narrativas que integram este relatório e colaborou na experimentação de
diversas propostas de trabalho.
5 Mais precisamente, 4, 5, 6 e 15 anos de experiência.

Histórias de investigações matemáticas
27
versão seria sujeita a um processo de discussão e análise, a partir do qual
surgiriam novas versões, sucessivamente mais aperfeiçoadas.
Em reuniões conjuntas, a equipa estabeleceu e reformulou por diver-
sas vezes o seu plano de trabalho, discutiu e reflectiu sobre textos de natu-
reza teórica e debruçou-se sobre diversos aspectos do processo de constru-
ção e de análise das narrativas. Versões preliminares de cada uma das his-
tórias foram amplamente discutidas, tendo sido sucessivamente objecto de
aperfeiçoamento. O mesmo processo foi seguido com as diversas secções
deste relatório. Em vários momentos do percurso fizeram-se balanços
colectivos sobre o desenvolvimento do trabalho.
Nas suas reuniões, a equipa discutiu diversos contributos teóricos
sobre as tarefas de investigação, sobre a dinâmica da aula, sobre o conhe-
cimento profissional do professor e sobre o uso de narrativas em investiga-
ção educacional6.
Dois dos membros da equipa do projecto realizaram uma visita de
estudo ao Reino Unido, tendo por foco a experiência de realização de tare-
fas de investigação na aula de Matemática naquele país. Os resultados des-
sa visita foram discutidos numa reunião de toda a equipa do projecto.
6 Uma vez que este projecto incide na realização de tarefas de investigação matemáticas pelos alunos, foi
feita uma discussão do texto de J. Mason (1991), que se debruça sobre a já longa experiência de uso des-
tas actividades nas escolas do Reino Unido. O autor aponta diversas questões a ter em conta em cada uma
das fases da realização de uma investigação na sala de aula.
Atendendo ao interesse das interacções na sala de aula no decurso da realização deste tipo de tare-
fas, foi seleccionada para discussão uma parte substancial da tese de doutoramento de E. Castro (1995),
realizada na Universidade de Granada, que se refere precisamente a esta temática num contexto de traba-
lho inovador na sala de aula com padrões numéricos.
Para contextualizar o presente projecto em termos dos estudos já feitos sobre as competências pro-
fissionais do professor de Matemática, discutiu-se um texto de J. P. Ponte (1996), que faz uma análise
crítica da investigação realizada em Portugal em torno da figura e da actividade do professor.
O estudo aprofundado da relação entre tarefa e actividade, nomeadamente no contexto educacio-
nal, é de grande importância para se compreender o que se passa na realização de tarefas de investigação.
Daí a selecção para discussão aprofundada do texto Task and activity de B. Christiansen e G. Walther
(1986). Foi dada particular atenção ao modo como os autores se referem às actividades de exploração e
investigação e à análise que fazem da forma como os professores as podem conduzir na sala de aula.
Foram ainda discutidos diversos aspectos teóricos sobre o método narrativo, tendo como referên-
cia principal o texto de K. Carter (1993), The place of story in the study of teaching and teacher educa-
tion, e os livros de C. Reissman (1993) e M. Cortazzi (1993).

Histórias de investigações matemáticas
28
A elaboração e análise das narrativas
Algumas das narrativas produzidas neste projecto resultam de situa-
ções de ensino-aprendizagem levadas a cabo pela professora do 2º ciclo
pertencente à equipa. Outras narrativas resultam de aulas realizadas por
professores contactados pelos elementos da equipa e que se disponibiliza-
ram a colaborar.
As tarefas a usar nas respectivas turmas foram escolhidas pelas profes-
soras (da equipa ou cooperantes), de entre as sugeridas pela equipa do pro-
jecto. As professoras, de um modo geral, escolhiam as tarefas por lhes
parecerem mais adequadas à turma ou aos temas programáticos que trata-
vam naquele momento ou, simplesmente, porque consideravam uma inves-
tigação interessante. A preparação prévia das aulas com os professores
cooperantes foi variável mas na maior parte dos casos reduziu-se a uma
única reunião de trabalho (onde se esclareceram eventuais dúvidas). Por
vezes, as professoras faziam pequenas sugestões de alteração (que eram
naturalmente atendidas). Em alguns casos foram resolvidas e exploradas
exaustivamente as tarefas propostas. Nesta reunião, os elementos da equipa
procuravam ainda conhecer como a tarefa seria apresentada, quanto tempo
a professora previa para a sua realização, como iria organizar os alunos
para trabalhar e que expectativas tinha quanto ao seu desempenho.
A produção das versões preliminares das narrativas foi levada a cabo
por cada um dos elementos da equipa do projecto, em colaboração com
outros elementos da equipa e por vezes com as professoras cooperantes7. A
elaboração de uma narrativa sobre uma situação de ensino-aprendizagem
revelou-se um processo bastante problemático, tendo-nos obrigado a reflec-
tir e a tomar decisões em relação a diversos aspectos.
Em primeiro lugar, surge a questão da autoria das narrativas. Estas
devem ser elaboradas essencialmente pelos membros da equipa de investi-
gação ou pelos professores responsáveis pela leccionação das aulas? A rea-
lização dos textos pelos professores seria sem dúvida mais interessante —
conferindo-lhes um papel de maior protagonismo. No entanto, depois de
algumas tentativas, acabámos por verificar que as professoras cooperantes
7 Exceptua-se o caso de uma história produzida por uma professora cooperante (Ana Vieira), que foi
integralmente elaborada por esta professora.

Histórias de investigações matemáticas
29
tinham grande dificuldade e pouca motivação para realizar tal tarefa. Esse
processo foi, por isso, pouco utilizado8.
Em segundo lugar, põe-se o problema da relação entre as narrativas
escritas e as narrativas orais. Sendo o objectivo final do trabalho a produ-
ção de narrativas escritas, seria adequado passar por uma etapa intermédia
de produção de narrativas orais? A estratégia adoptada foi a da realização
de narrativas (escritas) com base numa conversa com a professora sobre a
aula9. Essa conversa decorria num registo não estruturado e informal, e nela
estavam normalmente presentes diversos elementos de narrativa oral. O
texto assim produzido era submetido à apreciação da professora para even-
tuais correcções e validação, de modo a ter tanto quanto possível a garantia
de representar fidedignamente a situação vivida10.
Em terceiro lugar, deve referir-se o problema de encontrar o tipo certo
de narrativa adequado a este estudo, problema que surgiu em diversos
momentos. Qual a natureza das “complicações” que temos em vista? Que
tipo de informação deve ser dada para contextualizar cada uma das narrati-
vas? Em ensaios preliminares foram produzidos textos representando
pequenos momentos da aula mas que não se revelaram adequados aos
objectivos deste trabalho. Houve, também, necessidade de distinguir uma
narrativa de um relatório sobre uma aula. Este tende a ser bastante porme-
norizado, descrevendo tudo o que de importante aconteceu, com algum
substrato crítico. Uma narrativa, para manter a sua fluência natural, não
pode ter a preocupação de “contar tudo”, nem sequer de “contar muita coi-
sa”. Pelo contrário, tem de se centrar no desenvolvimento das sucessivas
complicações e resoluções da acção. E tem de procurar colocar-se no ponto
de vista do actor principal — o professor — e não deixar-se abafar comple-
tamente pelas ideias preconcebidas do investigador. Muito embora, o nar-
rador explícito nas narrativas produzidas seja o investigador, pretendemos
8 Note-se, no entanto, que houve narrativas produzidas pela professora do 2º ciclo que integra a equipa
do projecto (Irene Segurado) e por uma outra professora cooperante (Ana Vieira), inicialmente prevista
para integrar a equipa.
9 Na maior parte dos casos o membro da equipa assistiu à aula em causa. Nessas circunstâncias, a com-
plicação central da narrativa pode surgir tanto da observação como da reflexão conjunta realizada com o
professor. Nos casos em que o investigador não assistiu à aula, a complicação ou surge espontaneamente
do professor ou resulta de um questionamento perspicaz por parte do investigador na conversa conjunta
posterior.
10 Os professores não fizeram quaisquer correcções, considerando que o conteúdo retratava aquilo que
tinha de facto acontecido na aula.

Histórias de investigações matemáticas
30
que o professor tenha, também, um papel importante na narração, para o
que transcrevemos com frequência o seu discurso directo.
Em quarto lugar, coloca-se também a questão de onde encontrar o
ponto de partida para a elaboração de uma narrativa. A complicação tem de
estar identificada à partida ou evolui naturalmente a partir de uma primeira
versão que descreve uma situação vivida na sala de aula? Cada elemento da
equipa procurou desenvolver o seu próprio método para a elaboração de
narrativas, trabalho que requer tanto de inspiração como de esforço e per-
sistência. De grande utilidade foram os registos áudio da professora na aula
(e dos alunos com quem dialogava), as entrevistas feitas às professoras e os
registos escritos durante as aulas. A sua utilização não levantou grandes
problemas. A importância do vídeo é variável — é grande se a narrativa
pretende descrever a aula mas é reduzida se se centra num acontecimento
isolado. Os registos vídeo revelaram-se bastante úteis para reproduzir a fase
de discussão na aula quando “se passa muita coisa ao mesmo tempo”. Se a
situação tiver sido vivida há já algum tempo, o vídeo é também muito útil
para ajudar a recordar certos pormenores. O vídeo é tanto menos importan-
te quanto mais elaborada está a narrativa antes de começar a ser posta no
papel (ou no computador). No caso das aulas não assistidas directamente
pelos membros da equipa de investigação, os registos vídeo foram funda-
mentais para que se formasse uma ideia (ainda que parcial) do decorrer dos
acontecimentos e da actuação das professoras11. No entanto, o uso do vídeo
é mais problemático do que o dos restantes métodos e instrumentos de
registo porque impede o observador de prestar total atenção aos aconteci-
mentos que se estão desenrolando na aula.
Em quinto lugar surge o problema da relação entre a produção da nar-
rativa e a sua análise. A narrativa, ao ser elaborada, deve sair logo com uma
estrutura de análise claramente identificada? Deve seguir, por exemplo, o
esquema de Labov (indicado na p. 26)? Depois de algumas tentativas, con-
cluímos que produzir em simultâneo a narrativa e a análise não era um pro-
cesso natural. Por outro lado, para nós, o esquema de Labov assumiu
importância sobretudo como um esquema orientador e não como estratégia
fundamental de análise.
11 Os casos de não assistência às aulas pelo membro da equipa foram em número reduzido. No entanto,
esta situação parece ter proporcionado mais informações e comentários interessantes por parte da profes-
sora cooperante do que a situação de assistência directa.

Histórias de investigações matemáticas
31
Existem diversos métodos que se podem utilizar para fazer a análise
das narrativas. Mas os métodos devem sempre servir os propósitos estabe-
lecidos e não devem ser encarados como valendo em si mesmos. A verdade
é que as narrativas não têm sido muito usadas para identificação de dilemas
e incertezas dos professores ou para evidenciar aspectos do seu conheci-
mento profissional, nomeadamente no que se refere à sua acção na sala de
aula, pelo que não podíamos recorrer a modelos preexistentes. Assim, deci-
dimos usar uma grelha de análise baseada num conjunto de categorias refe-
rentes ao conhecimento profissional do professor de Matemática relativo à
sua prática lectiva desenvolvido pela própria equipa do projecto (ver o qua-
dro 1). Esta grelha tem por base as questões emergentes da literatura e da
experiência anterior dos elementos da equipa sobre a realização de activi-
dades de investigação (ver Ponte, 1995).
A estratégia de análise consistiu em procurar identificar em cada situa-
ção os aspectos que remetem, de um modo directo ou problemático, para
elementos do conhecimento didáctico referidos neste quadro. Estes aspec-
tos foram colocados numa coluna na margem direita de cada uma das nar-
rativas, seguindo o modelo adoptado nas Normas Profissionais do NCTM
(1994). Um segundo momento da análise tomou em consideração os aspec-
tos identificados nas diversas narrativas e salientados pelo processo indica-
do, propondo uma articulação e perspectiva geral. O resultado deste traba-
lho de análise surge no capítulo das conclusões. Finalmente, procedeu-se a
um balanço dos pressupostos iniciais, tendo em conta o trabalho desenvol-
vido e a experiência adquirida.

Histórias de investigações matemáticas
32
Quadro 1 - Categorias do conhecimento didáctico do professor
relativo à sua prática lectiva
Matemática
Conceitos
Terminologia
Relações entre conceitos
Processos matemáticos
Forma de validação de resultados
Competências básicas e processos de raciocínio
Processos de
aprendizagem
Relação entre acção e reflexão
Papel das interacções
Papel das concepções dos alunos
Papel dos conhecimentos prévios
Estratégias de raciocínio
Perspectivas em relação às capacidades dos alunos
Currículo
Finalidades e objectivos
Ligação entre conteúdos
Ligação com outros assuntos
Representações dos conceitos
Materiais
Instrução
Ambiente de trabalho e cultura da sala de aula
Tarefas - concepção, selecção, sequenciação
Tarefas - apresentação, apoio na execução, reflexão
Actividade
Comunicação e negociação de significados
Modos de trabalho na sala de aula

Histórias de investigações matemáticas
33
3. HISTÓRIAS

Histórias de investigações matemáticas
34
Conjecturando...
A Irene entrou na sala do conselho directivo à minha pro-
cura. Vinha apreensiva tanto com a turma como com o
equipamento de gravação. A turma não tinha experiência
de trabalho em tarefas de investigação e além disso só tinha
tido uma aula e meia sobre potências. E a câmara de vídeo
que ia ser usada tinha acabado de vir da reparação. Pensei
paciência, com um bocado de sorte pode ser que tudo aca-
be por correr bem. A Irene ia dar uma aula de duas horas a
uma turma do 5º ano, experimentando uma ficha de traba-
lho sobre Potências e Regularidades. O dia — 29 de Feve-
reiro de 1996 (um dia “bissexto”) — tinha que ser bem
aproveitado pois só aparece de 4 em 4 anos!
A grande questão que se colocava à Irene era a de pôr a
trabalhar na sala de aula estes alunos em tarefas de investi-
gação. Trata-se, segundo ela, duma turma de rendimento
médio e bastante homogénea. Apenas três ou quatro alunos
se destacam pela positiva e uns quatro ou cinco pela nega-
tiva. Desde o princípio do ano que os alunos desta turma se
têm revelado com pouca capacidade de pensamento inde-
pendente. Para eles, a “autoridade” está no professor, pro-
curando cumprir à risca tudo o que ele pede, sem nunca se
atreverem a ir mais longe.
A Irene tem vindo a tentar modificar esta maneira de ser
dos alunos. Colocou algumas tarefas onde eles eram cha-
mados a tomar algumas decisões, por exemplo, problemas
onde não estavam claramente expressos os dados necessá-
rios ou onde era preciso fazer alguma selecção de informa-
ção. No entanto, em todas estas tarefas, havia claramente
uma pergunta formulada, à qual havia que dar resposta.
Agora, estava apreensiva quanto à reacção que os alunos
teriam quando
A professora
procura ter
em conta as
características
específicas
dos seus alu-
nos ao pla-
near a reali-
zação de um
novo tipo de
tarefa.
A professora
realiza tarefas
que gradual-
mente vão
desenvolven-
do nos alunos
novas capaci-
dades.

Histórias de investigações matemáticas
35
confrontados com uma actividade de investigação, onde se
pretende que eles vão bastante além do que lhes é explici-
tamente indicado. Estava também preocupada com o tem-
po. A sua ideia era a de usar a aula de duas horas para que
os alunos fizessem a ficha e a respectiva discussão — mas
neste tipo de trabalho é sempre difícil prever se o tempo
disponível irá ser suficiente.
Apesar de ser uma turma pouco habituada a trabalhar em
grupo, pareceu à Irene que esta seria a melhor maneira de
resolverem as tarefas que lhes iriam ser propostas. A troca
de ideias poderia tornar o trabalho mais rico e os alunos
não sentiriam o peso da avaliação, que se torna por vezes
bastante inibidor. Além disso, tinha a certeza de que os
alunos iriam solicitar frequentemente o seu auxílio, sendo
este impensável se se tivesse de repartir por 24 alunos e
não apenas por 6 grupos de trabalho. Pensou em introduzir
a ficha com as diversas questões, conforme já havia feito
com outra turma no ano anterior, fazendo uma breve expli-
cação oral dos termos desconhecidos dos alunos.
A Irene indicou aos alunos para se organizarem para traba-
lho de grupo — o que levou a grande movimentação das
mesas e cadeiras, tomando algum tempo. Começou então
por ler as questões propostas na ficha, explicando o signifi-
cado de uma ou outra palavra. Por vezes formulava uma
pergunta:
Profª: Qual o significado da palavra ‘cubo’?
Tudo se passou conforme o planeado até ao momento em
que começou a explicar o termo “conjectura” e, não encon-
trando os termos desejados, acabou por fazer uma deriva-
ção mais prolongada. Mas a certa altura pareceu-lhe que os
alunos estavam a ficar com um ar cada vez mais
A professora
procura que
as tarefas
sejam ade-
quadas ao
tempo dispo-
nível.
A professora
decide reali-
zar trabalho
de grupo — o
modo de tra-
balho que
neste caso
considera
mais ade-
quando às
tarefas pro-
postas.
A tarefa é
introduzida
oralmente e
por escrito.
A professora
procura
encontrar o
melhor modo
de apresentar
a tarefa, tendo
em conta que
não deve dar
informação a
mais nem a
menos.
A professora
procura clari-
ficar os con-
ceitos que

Histórias de investigações matemáticas
36
confuso e sentiu que seria mais importante esclarecer o que
se entendia por regularidades. Procurou encontrar exem-
plos e levar os alunos a indicarem, eles mesmos, outros
exemplos de diversos domínios da Matemática. Este início
levou mais tempo do que o previsto, mas por fim os alunos
começaram a trabalhar.
Nos primeiros momentos da aula estive à volta do material
de gravação vídeo. A câmara, na verdade, não inspirava
muita confiança. Dirigi a objectiva para o grupo de alunos
mais próximo — mesmo assim a mais de dois metros. O
aspecto degradado do microfone, envolvido num papel
meio rasgado, e a distância a que o grupo se encontrava
davam-me a sensação que pouco iria ser registado. Além
disso, a câmara estava irritantemente inclinada a 30º, mais
parecendo um barco em vias de se afundar! Todas as
minhas tentativas para a endireitar esbarraram com a tei-
mosia do tripé, provocando certamente bastantes tremuras
na gravação. Enfim, deixei a câmara a fazer o seu melhor e
fui instalar-me junto do grupo que estava a ser filmado,
composto por quatro alunos.
Terminada a explicação inicial, a Irene tinha começado a
circular pelos grupos. A primeira questão desafiava os alu-
nos a escreverem diversos números como uma potência de
base 2:
64 =
128 =
200 =
256 =
1000 =
Pedia-lhes ainda que fizessem conjecturas acerca dos
números que podem ser escritos como potências de base 2
irão ser
necessários,
solicitando as
contribuições
dos alunos, e
altera a sua
estratégia
tendo em
conta a sua
reacção.
Os alunos, na
expectativa
de que há
uma resposta-
padrão para
cada pergunta
têm dificul-
dade em lidar
com questões
postas de
modo diferen-
te do habitual.

Histórias de investigações matemáticas
37
e como potências de base 3. Havia alguma confusão uma
vez que os alunos não entendiam muito bem qual a resposta
que era para dar, mostrando tendência para escreverem coi-
sas como 642 = 4096. Para eles devia haver uma resposta
esperada e que por certo a professora já tinha explicado na
aula, mas não viam qual era. A Irene tentou levá-los a per-
ceber que eles é que tinham de descobrir observando com
atenção os resultados que haviam obtido e procurando
outros que achassem interessantes. Foi percorrendo os
vários grupos, pedindo-lhes para lerem novamente as ques-
tões e perguntando-lhes o que era pedido, de modo a levá-
los a perceber o que se pretendia — em primeiro lugar se o
número 123 podia ser obtido como uma potência de base 2
(e expoente natural). Com o decorrer da aula, o termo “con-
jectura” foi sendo indirectamente explicado grupo a grupo,
através de questões como O que te parece que vai aconte-
cer? Será que é mesmo assim?...
Passado algum tempo (talvez cerca de 30 minutos), os gru-
pos começaram a perceber o que era pretendido e a entu-
siasmar-se com a actividade. Ultrapassados os primeiros
bloqueios e percebido o que era para fazer, os alunos foram
avançando com o trabalho. Começaram a formular conjec-
turas pertinentes sobre as propriedades dos últimos alga-
rismos das potências de diversas bases. Alguns alunos che-
garam mesmo a encontrar padrões.
Muitos alunos saltaram da primeira questão para a segunda
referindo apenas que os números terminados em zero não
podiam ser obtidos como potência de base 2. Outros regis-
taram que para poder ser escrito como uma potência de
base 2, um número tinha que ser par, e de base 3, tinha que
ser ímpar. A Irene notou que a segunda questão tinha-os
levado a perceber que era melhor observarem com mais
atenção as terminações das potências de base 2 e de base 3,
voltando novamente à primeira questão.
Os alunos
procuram
responder à
tarefa, tendo
em conta
tarefas seme-
lhantes já
anteriormente
realizadas.
A professora
procura que
os alunos des-
cubram o que
têm a fazer
através de
perguntas
indirectas.
O apoio aos
grupos é
determinante
para que eles
esclareçam as
suas dúvidas e
se envolvam
na realização
da tarefa.
Os alunos,
num processo
de vaivém,
aprofundam a
sua compreen-
são acerca das
regularidades
numéricas
envolvidas
nas potências.

Histórias de investigações matemáticas
38
A Irene achou bastante curioso que a Tânia e a Tatiana
(ambas a trabalhar no mesmo grupo), e a Sofia, considera-
das boas alunas não só a Matemática mas também nas
outras disciplinas, revelaram bastante dificuldade neste tipo
de actividade. Pareceu-lhe acharem a Matemática utilizada
bastante fácil, não acreditando que as suas respostas se diri-
gissem ao que se pretendia. Em alguns casos tornou-se
notório que não prestaram grande atenção às descobertas
feitas pelos colegas do grupo considerados mais fracos do
que elas, tendo a Irene procurado fazer-lhes ver que o que
os colegas estavam a dizer era bastante interessante.
O contrário também se verificou. Houve alunos (por exem-
plo, o André, repetente, considerado um dos casos-
problema da turma) que se entusiasmaram com o trabalho
ao ponto de não quererem terminar quando a Irene anun-
ciou que se ia passar à discussão. Isto pode resultar do facto
de que a Matemática exigida nas descobertas era acessível
também a estes alunos.
A calculadora foi bastante utilizada por todos os alunos,
parecendo-me que eles a usavam com desembaraço. Alguns
alunos faziam mesmo bastante utilização do factor constan-
te. Em toda a aula respirou-se uma atmosfera de trabalho.
Mas as demoras na organização das mesas e na explicação
das questões da ficha fizeram com que depressa se ouvisse
o toque para o intervalo (por sinal bastante ruidoso). Uns
queriam ficar, outros queriam sair, gerando-se alguma con-
fusão. A Irene deu-lhes liberdade de escolha, e foi gratifi-
cante ver que cerca de metade dos alunos decidiram ficar a
trabalhar nas questões propostas.
A Irene estava neste momento um pouco apreensiva relati-
vamente ao tempo. Parecia-lhe que os alunos não iriam ter-
minar o trabalho proposto naquela aula. Sugeri, em alterna-
tiva, a ideia de se fazer uma pequena discussão no final
sobre as questões 1 e 2 da ficha, deixando o trabalho na
questão 3 e a sua discussão para a aula seguinte, com o que
ela concordou.
A professora
nota que esta
tarefa eviden-
cia tanto as
capacidades
de alguns alu-
nos tidos por
fracos, como
as dificulda-
des de alguns
bons alunos.
A professora
incentiva os
alunos a usa-
rem a calcu-
ladora com
desembaraço.
A professora
dá aos alunos
liberdade de
escolha, dei-
xa-os decidir
sobre um
aspecto do
funcionamen-
to da aula e,
ao mesmo
tempo, recebe
feedback
sobre o seu
interesse.
Aulas de 2
horas são
apropriadas
para realizar
tarefas de
investigação.

Histórias de investigações matemáticas
39
A cerca de 15 minutos do fim da aula iniciou-se então a
discussão. A princípio, os alunos não se mostravam muito
atentos ao que diziam os seus colegas, não parecendo ainda
muito habituados a este tipo de interacção. A professora foi
perguntando pelas conclusões a que eles tinham chegado,
questão a questão, e a pouco e pouco a situação foi melho-
rando. A certa altura eram vários os grupos que manifesta-
vam vontade de intervir. Inicialmente, a professora tentou
que houvesse uma certa ordem na apresentação dos resul-
tados, o que aos poucos foi deixando de acontecer pois o
entusiasmo dos alunos fazia-os avançar de questão para
questão de modo um tanto impulsivo e desordenado.
Houve grupos que conjecturaram que, quando a base é 2,
as potências sucessivas têm como último algarismo 2, 4, 8
e 6, repetindo-se depois esta sequência.
Teresa: Termina sempre em 4, 8, 6 e 2.
Daniel: Anda sempre à roda.
Profª: Anda sempre à roda?
Daniel: É 4, 8, 6, 2.
Profª: Perceberam o que o Daniel está a dizer?
Augusto: Ainda não percebi.
Profª: Presta atenção, que o Daniel vai voltar a explicar.
Daniel.
Daniel: Os números rodam pela mesma ordem.
Álvaro: Mas não na ordem que vocês disseram.
Profª: Não? Então como é?
A discussão
final, pondo
em comum
resultados e
significados,
constitui um
bom fecho
para a aula.
A discussão
foi realizada
questão a
questão, com
a participação
de todos os
grupos em
simultâneo.
A professora
encoraja os
alunos a apre-
sentarem
argumentos
em defesa das
suas afirma-
ções.

Histórias de investigações matemáticas
40
Álvaro: 2, 4, 8, 6. O primeiro número é o 2. (Algum baru-
lho na turma)
Profª: Calma, estejam com atenção. Estão de acordo com o
Álvaro?
Alunos: Sim. (Era notório que alguns alunos disseram sim
só por dizer)
Profª: Porquê?
Alguns alunos: Porque 21 é 2. Falta colocar esse aí.
Profª: Eu quando andei pelos grupos vi que muitos de
vocês não tinham considerado o 21. Quanto à primeira
pergunta alguém quer acrescentar mais alguma coisa?
Alguns alunos (em coro): Queremos. Termina sempre em
par.
Profª: Se falarmos todos ao mesmo tempo não nos vamos
entender. Para os que não perceberam, os colegas disse-
ram que as potências de base 2 terminam sempre em
número par. Vejam! (Indica no quadro)
Do mesmo modo quando a base é 3 temos as terminações
3, 9, 7, 1, de novo 3, 9 , 7, 1 e assim por diante. Com as
potências de base 5 e 6 verificava-se um fenómeno curioso.
O último algarismo é sempre 5 ou 6. Um dos grupos apre-
sentou mesmo a conjectura de que nas potências de base 5
o penúltimo algarismo é sempre 2.
Profª: Vamos agora ver o que descobriram quanto às
potências de base 5. Agora responde o grupo da Amélia.
Sílvia: Termina sempre em 5.
Daniel (alunos de outro grupo): E em 2.
Profª: Como é que é? Calma, vamos ouvir o Daniel. A Síl-
via diz que termina sempre em 5 e é verdade, não é? Mas o
grupo do Daniel avançou mais qualquer coisa.
A aprendiza-
gem da prática
da discussão
por parte dos
alunos é algo
que leva o seu
tempo.

Histórias de investigações matemáticas
41
Daniel: A partir do 52 termina sempre em 25.
Profª: Mais alguma coisa sobre as potências de base 5?
A discussão decorreu de um modo bastante agradável. Tan-
to a Irene como eu ficámos com a sensação que os alunos
apresentavam as suas ideias com entusiasmo, manifestando
uma compreensão muito razoável das questões propostas.
Eles estiveram activos a trabalhar, a procurar descobrir coi-
sas, chegaram a diversas conclusões e proporcionaram uma
pequena discussão bastante animada. Pareceu-me que nesta
discussão acabou por se ilustrar de modo bem sugestivo o
conceito de conjectura.
Esta aula reforçou-me a ideia da importância do binómio
acção-reflexão na aprendizagem da Matemática. Muita
acção sem reflexão por parte dos alunos rapidamente se
torna cega e pouco produtiva. Reflexão ou discussão que
não se baseie em acção corre seriamente o risco de se tor-
nar forçada, artificial e ineficaz. Nesta aula, o binómio fun-
cionou bastante bem, muito melhor do que a câmara de
vídeo que, na verdade, não gravou nada que se pudesse
aproveitar.
A reflexão
sobre o traba-
lho feito neste
tipo de aula
permite per-
ceber melhor
o que é uma
conjectura do
que uma sim-
ples explica-
ção.
O binómio
acção -
reflexão é
fundamental
no processo
de ensino-
aprendiza-
gem.
João Pedro da Ponte e Irene Segurado

Histórias de investigações matemáticas
42
Matemática: Calcular ou pensar?
Os quatro alunos preparavam-se para começar a trabalhar a
ficha sobre potências que lhes tinha sido distribuída e apre-
sentada. A Irene, a professora desta turma do 5º ano, de vez
em quando faz trabalho de grupo e quando isso acontece
estes alunos ficam sempre em conjunto.
Pedi licença para me sentar junto deles e perguntei-lhes
como se chamavam. Indicaram ser a Vânia, a Liliana, o
Bruno e o João e este — o mais espevitado — perguntou
também pelo meu nome. Tanto ele como o Bruno fizeram
uma festa por estarem perante mais um João. As alunas,
sentadas lado a lado, falavam por vezes uma com a outra
mas em voz muito baixa. Na mesma mesa, eu mal conse-
guia perceber o que elas diziam. Do outro lado, os rapazes
faziam o mesmo. Começaram todos por tentar responder à
questão número 1:
1. O número 729 pode ser escrito como uma potência de
base 3. Para o verificar basta escrever uma tabela com as
sucessivas potências de 3:
32 = 9
33 = 27
34 = 81
35 = 243
36 = 729
• Procura escrever como uma potência de base 2
64 =
128 =
200 =
256 =
1000 =
A professora
usa o trabalho
de grupo
quando o con-
sidera adequa-
do às tarefas
propostas.
Os alunos
começam a
trabalhar na
tarefa cada um
por si.

Histórias de investigações matemáticas
43
• Que conjecturas podes fazer acerca dos números que
podem ser escritos como potências de base 2? e como
potências de base 3?
Nas próprias fichas os alunos foram escrevendo
64 = 4096
128 = 16384
200 = 400000
256 = 65536
1000 = 1000000
Claramente tinham percebido que a tarefa tinha a ver com
potências. Normalmente, nas tarefas com potências é dada a
base e o expoente e procura-se saber qual o valor resultante.
Talvez levados por esta sua experiência anterior interpreta-
ram erradamente a questão. A minha agenda não era corri-
gi-los de imediato, mas tentar perceber o melhor possível
como é que eles estavam a pensar e como poderiam desco-
brir o seu próprio erro. Deixei-os continuar mais um boca-
do até que a certa altura perguntei: Mas então 64 é igual a
4096? Não perceberam o alcance da minha pergunta e res-
ponderam 64 ao quadrado é 4096.
Preparava-me para continuar com outras questões do mes-
mo tipo quando a professora chegou ao pé do grupo e viu o
que eles estavam a fazer. A sua agenda era claramente mui-
to diferente. Tomou de imediato o comando das operações
e questionou os alunos: Então, se aqui diz para escrever
como potência de base 2, qual é a base? E qual é o expoen-
te?. Chegou-se rapidamente à conclusão que 2 era a base,
não o expoente. Mesmo assim reinava a atrapalhação. O
João escreveu 64 x 2 = 128, evidenciando uma outra confu-
são extremamente comum nos alunos. Finalmente, assenta-
ram-se diversos pontos:
Perante um
pedido dife-
rente do habi-
tual, os alunos
fazem uma
leitura incor-
recta da per-
gunta e come-
çam a traba-
lhar numa
direcção erra-
da. Apesar
disso, mos-
tram possuir
alguns conhe-
cimentos
sobre potên-
cias.
A agenda da
professora é
pôr os alunos
a trabalhar de
modo produ-
tivo nas ques-
tões propos-
tas.
Colocando
questões, a
professora
ajuda os alu-
nos a concen-
trar a sua
atenção nos
aspectos
essenciais da
questão pro-
p
osta.

Histórias de investigações matemáticas
44
—a base é sempre 2;
—o expoente é que varia.
Isto levou a Vânia a escrever em coluna vários 2:
2
2
2
2
2
Eram as bases que ficavam assim à espera dos respectivos
expoentes. A Vânia teve então uma ideia brilhante. Pegou
na calculadora e introduziu 2 x x = = = tirando partido do
factor constante. Foi com grande entusiasmo que viu apare-
cer 64 e 128 e rapidamente concluiu que
26 = 64
27 = 128
Este entusiasmo rapidamente deu lugar a uma grande con-
fusão quando perceberam que não podiam deste modo che-
gar ao 200 nem ao 1000. Não dá! Não dá! gritava o João. A
sua expressão era de incredulidade e espanto. Pareciam não
acreditar no que viam. Como era possível uma questão pro-
posta numa ficha de Matemática não ter solução?! Tendo
presente as dificuldades encontradas para atacar a primeira
questão, resolvi ajudá-los de pronto: Então nesse caso, o
que temos de dizer é que não há nenhum número... Aceita-
ram de bom grado esta sugestão e registaram-na nas suas
fichas.
Perguntei então que números achavam que nunca poderiam
ser obtidos desse modo. Indicaram 20, 1000, 200, 30, 40,
50, números que foram registando nas suas fichas. Pergun-
tei de novo se não podiam dizer isso de modo mais simples,
ao que a Vânia respondeu Não há números que acabem em
zero! Desafiei-os a mostrar que assim era e eles, usando o
Escrever
642=64x2 é
um erro
extremamente
frequente
nos alunos.
Os alunos
conhecem o
factor constan-
te de aulas
anteriores. O
seu uso num
novo contexto
é uma acção
criativa.
Os alunos
mostram
grande surpre-
sa por encon-
trarem uma
questão
matemática
“sem respos-
ta”
Tendo encon-
trado uma res-
posta certa, os
alunos consi-
deram errado

Histórias de investigações matemáticas
45
factor constante, fizeram desfilar uma longa sequência de
potências de dois nenhuma das quais terminava em zero.
Estabelecida a conclusão, pegaram nas borrachas e com
força desataram a apagar a sequência 20, 1000, 200, 30, 40,
50 que já tinham escrito! Para eles a resposta correcta tinha
passado a ser Não há números que acabem em zero e não
fazia sentido deixar uma resposta incorrecta. Procurei
dizer-lhes que o que tinham também estava bem, o que os
deixou com um ar pouco convencido. Antes que dirigissem
a sua atenção para a pergunta seguinte resolvi levá-los a
pensar um pouco mais nas potências de base 2, perguntan-
do se não podiam tirar ainda outras conclusões. Há potên-
cias de 2 terminadas em 1? Em 3? Em 4? Foram assim
registando que as potências de 2 terminavam em 4, 6, 8 ou
2 e nunca terminam em 3, 7 e 9 (não consideraram os casos
de 0, 1 e 5).
No intervalo a meio da aula (tratava-se duma aula de duas
horas) as raparigas decidiram continuar a trabalhar enquan-
to que os rapazes foram dar uma volta. É de referir que o
Bruno, um dos rapazes do grupo, quase não falou o tempo
todo. A certa altura, depois de ter falado um pouco com
todos eles, resolvi formular-lhe directamente uma pergunta.
O Bruno não respondeu. Insisti e ele voltou a não respon-
der. Mudei de registo: Então não queres responder? Com
ar desenvolto e natural, a Liliana meteu-se na conversa Ele
é sempre assim, e os outros concordaram. Resolvi não
insistir mais com o Bruno mas fiquei a pensar que deveria
ser realmente difícil “dar-lhe a volta” e levá-lo a participar.
Durante a maior parte do tempo, os alunos falavam de
modo curioso. Sempre num tom bastante baixo, pareciam
falar mais consigo próprios do que uns com os outros. A
certa altura, no meio deste diálogos/monólogos, pare-
ceu-me ouvir o João dizer duas ou três vezes “ponente” em
ou sem inte-
resse tudo o
que tinham
feito ante-
riormente.
Os alunos
mostram-se
capazes de
produzir gene-
ralizações.
O professor
pode incenti-
var os seus
alunos a tirar
mais conclu-
sões das situa-
ções propos-
tas.
Os alunos
conhecem-se
muito bem
uns aos
outros.

Histórias de investigações matemáticas
46
vez de expoente. Mas a ideia parecia estar certa, e para não
quebrar o ritmo do trabalho, resolvi não intervir. A profes-
sora teria mais tarde ocasião de corrigir a designação, se
fosse caso disso.
Na investigação realizada por este grupo houve um interes-
sante momento de confusão. Procurando saber se há potên-
cias de 2 terminadas em 1, a certa altura deslocaram a per-
gunta para saber se há potências de 2 que tenham o 1 e a
resposta foi afirmativa: 128. E escreveram na ficha — entre
as potências de 2, algumas podem terminar em 1. É um
exemplo curioso em como no decurso duma investigação
uma pergunta se transforma noutra mas a resposta é regis-
tada como válida para a pergunta inicial.
Na utilização do factor constante para as potências de 3 a
certa altura aconteceu algo inesperado. Ao produzir uma
longa sequência, a Vânia obteve 14348907, 43046721, e
até aqui tudo bem, mas depois 1.2914016E, ou seja algo
que aparentemente é um número terminado em 6. Fiquei
um bocado embaraçado em explicar o sucedido. Verificá-
mos que, continuando a carregar na tecla do =, já não se
alterava o número. Sugeri então que a máquina tinha “blo-
queado” e já não dava resultados correctos. Aceitaram a
minha justificação e não incluíram o 6 entre as possibilida-
des de último algarismo de uma potência de 3. Na verdade,
tinha pensado que a máquina de calcular seria muito útil
neste trabalho para calcular potências mas não me tinha
ocorrido usar o factor constante. Muito menos tinha consi-
derado o modo de explicar o problema dos limites da
máquina neste aspecto a alunos deste nível etário.
A observação do modo como os alunos trabalharam sugere
que se passam imensas coisas no trabalho de um grupo de
que dificilmente nos podemos aperceber quando a nossa
preocupação é atender a todos os grupos e ajudá-los a
No decurso
duma investi-
gação é posi-
tivo que sur-
jam novas
questões.
As respostas
podem sair
erradas se o
aluno perde de
vista a questão
a que está a
responder.
O professor
tem de alertar
os alunos para
os limites da
máquina de
calcular.

Histórias de investigações matemáticas
47
avançar. A intervenção da professora foi decisiva para des-
bloquear os alunos e levá-los a perceber que tipo de respos-
ta teriam que dar. Mas uma presença menos interventiva
junto do grupo mostrou aspectos importantes e por vezes
pouco valorizados do modo como os alunos trabalham — a
ideia que em Matemática todas as questões têm uma res-
posta óbvia, a preocupação em só deixar registado o que
está certo, o saltar de questão para questão. Por vezes os
alunos “respondem certo à questão errada”. O que nos dei-
xa com uma questão: como poderá o professor ganhar
consciência destas questões no meio da turbulência da sala
de aula?
Conseguir
tempo para
ouvir os alu-
nos é decisi-
vo para com-
preender o
seu modo de
pensar e as
suas verda-
deiras difi-
culdades.
João Pedro da Ponte

Histórias de investigações matemáticas
48
Números quadrados e triangulares
Para a professora Maria, aspectos decisivos da disciplina
de Matemática são a aprendizagem de conceitos e a sua
aplicação. Aceitou com agrado a proposta de realização
de um conjunto de quatro tarefas de investigação numa
das suas turmas de Matemática, com quem tem uma boa
relação. Referiu que os alunos da turma escolhida eram
muito interessados e trabalhadores, embora alguns reve-
lassem dificuldades de aprendizagem.
Neste episódio conta-se a história de uma aula que decor-
reu em Junho de 1996. A professora escolheu a tarefa
intitulada Números quadrados e números triangulares
que tinha sido originalmente pensada para alunos mais
velhos. Como os seus alunos eram do 5º ano foi necessá-
rio introduzir-lhe algumas alterações.
A Tarefa
1. Os números quadrados podem “escrever-se” formando
quadrados. Por exemplo:
••••••
••••• ••••••
•••• ••••• ••••••
••• •••• ••••• ••••••
•• ••• •••• ••••• ••••••
• •• ••• •••• ••••• ••••••
1 4 9 16 25 36
• Descobre um processo rápido de descobrir se um
número qualquer é quadrado e regista-o na tua folha
de trabalho.
A professora
dá especial
atenção à
aprendizagem
de conceitos e
à sua aplica-
ção.
A professora
mostra dispo-
nibilidade para
experimentar a
realização de
tarefas de
investigação,
preocupando-
se com a adap-
tação das ques-
tões ao nível
etário dos seus
alunos.

Histórias de investigações matemáticas
49
2. Os números triangulares podem “escrever-se” formando
triângulos. Por exemplo:
•
• ••
• •• •••
• •• ••• ••••
• •• ••• •••• •••••
• •• ••• •••• ••••• ••••••
1 3 6 10 15 21
• Escreve os cinco números triangulares que se
seguem ao 21.
• Investiga um processo rápido de descobrir se um
número qualquer é triangular ou não.
• Regista as tuas conclusões.
Na opinião da professora, esta tarefa é completamente dife-
rente daquilo que os alunos estão habituados a fazer.
Segundo ela esta diferença não residia tanto na actividade
em si, mas na sua apresentação, pelo facto de recorrer à
representação geométrica dos números. E, sem que pudes-
se perguntar algo, acrescentou que por isso despertou mais
dúvidas do que as tarefas propostas em aulas anteriores.
Alguns alunos perguntaram: Mas o que é que são números
quadrados? Quadrados como? Depois a dúvida maior sur-
giu: como é que o 1 pode ser um número quadrado se na
figura só aparecem círculos? A professora indicou que para
os casos dos números quadrados seguintes foi mais fácil
p
orque a apresentação sugeria exactamente que eram
números quadrados, não é? Agora no 1, acho que a maior
p
arte dos grupos falou nisso... fazia-lhes confusão que o 1
f
osse um número quadrado.
Como ultrapassar a questão? A dúvida era geral. A repre-
sentação de círculos numa proposta que falava em quadra-
dos parecia aos alunos realmente inapropriada! Mas os cír-
culos não impediram que os alunos visualizassem e
A professora
reconhece que
uma tarefa que
se apresenta
diferente do
habitual tem
dificuldade em
ser reconhecida
pelos alunos
suscitando-lhes
múltiplas per-
guntas.

Histórias de investigações matemáticas
50
aceitassem que os restantes números representados nas
suas fichas fossem números quadrados. A verdadeira ques-
tão, a verdadeira dúvida era o 1!
Como o 1 despertava dúvidas passámos para o 4 e
para o 9. Construíram outros números quadrados
a seguir ao 36. Construíram o 49 e o quadrado
respectivo e depois foi mais fácil perceberem que
o 1 também era um número quadrado! Descobri-
ram que multiplicador e multiplicando tinham que
ser iguais. Assim, o 1 também é um número qua-
drado, porque se obtém através do cálculo do
produto 1x1.
A dúvida foi assim ultrapassada, não tendo nenhum dos
alunos levantado qualquer outra questão em torno do
número 1.
Mas como obtiveram os alunos os números quadrados que
se seguem ao 36? De início, a maior parte dos alunos não
se apercebeu de que bastava calcular um produto de dois
factores iguais para obter um número quadrado. Pode ler-
se a seguinte conclusão na folha de uma das crianças: em
cada quadrado tem que se pôr mais uma bolinha na verti-
cal e na horizontal. Tomaram como ponto de partida o 36
e depois acrescentaram mais uma coluna e mais uma linha
para descobrirem o número seguinte. Mas parece que nem
todos necessitaram fazer a representação dos círculos para
concluírem que, por exemplo, o 100 também era um núme-
ro quadrado:
O grupo do Luís começou logo no 10x10. Pensa-
ram no 100 uma vez que viram que os factores
tinham que ser iguais. Mas houve grupos que fize-
ram mesmo assim, que foram acrescentando ao
princípio, mas depois conseguiram... foi logo ime-
diato... mas no princípio acrescentaram mais uma
coluna e mais uma linha para descobrirem o
número seguinte.
A exploração
de outros casos,
sugerida pela
professora,
levou à desco-
berta da regra
geral, e desta à
aceitação do
caso particular.
Os alunos usa-
ram estratégias
diversificadas
para estabelece-
rem uma lei de
formação da
sequência pro-
posta.

Histórias de investigações matemáticas
51
Estando a trabalhar com produtos de dois factores iguais,
os alunos utilizaram as potências de expoente dois? Para a
professora, o conceito de potência, dado a conhecer cerca
de dois meses antes, parecia não estar presente: Não sur-
giu, não estava presente na cabeça deles e não o fizeram,
mas descobriram que realmente tinha que ser um produto
de dois factores iguais.
A questão 1 tinha sido respondida. E agora, o que se terá
passado com os números triangulares?
Em relação aos triangulares foi mais complicado,
porque começaram por acrescentar uma bolinha de
cada lado... e depois já não batia certo. Depois é
que viram que na linha de cima tinha que ter sempre
menos uma bolinha do que na linha de baixo. Apa-
garam muito... Fizeram! Depois apagaram! Torna-
ram a fazer! Mas depois lá conseguiram fazer tudo
direitinho, porque viram que teriam que tirar sem-
pre uma bolinha à medida que iam subindo. E
depois descobriram os números seguintes!
Surgiu então uma descoberta espantosa para alunos tão
pequenos. Tentaram escrever, talvez à semelhança do que
haviam feito para os números quadrados, os números que
iam obtendo como produto de dois factores, mas agora de
dois factores diferentes. Para o 28, que se segue ao 21,
representado na ficha, escreveram 4x7, para o 36, 4x9.
Depois igualaram o 55 a 5x11 e o 66 a 6x11. Aceitaram
que a seguir ao 6x11 viria o 6x13, mas já não o comprova-
ram através do cálculo do número triangular seguinte.
Não comprovaram. O grupo da Filipa e da
Andreia só disse que se é o 6x11 a seguir tem que
ser o 6x13. E tiraram uma conclusão:
Os alunos ten-
dem a recorrer
muito mais a
processos intui-
tivos e infor-
mais do que a
usar conceitos
formais.
A professora
valoriza a per-
sistência dos
alunos na reso-
lução da nova
tarefa.

Histórias de investigações matemáticas
52
Todos os números do multiplicador são ímpares e
os do multiplicando representam-se duas vezes.
Está um bocado confuso mas percebe-se a ideia.
Acho que este grupo foi aquele que conseguiu che-
gar mais longe.
Segundo a professora, os alunos foram mais longe nas suas
descobertas na resposta à segunda questão da proposta de
trabalho relativa aos números triangulares. Neste caso con-
seguiram estabelecer uma relação entre esses números que
a professora não esperava, tal como ela própria reconhece.
Repare-se que a sequência de números triangulares se
obtém recorrendo à soma dos n primeiros termos de uma
progressão aritmética:
()
nn+1
2. Quando o número triangu-
lar é de ordem ímpar isto representa
nn
+
×
1
2. Quando é de
ordem par representa ()
nn
21×+
.
Não seria de esperar que os alunos chegassem à dedução
destas fórmulas. Mas eles conseguiram, sem dúvida, arran-
j
ar um processo rápido de gerar números triangulares.
Admirável!
Esta tarefa foi bem aceite pela professora que admite vir a
utilizá-la em anos futuros com outros alunos. O facto de se
poderem trabalhar os números quadrados e os números
triangulares parece surgir-lhe como algo lógico. O estudo
dos números quadrados abriu a possibilidade de uma abor-
dagem mais rica no estudo dos números triangulares.
Claro que os alunos sentiram dificuldades que foram ultra-
passadas pelo acompanhamento constante da actividade
por parte da professora. Afirma que não podem ser deixa-
dos sozinhos e que o seu papel é o de orientadora. Não se
vê como a personagem que define as
Os alunos
escreveram
produtos de
factores dife-
rentes e desco-
briram nesses
produtos regu-
laridades que
correspondem à
soma dos pri-
meiros n termos
de uma pro-
gressão aritmé-
tica.
A professora
admite vir a
propor de novo
esta tarefa no
futuro.
O apoio dado
pela professora
aos alunos é
fundamental:
assume o papel
de orientadora.

Histórias de investigações matemáticas
53
regras do jogo ou que traça os caminhos. Ajuda a ultra-
passar dificuldades, motiva e incentiva os seus alunos na
realização das tarefas que lhes propõe.
A preparação desta aula não envolveu uma planificação
rígida. Nem isso podia acontecer, afirma. Na sua opinião
algumas dificuldades podem prever-se, mas não todas. Há
que deixar aberta a possibilidade de sermos surpreendidos.
Os alunos surpreenderam-me, foram eles que construíram
a aula, não fui eu. E neste caso esta constatação revelou-se
extremamente acertada: a dificuldade dos alunos em lida-
rem com um enunciado diferente do habitual, aliada à difi-
culdade em aceitarem o 1 como número quadrado, são evi-
dências disso. Mas também foi evidente que a forma como
a professora ultrapassou e resolveu a complicação surgida
resultou depois na descoberta de relações que nem mesmo
ela esperava em alunos tão jovens. O seu contentamento e
até um certo orgulho ficaram bem espelhados ao relatar as
descobertas dos alunos.
Do mesmo modo, a professora reconhece às tarefas inves-
tigativas a capacidade de desencadearem processos de
raciocínio muito úteis à aprendizagem da Matemática:
podem consolidar conceitos previamente adquiridos;
envolver questões que não foram pensadas pelo professor,
introduzindo necessariamente uma componente investiga-
tiva que caracteriza a disciplina e que a aproxima da vivên-
cia dos matemáticos. E uma certa insegurança que possa
resultar do carácter aberto deste tipo de tarefa não foi sufi-
ciente para impedir a sua realização. Tanto a professora
como os alunos lidaram bem com as dúvidas e as dificul-
dades surgidas.
É evidente nesta professora o gosto em trabalhar com os
seus alunos, gosto que facilmente se reconhece na
As tarefas de
investigação
oferecem a
grande possibi-
lidade de sur-
preenderem a
professora e os
alunos.
As tarefas de
investigação
potenciam pro-
cessos de racio-
cínio valoriza-
dos no actual
ensino/ apren-
dizagem da
Matemática.

Histórias de investigações matemáticas
54
sugestão que dá para o futuro: estas tarefas devem ser ela-
boradas tanto pelos professores como pelos seus alunos,
numa relação de colaboração e de trabalho conjunto.
Assim poderão abrir-se novas perspectivas ao ensino e à
aprendizagem da Matemática. O professor não deve, na
sua opinião, trabalhar isoladamente. A troca de experiên-
cias deverá ser constante ao longo da sua vida profissional.
A professora
considera que
as tarefas
podem resultar
do trabalho
conjunto entre
professor e alu-
nos.
Maria Helena Cunha

Histórias de investigações matemáticas
55
Contra factos não há argumentos
A professora Ema tem uma experiência de docência de 2º
Ciclo do Ensino Básico de sete anos. É uma pessoa muito
exigente consigo mesma com a necessidade que sente de
ser objectiva e correcta, tanto quando ensina Matemática
como quando ensina Ciências da Natureza.
No que respeita à sua relação com a Matemática, diz gos-
tar da disciplina e de a ensinar. No entanto, as demonstra-
ções não são nem foram vez alguma a sua predilecção.
Admira-se que o possam ser para outros, mas admira-os
também pelo hábito e gosto bizarros que possuem.
Sugeriu para a realização de uma tarefa de investigação na
turma do 5º D. Os seus 27 alunos revelam-se geralmente
interessados.
Esta história foi construída a partir do relato de uma aula,
feito pela professora, onde foi resolvida e explorada a tare-
fa intitulada Explorações com números:
• Procura descobrir relações entre os números que se
seguem:
0 1 2 3
4 5 6 7
8 9 10 11
12 13 14 15
16 17 18 19
... ... ... ...
• Como sempre, regista as conclusões que fores obten-
do.
Em ocasiões anteriores esta professora já havia manifes-
tado grande entusiasmo no relato dos sucessos
A professora
sente-se bem na
profissão pro-
curando ser
exigente consi-
go mesma.

Histórias de investigações matemáticas
56
passados com os seus alunos a propósito desta ou daquela
ocorrência. No entanto, e apesar deste ser o seu registo
mais breve, é também, e talvez, o mais sentido.
A aula iniciou-se com a introdução da tarefa por parte da
professora. Distribuiu os enunciados pelos alunos e
começou por dar algumas indicações acerca do modo
como deveriam proceder e, ainda não tinha dado as indi-
cações, já eles estavam a dizer - já descobrimos, já des-
cobrimos o que se passa aqui!, referiu.
A impaciência latente dos alunos, a ansiedade e a vontade
de comunicarem as suas descobertas dificilmente pode-
riam ser maiores.
Perante tão impetuoso início a professora lembrou que
havia que ter calma, que tinham que ouvir as suas indica-
ções para que não tivessem que a chamar aos seus lugares
a todo o momento: acalmaram um pouco. As indicações
continuaram. A tendência deles é, assim que começam a
trabalhar em grupo, chamarem-me, explicou.
A pressa dos alunos em relatarem as suas descobertas à
professora e aos colegas era grande:
começaram logo por descobrir as colunas dos
ímpares e dos pares. Uma conclusão muito
engraçada, [diz a rir] foi a de alguns alunos ao
dizerem que os números iam de 4 em 4, só que
não viram que realmente as colunas começa-
vam no zero e iam até ao três ... 0, 1, 2, 3.
Logicamente, se haviam 4 colunas, iam de 4
em 4! Uma outra conclusão que tiraram, quase
de imediato, foi a de que os números iam de 3
em 3 numa oblíqua [da direita para a esquerda]
e de 5 em 5 na outra [da esquerda para a direi-
ta]. Eles diziam - há o 3 ... do 3, 6, 9 e 12. Pas-
saram logo o traço!
Assim que os
alunos lêem o
enunciado
começam de
imediato a
anunciar as
suas descober-
tas.
A professora
fornece indi-
cações que
julga necessá-
rias para a rea-
lização da
tarefa.
As descober-
tas dos alunos
surgem em
catadupa.

Histórias de investigações matemáticas
57
Outras descobertas iam surgindo.
A dado momento, a professora apercebeu-se de que um
dos grupos parecia fazer referência à localização dos qua-
drados perfeitos. No entanto, não existia consenso entre os
alunos. A dificuldade parecia residir numa identificação
entre quadrados perfeitos e potências de base 2. A discus-
são acesa entre os elementos do grupo continuava e não se
adivinhava possibilidades reais de consenso. Foi então que
a professora sentiu ter chegado o momento de intervir
colocando-lhes questões que os levassem a ultrapassar as
dificuldades encontradas:
Aí tive de ajudar para aquilo que pretendia.
Pedi-lhes que pensassem e que experimentas-
sem as potências de expoente 2, e que as com-
parassem com as potências de base 2. Eles
foram tentando, descobriram, colocaram qua-
dradinhos nos quadrados perfeitos mas, entre-
tanto, não descobriam nenhuma relação. Ape-
nas um grupo de dois é que descobriu que esta-
vam numa coluna, na primeira e na terceira. E
uma relação engraçada que eles encontraram,
que eu na secretária estava também a tentar
ver... é que, por exemplo, no quadrado do dois
elevado a um dava dois, depois dois ao qua-
drado dava quatro, depois nove, portanto era
assim [hesita um pouco], deixa cá ver se eu me
recordo, eu disse mal, era só entre a primeira e
a segunda colunas que estavam os quadrados
perfeitos, e o que eles descobriram, o que eu
pensei que nenhum deles iria descobrir, foi que
na primeira a diferença entre um quadrado
perfeito e o outro há um elemento, mas na
segunda coluna já há dois números que sepa-
ram, depois... três, e é sempre intercalado, vai
da primeira para a segunda coluna.
A professora
apercebe-se
do impasse e
da dúvida dos
alunos.
A professora
apoia os seus
alunos durante
a realização
da tarefa para
que lhes seja
possível con-
tinuar.
A própria pro-
fessora desco-
bre relações
em que ainda
não tinha pen-
sado.

Histórias de investigações matemáticas
58
Chegada a parte final da aula chegou também a fase em
que era necessário dar a conhecer aos colegas as conclu-
sões dos vários grupos: sabia quem é que tinha mais con-
clusões do que os outros e então na turma pedi para que
as comunicassem aos colegas!
A professora considera que esta parte da aula foi impor-
tante, repleta de descobertas feitas por alguns dos grupos
enquanto ouviam as referências dos outros colegas. Simul-
taneamente, tentavam encontrar nas suas folhas evidências
das relações que ouviam existir. A comunicação foi tão
dialogada que acabou por ser também uma aventura de
descoberta, na sua opinião.
Esta era já, e pelo menos, a terceira proposta de investiga-
ção e de descoberta desenvolvida com os seus alunos desta
turma. A professora referiu ter mantido a metodologia de
trabalho por pares por tornar o trabalho mais rápido e por
ser mais cómodo dado o modo como as mesas se encon-
tram dispostas nas salas de aula.
Na sua perspectiva, os alunos gostam deste tipo de activi-
dades: vê-se logo que eles estão preparados para traba-
lhar. É o aluno não pacífico mas activo!
No entanto, a professora mostra algumas reservas relativas
à realização de várias aulas seguidas com actividades que
considera de descoberta: eu gostava de verificar agora, na
sequência de muitas actividades deste género, se eles iam
saturar-se ou não. Penso que se vão cansar. Vão ansiar
por coisas mais pacatas!
Refere existirem turmas em que a descoberta resulta de
imediato, mas mesmo na mesma turma há casos em que
se nota perfeitamente quem tem já um raciocínio mental
mais rápido, por exemplo, uma boa aluna, certinha, não
conseguia relacionar as coisas, descobria casos pontuais
mas não os conseguia relacionar, enquanto outros alunos
não tão certinhos relacionavam imediatamente!
O relato das
conclusões
dos grupos
tem um tempo
próprio na
aula.
A importância
dos períodos
de discussão é
acentuada pela
professora: o
diálogo final
acaba por se
tornar num
momento
importante de
descoberta.
A professora
procura a for-
ma mais ade-
quada de
organizar o
trabalho dos
alunos.
A professora
mantém algu-
mas reservas
sobre a atitude
dos alunos
quando lhes
são propostas
demasiadas
aulas de
investigação.
Para a profes-
sora, as acti-
vidades inves-
tigativas pos-
sibilitam a
participação
dos alunos
com mais

Histórias de investigações matemáticas
59
No que respeita às actividades de investigação, a sua opi-
nião é a de que se perde mais tempo para avançar no pro-
grama do que com as outras actividades regulares e habi-
tuais. Nota-se que há um certo impasse, mas que é mais
compensador para o aluno e para o professor, eu acho
que é!
A professora mostrou bastante preocupação quando, no
início da primeira tarefa que realizou, se viu confrontada
com a necessidade de que os seus alunos utilizassem a
máquina de calcular. Agora já deixo que utilizem a máqui-
na de calcular para tudo, afirma. Eu já lhes disse - tragam
sempre! - Para já, não estamos nas expressões numéricas!
Já não me interessa muito o cálculo. Eu parto do princí-
pio que já está adquirido!
A preocupação com o cálculo continua, no entanto, laten-
te: tenho consciência que muitos não sabem fazer o algo-
ritmo da divisão, e tento esquecer isso! A vantagem do
uso da calculadora começa a ser um dado adquirido? Nas
suas próprias palavras, é um avanço incrível!
A incerteza, a indecisão e a dúvida mantêm-se! Que
opções fazer? Deixar ou não deixar que os alunos utilizem
a máquina de calcular?
Mas também é falsear resultados, porque o
cálculo não está lá, não está lá! E eu sei que
eles não sabem, muitos deles nem a tabuada
sabem, mas avança-se ... e aí, aí é que se nota
um grande avanço ao nível da descoberta. E eu
já questionei mesmo os alunos. Porque é que
eles gostam daquelas actividades? E a resposta
deles surgiu prontamente: - Porque nós esta-
mos a descobrir!- aí está, contra factos não há
argumentos!
fraco aprovei-
tamento.
Para a profes-
sora, as tarefas
de investiga-
ção necessi-
tam bastante
tempo afec-
tando o cum-
primento dos
programas.
O cálculo é
uma preocu-
pação cons-
tante da pro-
fessora.
A professora
mostra-se
indecisa quan-
to ao papel da
calculadora
nas aulas de
Matemática,
mas está sen-
sível à adesão
dos alunos às
actividades de
descoberta.
Maria Helena Cunha

Histórias de investigações matemáticas
60
Uma investigação em grande grupo
A tarefa que me propunha apresentar, a uma das minhas
turmas do 5º ano, era de carácter investigativo e estava
relacionada com os múltiplos de um número, conteúdo que
me encontrava a leccionar. Os alunos iriam trabalhar em
pequenos grupos, como lhes era habitual neste tipo de acti-
vidade.
A tarefa era a seguinte:
• Escreve em coluna os 20 primeiros múltiplos
de 5.
• Repara nos algarismos das unidades e das deze-
nas. Encontras algumas regularidades?
• Investiga agora o que acontece com os múlti-
plos de 4 e 6.
• Investiga para outros números.
Ao entrar na sala de aula reparei que os alunos se encon-
travam um pouco agitados, devido talvez ao belo dia que
se fazia sentir e à proximidade das férias. A arrumação do
material que se encontrava sobre as mesas e a mudança de
lugar dos alunos, o que nesta turma se torna necessário
para a realização do trabalho em grupo, poderia levar a
uma agitação ainda maior. De modo a não agravar este
problema decidi mantê-los nos seus lugares.
Procurei agarrar de imediato os alunos. Coloquei-me junto
do quadro e pedi que me indicassem os múltiplos de 5. Em
simultâneo fui-os registando.
0
5
10
15
20
Para conseguir
mais rapida-
mente envol-
ver os alunos
no trabalho, a
professora
opta por man-
tê-los nos seus
lugares habi-
tuais.
A professora
procura que os
alunos se con-
centrem na
tarefa, intera-
gindo consigo.

Histórias de investigações matemáticas
61
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
Questionei-os de seguida quanto ao que se passava de inte-
ressante e curioso com os algarismos das unidades e das
dezenas.
A Tatiana levantando o braço respondeu prontamente: o
algarismo das unidades é sempre 0 ou 5, o que foi aceite
pelos colegas, ecoando pela sala: é sempre 0; 5, 0; 5...
Mais? — estimulei-os.
O algarismo das dezenas repete-se: 0-0, 1-1, 2-2; 3-3...,
afirmou o Octávio com um ar feliz.
Encontrava-me a assinalar no quadro, com giz de cor, estas
duas afirmações de modo a que todos verificassem a sua
veracidade quando o Carlos, com uma certa agitação, me
interrompeu, descobri mais uma coisa... posso ir ao qua-
dro explicar? Pedi-lhe que esperasse um pouco de modo a
terminar o meu registo. Acedeu, não deixando de comuni-
car aos seus colegas mais próximos a sua descoberta.
Já no quadro, unindo os números com o giz, o Carlos
explicou: O 0 com o 5 dá 5, o 0 com o 0 dá 0, o 1 com o
A professora
incentiva os
alunos à des-
coberta de
regularidades.
Um dos alu-
nos interrom-
pe a professo-
ra para dar a
conhecer a sua
descoberta.
A professora
pede ao aluno
para ir ao qua-
dro explicar o
seu raciocínio
aos colegas.

Histórias de investigações matemáticas
62
5 dá 6, o 1 com o 0 dá 1, o 2 com o 5 dá 7, o 2 com o 0 dá
2, o 3 com o 5 dá 8, estão a perceber? Há uma sequência.
Dá 5, salta um, dá 6, salta um, dá 7... ou dá 0, salta um,
dá 1, salta um, dá 2...
0
0
1
1
2
2
3
3
0
5
0
5
0
5
0
5
5
0
6
1
7
2
8
Satisfeita, pois já tinham sido ultrapassadas as minhas
expectativas, pedi que investigássemos o que se passava
com os múltiplos de 4, que coloquei numa coluna ao lado
dos múltiplos de 5.
0 0
5 4
10 8
15 12
20 16
25 20
30 24
35 28
40 32
45 36
50 40
55 44
60 48
65 52
70 56
75 60
80 64
85 68
90 72
95 76
Rapidamente, a quase totalidade dos alunos respondeu em
coro: terminam sempre em 0, 4, 8, 2, e 6. Descobriram
A professora
encoraja os
alunos a alar-
garem a inves-
tigação a um
novo caso.

Histórias de investigações matemáticas
63
ainda que: termina sempre em número par, o algarismo
das dezenas repete-se 2 vezes, 3 vezes, alternadamente, o
algarismo das dezenas que se repete três vezes é sempre
par e o que se repete duas vezes é sempre ímpar.
Os alunos que a princípio se encontravam mais passivos,
foram-se animando com as descobertas dos colegas mais
afoitos, mostrando também eles grande entusiasmo na pro-
cura de regularidades.
Após alguns momentos de procura sem resultados, e por
terem sido descobertas todas as regularidades a que eu
própria tinha chegado em casa, propus que fossemos inves-
tigar o que se passava com os múltiplos de 6. Coloquei-os
paralelamente aos múltiplos de quatro — por nenhuma
razão pré-estabelecida, mas simplesmente para não perder
tempo com o apagar do quadro.
0 0 0
5 4 6
10 8 12
15 12 18
20 16 24
25 20 30
30 24 36
35 28 42
40 32 48
45 36 54
50 40 60
55 44 66
60 48 72
65 52 78
70 56 84
75 60 90
80 64 96
85 68 102
90 72 108
95 76 114
Os alunos dão
a conhecer as
suas descober-
tas.
A professora
observa que
mesmo os alu-
nos mais pas-
sivos se entu-
siasmam na
procura de
regularidades.
A professora
propõe que se
proceda á
investigação de
regularidades
num novo
caso.

Histórias de investigações matemáticas
64
As descobertas surgiam agora em catadupa e não havia
aluno que não se empenhasse em dar a sua contribuição, o
que me dificultava, por vezes, o registo e a sistematização:
O algarismo das unidades é sempre 0, 6, 2, 8 e
4.
O algarismo das unidades é sempre um núme-
ro par.
O algarismo das dezenas não se repete de 5
em 5.
Fui refreando esse entusiasmo com pedidos e exclama-
ções: Calma! Vamos verificar se o que o colega afirmou é
verdade; Atenção; Vejam!; Olhem que interessante o que
o colega descobriu!
A Sónia de repente afirmou: São os mesmos algarismos
que para os múltiplos de 4. E mesmo antes desta afirma-
ção fazer sentido para mim já a Vânia declarava: Estão é
por outra ordem. Percebi então que estavam a comparar
os múltiplos de 4 e 6, o que expliquei à turma.
Começa na mesma por zero, constatou o Pedro que neste
dia se encontrava bem acordado.
Os outros algarismos estão ao contrário, referiu a Ana.
Há múltiplos de 4 que também são múltiplos de 6.
Os múltiplos de 6 a partir do 12, são alternadamente tam-
bém múltiplos de 4.
...
As descobertas vinham agora como as cerejas, umas atrás
das outras, ultrapassando todas as minhas expectativas
quanto às respostas que os alunos dariam. Eu não tinha
previsto a hipótese de comparar os múltiplos dos diferen-
tes números, pois nunca os colocara em paralelo. Vivi por
isso as suas descobertas com enorme entusiasmo. Um alu-
no mais perspicaz observou: A
Os alunos par-
ticipam de uma
forma dinâmi-
ca no relato no
relato de con-
clusões.
A professora
sugere que os
alunos organi-
zem a sua par-
ticipação na
discussão.
Uma aluna
descobre
outras relações
e a professora
ajuda a relatá-
las à turma.
As expectati-
vas da profes-
sora são lar-
gamente ultra-
passadas pela
participação
dos alunos.

Histórias de investigações matemáticas
65
professora está muito contente connosco não está? E esta-
va!
O registo feito no quadro proporcionou uma nova aborda-
gem da tarefa. Além disso, o ter trabalhado com o grande
grupo levou a que o contributo de um dado aluno fosse
‘agarrado’ por todos os seus colegas, conduzindo a um
maior número de descobertas.
Para mim, o trabalho de grupo é o que melhor se adequa à
realização de actividades de investigação/exploração. O
trabalho em pequeno grupo permite atingir objectivos que
dificilmente serão alcançados com o trabalho individual ou
com o trabalho em grande grupo: cooperação, inter-ajuda,
trabalho em equipa, organização. Dá ainda espaço para
reflectir sobre as ideias dos outros e para explicar e verifi-
car o seu raciocínio. No entanto, a realização de uma tarefa
de investigação/exploração com toda a turma (experiência
realizada pela primeira vez), parece-me ter tido o mérito de
permitir um alargamento das descobertas. A estratégia uti-
lizada por um aluno, para uma dada descoberta, é utilizada
por um maior número de colegas para gerar novas desco-
bertas. Esta estratégia permitiu ainda que os alunos assu-
missem individualmente as suas intervenções, o que é bas-
tante importante para o processo de ensino-aprendizagem.
Esta tarefa, talvez por ter a ver com a investigação de regu-
laridades simples, resultou plenamente numa aula de carác-
ter colectivo — muito para além das minhas expectativas
mais optimistas.
A professora
reconhece que
a interacção
entre os alu-
nos estimula-
os a descobri-
rem novas
relações.
A professora
argumenta
acerca da ade-
quação do tra-
balho de gru-
p
o à realização
de tarefas de
investigação.
A professora
indica como o
trabalho em
grande grupo
também pode
ser usado para
trabalhar tare-
fas de investi-
gação.
Maria Irene Segurado

Histórias de investigações matemáticas
66
E se os alunos seguem caminhos imprevistos?...
Era uma quarta-feira igual a muitas outras, mas eu sentia-
me ansiosa por ir dar a aula aos meus alunos do 6º D.
Antevia que esta iria ser um ‘sucesso’. A tarefa que tinha
preparado parecia-me ser bastante aliciante e, pelo que
conhecia dos meus alunos, previa que estes iriam sentir o
mesmo prazer que eu sentira, na véspera, ao explorá-la.
A tarefa, cujo título era Exploração com números, consis-
tia no seguinte:
Procura descobrir relações entre os números da figura
0 1 2 3
4 5 6 7
8 9 10 11
12 13 14 15
16 17 18 19
... ... ... ...
Como sempre, regista as conclusões que fores obten-
do.
Já na aula, dei aos alunos pequenas ‘dicas’ sobre o que
poderiam tentar observar (regularidades, como se compor-
tam na figura: múltiplos, divisores, números primos, qua-
drados perfeitos...) e todos os grupos começaram anima-
damente a trabalhar. Não era a primeira vez que eram con-
frontados com tarefas de investigação/exploração e por
isso mesmo tinham entendido o que se pretendia. Contudo,
continuei a ser solicitada constantemente pelos grupos, não
com o intuito de tirar dúvidas, mas para me revelarem as
descobertas feitas (em segredo, não fosse o grupo do lado
ouvir e estragar-lhes o ‘brilharete’ na hora da discussão!).
A professora
sente-se entu-
siasmada com
a tarefa a pro-
por aos alu-
nos.
A professora
dá algumas
sugestões
sobre aspes-
tos a observar
na situação
proposta.
Os alunos tra-
balham em
grupo, evi-
denciando
grande entu-
siasmo.

Histórias de investigações matemáticas
67
Várias descobertas foram surgindo:
Nas diagonais da direita para a esquerda os
números crescem de 3 em 3 unidades, da
esquerda para a direita de 5 em 5 unidades.
A tabuada dos 2 encontra-se na primeira e ter-
ceira coluna.
A tabuada dos 6 encontra-se na primeira e ter-
ceira coluna saltando sempre dois números.
Os números primos estão nas colunas ímpares, incri-
velmente o 2 está numa coluna par.
...
Em dado momento, o grupo do Bruno, Ricardo, Cândido e
Pedro chamou-me, mostrando grande entusiasmo. Haviam
conjecturado (palavra usada pelos próprios alunos) que se
os números se encontrassem arrumados em quatro colunas,
na primeira coluna teriam a tabuada dos 4; se estivessem
arrumados em 5 colunas teriam na primeira coluna a tabua-
da dos 5; se estivessem arrumados em 6 teriam a tabuada
dos 6, o que já tinham verificado.
Veja-se:
0 1 2 3 4
5 6 7 8 9
10 11 12 13 14
15 16 17 18 19
... ... ... ... ...
0 1 2 3 4 5
6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17
18 19 20 21 22 23
... ... ... ... ... ...
A professora
é frequente-
mente solici-
tada pelos
alunos para
lhe revelarem
as suas des-
cobertas.
Os alunos
identificaram
várias regula-
ridades.
Um grupo
estuda o que
acontece
quando se
altera o
número de
colunas, for-
mulando as
suas conjectu-
ras.

Histórias de investigações matemáticas
68
Este mesmo grupo tinha ainda descoberto que:
Nas diagonais da esquerda para a direita os
números crescem uma unidade em relação ao
número de colunas e nas diagonais da direita
para a esquerda decrescem uma unidade.
Notava-se claramente terem achado mais aliciante investi-
gar o que acontecia quando a arrumação dos números se
modificava, do que descobrir as relações existentes entre
os números apresentados na figura da ficha.
Fiquei um pouco apreensiva quanto ao que fazer. Uma
possibilidade era deixá-los continuar mesmo que na hora
da discussão não estivessem em sintonia com os colegas.
Uma actividade de investigação não é mesmo isso, ir para
além do que é previsível? Outra possibilidade era encami-
nhá-los novamente para a tarefa apresentada. Nesse caso,
não seria grande o risco de lhes cortar o prazer que esta-
vam a ter naquele momento?
Durante algum tempo, fui deixando que seguissem o cami-
nho escolhido, embora a validação das suas descobertas
me demorasse um pouco mais (não havia pensado neste
tipo de exploração em casa), o que perturbava de certo
modo o meu acompanhamento ao resto da turma.
A hora da discussão aproximava-se. Eu sabia que a ‘rique-
za’ do trabalho deste grupo não seria entendida pelos cole-
gas se deixasse que a sua divulgação fosse feita ao mesmo
tempo que a deles, pois estes estariam demasiado envolvi-
dos pelo estrutura da tarefa que lhes havia sido apresenta-
da. Pensei, então, que a melhor maneira de valorizar o tra-
balho destes alunos era dar-lhes um espaço para comunica-
rem à turma a sua pequena investigação, o que só seria
possível numa próxima aula.
Um grupo
escolhe uma
direcção de
trabalho dife-
rente da dos
restantes,
gerando
assim um
dilema à pro-
fessora.
As exigências
de acompa-
nhamento de
uma activida-
de diferente
colocam um
novo desafio
à professora
na gestão da
aula.
A professora
organiza o
momento des-
tinado à dis-
cussão dos
resultados.

Histórias de investigações matemáticas
69
Com alguma pena, dirigi-me então ao grupo, pedindo-
lhes que não se esquecessem de pensar também um
pouco sobre a figura inicial. Prometi-lhes que iriam
ter oportunidade de comunicarem aos seus colegas a
sua investigação.
No início da aula seguinte dei a palavra ao grupo. Foi
o Bruno o escolhido para relatar a investigação feita
no dia anterior. Os colegas da turma mostravam-se
atentos. Uma mal disfarçada rivalidade impedia-os,
no entanto, de se revelarem muito maravilhados com
a descoberta. Contudo, pareceu-me, pelo modo como
se comportaram na realização da tarefa seguinte e que
lhes foi proposta pelo Bruno — Que acontece quando
alteramos o número de colunas?, que tinham entendi-
do que investigar era ir para além daquilo que lhes era
pedido, era ter a liberdade de explorar outros cami-
nhos não indicados na tarefa.
Terminei a aula com um sentimento misto de realiza-
ção e de preocupação. De realização porque os alunos
tinham avançado no seu conceito de investigação, de
preocupação pelo novo desafio que um dia terei de
enfrentar: orientar uma turma em que grupos de alu-
nos avançam, independentemente, em direcções muito
diferentes nas suas investigações.
A professora
valoriza a
possibilidade
de os alunos
explorarem
uma tarefa de
investigação
em diversas
direcções.
Maria Irene Segurado

Histórias de investigações matemáticas
70
Matemática por conveniência ?!
Encontramo-nos numa aula do 8º ano. Os alunos, sentados
em grupo, estão a iniciar o estudo das potências de expoen-
te inteiro com base numa ficha que lhes foi entregue. Ati-
ram-se com afinco às primeiras expressões numéricas apre-
sentadas:
1. Recorda as regras do cálculo com potências e apli-
ca-as sempre que possível às seguintes expressões:
• 105 : 102 • 23 + 24
• 24 x 34 • 32 - 33
• (-12)6 : 26 • 3n x 2n
• (-5)3 : (-5)3 • a5 : a5
A Teresa, a professora da turma, comenta, com algum
orgulho, eles são bons nisso. Ultrapassam com facilidade
as multiplicações e as divisões em que apenas se pode
aplicar uma regra, derrapam ligeiramente na adição e na
subtracção de potências e, finalmente, surpresa das surpre-
sas, vêem-se perante uma potência de expoente nulo. Para
alguns alunos não há grande problema porque consideram
que (-5)0 é -5, para outros é zero mas, para alguns, é 1.
Pois, tal como a professora retoricamente questiona em
alguns grupos, como é que podia ser outra coisa se apli-
cando a regra da divisão de potências com o mesmo
expoente obtinham 13, que é 1?
Os grupos avançam para a questão 2, esperando alguns
deles que a professora venha arbitrar as divergências exis-
tentes.
2. Nota que nos dois últimos casos da questão
anterior podes aplicar tanto a regra do quociente
de potências com a mesma base
A professora
manifesta
confiança nas
competências
de cálculo dos
alunos.
A professora
intervém para
clarificar o
significado
matemático
de uma nova
designação.

Histórias de investigações matemáticas
71
como a do quociente de potências com o mesmo
expoente.
• Que resultados obténs aplicando as duas
regras?
• Experimenta com outros exemplos idênticos
aos anteriores. O que poderás concluir acerca
do valor de a0?
Uma das alunas, a Sara, perante a força dos argumentos do
seu próprio trabalho, vê-se obrigada a responder que a0 é 1
mas, com uma enorme dose de cepticismo. Questiona-se
sobre o significado de elevar um número a zero: Nós sabe-
mos que 32 é 3 vezes 3, mas o que é ‘a’ elevado a zero?
Não tem sentido!
Pois é, não tem sentido! Como explicar a miúdos de 13/14
anos que as potências que até aqui eram, simplesmente,
uma forma abreviada de escrever o produto de um certo
número de factores iguais passem, agora, a ser outra coisa?
Contudo, para alguns alunos isso não representa problema
algum porque têm uma ferramenta poderosa para esclare-
cer as dúvidas. Dá sempre 1, eu já sei experimentei com
500, e isso, e dá sempre 1, diz satisfeito o Rui. E justifica
que é assim na sua calculadora, olhe aqui stôra, 39 elevado
a zero dá ... 1, mostrando com visível satisfação o resulta-
do. A professora questiona-os sobre a conclusão a tirar,
uma vez que até ali o grupo dividia-se entre os que diziam
que o resultado era zero e os que diziam que era 1.
Profª: Então qual é a conclusão que tiram daqui?
Aluno: Que qualquer número elevado a zero dá 1.
Profª: Estão convencidos ou não?
Alunos: Estamos.
Profª: Aqui a máquina do Rui ajuda a tirar as conclusões.
A aluna pro-
cura integrar a
nova designa-
ção nos seus
conhecimen-
tos sobre
potências.
A calculadora
é encarada
pelos alunos
como um ins-
trumento faci-
litador.
A professora
arbitra as
divergências
num grupo.
Os alunos
confiam nos
resultados
obtidos a par-
tir da calcula-
dora.

Histórias de investigações matemáticas
72
A autoridade da máquina na confirmação dos resultados é
inquestionável e por isso quem não tem uma calculadora
científica sente alguma inveja dos colegas que as possuem:
A minha máquina é uma porcaria não dá para fazer isso!
afirma desconsoladamente a Mariana.
Como se poderão contornar estas dificuldades aquando da
discussão da ficha na aula seguinte? Trata-se de uma con-
venção, afirma a professora, não há outra forma de expli-
car. Pensámos, então, usar a dúvida da Sara para abanar as
convicções dos que não foram tão críticos como ela.
Chegou o grande momento! Os alunos já escreveram o
sumário, sossegaram após o reboliço normal da entrada na
sala. A professora refere então que vão conversar sobre a
ficha do dia anterior mas que é necessário ordem nas suas
intervenções, não podem falar todos ao mesmo tempo! E
os alunos levaram a peito esta admoestação... Pelo menos,
enquanto se conseguiram controlar. ‘É que às vezes é tão
difícil esperar pela nossa vez quando achamos que temos
mesmo a resposta para o colega do lado.’ A Vânia, por
exemplo, a certa altura, impaciente por dar a sua opinião, e
vendo que o Diogo se expressava com dificuldade, inter-
rompe:
Vânia: O que ele quer dizer ...
Profª: O que ele quer dizer só ele sabe!
Vânia: Pois.
Profª: Então deixem-no falar. Continua Diogo!
Voltemos então ao início da aula. A professora começa por
tentar levar os alunos mais fracos a participar perguntando-
lhes acerca dos aspectos que eles consideram mais impor-
tantes desta ficha. Perante o silêncio desses alunos, ques-
tiona-os: Já sabias tudo? Não surgiu nada de novo? Após
alguma insistência da sua parte surgiram
A professora
interroga-se
sobre a
melhor forma
de explicar o
significado de
‘potência de
expoente
nulo’.
Antes de ini-
ciarem a dis-
cussão da
ficha, a pro-
fessora dá
indicações de
como os alu-
nos devem
intervir.
A professora
insiste em
questionar a
turma sobre o
significado de
a0.

Histórias de investigações matemáticas
73
algumas ideias e chegaram à conclusão de que a0 deveria
ser 1. E agora era a ocasião crucial: Ninguém teve dúvidas
em generalizar isto. Toda a gente concorda?
‘E se ninguém dissesse nada, Teresa? Como seria?’ Bom,
mas disseram. A Sara expressa novamente a sua perplexi-
dade: Eu não percebo. Como é que um número qualquer
elevado a zero dá 1?. A professora não lhe responde e
remete a questão para a turma: Quem é que quer convencer
a Sara? Alguns alunos pensam que é tarefa fácil afirmando
que a máquina diz que sim. A professora afasta a ideia de
utilização da máquina e pede-lhes justificações.
Muitos alunos querem participar e explicar como chegaram
a essa conclusão utilizando as duas regras da divisão de
potências. Enquanto vários alunos tentam explicar, a Joana
estende o braço e assim continua por longos instantes à
espera de dizer que, do seu ponto de vista, nada de novo se
tinha acrescentado. Finalmente, vê chegar a sua vez: Stôra
eu acho que ... Pronto, já provámos que quando o expoen-
te é zero é igual a 1, mas eu também não estou propria-
mente convencida. É entretanto interrompida pelo Diogo
que começa a falar tendo o braço no ar. A professora inter-
vém para que a Joana termine o seu raciocínio. A aluna
retoma no ponto em que estava: Mas não se trata de estar
convencida, trata-se que não tem sentido nenhum porque
45 vezes zero... Aí foi o descalabro total, os seus colegas
não se podiam conter, ‘então a Joana não sabe que 450 não
é 45 vezes zero?’ Claro que sabe, os colegas é que não
sabem o que ela quer dizer. Mas ela explica:
Joana: 452 é igual a 45 vezes 45, certo? Mas se não temos
nenhum número (no expoente) se fizermos zero dá zero.
Mariana: Eu também acho.
Diogo: Então achas que 450 é o mesmo que 451?
A professora
remete a ques-
tão da aluna
para a turma.
A professora
alerta de que a
calculadora
não é um ins-
trumento ade-
quado para
justificar a
questão.
A participa-
ção desorga-
nizada da
turma leva a
professora a
intervir para
que uma aluna
conclua o seu
raciocínio.
A aluna repor-
ta-se ao signi-
ficado de
potência que
lhe é familiar
para explicar a

Histórias de investigações matemáticas
74
Joana: Não!
E assume o ar de quem está farta de ouvir o que já sabe
muito bem.
A professora vem em seu auxílio e afirma concordar quan-
do ela diz que parece um pouco artificial concluir da apli-
cação das duas regras que um número elevado a zero seja
1: É um bocado forçado porque eu tenho uma parcela que
nunca se repete. Continua a haver vários alunos a pedirem
para intervir. Nesse momento o Pedro consegue-se fazer
ouvir: Tem que haver zero porque é a passagem para os
negativos. Vai-se dividir por 3... Recorda, assim, a questão
3.
3. Considera agora a sequência:
81 27 9 3 1 1/3
1/ 9 1/27...
• Qual é a lei de formação dos termos desta
sequência?
• Representa os termos indicados sob a forma de
potências de base 3.
• Serás capaz de encontrar uma expressão gera-
dora que represente todos esses termos?
A professora pega na deixa do aluno e escreve no quadro a
sequência que aparece na ficha e por baixo desta escreve
33, 32, 31, , 1/31, 1/32, 1/33. Propositadamente deixa
em branco o termo correspondente a 30 e refere que come-
çando com os expoentes positivos chegaria uma altura em
que eu não saberia o que haveria de escrever. Pergunta
logo de seguida à turma: Mas qual é a justificação para
que seja 30=1?
A Joana estava novamente com o braço levantado mas
acabou por ser o Pedro novamente a explicar que isso esta-
va relacionado com as sucessivas divisões por três. Era
uma ideia interessante na qual a professora não pegou
devido a uma afirmação algo perturbadora da Joana: Stôra,
então a resposta do Pedro, 30 é por conveniência?!
dificuldade
em aceitar que
a0 seja 1.
A professora
reconhece a
pertinência da
dúvida das
alunas.
Um aluno usa
a questão
seguinte da
ficha para
convencer as
suas colegas.
A professora
utiliza a
sugestão do
aluno.
A aluna iden-
tifica, com
uma certa

Histórias de investigações matemáticas
75
Estaria a aluna convencida ou vencida? E os restantes alu-
nos? Ficaria neste momento a imagem de que a Matemáti-
ca se molda a nosso belo prazer?
A professora resolve então provar que a0 não poderia ser
outra coisa senão 1, recorrendo ao caso geral, com letras,
como eles costumam dizer. Chama-lhes a atenção para
que: eu trabalhei sempre com letras portanto é válido para
qualquer número. Sente-se confiante de que os alunos não
só entendem o que quer dizer como sabem que isso corres-
ponde a uma demonstração. Eu própria tive, aliás, oportu-
nidade de os ouvir dizer durante a realização da ficha, por
exemplo, que a representava qualquer número ou que n era
um número natural qualquer e que -n seria um inteiro
negativo. Generalizar não constitui um obstáculo para a
maioria destes alunos.
Tal como já tinha feito durante a realização da ficha, a Ana
raciocina com os alunos sobre o facto da mesma expressão
numérica não poder ter dois resultados diferentes por se
terem aplicado duas propriedades e, pegando na expressão
da Joana, afirma: Ou seja é conveniente convencionar que
a0= 1, senão teríamos que dizer que estas regras são váli-
das só em alguns casos e isso não daria jeito nenhum!
Observa-se uma acalmia generalizada e aparentemente os
alunos estão satisfeitos com as justificações apresentadas.
Ainda é proposta pela professora uma discussão sobre as
potências de expoente negativo que encontraram na ficha.
Pegando na intervenção de um aluno a professora aprovei-
ta para sublinhar que também os expoentes negativos são
uma invenção do homem, não surgem por aí na Natureza.
incredulidade,
uma conven-
ção na Mate-
mática.
É consensual
na turma que
a generaliza-
ção deve ser
estabelecida
através da
prova.
A professora
aprofunda o
significado do
termo ‘con-
venção’.
A Matemática
é apresentada
aos alunos
como uma
criação huma-
na.

Histórias de investigações matemáticas
76
No ensino secundário perguntei muitas vezes aos alunos por
que motivo a0 é 1. Nunca obtive resposta. Mas o que sem-
pre me surpreendeu foi o facto de não se sentirem incomo-
dados com esse desconhecimento. Podia ser tentada a dizer
que os alunos desta turma do 8º ano nunca se irão esquecer
por que é que a0 é igual a 1, mas esse não é, segundo me
parece, o aspecto mais relevante. Um dos grandes ganhos
destas duas aulas foi a oportunidade que os alunos tiveram
de questionar o sentido e a validade dos conceitos matemá-
ticos e serem confrontados com uma visão da Matemática
como conhecimento que se constrói.
Hélia Oliveira

Histórias de investigações matemáticas
77
Quando os expoentes se tornam negativos
Essa foi a segunda vez nesse ano lectivo que os alunos des-
ta turma, do 8º ano, se viram confrontados com uma acti-
vidade a que não só a professora dava destaque especial,
mas que contava também com a presença de um elemento
estranho, observando atentamente, e preparado para regis-
tar os seus movimentos e as suas palavras através de todo
um aparato tecnológico: câmara de filmar, microfone na
lapela da professora, caderno e lápis. As expectativas eram,
por isso, à partida grandes. A pequena introdução da Isa-
bel, a professora, contribuiu para aumentar o ‘suspense’:
Requere-se muita atenção porque vocês vão
detectar novidades nesta ficha para aumentar a
vossa bagagem científica sobre operações com
potências. Essas novidades não sou eu que as
vou transmitir mas são vocês que as vão detec-
tar.
A motivação para a realização da ficha foi conseguida.
Eles queriam mesmo era receber a ficha para saber que
novidade viria ali, comentou a professora posteriormente.
Existiam alguns receios por parte da Isabel quanto ao
desempenho dos alunos uma vez que estavam envolvidos
novos conteúdos. Nesta ficha, segundo ela, nada lhes é
apresentado como receita... mas eles com os conhecimen-
tos que já têm, anteriores, vão fazer um cozinhado novo.
Esta ideia de que se tratava de uma situação nova para os
alunos esteve bastante presente, por exemplo, quando
numa conversa anterior disse, eles vão inferir o alarga-
mento das regras de cálculo às potências de expoente
negativo, e ainda na aula ao afirmar, pois é isso que vocês
vão descobrir, quando lhe pediam orientação directa quan-
to ao conteúdo.
A professora
cria uma
atmosfera de
expectativa na
turma.
A professora
procura que o
alargamento
da noção de
potência seja
feito por des-
coberta.

Histórias de investigações matemáticas
78
A professora começou por rever com os alunos o que
representavam os símbolos N e Z e referiu que poderiam
representar um elemento do conjunto N por um n minúscu-
lo e um elemento de Z por k minúsculo. Recordou ainda o
que são números simétricos e as propriedades das opera-
ções com potências. Era sua intenção falar também sobre
números inversos mas achou que estaria a gastar demasia-
do tempo necessário para a realização da ficha.
A ficha foi distribuída logo de seguida e os alunos começa-
ram a trabalhar suavemente, mas mal nos demos conta, já a
professora, ou melhor dizendo, as professoras andavam
numa ‘roda viva’. Ainda que os alunos não solicitassem de
forma insistente a presença da professora, reconhecia-se
que, praticamente em todos os grupos, a sua chegada era
recebida com bastante agrado. Havia necessidade de resol-
ver as várias diferenças de opinião!
A professora num grupo:
A1: Oh, professora venha cá! Não está bem esta aqui?!
P: Ora bem, que propriedade aplicaste aqui?
A1: Dividi este por este.
A2: Não é, não!
P: Dividiste este por este. São iguais ou diferentes?
A1: São iguais.
A2: Mas se são iguais mantém-se a base e multiplicam-se
os expoentes!
A3: Não é, não.
P: Espera, calma aí! Mas ele queria dividir um pelo outro.
Também pode fazer ...?
A professora
recorda algu-
ma terminolo-
gia sobre con-
juntos já
conhecidos
dos alunos.
As diferenças
de opinião no
grupo são
arbitradas pela
professora.
A professora
leva os alunos
a reflectirem
sobre as pro-
priedades de
que fizeram
uso.

Histórias de investigações matemáticas
79
Havia agora que decidir o caminho por onde seguir, por
onde queres ir ? e chegar a um entendimento sobre o
enunciado das propriedades.
Entretanto outros desentendimentos surgiram num outro
grupo. Tratava-se já da terceira questão e não havia con-
senso sobre a forma de representar os termos indicados
como potências de base 3. Após uma breve conversa com
eles para se aperceber do que estava a acontecer, interroga-
os:
P: Que dizem os restantes elementos do grupo ?
A1: Digam que concordam porque eu acho que é assim.
A2: Como é que se faz aqui em 3-3 ... ?
P: Diz a Ana que é 3-3, e os demais do grupo o que dizem?
Vê lá se convences os teus colegas!
A1: Pois. Convenço ...
E parece que convenceu mesmo. A professora recorda que
a Ana foi a primeira no grupo a demonstrar segurança
quanto à escrita da potência com expoente negativo, apesar
de inicialmente ter sido um outro aluno a sugerir a sua uti-
lização: ela é que deu uma ajudinha no grupo... Ele já
tinha visto, mas a Ana conseguiu teimar mais... Existiu,
pois, um forte estímulo por parte da professora para que os
alunos tomassem decisões quanto ao decurso do seu traba-
lho e decidissem sobre a validade das afirmações proferi-
das no grupo.
A aula foi correndo com um empenho constante por parte
dos alunos:
Eu vi que eles trabalharam. Até aqueles que tra-
balham pouco nas (outras) aulas. Estavam entu-
siasmados... com dificuldades, sempre, mas tam-
bém eram empurrados pelos colegas do
Ao chegar ao
grupo, e antes
de intervir, a
professora
tenta com-
preender a
situação em
que os alunos
se encontram.
A professora
procura que a
veracidade da
afirmação da
aluna seja
sujeita ao
escrutínio do
grupo.
A professora
realça que o
empenho dos
alunos man-
tém-se durante
toda a activi-
dade.

Histórias de investigações matemáticas
80
próprio grupo... Fiquei contente com esse aspec-
to.
Mas, claro, também surgiram algumas dificuldades. Estas
foram semelhantes na generalidade dos grupos. Notou-se
que alguns dependiam da ajuda da professora para ultra-
passarem as questões mais difíceis. Em relação a um dos
grupos que a professora considera ser mais dependente,
referiu mesmo que o facto de não avançarem se devia ao
receio de errarem: parecia-lhes que a seguir ao zero deve-
ria ser o -1, só que também achavam que era algo de novo
e estavam receosos de arriscar.
As sugestões que a professora sentiu que foram mais úteis
não tinham sido previstas antecipadamente uma vez que
como afirma: era uma surpresa, não sabia bem como é que
eles iriam reagir. Estas foram-lhe surgindo à medida que
os alunos iam colocando questões e manifestando algum
tipo de bloqueio. Aconteceu mesmo usar, com aparente
sucesso, em diversos grupos, uma sugestão que lhe ocorreu
a partir do trabalho já realizado por um certo grupo: há
coisas que surgem na altura. Até os próprios alunos
podem ajudar a orientar os outros.
Ao conversarmos sobre esta aula ficámos com a sensação
de que na questão 3 alguns grupos teriam escrito a sequên-
cia de potências de base três mas seguindo apenas a regula-
ridade nos expoentes e não tendo em conta a relação com o
termo da sequência inicial. Tínhamos dúvidas se os alunos
escreveriam a mesma sequência se lhe tivéssemos apresen-
tado inicialmente, por exemplo, a sequência 81; 27; 9; 3; 1;
0,3; 0,27; 0,81. A Isabel achava que uma situação destas
para introdução seria muito complicada, no entanto, a inse-
gurança quanto às conclusões a que alguns alunos tinham
chegado levou-a a pensar cuidadosamente na orientação da
discussão a ter lugar na aula seguinte.
A professora
considera que
alguns dos
alunos pouco
autónomos
não avançam
na tarefa por-
que têm medo
de errar.
Algumas das
sugestões que
a professora
dá aos alunos
surgem-lhe na
própria aula.
A professora
mantém algu-
mas dúvidas
quanto à apro-
priação da
noção de
potência de
expoente
negativo pelos
alunos.
A discussão
da tarefa é
cuidadosa-
mente prepa-
rada pela pro-
fessora.

Histórias de investigações matemáticas
81
A aula de discussão iniciou-se com a escrita do sumário:
conclusão da ficha número três. Imediatamente se ouviram
reclamações de alunos que afirmavam já ter concluído.
A professora começou por recordar algumas das dificulda-
des manifestadas pelos alunos na última questão, nomea-
damente quanto ao significado de ‘inverso’. Em seguida
construiu uma tabela no quadro com a sequência da ques-
tão 3, algumas linhas abaixo, de modo a escrever cada ter-
mo de várias maneiras. Por exemplo, 1/9 aparecia, por
sugestão dos alunos, como (1/3)2, 1/32, 9-1 e 3-2. Daí pro-
curou que os alunos dissessem como se relaciona 3-2 com
1/32. A Andreia disse que 1/32 é o inverso de 3 com
expoente 2. A professora pareceu satisfeita e procurou,
então, que concluíssem genericamente, o que alguns alunos
conseguiram fazer: é o inverso da base e o simétrico do
expoente.
Finda a aula e após o teste escrito que abrangeu estes con-
teúdos a Isabel manifesta a sua satisfação pelos bons resul-
tados obtidos pelos alunos. A aula de discussão foi, do seu
ponto de vista, determinante para a boa compreensão que
os alunos manifestaram acerca deste assunto. Comparando
com o método que utiliza vulgarmente para introdução
deste tema (uma exposição oral), a professora considera
que este terá um maior sucesso por absorver a atenção dos
alunos, envolvendo-os na aprendizagem. A prova de que
sente que foi um trabalho produtivo é que pensa vir a usar
novamente esta ficha no próximo ano.
Os alunos
consideram a
ficha concluí-
da mesmo
antes de ser
discutida.
Os alunos
representam
de diversas
formas potên-
cias de
expoente
negativo.
A professora
considera a
discussão da
ficha um
momento mui-
to importante.
A professora
pretende vir a
usar novamen-
te esta tarefa
na introdução
do estudo das
potências de
expoente
negativo.
Hélia Oliveira

Histórias de investigações matemáticas
82
E os fósforos transformaram-se em palitos
Há alguns dias atrás tinha apresentado à Isabel, professora
de Matemática do 8º D, uma tarefa de investigação. Pen-
sámos ser uma proposta motivadora, passível de ser abor-
dada de diversas formas, numérica ou geometricamente, e
que poderia dar azo a explorações adicionais pelos alunos.
Chegou então o dia de ser apresentada à turma.
• Quantos fósforos foram utilizados na constru-
ção deste quadrado?
• Investiga quantos fósforos são necessários para
construir qualquer quadrado deste tipo.
No final dos 50 minutos, em que pude deambular livremen-
te pela sala e interagir com os alunos, pedi à Isabel que me
relatasse, em termos gerais, as suas impressões desta aula.
Tinha havido muitas surpresas: ninguém tinha utilizado um
método geométrico para construir uma expressão geral do
número de fósforos em cada figura; os grupos mais prome-
tedores, do seu ponto de vista, não conseguiram fazer essa
generalização; um grupo de cinco alunos, quatro dos quais
manifestam algumas dificuldades de aprendizagem, estando
até propostos para avaliação sumativa extraordinária, apre-
sentaram a expressão geral pretendida. Além do mais:
Aquele grupo da Noemi, do Lucas e do Frederico
foi o que custou mais a arrancar porque estavam
indecisos nesta pergunta do investigar o número
de fósforos para construir qualquer quadrado. A
Noemi chamou-me porque não sabiam o que
fazer. Foi curioso que no final foi o grupo que
foi mais longe e conseguiu generalizar.
A professora
considera a
tarefa bas-
tante prome-
tedora por
permitir
abordagens
diversas.
A professora
mostra-se
surpreendida
com as estra-
tégias segui-
das e o traba-
lho produzi-
do pelos alu-
nos.
A dificuldade
inicial de um
grupo de alu-
nos mais fra-
cos não os

Histórias de investigações matemáticas
83
Já em relação ao grupo em que se encontravam alunos com
muito bom aproveitamento e em que um dos membros, o
André, é considerado pela professora como tendo uma
aptidão extraordinária para a Matemática e, em especial,
para as investigações, as impressões iniciais eram outras:
Agora o grupo do André entenderam logo o que
se pretendia com esta pergunta, ao contrário do
outro grupo. Começaram logo a analisar, a criar
a sequência por ali abaixo, a ver as relações que
existiam, identificaram os múltiplos de quatro.
Foram muito rápidos.
Apesar de um bom começo este grupo não apresentou a
expressão geral no final da primeira aula e o inesperado
aconteceu — o grupo do Lucas antecipou-se.
Mas voltemos ao princípio e vejamos como decorreram os
acontecimentos. A Isabel começou a aula, após o habitual
sumário, recordando uma tarefa do manual que tinham
resolvido há alguns meses atrás. Tratava-se ali de identifi-
car a expressão geradora da sequência das áreas de certos
quadrados. Contudo, no trabalho proposto para esta aula
existia uma dificuldade acrescida: Aqui não está nenhuma
sequência, vão vocês descobri-la e construí-la.
Para ajudar os alunos a realizar esta tarefa relembra a
importância de efectuarem um registo completo e organi-
zado do trabalho: Até para sabermos como cada grupo
resolveu, porque podem ter seguido processos diferentes.
Indica também que a utilização de tabelas pode ser útil tal
como viram na tarefa do manual. E depois, ‘mãos à obra’!
impediu de
serem os pri-
meiros a con-
cluir a inves-
tigação.
Ao invés, o
grupo com os
melhores alu-
nos iniciou
rapidamente a
investigação
mas não a
concluiu.
A professora
relaciona esta
tarefa com
outra que
tinham reali-
zado ante-
riormente.
A professora
fornece algu-
mas sugestões
quanto à orga-
nização da
investigação
dos alunos.

Histórias de investigações matemáticas
84
Registou-se alguma confusão em quase todos os grupos
assim que passaram a considerar a segunda questão:
O que é um quadrado deste tipo?; O número de
fósforos para construir cada quadrado é no
mínimo quatro. É isso que a professora quer?;
Não estamos a perceber o que é para fazer.
Depois de ter sido prestado auxílio em todos grupos, com
excepção daquele em que se encontrava o André, lá come-
çaram de forma mais ou menos organizada, consoante os
grupos, a contar o número de fósforos existentes num qua-
drado de lado 1, 2, 3...
Depois dessa primeira volta a professora retorna ao grupo
do Lucas e eles comunicam-lhe que decidiram fazer uma
tabela. Persistem, porém algumas dúvidas: O que contam
são as cabeças dos fósforos ou os pauzinhos? Tendo sido
esclarecidos quanto a essa questão de ‘identidade’, um dos
alunos retoma a ideia da tabela: Stôra podemos deixar isto
e fazer antes uma tabela?! A professora incentiva-os nesse
sentido e eles explicam o que pretendem fazer:
A1: Nós estamos a pensar construir uma tabela com, por
exemplo, um quadrado que tenha um fósforo de lado. Tem
sempre quatro fósforos e assim sucessivamente.
P: Exacto.
A2: E depois um quadrado com dois fósforos de lado
terá... doze fósforos na...
P: No total, exacto.
A2: Na sua construção.
Pronto, e lá continuaram a trabalhar.
O grupo do André é, finalmente, visitado pela professora.
P: E então aqui como vamos nós?
Perante algu-
ma dificulda-
de de interpre-
tação da tare-
fa, a professo-
ra apoia direc-
tamente os
grupos.
A professora
percorreu
todos os gru-
pos para se
inteirar do que
estavam a
fazer.
Os alunos dão
a conhecer à
professora a
estratégia que
pensam
seguir, e esta
incentiva-os a
continuarem.

Histórias de investigações matemáticas
85
A1: A gente já descobriu que isto é assim, stôra: 4, para
chegar ao segundo quadrado que é 12, temos que acres-
centar 8; o 12 para chegarmos a 24, temos que acrescen-
tar 8+4; o 24 para chegar ao 40 temos que acrescentar
12+4; o 40 para chegar ao próximo temos que acrescentar
16+4; o 60 para chegar ao próximo, ao quadrado de 6,
temos que acrescentar 20+4, vai dar 84 e depois o séti-
mo...
P: (interrompendo) Então acrescentam sempre que tipo de
número?
A1 e A2: A diferença dos dois números anteriores mais 4.
P: Aqui adicionei 8, 12, 16... Que tipo de números são
esses?
A1: São múltiplos de quatro.
A Isabel questiona-os então sobre o caminho a seguir para
generalizar o número de fósforos em cada figura. O André
afirma positivamente e com grande confiança: Ah! Isso já
se arranja! A professora ainda sugere que comparem os
números na sequência que obtiveram com o número de fós-
foros que utilizam em cada lado do quadrado e questiona-
os sobre a variável que irão usar na expressão geral.
Após mais uma volta pelos grupos, retorna ao grupo do
Lucas onde continuavam numa grande azáfama a construir
a sua tabela, embora não tivessem ainda passado do qua-
drado com três fósforos de lado. A sua grande preocupação
era encontrar a expressão geral — a que chamaram equação
— que nos conseguisse fazer uma sequência de quantos
fósforos precisávamos para construir (cada figura). A pro-
fessora sugere-lhes que vejam ainda, pelo menos, o qua-
drado com quatro fósforos de lado e dirige-se rapidamente
ao grupo do André.
Os alunos
explicam à
professora as
relações que
encontraram.
A professora
dirige a aten-
ção do grupo
para a neces-
sidade de
obter uma
generalização.
Um outro gru-
po procura
uma expres-
são geral, mas
a professora
sugere um
alargamento
da experimen-
tação.

Histórias de investigações matemáticas
86
Com o enorme entusiasmo que sempre o caracteriza, o
André apresenta a expressão que escreveram, n +(n - n1 )
+ 4. Perante a complexidade da fórmula a professora
detém-se na sua análise e vai pedindo explicações aos alu-
nos. De facto, conseguiram formalizar a ideia inicial apre-
sentada mas o problema para a professora era que se trata-
va de uma expressão por recorrência. Perguntou-lhes como
poderiam, desta forma, determinar o número de fósforos
utilizados num quadrado de dez de lado:
P: E vocês nessa expressão têm o n1, qual seria o n1?
A1: n1 é o 9.
P: Sim e vocês não sabem. Portanto...
A2: (interrompendo) Sabemos, stôra!
P: Então quantos fósforos são utilizados com nove de
lado?
A3: Temos que fazer todos.
P: Pois é isso, tinham que fazer os outros todos.
A2: A gente pensa.
Insta com eles para procurarem uma expressão ainda mais
genérica em que não seja necessário conhecer o número de
fósforos da figura anterior. E ficam a pensar nisso.
Entretanto a professora ao dar mais uma volta à turma
começa a ser insistentemente chamada pelo grupo do
Lucas: Descobrimos, descobrimos! Perante tal onda de
euforia, dirige-se ao grupo com uma expressão na qual
pude ler um misto de censura pelo barulho que faziam e de
cepticismo quanto às suas consecuções. Mas não havia
dúvida, os alunos tinham mesmo encontrado um processo
de representar todos os números da sequência e explica-
vam-no claramente e com visível satisfação. Tinham a con-
fiança de que estavam certos expondo todo o
Ao verificar o
trabalho do
grupo a pro-
fessora pede-
lhes que indi-
quem o signi-
ficado dos
termos da sua
expressão.
A professora
confronta os
alunos com as
limitações da
definição por
recorrência da
sequência.

Histórias de investigações matemáticas
87
seu trabalho à professora. Mas, afinal, o que fizeram eles
durante aqueles cerca de 40 minutos?
Nem foi preciso perguntar-lhes porque eles quiseram logo
contar. Construíram uma tabela vertical e começaram por
olhar só para a segunda linha procurando relações entre
cada número e o seguinte, mas sem sucesso. Depois
alguém se lembrou de dividir o número total de fósforos de
cada quadrado pelo número de fósforos de lado e acrescen-
taram os resultados obtidos numa terceira linha: 4, 6, 8,
10... Curiosamente, só perceberam que tinham chegado à
expressão depois, porque decidiram multiplicar a primeira
linha pela terceira e obtiveram — como não podia deixar de
ser — o número total de fósforos.
Quando a professora chegou ao grupo, já era claro para
todos eles que bastava multiplicar cada elemento da pri-
meira linha pelo elemento da terceira para obter o número
pretendido e que a sequência da terceira linha era consti-
tuída pelos números pares começando em quatro. Daí até à
expressão geradora não foi preciso mais do que um empur-
rãozinho pedindo-lhes, por exemplo, que representassem
os números pares.
E por aqui terminou a primeira aula. Agora era preciso
reflectir sobre o que tinha acontecido e pensar como se
poderia ajudar, na próxima aula, os alunos que estavam
num impasse. Será que o sucesso deste grupo poderia con-
tribuir para tal? A Isabel pensava que sim. Este grupo tinha
identificado facilmente a sequência de números pares que
designou 2l, representando l o número de fósforos por
lado. Talvez os outros grupos precisassem também de
recordar alguma coisa sobre sequências, assunto que tinha
sido tratado já há quatro meses atrás.
No início da segunda aula, a professora recordou com a
turma algumas sequências familiares, entre elas a dos
números pares. Depois ficou à espera para ver o que
Os alunos
tomam a ini-
ciativa de
explicar o
processo que
os levou à
relação pre-
tendida.
A professora
presta alguma
ajuda para que
os alunos
escrevam a
expressão
geral da
sequência.
A professora
planeia dar
algumas indi-
cações à tur-
ma relaciona-
das com o
processo
seguido pelo
grupo.

Histórias de investigações matemáticas
88
acontecia, ou quase. Após cerca de trinta minutos quase
todos os grupos tinham pegado na sequência dos números
pares e chegado à expressão pretendida. Foi assim também
no grupo do André?
Não. Houve uma fragmentação no grupo que os levou por
caminhos diferentes. Metade do grupo aproveitou a dica da
professora, mas o André estava nitidamente interessado em
seguir a sua linha de raciocínio. Junto com a colega ao seu
lado, que é quem tem maior facilidade em o acompanhar,
embrenharam-se na figura e procuraram contar os fósforos
de uma maneira organizada: o interior, linhas e colunas, e
o exterior. Obtiveram então a uma outra expressão, algo
complicada: l x (l - 2 + l) + (l x 4). No final todos tinham
conseguido chegar onde queriam.
A hora da apresentação chegou e, desta vez, muitos alunos
levaram o seu papel muito a sério, tanto quem apresentava
como quem ouvia. Durante toda essa aula, o grupo do
Lucas assumiu uma postura inquiridora colocando várias
perguntas para verificar até que ponto os seus colegas dos
outros grupos tinham percebido o que tinham feito. Os ter-
mos, a ordem, as diversas sequências e o que representa-
vam nas figuras tinham que estar na ponta da língua. Sim,
porque para o Lucas e os seus colegas, sempre em unísso-
no, esta era uma actividade tão interiorizada que os fósfo-
ros já se tinham ‘transformado’ em palitos e, perante a cor-
recção apressada de outros colegas, responderam com a
maior das descontracções: tanto faz. Será caso para dizer
que os ‘fracos’ se transformaram em ‘fortes’ ?
A professora deu espaço e estimulou a que tal acontecesse.
De facto, segundo ela, esta aula constituiu um momento
especial para os alunos se expressarem matematicamente.
A comunicação do processo que cada grupo seguiu, o
questionamento mútuo e a justificação são aspectos que
considera bem conseguidos.
As sugestões
fornecidas
pela professo-
ra mostram-se
úteis para a
generalidade
dos grupos.
Dois alunos
optam por
continuar a
investigação
num sentido
diferente
daquele que a
professora
sugeriu.
Alguns alunos
questionam os
colegas à
medida que
apresentam o
seu trabalho.
A professora
promove a
discussão pro-
curando valo-
rizar a comu-
nicação entre
os alunos.

Histórias de investigações matemáticas
89
Mas como reagiram os outros alunos à apresentação do tra-
balho do André? Tal como recorda a Isabel: Um silêncio
absoluto perante a sua fórmula do número de fósforos!
Eles gostam muito de o ouvir porque tem sempre coisas
diferentes para dizer. O André teve assim também o seu
momento de glória. Os alunos saíram satisfeitos porque,
afinal apesar de terem seguido por caminhos diferentes,
chegaram todos ao mesmo ponto: a desejada expressão
para o número de palitos. Perdão, fósforos!
Os alunos
ouviram o seu
colega com
muita atenção.
Hélia Oliveira

Histórias de investigações matemáticas
90
Um problema com muitas soluções
O 8º B é uma turma com alunos muito fracos. É uma tur-
ma difícil, não porque sejam muito indisciplinados, mas
porque são alunos com dificuldades de aprendizagem,
sem hábitos de trabalho, pouco interessados e com pouca
autoconfiança, sendo muito difícil ter um bom ambiente
de trabalho na aula. Estão constantemente a procurar
dizer graças uns aos outros, intervêm despropositadamen-
te, procuram no ensino uma lista de receitas mostrando
muita dificuldade em desenvolver raciocínios próprios.
No primeiro período, o insucesso a Matemática foi de
68%.
Há poucas aulas atrás estivemos a resolver problemas de
aplicação do Teorema de Pitágoras, retirados do manual
adoptado. Foi assim que chegámos ao seguinte problema:
a. Calcula e compara as medidas das diagonais das
duas caixas.
b. Encontra as dimensões de outros pares de caixas
cujas medidas das arestas sejam números inteiros e
tenham diagonais com o mesmo comprimento.
Há pelo menos mais três soluções com dimensões
inferiores a 10 unidades.
4
5
62
3
8
A professora
considera que
esta é uma tur-
ma difícil pelo
seu compor-
tamento e
aproveitamen-
to.

Histórias de investigações matemáticas
91
Os alunos calcularam a medida da diagonal de cada caixa,
√77. Começaram depois a procurar soluções para a 2ª par-
te do problema. Ao fim de algum tempo, perceberam que
bastava procurar dois triplos de números cuja soma dos
quadrados fosse igual. Começaram a fazê-lo por tentati-
vas, de uma forma muito desorganizada, sem procederem
a qualquer registo. Sugeri-lhes que fossem organizando
um quadro com os vários casos, para não se perderem.
Entretanto terminou a aula, não se tendo conseguido des-
cobrir mais nenhuma solução, e por isso pedi que conti-
nuassem em casa.
Nunca mais me lembrei que tinha mandado tal trabalho
para casa e, como no dia seguinte me esqueci de pergun-
tar por ele, foi um aluno, o José Miguel, que me lembrou
que havia trabalho de casa. Ninguém tinha feito, excepto
o José que conseguiu encontrar nada menos que 20 solu-
ções diferentes!
Quando ele me disse isto, fiquei muito admirada pois,
como o livro dizia que havia pelo menos mais três solu-
ções, nunca pensei que existissem tantas. Trazia as diver-
sas soluções escritas numa folha e pude confirmar que
estavam correctas. Perguntei-lhe então como tinha conse-
guido descobrir tanta solução.
Comecei por tentar fazer todas as somas, mas
eram muitas. Então fui procurar apenas os casos
em que a soma de dois quadrados de números
diferentes fossem iguais. Fiz uma tabela com os
quadrados dos números, de lado e a mesma coi-
sa em cima, e fui preenchendo com a soma dos
dois, e vi que só havia dois resultados iguais.
Depois foi só juntar o mesmo terceiro quadrado
a ambos de 12 até 102. Como encontrei dois
casos diferentes deu 20.
E apresentou-me as respostas:
A professora
sugere a utili-
zação de um
quadro para a
organização
da investiga-
ção.
O número de
soluções que
um aluno
encontra sur-
preende a pro-
fessora.
A professora
questiona o
aluno sobre a
estratégia que
o conduziu à
descoberta das
diversas solu-
ções.

Histórias de investigações matemáticas
92
72 + 12 + 12 = 52 + 52 + 12 = 51
72 + 12 + 22 = 52 + 52 + 22 = 54
72 + 12 + 32 = 52 + 52 + 32 = 59
72 + 12 + 42 = 52 + 52 + 42 = 66
72 + 12 + 52 = 52 + 52 + 52 = 75
72 + 12 + 62 = 52 + 52 + 62 = 86
72 + 12 + 72 = 52 + 52 + 72 = 99
72 + 12 + 82 = 52 + 52 + 82 = 114
72 + 12 + 92 = 52 + 52 + 92 = 131
72 + 12 + 102 = 52 + 52 +102 = 150
92 + 22 + 12 = 72 + 62 + 12 = 86
92 + 22 + 22 = 72 + 62 + 22 = 89
92 + 22 + 32 = 72 + 62 + 32 = 94
92 + 22 + 42 = 72 + 62 + 42 = 101
92 + 22 + 52 = 72 + 62 + 52 = 110
92 + 22 + 62 = 72 + 62 + 62 = 121
92 + 22 + 72 = 72 + 62 + 72 = 134
92 + 22 + 82 = 72 + 62 + 82 = 149
92 + 22 + 92 = 72 + 62 + 92 = 166
92 + 22 + 102 = 72 + 62 +102 = 185
Fiquei encantada com a forma como ele organizou a
investigação, tanto mais que sei que não tinha feito
nenhuma actividade deste género no ano anterior. Propus
então a toda a turma que construíssemos a tabela da soma
dos quadrados, tal como o José tinha feito em casa, pro-
curando desta forma que um maior número de alunos
acompanhasse o seu raciocínio. Ele foi ao quadro dese-
nhou-a e explicou o que tinha feito. Pedi aos alunos que a
reproduzissem no caderno e a completassem. À medida
que iam completando uma linha, iam ao quadro preen-
cher.
Voltando à sua mesa, o José quis tornar a fazer a tabela,
pois não a tinha trazido. Reparei que só preenchia a metade
inferior em relação à diagonal. Perguntei-lhe porque não
preenchia tudo. — Não é preciso. Já vi em
O aluno expli-
ca, com segu-
rança, como
organizou a
investigação.
A professora
propõe à tur-
ma a utiliza-
ção da estra-
tégia
apresentada
pelo aluno.

Histórias de investigações matemáticas
93
casa que o resto é igual, logo não vale a pena porque não
vão aparecer resultados novos.
Quando se lembrou disto, dirigiu-se aos colegas e disse-
lhes para não preencherem a tabela toda que não era pre-
ciso. Mandei-o calar explicando-lhe que gostaria que os
colegas chegassem a essa conclusão por eles próprios.
Calou-se, mas talvez sem perceber bem as minhas razões.
No entanto, como são alunos pouco vivos, também não
perceberam nem o que o José lhes estava a dizer, nem o
que eu tinha dito, e estiveram muito entretidos a preen-
cher a tabela toda.
Adicionar dois quadrados foi, porém, uma tarefa muito
mais difícil do que eu estava à espera. Procuravam aplicar
regras inexistentes de operações com potências. Outros
utilizavam máquinas não científicas, que não dão priori-
dade às operações, chegando a resultados completamente
absurdos sem mostrarem qualquer sentido crítico. Estes
problemas foram sendo ultrapassados, aos poucos, a um
ritmo muito lento da parte de alguns alunos.
A certa altura o Mário, um aluno muito fraco, chamou-me
e disse-me: Já descobri uma maneira de fazer isto muito
mais rápido. Daqui para aqui (da primeira para a
segunda linha) soma-se 3 a todos os números, depois
soma-se 5, depois 7... vai ver que agora é 9 e depois 11.
Foi o meu segundo momento de admiração nesta aula. Ao
princípio não percebi porque é que o que ele dizia estava
correcto. Nem me lembrava já que os quadrados dos
números naturais se podem escrever como a soma de
números ímpares consecutivos, embora ainda há pouco
tempo tenha conhecido uma demonstração geométrica
desta relação.
Elogiei imenso o Mário pela sua perspicácia, dizendo-lhe
que eu ainda não tinha descoberto isso. Esta minha
A professora
procura que os
alunos percor-
ram todas as
etapas de um
processo de
investigação.
Os alunos evi-
denciam difi-
culdades de
cálculo e
usam deficien-
temente a cal-
culadora como
auxiliar.
A descoberta
de um outro
aluno sur-
preende a pro-
fessora que
não a relacio-
na imediata-
mente com
algo que
conhece.

Histórias de investigações matemáticas
94
reacção foi comentada por um outro aluno: Ah, com cer-
teza que já sabia isto tudo, então é setôra de Matemáti-
ca? Como lhe disse veemente que não, que os professores
não sabiam tudo, ficou um pouco duvidoso se eu falava a
verdade ou se estava a fazer um grande teatro.
Noutro canto da sala estavam dois alunos cujo desempe-
nho é, em geral, bastante fraco. Fui ver o que estavam a
fazer e verifiquei que estavam também a preencher o
quadro de uma forma muito rápida. Disse-me o Fernando:
Tenho um processo muito mais rápido de fazer isto. E
explica-me o mesmo raciocínio do Mário mas desta vez
de coluna para coluna.
Foi uma aula óptima. Para minha grande admiração, toda
a turma trabalhou arduamente, e alguns alunos até
comentaram que isto era giro. Era a última aula antes do
teste e ninguém me pediu para fazer revisões, como cos-
tumam fazer. Alguns alunos até me pediram: Ponha este
quadro no teste que isto é engraçado e fácil!
Foi preciso a aula inteira para preencher o quadro e per-
ceber algumas regularidades, mas mesmo depois de tocar
alguns alunos continuaram até acabar (coisa que nunca
tinha acontecido antes). A maior parte dos alunos não
percebeu na altura, a relação entre o preenchimento do
quadro e a investigação proposta no exercício, pois não
houve tempo para voltarmos à questão inicial.
Antes da aula acabar, o José Miguel ainda me disse: Mas
este processo não dá para descobrir todos casos, porque
os que vêm no exercício do livro não aparecem aqui!
Estava tão entretida com esta história do quadro, que ain-
da nem me tinha lembrado disso. Propus-lhe que conti-
nuássemos ambos a pensar no assunto.
Durante o resto desse dia, e pela noite fora, tentei
Os alunos
pensam que a
professora
sabe tudo
acerca deste
problema.
Há um grande
empenhamen-
to dos alunos
nesta aula.

Histórias de investigações matemáticas
95
encontrar um processo de continuar a investigação, mas
não consegui avançar grande coisa.
Utilizando papel quadriculado, recortei umas tiras com 1,
4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 e 100 quadrados. Fiz uma
tabela em Excel com todas as somas possíveis (1000!), e
levei para a aula seguinte. Era uma aula de teste, mas
propus ao José Miguel e à Rita (outra aluna que se tinha
interessado bastante pelo assunto), que em vez de faze-
rem o teste, continuassem a investigar o problema e que
se quisessem podiam utilizar aquele material que eu leva-
va.
Encontraram-se assim mais 3 pares de triplos diferentes
dos anteriores:
3
2 + 32 + 32 = 52 + 12 + 12 = 27
8
2 + 22 + 12 = 42 + 72 + 22 = 69
8
2 + 32 + 42 = 92 + 22 + 22 = 89
Chegámos no total a 23 soluções, uma quantia bem dife-
rente daquela que o livro fazia supor com a frase existem
pelo menos mais 3 soluções diferentes!
Colocaram-se-me, na altura, vários problemas: como con-
tinuar a investigação? como organizar a pesquisa, de
modo a conseguir um processo que dê todas as soluções
possíveis? com dar uma "saída" a esta investigação no
trabalho com a turma? retomo o assunto ou deixo-o
esquecer? Procurei continuar a investigação, mas não
encontrei uma saída. Achei então que era isso mesmo que
devia transmitir aos alunos: não sabíamos se era possível
resolver o problema.
Apesar de termos ficado por aqui, valeu a pena realizar
esta aula com o 8º B, visto que todos os alunos se empe-
nharam com gosto na tarefa proposta. Não sei se esta acti-
vidade terá sido muito importante para estes alunos, mas
para mim, enquanto professora, trouxe-me bastantes
A professora
continuou a
investigação
em casa e pre-
parou material
para a aula
seguinte.
Dois alunos
continuam a
investigação
enquanto os
restantes
fazem o teste.
Surgem mui-
tas dúvidas à
professora
sobre a conti-
nuidade a dar
à investiga-
ção.

Histórias de investigações matemáticas
96
ensinamentos. Tenho tido até aqui tendência para desen-
volver actividades de investigação com as turmas que
considero boas e menosprezado um pouco as outras tur-
mas com alunos mais fracos. Pensava que estas activida-
des não os conseguiriam interessar, uma vez que eles
revelam, em geral, pouca persistência.
Quando me preocupo com a motivação para a aprendiza-
gem deste tipo de alunos, procuro encontrar questões liga-
das à realidade pensando que com isso os interesso mais
pela Matemática. Afinal esta pequena actividade mostrou-
me que estava enganada. Também as turmas fracas podem
fazer actividades de investigação e, desde que bem esco-
lhidas, até podem servir para desenvolver nos alunos a sua
capacidade de persistência e de trabalho, levando-os a gos-
tar de fazer Matemática.
A professora
considera que
este foi um
momento de
aprendizagem
para si pró-
pria.
A professora
reflecte sobre
as suas con-
cepções acer-
ca das investi-
gações.
Ana Vieira

Histórias de investigações matemáticas
97
4. CONCLUSÕES
Apresentamos neste capítulo as principais reflexões, conclusões e
interrogações que fazemos a propósito deste projecto. Numa primeira parte,
abordamos o conhecimento profissional do professor em actividades de
investigação, bem como algumas das suas dificuldades e dilemas, tal como
elas se revelam ao longo das diversas narrativas. Numa segunda parte, con-
frontamos o trabalho desenvolvido com os pressupostos iniciais da investi-
gação e propomos algumas pistas para trabalho futuro.
O conhecimento profissional do professor
em actividades de investigação
As narrativas anteriores sobre aulas envolvendo tarefas de cunho
investigativo ilustram diversos aspectos do conhecimento profissional do
professor, bem como alguns problemas e dilemas com que ele se confronta
na sua prática profissional. De acordo com o esquema apresentado no capí-
tulo 2 deste relatório, organizamos a nossa discussão em torno de quatro
grandes temas: o conhecimento da Matemática, o conhecimento dos pro-
cessos de aprendizagem, o conhecimento do currículo e o conhecimento da
instrução.
A Matemática
Um primeiro domínio do conhecimento profissional do professor diz
respeito à disciplina que ensina, neste caso a Matemática. Nestas narrativas,
o seu conhecimento da Matemática revela-se sobretudo de modo implícito,
na actividade que desenvolve na preparação e execução das aulas e nas suas
afirmações sobre aspectos de incidência curricular. Mesmo assim, há
aspectos interessantes a referir.

Histórias de investigações matemáticas
98
Os aspectos mais básicos do conhecimento matemático são os con-
ceitos e a terminologia. O seu domínio está subjacente a todo o trabalho
realizado pelos professores nestas actividades, embora nem todos valori-
zem de igual modo cada um deles. Por exemplo, para uma das professoras,
é preciso dedicar especial atenção à aprendizagem de conceitos e à sua
aplicação (HC5A)12. Em contraste, outra professora valoriza a realização
de tarefas que gradualmente vão desenvolvendo nos alunos novas capaci-
dades (JP-IS5). Por vezes, sentem necessidade de recordar terminologia
(...) já conhecida dos alunos (HO8B). A realização de tarefas de investiga-
ção suscita uma atenção particular a termos que muitas vezes são pouco
usados na aula de Matemática, como conjectura (JP-IS5) e convenção
(HO8A).
As relações entre conceitos são outro aspecto essencial do conheci-
mento matemático. Nas actividades de investigação, espera-se que os alu-
nos descubram relações que o professor sabe de antemão poderem ser
encontradas na situação proposta: os alunos representam de diversas for-
mas potências de expoente negativo (HO8B); a aluna procura integrar a
nova designação nos seus conhecimentos (HO8A). Por vezes os alunos
surpreendem o professor, descobrindo relações em que ele ainda não tinha
pensado (HC5B), ou que não relaciona imediatamente com algo que
conhece (AV8). Este tipo de acontecimento evidencia ao professor a rique-
za das relações matemáticas existentes na situação e coloca-o num plano de
maior proximidade em relação aos alunos. Estes mostram, por vezes, serem
capazes de ultrapassar as expectativas do professor que, por outro lado, é
levado a reconhecer com naturalidade que há coisas que não sabe e outras
que não lhe ocorrem...
Os processos de pensamento matemático incluem a procura de res-
postas, mas para isso é preciso começar por ter questões, sobretudo boas
questões. No decurso duma actividade de investigação é frequente surgi-
rem novas questões. É positivo que isso aconteça e é importante que os
professores o valorizem na devida altura (JP5). É também importante que
os alunos sintam que faz parte do seu papel colocar novas questões: um
grupo estuda o que acontece quando se altera o número de colunas, formu-
lando as suas conjecturas (IS6); os alunos usaram estratégias diversifica-
12 Os códigos usados neste capítulo remetem para o autor da narrativa, ano de escolaridade e turma
envolvida. Assim (HC5A) é a narrativa produzida por Helena Cunha, referente à turma A do 5º ano de
escolaridade.

Histórias de investigações matemáticas
99
das para estabelecerem uma lei de formação da sequência proposta
(HC5A); os alunos escreveram produtos de factores diferentes e descobri-
ram nesses produtos regularidades que correspondem à soma dos primei-
ros n termos de uma progressão aritmética (HC5A).
Um outro aspecto também de salientar no conhecimento matemático
respeita à forma de validação de resultados. Na Matemática, as demons-
trações assumem um papel primordial. Deste modo, é natural salientar que
a generalização deve ser estabelecida através da prova (HO8A); a profes-
sora alerta de que a calculadora não é um instrumento adequado para jus-
tificar a questão (HO8A). Mas na actividade matemática também se usam
correntemente outras formas mais informais de validação e de argumenta-
ção. Assim, na actividade de ensino, põem-se dois problemas: (a) saber
como se validam as ideias (com simples afirmações de autoridade? exibin-
do exemplos e argumentos? com uma demonstração matemática?) e (b)
saber quem valida essas ideias (o professor? o aluno? os dois?). As activi-
dades de investigação, principalmente com alunos muito novos, não são um
terreno muito propício para a valorização das demonstrações formais. Mas
já o são para outras formas mais informais de argumentação: a professora
encoraja os alunos a apresentarem argumentos em defesa das suas afirma-
ções (JP-IS5).
Um aspecto particularmente problemático do conhecimento matemá-
tico diz respeito à articulação entre as competências básicas e os proces-
sos de raciocínio mais avançados. Os professores envolvidos nestas acti-
vidades mostram disponibilidade para pôr em prática, ocasionalmente, uma
ou outra aula onde os alunos possam dar livre curso a um trabalho de inves-
tigação matemática. Alguns destes professores parecem fundamentalmente
condicionados pela aquisição das competências básicas: o cálculo é uma
preocupação constante da professora (HC5B); a professora mantém algu-
mas reservas sobre a atitude dos alunos se lhes fossem propostas sucessi-
vas aulas de investigação (HC5B). Outros parecem sobretudo preocupados
com o desenvolvimento das competências mais avançadas: A professora
valoriza a possibilidade de os alunos explorarem uma tarefa de investiga-
ção em diversas direcções (IS6). Evidencia-se assim, que as tarefas de
investigação potenciam processos de raciocínio valorizados no actual
ensino-aprendizagem da Matemática (HC5A ).

Histórias de investigações matemáticas
100
Os processos de aprendizagem
Um outro domínio fundamental do conhecimento profissional do pro-
fessor diz respeito aos processos de aprendizagem dos alunos e aos nume-
rosos factores que intervêm no seu desenvolvimento. O professor conhece
os alunos, tanto na sua maneira de estar na aula e de se relacionarem entre
si, como no progresso que vão fazendo na aprendizagem da disciplina. Para
além dos alunos individuais, o professor relaciona-se com a entidade “tur-
ma”: a professora considera que esta é uma turma difícil pelo seu compor-
tamento e aproveitamento (AV8).
As interacções, entre o professor e os alunos e entre os próprios alu-
nos, são essenciais no processo de aprendizagem. Estas interacções estimu-
lam a actividade criativa dos alunos e levam-nos a novas formas de com-
preensão das ideias matemáticas: a professora reconhece que a interacção
entre os alunos estimula-os a descobrirem novas relações (IS5); a profes-
sora considera que as tarefas investigativas podem resultar em trabalho
conjunto entre professor e alunos (HC5A). As interacções dos alunos entre
si são um excelente indicador de um bom ambiente de aprendizagem:
alguns alunos questionam os seus colegas à medida que estes apresentam
o seu trabalho (HO8C). A orientação do modo de interacção é uma das
principais armas do professor para a condução da aula: a professora procu-
ra que os alunos se concentrem na tarefa, interagindo consigo (IS5); ou
ainda que a veracidade da afirmação da aluna seja sujeita ao escrutínio do
grupo (HO8B); a professora sugere a exploração de outros casos, o que
leva à descoberta da regra geral pelos alunos (HC5A). A própria actuação
do professor tem a ganhar com a interacção com os alunos: algumas das
sugestões que a professora dá aos alunos surgem-lhe na própria aula
(HO8B). Mesmo quando o professor não dá particular atenção às interac-
ções dos alunos uns com os outros, o facto é que elas desempenham sempre
um papel importante na dinâmica da aula: um aluno usa a questão seguinte
(...) para convencer as suas colegas (HO8A); os alunos conhecem-se muito
bem uns aos outros (JP5)
Para aprender, não basta ao aluno estar “activo” na sala de aula. É
preciso que ele pense e, sobretudo, reflicta sobre as acções por si realiza-
das. O professor tem de estar, por isso, atento à relação entre acção e
reflexão, e procurar que ambos os aspectos se articulem com naturalidade
na actividade dos alunos. A professora leva os alunos a reflectirem sobre

Histórias de investigações matemáticas
101
as propriedades de que fizeram uso (HO8B); a professora confronta os
alunos com as limitações da definição por recorrência da sucessão
(HO8C); a professora insiste em questionar a turma sobre o significado de
a0 (HO8A); a professora valoriza o contributo dado pela discussão à des-
coberta de novas relações (IS5); a discussão da ficha é considerada um
momento muito importante da aula (HO8B); o diálogo final acaba por se
tornar num momento importante de descoberta (HC5B); o binómio acção-
reflexão é fundamental no processo de ensino-aprendizagem (JP-IS5).
As concepções prévias dos alunos condicionam fortemente a sua
aprendizagem. As actividades de investigação mostram que os alunos têm
concepções muito próprias em relação à natureza das questões matemáticas
e ao que se espera que eles digam como resposta: os alunos, na expectativa
de que há uma resposta-padrão para cada pergunta, têm dificuldade em
lidar com questões postas de modo diferente do habitual (JP-IS5); mos-
tram grande surpresa por encontrar uma questão matemática “sem res-
posta”(JP5); tendo encontrado uma resposta certa, os alunos consideram
errado ou sem interesse tudo o que tinham feito anteriormente (JP5). Além
disso, salienta-se bem a dificuldade dos alunos em lidarem com questões
postas de modo diferente do habitual (JP-IS5 e HC5A). Os alunos também
têm concepções muito próprias acerca do conhecimento dos seus professo-
res. Pensam, por exemplo, que a professora sabe tudo acerca dos proble-
mas que lhes propõe (AV8).
Um aspecto que tem grande influência na aprendizagem é a extensão e
a qualidade dos conhecimentos prévios dos alunos. Por exemplo, numa
das investigações pôde observar-se que os alunos conheciam o factor cons-
tante [da calculadora] de aulas anteriores. Pode considerar-se que o seu
uso num novo contexto é uma acção criativa (JP5). Em certos casos, a pro-
fessora manifesta confiança nas competências de cálculo dos alunos
(HO8A). Noutros casos, a professora mostra-se atenta para o facto dos alu-
nos usarem deficientemente a calculadora como instrumento auxiliar
(AV8). Um dos pontos mais característicos das dificuldades dos alunos diz
respeito ao cálculo numérico: os alunos evidenciam dificuldades de cálculo
(AV8). Os alunos mais novos recorrem muito a processo intuitivos e
informais, mais do que a conceitos formais (HC5A). Mas o que os alunos
conseguem fazer noutras ocasiões leva a pensar se as dificuldades no cálcu-
lo, muitas vezes, não correspondem mais a uma dificuldade em relação ao

Histórias de investigações matemáticas
102
modo de usar o conhecimento que efectivamente possuem do que a uma
falta absoluta de conhecimento.
O conhecimento dos processos de aprendizagem passa em grande par-
te pelo conhecimento das estratégias de raciocínio dos alunos. Estas estra-
tégias estão longe de ser lineares e apoiam-se sobretudo nos seus conheci-
mentos e experiências prévias: Os alunos procuram responder à tarefa,
tendo em conta tarefas semelhantes já anteriormente realizadas (JP-IS5);
os alunos, num processo de vaivém, vão aprofundando a sua compreensão
acerca das regularidades numéricas envolvidas nas potências (JP-IS5);
escrever 642=64x2 é um erro extremamente frequente nos alunos (JP5).
Como é natural, as situações novas para os alunos são as que envol-
vem mais dificuldades: Perante um pedido diferente do habitual, os alunos
fazem uma leitura incorrecta da pergunta e começam a trabalhar numa
direcção errada. Apesar disso, mostram possuir alguns conhecimentos
sobre potências (JP5).
Os alunos têm de se habituar a formularem perguntas com clareza.
Como se notou no decurso do trabalho, em alguns casos mostravam ten-
dência para deslizar subrepticiamente de questão para questão acabando
naturalmente por dar respostas erradas e inconsequentes. Além disso, mani-
festaram claramente a sua tendência para procurar interpretar rapidamente
as questões propostas avançando de imediato para as respostas, sem reparar
que a interpretação requeria bastante mais atenção da sua parte. As respos-
tas podem sair erradas se o aluno perde de vista a questão a que está a
tentar responder (JP5). Por isso, é importante habituar o aluno, ao dar a
resposta, a ter presente a questão a que está a responder.
Outro aspecto importante do conhecimento da aprendizagem tem a ver
com o modo como o professor encara as capacidades dos alunos. As tare-
fas de investigação mostram que muitos alunos possuem capacidades fre-
quentemente insuspeitadas pelo professor: os alunos descobrem várias
regularidades (IS6); os alunos mostram-se capazes de produzir generali-
zações (JP5); há um grande empenhamento dos alunos nesta aula (AV8); a
professora observa que mesmo os alunos mais passivos se entusiasmam na
procura de regularidades (IS5). O professor, por outro lado, reconhece e
valoriza o trabalho realizado pelo aluno: os alunos surpreenderam a pro-
fessora, descobrindo relações em que ela ainda não tinha pensado
(HC5A); a descoberta de um aluno surpreende a professora (AV8); as
expectativas da professora são largamente ultrapassadas com a participa-

Histórias de investigações matemáticas
103
ção viva dos alunos (IS5); o número de soluções que um aluno encontra
surpreende a professora (AV8).
As actividades de investigação proporcionam uma relação diferente
dos alunos com a disciplina e também dos alunos entre si. Evidenciam
assim facetas totalmente novas dos alunos: a professora nota que esta tare-
fa evidencia tanto as capacidades de alguns alunos tidos por fracos, como
as dificuldades de alguns bons alunos (JP-IS5); a professora observa que
mesmo os alunos mais passivos se entusiasmam na procura de regularida-
des (IS5); a dificuldade inicial de um grupo com alunos mais fracos não os
impediu de serem os primeiros a concluir a investigação (HO8C); ao invés
o grupo com os melhores alunos iniciou rapidamente a investigação mas
não a concluiu na primeira aula (HO8C). Deste modo o conceito de bom
aluno e mau aluno é posto em causa (JP-IS5), e este é um aspecto deste
trabalho muito valorizado pelas professoras.
O currículo
Um terceiro domínio do conhecimento profissional do professor diz
respeito ao conhecimento do currículo. Um dos aspectos fundamentais des-
te conhecimento refere-se às finalidades e objectivos e outro à gestão do
tempo. Os professores de Matemática consideram, dum modo geral, os
programas muito extensos e muito fraca a preparação que os alunos trazem
dos anos anteriores. As tarefas de investigação pressupõem um outro tipo
de estruturação dos conteúdos, que surgem num plano mais secundário.
Para alguns professores isto dificulta o “cumprimento do programa”: para
a professora, as tarefas de investigação necessitam de bastante tempo,
afectando o cumprimento dos programas (HC5B). Noutros casos, a reali-
zação deste tipo de tarefas é muito valorizado na medida em que elas gra-
dualmente vão desenvolvendo nos alunos novas capacidades (JP-IS5).
As actividades de investigação evidenciam a ligação entre conteúdos
matemáticos, um dos aspectos frequentemente mais pobres do conhecimen-
to matemático dos alunos. Por exemplo, um problema inicialmente formu-
lado em termos das diagonais de um sólido e que se apresenta como uma
aplicação do Teorema de Pitágoras, transforma-se rapidamente num pro-
blema sobre quadrados perfeitos, exigindo o conhecimento correcto das
regras de cálculo das potências (AV8). A ligação com outros assuntos
(extra-matemáticos) é outro aspecto importante do conhecimento do pro-

Histórias de investigações matemáticas
104
fessor. Mas este aspecto não está particularmente em foco quando as acti-
vidades de investigação surgem em contextos puramente matemáticos,
como é o caso das tarefas propostas.
Um outro aspecto tem a ver com a representação dos conceitos. É
importante que os alunos sejam capazes de lidar com os conceitos matemá-
ticos em diversos tipos de representação (numérica, algébrica, geométrica,
esquemática, verbal, etc.). Isso nem sempre acontece, privilegiando-se mui-
tas vezes as representações simbólicas em detrimento de todas as outras. A
professora reconhece que uma tarefa que se apresenta diferente do habi-
tual tem dificuldade em ser reconhecida pelos alunos (HC5A); a professo-
ra considera a tarefa muito prometedora por permitir abordagens diver-
sas: numéricas e geométricas (HO8C).
A utilização de materiais diversificados é um aspecto importante do
ensino-aprendizagem da Matemática. As actividades de investigação
podem ter como ponto de partida materiais muito diversos. Nas tarefas pro-
postas, sobressai claramente o valor da calculadora, para a realização de
cálculos simples, obtendo resultados, ou para testar conjecturas. Em alguns
casos, a calculadora é um instrumento de que os alunos já se habituaram a
tirar partido: A professora incentiva os alunos a usar a calculadora com
desembaraço (JP-IS5). Noutros casos, e apesar dos esforços da professora,
os alunos usam deficientemente a calculadora como instrumento auxiliar
(AV8). Noutros casos, ainda, a utilização deste instrumento pelos alunos é
ainda motivo de hesitação para a professora: A professora mostra-se inde-
cisa quanto ao papel da calculadora nas aulas de Matemática, mas está
sensível à adesão dos alunos às actividades de descoberta (HC5B). A
máquina de calcular não deve só ser usada. Deve também ser conhecida,
nas suas potencialidades e limitações, e isso surge igualmente numa das
investigações: A máquina de calcular mostra-se muito útil nesta investiga-
ção mas evidencia igualmente os seus limites (JP5).
A instrução
Finalmente, um quarto domínio do conhecimento profissional do pro-
fessor refere-se à instrução, ou seja, à preparação, condução e avaliação do
processo de ensino-aprendizagem (que no caso da Matemática decorre
principalmente, mas não exclusivamente, dentro da sala de aula). Neste
ponto incluem-se questões como o ambiente de trabalho e a cultura da sala

Histórias de investigações matemáticas
105
de aula, as tarefas, tanto no que respeita à sua concepção, selecção e
sequenciação como à sua apresentação aos alunos, apoio na execução e dis-
cussão, e ainda a actividade dos alunos, a comunicação e a negociação de
significados e os modos de trabalho na sala de aula (em colectivo, em gru-
po, aos pares ou individual).
O professor de Matemática move-se dentro de condicionalismos
apertados, um dos quais tem a ver com a gestão do tempo escolar. As aulas
de 50 minutos são adequadas para a realização pelos alunos de actividades
muito estruturadas mas pouco adequadas ao prosseguimento de investiga-
ções mais abertas. Para isso são muito mais indicadas as aulas de 2 horas
embora, em muitos casos, a investigação se possa prolongar depois por
vários dias ou mesmo por várias semanas. A grande tarefa do professor é a
de encontrar forma de, dentro desses condicionalismos, proporcionar
momentos de trabalho e de reflexão, estabelecendo uma forte interacção
entre estes dois momentos do processo de aprendizagem.
Outro aspecto fundamental da preparação das aulas tem a ver com a
concepção, selecção e sequenciação das tarefas a propor aos alunos. Para
isso é necessário ter em conta os objectivos pretendidos, as características
dos alunos, bem como os recursos disponíveis (incluindo o recurso tempo):
a professora realiza tarefas que gradualmente vão desenvolvendo nos alu-
nos novas capacidades (JP-IS5); a professora procura ter em conta as
características específicas dos seus alunos ao planear a realização de um
novo tipo de tarefa (JP-IS5); a professora preocupa-se com a adaptação
das questões ao nível etário dos seus alunos (HC5A); a professora procura
que as tarefas sejam adequadas ao tempo disponível (JP-IS5); aulas de 2
horas são apropriadas para realizar tarefas de investigação (JP-IS5). Por
outro lado, é necessário adequar as estratégias aos objectivos e às condi-
ções: a melhor maneira de perceber o que é uma conjectura é reflectir
sobre o que se faz neste tipo de actividade (JP-IS5).
Uma vez já em plena situação de ensino-aprendizagem, é fundamental
o modo como o professor promove a apresentação das tarefas, o apoio que
dá aos alunos na sua execução, e a reflexão que promove sobre o trabalho
realizado. O modo como a tarefa é introduzida tem uma influência enorme
sobre tudo o que se passa a seguir: a professora cria uma atmosfera de
expectativa na turma (HO8B). Esta introdução pode ser feita de diversas
maneiras: a tarefa é introduzida oralmente e por escrito (JP-IS5). A sim-
ples apresentação por escrito, através duma “ficha de trabalho”, é um modo

Histórias de investigações matemáticas
106
bastante “frio”, que muitas vezes suscita nos alunos pouco empenho em
interpretar o desafio proposto. A apresentação oral não deve ser muito
demorada (sob o risco de se tornar cansativa e de desviar a atenção dos alu-
nos do que é essencial) nem dar pistas em demasia (que retirem aos alunos
o prazer de serem eles próprios a resolver as dificuldades): a professora dá
algumas sugestões sobre aspectos a observar na situação proposta (IS6); a
professora apoia os seus alunos assumindo o papel de orientadora
(HC5A); a professora deu as indicações que julgou necessárias para a
realização da tarefa (HC5B); a professora relaciona esta tarefa com outra
que tinham realizado anteriormente (HO8C); a professora fornece algu-
mas sugestões quanto à organização da investigação dos alunos (HO8C);
a professora dá sugestões sobre aspectos a observar na situação proposta
(IS6); a professora procura encontrar o melhor modo de apresentar a tare-
fa, tendo em conta que não deve dar informação a mais nem a menos (JP-
IS5); a professora procura clarificar os conceitos que irão ser necessários,
solicitando as contribuições dos alunos e altera a sua estratégia, tendo em
conta a sua reacção (JP-IS5).
O professor tem de apoiar a execução das tarefas pelos alunos. Este
apoio pode ajudar os alunos na interpretação das questões propostas e na
sua compreensão: colocando questões, a professora ajuda os alunos a con-
centrarem a sua atenção nos aspectos essenciais da questão proposta
(JP5); o apoio aos grupos é determinante para que eles ultrapassassem as
suas dúvidas e se envolvam na tarefa (JP-IS5); a professora sugere a utili-
zação de um quadro para a organização da investigação (AV8); perante
alguma dificuldade de interpretação da tarefa, a professora apoia direc-
tamente os grupos (HO8C); a professora dirige a atenção do grupo para a
generalização (HO8C). Pode ser importante para que os alunos reconhe-
çam aspectos marcantes da tarefa proposta: a professora confronta os alu-
nos com as limitações da definição por recorrência da sequência (HO8C).
O apoio pode ser também decisivo para que os alunos ultrapassem um blo-
queio: a professora apoiou os seus alunos durante a realização da tarefa
para que lhes fosse possível continuar (HC5B); a professora presta algu-
ma ajuda para que os alunos escrevam a expressão geral da sequência
(HO8C). O apoio pode ainda servir para incentivar os alunos a irem mais
longe: a professora encoraja os alunos a alargar a investigação a um novo
caso (IS5); a professora propõe que se proceda à investigação de regula-
ridades num novo caso (IS5).

Histórias de investigações matemáticas
107
O modo como o professor presta esse apoio é, de novo, muito impor-
tante: as sugestões fornecidas mostram-se muito úteis para a generalidade
dos grupos (HO8C). Dizer coisas de mais retira importância ao papel do
aluno. Dizer de menos pode revelar-se muito frustrante. Assim, a professo-
ra procura que os alunos descubram o que têm a fazer através de pergun-
tas indirectas (JP-IS5); os alunos dão a conhecer à professora a estratégia
que pensam seguir e esta incentiva-os simplesmente, sem dizer explicita-
mente se “está certo ou errado” (HO8C); o grupo procura uma expressão
geral mas a professora sugere um alargamento da experimentação
(HO8C). No diálogo que estabelece com os alunos, o professor pode
apreender aspectos muito significativos acerca do seu modo de pensar:
conseguir tempo para ouvir os alunos é decisivo para poder compreender
o seu modo de pensar e as suas verdadeiras dificuldades (JP5); a professo-
ra valoriza a persistência dos alunos na resolução da tarefa (HC5A); a
professora é frequentemente solicitada pelos alunos para lhe revelarem as
suas descobertas (IS6); os alunos explicam à professora as relações que
encontraram (HO8C); ao verificar o trabalho do grupo, a professora pede-
lhes que indiquem o significado dos termos da sua expressão (HO8C); os
alunos tomam a iniciativa de explicar qual foi o processo que os levou à
relação pretendida (HO8C); a professora questiona o aluno sobre a estra-
tégia que o conduziu à descoberta das diversas soluções (AV8). No acom-
panhamento do trabalho dos grupos a professora defronta-se muitas vezes
com dilemas difíceis de resolver: um grupo escolhe uma direcção de traba-
lho diferente da dos restantes gerando assim um dilema à professora —
deixá-los prosseguir ou encaminhá-los para uma direcção próxima dos res-
tantes alunos? (IS6); as exigências de acompanhamento de uma actividade
diferente colocam um novo desafio à professora na gestão da aula (IS6).
Surge depois um outro momento fundamental na realização da acti-
vidade de investigação: a reflexão e discussão sobre o trabalho realizado —
a professora organiza os momentos destinados à discussão dos resultados
(IS6); o relato das conclusões dos grupos teve um tempo próprio na aula
(HC5B) a discussão final, pondo em comum resultados e significados,
constitui um bom fecho para a aula (JP-IS5); os alunos participam de uma
forma dinâmica no relato de conclusões (IS5). Em muitos casos o essencial
da actividade decorre numa aula e a discussão na aula seguinte. É uma for-
ma prática de gerir o tempo, mas que por vezes dificulta o arranque da dis-
cussão e a sua própria produtividade. O professor tem de ajudar os alunos a

Histórias de investigações matemáticas
108
aprenderem a apresentar o seu trabalho e a questionarem o trabalho dos
colegas: a aprendizagem por parte dos alunos da prática da discussão é
algo que leva o seu tempo (JP-IS5); antes de iniciarem a discussão (...), a
professora dá indicações de como os alunos devem intervir (HO8A); a pro-
fessora sugere que os alunos organizem a sua participação na discussão
(IS5); a participação desorganizada da turma leva a professora a intervir
para que a aluna conclua o seu raciocínio (HO8A); o aluno explica com
segurança como organizou a investigação (AV8). Para que a discussão seja
produtiva e todos os grupos tenham oportunidade de mostrar as suas estra-
tégias e resultados é preciso encontrar boas estratégias de discussão: a dis-
cussão foi realizada questão a questão, com a participação de todos os
grupos em simultâneo (JP-IS5); a discussão da tarefa é cuidadosamente
preparada pela professora (HO8B).
O professor propõe tarefas tendo em vista suscitar a actividade dos
alunos. Em cada momento o professor tem de avaliar se a actividade destes
é aceitável ou se é preciso fazer alguma acção para a alterar de modo signi-
ficativo: a agenda da professora era pôr os alunos a trabalhar de modo
produtivo nas questões propostas (JP5); a professora realça que o empe-
nho dos alunos mantém-se durante toda a actividade (HO8B). Essa activi-
dade inclui múltiplos aspectos. Envolve tanto actividade física (escrever,
falar, manipular objectos) como mental (pensar, reflectir): o binómio
acção-reflexão é fundamental no processo de ensino-aprendizagem (JP-
IS5).
A comunicação e negociação de significados é essencial para a
aprendizagem: alguns alunos questionam os colegas à medida que apre-
sentam o seu trabalho (HO8C); a professora promove a discussão procu-
rando valorizar a comunicação entre os alunos (HO8C); a importância dos
períodos de discussão é acentuada pela professora: o diálogo final acabou
por se tornar num momento importante de descoberta (HC5B); os alunos
dão a conhecer as suas descobertas (IS5); uma aluna descobre outras
relações e a professora ajuda a relatá-las à turma (IS5). Por vezes, os
momentos de discussão colectiva podem ser oportunos a meio da realização
de uma tarefa: a professora propõe à turma a utilização da estratégia
apresentada pelo aluno (AV8); a professora remete a questão (da aluna)
para a turma (HO8A). É através da comunicação que se faz a explicitação
das ideias matemáticas: a professora pede ao aluno para ir ao quadro
explicar o seu raciocínio aos colegas (IS5). Uma boa comunicação pressu-

Histórias de investigações matemáticas
109
põe que os alunos estejam suficientemente à vontade para tomarem a ini-
ciativa de falar quando têm coisas importantes para dizer: um dos alunos
interrompe a professora para dar a conhecer a sua descoberta (IS5); a
professora reconhece a pertinência da dúvida das alunas (HO8A).
O ambiente de trabalho e a cultura da sala de aula são aspectos
determinantes na aprendizagem. É importante que as aulas tenham um forte
ambiente de trabalho, ou seja, que prevaleça a noção de que a aula é para
trabalhar e aprender e não simplesmente para passar o tempo. A criação
desse ambiente implica um processo continuado. Mas as actividades de
investigação podem dar um contributo significativo neste sentido: Assim
que os alunos leram o enunciado, começaram de imediato a anunciar as
suas descobertas (HC5B); as descobertas dos alunos surgiram em catadu-
pa (HC5B). Para que tanto os alunos se sintam bem no ambiente de traba-
lho da aula é importante que tenham margem para tomarem, eles próprios,
diversas decisões. Assim, colocada entre duas opções contraditórias (numa
aula de duas horas, deixar os alunos terem o seu intervalo habitual ou pros-
seguir com a tarefas de investigação), a professora dá aos alunos liberdade
de escolha, deixando-os decidir sobre um aspecto do funcionamento da
aula e, ao mesmo tempo, recebe feedback sobre o seu interesse (JP-IS5).
Finalmente, o professor deve ser capaz de organizar os alunos em dife-
rentes modos de trabalho na sala de aula: a professora procura a forma
mais adequada de organizar o trabalho dos alunos (HC5B). Uma destas
formas é o trabalho de grupo: a professora decide realizar trabalho de gru-
po — o modo de trabalho que neste caso considera mais adequado às tare-
fas propostas (JP-IS5); os alunos trabalham em grupo, evidenciando gran-
de entusiasmo (IS6). No entanto, como todos os tipos de trabalho, o traba-
lho em grupo tem os seus problemas. O facto de estarem à volta duma mesa
não implica que os alunos cooperem muito entre si: os alunos, apesar de
estarem em grupo, começaram a trabalhar na tarefa cada um por si (JP5).
Em alguns casos, a movimentação necessária para criar as condições físicas
propícias ao trabalho de grupo, desencoraja a realização deste tipo de traba-
lho: para conseguir mais rapidamente envolver os alunos no trabalho, a
professora opta por mantê-los nos seus lugares habituais (IS5). No entan-
to, também aos pares e em grande grupo é possível realizar com sucesso
este tipo de tarefas: o trabalho em grande grupo também pode ser usado
para trabalhar tarefas de investigação (IS5). Por vezes, a dinâmica das
actividades e as diferenças entre os alunos podem aconselhar que estes se

Histórias de investigações matemáticas
110
dediquem num dado momento a actividades distintas: dois alunos conti-
nuam a investigação enquanto os restantes fazem o teste (AV8).
A realização de tarefas de investigação na sala de aula exige do pro-
fessor uma atitude de reflexão permanente. Que tarefas propor? que supor-
tes utilizar? a professora continuou a investigação em casa e preparou
material para a aula seguinte (AV8). Como continuar a tarefa já iniciada?
surgem muitas dúvidas à professora sobre a continuidade a dar à investi-
gação (AV8); a professora planeia dar algumas indicações à turma rela-
cionadas com o processo seguido por um dos grupos (HO8C). Que conclu-
sões tirar do trabalho feito? a professora considera que este foi um momen-
to importante de aprendizagem para si própria (AV8); a professora reflec-
te sobre as suas concepções acerca das investigações (AV8); a professora
admite vir a propor de novo esta tarefa no futuro (HC5A).
Reflexão geral sobre o trabalho desenvolvido
Este projecto, como se referiu na introdução, assenta em pressupos-
tos gerais sobre a natureza do saber matemático em contexto escolar, sobre
o papel das interacções no processo de aprendizagem, sobre a relação do
professor com a inovação educativa e sobre o processo de investigação. É
chegada a altura de analisar os contributos do trabalho realizado relativa-
mente ao conhecimento profissional do professor, de discutir em que medi-
da os diversos pressupostos saíram reforçados ou alterados e de apresentar
algumas pistas e questões para trabalhos futuros.
Tarefas de investigação e saber matemático
Um primeiro comentário vai para o valor educacional das tarefas de
investigação. A realização de aulas tendo por base trabalho de investigação
mostrou potencialidades extremamente significativas para a aprendizagem
desta disciplina por parte dos alunos. Este tipo de actividade parece mere-
cer, por consequência, um lugar de destaque no saber matemático em con-
texto escolar. A capacidade de pensar matematicamente é, pelo menos, tão
importante como o domínio de conhecimentos matemáticos específicos.
Trata-se de uma capacidade que parece ser claramente estimulada pela rea-
lização deste tipo de actividades.

Histórias de investigações matemáticas
111
Para além disso, a realização de tarefas de investigação permite o
estabelecimento de ligações entre os mais diversos tópicos, dando uma
perspectiva coerente e integrada da Matemática, completamente diferente
da perspectiva compartimentada que os alunos tendem a manifestar. Trata-
se, portanto, de um tipo de actividade que ajuda a criar uma imagem muito
diferente — e mais verdadeira — desta ciência.
Estas tarefas proporcionam momentos de intenso envolvimento em
actividades matemáticas de alunos de diversos níveis etários e de compe-
tências. Nas narrativas produzidas neste projecto temos fortes testemunhos
do entusiasmo e da riqueza das experiências por eles vividas — aproxi-
mando-se muitas vezes da ideia de comunidade de aprendizagem. Se por
vezes falta vida na aula de Matemática, ela parece claramente poder ser
estimulada com a realização deste tipo de tarefas.
Estas tarefas permitem ainda ao professor conhecer melhor as reais
capacidades e dificuldades dos seus alunos, dando-lhe a possibilidade de
uma mais adequada programação do seu ensino.
Por todas estas razões, o trabalho desenvolvido não fez senão refor-
çar a nossa convicção na importância curricular deste tipo de trabalho
matemático, pelo menos nos ciclos de ensino a que se referem as aulas rea-
lizadas no quadro deste projecto (2º e 3º ciclos do ensino básico).
Uma outra observação refere-se à natureza das actividades de inves-
tigação. O conceito de actividade de investigação tem diversos significa-
dos, conforme os autores, os contextos e as tradições. O trabalho realizado
(sobretudo pelas discussões que motivou entre os membros da equipa) aju-
dou a clarificar este conceito. No início era muito forte a ideia de que as
actividades de investigação poderiam ser um bom suporte para a aprendi-
zagem de conceitos. Com o prosseguimento da reflexão sobre as experiên-
cias tornou-se cada vez mais evidente o valor das actividades de investiga-
ção para o desenvolvimento de determinadas competências nos alunos e
também como um meio para melhor se compreenderem as suas capacidades
e processos de raciocínio. Assim, foi ganhando peso a noção que há grande
vantagem em que as propostas de trabalho sejam tanto quanto possível
abertas, dando aos alunos uma verdadeira oportunidade de serem eles pró-
prios a formular as suas questões. O ponto de partida poderá ser, em muitos
casos, uma ou outra questão mais estruturada. Mas, dum modo geral, as
tarefas a propor devem permitir ao aluno uma ampla margem de escolhas

Histórias de investigações matemáticas
112
pessoais, tanto em relação às questões a estudar como no que se refere às
estratégias a seguir.
As interacções sociais no processo de aprendizagem
No que respeita ao processo de aprendizagem, os nossos pressupos-
tos iniciais sobre a importância da interacção na sala de aula também não
fizeram mais do que confirmar-se. Colocados perante tarefas estimulantes,
os alunos espontaneamente interagem uns com os outros, o que favorece
fortemente a aprendizagem. A interacção ocorre em múltiplas ocasiões —
quando o aluno dialoga “de igual para igual” com o professor, quando (no
trabalho de pares ou em grupo) fala e negoceia com os colegas, ou quando
participa numa discussão colectiva. A interacção é essencial para a partilha
de significados, para o intercâmbio das ideias e para a sustentação do
ambiente de aprendizagem.
As aulas de investigação realizadas usaram com bons resultados
diversos tipos de modo de trabalho dos alunos (aos pares, em grupos de 4
ou de 5 alunos e em momentos colectivos). Predominou o trabalho de gru-
po, que tem sem dúvida potencialidades importantes para facilitar a inte-
racção entre os alunos e promover o desenvolvimento da capacidade de
cooperação. Mas o trabalho de grupo envolve, como é sabido, uma apren-
dizagem de articulação de estilos de trabalho e de características pessoais e
de divisão de tarefas que os alunos levam tempo a realizar. O trabalho aos
pares também promove a colaboração e a interacção entre os alunos. A
principal dificuldade surge durante o acompanhamento na realização da
tarefa e na discussão (em vez de 6 ou 7 grupos, o professor tem de dar
atenção a 12 ou 13 pares). Numa aula colectiva de investigação, a dinâmica
é completamente diferente, mas os resultados podem também ser positivos.
O trabalho de investigação realizado teve por base fundamental a sala de
aula, mas por vezes propostas de questões para pensar em casa também se
revelaram extremamente produtivas.
A interacção professor-aluno que tende a ocorrer numa aula de inves-
tigação é muito diferente da que ocorre numa aula de exposição de matéria
ou de realização de exercícios. Não perde importância, mas muda de natu-
reza. Em contrapartida, a interacção aluno-aluno, tende a ser muito mais
forte numa aula de investigação do que numa aula de tipo habitual. A
emergência de modos de interacção tende a alterar o papel do professor,

Histórias de investigações matemáticas
113
que, em vez de “actor” solitário, aparece mais como o “maestro” das acti-
vidades da aula. Mais participada e mais produtiva (pelo leque muito mais
diversificado das aprendizagens que são promovidas), a aula torna-se deste
modo um lugar onde não só se aprende uma Matemática mais autêntica,
mas onde também se aprende a discutir, a argumentar e a viver numa rela-
ção interpessoal mais democrática. Por outro lado, a interacção entre alunos
estimula-os a descobrir novas relações entre conceitos, proporciona-lhes
uma maior compreensão e muito mais segurança nas ideias matemáticas.
A valorização da importância das interacções que resulta deste pro-
jecto, sugere novas questões empíricas a investigar: quais os aspectos
característicos das interacções professor-aluno na fase de arranque, de rea-
lização e de discussão duma actividade de investigação? e quais os traços
principais das interacções aluno-aluno? que relação há entre a natureza da
tarefa (mais aberta ou mais estruturada) e as interacções que naturalmente
se desenvolvem? e para além da natureza das tarefas, que outros factores
intervêm de forma decisiva no desenvolvimento das interacções?
O professor e a inovação educativa
Relativamente à inovação educativa, a realização deste tipo de tare-
fas na sala de aula revelou-se um desafio mais difícil para alguns dos pro-
fessores do que aquilo que se podia esperar. O ensino usual da Matemática
contempla essencialmente momentos de exposição (de forma mais ou
menos dialogada, mas sempre conduzida pelo professor) e de prática de
exercícios de aplicação das ideias anteriormente expostas. Todos os profes-
sores tiveram certamente ao longo da sua vida momentos mais ou menos
gratificantes de investigação (enquanto alunos do ensino não superior, em
disciplinas da Faculdade, em cursos de formação contínua, em projectos
individuais ou de grupo, etc.). Mas, como mostra a reacção dos professores
exteriores à equipa do projecto convidados a colaborar, a ideia de propor
este tipo de actividades aos alunos surge para a grande maioria como com-
pletamente nova. Quais os objectivos destas actividades? como se articulam
com o programa?...
Na verdade, nas narrativas incluídas neste trabalho há que distinguir
entre as que se referem a professores com uma forte participação anterior
em processos de inovação educacional ou que tiveram ao longo deste ano
muitas oportunidades de discutir aspectos relacionados com a condução das

Histórias de investigações matemáticas
114
actividades de investigação13 e os outros professores, para quem esta ideia
surge pela primeira vez. Enquanto que os primeiros se mostram relativa-
mente à vontade (embora por vezes também sintam dúvidas e hesitações),
os segundos mostram algum embaraço no modo de enquadrar as activida-
des de investigação no seu plano curricular. Manifestam interesse e boa
vontade, mas evidenciam grande dificuldade em integrar as propostas nos
seus planos de trabalho e em executar aulas de investigação.
Como seria de esperar, os professores evidenciam diversas dificulda-
des, dilemas e receios. Sentem-se em cheque a experimentar os materiais,
têm medo de não fazer “bem” as coisas. Manifestam receios que os alunos
não compreendam ou não se interessem pelas tarefas, embora outras vezes
pareçam acreditar que este tipo de trabalho é intrinsecamente motivante.
Nem sempre planeiam com cuidado o arranque das actividades14. Têm tam-
bém dificuldade no dosear do apoio a prestar aos alunos, umas vezes dando
apoio de mais e outras vezes de menos. Mostram tendência para separar
duma forma muito estanque os momentos de trabalho dos alunos dos
momentos de discussão — que muitas vezes só ocorrem em aulas distintas.
Por vezes dão pistas a mais logo na fase de introdução da tarefa. Raramente
promovem discussões intermédias a meio do percurso e por vezes nem
fazem a discussão final. Os professores tendem a ficar embaraçados quando
a discussão toma caminhos imprevistos, o que pode acontecer tanto com
alunos mais velhos como com alunos mais jovens. Eles estimulam e enco-
rajam os alunos mas têm dificuldade em colocar boas questões que os
orientem sem lhes “dizer tudo”. Sentem insegurança no modo de avaliar os
alunos. Estas inseguranças são, de resto, naturais e inevitáveis, sendo cada
vez mais necessário aprender a viver com elas. A realização de actividades
de investigação na sala de aula constitui obviamente um quadro de acção
mais exigente e mais trabalhoso para o professor.
As diversas narrativas produzidas mostram também os professores a
entusiasmar-se com este tipo de actividade na sala de aula. Mostram que os
professores valorizam a realização de investigações e reconhecem as suas
próprias capacidades na respectiva condução — na adaptação das tarefas às
características dos seus alunos, no relacionamento com os grupos, na reali-
zação das discussões e nas decisões tomadas em momentos críticos do tra-
13 Estão neste caso os membros da equipa do projecto e algumas das professoras cooperantes.
14 Uma tendência muito comum entre os professores de Matemática é a de dar uma ficha com o enuncia-
do das tarefas aos alunos e dizer-lhes simplesmente para começarem a trabalhar.

Histórias de investigações matemáticas
115
balho. Mostram ainda que os professores reconhecem novas competências
e capacidades nos alunos, surpreendendo-se com frequência com aquilo
que eles são capazes de fazer.
Em resumo, parece existir o potencial para fazer destas actividades
um eixo importante no ensino da Matemática. Mas não pode ser subestima-
do o trabalho de apoio (em recursos, em formação, em dispositivos perma-
nentes de troca de experiências) necessário para que a sua prática se possa
tornar corrente nas aulas desta disciplina.
A metodologia
Este projecto de investigação teve uma forte dimensão colaborativa,
propondo-se reflectir com os professores sobre a sua prática. Pretendíamos
encontrar modos de facilitar a reflexão aos professores sobre o conheci-
mento profissional implícito nas suas aulas — com o duplo objectivo de
lhes proporcionar uma oportunidade de reflexão acompanhada e de obter os
dados necessários para a investigação. Nas conversas posteriores às aulas
verificámos que os professores falam com gosto sobre coisas que acontece-
ram, o que disse o aluno, o que fez o grupo, etc. em registos informais. Mas
quando se adopta um registo formal de entrevista (e pior ainda, quando se
começa a gravar a conversa), os professores tendem a falar muito pouco. O
seu constrangimento é evidente. Tudo corre ainda pior quando se dispõe de
pouco tempo. Apesar disso, à falta de melhor alternativa, neste projecto
usámos extensivamente as gravações. Futuramente, serão de ensaiar outras
técnicas que permitam evitar estes problemas. Uma hipótese será procurar
fazer um melhor planeamento do tempo. Outra possibilidade será usar
metodologias em que a conversa seja “gravada” na memória do investiga-
dor, sendo transcrita posteriormente o mais rapidamente possível. Só a
comparação de diversos procedimentos de investigação poderá indicar qual
o modo mais vantajoso para se alcançar tanto o objectivo formativo como o
de investigação.
Na maior parte dos casos, foram observadas as aulas onde se propu-
seram tarefas de investigação15. Em alguns casos efectuaram-se registos
vídeo. A realização de discussões, não logo a seguir à aula mas um pouco
mais tarde, já depois de visto o vídeo e seleccionados pontos para discus-
15 O processo de realizar observações e os instrumentos de apoio a usar nesta tarefa precisam de ser
objecto de maior atenção em futuros estudos.

Histórias de investigações matemáticas
116
são, revelou-se particularmente frutífera. Mas estas discussões também
mostram que, para o professor, reflectir sobre as aulas é sempre uma tarefa
difícil. Torna-se evidente que os professores não têm um vocabulário muito
fluente para descrever e analisar as suas aulas. É-lhes particularmente com-
plicado explicar e fundamentar as suas opções, tanto na preparação como
na condução da aula, o que resulta certamente do modo essencialmente
intuitivo como planeiam e executam a maior parte da sua actividade.
O trabalho realizado neste projecto evidencia igualmente a tendência
do investigador para avaliar os acontecimentos da aula de modo diferente
do professor. A adopção de uma atitude crítica pela parte dos investigado-
res em relação aos professores inviabiliza o desenvolvimento duma relação
de proximidade e confiança e põe completamente em causa a produção das
narrativas. Além do mais, a aparente assimetria de autoridade sobre o
assunto pode condicionar a própria reflexão do professor se o investigador
não for cuidadoso e insistir em atender apenas aos seus pontos de vista
sobre a situação vivida.
As narrativas são uma ideia fundamental da metodologia do projecto.
O que apreendemos a seu respeito? Na grande maioria dos casos, as narra-
tivas aqui apresentadas são da iniciativa dos membros da equipa, tendo por
base a observação da aula e a discussão com o professor. Mas há várias
excepções, como as auto-narrativas feitas pelos próprios professores que
viveram os acontecimentos e uma narrativa tendo por base o visionamento
do vídeo e o testemunho oral da professora. A intenção de dar aos professo-
res um papel importante na redacção inicial das narrativas não deve, no
entanto, ser completamente abandonada, sendo necessário procurar formas
alternativas de a concretizar.
Depois de algumas tentativas de narrativas mais ou menos mal suce-
didas, chegámos à conclusão que uma narrativa tem de ter um tema central.
Não pode conter “tudo” sobre a aula, pois nesse caso corre o sério risco de
se transformar num relatório. Sendo a narrativa um modo de descrever a
experiência vivida, ela tem que necessariamente conter ‘cor’ porque é dessa
forma que as situações são percebidas pelos intervenientes. O relatório, ao
invés, tende a ser um registo mais linear que, pretendendo-se objectivo e
imparcial, é desprovido das sensações, das incertezas e do sentido que o
acontecimento teve para a pessoa que o viveu.
Uma narrativa precisa naturalmente de ter uma complicação princi-
pal (que pode ser sentida pelo professor ou pelo observador). Precisa, além

Histórias de investigações matemáticas
117
disso, de ter uma “avaliação” que nos dê a perspectiva do narrador (neste
caso, o professor). Finalmente, precisa de ter um mínimo de atractivo para
quem as lê16, o que significa que a complicação da acção foi identificada
como tal pelo leitor e que este procura conhecer o seu desenvolvimento e
desfecho.
A produção das narrativas revelou-se um processo bastante mais
penoso do que o que tínhamos suposto — tanto para os professores como
para os próprios membros da equipa. Foi necessário um esforço considerá-
vel para produzir a presente colecção. Apesar disso, consideramos o pro-
cesso de construção das narrativas como francamente fecundo. Ajudou-nos
a compreender novos aspectos do processo de ensino-aprendizagem, em
especial no que toca às actividades de investigação. A procura da compli-
cação em cada caso levou-nos a ver a aula sob novas perspectivas, ajudou-
nos a ver aspectos da aula que muitas vezes não entram nos relatos usuais.
No fim deste trabalho o que podemos dizer sobre o alcance e o valor
das narrativas? Elas constituem relatos interessantes que poderão ser utili-
zados na formação (inicial e contínua) de professores. Poderão igualmente
servir para investigadores, técnicos de educação, políticos e pais terem um
melhor conhecimento do que se passa do outro lado dos acontecimentos.
Continuamos a acreditar que serão um bom meio de divulgação de questões
relacionadas com as problemáticas da didáctica da Matemática e o conhe-
cimento profissional do professor. Só o futuro poderá dizer se temos nesse
ponto alguma razão.
Nota final
O confronto da experiência do projecto com as impressões da visita
de estudo realizada a Inglaterra por membros da equipa suscita-nos algu-
mas reflexões finais. Neste país, a sala de aula de Matemática começa por
dar a um visitante desprevenido uma impressão de grande desarrumação.
Não será de admirar, porque nas nossas salas de aula (praticamente só com
mesas e cadeiras) não há muita coisa para desarrumar. No entanto, pode-se
fazer uma outra leitura: nas aulas de Matemática inglesas, ao contrário das
nossas, usam-se bastantes materiais e há uma grande actividade. Naquele
país, as salas (do 6º ano de escolaridade em diante) tendem a ser atribuídas
16 A avaliação de que modo este objectivo foi atingido fica, naturalmente, a cargo do leitor.

Histórias de investigações matemáticas
118
às disciplinas (e não às turmas), favorecendo a organização de recursos
para o ensino-aprendizagem.
Numa semana, visitando escolas um pouco ao acaso, foi possível
descobrir alunos a realizar actividades de investigação, bem como aulas de
tipo mais habitual. Nas aulas de investigação salta à vista a pouca atenção
que, aparentemente, o professor dedica aos alunos. A outra leitura é que os
alunos trabalham de modo muito mais independente do que o que nós
estamos habituados a ter nas nossas aulas. Nestas condições, o registo
escrito do trabalho realizado tem um peso muito grande. Nos seus trabalhos
(a maior parte dos quais individuais) os alunos explicam todo o seu racio-
cínio por escrito. O trabalho de grupo não é, aparentemente, a prática domi-
nante (embora os alunos estejam sentados com frequência em grupos de 3
ou 4 numa mesa). Mesmo quando os alunos trabalham em grupo, cada um
entrega o seu relatório. Na aula vê-se pouca discussão. Aparentemente, os
professores dão um papel pouco relevante a este momento de trabalho. O
que importa sobretudo é o trabalho escrito e é isso que é tido em conta para
avaliação. Sabemos que a oralidade é difícil, sobretudo na argumentação à
volta de questões incertas em que tanto o professor como os alunos têm que
estar constantemente a “pensar em voz alta”, sujeitando-se com frequência
a errar e a ter de mudar as suas posições e opiniões. Será que a revaloriza-
ção da dimensão oral (no apoio a prestar aos alunos, nos momentos de dis-
cussão colectiva) se revelará um desafio demasiado ambicioso para os pro-
fessores e alunos portugueses?
O trabalho final dos alunos, relativo a cada investigação, é apresen-
tado por escrito e levado pelo professor para corrigir em casa. O professor,
em Inglaterra, faz muito mais trabalho de verificação das produções escri-
tas dos alunos do que é habitual entre nós. Mas, como vimos, não é só neste
aspecto que o trabalho do professor se torna mais exigente. Será que os
professores portugueses estarão disponíveis para o investimento extra que
representa a preparação, a condução e a avaliação regular deste tipo de acti-
vidades?
Nas escolas existem portefólios com trabalhos antigos dos alunos
que os professores mostram com gosto aos visitantes. Pelo volume dos tra-
balhos feitos, percebe-se que as investigações têm um peso significativo
nas actividades da aula. Mas também se vêem os alunos a fazer exercícios
repetitivos. As aulas de “matéria nova”, tal como entre nós, são muito
estruturadas e centradas no professor. Tudo parece indicar que se passou a

Histórias de investigações matemáticas
119
ter aulas de três tipos: (a) introdução de novos assuntos, (b) exercícios de
aplicação, e (c) investigações. Será isto inevitável ou será possível ir mais
longe e conseguir uma maior integração entre estes três tipos de situação de
ensino-aprendizagem?
Em Inglaterra, os professores já parecem ter interiorizado que reali-
zar investigações faz parte do trabalho normal da aula de Matemática. Tra-
ta-se de um dado adquirido, além do mais claramente estabelecido no currí-
culo oficial. No entanto, existe na comunidade de educação matemática um
grande mal estar em relação a esta questão. Muitos investigadores apontam
que a generalização forçada destas actividades pela regulamentação oficial
levou ao estabelecimento de práticas que tendem a rotinizar este tipo de
processos, fazendo-as perder o essencial dos seus objectivos e das suas
características — momentos de actividade matemática genuína e criativa
por parte dos alunos.
Enfim, são problemas que nos devem alertar para o facto de que a
divulgação das actividades de investigação na aula de Matemática não pode
deixar de assentar em primeiríssimo lugar na descoberta do seu real valor
educativo por parte dos professores.

Histórias de investigações matemáticas
120
5. BIBLIOGRAFIA
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Histórias de investigações matemáticas
123
6. ANEXOS

Histórias de investigações matemáticas
124
Potências e regularidades
1. O número 729 pode ser escrito como uma potência de base 3. Para o
verificar basta escrever uma tabela com as sucessivas potências de 3:
32 = 9
33 = 27
34 = 81
35 = 243
36 = 729
• Procura escrever como uma potência de base 2
64 =
128 =
200 =
256 =
1000 =
• Que conjecturas podes fazer acerca dos números que podem ser escri-
tos como potências de base 2? e como potências de base 3?

Histórias de investigações matemáticas
125
2. Repara na seguinte tabela de potências de 5
5
1 = 5
5
2 = 25
5
3 = 125
5
4 = 625
• O último algarismo de cada uma das sucessivas potências é sempre 5.
Será que isso também se verifica para as potências seguintes de 5?
• Investiga o que se passa com as potências de 6
• Investiga também as potências de 9 e 7.
3. Repara que os cubos dos primeiros números naturais obedecem às
seguintes relações:
13=1
23=3+5
33 = 7+9+11
• Nota que, no exemplo acima, 13 foi escrito como uma “soma” com um
único número ímpar, 23 como a soma de dois números ímpares e 33
como a soma de três números ímpares. Será que o cubo de qualquer
número pode ser escrito como a soma de números ímpares?

Histórias de investigações matemáticas
126
Números quadrados e triangulares
1. Os números quadrados podem “escrever-se” formando quadrados. Por
exemplo:
••••••
••••• ••••••
•••• ••••• ••••••
••• •••• ••••• ••••••
•• ••• •••• ••••• ••••••
• •• ••• •••• ••••• ••••••
1 4 9 16 25 36
• Descobre um processo rápido de descobrir se um número qualquer é
quadrado e regista-o na tua folha de trabalho.
2. Os números triangulares podem “escrever-se” formando triângulos.
Por exemplo:
•
• ••
• •• •••
• •• ••• ••••
• •• ••• •••• •••••
• •• ••• •••• ••••• ••••••
1 3 6 10 15 21
• Escreve os cinco números triangulares que se seguem ao 21.
• Investiga um processo rápido de descobrir se um número qualquer
é triangular ou não.
• Regista as tuas conclusões.

Histórias de investigações matemáticas
127
Explorações com números
• Procura descobrir relações entre os números que se seguem:
0 1 2 3
4 5 6 7
8 9 10 11
12 13 14 15
16 17 18 19
... ... ... ...
• Como sempre, regista as conclusões que fores obtendo.

Histórias de investigações matemáticas
128
Às voltas com os múltiplos
• Escreve em coluna os 20 primeiros múltiplos de 5.
• Repara nos algarismos das unidades e das dezenas. Encontras
algumas regularidades?
• Investiga agora o que acontece com os múltiplos de 4 e 6.
• Investiga para outros números.

Histórias de investigações matemáticas
129
Propriedades das potências de expoente inteiro
1. Recorda as regras do cálculo com potências e aplica-as sempre que pos-
sível às seguintes expressões:
• 105 : 102 • 23 + 24
• 24 x 34 • 32 - 33
• (-12)6 : 26 • 3n x 2n
• (-5)3 : (-5)3 • a5 : a5
2. Nota que nos dois últimos casos da questão anterior podes aplicar tanto a
regra do quociente de potências com a mesma base como a do quociente de
potências com o mesmo expoente.
• Que resultados obténs aplicando as duas regras?
• Experimenta com outros exemplos idênticos aos anteriores. O que
poderás concluir acerca do valor de a0?
3. Considera agora a sequência:
81 27 9 3 1
1
3 1
9 1
27 ...
• Qual é a lei de formação dos termos desta sequência?
• Representa os termos indicados sob a forma de potências de base 3.
• Serás capaz de encontrar uma expressão geradora que represente
todos esses termos?

Histórias de investigações matemáticas
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Quadrados com fósforos
• Quantos fósforos foram utilizados na construção deste quadra-
do?
• Investiga quantos fósforos são necessários para construir qual-
quer quadrado deste tipo.