Theorems about includings for multivalued mappings

Abstract

This paper is devoted to studying of some properties of multivalued mappings
in Euclidean space. There were proved theorems on a fixed point for multivalued
mappings whose restrictions to some subset in the closure of a domain satisfy
"a coacute angle condition" or "a strict coacute angle condition". There also
were obtained similar results for restrictions of multivalued mappings
satisfying some metric limitations.

Full text

arXiv:1310.2707v1 [math.CV] 10 Oct 2013
УДК 517.9
Ю. Б. Зелинский, Б. А. Клищук, М. В. Ткачук (Yu. B. Zelinskii, B. A. Klishchuk,
M. V. Tkachuk), Iн-т математики НАН України, Київ.
ТЕОРЕМЫ О ВКЛЮЧЕНИИ ДЛЯ МНОГОЗНАЧНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
(THEOREMS ABOUT INCLUDINGS FOR MULTIVALUED MAPPINGS).
This paper is devoted to studying of some properties of multivalued mappings in Euclidean
space. There were proved theorems on a fixed point for multivalued mappings whose restrictions
to some subset in the closure of a domain satisfy “a coacute angle condition” or “a strict
coacute angle condition”. There also were obtained similar results for restrictions of multivalued
mappings satisfying some metric limitations.
Вивчаються деякi властивостi многозначних вiдображень в евклiдовому просторi. До-
ведено теореми про нерухому точку для многозначних вiдображень, звуження яких на
деяку пiдмножину в замиканнi областi задовольняють “умовi когострого кута” або “умо-
вi строгого когострого кута”. Подiбнi результати отримано i для звужень многозначних
вiдображень, якi задовольняють деяким метричним обмеженням.
Изучаются некоторые свойства многозначных отображений в евклидовом пространс-
тве. Доказаны теореми о неподвижной точке для многозначных отображений, сужения
которых на некоторое подмножество в замыкании области удовлетворяют “условию ко-
острого угла” либо “условию строгого коострого угла”. Подобные результаты получены
и для сужений многозначных отображений, удовлетворяющих некоторым метрическим
ограничениям.

1. Введение. В настоящей работе мы продолжаем исследование многозначных вклю-
чений, начатых в [1], и основанных на использовании геометрической формы теоремы
Хана-Банаха. Мы избавляемся от условия содержания искомой областью начала коорди-
нат, рассматриваем отображения не только в то же пространство, но и в другое, а также
уменьшаем размеры множества, на котором справедливы “ограничения типа острого угла”
[2-5].
2. Обозначения и основные определения. Пусть En—n-мерное евклидово (дей-
ствительное или комплексное) пространство, x,y— некоторые точки En,A,B— подмно-
жества En,h∗,∗i — скалярное произведение в En,conv A — выпуклая оболочка множества
A,∠xOy =arccos Rehx,yi
√hx,xi√hy,yi.
Далее будем рассматривать многозначные (в том числе однозначные и разрывные) ото-
бражения подмножеств евклидового пространства.
Пусть XиY— топологические пространства. Если F1, F2:X→Y— два многозначных
отображения, то будем говорить, что F2есть сужением отображения F1, если F1(x)⊃
F2(x)6=∅для всех точек x∈X(в частности, если A⊃BиF1:A→Y,F2:B→Y— два
отображения, то отображение F2есть сужением отображения F1на B, если F1(x) = F2(x)
при x∈BиF2(x) = ∅при x /∈B, т.е. не исключено, что для отдельных точек образы
сужения пустые множества).
Скажем, что на множестве Aотображение Fудовлетворяет “условию острого (строгого
острого) угла”, если выполнено условие Re hx, yi ≥ 0(Re hx, yi>0) для всех пар точек
x∈A,y∈F(x).
3. “Условие коострого угла”. Пусть Y∗— дуальное пространство к пространству Y.
Будем говорить, что отображение F:A→Y(A⊂X)удовлетворяет "условию коострого
угла" на A, если для каждой точки y∗∈Y∗,y∗6= 0, существует точка x∈Aтакая, что
выполнено условие Re hy, y∗i ≥ 0для всех точек y∈F(x).
Справедливо следующее утверждение.
Теорема 1. Пусть D— область евклидова пространства En=X. Пусть K⊂D—
подмножество в замыкании этой области и пусть существует такое сужение F1мно-
гозначного отображения F:D→En=Yна подмножество K, которое удовлетворяет
“условию коострого угла” и conv F1(K)— компакт. Тогда если conv F1(K)⊂F(D), то
0∈F(D).
Доказательство. Предположим, что 0/∈F(D). Следовательно, 0/∈conv F1(K).
Тогда согласно геометрической форме теоремы Хана–Банаха существует гиперплоскость
L, которая отделяет начало координат от компактного выпуклого множества conv F1(K).
Выберем луч l, выходящий из начала координат перпендикулярно к гиперплоскости L
и направленный в сторону противоположную conv F1(K). Для евклидовых пространств
отображение двойственности F:Y→Y∗биективно. Выберем произвольную точку y∗,
отличную от начала координат, на луче l. С одной стороны по построению y∗/∈conv F1(K),
а с другой, согласно “условию коострого угла”, существует точка x∈K, образ F1(x)
которой должен находиться в том же полупространстве по отношению к гиперплоскости
L, что и точка y∗. Полученное противоречие доказывает теорему.
3. “Условие строгого коострого угла”. Отображение F:A→Y(A⊂X)удов-
летворяет "условию строгого коострого угла" на A, если для каждой точки y∗∈Y∗,
y∗6= 0, существует точка x∈Aтакая, что выполнено условие Re hy, y∗i>0для всех точек
y∈F(x).
Используя рассуждения предыдущей теоремы вместе с рассуждениями, примененными
при доказательстве теоремы 2 [1], получим следующий результат.

Теорема 2. Пусть D— область евклидова пространства En=X. Пусть K⊂D—
подмножество в замыкании этой области и пусть существует такое сужение F1мно-
гозначного отображения F:D→En=Yна подмножество K, которое удовлетворяет
“условию строгого коострого угла”. Тогда если conv F1(K)⊂F(D), то 0∈F(D).
Доказательство. Предположим, что 0/∈F(D)и, следовательно, 0/∈conv F1(K).
Внутренность Int (conv F1(K)) будет выпуклым открытым множеством, не содержащим
начало координат. Если Int (conv F1(K)) = ∅, то множество conv F1(K)имеет размер-
ность не выше (n−1) и поэтому полностью лежит в некоторой гиперплоскости. Следова-
тельно существует гиперплоскость L, которая проходит через начало координат и которая
или полностью содержит множество conv F1(K), или же с ним не пересекается. Если же
Int (conv F1(K)) 6=∅, то существует гиперплоскость L, которая проходит через начало
координат и не пересекает множество Int (conv F1(K)). Для произвольного выпуклого
множества Aс непустой внутренностью (Int A 6=∅) справедливо Int A =A. Следова-
тельно, в обоих случаях множество conv F1(K)полностью лежит в одном из замкнутых
полупространств, на которые плоскость Lразбивает пространство. Теперь можем выбрать
луч l, выходящий из начала координат перпендикулярно к гиперплоскости Lи направлен-
ный в сторону, противоположную полупространству, содержащему множество conv F1(K).
Выберем произвольную точку y∗∈l, отличную от начала координат, на этом луче. С одной
стороны y∗/∈conv F1(K), а с другой, согласно “условию строгого коострого угла”, суще-
ствует точка x∈K, образ F1(x)которой должен находиться в том же полупространстве
по отношению к гиперплоскости L, что и точка y∗. Полученное противоречие доказывает
теорему.
4. “ε-условие острого угла”. Дальше зададимся целью уменьшить размеры множе-
ства, на котором выполнены “условия типа острого угла” за счет более строгих неравенств.
Скажем, что множество Aявляется радианной (угловой) ε-сетью, если для каждого лу-
ча, выходящего из начала координат, существует луч, образующий с ним угол радианной
величины меньше εи пересекающий A.
Будем говорить, что на множестве Aотображение Fудовлетворяет “ε-условию острого
угла”, если X=Yи для произвольной точки x∈Aсуществует y∈F(x)такое, что
выполняется условие ∠xOy < π
2−ε.
Теорема 3. Пусть D— область евклидова пространства En=X. Пусть K⊂D—
подмножество в замыкании этой области, являющееся радианной ε-сетью и пусть су-
ществует сужение F1многозначного отображения F:D→En=Xна подмножество
K, которое удовлетворяет “ε-условию острого угла”. Тогда, если conv F1(K)⊂F(D), то
0∈F(D).
Доказательство. Предположим, что 0/∈F(D). Как и в теореме 2 найдем гиперпло-
скость L, которая проходит через начало координат и которая или полностью содержит
множество conv F1(K), или же с ним не пересекается. Выберем луч l, выходящий из на-
чала координат перпендикулярно к гиперплоскости Lи направленный в сторону противо-
положную полупространству, содержащему множество conv F1(K). По условию найдется
луч l1, такой что ∠lOl1< ε. Согласно “ε-условию острого угла” найдется на луче l1точка
x1∈l1∩K, такая что угол ∠x1Oy < π
2−εдля всех точек y∈F1(x1). С одной стороны,
множество F1(x1)⊂F1(K)⊂convF1(K), а с другой ∠lOy =∠x1Oy +∠lOl1<π
2−ε+ε=π
2.
Полученное противоречие доказывает теорему.
5. “δ-условие коострого угла”. Скажем, что отображение Fудовлетворяет “δ-
условию коострого угла”, если для каждой точки y∗некоторой ε-сети Σна единичной
сфере S∗={y∗∈Y∗:ky∗k= 1}вY∗существует точка x∈Xтакая, что выполнено
условие Re hy, y∗i> δkykдля всех точек y∈F(x).

Теорема 4. Пусть D— область евклидова пространства En=X. Пусть K⊂D
— подмножество в замыкании этой области и пусть существует такое сужение F1
многозначного отображения F:D→En=Yна подмножество K, которое удовлетво-
ряет “δ-условию коострого угла” для некоторой ε
2-сети ΣвS∗, такой что δ > sin δ > ε
2.
Тогда, если conv F1(K)⊂F(D), то 0∈F(D).
Доказательство. Возьмем произвольную точку y∗
1∈S∗⊂Y∗. Исходя из условия
теоремы, существуют точки y∗∈Σ⊂S∗⊂Y∗,ky∗−y∗
1k<ε
2, и x∈Xтакие, что выполнено
условие Re hy, y∗i=kyk ky∗kcos∠yOy∗=kykcos∠yOy∗> δkyk>kyksin δ > εkyk
2для всех
точек y∈F1(x). Тогда Re hy
kyk, y∗
1i= Re hy
kyk, y∗i+ Re hy
kyk, y∗
1−y∗i>ε
2− ky∗
1−y∗k>0.
Теперь данный результат следует из теоремы 2.
Замечание 1. Все предыдущие результаты будут справедливы, если отображение обла-
сти имеет сужение, удовлетворяющее условиям теоремы.
Исследования этой работы частично поддержаны грантом Тюбитек-НАНУ номер
110T558.
Авторы признательны профессору К.Н.Солтанову за обсуждение результатов и ценные
замечания.
Лiтература
[1] Зелинский Ю. Б., Клищук Б. А., Ткачук М. В. Теоремы о неподвижной точке
для многозначных отображений // Збiрник праць Iнституту математики НАНУ. —
2012. — 9, №2. — С. 175-179.
[2] Красносельский М. А. Топологические методы в теории нелинейных интеграль-
ных уравнений. — Москва: Гостехиздат. — 1956. — 392 с.
[3] Солтанов К. Н. О нелинейных отображениях и разрешимости нелинейных уравне-
ний // Докл. АН СССР. — 1986. — 289, № 6. — С. 1318—1323.
[4] Soltanov K. N. Remarks on Separation of Convex Sets, Fixed-Point Theorem and Appli-
cations in Theory of Linear Operators // Fixed Point Theory and Applications. — 2007.
— 14 p.
[5] Soltanov K. N. On semi-continuous mappings, equations and inclusions in the Banach
space // Hacettepe J. Math. Statist. — 2008. — 37. — P. 9—24.
[6] Зелинский Ю. Б. Многозначные отображения в анализе. — Киев: Наук. думка. —
1993. — 264 с.