Algebraische Körpererweiterungen

Abstract

Zunächst wollen wir erklären, auf welche Weise algebraische Gleichungen mit algebraischen Körpererweiterungen zusammenhängen. Wir beginnen mit dem naheliegenden Fall einer algebraischen Gleichung mit rationalen Koeffizienten, etwa f(x) = 0, wobei f ∈ ℚ[X] ein normiertes Polynom vom Grad ≥ 1 ist. Die Frage, was man unter den Lösungen einer solchen Gleichung zu verstehen hat und wie man mit diesen rechnet, wollen wir erst einmal zurückstellen, indem wir den Fundamentalsatz der Algebra als bekannt annehmen. Wir benutzen also, daß es in ℂ eine Nullstelle α zu f gibt, wobei dann f(α) = 0 als eine in ℂ gültige Gleichung aufzufassen ist. Um die “Natur” der Nullstelle α besser beschreiben zu können, ist man allerdings darum bemüht, einen möglichst kleinen Zahlbereich zu konstruieren, in dem die Gleichung f(α) = 0 gelesen werden kann. Ein solcher Bereich wird z. B. durch den kleinsten Unterring von ℂ gegeben, der ℚ und α enthält, also durch
\mathbb{Q}\left[ \alpha \right] = \left\{ {g\left( \alpha \right);g \in \mathbb{Q}\left[ X \right]} \right\}.