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Algoritmos GRASP para el MMSP-W con estaciones en serie y libre interrupción de operaciones

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Abstract and Figures

Se presenta una variante del problema de secuenciación en líneas de montaje de productos mixtos (MMSP-W: Mixed-Model Sequencing Problem with Workoverload Minimization) con estaciones en serie y sin restricciones en los instantes de interrupción de las operaciones, con el objetivo de minimizar la sobrecarga de trabajo. Para resolver el problema, se proponen 7 algoritmos basados en el esquema metaheurístico Greedy Randomized Adaptive Search Procedure (GRASP), que se aplican a una colección de 225 ejemplares recogidos de la literatura. Los resultados obtenidos mediante GRASP son computacionalmente competitivos con los conseguidos a través de la programación lineal entera mixta y se acercan a los proporcionados por la programación dinámica acotada.
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v
T´ıtulo: VIII CONGRESO ESPA
˜
NOL SOBRE METAHEUR
´
ISTICAS,
ALGORITMOS EVOLUTIVOS Y BIOINSPIRADOS.
ISBN: 978-84-615-693 1-1.
Patrocina: Ministerio de Ciencia e Innovaci´on (TIN2011-15220-E).
Edita: Jos´e A. amez, Joe M. Puerta, Francisco Parre˜no y Luis de la Ossa.
Universidad de Castilla-La Mancha.
vii
MAEB 2012 Albacete, 8-1 0 de Febrero de 201 2
Algoritmos GRASP pa ra el MMSP-W con
estaciones en serie y libre interrupci´on de
operaciones
Joaqu´ın Bautista, Alberto Cano, Roc´ıo Alfaro
Resum en Se presenta una variante del problema
de secuenciaci´on en l´ıneas de montaje de productos
mixtos (MMSP-W: Mixed-Model Sequencing Problem with
Workoverload Minimization)conestacionesenseriey
sin restricciones en los instantes de interrupci´on de
las op eraciones, con el objetivo de minimizar la so-
brecarga de trabajo. Para resolver el problema, se
proponen 7 algoritmos basados en el esquema me-
taheur´ıstico Greedy Randomized Adaptive Search Procedu-
re (GRASP ), que se aplican a una colecci´on de 225
ejemplares recogidos de la literatura. Los resultad os
obtenidos mediante GRASP son computacionalmente
competitivos con los conseguidos a trav´es de la pro-
gramaci´on lineal entera mixta y se acercan a los pro-
porcionados por la programacon diamica acotada.
Palabras clave MMSP-W, Secuenciaci´o n , Sobre-
carga, GRASP, Programaci´on lineal.
I. Introducci
´
on
Las l´ıneas de fabricaci´on de productos mixtos,
muy frecuentes en los entornos Just-in-time (JIT )y
Douki Seisan (DS ), permite n tratar diversas varian-
tes de uno o as productos. Esta flexibilidad condi-
ciona el orden en que se han de tratar las un idad es
para, por una par t e, consegu ir la reducci´on dr´asti-
ca de stocks intermedios, y, por otra, aprovechar al
aximo el tiempo disponible para l a fabricaci´on.
En estos entornos, pode mos encontrar dos cate-
gor´ıas de objetivos asicos [1]:
A. Vinculados al sobreesfuerzo o trabajo perdido:
Reducci´on al m´ınimo de las sobrecargas de tra-
bajo que pueden aparecer por programas de pro-
ducci´on con productos mixtos, debido a la du-
raci´on no homog´enea de l os tiempos de pro ces o
de las operaciones asociadas a distintos tipos de
producto incluidos en dichos programas.
B. Vinculados a JIT : Reducci´on al m´ınimo de los
niveles de stock en el sistema.
En cuanto a la categor´ıa A de objetivos, adem´as
del enfoque relativo a maximizar el trabajo total
completado [2], cabe la posib il i d ad de modular el
esfuerzo adicional qu e debe aplicarse a lo largo del
tiempo sobre algunas operaciones [3].
Bajo esta perspectiva, los problemas de secuencias
pueden ser agrupados en tres categor´ıas:
1. Mixed-model sequencing
2. Car sequencing
3. Level scheduling
Nissan Chair UPC, Barcelona, Espa˜na. E-mail: joa-
quin.bautista@upc.edu, alberto.cano-perez@upc.edu, ro-
cio.alfaro@upc.edu .
El presente trabajo se puede enmarcar en la cate-
gor´ıa A.1. y adopta como criterio de optimizaci´on la
minimizaci´on de la sobrecarga total de t r abajo.
La sobrecarga, o sobreesfuerzo, es una medida, en
unidades de tiempo, del trabajo que no se puede
completar, al ritmo de la actividad est´andar estable-
cida, en el tiempo (ciclo) concedido a las estaciones
de trabajo. Esta sobrecarga puede aparecer cu and o
el tiempo de proceso de una unidad, en una esta-
ci´on d e trabajo, es mayor que e l tiempo de ciclo [2];
incluso, la sobrecarga puede aparecer cuando con-
cedemos a cada estaci´on algo as de tiempo para
procesar cada unidad de producto; se tiene entonces
un ciclo ampliado, llamado ventana temporal, que es
el tiempo ax i mo que puede permanecer una unidad
en cada estaci´on de trabajo.
Ante una sobrecarga pr ev i si b le en una estaci´on, se
pueden adoptar, al menos, tres tipos de medidas:
I. Parar la l´ınea y completar el trabajo pendiente
con alg´un refuerzo [4], [5] .
II. Dejar pasar la unidad y concluir, posteriormen-
te, el tr ab ajo pendiente en una l´ınea final [2],
[6], [7], [8].
III. Incrementar la actividad productiva por enci-
ma de l a est´andar , mediante la asiste nc i a de
operarios de refuerzo o s i st e mas robotizados
programados previamente.
Este trabajo contempla las medidas de las cate-
gor´ıas II y III para tratar la sobrecarga.
El MMSP-W es un problema NP-hard [2] para cu-
ya resoluci´on se han propuesto diferentes alternati-
vas; qu e incluyen p r ocedimientos exactos basados en
Branch and Bound [9], p r ogram aci ´on din´amica [2],
[10], procedimientos h eu r´ısti cos basados en b´usque-
da local [6], [11], algoritmos Greedy con reglas de
prioridad [6], [12], metaheur´ısticas [13], [14], o basa-
dos en Beam Search [15].
Para este trabajo se ha dise˜nado un procedimi ento
GRASP extendido (GRASP-x ) que admite diversas
variantes en funci´on de los valores asignados a tres
par´ametros. Entre dichas variantes se encuentran las
heur´ısticas Greedy constructivas con poste ri or opti-
mizaci´on local, los procedi mi entos Multistart, los al-
goritmos GRASP cl´asicos [16], [17] y los algoritmos
GRASP en los que la probabilidad de selecci´on de los
candidatos se hace depender de la aptitud de ´estos,
la cual puede medirse a trav´es de una funci´on de ca-
lidad depen di e nte de cada candidato. Una ext e ns a
recopilaci´on de trabajos sobre aplicaciones de est os
752 Algoritmos GRASP para el MMSP-W con estaciones en serie y libre interrupci´on. . .
algoritmos se puede encontrar en [18], [19].
Los resultados que se han obtenido con el proce di -
miento GRASP extendi do son compu t aci on alm ente
competitivos con la programaci´on lineal entera mix-
ta y, en menor grado, con la programaci´on din´amica
acotada. Nuestra propuesta contiene lo siguiente:
1. Un modelo para el MMSP-W con estaciones en
serie y libre interrupci´on de las operaciones, que
parte de la base proporcionada por los modelos
de Yano [2] y Scholl [13] .
2. El dise˜no e implementaci´on de cotas parciales y
globales para el problema, basadas en la progra-
maci´on lineal.
3. Siete algoritmos basados en el procedimiento
GRASP que act´uan como maestros para dirigir
la exploraci´on en el espacio de b´usqueda y cuen-
tan con la asistencia de la pr ogram aci ´on lineal
para det e rm i nar los ´ındices de selecci´on de candi-
datos. Para ello, se ha empleado e l solver Gurobi
versi´on 4.5.0.
4. Una experiencia computaci onal , con ejemplares
de la literatura, para comparar los resultados ob-
tenidos mediante los procedimi e ntos implemen-
tados en este trabajo con los resultados ofrecidos
por la programaci´on lineal entera mixta y la pro-
gramaci´on din´amica acotada.
Este trabajo se organ i za de la siguiente forma. La
secci´on II presenta un modelo para el MMSP-W con
estaciones d e trabajo en serie y libre interrupci´on de
operaciones. La secci´on III contiene el dise˜no de co-
tas parciales y globales para el problema. La secci´on
IV muestra un ejemplo ilustrativo. En la secci´on V
se describe el procedimiento GRASP-x adaptado pa-
ra resolver el MMSP-W. La secci´on VI se centra en
la descripci´on y comparaci´on de resultados de la ex-
periencia computaci on al realizada, que expl ot a sie-
te algoritmos (derivados del procedimiento GRASP-x
tras fijar siete conjuntos de valores a los tres par´ame-
tros) sobre ejemplares de la literatura. Finalmente,
la secci´on VII muestra algunas conclusiones sobre el
presente trabajo.
II. Modelo para el MMSP-W con estaciones
de trabajo en serie y sin reglas de
interrupci
´
on de las operaciones
Para el MMSP-W con v´ınculos entre estaciones de
trabajo, libre interrupci´on de las operaciones y con
el objetivo de minimizar la sobrecarga de trabajo,
tomamos como referencia el mod el o M4, propuesto
en [10].
El mo delo extendido M4’, propue s t o en [ 20], s e
centra en minimizar la sobrecarga total (es de-
cir, maximizar el trabajo total completado), utiliza
los instantes relativos de inicio de las un id ad es y,
adem´as, considera as de un procesador homog´eneo
en cada estaci´on de trabajo.
Los par´ame t ros y las variables de es t e modelo se
presentan a continuaci´on.
Par´ametros
K Conjunto de estaciones de trabajo (k =
1,..,|K|).
b
k
N´umero de procesad ore s homog´eneos en ca-
da estaci´on de trabajo (k =1,..,|K|).
I Conjunto de tipos de producto (i =1,..,|I|).
d
i
Demanda programada del tipo de producto
i.
p
i,k
Tiempo de proceso requerido a cada proce-
sador homog´eneo (en actividad normal), por
una unidad de producto de tipo i en la esta-
ci´on k.
T Demanda total. Obviament e
|I|
i=1
d
i
= T .
t Indice de posici´on en la secuencia t =1,..,T.
c Tiempo de ciclo. Tiempo est´andar asigna-
do a cada procesador de las estaciones de
trabajo, k =1,..,|K|, para tratar cualquier
unidad de producto.
l
k
Ventan a tempor al . Tiempo aximo que se
le permite, a cada procesador de la estaci´on
k, trabajar en cualquier unidad de producto;
siendo l
k
c>0 el tiempo aximo que se
puede retener una un i dad de producto, en la
estaci´on k, una vez concluido e l ciclo.
Variables
x
i,t
Variable binaria que adopta el valor 1 si una
unidad del prod uc t o i (i =1,...,|I| ) se asig-
na a la posici´on t (t =1,...,T)delasecuen-
cia, y valor 0 en c aso contrario.
s
k,t
Instante de in i ci o del trabajo aplicado a la
t-´esima unidad de la secuencia de productos
en la estaci´on k (k =1,...,|K|).
w
k,t
Sobrecarga generada en cada procesador ho-
mog´eneo (en actividad normal) ,medidaen
tiempo, por la t-´esima unidad de producto
secuenciada en la estaci´on de trabajo k.
ˆs
k,t
Diferencia positiva entre el instante de inicio
real y el m´ınimo instante de inicio de la
t-´esima operaci ´on en la estaci´on de traba-
jo ks
k,t
=[s
k,t
(t 1)c]
+
(con [x]
+
=
max{0,x}).
ρ
k,t
Tiempo de proceso requerido a cada proce-
sador por la t-´esima unidad de la secuencia
de productos en la estaci´on de tr abajo k.
Modelo M4’
ın W =
|K|
k=1
b
k
T
t=1
w
k,t
(1)
sujeto a:
T
t=1
x
i,t
= d
i
i =1,..,|I| (2)
|I|
i=1
x
i,t
=1 t =1,..,T (3)
Joaqu´ın Bautista et al. 753
ρ
k,t
=
|I|
i=1
p
i,k
x
i,t
k =1,..,|K|;
t =1,..,T
(4)
ρ
k,t
w
k,t
0 k =1,..,|K|;
t =1,..,T
(5)
ˆs
k,t
ˆs
k,t1
+ ρ
k,t1
w
k,t1
c k =1,..,|K|;
t =2,..,T
(6)
ˆs
k,t
ˆs
k1,t
+ ρ
k1,t
w
k1,t
c k =2,..,|K|;
t =1,..,T
(7)
ˆs
k,t
+ ρ
k,t
w
k,t
l
k
k =1,..,|K|;
t =1,..,T
(8)
ˆs
k,t
0 k =1,..,|K|;
t =1,..,T
(9)
w
k,t
0 k =1,..,|K|;
t =1,..,T
(10)
x
i,t
{0, 1} i =1,..,|I|;
t =1,..,T
(11)
ˆs
1,1
= 0 (12)
En el modelo, la funci´on objetivo (1) representa
la sobr ec arga total (W ). La restricciones (2) requie-
ren que la demanda programada quede satisfecha.
La restricciones (3) indican q ue olo una unidad de
producto se puede asignar a cada posici´on de la s e-
cuencia. La restricciones (4) vinculan el tie mpo de
proceso requerido por el tipo de producto con los
tiempos de proceso requeridos por las unidades d e
la secuencia. La restricciones (5) establecen l´ımites
superiores para los valores de la sobrecarga a trav´es
de los tiempos de proceso requeridos por las unida-
des de la secuencia. Las restricciones (6) - (9) con st i -
tuyen el conjunto de los instantes inici al es r el at i vos
de las operaciones en cada estac i ´on de trabajo y los
tiempos de proceso aplicados a los productos. La res-
tricciones (10) indican que las sobrecargas generadas
no pueden ser negativas. La restricciones (11) esta-
blecen que las variables de asignaci´on son binarias.
Por ´ultimo, la restricci´on (12) fija el inici o de las
operaciones.
III. Cotas globales y parciales pa ra M4’
Dada la secuencia parcial π(t)={π
1
, π
2
,...,π
t
},
se podr ´a determinar una cota global de W yuna
cota parcial del complemento R(π(t)) asociado a la
secuencia o segmento π(t)seg´unelesquemadela
figura 1.
Fig. 1. Esquema de cotas para una secuencia parcial π(t)
Para obtener las cotas de las sob re car gas asociadas
a π(t)yR(π(t)), se imponen las siguientes condicio-
nes a M4’ :
1. Se fijan los valores de las variabl es x
i,τ
(i =
1,...,|I| ; τ =1,...,t) en consonancia con π(t);
esto es:
x
i,τ
=
1,siπ
τ
= i
0,siπ
τ
= i
x
π
τ
,τ
=1
x
i,τ
=0,si i = π
τ
(13)
2. Se relaja la condici´on de binariedad en las varia-
bles x
i,τ
(i =1,...,|I|; τ = t +1,...,T)
0 x
i,τ
1 i =1,...,|I|; τ = t +1,...,T (14)
El resultado es el siguiente programa lineal
LB
M4’
ın LB(W (π(t))) =
|K|
k=1
b
k
T
t=1
w
k,t
(15)
sujeto a:
(2)-(10) y (12) de M4’
x
π
τ
,τ
=1 τ =1,...,t (16)
0 x
i,τ
1 i =1,...,|I|; τ = t+1,...,T (17)
El programa lineal anterior nos ofrecer´a una cota
global de la sobrecarga total (LB(W (π(t)))), as´ı co-
mo un valor de la sobrecarga asociada al segmen-
to π(t) (o sea, W (π(t) ) ) y una cota de la sobre-
carga asociada al complemento R(π(t)) (es decir,
LB(R(π(t)))). Estos valores pueden calcularse de la
siguiente manera:
W (π(t)) =
|K|
k=1
(b
k
t
τ =1
w
k,τ
) (18)
LB(R(π(t))) =
|K|
k=1
(b
k
T
τ =t+1
w
k,τ
) (19)
Los instantes relativos de finalizaci´on (ˆe
k,t
)dela
´ultima operaci´on de la secuencia parcial π(t), en cada
estaci´on de trab ajo, se pueden obtener a partir de
LB M4’, de la forma: ˆe
k,t
s
k,t
+ ρ
k,t
w
k,t
, k.
IV. Un ejemplo ilustrativo
Con el prop´osito de ilustrar el problema a trav´es
del modelo anteriormente formulado, presentamos el
siguiente ejemplo.
Se di spone de 6 unidade s de produ ct o (T = 6),
de las cuales 3 son de tipo A,1esdetipoB y2
son de tipo C, con un trabajo total requerido igual
a V
0
= 104. Las unidades de producto se procesan
en 3 estaciones de trabajo (|K| = 3), con difer ente
n´umero de procesadores (b
k
), siendo los tiempos de
proceso para cada procesador (en actividad normal ),
para cada unidad de tipo de producto (A, B, C)yen
cada estaci´on de trabajo (m
1
, m
2
, m
3
), los recogidos
en la tabla I.
Se considera, adem´as, c =4(tiempo de ciclo)y
l
k
= 6 para k =1,...,3(ventana temporal ). La fi -
gura 2 muestra el diagrama de Gantt de la soluci´on
´optima dada por el modelo M4’. La secuencia de
productos que presenta la m´ınima sobrecarga tot al
es C B A C A A. El trabajo total comple-
tado es V = 101, y la sobrecar ga, concentrada en las
estaciones de trabajo m
1
y m
2
,esW = 3 (el ´area
gris en la figura 2).
754 Algoritmos GRASP para el MMSP-W con estaciones en serie y libre interrupci´on. . .
Fig. 2. Soluci´on ´optima ofrecida por M4’
TABLA I
Tiempos de proceso (p
i,k
), n
´
umero de procesadores
homog
´
eneos (b
k
) y trabajo total (V
0
)requeridopor
cada tipo de unidad de producto en cada estaci
´
on de
trabajo
A
(d
A
=3)
B
(d
B
=1)
C
(d
C
=2)
b
k
m
1
5 4 3 1
m
2
5 4 4 2
m
3
4 3 5 1
Total
19
V
0
A
=57
15
V
0
B
=15
16
V
0
C
=32
V
0
=104
V. Algoritmos GRASP para el MMSP-W
Esta secci´on presenta los elementos asicos d el
procedimiento GRASP aplicado a la resoluci´on del
MMSP-W con estaciones de tr abajo en serie y con
libre interrupci´on de las operacione s.
A. Preliminares
La complejidad del MMSP-W con v´ınculos entre
estaciones de t r abajo y el inter´es de obtener solu-
ciones para ejemplares del problema con di m en si o-
nes industriales, hace recomendable el uso de proce-
dimientos heur´ısticos capaces de ofrecer soluciones
aceptables con bajo esfuerzo de computaci´on.
En la literatura se pueden encontrar numero-
sas metaheur´ısticas dedicadas a la resoluci´on del
MMSP-W original [6], [11], [12], [14]; en cuanto a la
variante del problema que nos ocupa, ha sido tratada
con ecnicas basadas en programaci´on lineal entera
mixta y con programaci´on din´amica.
La metaheur´ıstica GRASP [16], [17] es de tipo
multi-arranque y est´a provista de 2 fases en cada ite-
raci´on: (1) un procedimiento Greedy que sirve par a
construir una soluci´on aceptable sin que sea preciso
alcanzar el ´optimo global; y (2) una segunda fase pa-
ra obtener un ´optimo local dentro de un vecindario
y teniendo como punto de partida la s olu ci ´on que re-
sulta al aplicar el procedimiento Greedy de la fase 1.
Obviamente, la soluci´on ofrecida por el GRASP es
la mejor entre las obtenidas en el conjunto de itera-
ciones.
Para la primera fase Greedy es importante definir
un buen procedimiento que pueda ofrecer soluciones
aceptables y una diversidad suficiente de soluciones
que permitan explorar diferentes regiones en el espa-
cio de soluciones. Para garantizar dicha diversidad se
emplea e l azar, de manera que, el siguiente elemen-
to a a˜nadir a una soluci´on parcial se sortea entre
los elementos d e una lista restringida de candidatos
(RCL); dicha lista contiene los candidatos que pre-
sentan los mejores valores en relaci´on a una funci´on
(una cota, por ejemplo) dise˜nada para la selecci´on.
Para resolver un problema de optimizaci´on me-
diante un procedimiento GRASP es preciso definir
los siguientes elementos:
- El proceso aleatorio empleado en la selecci´on entre
candidatos y el procedimiento Greedy.
- El vecindario d e una soluci´on y, ogicamente, el
procedimiento para explorar dicho vecindario.
- El criterio de fi nal i zac i´on del algoritmo, normal-
mente vinculado a un aximo n´umero de iteracio-
nes o al tiempo de ejecuci´on.
En la figura 3 se presenta un esquema general del
algoritmo GRASP.
1. Inicializaci´on
2. Para toda iteraci´on iter =1,...,iter
max
2.1. Soluci´on ←− Fase constructiva (Semilla)
2.2. Soluci´on ←− Mejora local (Soluci´on)
2.3. Actualizar Soluci´on (Soluci´on, Me-
jor soluci´on)
3. Salida: Mejor soluci´on
Fig. 3. Esquema general de la metaheur´ıstica GRASP.
En algunos casos, al procedimiento GRASP,sele
puede a˜nadir un post-proceso que permita combinar
las soluciones generadas [21] o tambi´en un mecanis-
mo de auto-adaptaci´on de los par´ametros de l algo-
ritmo durante el proceso de b´usqueda [22].
Joaqu´ın Bautista et al. 755
B. Fase Greedy de construcci´on de una soluci´on
El procedimiento implementado para esta fase del
algoritmo (ver figura 4) const ru ye progresivamente
una secuencia seleccionando, en cada etapa asociada
con el instante, t =1,...,T, un elemento candidato
a partir de una l is t a restringida de ´estos (sea RCL).
En efecto, llegados a la etapa t,enlaquesedis-
pone de una secuencia (soluci´on) parcial π(t), para
cada pr oducto i con demanda pendiente a´un, se de-
termina el ´ındice f
i
(i : x
i
<d
i
) a partir del valor
de la cota LB(W (π(t) {i})) ; tras ello, la lista de
candidatos se construye en 2 pasos:
(a) En el primero, a part ir del par´ametro Z [0, 1]
denominado impedancia, se seleccionan todos
los productos con un valor de cota no superior
a1/Z veces el valor de la menor de ellas (cota
correspondiente al mejor candidato).
(b) En el segundo paso, se seleccionan como aximo
los L mejores candidatos (ordenados por cota,
de menor a mayor) incluyendo en la lista, claro
est´a, los productos empatados en cota con el L-
´esimo c and i dat o.
La selecci´on del tipo de producto a secuenciar se
realiza aleatoriamente con una probabilidad de se-
lecci´on, g
i
, que se hace depender de la calidad de las
soluciones parciales (medida a trav´es del ´ındice f
i
).
Adem´as, se ha incorporado un mecanism o para mo-
dular dichas probabilidades mediante la utilizaci´on
de dos par´ametros: (1) el coeficiente de elasticidad
aditiva, f
0
, que puede corresponderse con el valor de
una sol u ci ´on inicial y permite la concentraci´on re-
lativa de los valores de la aptitud de los productos
candidatos; y (2) el coeficiente de elasticidad poten-
cial, η, q ue sirve para concentrar (η [0, 1]) o dis-
persar (η > 1) los valores de la aptitud en erminos
absolutos.
otese que la formulaci´on propuesta en la figura
4 comprende como casos particulares los siguientes
procedimientos: (1) los algoritmos GRASP tradi ci o-
nales con tratamiento de empates incorporado, pues
basta hacer Z 0, f
0
→∞, η = 1 y fijar un va-
lor de L menor que el n´umero de candidatos; (2)
Multistart, haciendo Z 0, f
0
→∞, η =1yfi-
jar un valor de L i gual al n´u me ro de candidatos; y
(3) las heur´ısticas Greedy con t r at ami ento de em-
pates con Z = 1. otese adem´as qu e si Z 0y
L es suficientemente grande (L = |I|) todos los ele-
mentos compatibles son candidatos y toda soluci´on
del MMSP-W tiene una probabilidad no nula de ser
generada por el procedimiento.
0. Inicializaci´on
Leer: T , I, K, d
i
(i), l
k
, b
k
(k), p
i,k
(i, k), c,
Z, L, f
0
, η
Hacer:
t =0
x
i
=0 i I,siendox
i
el n´umero de uni-
dades de tipo i secuenciadas hasta
el instante t.
π(t)={} siendo π(t)={π
1
, π
2
,...,π
t
} la se-
cuencia parcial constru´ıda hasta el
instante t.
1. alculo del ´ındice f
i I: x
i
<d
i
, determinar:
f
i
= LB
(W ( π(t) {i}))
siendo LB
(W ( π(t) {i})) el valor de la so-
luci´on ´optima ofrecida por el programa lineal
LB M4’ dada la secuenci a parcial π(t) {i}.
2. Creaci´on de la lista de candidatos RCL
Sea f
=m´ın
x
i
<d
i
{f
i
};
RCL(f)={i I :(x
i
<d
i
)
(f
i
ı n{f
0
,f
/Z }}
donde Z [0, 1] es la i mpedancia sobre el
conjunto de elementos compatibles y f
0
es
la elasticidad aditiva que que se puede co-
rresponder con el valor de una soluci´on de
referencia:
-Si|RCL(f)| L RCL = RCL(f)
-Si|RCL(f)| >L:
Sea i
L
RCL(f)eltipodeproducto
que ocupa la L-´esima posici´on en l a lista
RCL(f) ordenada no-decrecientemente res-
pecto al ´ındice f . Hacer:
RCL = {i RCL(f):f
i
f
L
}
3. Selecci´on del tipo de product o a secuenciar
i RCL, determinar:
g
i
=
(f
0
f
i
)
η
jRCL
(f
0
f
j
)
η
donde η es la elasticid ad potencial.
Seleccionar, por sorteo, con probabilidades g
i
i RCL un tipo de product o; sea i
el re-
sultado de esta selecci´on.
4. Actualizaci´on
x
i
x
i
+ 1; t t + 1; π
t
= i
5. Finalizaci´on
Si t<T =
iI
d
i
, ir a paso-1.
Si no, finalizar.
Fig. 4. Fase constructiva GRASP para el MMSP-W.
C. Fase de mejora local
Se propone una mejora local exhaustiva tipo 2-
intercambio e ntre dos elementos de la secuencia en
curso de mejora; el intercambio tentativo se produce,
ogicamente, cuando dichos elementos corresponden
a tipos de productos distintos en el problema MMSP-
W. La ex p l orac i ´on del vecindario es determinista y
756 Algoritmos GRASP para el MMSP-W con estaciones en serie y libre interrupci´on. . .
se realiza de izquierda a derecha.
A partir de una secuencia en curso, π
c
(T ) , con va-
lor LB
(W ( π
c
(T ) ) obtenido a partir del programa li-
neal LB M4’, se genera una secuencia vecina, π
v
(T ),
mediante un 2-intercambio tentativo entre los ele-
mentos que ocupan las posiciones t y t
de la secuen-
cia en curso. Si LB
(W ( π
v
(T )) <LB
(W ( π
c
(T )),
el intercambio se consolida, π
v
(T ) se convierte en
la nueva secuencia en curso y se reinicia el proce-
so de intercambios. En caso contrario, se prosigue
con la generaci´on de una nueva secuencia tentativa,
una secuencia vecina, mediante otro 2-intercambio
tentativo. El procedimiento finaliza cuando ninguna
soluci´on vecina tiene un valor de sobrecarga menor
que el de la soluci´on en curso.
VI. Experiencia computacional
Se ha realizado una ex periencia computacional
que emplea 225 ejemplares del problema MMSP-W
recogidos en la literatura (ver [6], [10]). Dichos ejem-
plares se construyen a partir de 45 programas de pro-
ducci´on y 5 estructuras de tiempos de proceso de las
operaciones. Todos los ejemplares presentan 4 tipos
de productos dist i ntos (|I| = 4) y 4 estaciones de
trabajo en serie (|K| = 4). Las soluciones ´op t im as
de los 225 ejemplares se han obtenido empleando el
solver CPLEX v11.0 (para un procesador). Di chas
soluciones se comparan con l os resultados ofrecidos
por 7 algoritmos derivados del procedi mi ento gene-
ral GRASP-x para el q ue se han fijado los valores
de los par´ametros Z, L, f
0
y η (ver tabla II), sien-
do f
BDP
el valor de referencia, para cada ejemplar,
ofrecido por el procedimiento basado en la progra-
maci´on din´amica acotada descrito en [10].
Los algoritmos result antes tras asignar valores a
los 4 par´ametros son: (G)unaheur´ısticaGreedy
constructiva con post er ior mejora local; (M ) un pro-
cedimiento Multistart tradicional con mejora local;
(GR-01/2 ) un algoritmo GRASP tradicional con
una lista RCL limitada a 2 candidatos; (GR-5/2 )un
algoritmo GRASP con lista limitada a 2 can d id at os
y con probabilidades de selecci´on de ´estos levemente
dependientes de su apt it ud; (GR-9/2 ) un algoritmo
GRASP con alta dependencia entre las probabili-
dades de sele cc i´on de los candidatos y su aptitud y
con list a restringi da a 2 candidatos; y dos algorit-
mos Multistart,(GR-5/4 )y(GR-9/4 ) con proba-
bilidades de selecci´on de los candidatos id´enticas a
(GR-5/2 )y(GR-9/2 ), respectivamente. En todos
los algoritmos se fija el n´umero aximo de iteracio-
nes (iter
max
= 10), impuesto a cada uno de los 7
algoritmos en el proceso de resoluci´on de cada ejem-
plar. Para obtener los valores de las soluciones ´opti-
mas de LB M4’ y calcular el ´ındice f (ver figura 4,
paso-1), se ha empleado el solver Gurobi v4.5.0.
Los procedimientos han sido programados en gcc
v. 4.2.1, en un ordenador Macintosh iMac con un
procesador Intel Core i7, 2.93 Ghz. y 8 Gb de me-
moria RAM, usando MAC OS X 10.6.8 como siste-
TA B L A I I
Algoritmos derivados de GRASP-x.Caracter
´
ısticas.
Alg. Z L f
0
η
G 1 1 f
BDP
1
M 0.01 4 f
BDP
/Z 1
GR-01/2 0.01 2 f
BDP
/Z 1
GR-5/2 0.5 2 f
BDP
/Z 1
GR-9/2 0.9 2 f
BDP
/Z 1
GR-5/4 0.5 4 f
BDP
/Z 1
GR-9/4 0.9 4 f
BDP
/Z 1
ma operativo. Ni la implementaci´on ni el compilador
hacen uso de threads ni de otra forma de c´odigo para-
lelo, y, por tanto, el ordenador act´ua como un ´unico
procesador a 2.93 GHz.
Los resultados del experimento se resumen en las
tablas III, IV y V.
En la tabla III se recoge: (1) el n´u mer o de ´opti-
mos alcanzado (#opt) por cada uno de los 7 al-
goritmos sobre los 225 ejemplares del MMSP-W ;
(2) el promedio de la desviaci´on porcentual relativa
(RP D=((Soluci´on -
´
Optimo)/
´
Optimo)×100), para
los ejemplares y cada algoritmo, tanto para la fase 1
Greedy constructiva del GRASP (RP D
1
) como para
el proceso completo (RP D
2
)queincluyeelprocedi-
miento de mejora local; y (3) el tiempo medio de
CPU, por ejemplar, requerido por una iteraci´on de
cada uno de los 7 algoritmos GRASP (CP U).
La tabla IV muestra, para cada uno de los 5 blo-
ques de ejemplares formados a partir de famili as de
los 45 programas de producci´on (ver [6]), los valores
de RP D
2
, promediados por bloque, que ofrece cada
uno de los 7 algoritmos.
En la tabla V se recogen, para cada una de las 5 es-
tructuras de tiempos de proceso de las operaciones,
los valores de RP D
2
, p r omed i ados por estructu ra,
que ofrece cada uno de los 7 algoritmos.
TAB L A I I I
N
´
umero de
´
optimos, RP D
1
, RP D
2
y CP U obtenidos a
partir de los 7 algoritmos
#opt RP D
1
RP D
2
CP U
G 103 9.92 2.46 0.29
M 151 28.81 1.06 0.30
GR-01/2 159 15.71 0.87 0.31
GR-5/2 150 14.34 1.00 0.31
GR-9/2 155 7.67 0.95 0.28
GR-5/4 155 24.89 0.89 0.31
GR-9/4 152 8.68 0.91 0.27
En la tabla III se observa que el al gor i tm o que
obtuvo peores resultados en cuanto a ´optimos alcan-
zados es el G (103 ´optimos sobre 225 ejemplares),
mientras que GR-01/2 fue la heur´ıstica con mayor
Joaqu´ın Bautista et al. 757
TABLA IV
RP D
2
obtenida por los 7 algoritmos para cada
bloque de programas de producci
´
on
B1 B2 B3 B4 B5
G 0.37 2.02 4.02 2.47 2.46
M 0.22 0.65 2.37 1.02 0.93
GR-01/2 0.04 0.54 1.61 0.74 0.91
GR-5/2 0.04 0.89 2.53 0.55 0.81
GR-9/2 0.00 0.71 2.04 0.72 0.89
GR-5/4 0.04 0.87 1.93 0.56 0.79
GR-9/4 0.00 0.70 1.85 0.90 0.85
TABLA V
RP D
2
obtenida por los 7 algoritmos para cada
estructura de tiempos de proceso de las operaciones
E1 E2 E3 E4 E5
G 4.18 3.26 1.67 0.08 3.10
M 2.19 1.07 0.53 0.00 1.52
GR-01/2 1.79 1.18 0.33 0.00 1.07
GR-5/2 2.32 1.10 0.42 0.00 1.16
GR-9/2 1.87 1.18 0.42 0.00 1.26
GR-5/4 1.76 1.29 0.43 0.00 0.98
GR-9/4 1.74 1.31 0.35 0.00 1.17
n´umero de ´exitos (159 sobre 225 ) . En cuanto a la ca-
lidad de las soluciones, medida a t r av´es de RP D
2
,se
puede observar que el compor t ami e nto d e todos l os
algoritmos, exceptuando el G, fue similar, con unos
valores de RP D
2
alrededor del 1 %, e inferiores a la
mitad del valor correspondiente al algoritmo G.En
cuanto a los valores de RP D
1
correspondientes a la
fase constructiva de los algoritmos, se pued e obs er var
que GR-9/2 es el que ofrece mejor comportamiento,
seguido de muy cerca por GR-9/4 y G; en este caso,
el algoritmo constructivo que dio peores resultados
es M. Por otra parte, los tiempos de CPU requeri-
dos por cad a ejemplar en cada iteraci´on son similar es
para todos los procedimientos (alrededor de 0.30s).
Dichos tiem pos son muy inferiores a los empleados
por el solver CPLEX y ligeramente inferior es a los
del procedimiento BDP (recogidos en [20]) que son
del orden de 81.7s y 3.3s, respectivamente.
Examinando los result ad os recogidos en la tabla
IV podemos concluir que el peor procedimiento pa-
ra todos los bloques fue G (en sinton´ıa con los va-
lores de RP D
2
para los 225 ejemplares); el resto de
algoritmos se comporta de forma irregul ar en todos
los bloques, aunque ofrecen mejores resultados que
G. En c uanto a resul t ad os por bloques, las mejores
soluciones se concentraron en el bloque 1, mientras
que las peores soluciones lo hicieron en el bloque 3.
Si observamos los resultados p or estructuras (tabla
V), la estructura, sobre la que se obtuvieron mejores
resultados, fue la 4; siendo la estructura 1 la as
dif´ıcil de resolver para todos los algoritmos. De nue-
vo, el algoritmo que present´o peores promedios en
este caso fue G, comport ´andose e l resto de algorit-
mos de una forma similar.
VII. Conclusiones
Se formula el problema MMSP-W con v´ınculos
entre estaciones de trabajo dispuestas en serie y sin
restricciones en los instantes de interrupci´on de las
operaciones. El resu l t ado de la formulaci´on es un
programa lineal entero mixto.
Se propone un a formulaci´on para algoritmos
GRASP que permite su gener al iz aci ´on. Nuestra ex-
tensi´on (GRASP-x ) comprende, a trav´es de la defi-
nici´on de tres par´ametros adic i onal es (impedancia y
elasticidades, aditi va y potenci al ), los procedimien-
tos Greedy constr u ct i vos con tratamiento de empates
y posterior mejora local y los algoritmos GRASP y
Multistart tradicionales; tambi´en comprende la posi-
bilidad de selec ci on ar los elementos candidatos de la
lista RCL con una p rob ab il i d ad de selecci´on depen-
diente de la calidad aportada por ´e st os a la secuencia
parcial en fase de construcci´on.
La propuesta GRASP-x se concreta en 7 algorit-
mos maestros que se aplican a la variante del MMSP-
W, objeto de estudio. Bajo la capa de la fase cons-
tructiva de los algoritmos maestros, se determinan
los valores de la funci´on de aptitud correspondientes
a la incorporaci´on, a la secuencia parcial en curso,
de cada uno de los tipos de producto candidatos. La
determinaci´on de dichos valores, a trav´es del solver
Gurobi (v.4.5. 0 ), se realiza mediante un programa li-
neal asociado al problema MMSP-W, relajado en las
condiciones binarias para las variables de secuencia-
ci´on.
La experiencia computacional sobre 225 ejempla-
res del problema, presentes en la literatura, pone
de manifiesto la competencia de GRASP (en tiem-
pos de computaci´on) frente a procedimi entos exac-
tos de resoluci´on basados e n la programaci´on lineal
entera mixta (tales como los incorporados al solver
CPLEX ) y un peor comportamiento ante el uso de
la programaci´on din´amica acotada.
Agradecimientos
Los autores agradecen la colab orac i ´on prestada
por Nissan Spanish Industrial Operations (NSIO ),
la C ´atedra Nissan UPC y al Gobierno Espa˜nol por
la financiaci´on parcial de est e trabajo a traes del
proyecto PROTHIUS-III: DPI2010-16759, incluyen-
do fondos FEDER.
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... Parte del trabajo presentado en este capítulo se puede encontrar en Bautista, Cano and Alfaro, 2012a;Bautista, Cano and Alfaro, 2012b;Bautista, Cano and Alfaro, 2012c;Bautista, Cano and Alfaro, 2012d;). ...
Thesis
Full-text available
This document develops the doctoral thesis entitled “Modelado y resolución de problemas de secuenciación en contexto JIT/DS mediante BDP”. Through a literature review we explain the problems, within the environment of the sequence problems in production systems. Then, we describe the problems under study, the MMSP-W (Mixed-Model Sequencing Problem with Work overload Minimization), the BFSP (Blocking Flow Shop Problem) and the ORV (Output Rate Variation Problem). Then, a resolution procedure based on BDP (Bounded Dynamic Programming) to solve the problems is proposed. Finally, the results of the proposed procedure are compared with others based on for example linear programming or heuristics.
Article
GRASP is a multi-start metaheuristic for combinatorial optimization problems, in whicheach iteration consists basically of two phases: Construction and local search. The construction phase builds a feasible solution, whose neighborhood is investigated until a local minimum isfound during the local search phase. The best overall solution is kept as the result. An intensification strategy based on path-relinking is frequently used to improve solution quality andtoreduce computation times by exploring elite solutions previously found along the search. This chapter describes the basic components of GRASP, successful implementation strategies, and effective hybridizations with path-relinking and other metaheuristics. We also list some tricks to be used in the quest for good implementations. The bibliography is enriched by an account of relevant applications and by links to surveys, software, and additional sources of material.
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The performance of a sequencing procedure to smooth out the fluctuating workload (and part utilization) on a paced assembly line relies heavily on the average load of the model mixes chosen from the order-bank. Meanwhile, the due-dates of orders may conflict with this production-centred goal. This study proposes a mathematical model to select a fixed number of jobs while minimizing the total cost of producing them at the next period and satisfying capacity (RHS) limits at stations. A branch-and-bound procedure, which employs some dominance criteria, is proposed to provide optimal solutions. Pairwise interchange heuristics are developed to improve the initial solution, which is optimum but not feasible. Computational results show that optimal solutions can be obtained very efficiently for 100-job and 10-station problems. A three-factor experiment indicates that the RHS limit is the only significant parameter on the performance of the procedures. For over 1000-job problems, the best heuristic finds the optimal solution most of the time and, in the worst case, yields a solution that is 7.38% from optimality.
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The purpose of this paper is to describe a new formulation of the mixed-model sequencing model in such a way as to minimize the risk of stopping the conveyor under the circumstances of system variability and to develop an efficient heuristic method for large-scale, mixed-model assembly lines. The proposed method always produced optimal solutions for. randomly constructed small-scale, mixed-model sequencing problems for which the optimal solutions were available through the application of the improved branch and bound method. The method should produce excellent (and almost always optimal) results for actual large-scale, mixedi-model sequencing problems.
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In today's manufacturing environments, companies have to produce a large variety of products in small quantities on a single assembly line. In this paper, we use a beam search (BS) approach to solve the model-sequencing problem of mixed-model assembly lines (MMALs). Specifically, we develop six BS algorithms for part-usage variation and load-leveling performance measures. The results of computational experiments indicate that the proposed BS methods are competitive with the well-known heuristics in the literature. A comprehensive bibliography is also provided.
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For sequencing different models on a paced assembly line, the commonly accepted objective is to keep the operators within the boundaries of their stations. When the operators reach the right boundary, they terminate the operation prematurely. In this article we address the problem of sequencing jobs decomposed into identical and repeating sets to minimize the total amount of remaining work, or, equivalently, to maximize the total amount of work completed. We propose an optimum algorithm and a heuristic procedure that utilizes different priority functions based on processing times. Experimental results indicate that the proposed heuristic requires less computational effort and performs better than the existing procedures: On the average, 11–14% of improvements are obtained over real data mentioned in the literature (20 groups of 1000 jobs from a U.S. automobile manufacturer). © 1997 John Wiley & Sons, Inc. Naval Research Logistics 44: 419–437, 1997
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A greedy randomized adaptive search procedure (GRASP) is a metaheuristic for combinatorial optimization. It is a multi-start or iterative process, in which each GRASP iteration consists of two phases, a construction phase, in which a feasible solution is produced, and a local search phase, in which a local optimum in the neighborhood of the constructed solution is sought. Since 1989, numerous papers on the basic aspects of GRASP, as well as enhancements to the basic metaheuristic, have appeared in the literature. GRASP has been applied to a wide range of combinatorial optimization problems, ranging from scheduling and routing to drawing and turbine balancing. This is the second of two papers with an annotated bibliography of the GRASP literature from 1989 to 2008. In the companion paper, algorithmic aspects of GRASP are surveyed. In this paper, we cover the literature where GRASP is applied to scheduling, routing, logic, partitioning, location, graph theory, assignment, manufacturing, transportation, telecommunications, biology and related fields, automatic drawing, power systems, and VLSI design.
Article
A greedy randomized adaptive search procedure (GRASP) is a metaheuristic for combinatorial optimization. It is a multi-start or iterative process, in which each GRASP iteration consists of two phases, a construction phase, in which a feasible solution is produced, and a local search phase, in which a local optimum in the neighborhood of the constructed solution is sought. Since 1989, numerous papers on the basic aspects of GRASP, as well as enhancements to the basic metaheuristic have appeared in the literature. GRASP has been applied to a wide range of combinatorial optimization problems, ranging from scheduling and routing to drawing and turbine balancing. This is the first of two papers with an annotated bibliography of the GRASP literature from 1989 to 2008. This paper covers algorithmic aspects of GRASP.
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This paper investigates the problem of sequencing N products on an assembly line with two objectives: minimizing (1) the risk of conveyor stoppage and (2) the total utility work. For a single station with arbitrary processing times, this problem is proved NP-hard in the strong sense for each of the two objectives. For a single station with two product types, each of which has a constant processing time, a sequence minimizing both objectives can be found in O(log N) computation time.
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We address the problem of sequencing jobs, each of which is characterized by one of a large number of possible combinations of customer-specified options, on a paced assembly line. These problems arise frequently in the automotive industry. One job must be launched into the system at equal time intervals, where the time interval (or cycle time) is prespecified. The problem is to sequence the jobs to maximize the total amount of work completed, or equivalently, to minimize the total amount of incomplete work (or work overload). Since there is a large number of option combinations, each job is almost unique. This fact precludes the use of existing mixed model assembly line sequencing techniques. We first consider the sequencing problem for a single station which can perform two different sets of operations. We characterize the optimal solution for this problem and use the results as the basis for a heuristic procedure for multiple stations. Computational results with data from a major automobile company are reported.