Grundlagen der Geometrischen Datenverarbeitung
Chapters (14)
Die gute Darstellung eines zwei- oder dreidimensionalen Objektes auf dem Bildschirm oder dem Plotter setzt voraus, daß Methoden vorhanden sind, um ein Objekt in eine vorher gewählte Ebene zu projizieren und dieses Bild “richtig” auf dem Bildschirm oder in dem Plotterfeld zu plazieren. Der Zeichner oder der Künstler stellt ein Objekt mit Hilfe von Intuition und Erfahrung dar, der kundige Photograph erkennt den richtigen Ausschnitt, die beste Ansicht, den richtigen Standpunkt. Auf dem Rechner müssen diese Fähigkeiten durch mathematische Hilfsmittel ersetzt werden wie mathematische Beschreibung eines Objektes, mathematische Beschreibung einer Projektion (Abbildung) des Objektes, mathematische Beschreibung von Transformationen (Vergrößern, Verschieben, Verdrehen des Objekt-Bildes).
Das Bild eines reellen Intervalls I (offen, geschlossen, halboffen, endlich, unendlich) unter einer stetigen, lokal injektiven Abbildung in den ℝ2 oder ℝ3 heißt Kurve. Im ℝ2 ergibt sich eine ebene Kurve, im ℝ3 i. allg. eine Raumkurve. Wird ein Ursprung O gewählt, so ist die Kurve eine Menge von Punkten P
i, deren Ortsvektoren P
i durch eine vektorwertige Funktion X = X(t) des Parameters t ∈ I beschrieben werden, die lokal eindeutig ist. Die Funktion X(t) wird eine Parameterdarstellung der Kurve genannt.
Sollen bei Anwendungen z.B. Querschnitte von Profilen, von Flächen, Leitkurven zur Erzeugung von Flächen usw. dargestellt werden, so ist die klassische Interpolation oder Approximation, wie sie in Kap. 2 dargestellt wurde, im allgemeinen ungeeignet. Die Anwender erwarten von solchen Kurven, daß sich deren Krümmung nicht zu stark verändert (sie glatt erscheinen), während die klassischen Interpolationsfunktionen vor allem für größeren Polynomgrad n zum Oszillieren neigen (s. Kap. 2). Fig. 3.1 demonstriert noch einmal dieses Phänomen: Dort soll eine ebene Kontur approximiert werden, wobei durch 9 Punkte der Kontur ein interpolierendes Polynom 8. Grades festgelegt worden ist.
Wir konnten bei der Untersuchung der kubischen Splinekurven (Monome als Basisfunktionen) keine geometrische Deutung der Splinekoeffizienten herleiten. Es lassen sich aber andere polynomiale Basisfunktionen angeben, bei denen die Splinekoeffizienten b
igeometrische Bedeutung haben, d.h. z.B., daß die b
i den ungefähren Verlauf der Kurve (oder Fläche) festlegen oder daß aus der Lage der Splinekoeffizienten b
i auf geometrische Eigenschaften der Kurve (oder Fläche) geschlossen werden kann. Solche Basisfunktionen haben in der Praxis für das interaktive Arbeiten große Bedeutung, da alle Prozesse geometrisierbar sind. Wir werden im wesentlichen zwei Typen solcher Splinefunktionen betrachten
— die Bézier-Spline-Kurven,
— die B-Spline-Kurven.
Den in den vorausgegehenden Kapiteln behandelten Splinekurven lag das Konzept der Cr-Stetigkeit aneinander anschließender Segmente, d.h. Übereinstimmung der ersten r Ableitungen in gemeinsamen Segmentrandpunkten, zugrunde. Dies ist aber ein recht formales Argument, das analytisch begründet ist und unter Umständen eine äußerst unbefriedigende Interpretation des Glättebegriffes wiedergibt, wie das Beispiel aus Fig. 5.1 veranschaulicht. Zudem erweist sich der Cr-Übergang für viele Anwendungen als zu steif. Einerseits kann die Interpolation ungleichmäßig verteilter Daten sehr ungünstig ausfallen, auch bei Verwendung einer nicht-äquidistanten Parametrisierung, zum Beispiel dann, wenn ein Segment große Krümmungsänderungen relativ zu den Nachbarsegmenten beinhaltet. Andererseits lassen sich bestimmte (Flächen-) Segmentkonfigurationen erst gar nicht Cr-stetig realisieren (s. Kap. 7). Zudem ist Cr-Stetigkeit nicht invariant bzgl. Reparametrisierungen, wird also durch eine Umparametrisierung zerstört. Umparametrisierungen können jedoch vielfälltig vorteilhaft eingesetzt werden, etwa
— beim Erzeugen einer optimalen Approximation mittels einer iterativen Parameterwertverbesserung [HOS 88]
— beim Glätten unerwünschter Krümmungen von Splinekurven und Splineflächen [SCHEL 84]
— beim äußerst wichtigen Problem der Konversion zwischen unterschiedlichen Geometrie- Modellier-Systemen [DAN 85], [HOS 87, 88b].
— beim Erzeugen einer optimalen Offset-Kurven bzw. - Flächen-Approximation mittels Bézier-Splines [HOS 88a, 88b].
Nachdem wir uns bisher mit den Eigenschaften der (klassischen) Spline-Kurven, der Bézier-Spline-Kurven, der B-Splines und der geometrischen Spline-Kurven beschäftigt haben, wenden wir uns jetzt den Spline-Flächen zu.
Wir wollen nun die in Kap. 5 besprochenen geometrischen Übergänge für Kurven auf bivariate Darstellungen übertragen. Die Notwendigkeit hierfür geben sternförmige Segmentkonfigurationen (s. Fig. 7.1) oder auch das aneinander Anschließen verschiedenartiger Segmenttypen (s. Fig. 7.2), die nicht immer Cr-stetig realisierbar sind und daher allgemeine, mehr geometrische Übergangsbedingungen erfordern. Der geometrische Übergang wird gegenüber den Cr-Anschlüssen vor allem aber auch dadurch ausgezeichnet, daß er invariant bzgl. Parametertransformationen ist, da seine Definition vom Begriff der Berührordnung ausgeht.
Wir haben bisher Flächen des ℝ3 beschrieben über
— geeignet gewählte Basisfunktionen sowie mit Hilfe von
— Tensorproduktbildungen für viereckige Parametergebiete,
— speziellen Überlegungen für dreieckige oder mehreckige Parametergebiete.
Bei Anwendungen z.B. in der Geologie, Meteorologie, Kartographie aber auch beim Digitalisieren von Modelloberflächen können unregelmäßig verteilte Daten (scattered data) auftreten, die durch eine Fläche interpoliert oder approximiert werden sollen. Das zu lösende Interpolationsproblem lautet also: gegeben sind N+1 Abszissen xi = (xi, yi) ∈ ℝ2, i = 0(1) N, mit zugehörigen Ordinaten (z.B. Meßwerten) zi, gesucht ist eine Funktion f(x) = f (x, y) derart, daß zi = f(xi, yi) gilt. Das Approximations problerm kann als (weighted oder auch als moving) least square Problem I(f) = Σ ωi(x) (f(xi, yi) − zi)2 → Min. behandelt werden, oder, was in jüngster Zeit immer häufiger geschieht, als smoothing Problem I(f) = Σ ωi(x) (f(xi, yi) − zi)2+ λ J(f) → Min., mit Glättungsparameter λ und “physikalischem Term” J(f), z.B. der Biegeenergie einer eingespannten, elastischen dünnen Platte, etc. Wobei bei der scattered data Interpolation bzw. Approximation jedoch, im Gegensatz zur Aufgabenstellung der vorausgehenden Kapitel, keine speziellen Forderungen an die Datenpunkte (xi, yi, zi), insbesondere in Bezug auf Verteilungsanordnung und -dichte, gestellt werden. Wir wollen uns hier auf das Interpolationsproblem beschränken. Das Approximationsproblem wurde bereits in den Kap. 2.4, 2.5 und 4.4 angesprochen. Weiterhin sei auch verwiesen auf [DIE 81], [FARW 86], [FOL 87c], [FRA 87], [HAY 74], [HU 86], [MCLA 74, 76], [MCM 87], [LAN 79, 86], [SCHM 79, 83, 85], [SCHU 76], sowie auf die Literaturliste [FRA 87a]; zum Smoothing s. a. Kap. 13.
In den verschiedenen Modelliersystemen des Computer-aided design werden unterschiedliche Methoden zur mathematischen Beschreibung von Freiformkurven und Freiformflächen eingesetzt. So finden z.B. Monome (gewöhnliche Polynome) vom Grade 3, 5 bis zum Grade 19 Verwendung, aber auch Bernstein-Polynome unterschiedlichen Polynomgrades und B-Spline-Basisfunktionen unterschiedlicher Ordnung [BÖH 84]. Es werden oft aber auch Gordon-Coons-Flächen oder nichtlineare Basisfunktionen eingesetzt. Müssen nun zwischen verschiedenen Modelliersystemen Daten ausgetauscht werden, weil z.B. ein Zulieferer bestimmte im System des Herstellers generierte Teile mit seinem eigenen System bearbeiten muß, ist eine Konversion oder Transformation der Kurven- und Flächendarstellung notwendig. Dabei muß entweder auf unterschiedliche Polynomgrade oder aber von einer Darstellungsmethode (beschrieben durch einen bestimmten Typ von Basisfunktionen) in eine andere transformiert werden. Leider sind diese Transformationen im allgemeinen nicht exakt möglich, daher muß auf approximative Methoden zurückgegriffen werden. Damit entsteht ein zusätzliches Problem: Zu einem vorgegebenen Approximationsfehler soll eine gegebene Anzahl von Splineflächen nach der Transformation mit einer möglichst geringen Anzahl von Flächensegmenten (Patches) dargestellt werden, d.h. die gegebenen Flächenstücke müssen entweder zu neuen Flächensegmenten verschmolzen oder zusätzlich segmentiert werden.
Während sich das Interesse im Bereich des CAGD in der Vergangenheit hauptsächlich auf die Kurven- und Flächenbeschreibung und die Kurven- und Flächenverarbeitung beschränkte, gewinnen in jüngster Zeit auch höherdimensionale, multivariable Objekte wie Volumina und Hyperfläches des ℝn (n > 3) immer mehr an Bedeutung. Anwendungsbeispiele multivariabler Objekte sind z.B. gegeben durch
— die Beschreibung von skalaren oder vektorwertigen physikalisch bedeutungsvollen Feldern (Temperatur, Druck, Gravitations-, elektromagnetisches Feld, etc.) als Funktion mehrerer Variabler, z.B. der drei Ortskoordinaten, der Zeit, etc.,
— die Beschreibung der räumlich-zeitlichen Bewegung bzw. Veränderung einer Fläche durch einen geschlossenen Ausdruck,
— die Beschreibung inhomogener Materialien, oder auch
— die Erzeugung und Veränderung von homogenen Körpern (solid models) definierenden (geschlossenen) Flächen, etwa innerhalb eines Designprozesses, mit Hilfe geometrischer Operationen oder auch als höherdimensionale “Niveaulinien” resp. “Parameterlinien” von Hyperflächen des ℝn,
(für weitere Details und Beispiele siehe [ALF 89], [CASA 85], [FARO 85a], [SED 85b, 86a]).
Bei vielen Anwendungen müssen die Schnittpunkte von (ebenen) Kurven oder auch Schnittkurven von Flächen ermittelt werden, etwa
— bei der Erzeugung von Niveaulinienbilder zur graphischen Darstellung von vorgegebenen Flächen und Hyperflächen,
— beim Berechnen von Umrißlinien zur Verbesserung graphischer Darstellungen von Flächen,
— beim booleschen Verknüpfen von Körpern,
— beim Konstruieren glatter Übergangskurven bzw. -flächen zur Abrundung von durch Verschneidung entstandenen Ecken und Kanten zwischen zwei Kurven bzw. Flächen oder auch
— beim Bestimmen von Offsetkurven bzw. -flächen, z.B. zur NC-Erzeugung, aus den theoretisch berechneten Offsets, die, wie in Abschnitt 2.2 gesehen, Selbstdurchdringungen besitzen können.
Beim Interpolieren oder Approximieren von Kurven und Flächen mit Spline-kurven oder Splineflächen können sich unerwünschte Kurven- oder Flächenbereiche einstellen. So kann z.B. in bestimmten Situationen ein konvexes Kurvenoder Flächenstück gefordert werden (z.B. Automobil dach, Schiffsrumpf), durch die Interpolations- oder Approximationsdaten treten aber (u.U. nur leichte) “Welligkeiten” auf, die nach Durchlaufen des Interpolations- oder Approximationsprozesses noch nachträglich beseitigt werden müssen. Diese Beseitigung unerwünschter Krümmungsbereiche in Kurven- oder Flächendarstellungen wird als Glätten bezeichnet. Argumente für das Erfüllen gewisser Glattheitsforderungen an Kurven oder Flächen sind z.B.
— ästhetischer Natur (ein Autodach sollte keine Beulen haben),
— strömungstechnischer Natur (die Luft- oder Wasserströmung sollte wegen Beulen nicht abreißen),
— technologischer Natur (beim Fräsen von Werkzeugteilen zum Herstellen entsprechender Flächen sollten keine Steuerungsprobleme entstehen).
... Eine segmentierte Funktion s mit Polynomsegmenten der Ordnung n heißt Splinefunktion, falls s (n − 2)-mal stetig differenzierbar ist [37]. Prinzipiell ist es nicht ausgeschlossen die Funktion so zu konstruieren, dass die Segmente nicht unbedingt polynomiell sein müssen. ...
... Prinzipiell ist es nicht ausgeschlossen die Funktion so zu konstruieren, dass die Segmente nicht unbedingt polynomiell sein müssen. Hoschek und Lasser [37] betrachten zum Beispiel sogenannte Exponentialsplines. Diese haben allerdings das Problem, dass sie rechnerisch sehr aufwendig sind. ...
... Hoschek und Lasser [37] heben zusätzlich die Eigenschaften der entstehenden Splinekurve hervor. Die Darstellung über B-Splines erlaubt im Gegensatz zum Beispiel zu der Darstellung über Monome eine geometrische Deutung der Koeffizienten. ...
Die Splineapproximation mit uniformen Tensorprodukt-B-Splines besitzt über Quadern beziehungsweise dem gesamten d-dimensionalen Euklidischen Raum sehr gute Eigenschaften. Die Basis ist stabil und für Funktionen aus anisotropen Sobolevräumen ist eine optimale Approximationsordnung erreichbar. Die Fehlerabschätzungen hierbei spiegeln die Anisotropien der zu Grunde liegenden Räume wider. Allerdings ist weder die Stabilität noch die optimale Approximationsordnung gewährleistet, sobald allgemeine beschränkte Gebiete betrachtet werden. Bei der Fehlerabschätzung tritt hierbei eine unerwünschte Abhängigkeit der Konstanten von den Knotenabständen des Tensorprodukt-Gitters auf. Das Problem der Instabilität durch eine schlechte Lage der Knoten wurde durch das Verfahren der weB-Splines oder normierten B-Splines gelöst. Allerdings existieren bisher keine Methoden, welche die unerwünschte Abhängigkeit in der Fehlerabschätzung beheben. In dieser Arbeit steht daher vor allem die anisotrope Fehlerabschätzung im Fokus. Zum einen wird untersucht, ob die guten Approximationseigenschaften über dem gesamten d-dimensionalen Euklidischen Raum ausgenutzt werden können, um den Fehler über allgemeinen Teilgebieten abzuschätzen. Zum anderen wird ein neues bivariates Verfahren vorgestellt, welches auf den Tensorprodukt-B-Splines basiert und über Lipschitzgraph-Gebieten eine stabile Basis erzeugt. Die resultierenden Splineapproximanten erreichen eine optimale Approximationsordnung und es wird gezeigt, dass hier eine Fehlerabschätzung möglich ist, deren Konstanten die unerwünschte Abhängigkeit von dem Tensorprodukt-Gitter nicht aufweist.
English abstract: Spline approximation with uniform tensor product B-splines on boxes or all of d-dimensional Euclidean space has very good properties. They build a stable basis and it is possible to approximate functions in anisotropic Sobolev spaces with optimal approximation order. The error estimation reflects the anisotropy of the function spaces. However, when considering general bounded domains, neither the stability nor the optimal approximation order is guaranteed. In this case the error estimates show an unwanted dependency on the distance between the vertices of the tensor product grid. The problem of instability in the case of a bad position of the knots was resolved by the concept of weB-splines or normalized B-splines. But so far no known methods resolve the problem of the unwanted dependence in the error estimation. Therefore, the anisotropic error estimation is the main topic of this work. On the one hand it is investigated whether the good approximation properties on all of d-dimensional Euclidean space can be used to estimate the error on general domains. On the other hand a new bivariate method is introduced which is based on tensor product B-splines. This method produces a stable basis on Lipschitz graph domains, the resulting spline approximants have optimal approximation order, and it is shown that it is possible to obtain error estimates with a constant independent of the tensor product grid.
... We introduce now the piecewise polynomial interpolant σ of degree seven satisfying the following boundary conditions (use for example higher order Hermite interpolants [9, 22]): ...
... . It is known [22] that the problem of sample interpolation by cubic Bézier and convertion into a B-spline is equivalent to solving a sparse linear system of the following form ...
We need to decompose the boundary of a solid into four-sided patches F i such that there is a regular mapping γ i from the unit square to each F i . In this paper, we focus on the analysis of the global continuity of the mappings γ i over the whole surface. Since we use Coons functions to generate the mappings γ i , we demonstrate theoretically that if all curves are parametrized in arc length then the functions γ i match well at surface joints. That result is valid for any blending functions of the Coons patches. We will describe a reparametrization technique whose goal is to keep the shape of the initial curves while achieving arc length parametrization. The reparametrization process is done by using cubic Bézier spline approximation whose accuracy is estimated in L ∞ norm. For a rational Bézier curve with bounded weights, we develop an algorithm for length computation with an accuracy of O(2 −n). The generalization of that result for other types of curves will be discussed. Numerical results are provided to support the theoretical studies. Furthermore, the decomposition techniques are applied to real CAD data which come from IGES files.
... Functions with global support are not equal to zero outside a certain radius, but cover the whole interpolation space which leads to dense matrix systems. Some classical RBF's with global support provide a good approximation behaviour and are widely used in engineering problems, as by example the Duchon's thin plate splines (TPS n ), the Hardy's multiquadric biharmonic (MQB) and the inverse multiquadric biharmonics (IMQB) [12,63]. ...
The present work describes a numerical methodology used to couple computational fluid dynamics (CFD) and computational structural dynamics (CSD) solvers in order to analyse the unsteady three-dimensional fluid-structure interaction (FSI). The coupled fluid-structure analysis procedure is carried out by using a domain decomposition method, known as the conventional serial staggered coupled algorithm, which means that CFD and CSD solutions are independently computed and the exchanges of information between them occur through the common boundaries. Radial basis functions are applied for data interpolation and CFD volumetric mesh motion. The scientific contributions of this work comprise the development and validation of an improved version of the mesh motion scheme (greedy full point algorithm). An aeroelastic solver is developed from scratch by coupling the in-house CFD solver BREXP3D, which solves the three-dimensional Euler equations, and the CSD solver by means of a modal analysis. Furthermore, a new automatic flutter capture approach is proposed to ease and speed up the flutter analysis. As the flutter phenomenon is considered a critical parameter in the design of aerospace vehicles which would fly in the transonic regime, a comprehensive physics-based framework was designed to identify, quantify and validate this phenomenon. Thus, this contributes to the computational aeroelasticity capability of the Brazilian Aeronautics and Space Institute.
... Diese Funktion beruht auf die Translation aus der Theorie der Volumenmodelle (Sweep Modellen). Die durch Translation erzeugten Volumenkörper können mithilfe Translationsmatrizen in homogenen Koordinaten mathematisch beschrieben werden [17]. ...
In diesem Beitrag wird ein 3D-CAD-Modell eines verzweigten Führungsprofils für einen Fassadenreiniger präsentiert. Dieses wurde im Rahmen des SFB 666 als Demonstrator entwickelt. Das 3D-CAD-Modell wird in Siemens NX implementiert und baut auf optimierten Geometriedaten auf, welche im XML-Format gespeichert werden. Dieses musst zuerst in ein geeignetes Datenmodell, das automatisiert in dem ausgewählten CAD-System eingelesen werden kann, überführt werden. Ferner wird die Vorgehensweise der Modellierung von der Erstellung des 2D-Profils bis zur Endgeometrie aufgezeigt. Darüber hinaus wird das 3D-CAD-Modell des Führungsprofils mit einer FEM-Berechnung validiert.
In this paper, a 3D CAD model of a branched slide profile for a facade cleaner is demonstrated. This was developed in the framework of the CRC 666 as a demonstrator. The 3D CAD model is implemented in Siemens NX and is based on optimized geometry data, which are stored in XML data format. First, this must be converted in a suitable data format that can be read in the selected CAD system. Furthermore, an approach of modeling the CAD model is presented. In addition a 3D CAD model of the branched slide profile is validated using a FEA calculation.
... In order to introduce the B-spline basis, we consider any constant integer k ≥ 2 which controls the smoothness of the spline and a knot sequence ζ 0 , ..., ζ n+k such that ζ i+k ≥ ζ i . The usual definition of B-spline basis functions [14,17] with respect to the knot sequence ...
This contribution deals with a new shear device, which is applied for rubber measurements in simple shear in an extended temperature range. As a special feature for the loading system, no bonding technique, or vulcanization is used, but a form fit connection via pins. The measured stress-shear value curves for different temperature levels are evaluated with a standard method from GOM ARAMIS. In addition, a new approximation based evaluation method is introduced and applied for shear value determination including smoothing of the raw digital image correlation data with consideration of characteristic noise properties. This enables the analysis of noise induced error influences. It was proved by the approximation based method, that the standard ARAMIS evaluation provides shear value results, which are suitable for performed characterization tests. As a consequence, the nearly homogeneous measurement data can be used for parameter fitting of constitutive rubber models.
Die Form bzw. Gestalt von Gebrauchsgegenständen ist oft ein Kompromiss aus Ästhetik und mechanischen Anforderungen. Ästhetik und Mechanik müssen aber nicht zwingend konkurrieren, was viele Strukturen in der Natur beweisen. Diese Formen entwickeln sich basierend auf den vorliegenden Kräften. Sehr ergiebig ist beispielsweise die Untersuchung der Form von Knochen und Bäumen (Mattheck 1988, 1992). Ein Baum wächst so, dass der Spannungsverlauf gleichmäßig ist. Dies gilt für Astanbindungen (Abb. 7.1a–d) wie für den Baumstamm selbst (Abb. 7.1e–f). Aus den Formen ist im Übrigen auch die Historie des Baums abzulesen, beispielsweise welchen Windlasten der Baum ausgesetzt war. Auch Kerbspannungen, die nach einer Verletzung vorliegen, werden reduziert durch das Streben nach konstanter Spannung an der Oberfläche.
Der Artikel enthält folgende Kapitel: Problemstellung Grundlagen des Messens Unsicherheit des Messens Unsicherheit von Schlussfolgerungen Untersuchungsplanung Literaturverzeichnis
Kurzfassung
Dieser Artikel ist eine Zusammenfassung der kürzlich durchgeführten Forschungsarbeit auf dem Gebiet des flexiblen Greifens. Sie hat zum Ziel, einen Greifer für eine große Variantenvielfalt an Bauteilen zu entwickeln. Der ökonomische Aspekt findet während der kompletten Entwicklung besondere Berücksichtigung. Die hohe Flexibilität des Greifers wird durch drei parallel ablaufende Prinzipien erreicht: menschliche und Computer basierende Analyse der Greifobjekte sowie mechanische Anpassung des Greifers an das zu greifende Objekt. Der Schwerpunkt ist dabei auf das Greifen von freigeformten Flächen mit Saugnäpfen gelegt worden.
Harmonic maps are a certain kind of an optimal map projection which has been developed for map projections of the sphere. Here we generalize it to the “ellipsoid of revolution”. The subject of an optimization of a map projection is not new for a cartographer. For instance, in Sect. 5-25, we compute the minimum distortion energy for mapping the “sphere-to-plane”.
Conventionally, conformal coordinates, also called conformal charts, representing the surface of the Earth or any other Planet as an ellipsoid-of-revolution, also called the Geodetic Reference Figure, are generated by a two-step procedure. First, conformal coordinates (isometric coordinates, isothermal coordinates) of type UMP (Universal Mercator Projection, compare with Example 15.1) or of type UPS (Universal Polar Stereographic Projection, compare with Example 15.2) are derived from geodetic coordinates such as surface normal ellipsoidal longitude/ellipsoidal latitude. UMP is classified as a conformal mapping on a circular cylinder, while UPS refers to a conformal mapping onto a polar tangential plane with respect to an ellipsoid-of-revolution, an azimuthal mapping.
In this chapter, we present a collection of most widely used map projections in the polar aspect in which meridians are shown as a set of equidistant parallel straight lines and parallel circles (parallels) by a system of parallel straight lines orthogonally crossing the images of the meridians. As a specialty, the poles are not displayed as points but straight lines as long as the equator. First, we derive the general mapping equations for both cases of (i) a tangent cylinder and (ii) a secant cylinder and describe the construction principle.
At the beginning of this chapter, let us briefly refer to Chap. 8, where the data of the best fitting “ellipsoid-of-revolution to Earth” are derived in form of a table. Here, we specialize on the mapping equations and the distortion measures for mapping an ellipsoid-of-revolution to a cylinder, equidistant on the equator. Section 14-1 concentrates on the structure of the mapping equations, while Sect. 14-2 gives special cylindric mappings of the ellipsoid-of-revolution, equidistant on the equator. At the end, we shortly review in Sect. 14-3 the general mapping equations of a rotationally symmetric figure different from an ellipsoid-of-revolution, namely the torus.
A special mapping, which was invented by Gauss (1822, 1844), is the double projection of the ellipsoid-of-revolution to the sphere and from the sphere to the plane. These are conformal mappings. A very efficient compiler version of the Gauss double projection was presented by Rosenmund (1903) (ROM mapping equations) and applied for mapping Switzerland and the Netherlands, for example. An alternative mapping, called “authalic”, is equal area, first ellipsoid-of-revolution to sphere, and second sphere to plane.
In the world of conformal mappings of the Earth or other celestial bodies, the Mercator projection plays a central role. The Mercator projection of the sphere or of the ellipsoid-of-revolution beside conformality is characterized by the equidistant mapping of the equator. In contrast, the transverse Mercator projection is conformal and maps the transverse meta-equator, the meridian of reference, equidistantly. Accordingly, the Mercator projection is very well suited for regions which extend East–West around the equator, while the transverse Mercator projection fits well to those regions which have a South–North extension. Obviously, several geographical regions are centered along lines which are neither equatorial, parallel circles, or meridians, but may be taken as central intersection of a plane and the reference figure of the Earth or other celestial bodies, the ellipsoid-of-revolution (spheroid).
Up to now, we treated various mappings of the ellipsoid and the sphere, for instance of type conformal, equidistant, or equal areal or perspective and geodetic.
Among cylindrical projections, mappings in the transverse aspect play the most important role. Although many worldwide adopted legal map projections use the ellipsoid-of-revolution as the reference figure for the Earth, the spherical variant forms the basis for the Universal Transverse Mercator (UTM) grid and projection. In the subsequent chapter, we first introduce the general concept of a cylindrical projection in the transverse aspect. Following this, three special map projections are presented: (i) the equidistant mapping (transverse Plate Carrée projection), (ii) the conformal mapping (transverse Mercator projection), and (iii) the equal area mapping (transverse Lambert projection). The transverse Mercator projection is especially appropriate for regions with a predominant North-South extent. As in previous chapters, the two possible cases of a tangent and a secant cylinder are treated simultaneously by introducing the meta-latitude B = ±B1 of a meta-parallel circle which is mapped equidistantly. For a first impression, have a look at Fig. 11.1.
In Chap. 21, we already transformed from a global three- dimensional geodetic network into a regional or local geodetic network. We aimed at the analysis of datum parameters, namely seven parameters of type translation, rotation and scale, as elements of the global conformal group C7(3).
Pseudo-cylindrical projections have, in the normal aspect, straight parallel lines for parallels. The meridians are most often equally spaced along parallels, as they are on a cylindrical projection, but on which the meridians are curved. Meridians may be mapped as straight lines or general curves.
Cylindrical projections in the oblique aspect are mainly used to display regions which have a predominant extent in the oblique direction, neither East-West nor North-South. In addition, they form the most general cylindrical projections because mapping equations for projections in the polar and the transverse aspect can easily be derived from it. This is done by setting the corresponding latitude of the meta-North Pole Φ
0 to a specific value: Φ
0 = 90∘ generates cylindrical projections in the polar aspect, Φ
0 = 0∘ result in cylindrical projections in the transverse aspect. As an introductory part, we present the equations for general cylindrical mappings together with the equations for the principal stretches, before derivations for specific cylindrical map projections of the sphere (oblique equidistant projection, oblique conformal projection and oblique equal area projection) are given. For a first impression, have a look at Fig. 12.1.
Mapping the ellipsoid-of-revolution to a tangential plane. Azimuthal projections in the normal aspect (polar aspect): equidistant, conformal, equiareal, and perspective mapping.
Mapping the sphere to a tangential plane: meta-azimuthal projections in the oblique aspect. Equidistant, conformal (oblique UPS), and equal area (oblique Lambert) mappings.
One of the key challenges faced by engineers is finding, concretizing, and optimizing solutions for a specific technical problem in the context of requirements and constraints (Pahl et al. 2007). Depending on the technical problem’s nature, specifically designed products and processes can be its solution with product and processes depending on each other. Although products are usually modeled within the context of their function, consideration of the product’s life cycle processes is also essential for design. Processes of the product’s life cycle concern realization of the product (e.g., manufacturing processes), processes that are realized with the help of the product itself (e.g., use processes) and processes at the end of the product’s life cycle (recycling or disposal). Yet, not just product requirements have to be considered during product development, as requirements regarding product life cycle processes need to be taken into account, too. Provision for manufacturing process requirements plays an important role in realizing the product’s manufacturability, quality, costs, and availability (Chap. 3). Further life cycle demands, such as reliability, durability, robustness, and safety, result in additional product and life cycle process requirements. Consequently, the engineer’s task of finding optimal product and process solutions to solve a technical problem or to fulfill a customer need is characterized by high complexity, which has to be handled appropriately (Chaps. 5 and 6).
Anfangs wird die Stellung der Freiformflächen in der Prozesskette Karosseriebau kurz beleuchtet. Um die CAD-Werkzeuge für diese Flächen zweckentsprechend einsetzen zu können, wird das notwendige Minimum an theoretischem Grundwissen zu Kurven und Flächen (basierend auf [14] und [15]) vermittelt. Die Vor- und Nachteile der mathematischen Ansätze (Bézier und B-Spline) werden gegenübergestellt, damit der CAD-Nutzer je nach Anwendungsgebiet selbst den richtigen Ansatz auswählen kann. Für tiefere Studien wird auf die entsprechende mathematische Literatur verwiesen. Weitere Unterabschnitte behandeln die Oberflächenklassifizierung, – gebräuchlicherweise mit Classes A, B und C englisch bezeichnet – und bewährte Regeln und Empfehlungen zum so genannten Straken im Falle von Class A-Flächen. An einem Beispiel wird aufzeigt, wie man importierte B-Spline-Geometrien erforderlichenfalls (zwecks Qualitätsverbesserung) durch stückweise Konvertierung in zusammengesetzte Béziergeometrien verwandeln kann.
Die technologischen Erfordernisse der letzten Jahre führten zur Entwicklung leistungsfähiger CAD-Systeme. Besonders im Automobil- und Flugzeugbau wurde dabei die Benutzung sogenannter Freiformflächen forciert. Neben der Modellierung dieser Flächen spielt ihre realitätsnahe Darstellung eine entscheidende Rolle.
Die in den vergangenen Jahren entwickelten Visualisierungsverfahren für Freiformflächen können auf eine unterschiedliche Art und Weise in CAD-Systeme integriert werden. Mit Hilfe einer angemessenen Systematisierung kann die Integration der Behandlung von Freiformflächen in bestehende Visuali-sierungs- und CAD-Systeme erleichtert werden. In diesem Rahmen läßt sich auch klar herausstellen, für welche Aufgaben die unterschiedlichen Verfahren besonders geeignet sind.
Bei der Integration von Visualisierungsverfahren, insbesondere für Freiformflächen, kommt den Schnittstellen zu diesen eine hervorragende Bedeutung zu.
Using a three-axis miller, copies, negative moulds, etc. of a solid body shall be made. To reduce machine time, a method is presented so that the body has to be scanned only once, even if differently sized tools are used. This is accomplished by approximating the given surface with B-splines and generating the milling paths from this mathematical description. Prior to being fed into a milling machine, these control programs and several other data can also be displayed on a screen, in order to judge the quality and smoothness of the result. A small example is included.
Die vom CAGD bekannten Techniken für rationale Freiform Bézier- Kurven und -Flächen werden auf rationale trivariate Darstellungen erweitert. Rationale Bézier-Volumina gestatten die Beschreibung von Freiform-Volumina als auch die exakte Darstellung von 3D-Primitiven, wie Kugel, Kegel, Torus, etc. Techniken zur Visualisierung rationaler Bézier-Volumina werden angesprochen.
Gegenstand dieses Beitrags sind Verfahren zur Interpolation von Körpern aus dünnen Beschreibungen zum Zwecke der schattierten Visualisierung. Die Interpolation wird dabei mit Hilfe der Delaunay-Technik durchgeführt. Der Schwerpunkt liegt bei der Interpolation von Körpern aus Schnittfolgen, wie sie etwa in der Tomographie, der Mikroskopie, der Kartographie und der Ultraschalltechnik auftreten. Ausführlich behandelt wird die automatische Interpolation sich verzweigender Objekte aus parallel liegenden Schnitten. Ferner wird ein Verfahren zur Behandlung beliebig liegender, sich auch schneidender Schnittebenen skizziert. Ergebnis der Interpolationsalgorithmen sind Tetraedermengen, die sich zur schattierten Visualisierung, aber auch zur Weiterverarbeitung durch numerische Simulationsprogramme eignen.
We describe an approximation method for planar curves that significantly improves the standard rate obtained by local Taylor approximations. The method exploits the freedom in the choice of the parametrization and achieves the order 4m/3 where m is the degree of the approximating polynomial parametrization. Moreover, we show for a particular set of curves that the optimal rate 2m is possible.
Conversion methods are required for the exchange of data. We introduce conversion methods for B-spline and Bézier surfaces. First a given integral or rational B-spline surface will be segmented by curvature oriented arguments then these patches will be converted into integral Bézier patches with help of geometric continuity conditions. If the surfaces are trimmed, the given curves on the surfaces may have rational B-spline representation of arbitrary order in the parametric domain, these curves will be converted into integral B-spline curves of arbitrary order. — The same method can be used for merging a set of surface patches to a set with less number of patches.
SYRKO is the CAD/CAM system developed and used by Mercedes-Benz for car body design and construction. The name is derived from “System für rechnerunterstützte Konstruktion und Fertigung”, which simply means “CAD/CAM system”. Important stages in the growth of the system were
1967
Batch programs for curve and surface design
1972
CAD representation and NC milling of a test car model
1976
Mainframe version on vector screen with interactive user interface
1980
SYRKO used in the design-, preproduction- and tool design departments in Sindelfingen plant
1985
Colour raster screen
1986
SYRKO used in Wörth and Bremen plants 1990 SYRKO on UNIX workstations
Nowadays the body of a new car is almost completely described as a SYRKO surface model. The system is used in 5 plants of Mercedes-Benz as well as by a few supplying companies.
In this article, a black-box higher-order fast multipole method for solving boundary integral equations on parametric surfaces in three spatial dimensions is proposed. Such piecewise smooth surfaces are the topic of recent studies in isogeometric analysis. Due to the exact surface representation, the rate of convergence of higher-order methods is not limited by approximation errors of the surface. An element-wise clustering strategy yields a balanced cluster tree and an efficient numerical integration scheme for the underlying Galerkin method. By performing the interpolation for the fast multipole method directly on the reference domain, the cost complexity in the polynomial degree is reduced by one order. This gain is independent of the application of either H- or H2-matrices. In fact, several simplifications in the construction of H2-matrices are pointed out, which are a by-product of the surface representation. Extensive numerical examples are provided in order to quantify and qualify the proposed method. Copyright (c) 2016 John Wiley & Sons, Ltd.
Die Form bzw. Gestalt von Gebrauchsgegenständen ist oft ein Kompromiss aus Ästhetik und mechanischen Anforderungen. Ästhetik und Mechanik muss aber nicht zwingend konkurrieren, was viele Strukturen in der Natur beweisen. Diese Formen entwickeln sich basierend auf den vorliegenden Kräften.
In surgery computer aided techniques supported by high performance computers and medical software using methods of CAS (computer aided surgery) will become most important. In the first part of this paper we present a method for better preparation of craniofacial surgeons based on 3D computer simulations as well as techniques for increasing the stability and lifetime of dental implants. This work is done in the joint project “Geometrische Datenverarbeitung und Simulation bei der Planung und Durchführung zahnmedizinischer Eingriffe” together with FRIATEC AG, Mannheim-Friedrichsfeld, (Dr. Vizethum) and the „Klinik für Mund-, Kiefer- und Gesichtschirurgie“ (Prof. Mühling and Dr. Haßfeld). In the second part we introduce two methods for the visualization of computer tomograms. This is a part of the project “Computergestützte Operationsplanung und -kontrolle” supported by the “Forschungsschwerpunktprogramm Baden-Württemberg”. These visualization techniques are the basis for future work in this project, e.g. the vi-sualization of surgery tools and their simulated usage in surgery planning as well as virtual endoscopy. During our work we found out that volume ray casting is the better choice for visualization of biological structures, and surface rendering should be preferred for surgery tools and for implants. Hence in the near future we want to put together both methods into one hybrid algorithm.
Eine grundlegende Voraussetzung zur Erfassung der geometrischen Gestalt unbekannter Objekte ist das dreidimensionale Digitalisieren [CW87, Wol87]. Das Digitalisieren zeichnet sich dadurch aus, daß die Werkstückoberfläche durch eine geeignete Sensorik abgetastet wird. Die geometrische Gestalt wird in Form einer rechnerinternen Darstellung — meist diskrete Raumpunkte — gespeichert. Das dabei zu verwendende Digitalisiersystem muß die komplette und hochgenaue Erfassung der Objekte ermöglichen. Am Markt existieren verschiedene Digitalisiersysteme mit sehr unterschiedlichen Prinzipien. Die Auswahl des richtigen Systems ist abhängig vom konkreten Anwendungsfall. Im folgenden werden die grundlegenden Wirkprinzipien der marktgängigen Systeme mit ihren Vor- und Nachteilen beschrieben. Hierbei geht es weniger um eine umfassende Vorstellung der verschiedenen Sensoren, sondern vielmehr um die Darstellung der aus den Wirkprinzipien resultierenden Qualität und Quantität der Digitalisierdaten. Für eine ausführliche Beschreibung wird jeweils auf weiterführende Literatur verwiesen. Ergänzend sei hier auf [Woh94] verwiesen, wo ebenfalls ein Überblick, allerdings mit dem Schwerpunkt auf optischen Verfahren, zu finden ist.
In diesem Kapitel werden zunächst zur vollständigen Detaillierung des Präsentationskonzepts die EXPRESS-G-Diagramme der einzelnen Aspekte des Präsentationsmodells vorgestellt. Diese EXPRESS-G-Diagrmme wurden bereits in den Anhang des offiziellen Dokuments zur STEP-Präsentation übernommen.
A panel code, capable of treating complete configurations, has been extended by an invers option. This means, that two types of patches may be present: ’design patches’, whose surface is derived from given pressures and ’analysis patches’, whose pressures are derived from given surface. To solve such ’mixed’ problems the panel code is embedded into an iteration loop, which minimizes the sum of squared pressure deviations. The geometry representation is done in terms of Bézier -splines with linear lofting. Intersections between wing- and body patches may occur. These are handled by locating a fictious design section inside the body and projecting it onto the body at a specified direction. Several examples demonstrate the power of the method and the usefulness to actual aircraft design problems.KeywordsControl PointTarget PressureDesign SectionPanel Method
Bezier CurveThese keywords were added by machine and not by the authors. This process is experimental and the keywords may be updated as the learning algorithm improves.
Implicit curves and surfaces are used for interpolation, approximation, blending of curves, surfaces and solids and filling of surface holes. The introduced curves and surfaces can be interpreted as functional splines, which fulfil geometric continuity conditions.
The article reviews CAM methods applied in the milling of freeform surfaces. Based on a brief presentation of the technological constraints, the main steps in the extraction of machine-understandable information from surface data are discussed. Special emphasis is laid on the problem of collisions between tool and surface model.
Die Arthrose, d.h. die degenerative Gelenkerkrankung, ist eine der häufigen Erkrankungen des mittleren und höheren Lebensalters. Sie kann insbesondere im Bereich von Hüft- und Kniegelenk zu erheblichen Beeinträchtigungen des menschlichen Bewegungsvorganges und des allgemeinen Wohlbefindens führen.
In , , we compute the solution to both the unconstrained and constrained Gauss variational problem, considered for the Riesz kernel of order and a pair of compact, disjoint, boundaryless -dimensional -manifolds , , where , each being charged with Borel measures with the sign prescribed. Such variational problems over a cone of Borel measures can be formulated as minimization problems over the corresponding cone of surface distributions belonging to the Sobolev–Slobodetski space , where and (see Harbrecht et al., Math. Nachr. 287 (2014), 48–69). We thus approximate the sought density by piecewise constant boundary elements and apply the primal-dual active set strategy to impose the desired inequality constraints. The boundary integral operator which is defined by the Riesz kernel under consideration is efficiently approximated by means of an -matrix approximation. This particularly enables the application of a preconditioner for the iterative solution of the first-order optimality system. Numerical results in are given to demonstrate our approach.© 2016 Wiley Periodicals, Inc. Numer Methods Partial Differential Eq, 2016
Free-form surfaces are an essential part of sophisticated CAD-systems. A major topic is the design of smooth curves and surfaces, which are appropriate for the NC-process. In this publication we present some new techniques based on a calculus of variation approach.
In diesem Beitrag wird die Entwicklung von Modellierungsfeatures für das nichtlineare Spaltprofilieren und Spaltbiegen in 3D-CAD-Systemen beschrieben. Neben einer Diskussion der bereits existierenden Ansätze werden die mathematischen Grundlagen, sowie die methodische Modellierung auf der topologischen und geometrischen Ebene untersucht und beschrieben. Die Anforderungen an die Modellierungsfeatures in 3D-CAD-Systemen wer-den vorgestellt. Darauf aufbauend wird das Konzept des Modellierungsfeatures für nichtlinearen Spaltprofilieren und Spaltbiegen mithilfe von UML-Klassendiagrammen vorgestellt.
Die mediale Achse wurde 1967 von Harry Blum zur Darstellung und Analyse ebener abgeschlossener Gebiete eingeführt. Sie besteht aus dem Abschluß der Menge aller Mittelpunkte maximaler Kreisscheiben. Eine Kreisscheibe heißt dabei maximal, sofern sie ganz in dem Gebiet enthalten und nicht echte Teilmenge einer ebenfalls in dem zu betrachtenden Gebiet liegenden Kreisscheibe ist. Auf der medialen Achse operiert die Radiusfunktion. Sie ordnet jedem Punkt der medialen Achse den Radius der zugehörigen maximalen Kreisscheibe zu und ermöglicht damit die exakte Rekonstruktion des zugrundeliegenden Gebietes aus der medialen Achse. Die mediale Achse ist lokale Symmetrieachse, dimensionsreduzierend und führt auf einen Graphen, welcher mit Hilfe der metrischen Informationen der Radiusfunktion eine automatisierte Analyse ebener Gebiete mittels graphentheoretischer Konzepte ermöglicht. Die Arbeit faßt zunächst alternative Definitionen, Eigenschaften und Anwendungsgebiete medialer Achsen zusammen. Im Vordergrund steht jedoch die exakte Berechnung beziehungsweise die Approximation medialer Achsen abgeschlossener Gebiete in der euklidischen Ebene. Entscheidendes Hilfsmittel ist hierbei das Voronoj-Diagramm - jene Partition der euklidischen Ebene, die jedem Punkt einer vorgegebenen Menge diejenigen Punkte der euklidischen Ebene zuordnet, deren Abstände zu diesem kleiner als zu allen anderen Punkten der besagten Menge sind. Der Begriff des Voronoj-Diagramms von Punktmengen wird hierzu auf Mengen von Geradensegmenten und Punkten erweitert. Es wird gezeigt, daß die mediale Achse eines polygonalen Gebietes eine einfach zu charakterisierende Teilmenge des verallgemeinerten Voronoj-Diagramms des Randpolygons ist und im Fall konvexer polygonaler Gebiete mit diesem übereinstimmt. Der zweite Teil der Arbeit befaßt sich mit der Approximation medialer Achsen r-regulärer Mengen mit Hilfe des Voronoj-Diagramms einer auf dem Rand verteilten diskreten Punktmenge.
1 From Darwin to Recent Revolutions in Biology The rst documented revolution in biology took place last century when Charles Darwin's centennial book on the origin of species was published 1859 in England 60]. The only contribution to nineteenth century evo-lutionary biology, which is worth mentioning from the point of view of mathematics, however, was Gregor Mendel's statistical analysis of plant crossing experiments 6,61]. Biology was not yet ripe to accept the use-fulness of mathematical models and, indeed, Mendel's work did not reach the attention of evolutionary biologists. As a matter of fact his studies had to be rediscovered at the beginning of the twentieth century. The revival of controlled cross-breeding led to genetics, a biological discipline in its own rights, but the geneticists were at odds with the selectionists. It took almost half a century before Darwin's principle of variation and selection and Mendel's laws of inheritance were united in form of the synthetic theory 45,59]. Populations genetics, nevertheless, had been developed already in the thirties by the three scholars Ronald Fisher, John Haldane, and Sewall Wright. Thus, the uniication of genetics and natural selection has rst been successful in terms of a mathematical model. Ronald Fisher was a mathematician and apart from his works in theoretical biology he made also important contributions to diieren-tial equations, probability theory and stochastic processes. Most relevant for this chapter, however, is Fisher's selection equation which refers to sexual reproduction in large populations, random mating, and frequent recombination. In the form shown below it describes selection among n alleles 1 at a single locus: dx i dt = _ x i = x i n X n j=1 x j a ij ? X n k=1 a jk x k o = = x i X n j=1 a ij x j ? (t) ; i = 1; : : : n : (1) The variables x i denote the frequencies of individual alles A i and adopt only nonnegative values, which fullll normalization P n i=1 x i = 1. The time-dependent constraint (t) = P n i=1 P n j=1 a ij x i x j is introduced in 1 Alleles are variants of the gene at a given position on the genome, called locus.
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