ESTUDO EMPÍRICO DA RELAÇÃO ENTRE O PERÍODO E A AMPLITUDE DE UM PÊNDULO SIMPLES

Abstract

Introdução O estudo empírico da relação entre o período e a amplitude do pêndulo simples não é usualmente realizado nas disciplinas de laborató-rio de Física Geral. Acredita-se que ele somente possa ser feito com auxilio de um sofisticado medidor de tempo. Apresenta-se a seguir os resultados de um experimento realizado com equipamento simples e se mostra que é possível: usando-se o tratamento estatístico adequado, comprovar a dependência entre o perío-do e a amplitude. Procedimento e resultados Utilizou-se um pêndulo simples com 2,87 m de compri-mento e um cronômetro com precisão de 1/100 s. As medidas do período foram realizadas através do acionamento manual do cronômetro. Como a amplitude devia ser mantida sob controle, não era possível tomar mais do que uma oscilação de cada vez devido ao amortecimento. Ou seja, o cro-nômetro era disparado quando o pêndulo atingia o ponto de amplitude e travado quando, pela primeira vez, retornava a esse ponto. Esse procedimento tem o inconveniente de introduzir um erro razoável na determinação do período; a fonte primordial desse erro é muito provavelmente o tempo de reação do operador. Entretanto, esse erro pode ser minimizado através de um grande número de medidas conforme se comprovou posteriormente. Foram realizadas 35 medidas para cada amplitude. A tabe-la 1 apresenta esses resultados.

Full text

Cad. Cat. Ens. Fis., Florianópolis,
3
(3): 134
-
137
, dez. 1986
134
ESTUDO EMPÍRICO DA RELAÇÃO ENTRE O
PERÍODO E A AMPLITUDE DE UM PÊNDULO
SIMPLES
Fernando Lang Da Silveira
Instituto de Física
P
UC
Instituto de Física
UFRGS
Po
r
to Alegre
RS
Introdução
O estudo empírico da relação entre o período e a amplitude
do pêndulo simples não é usualmente realizado nas disciplinas de laborat
ó-
rio de Física Geral. A
credita
-
se que ele somente possa ser fei
to com auxilio
de um sofisticado medidor de tempo.
Apresenta
-se a seguir os resultados de um experimento
re
alizado com equipamento simples e se mostra que é possível: usando-
se
o tratamento estatístico adequado, comprovar a dependência entre o perí
o-
do e a
a
m
plitude.
Procedimento e resultados
Utilizou
-se um pêndulo simples com 2,87 m de compr
i-
mento e um cronômetro com precisão de 1/100 s. As medidas do período
foram realizadas através do acionamento manual do cronô
metro
. Como a
amplitude devia ser mantid
a
sob controle, não era possível tomar mais do
que uma oscilação de cada vez devido ao amortecimento. Ou seja, o cr
o-
nômetro era disparado quando o pêndulo atingia o ponto de amplitude e
travado quando
,
pela primeira vez
,
retornava a esse po
n
to.
Esse procedimento tem o inconveniente de introduzir um
erro razoável na determinação do período; a fonte primordial desse erro é
muito provavelmente o tempo de reação do operador. Entretanto, esse erro
pode ser minimizado através de um grande número de medidas conforme
se compr
o
vou posteriormente.
Foram realizadas 35 medidas para cada amplitude. A tab
e-
la 1 apresenta esses result
a
dos.

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Tabela 1
Medidas do período T(s) para diversas amplitudes
( )
= 0,7º
= 4,8º
= 9,7º
= 14,6º
= 19,6º
= 24,8º
3,49
3,40
3,37
3,42
3,47
3,50
3,37
3,39
3,47
3,43
3,45
3,49
3,33
3,45
3,38
3,38
3,47
3,44
3,46
3,47
3,41
3,44
3,46
3,52
3,33
3,38
3,44
3,44
3,46
3,58
3,45
3,38
3,41
3,46
3,46
3,42
3,44
3,36
3,42
3,45
3,42
3,45
3,36
3,38
3,38
3,46
3,41
3,48
3,37
3,40
3,42
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3,35
3,39
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3,30
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3,44
3,47
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3,31
3,41
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2
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3,54
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3,47
3,47
3,42
3,42
3,44
3,48
3,49
3,48
3,41
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3,42
3,42
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3,46

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F
Fig.
1
Análise dos result
a
dos
A fim de verificar a dependência do período com a ampl
i-
tude determinou-se para cada grupo de 35 medidas(ou seja, para cada
amp1itude) a média, o desvio padrão e o desvio padrão da média do perí
o-
do. Esses são apresentados na tabela 2 com o conveniente número de alg
a-
rismos significat
i
vos.
Tabela 2 - Média, desvio padrão e desvio padrão da média do período para
cada amplitude.
Amplitude
Média
Desvio p
a
drão
Desvio padrão da média
0,7º
3,407 s
0,066 s
0,011 s
4,8º
3,4100 s
0,036 s
0,0061 s
9,7º
3,4120 s
0,033 s
0,0056 s
14,6º
3,4269
s
0,039 s
0,0066 s
19,6º
3,4614 s
0,037 s
0,0062 s
24,8º
3,4809 s
0,032 s
0,0054 s
Observa
-se na tabela 2 um crescimento do período (média)
com a amplitude. Pode-se então questionar se as diferenças entre as médias
são devidas a erros de medida (o questionamento é extremamente pertine
n-
te tendo-se em vista a grande dispersão dos tempos medidos conforme a
tabela 1). A resposta é dada por um teste de significância estatística para a
diferença entre médias; utilizou-se a análise de variância (teste F) para re
s-
pondê
-la. O teste levou a uma probabilidade de aproximadamente 10
-
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(nível de significância estatística) de que as diferenças observadas entre
as médias tenham ocorrido por acaso.

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Sendo essa probabilidade pequeníssima po
de
-se rejeitar o acaso e crer que
as diferenças entre as médias são devidas as variações da ampl
i
tude.
O gráfico da Fig. 1 relaciona o período com a am
plitude.
As barras são os desvios padrão das médias.
Utilizou
-se o método dos mínimos quadrados para enco
n-
trar os parâmetros da melhor curva do tipo T = A sen
2
( /2) + B que adere
aos pontos obtidos. A curva encontrada está traçada em linha contínua e
adere com um coeficiente de correlação de 0,987 (estatisticamente signif
i-
cativo em nível inferior a 0,1 %).
Conclusão
Os resultados não deixam dúvidas quanto à de
pendência
do período do pêndulo simples com a amplitude. Essa conclusão só foi
possível de ser obtida através de um tratamento estatístico, pois o exper
i-
mento estava sujeito a erros grandes.
É interessante notar na tabela 1 que a dispersão dos perí
o-
dos medidos para cada amplitude é da ordem de 0,2 s e que a diferença
entre a maior média (3,4809 s) e a menor média (3,407 s) é de 0,08 s. Ap
e-
sar disso o teste de significância estatística permite inferir que essa última
diferença (0,08 s) não é devida aos e
r
ros
de medida.
Outro aspecto importante a ser destacado é que, apesar dos
períodoS terem sido medidos com precisão de 1/100 s ,a precisão das m
é-
dias vai além (vide t
a
bela 2).
O experimento pode ser utilizado em uma disciplina de
laboratório para enfatizar a necessidade de um estudo mais aprofundado de
mét
odos quantitativos aplicados à Física Experimental e que aliás tem sido
desco
n
siderado na formação da mai
o
ria dos físicos.
Referências bibliográficas
1.
HELENE, O.A. & VANIN, V.R.
Trat
amento estatístico de dados em
física experimental
. São Paulo, E
d
gard Blücher, 1981.
2.
PARADINE, C.G. & RIVETT, B.H.P. Métodos estatísticos para tecn
o-
logistas
. São Paulo, Editora da Univers
i
dade, 1974.
3.
SILVEIRA, F.L., DIONÍSIO, P.H. & BUCHWEITZ, B. Inferência s
o-
bre a média de uma grandeza a partir de um conjunto de dados: um
aspecto relacionado com a sensibilidade das medidas. Ciência e
Cu
ltu
ra
, São Paulo,
35
(10): 1492
-
6, 1983.