Uma dificuldade recorrente em óptica geométrica: uma imperceptível descontinuidade de imagem na lupa

Abstract

Poderíamos estar olhando para um objeto através de uma lupa e não perceber a súbita inversão de imagem - de virtual e direita para real e invertida - quando o objeto é afastado para além do plano focal? No presente artigo mostramos que isto efetivamente acontece, e também com certas lentes de óculos, como as lentes comuns de leitura.

Full text

Revista Brasileira de Ensino de F´ısica, v. 28, n. 4, p. 421-425, (2006)
www.sbfisica.org.br
Uma dificuldade recorrente em ´optica geom´etrica - Uma impercept´ıvel
descontinuidade de imagem na lupa
(A recurrent problem in geometrical optics - A not perceived image discontinuity at the magnifying glass)
Fernando Lang da Silveira1e Rolando Axt
Instituto de F´ısica, Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil
Recebido em 2/5/2006; Aceito em 4/7/2006
Poder´ıamos estar olhando para um objeto atrav´es de uma lupa e n˜ao perceber a s´ubita invers˜ao de imagem
- de virtual e direita para real e invertida - quando o objeto ´e afastado para al´em do plano focal? No presente
artigo mostramos que isto efetivamente acontece, e tamb´em com certas lentes de ´oculos, como as lentes comuns
de leitura.
Palavras-chave: lupa, olho humano, ´optica geom´etrica.
Could we be looking at an object across a magnifying glass without perceiving the sudden image inversion -
from virtual and erect to real and inverted - when the object moves away from the lens to a place a little farther
than the focal distance? In this article we show that this effectively happens, as well with some eyeglasses lenses,
like common reading glasses.
Keywords: magnifying glass, human eye, geometrical optics.
´
E´util chamar a aten¸c˜ao do leitor sobre a importˆancia do estudo da lupa. ´
E importante compreender o seu funcionamento n˜ao
somente pela lupa em si, mas tamb´em porque a lupa constitui uma parte de quase todos os instrumentos de observa¸c˜ao subjetiva.
Roberto A. Salmeron
1. Introdu¸c˜ao
´
E por demais sabido que uma lente convergente conjuga
uma imagem virtual edireita, maior do que o objeto,
quando um objeto real est´a posicionado entre a lente
e seu plano focal. Nos textos que conhecemos, sejam
de ensino m´edio ou de ensino superior, a abordagem
te´orica da lupa parte do pressuposto de que o objeto
est´a posicionado entre a lupa e o seu plano focal. Um
excelente livro de F´ısica para o ensino m´edio afirma
que a lente utilizada s´o se comportar´a como uma lupa
quando o objeto estiver colocado numa distˆancia infe-
rior `a sua distˆancia focal [1, p. 276], e desta forma,
exclui explicitamente o uso de uma lente convergente
como lupa quando o objeto se encontra al´em do plano
focal, situa¸c˜ao em que a lente convergente conjuga uma
imagem real einvertida. Assim, se um objeto for afas-
tado de uma lente convergente, ao atingir o plano focal
ocorrer´a uma descontinuidade no comportamento da
imagem pois ela passa de virtual edireita para real ein-
vertida. Possivelmente o reconhecimento da existˆencia
desta flagrante descontinuidade levou os autores do re-
ferido texto a negar a possibilidade do uso de uma lupa
quando o objeto se encontra al´em do plano focal2.
Imaginemos que um observador utilize uma lupa
com o objeto posicionado entre ela e o plano focal. A
pergunta que formulamos ´e a seguinte: o que ele enxer-
gar´a quando o objeto for afastado e finalmente ultra-
passar um pouco o plano focal? No Apˆendice apre-
sentamos uma quest˜ao-teste tratando deste problema.
Inicialmente uma fotografia mostra o que se enxerga
quando um objeto est´a posicionado pr´oximo ao plano
focal, a uma distˆancia da lupa inferior a sua distˆancia
focal; depois s˜ao oferecidas quatro alternativas de res-
posta para o teste. As alternativas s˜ao fotografias su-
gerindo o que se veria no caso de o objeto estar posicio-
nado um pouco al´em do plano focal.
A quest˜ao foi proposta a professores de F´ısica Ge-
ral de diversas universidades, sendo que a maioria deles
j´a leciona ou lecionou alguma disciplina que trata da
1E-mail: lang@if.ufrgs.br.
2Os demais textos de ´optica geom´etrica que conhecemos implicitamente endossam esta opini˜ao, pois nenhum deles discute o que se
enxergaria caso o objeto estivesse posicionado al´em do plano focal da lupa.
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´optica geom´etrica. De um total de vinte e oito res-
pondentes, dezesseis optaram pela fotografia que su-
gere que o observador n˜ao discernir´a nada (Fotografia
4), cinco pela fotografia onde se reconhece uma imagem
invertida pouco n´ıtida (Fotografia 3), dois pela alterna-
tiva em que se observa uma imagem invertida com boa
nitidez (Fotografia 2) e um considerou que nenhuma
das alternativas estava correta. Apenas quatro dos res-
pondentes optaram pela alternativa que apresenta uma
imagem semelhante `aquela que o observador via quando
oobjeto se encontrava aqu´em do plano focal (Fotografia
1). Surpreendentemente esta ´e a alternativa correta!!
A dificuldade em tratar teoricamente da quest˜ao
posta ´e recorrente pois n˜ao ´e de ho je que se manifesta,
seja nos livros-texto, seja nas respostas de nossos profes-
sores. Em meados do s´eculo XVII diversos f´ısicos emi-
nentes envolveram-se com o problema; destaca-se, entre
outros, Isaac Barrow (1630-1677), primeiro ocupante e
antecessor de Isaac Newton (1642-1724) na c´atedra lu-
casiana. Mais tarde, em 1709, no Ensaio para uma
nova teoria da vis˜ao, o fil´osofo empirista inglˆes George
Berkeley (1685-1753) debateu-se com o problema3([2];
p. 177-179). Tanto Berkeley quanto Barrow e outros
n˜ao tinham d´uvidas sobre o que se enxergava na si-
tua¸c˜ao proposta pois, ao utilizarem lentes convergen-
tes (e espelhos cˆoncavos4), posicionando o objeto um
pouco al´em do plano focal, viam uma imagem muito
semelhante `aquela que observavam quando o objeto se
encontrava um pouco aqu´em do plano focal. O que
procuravam era uma explica¸c˜ao para t˜ao surpreendente
observa¸c˜ao!!
O objetivo deste trabalho ´e o de discutir teorica-
mente o que observamos ao olhar atrav´es de uma lente
convergente, estando o objeto ora antes ora depois do
plano focal da mesma.
2. Afinal, o que vemos?
Para que uma coisa possa ser vista por n´os, ´e pre-
ciso que uma imagem real seja conjugada pelo sistema
de lentes do olho (c´ornea, humor aquoso, cristalino).
N˜ao temos acesso direto aos objetos eo que vemos
s˜ao imagens reais em nossa retina. Se desconsiderar-
mos esta singela senten¸ca, inevitavelmente encontrare-
mos inconsistˆencias entre o que aprendemos em ´optica
geom´etrica e o que vemos5. Exemplos emblem´aticos
disso s˜ao o caso do espelho cˆoncavo [3] e o da lupa, que
examinaremos a seguir.
Para compreender o que vemos quando olhamos
com aux´ılio de uma lupa (ou, eventualmente, de uma
lente ou espelho qualquer ou ainda de um sistema ´optico
mais complexo), ´e necess´ario que examinemos como s˜ao
as imagens em nossa retina quando o olho refrata a luz
que emerge da lupa. Ou seja, n˜ao podemos limitar a
an´alise do problema `a´optica da lupa, como ocorre na
maioria dos livros did´aticos; devemos acrescentar ao sis-
tema uma lente que represente nosso olho conjugando
imagens sobre a retina.
Para analisar este problema recorremos `a constru-
¸c˜ao gr´afica das imagens conjugadas pela lupa e pela
lente do nosso olho. Constru¸c˜oes gr´aficas s˜ao realizadas
a partir do tra¸cado de alguns raios principais oriundos
do objeto e refratados pelas lentes; no presente caso, a
lupa e a lente do nosso olho. As regras em que se ba-
seia a constru¸c˜ao gr´afica encontram-se tanto em textos
de n´ıvel fundamental [4] e m´edio [5], quanto de n´ıvel
superior [6].
Quanto `a localiza¸c˜ao do objeto em rela¸c˜ao `a lupa,
para que ele possa ser visto por um observador que olha
atrav´es dela, analisamos, a seguir, dois casos distintos
que produzem resultados bastante semelhantes sobre
nossa retina.
3. Primeiro caso: O objeto localiza-se a
uma distˆancia da lupa menor do que
a distˆancia focal
Inicialmente imaginemos que o objeto esteja colocado
entre a lupa e o seu plano focal. A Fig. 1 representa
oobjeto eaimagem virtual edireita conjugada pela
lupa. O observador encontra-se pr´oximo `a lupa, do lado
oposto ao lado que est´aoobjeto e sua imagem.
Figura 1 - A lupa conjuga uma imagem virtual e direita do
objeto.
3Agradecemos ao Professor Jos´e Oscar de Almeida Marques, do Departamento de Filosofia da UNICAMP que, estando a traduzir o
texto do bispo Berkeley, nos deu a conhecer a existˆencia de tal discuss˜ao naquela obra.
4Recentemente alunos do ensino m´edio, ao trabalharem com espelhos cˆoncavos, notaram surpresos o fato de que quando se miravam
no espelho, posicionados quer antes quer depois do seu plano focal, se enxergavam direitos, e que n˜ao era percept´ıvel qualquer descon-
tinuidade ao passarem pelo plano focal. Eles notaram uma descontinuidade quando se posicionavam a aproximadamente duas vezes a
distˆancia focal em rela¸c˜ao ao espelho [3].
5Um exemplo ´e a contesta¸c˜ao feita por um aluno sobre o fato de que, para um espelho plano, o tamanho da imagem ´e igual `ado
objeto. O aluno contra-argumentou falando sobre como ele se vˆe: Isso n˜ao est´a certo, pois o tamanho da minha imagem no espelho
diminui quando dele me afasto. Este argumento est´a constru´ıdo sobre o pressuposto de que o que vemos s˜ao imagens no espelho e n˜ao
imagens conjugadas em nossa retina!!

Uma dificuldade recorrente em ´optica geom´etrica - Uma impercept´ıvel descontinuidade de imagem na lupa 423
Na Fig. 2 ´e introduzida uma lente convergente para
representar a lente do olho do observador. A imagem
virtual conjugada pela lupa ´eumobjeto real para a
lente do olho, conforme indica a figura. A lente do
olho conjuga uma imagem real einvertida;demodo
que sobre a retina (n˜ao representada na figura) ocorre
uma imagem real einvertida.´
E importante destacar
que quando percebemos objetos direitos temos imagens
invertidas na retina.
Figura 2 - A imagem virtual conjugada pela lupa ´e um obje-
to real para a lente do olho que ent˜ao conjuga uma imagem
real e invertida na retina.
Se, na Fig. 1, o objeto for movido em dire¸c˜ao ao
foco F, os raios luminosos que emergem da lupa, pro-
venientes de um ponto do objeto, se tornam cada vez
menos divergentes, o que faz a imagem virtual con-
jugada pela lupa se afastar, tendendo ao infinito, e, ao
mesmo tempo, aumentar de tamanho. Conseq¨uˆencia
disso ´e que o olho necessita de menor acomoda¸c˜ao vi-
sual e assim conjuga uma imagem de tamanho maior
na retina. A acomoda¸c˜ao visual se refere `a capacidade
que o nosso olho possui de reduzir a sua distˆancia fo-
cal para que tenhamos uma imagem distinta na retina,
isto ´e, uma imagem n´ıtida conjugada sobre a retina6.
Quanto mais divergentes forem os raios luminosos que
atingem o olho, tanto menor dever´a ser a distˆancia fo-
cal da lente do nosso olho. Isto exige uma maior aco-
moda¸c˜ao visual, ou seja, um esfor¸co maior dos m´usculos
ciliares que pressionam o cristalino a fim de aumentar
a sua curvatura e reduzir a distˆancia focal.
Portanto, o uso de uma lente convergente (tal como
a lupa) na frente do olho, al´em de poder amplificar o
tamanho das coisas que enxergamos, possui uma outra
conseq¨uˆencia desej´avel, qual seja a de exigir uma menor
acomoda¸c˜ao visual. No caso limite em que o objeto ´e
postado sobre o plano focal da lupa, os raios provenien-
tes de um ponto do objeto atingir˜ao o nosso olho como
raios paralelos, n˜ao exigindo de um olho normal qual-
quer esfor¸co para acomoda¸c˜ao visual e determinando a
m´axima amplifica¸c˜ao poss´ıvel da imagem sobre nossa
retina.
A seguir analisaremos uma nova situa¸c˜ao, sobre a
qual os livros did´aticos costumam ser omissos. Nesta
situa¸c˜ao a imagem conjugada pela lupa n˜ao ´e nem vir-
tual, nem direita.
4. Segundo caso: O objeto localiza-se a
uma distˆancia da lupa maior do que
a distˆancia focal
A Fig. 3 representa o objeto colocado al´em do plano
focal da lupa e a lupa conjugando uma imagem real e
invertida.
Figura 3 - A lupa conjuga uma imagem real e invertida do
objeto.
A Fig. 4 representa raios luminosos provenientes
de um ponto do objeto sendo interceptados pela lente
do olho antes de atingirem o ponto de convergˆencia.
A linha tracejada indica qual dos raios, ao emergir da
lente do olho, n˜ao continuar´a na dire¸c˜ao original de in-
cidˆencia sobre a lente, conforme se observa na Fig. 5.
Estando a lente do olho na posi¸c˜ao em que se encontra,
aimagem real conjugada pela lupa ´eumobjeto virtual
para o olho. Como vemos nas Figs. 4 e 5, esse objeto
virtual situa-se atr´as do olho.
Figura 4 - A imagem real conjugada pela lupa ´e um objeto
virtual para a lente do olho.
A lente do olho causa uma convergˆencia prematura
dos raios sobre ela incidentes. Isto ´e mostrado na Fig. 5,
na qual est´a representado o tra¸cado dos raios princi-
pais que convergem e determinam uma imagem real do
objeto virtual indicado na Fig. 4. Esta imagem, con-
jugada pela lente do olho, tem a mesma orienta¸c˜ao do
objeto virtual. Assim, temos uma imagem real ein-
vertida na retina do nosso olho, ou seja, um resultado
semelhante ao do primeiro caso abordado na se¸c˜ao 3.
6Existem animais que possuem a lente do olho com distˆancia focal fixa, e s˜ao capazes de variar a distˆancia que a separa da retina
para nela conjugar imagens n´ıtidas [7]). No reino animal h´a mais de quarenta tipos diferentes de olho!!

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Figura5-Alentedoolho conjuga uma imagem real do
objeto virtual.
Note-se que, independentemente de o objeto situar-
se antes ou depois do plano focal da lupa (vide Figs. 2
e 5), resulta na retina uma imagem invertida (portanto
percebemos direito). Quando o objeto se afasta da lupa
passando pelo seu plano focal, n˜ao h´a descontinuidade
para a imagem conjugada pela lente do nosso olho na
retina7. O que existe ´e descontinuidade da imagem que
a lupa conjuga; entretanto, ao fazermos uso da lupa,
com o nosso olho pr´oximo dela, essa descontinuidade
nunca ´e percebida8. Quando o objeto para a lupa se
encontra sobre o plano focal dela, ocorrer´a em nossa
retina a m´axima amplifica¸c˜ao poss´ıvel da imagem real
ali conjugada pela lente de nosso olho9. Lembramos no-
vamente a singela senten¸ca: o que vemos s˜ao imagens
reais em nossa retina!!
5. Conclus˜ao
A discuss˜ao levada a efeito neste trabalho pressup˜oe
que o observador esteja utilizando uma lupa pr´oxima a
seu olho. Entretanto ´ef´acil notar que qualquer pessoa
que utilize ´oculos com lentes convergentes, por exem-
plo para a corre¸c˜ao da presbiopia (“vista cansada”),
satisfaz tais condi¸c˜oes, pois a distˆancia focal ´e de algu-
mas dezenas de cent´ımetros e os olhos est˜ao quase que
colados `as lentes. Assim sendo, quando o observador
dirige sua aten¸c˜ao para objetos pr´oximos, as lentes po-
der˜ao estar conjugando imagens virtuais ou reais. Nada
na experiˆencia dessas pessoas indica alguma desconti-
nuidade no que enxergam quando a posi¸c˜ao do objeto
muda de antes para depois do plano focal das lentes.
Nem mesmo o tamanho da imagem muda significativa-
mente quando isso acontece. O que pode acontecer ´e
uma perda de nitidez da imagem conjugada na retina
quando o objeto est´a muito al´em do plano focal, pois
o nosso olho n˜ao possui acomoda¸c˜ao visual para esta
situa¸c˜ao.
Enfatizamos, finalmente, que n˜ao podemos com-
preender a ´optica da vis˜ao sem levar em conta o fato de
que a lente de nosso olho conjuga imagens reais na re-
tina. Ignorar esse princ´ıpio nos induz a fazer previs˜oes
erradas sobre o que se pode enxergar.
Agradecimento
Agradecemos `a professora M.C. Varriale pela leitura
cr´ıtica deste artigo e pelas sugest˜oes apresentadas.
Apˆendice
Quest˜ao: Teste sobre a lupa
Figura 1A -
Figura 2A -
7Outra forma de se expor isto ´e a seguinte: Quando o objeto para a lupa est´a sobre o seu plano focal, os raios luminosos que emergem
da lupa, provenientes de um ponto do objeto, s˜ao paralelos entre si. Se o objeto se encontra um pouco antes ou um pouco depois do
plano focal da lupa, os raios luminosos dela emergentes s˜ao quase paralelos entre si (levemente divergentes ou levemente convergentes).
Ora, a lente de nosso olho, ao refratar tais raios, os far´a convergir quase que sobre o seu plano focal, conjugando em nossa retina imagens
reais muito semelhantes. Na situa¸c˜ao particular em que percebemos a m´axima amplifica¸c˜ao poss´ıvel, o objeto se encontra no plano
focal da lupa. Destaque-se que o comportamento dos raios luminosos que atingem o nosso olho n˜ao sofre nenhuma descontinuidade. Ao
contr´ario, os raios luminosos mon´otona e gradualmente se transformam de raios divergentes para raios convergentes.
8Cabe ressaltar que a descontinuidade ´e facilmente percept´ıvel quando o observador est´a postado a uma grande distˆancia da lente
convergente (a uma distˆancia muito maior do que a sua distˆancia focal) e o objeto ´e afastado da lente para al´em do seu plano focal.
Neste caso a imagem conjugada pela lente muda de virtual para real. Tanto uma imagem quanto a outra constituem objetos reais para
o olho de um observador distante. Ent˜ao o observador poder´a enxergar uma imagem invertida pairando no espa¸co em frente da lente.
Esse efeito, quando demonstrado em laborat´orios de ´optica, surpreende aqueles que acreditam que imagens reais somente podem ser
vistas sobre anteparos. Efeito semelhante tamb´em pode ser obtido com espelhos cˆoncavos, sendo `as vezes empregado para produzir
miragens em feiras e museus de ciˆencias [5].
9O leitor que dispuser de uma lupa facilmente poder´a colocar `a prova a teoria aqui discutida.

Uma dificuldade recorrente em ´optica geom´etrica - Uma impercept´ıvel descontinuidade de imagem na lupa 425
As figuras acima representam uma lente conver-
gente conjugando imagens em duas situa¸c˜oes distin-
tas. Quando o objeto se encontra entre a lente e o
foco, a imagem conjugada ´e virtual edireita (Fig. 1A).
Quando o objeto se encontra al´em do foco, a imagem
conjugada ´e rea l einvertida (Fig. 2A). Posto isto, con-
sidere a seguinte quest˜ao:
Figura 3A -
Um observador utiliza uma lente convergente como
lupa, posicionando o seu olho pr´oximo da lupa (vide
Fig. 3A). Inicialmente ele coloca o objeto (a palavra
Optik´e) na posi¸c˜ao A, pr´oximo ao foco, entre a lupa e
o foco. O que ele vˆe nesta situa¸c˜ao est´a mostrado na
fotografia da Fig. 4A.
Figura 4A -
Depois o objeto ´e deslocado para a posi¸c˜ao B, isto
´e, para um pouco al´em do foco, mas o observador per-
manece no mesmo lugar.
Qual das quatro fotografias a seguir vocˆe julga que
reproduza aquilo que o observador enxerga agora?
Referˆencias
[1] GREF, F´ısica 2 (EDUSP, S˜ao Paulo, 1991).
[2] G. Berkeley, in The Works of George Berkeley, edi-
ted by A.A. Luce and T.E. Jessop, (Thomas Nelson &
Sons, Londres, 1948-1957), v. I, p. 177-179.
[3] F.L. Silveira, R. Axt e M.A. Pires, Rev. Bras. Ens. Fis.
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[4] A. Gaspar, Experiˆencias de Ciˆencias para o Ensino
Fundamental. (Ed. ´
Atica, S˜ao Paulo, 2003).
[5] A. Gaspar, F´ısica 2. (Ed. ´
Atica, S˜ao Paulo, 2001).
[6] H.M. Nussenzveig, Curso de F´ısica B´asica (Ed. Edgard
Bl¨ucher, S˜ao Paulo, 1998).
[7] R. Dawkins, A Escalada do Monte Improv´avel (Com-
panhia das Letras, S˜ao Paulo, 1998).