Modelización de la estabilidad del arbolado y las palmeras

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Asociación y Colegio Oficial de Ingenieros Técnicos Forestales 59
Modelización de
la estabilidad
del arbolado y las palmeras
En este artículo se presenta un modelo matemático que permite
entender los daños producidos en formaciones forestales por
las acciones eólicas. Este modelo simula el comportamiento mecánico
de arbolado forestal y permite predecir la velocidad crítica del viento,
v crit, a la que los árboles pueden derribarse o fracturarse.
Parte del modelo se ha diseñado para Palmáceas, debido a que los
tradicionales cálculos de fractura, basados en momentos, tensión críti-
ca y resistencia a la compresión, todavía no son aplicables para ellas.
Su fin es aumentar la eficacia del diagnóstico visual de palmeras.
Las directrices que se ofrecen tratan de combinar el citado diagnós-
tico visual de comportamientos mecánicos peligrosos con su factor
de estabilidad elástica y el análisis de las cargas eólicas para cablear
la palmera en cuestión. La esbeltez, la elasticidad y el peso de la pal-
mera, junto con el peso del podador, están entre los factores prepon-
derantes que influyen en la estabilidad elástica. Mediante la teoría
que comprende esto último, se puede cuantificar la diferencia, en
términos de su seguridad, entre, por ejemplo, un grueso ejemplar de
Phoenix canariensis y Palmáceas más esbeltas.
La descripción sobre palmeras se incluye al formar éstas gran par-
te del paisaje panorámico de las ciudades y las costas mediterráneas.
Los componentes de este modelo han sido publicados recientemente
en la revista científica Arboricultural Journal , Vol. 29, pp. 243-265.
TÉCNICA
COMUNICACIÓN
Peter Sterken
1.INTRODUCCIÓN
En realidad, la quintaesencia de este
trabajo no es el modelo matemático
presentado aquí, sino su interpretación y
empleo en el mundo real. Los árboles, las
palmeras y los vientos no se ajustan siem-
pre a los modelos matemáticos. En estos
momentos, las ecuaciones matemáticas,
e incluso los métodos más refinados, solo
pueden pretender ser una orientación para
la evaluación de estabilidad de un árbol
real. Compor tamientos mecánicos peligro-
sos de la estructura, iniciados por grie-
tas o cavidades, por ejemplo, no siempre

60 n.o 38
son predecibles mediante la estática
y las matemáticas. Es necesario dejar
constancia de que estos modelos sólo
ofrecen un entendimiento momentá-
neo de la estabilidad de un árbol. Así
mismo, se tienen que añadir los proce-
sos de pudrición, compartimentación,
compensación y otros factores que
determinarán el tiempo de validez del
pronóstico.
Tanto la síntesis como la integra-
ción de conocimientos diversos, a ve-
ces opuestos, constituyen para el autor
la base preponderante para el futuro
progreso de este campo científico. De
esta manera, se pueden desarrollar
métodos y procedimientos sólidos, lógi-
cos y accesibles. La descripción exten-
sa de esta vital consideración se pue-
de encontrar en Arboricultural Journal
(Sterken, 2006).
2. LA METODOLOGÍA
EN TÉRMINOS GLOBALES
Arbolado urbano y forestal
En primer lugar, la propuesta que
se presenta se basa en el diagnóstico
visual combinado con análisis matemá-
ticos de las acciones eólicas. Mediante
los últimos, se calculan los factores
de seguridad del árbol. Igualmente, se
estima la velocidad crítica del viento
para la fractura por torsión y flexión y
su susceptibilidad a las oscilaciones
peligrosas.
Se sugiere que la pared residual de-
bería disponer de suficientes reservas
de seguridad en cuanto al empuje de
viento y, a la vez, presentar un riesgo
bajo de comportamientos mecánicos
catastróficos (concentraciones de ten-
sión, pandeo de Brazier, delaminacio-
nes longitudinales, etc.).
Los síntomas visibles de pudrición
interna, como el crecimiento de tejido
reparador y las depresiones en el cuer-
po leñoso, deben ser detectados. Los
criterios, a veces intencionadamente
opuestos, para el diagnóstico visual
de pudriciones de Mattheck & Breloer
(1995) y Reinar tz & Schlag (1997) se
combinan con tal fin. Cuando la albura,
que es la zona que mayor resistencia
estructural ofrece al tronco, está da-
ñada, se verá afectado el sistema de
conducción, lo que puede conllevar
una pérdida de vitalidad. Esta situación
produce generalmente anomalías en
la corteza y las estructuras superiores
de la copa. Roloff (2001) describe la
vitalidad de un árbol forestal clasificán-
dola en 4 fases según los patrones de
crecimiento de los últimos 4-14 años.
En este procedimiento se consideran
los criterios de Roloff junto con el creci-
miento secundario de la sección estruc-
turalmente dañada para poder emitir
un diagnóstico sólido de estabilidad
estructural basado en la apreciación
visual. La propuesta presente puede
hacerse aún más transparente cuando
se combina con la tomografía acústica
para poder visualizar la sección interna
del árbol dañado. En cuanto a la inter-
pretación de dichas tomografías, ver
Schwarze et al. (2004).
Esta par te de la propuesta permite
conocimiento inmediato de la estabili-
dad de un árbol en concreto o de una
masa forestal donde la mayoría de los
pies compar ten las mismas caracterís-
ticas alométricas, eólicas, patogénicas
y de prácticas culturales.
En segundo lugar, un pronóstico
a largo plazo en cuanto al desarrollo
futuro de la pudrición en la albura y, así
mismo, de la seguridad del árbol puede
ser formulado cuando se consideran
las interacciones entre hongo/árbol. De
acuerdo con Schwarze (2001), muchos
hongos xilófagos son capaces de es-
quivar las estrategias empleadas para
intentar frenar la pudrición por el propio
árbol. Dichas interacciones entre la
respuesta del árbol y la agresividad de
ciertos hongos se han estudiado a fon-
do a nivel microscópico por Schwarze
et al. Para un mayor entendimiento
referente a este campo, se recomienda
estudiar las publicaciones realizadas
por este autor.
Palmeras
Se presenta un procedimiento inédi-
to, cuyo fin es aumentar la eficacia del
diagnóstico visual de palmeras.
En primer lugar, se calcula el factor
de seguridad del estípite sano ante la
inestabilidad elástica. Si este factor
es mayor que 100%, significa que la
palmera no se pandearía bajo su pro-
pio peso y que puede resistir cargas
adicionales, como la del viento o la del
palmero.
En segundo lugar, se estima la
carga adicional del viento en la palme-
ra. Este cálculo se optimiza, además,
incorporando la velocidad de viento y
la temperatura esperadas para la zo-
na y su altitud sobre el nivel del mar.
Este análisis de las acciones eólicas
permite optimizar cableados y soportes
artificiales que pueden estabilizar la
palmera con la ayuda de otras palme-
ras, árboles o estructuras. Cablear la
palmera es una solución muy eficaz
para reducir las oscilaciones causadas
por la acción de remolinos y otras tur-
bulencias. Así mismo, se disminuye el
riesgo de vuelco o fractura en palmeras
con un margen limitado de seguridad
ante la estabilidad elástica.
En tercer lugar, se formuló una hipó-
tesis que debería aumentar la eficacia
del diagnóstico visual de palmeras. En
ésta se sugiere que la velocidad crítica
del viento para la caída del estípite
depende de la relación entre el módulo
de elasticidad, la forma de la sección
transversal, la esbeltez, las cargas
dinámicas y los comportamientos me-
cánicos de riesgo. Estos comporta-
mientos mecánicos, como por ejemplo
el pandeo de Brazier y la formación
de grietas, pueden causar la caída del
estípite, sin ser predecible mediante
cálculos matemáticos o métodos ins-
trumentales.
Así mismo, la única directriz que se
puede ofrecer de momento consiste en
combinar el diagnóstico visual de com-
portamientos mecánicos peligrosos
con el factor de seguridad en cuanto
a la estabilidad elástica y el análisis
de las cargas eólicas para cablear la
palmera en cuestión.
3. LA ESTRUCTURA
DEL MODELO MATEMÁTICO
La estructura matemática del mo-
delo se describe extensamente en
Sterken (2006). Las ecuaciones fun-
damentales se ofrecen a continuación.
Los lectores interesados en los deta-
lles y su aplicación deberían consultar
la publicación mencionada.
Para árboles, este modelo estima la
velocidad crítica del viento que causaría
que la tensión en las fibras exteriores
del tronco excediera su resistencia
máxima, sobrepasando su límite lineal-
elástico. Igualmente, se incorporan fac-
tores de seguridad de cara a la fractura
e inestabilidad elástica, a la vez que
se calcula el grosor mínimo requerido
de pared residual para cada árbol estu-
diado. Referencias para la combinación
de cableado y el modelo V se pueden
encontrar en Sterken (2005b).
(NOTA: Desde su primera publica-
ción en Sterken (2005a), y consiguiente
primera aplicación a las palmeras y ár-
boles, las ecuaciones (con las mismas

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referencias) 5b y 10 han formado parte
de las publicaciones de diversos técni-
cos en palmeras en Italia y España. Al
igual que la hipótesis sobre la estabili-
dad de palmeras y el pandeo de Euler
en publicaciones posteriores del autor
firmante. Sin embargo, y como se ha
descrito en Arboricultural Journal, estos
cuatro componentes son todavía de
aplicación hipotética. Mediante esta no-
ta, el autor quisiera que dichos autores
consideren esta información).
La carga crítica del viento
La carga crítica del viento en la co-
pa causando el abatimiento mecánico,
Fcrit , se obtiene dividiendo el momento
crítico M crit por la palanca P, siendo el
momento mecánico el producto de la
carga del viento en el árbol y la palan-
ca: M = PF (Ec. 1)
Donde:
M = el momento de flexión (kNm);
P = la palanca (m);
F = la fuerza del viento en la copa (kN).
Para los momentos de flexión, P es
la distancia entre la sección transversal
estudiada y el centro de la carga en el
árbol. De acuerdo con AENOR (1998),
se asume que el centro de la carga
está a 0,55 veces la altura de la copa
simétrica.
Otro procedimiento utilizado es asu-
mir que la fuerza del viento actúa a la
altura media del árbol-palmera Hlf (med),
siendo expresado como (Anten et al.
2005):
Donde:
hi = la altura media del segmento i (m);
Ai = la superficie del segmento i (m²);
At = la superficie total (m²).
La carga crítica que causaría frac-
tura por torsión Fcrit torsión se obtiene
dividiendo el momento crítico de torsión
Mcrit torsión por la palanca de torsión
Ptorsión. Ésta se calcula asumiendo que
una racha de viento puede impactar
en el árbol no de manera uniforme y
centrada, incluso cuando éste presen-
te una simetría aparente. Ptorsión se
expresa de la siguiente manera (AENOR
1998):
(Ec. 2)
Donde:
Ptorsión = la palanca de torsión (m);
dcopa = el diámetro de la copa (m).
Las velocidades críticas del viento
vcrit para cada tipo de desplome descri-
to se calculan mediante la ecuación 6.
Éstas se comparan con la velocidad es-
perada vz, calculada mediante la ecua-
ción 5. De acuerdo con AENOR (1998),
vcrit debería ser mayor que 1,25 veces
vz. Asimismo, se introduce un factor de
seguridad en las predicciones, ligera-
mente por encima de 1,5.
Análisis de las acciones eólicas
Se calcula la carga del viento en el
árbol mediante la siguiente ecuación:
F = 0,5CρAv z² (Ec. 3a)
Donde:
F = la carga que una racha de vien-
to ejerce en la copa (kN);
C = el coeficiente aerodinámico,
que describe la flexibilidad que la pal-
mera o árbol emplea para reducir el
empuje del viento;
ρ = la densidad del aire, depen-
diendo de la altitud y la temperatura
(kgm-3);
A = la superficie expuesta al viento
(m2);
vz = velocidad del viento v a la altura
z de la medición (m/s-1).
En el caso de que C no se conozca
(en palmeras, por ejemplo), se calcula
la reducción de la copa St en función
de la velocidad del viento (Peltola et
al., 2000). La ecuación base es la si-
guiente:
Esta fórmula no se emplea para cal-
cular la resistencia al viento del estípite
de palmeras, ya que eso no es posible
todavía, sino que propone un proce-
dimiento para calcular el empuje del
viento en la copa con el fin de diseñar
soportes artificiales.
La densidad del aire, según la
altitud del terreno y la temperatura
esperada, se representa como (Beitz &
Küttner, 1981):
(Ec. 4)
Donde:
To = la temperatura de referencia,
puesto en 288,16 (K);
T = la temperature del aire (K);
z = la altitud a la que se encuentra
el ejemplar (m);
zo = la altitud de referencia, puesto
en 18.000 (m);
ρο = la densidad del aire a 15 oC y
a nivel de mar (kgm-3).
La velocidad del viento impactante
a cualquier altura del árbol o palmera
se calcula mediante un perfil logarítmi-
co (Niklas & Spatz, 2000):
Donde:
vz = velocidad del viento v a la altura
z de la medición (m/s-1);
vh = la velocidad del viento a h (m/s);
h = la altura del árbol (m);
ho = la medida que representa la
irregularidad de la vegetación circun-
dante (m);
hz = la altura en el árbol a la cual se
calcula vz (m).
Se incluye igualmente el siguiente
modelo (Berneiser & König 1996):
Donde:
vg = la máxima velocidad esperada
del viento no influida por la irregulari-
dad del terreno (m/s-1);
hg = la altura por encima del terreno
a la cual se alcanza la máxima veloci-
dad del viento (m);
α = el coeficiente de fricción del
terreno;
G = el factor de turbulencia.
El marco de plantación y la dis-
tancia x al linde de la parcela forestal
determinan la velocidad del viento, y en
consecuencia su impacto, dentro de la
masa forestal. El factor flinde (Peltola
et al. 2000) considera la variación de
la velocidad del viento conforme estos
dos factores:
hz
hg
G
()
vz = vg
ρο
To
T
-z
zo
()
ρ = 10
(Ec. 5a)
(Ec. 3b)

62 n.o 38
Momento de flexión crítico para el tronco libre de defectos estructurales
El momento de flexión crítico Mcrit que causaría que la tensión en compre-
sión excediera la resistencia de la madera, para un tronco libre de defectos
estructurales, se representa en la siguiente fórmula (Tyler & Hicks, 2005):
(Ec. 7)
Donde:
Mcrit = El momento de flexión crítico que causaría que la tensión en compre-
sión exceda la resistencia de la madera (kNm);
d = diámetro de la sección (cm);
σ compresión = la resistencia a la compresión de la madera verde (Lavers,
1983; Wessolly & Erb, 1998) (kNcm-2).
Momento de flexión crítico para el tronco hueco
El momento de flexión crítico para la pared residual se describe por la ecua-
ción 8 y concuerda con la de Wessolly & Erb (1998) para el espesor requerido
de pared residual.
(Ec. 8)
Donde:
M crit, hueco = El momento de flexión crítico que causaría, en la pared resi-
dual, que la tensión en compresión exceda la resistencia de la madera (kNm);
t = el grosor de la pared residual (cm).
Momento de torsión crítico para el tronco hueco
El modelo estima la resistencia a la torsión de un árbol hueco si la pared
residual fuese perfectamente cerrada y concéntrica, aunque esta situación ideal
se encuentra pocas veces. La expresión 9 describe el momento crítico de torsión
(Tyler & Hicks, 2005):
(Ec. 9)
Donde:
M crit, torsión = el momento de torsión que causaría, en la pared residual, que
la tensión en torsión exceda la resistencia al deslizamiento (kNm);
d cav = diámetro de la cavidad (cm);
τ deslizamiento = la resistencia al deslizamiento de la madera verde (kNcm-2).
Para Eucalyptus paniculata, por ejemplo, se asume una resistencia al desli-
zamiento aproximadamente de 1⁄4 de la resistencia a la compresión en sentido
longitudinal (Lavers, 1983).
Donde:
x = distancia entre la ubicación del ejem-
plar y el linde de la parcela forestal (m).
Modelizaciones de este tipo per-
miten predecir el compor tamiento y
el riesgo de pérdidas de plantaciones
forestales y sus prácticas culturales,
como la creación de nuevos lindes, de-
bido a la tala de parcelas colindantes.
Finalmente, se incluyen en este
análisis de carga tanto el peso de la
nieve en la copa como el momento cau-
sado por el desplazamiento, provocado
por el empuje del viento, del árbol y su
propio peso (Peltola et al. 1997).
Velocidad crítica del viento
El punto desde el cual la carga críti-
ca F crit causaría la fractura del tronco
se relaciona con el valor crítico de vz
(vcrit). Adaptando la ecuación 3, se cal-
cula vcrit como (Peltola et al., 2000):
(Ec. 6)
Donde:
v crit = la velocidad crítica del viento
(m/s-1);
F crit = la carga crítica del viento que
causaría la fractura del tronco (kN).
Momentos críticos de fractura
Cuando se conoce la resistencia a
la fractura del tronco, se puede calcu-
lar la velocidad del viento que el árbol
puede sopor tar (Peltola et al., 2000).
La resistencia a la fractura se expresa
en función del módulo resistente y la
resistencia a la compresión de la made-
ra, siempre y cuando se pueda excluir
el riesgo de deslizamiento longitudinal
y el pandeo de Brazier. El momento
que iguala o excede esta resistencia
se considera como el momento crítico.
Asimismo, el primer paso es calcular
el momento crítico para la sección
transversal estudiada, descontando el
espesor de la corteza. Nótese que es-
tos cálculos no son aplicables todavía
a las palmeras.
(Ec. 5c)
vcrit=
√2Fcrit
CρA

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Susceptibilidad a
comportamientos dinámicos
Para el lector interesado, las bases
y los razonamientos para incluir las
siguientes expresiones se describen en
Sterken (2006).
Frecuencia natural
La frecuencia natural n de una
columna se calcula como (AENOR,
1998): (Ec. 10)
Donde:
n = la frecuencia natural del tronco
(Hz);
ε = el factor de frecuencia;
Peso estructural = el peso de las
partes estructurales que contribuyen a
la rigidez del tronco (kN);
Peso total = el peso total del tronco
(kN).
Si se asume que Peso estructural y
Peso total son iguales, la expresión 10
se convierte en:
(Ec. 11)
La velocidad crítica del viento
para la oscilación
La velocidad crítica del viento
vcrítica,oscilación a la cual la frecuencia
del desprendimiento de remolinos se
iguala a la frecuencia natural se puede
predecir para una columna.
Las oscilaciones naturales de pal-
meras y árboles esbeltos pueden ser
incrementadas por rachas de viento
con la misma frecuencia, conllevando
potencialmente deformaciones grandes
e inesperadas. Esto concuerda tam-
bién con las observaciones de Baker
(1995), Blackburn & Petty (1988),
Kerzenmacher & Gardiner (1998) y
Finnigan (1979), y en este contexto se
incluyó este modelo. Esta velocidad
crítica se puede expresar, asumien-
do el comportamiento areo-elástico de
una columna esbelta, como (AENOR,
1998):
(Ec.12)
Donde:
vcrítica,oscilación = La velocidad crí-
tica del viento a la cual la frecuencia
del desprendimiento de remolinos se
iguala a la frecuencia natural del tronco
(m/s-1);
Str = el número Strouhal, siendo el
mismo para todos los números Reynold
en columnas de sección circular.
Deformaciones laterales
Cuando se aplica una carga está-
tica a una viga, ésta se deformará en
función de su módulo de elasticidad y
esbeltez. El autor sospecha que se pue-
de aplicar el mismo comportamiento en
palmeras y árboles. La deformación de
la palmera llega a un punto crítico, don-
de ésta puede fracturarse o volcar. Para
vigas y cargas estáticas, se presenta
esta deformación mediante la formula
siguiente: (Tyler & Hicks, 2005):
(Ec. 13)
Donde:
D = la deformación de la viga (m);
F = la carga estática (kN);
E = el módulo de elasticidad (kN-
cm-2);
I = el momento geométrico de iner-
cia (cm-4);
L = la longitud de la viga (m).
El momento geométrico de inercia
I define la resistencia a la flexión de
la sección transversal y es introducido
en la ecuación 13 como (Tyler & Hicks,
2005):
(Ec 14)
Donde:
r = el radio de la sección (cm).
La teoría de la estabilidad elástica:
descripción del concepto teórico
La teoría Da Vinci–Euler-Bernoulli
La teoría Da Vinci–Euler-Bernoulli
se emplea frecuentemente como base
para calcular la flecha máxima que una
barra puede sopor tar, asumiendo que
ésta se comporte según la elasticidad
isotrópica (isotrópico: el material se
comporta de la misma manera en to-
das las direcciones anatómicas):
(Ec. 15)
Donde:
fz = la deformación lateral de la
barra (m);
x = la posición en la barra (m);
M y (x) = el momento de flexión co-
mo una función de x (kNm).
Se puede estimar el límite crítico de
la deformación lateral asumiendo que se
conozca la resistencia a la compresión
de la madera y que la tendencia de lami-
nación sea insignificante (véase Ec. 13).
Sin embargo, en Palmáceas no
se sabe todavía si el estípite y la ma-
dera se comportan de esta manera.
Además, la inestabilidad de los tallos
de las plantas no siempre se puede
predecir mediante esta teoría. En una
barra de cierta esbeltez no existe pro-
porcionalidad entre una fuerza axial
compresora y la deformación ocasio-
nada. La tensión critica que causa la
inestabilidad elástica puede estar muy
por debajo de la resistencia a la com-
presión del material. Debido a la fuerza
compresora, el peso de la planta más
un peso adicional como por ejemplo la
nieve, se puede ocasionar a un des-
plome repentino al pandearse el tallo
lateralmente.
En consecuencia, se introduce la
teoría de la estabilidad elástica, median-
te la cual se estima el margen de seguri-
dad de la palmera o árbol forestal.
La ecuación de Greenhill
Considerándose el estípite como
una columna uniforme sin defectos
estructurales, se puede estimar cuál
sería la altura crítica que causaría la
inestabilidad elástica. Siempre y cuan-
do el peso del estípite sea significativo
(> 30%) en comparación con la fuerza
axial en el extremo libre (por ejemplo, el
peso del palmero), se puede aplicar la
ecuación de Greenhill (1881):
(Ec 16)
Donde:
H crit = la altura crítica por encima
de la cual se pandearía el estípite (m);
C = la constante de proporcionali-
dad;
ρ = la densidad del material (kgm-3);
n = εl d
z2

64 n.o 38
Una de las preocupaciones más fre-
cuentes de los palmeros es la posible
caída de palmeras esbeltas causada
en par te por el peso añadido del tra-
bajador. Una manera de acercarse a
este problema es emplear el cálculo
del peso crítico (fotografía 1 y figura
1), de acuerdo con Timoshenko &
Gere (1961) y Schulgasser & Witztum
(1997). El peso crítico que induciría el
pandeo viene dado por:
(Ec. 17)
Donde:
P crit = el peso crítico que induciría
el pandeo del estípite (kN);
β = la constante que expresa la
proporción entre la fuerza axial de com-
presión en el extremo y el peso propio
del estípite.
4. DISCUSIÓN
Arbolado forestal
La extensa discusión, validando las
propuestas y adaptándolas al trabajo
de campo, se ha descrito en Sterken
(2006), páginas 258-260. El autor re-
calca la vital impor tancia de consultar
este capítulo, que no se ha traducido
aquí por razones de espacio, concisión
y el requerimiento de originalidad de
esta publicación.
El riesgo de fractura de palmeras
Basándose en la obser vación de
palmeras caídas y en experimentos de
fractura controlada, el autor desarrolló
una hipótesis sobre la seguridad de las
palmeras, cuyo fin es aumentar la efica-
cia del diagnóstico visual de estas:
Se sugiere que la flexión del estí-
pite de la palmera es proporcional a
la carga del viento en la copa e inver-
samente proporcional a su módulo de
elasticidad.
Se asume que la velocidad crítica
del viento para derribar del estípite
depende de la relación entre el módulo
de elasticidad, la forma de la sección
transversal, la esbeltez, las cargas
dinámicas y los compor tamientos me-
cánicos de riesgo.
Varios desplomes estructurales, co-
mo el pandeo de Brazier y de Euler,
dependen parcialmente del módulo
de elasticidad. De acuerdo con BSV
(1997), el módulo de elasticidad tam-
bién influye directamente en la energía
Fotografía 1 y figura 1: El problema del pandeo esque-
máticamente representado.

Asociación y Colegio Oficial de Ingenieros Técnicos Forestales 65
elástica. El autor sospecha que tam-
bién la energía elástica puede influir
en la estabilidad de una palmera. Esta
energía disminuye según aumenta la
rigidez del estípite. Esta rigidez es
función del módulo de elasticidad y del
diámetro del estípite. Posibles daños
estructurales pueden disminuir esta
rigidez, lo cual significa que la energía
elástica aumenta en la sección dañada.
Igualmente, un diámetro mayor en com-
paración con la altura conlleva menos
energía añadida a la oscilación, obte-
niendo una seguridad mayor. La energía
causada por oscilaciones dinámicas
podría ser un factor impor tante en el
proceso de caída de una palmera.
Estos comportamientos mecánicos,
como por ejemplo el pandeo de Brazier,
el deslizamiento y la formación de
grietas, pueden causar la caída incluso
cuando no es previsible mediante los
métodos existentes. De ahí que su
diagnóstico visual sigua siendo el úni-
co método de predicción, para el que
se requiere un profundo conocimiento
de los criterios que influyen en estos
comportamientos mecánicos.
La estabilidad de una palmera o un
árbol está en función parcialmente de
la temperatura y la altitud, debido a que
la densidad del aire resultante influye
directamente en la carga que una racha
de viento, un vendaval o incluso un hu-
racán ejercen. Los siguientes análisis
demuestran cómo la seguridad está
relacionada parcialmente con la tempe-
ratura T (tabla 1). Y, en menor medida,
con la altitud z a la que se encuentra
la palmera. Conforme aumente la den-
sidad del aire, se aumenta la carga del
viento y, en consecuencia, se produce
una disminución de estabilidad.
Consideraciones para la aplicación de
las ecuaciones 16 y 17 en palmeras
El compor tamiento mecánico del
estípite se rige por las propiedades
mecánicas y físicas del tipo de tejido
que proporcione la rigidez principal de
cara a la flexión;
La proporción entre el módulo de
elasticidad y la densidad del tejido varía
poco comparativamente, de entre diver-
sas especies Palmáceas;
La ecuación 16 predice adecua-
damente H crit, siempre y cuando se
co nozc a y d.
El módulo de elasticidad y la densi-
dad pueden variar considerablemente,
tanto entre especies como entre ejem-
plares de la misma especie e incluso
en un mismo pie. Sin embargo, se co-
rroboró que los valores publicados por
varios autores presentan una similitud
constante de
incluso entre diversas especies de palme-
ras. En Niklas (1994) se describe extensa-
mente la validez de esta propuesta.
Posibles lagunas
Tanto los defectos estructurales y
diversos comportamientos mecánicos
(laminación, concentraciones de ten-
siones, fuerzas laterales, pandeo de
Brazier, etc.) pueden regir la estabilidad
del estípite (Sterken, 2006).
El estado actual de la ciencia no
permite todavía estimar su influencia
exacta en palmeras. De ahí que sus
evaluaciones matemática y visual de-
berán incluirse en futuros modelos de
predicción de estabilidad.
Considerar que el estípite sea una
columna compuesta exclusivamente
por un solo tejido es muy susceptible
de la crítica, teniendo en cuenta la va-
riabilidad de tejidos presente en estas
plantas. Sin embargo, en Niklas (1994)
se describen las razones por las cuales
se cualifica el procedimiento presente.
La constante β debe variarse en
función de la proporción entre el peso
añadido y el peso de la palmera. Esto
cobra especial importancia en el caso
de palmeras muy esbeltas y de relati-
vamente poco peso, como por ejemplo
Trachycarpus fortunei.
Mediante estas ecuaciones se pue-
de estimar el margen de seguridad ante
la estabilidad elástica. Si este margen
es mayor que 100%, la palmera puede
resistir una cier ta cantidad de cargas
adicionales, como las del viento.
Un ejemplo
La capacidad de las Palmáceas de
hacer más rígidos, densos y resistentes
sus tejidos (véase los requerimientos
de las ecuaciones 16 y 17) conforme
aumente su edad y altura no es ilimi-
tada. Consiguientemente, su peso, su
Tabla 1: ejemplo de la influencia de la temperatura y altitud sobre el empuje del viento en una misma
Phoenix dactylifera donde sólo se varió T y z. Los parámetros empleados se encuentran
dentro del rango representativo de condiciones climáticas y alométricas.
Temperatura: 35 oC Altitud: 900m Carga del viento: 1,80 kN: 182,05 kg
Temperatura: -5 oC Altitud: 0m Carga del viento: 2,33 kN: 234,73 kg
Fotografía 2: mediciones del módulo de elasticidad en Phoenix dactylifera.

66 n.o 38
crecimiento en altura y su estabilidad
tampoco pueden serlo.
Un ejemplo ilustrativo de este aná-
lisis es la rotura de dos esbeltas
Washingtonia robusta de la Estación
de Atocha de Madrid. Al estudiar el
caso, se ha llegado a la conclusión de
que éstas se fracturaron al exceder su
altura y peso críticos. Esto induciría pro-
bablemente el pandeo –la inestabilidad
elástica– que precedería a la rotura, fo-
mentado a su vez por el desplazamien-
to lateral, el peso y la gravedad.
Este modelo estima la estabilidad
elástica del ejemplar, asumiendo que
la teoría de la elasticidad isotrópica y
lineal sea aplicable. El último ejemplar
en pie (fotografía 3) estaría en su límite
estructural en la fecha de la toma de
datos (12-6-2003), de acuerdo con su
diámetro, densidad de la madera y el
módulo de elasticidad asumido. Este
ultimo es el E medio registrado por el
autor en una Washingtonia.
Ahora bien, es cierto es que las pro-
piedades mecánicas no uniformes del
estípite podrían ser un aspecto a consi-
derar. Se sabe que tanto E com ρmaterial
varían intrínsicamente entre especies,
entre ejemplares de la misma especie,
en una misma sección transversal y a lo
largo del mismo estípite (Rich, 1987).
Sin embargo, Niklas (1994) sugirió pos-
teriormente un solo valor ,
que es comparativamente constante
entre diversas especies de Palmáceas.
Igualmente, los valores para Cocos nuci-
fera parecen ser similares (Ling-Long Kuo-
Huang et al., 2004), cuando otros autores
publican valores ligeramente mayores.
Este valor, análogo a los resultados
experimentales de la Washingtonia, ha
sido empleado en el modelo presente,
ya que esto conlleva un H crit calculado
menor y, así mismo, un margen para
errores de cálculo más amplio. Se asu-
me que la ecuación 2 predice con exacti-
tud la seguridad de la palmera, siempre
y cuando se conozca este valor y d.
5. CONCLUSIONES
Arbolado forestal
El modelo matemático permite esti-
mar las velocidades críticas del viento
para la fractura de arbolado forestal y
urbano, siendo desarrollado con fines
educativos exclusivamente. Para las
aplicaciones forestales se pueden in-
troducir características específicas co-
mo el marco de plantación, la influencia
de talas en parcelas colindantes, el
peso de la nieve y el perfil eólico dentro
de la masa forestal.
Los resultados concuerdan bien
con los ofrecidos por el HWIND mo-
del en Peltola et al. (1997), donde
la validación del modelo debe tener
en cuenta las consideraciones ofreci-
das por estos autores. La validez de
la ecuación 16 ha sido comprobada,
coincidiendo satisfactoriamente los re-
sultados con los ofrecidos en Sterck &
Bongers (1998) (H crit para Dicorynia
guianensis, p.269). Posteriormente, se
adaptaron los parámetros empleados
según la especie arbórea o Palmácea
estudiada.
En Figura 2 se aprecia el modelo
matemático completo en una sencilla
hoja de cálculo.
Palmeras
Con la ecuación de Greenhill se
puede cuantificar la diferencia, en tér-
minos de seguridad, entre, por ejemplo,
un grueso ejemplar de Phoenix cana-
riensis y Palmáceas más esbeltas. La
esbeltez, la elasticidad y el peso de la
palmera, junto con el peso del podador,
están entre los factores preponderan-
tes que influyen en la estabilidad elás-
tica. Se calcula el factor de seguridad
Fotografía 3: El ultimo ejemplar grande de la estación de Atocha, anterior a su sujeción a la bóveda del edificio.
Las dos palmeras desplomadas probablemente alcanzaron o sobrepasaron su altura crítica para el pandeo.
Los cálculos actuales indican su margen limitado de estabilidad elástica (163,83%). Este resultado (>100%)
podría aclarar por qué esta palmera queda todavía en pie. Sin embargo, a este cálculo habría que añadir el
peso de las frondas (secas y verdes), que se vería aumentado por el agua de pulverización aplicada desde
la bóveda de la estación. Entonces su estabilidad disminuiría aún más, con lo que no cumpliría, en términos
de ingeniería, con ningún margen de seguridad aceptable. El problema se agudizaría si se sumara el peso de
un palmero anclado en el mismo estípite (para realizar, por ejemplo, la eliminación de las frondas secas o
instalar un cableado). En este caso, de acuerdo con los cálculos, el riesgo para el trabajador sería inaceptable.

Asociación y Colegio Oficial de Ingenieros Técnicos Forestales 67
del estípite sano ante la inestabilidad
elástica. Si este factor es mayor que
100%, significa que la palmera no se
pandearía bajo su propio peso y que
puede resistir cargas adicionales, co-
mo las del viento o del palmero. Se
calculan las cargas adicionales por el
viento, lo cual permite optimizar cablea-
dos y sopor tes artificiales que pueden
estabilizar la palmera. Cablear la pal-
mera es una solución muy eficaz para
reducir las oscilaciones causadas por
remolinos y turbulencias. Así mismo, se
disminuye el riesgo de vuelco o fractura
en palmeras con un margen limitado
de seguridad ante la estabilidad elás-
tica. Las cargas experimentadas por la
estructura de sopor te no deberían ser
ignoradas, y pueden ser estimadas con
este modelo.
Los métodos tradicionales para cal-
cular la resistencia de árboles no se
pueden emplear todavía para palmeras.
Así mismo, las únicas directrices que
se pueden dar, que sepa el autor, es
combinar el diagnóstico visual de com-
portamientos mecánicos peligrosos con
el factor de seguridad en cuanto a la
estabilidad elástica y el análisis de las
cargas eólicas para cablear la palmera
en cuestión en situaciones de riesgo.
Figura 2: el modelo matemático,
destilado en una hoja de cálculo,
para arbolado forestal.
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Dedicatoria
Este artículo está dedicado a Jarilla
y Casas del Monte (Extremadura).