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Documenta Math. 247
Un Isomorphisme Motivique
entre Deux Vari´
et´
es Homog`
enes Projectives
sous l’Action d’un Groupe de Type G2
Jean-Paul Bonnet
Received: July 7, 2003
Revised: September 12, 2003
Communicated by Ulf Rehmann
Abstract. Dans tout cet article, on d´esigne par kun corps de ca-
ract´eristique diff´erente de 2 et on appelle vari´et´e tout k-sch´ema s´epar´e
et de type fini.
L’objet du pr´esent article est d’´etudier X(α1) et X(α2), les vari´et´es
homog`enes projectives associ´ees `a chacune des deux racines d’un
groupe de type G2. La premi`ere d’entre elles, X(α1), est une quadrique
projective de dimension 5 associ´ee `a une voisine de Pfister et l’autre,
X(α2), est une vari´et´e de Fano (de genre 10). Ces deux vari´et´es ne sont
pas isomorphes, pourtant elles le deviennent en tant qu’objets d’une
cat´egorie plus large, `a savoir la cat´egorie des correspondances (et par
cons´equent ´egalement dans la cat´egorie des motifs de Chow). Nous
´etablissons que ce r´esultat est vrai que les vari´et´es soient d´eploy´ees
ou non. En premi`ere partie, nous rappelons quelques r´esultats clas-
siques sur les alg`ebres d’octonions et construisons un mod`ele d’alg`ebre
d’octonions d´eploy´ee. En seconde partie, ´etape importante de notre
travail, nous construisons une structure cellulaire de X(α2) lorsqu’elle
est d´eploy´ee. C’est ´egalement dans cette partie que nous d´eterminons
la structure de l’anneau de Chow d´eploy´e de la vari´et´e X(α2). En-
fin, en troisi`eme partie, apr`es avoir introduit nos notations et rappel´e
les r´esultats n´ecessaires sur la cat´egorie des correspondances, nous
´etablissons l’isomorphisme motivique en toute g´en´eralit´e.
2000 Mathematics Subject Classification: 14C15, 14C25, 20G15.
Keywords and Phrases: vari´et´es homog`enes projectives, correspon-
dance, groupes de Chow
Documenta Mathematica 8 (2003) 247–277
248 Jean-Paul Bonnet
Premi`
ere partie
Rappels sur les alg`
ebres d’octonions
1 G´
en´
eralit´
es
Pour commencer, nous rappelons quelques propri´et´es sur les alg`ebres `a compo-
sition en g´en´eral et les octonions en particulier. Pour un expos´e plus complet,
on pourra consulter [SV] dont la plupart des r´esultats suivants sont tir´es.
D´
efinition 1.Soit Cune alg`ebre unitaire d’unit´e 1, non n´ecessairement as-
sociative et telle qu’il existe, sur C, une forme quadratique qnon d´eg´en´er´ee qui
permette la composition, i.e. telle que
∀x, y ∈C q(xy) = q(x)q(y).
Une telle alg`ebre Cest appel´ee alg`
ebre `
a composition.
Remarque 1.On verra plus loin (cf. corollaire 1) que la forme quadratique q
est unique.
On d´esigne par Bq(·,·) la forme bilin´eaire sym´etrique associ´ee `a la forme
quadratique q, i.e. d´efinie par
∀x, y ∈C, Bq(x, y) = 1
2(q(x+y)−q(x)−q(y)).
On d´efinit ´egalement la forme lin´eaire suivante, appel´ee trace par
∀x∈C, T (x) = 2Bq(x, 1).
Dans la suite, nous allons identifier le corps de base kavec son image dans C
(et plus tard dans O) ainsi q,Bqet Tseront consid´er´ees comme ´etant `a valeurs
dans C. Cet abus nous permet d’all´eger significativement nos notations.
La donn´ee de la forme quadratique qinduit sur Cl’existence d’une involution.
Proposition 1.Soit Cune alg`ebre `a composition. L’application
·:C−→ C
x7→ x= 2Bq(x, 1) −x
est un anti-automorphisme1involutif de C.
D´emonstration. Voir par exemple [Gar99, Lem. 2.3.6 p. 14].
Cette involution joue un rˆole important car elle permet de retrouver la forme
quadratique qet par cons´equent elle caract´erise ´egalement C.
1i.e. un automorphisme de l’espace vectoriel Cv´erifiant ∀x, y ∈Cxy =y x.
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Deux Vari´
et´
es Homog`
enes Projectives 249
Lemme 1.Soit x∈Con a
q(x) = xx
et
T(x) = x+x.
D´emonstration. Voir [Gar99, Lem. 2.3.6 p. 6] pour le premier point ; le second
est trivial.
Ainsi, il existe dans la litt´erature des pr´esentations des alg`ebres `a composition
`a partir de la donn´ee d’une involution ·sur Ctelle que xx soit une forme
quadratique non-d´eg´en´er´ee et x+xune forme lin´eaire.
Ces deux constructions sont parfaitement ´equivalentes. En outre, cette in-
volution permet parfois de simplifier certains calculs dans Ctout comme le
r´esultat suivant :
Proposition 2.Pour tout xd’une alg`ebre `a composition C, on a
x2−T(x)x+q(x) = 0 (1)
et pour tous x, y ∈C, on a ´egalement
xy +yx −T(x)y−T(y)x+ 2Bq(x, y) = 0.(2)
Si le sous-espace k1⊕kx est de dimension 2et non d´eg´en´er´e, c’est une
alg`ebre `a composition.
D´emonstration. Voir [SV, Prop. 1.2.3 p. 6].
La formule (2) implique en particulier que xy =−yx d`es que x, y ∈ker T
et que xet ysont des vecteurs orthogonaux. Ce dernier point est primordial
pour la suite. D’autre part, la proposition 2 a pour cons´equence (voir encore
une fois [SV]) les deux corollaires ci-dessous.
Corollaire 1.La forme quadratique qd’une alg`ebre `a composition Cest
d´etermin´ee de fa¸con unique par l’alg`ebre C.
Corollaire 2.Les alg`ebres `a composition Csont puissances-associatives, i.e.
pour tout x∈C, la sous-alg`ebre k[x]est associative.
Le premier de ces corollaires implique donc que la d´efinition de Cpos´ee au
d´epart de ce texte est correcte. Le second est quant `a lui un moyen tr`es pratique
de simplifier un grand nombre de calculs lorsque l’on travaille dans une telle
alg`ebre.
Autre curiosit´e des alg`ebres `a composition, ces derni`eres n’existent pas en
toute dimension. De surcroˆıt, plus la dimension est grande, plus on perd de
bonnes propri´et´es de l’alg`ebre. Le r´esultat pr´ecis concernant ces derniers points
est ´enonc´e sous la forme du th´eor`eme suivant :
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250 Jean-Paul Bonnet
Th´
eor`
eme 1.Les dimensions possibles pour une alg`ebre `a composition sont 1,
2,4et 8. Les alg`ebres `a composition de dimension 1ou 2sont commutatives et
associatives, celles de dimension 4sont associatives mais non commutatives,
et quant `a celles de dimension 8elles ne sont ni l’un ni l’autre.
Remarque 2.Les alg`ebres `a composition de dimension 4sont plus connues
sous le nom d’alg`ebres de quaternions.
Nous introduisons maintenant les alg`ebres d’octonions :
D´
efinition 2.Toute alg`ebre de composition Cde dimension 8est appel´ee
alg`
ebre d’octonions ou encore alg`
ebre de Cayley.
`
A partir de maintenant et jusqu’`a la fin de ce texte, nous d´esignons les
alg`ebres d’octonions par la lettre O.
D´
efinition 3.Soit Oune alg`ebre d’octonions. Si la forme quadratique qest
isotrope, on parlera d’alg`ebre d’octonions d´
eploy´
ee.
Remarque 3.Sur tout corps de base, il existe une unique (`a isomorphisme
pr`es) alg`ebre d’octonions d´eploy´ees. En revanche, sur un corps de base fix´e,
il peut exister de nombreuses alg`ebres d’octonions non-d´eploy´ee. Toute alg`ebre
non d´eploy´ee se d´eploie sur une extension quadratique du corps de base. Pour
plus de d´etails, voir par exemple [S, Chap. 3 §4] ou [SV, Th´eo. 1.8.1 p. 19].
2 Un mod`
ele d’alg`
ebre d’octonions d´
eploy´
ee
Nous allons maintenant construire Oune alg`ebre d’octonions d´eploy´ee. De ce
que nous avons dit en remarque 3, de telles alg`ebres sont uniques `a isomor-
phisme pr`es. Ainsi, sauf mention explicite du contraire, lorsque par la suite nous
parlerons d’alg`ebre d’octonions d´eploy´ee, nous d´esignerons le mod`ele d’alg`ebre
que nous allons construire maintenant.
On se donne le k-espace vectoriel
O=M2(k)×M2(k)
o`u M2(k) d´esigne l’alg`ebre des matrices 2 ×2 `a coefficients dans le corps ket
on munit Odu produit
∀x, y ∈O xy = (x1, x2)(y1, y2) = (x1y1+ ˜y2x2, y2x1+x2˜y1)
o`u
˜yi=tco(yi),
co(yi) d´esignant la matrice constitu´ee des cofacteurs de yi.
De cette fa¸con et comme signal´e dans le corollaire 1, la forme quadratique q
sur Oest uniquement d´etermin´ee et s’exprime2sous la forme suivante :
∀x= (x1, x2)∈O, q(x) = det(x1)−det(x2).
2Les relations et le produit dans O´etant connus, avec un peu d’alg`ebre lin´eaire le r´esultat
se d´eduit facilement.
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Deux Vari´
et´
es Homog`
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Il est clair que Oest une alg`ebre unitaire d’unit´e 1 = (Id, 0) et que la forme
quadratique qest isotrope. Par cons´equent, pour prouver qu’il s’agit d’une
alg`ebre d’octonions (d´eploy´ee), il suffit de montrer que la forme quadratique
qpermet la composition. Ce dernier point peut s’´etablir `a la main moyennant
quelques calculs fastidieux que nous ne reproduisons pas ici. Une autre fa¸con de
le voir serait de constater que l’alg`ebre ainsi construite est le r´esultat du proc´ed´e
de duplication de Cayley-Dickson appliqu´e `a l’alg`ebre M2(k). Des d´etails sur
ces derniers points se trouvent, par exemple, dans [SV, §1.5 et §1.8] ou encore
dans [Gar99, §2.3].
L’anti-automorphisme et la trace associ´es `a qsont, quant `a eux, donn´es par
le lemme suivant :
Lemme 2.Pour tout x∈C,
x= (˜x1,−x2),
T(x) = (trace(x1),0).
D´emonstration. L`a encore un calcul direct est possible, sinon le lecteur peut
toujours se reporter `a [SV, §1.8].
Nous consid´erons maintenant les vecteurs
e0=µ·1 0
0 0¸,[0]¶;f0=µ·0 0
0 1¸,[0]¶(3)
e1=µ·0 1
0 0¸,[0]¶;f1=µ· 0 0
−1 0¸,[0]¶(4)
e2=µ[0],·−1 0
0 0¸¶;f2=µ[0],·0 0
0 1¸¶ (5)
e3=µ[0],·0 0
1 0¸¶;f3=µ[0],·0 1
0 0¸¶ (6)
o`u [0] d´esigne la matrice nulle ; ces vecteurs forment une base de Oqui v´erifie de
nombreuses propri´et´es dont les plus importantes sont r´esum´ees dans le lemme 3
ci-dessous.
Lemme 3.Tout d’abord on a
e0+f0= 1,e0=f0,2Bq(e0, f0) = 1,
e2
0=e0, f2
0=f0, e0f0=f0e0= 0
et pour tout i∈ {1,2,3},
q(ei) = q(fi) = 0,2Bq(ei, fj) = δij , e2
i= 0,
f2
i= 0,ei=−ei, fi=−fi,
f0ei=eie0= 0, e0fi=fif0= 0, e0ei=eif0=ei,
f0fi=fie0=fi, eifj=−δij e0, fiej=−δij f0,
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eiei+1 =−ei+1ei=−fi+2 , fifi+1 =−fi+1fi=−ei+2
ces deux derni`eres ´egalit´es ´etant vraies avec les indices i+1 et i+2 pris modulo
3`a valeur dans l’ensemble {1,2,3}.
D´emonstration. Voir [Sch62, §1 p. 202].
En fait, il existe de nombreuses bases de Ov´erifiant ces propri´et´es et c’est
avec de telles bases que nous allons travailler. On ´enonce donc :
D´
efinition 4.Toute base de Ov´erifiant les propri´et´es du lemme 3 est appel´ee
base normale (cf. [Sch62, §1 p. 202]).
Remarque 4.La base utilis´ee dans [SV] n’est pas une base normale.
Dans la suite de ce texte, nous travaillerons avec une base normale et comme
certains r´esultats du lemme 3 nous serons tr`es utiles, nous les avons r´esum´es
dans la figure 1 ci-dessous.
1
f
3
f
2
f
2
e
3
e
1
e
Fig. 1 – Diagramme illustrant la multiplication dans O.
Les traits pleins relient deux ´el´ements dont le produit est nul. En pointill´e le
produit de ces deux ´el´ements donne celui situ´e au-dessus du trait et la fl`eche
indique la positivit´e. Par exemple f2f3=−e1.
Deuxi`
eme partie
D´
ecomposition cellulaire de X(α2)
3 D´
efinition des vari´
et´
es
Rappelons, tout d’abord, quelques r´esultats classiques concernant les groupes
alg´ebriques et les vari´et´es homog`enes projectives sous jacentes. `
A l’aide de ces
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Deux Vari´
et´
es Homog`
enes Projectives 253
r´esultats, nous d´efinissons les vari´et´es X(α1) et X(α2) associ´ees `a un groupe
de type G2. Pour un expos´e complet sur les groupes alg´ebriques, nous vous
conseillons la lecture de [B] et vous renvoyons `a [MPW96] en ce qui concerne
le choix de nos notations.
3.1 Vari´
et´
es homog`
enes projectives
Soient Gun groupe alg´ebrique, Tun tore maximal de Get Bun sous-
groupe de Borel le contenant. Le choix de ce groupe de Borel fixe un ensemble
∆ = {α1,...,αn}de racines simples de Gpar rapport `a Tet pour tout αi,
il existe Uαiun unique sous-groupe de racine de G. On associe ´egalement
`a toute racine αiun autre sous-groupe de G, son sous-groupe de racine
oppos´
e, not´e U−αi, qui est en fait le sous-groupe de racine associ´e `a la racine
−αi. D`es lors, `a tout sous-ensemble Θ de ∆, on associe PΘ, un sous-groupe
parabolique de Gd´efini par
PΘ= gr(T, {Uα|α∈∆},{U−α|α /∈Θ})
o`u gr(E) d´esigne le groupe engendr´e par l’ensemble E. Par exemple, pour Θ =
∆, le sous-groupe parabolique associ´e est le sous-groupe de Borel Bet pour Θ =
∅, c’est Glui-mˆeme. On notera Pαile groupe P{αi}associ´e `a une seule racine αi.
Enfin, on associe `a Θ la vari´
et´
e projective G/PΘ,homog`
ene sous l’action
de G, que nous notons3X(Θ). Une telle vari´et´e X(Θ) est ´evidemment lisse
et est d´efinie sur k, si et seulement si Θ est stable sous l’action du groupe de
Galois absolu de k.
Parall`element, on peut associer `a un groupe alg´ebrique un certain ensemble
E, classiquement appel´e immeuble sph´erique. En d´etail, cet ensemble peut
ˆetre un k-espace vectoriel, un k-espace vectoriel quadratique, hermitien ou en-
core une k-alg`ebre. Ainsi, lorsque les racines sont convenablement4num´erot´ees,
X(αi) est une vari´et´e constitu´ee `a partir de certains sous-espaces de E, de di-
mension isur k. Ensuite, on d´efinit une relation d’incidence sur ces i-espaces
particuliers et on obtient les vari´et´es associ´ees aux autres sous-ensembles de ∆
`a partir des vari´et´es X(αi). Concr`etement, la vari´et´e X(αi1,...,αil) associ´ee
au sous-ensemble {αi1,...,αil}de ∆, a pour k-points l’ensemble :
½(V1,...,Vl)∈X(αi1)(k)×...×X(αil)(k)|Viest incident `a Vj
pour tout 1 6i, j 6l¾.
Dans le cadre de notre ´etude, Gest un groupe de type G2. Un tel groupe
peut se d´efinir `a l’aide d’une alg`ebre d’octonions comme cela nous est appris
par le r´esultat suivant :
Th´
eor`
eme 2.Le groupe Gdes automorphismes d’une alg`ebre d’octonions O
est un k-groupe alg´ebrique simple adjoint de type G2. Tout groupe adjoint de
ce type est obtenu de cette fa¸con.
3L`a encore, nous notons simplement X(αi) `a la place de X({αi}).
4C’est-`a-dire comme nous l’avons fait ici.
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D´emonstration. Voir [SV, Th. 2.3.5 p. 33] ou sans preuve [Car14, p. 298]
et [Car52, p. 443].
Un groupe de type G2est un groupe de rang 2. Il poss`ede par cons´equent
deux racines, not´ees α1et α2et son diagramme de Dynkin est donn´e par la
figure 2 ci-dessous.
α α
1 2
Fig. 2 – Diagramme de Dynkin de G.
En dehors du point X(∅), nous avons donc trois vari´et´es X(α1), X(α2) et
X(α1, α2), cette derni`ere ´etant celle dont la dimension est la plus grande. L’en-
semble que l’on associe `a Gpour d´ecrire ses vari´et´es homog`enes projectives
est une alg`ebre d’octonions Oet la relation d’incidence est tout simplement
l’inclusion. Les vari´et´es X(αi) (i∈ {1,2}) sont constitu´ees des sous-espaces Vi
de dimension ide Odont les ´el´ements sont de trace nulle et tels que si xet y
sont deux ´el´ements de Vialors xy = 0.
Dans le cas pr´esent, les vari´et´es X(αi) (i∈ {1,2}) et X(α1, α2), sont d´efinies
sur ksi et seulement si Oest d´eploy´ee. Par extension, nous les qualifions alors
de vari´et´es d´
eploy´
ees.
Notre prochain objectif est d’exhiber la d´ecomposition cellulaire de X(α2).
Pour ce faire, le langage des foncteurs de points nous est apparu comme le plus
indiqu´e. Toutefois, il nous semble, l`a encore, n´ecessaire de rappeler bri`evement
quelques notions essentielles avant de rentrer dans le vif du sujet.
3.2 Foncteurs de points
On d´esigne par foncteur de points, tout foncteur covariant de la cat´egorie
Algkdes k-alg`ebres associatives, unitaires et commutatives, `a valeurs dans la
cat´egorie Ens des ensembles.
Un tel foncteur Fest dit repr´
esentable s’il existe une k-vari´et´e Xtelle
que pour tout ´el´ement Rde Algkon ait :
F(R) = Homk−Sch(Spec R, X)
On dit aussi que le foncteur Fest repr´
esent´
epar X. On remarque au
passage que l’application X7→ Homk−Sch(−, X ) d´efinit une transformation
naturelle allant de la cat´egorie des k-vari´et´es dans celle des foncteurs de points
repr´esentables qui est une ´equivalence de cat´egorie (cf [DG, Th. de comparaison
p. 18]).
Un exemple de foncteur de points est donn´e par le foncteur affine Spec R
associ´e `a la k-alg`ebre R, d´efini pour tout ´el´ement Sde Algkpar
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Deux Vari´
et´
es Homog`
enes Projectives 255
Spec R(S) = HomAlgk(R, S ).
Ce foncteur est clairement repr´esent´e par la k-vari´et´e Spec Ret c’est pour
cette raison qu’il est not´e de la mˆeme mani`ere.
On dit que Gest un sous-foncteur de F, si pour toute k-alg`ebre R,
G(R) est un sous-ensemble de F(R) et si pour tout homomorphisme ϕ∈
HomAlgk(R, S) (o`u S∈Algk), l’application G(ϕ): G(R)→ G(S) est la res-
triction de F(ϕ).
On se donne maintenant un foncteur Frepr´esent´e par une k-vari´et´e X. On
dit alors qu’un sous-foncteur Gde Fest ouvert (respectivement ferm´
e), s’il
s’agit d’un sous-foncteur repr´esentable de Fqui est repr´esent´e par une sous-
vari´et´e ouverte (respectivement ferm´ee) de X.
`
A pr´esent, nous allons d´efinir les foncteurs de points grassmanniennes.
Pour cela, on se donne un k-espace vectoriel Vde dimension finie net pour
toute k-alg`ebre R, on pose VR=V⊗kR.
D´
efinition 5.Soit i∈ {1,...,n}, le foncteur grassmannienne Γi(V)des sous-
espaces de dimension iest d´efini par les donn´ees suivantes :
– pour toute k-alg`ebre R, l’ensemble Γi(V)(R)est constitu´e des facteurs di-
rects de rang ide VR, en d’autres termes, il s’agit des sous-modules pro-
jectifs Mde rang ide VRtels que VR/M est ´egalement projectif ;
– pour tout homomorphisme ϕ∈HomAlgk(R, S), l’application Γi(V)(R)→
Γi(V)(S)est d´efinie par la tensorisation par Ssur R, i.e. par
VR⊃M7→ M⊗RS⊂VS.
On pourra par exemple consulter [EH, Ex. VI-18 p. 261] pour v´erifier qu’il
s’agit bien du foncteur de points associ´e `a la grassmannienne des i-sous-espaces
de V.
Soit maintenant f:V×V→Wune application k-bilin´eaire o`u West aussi un
k-espace vectoriel de dimension fini. On d´efinit alors un sous-foncteur Γi(V, f )
de Γi(V), i.e. celui des sous-espaces totalement isotropes de dimension ide V,
en posant comme ensemble de ses R-points (R∈Algk) :
Γi(V, f )(R) = {M∈Γi(V)(R)|fR(M, M ) = 0}
o`u fRest l’application R-bilin´eaire induite par f. Ici nous utiliserons cette
d´efinition dans le cas o`u V=W=Oet o`u fest la multiplication de l’alg`ebre.
Pour plus de d´etails concernant ce formalisme et ces d´efinitions nous renvoyons
le lecteur `a [Kar01, §9 p. 23].
Nous sommes maintenant en mesure de donner les d´efinitions explicites de
X(α1), X(α2) et X(α1, α2) en terme de foncteurs de points. Ces d´efinitions sont
donc la version fonctorielle des d´efinitions classiques que l’on peut par exemple
consulter dans [Sch62, §6 p. 207].
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3.3 Les foncteurs de points X(α1),X(α2)et X(α1, α2)
Dans les d´efinitions de X(αi) (i∈ {1,2}) et X(α1, α2), les ´el´ements mis en
jeu sont tous de traces nulles, par cons´equent nous pouvons nous restreindre
`a l’hyperplan H= ker Tau lieu de travailler sur Otout entier et ce, mˆeme si
lorsqu’il s’agit d’effectuer le produit de deux ´el´ements, le r´esultat est toujours
vu dans O. Nous obtenons ainsi pour tout ´el´ement Rde Algk, les d´efinitions
all´eg´ees suivantes :
X(α1)(R) = {D∈Γ1(H)(R)|∀u, v ∈D, uv = 0},
X(α2)(R) = {P∈Γ2(H)(R)|∀u, v ∈P, uv = 0}
et
X(α1, α2)(R) = {(D, P )∈ X (α1)(R)× X (α2)(R)|D⊂P}
o`u Γ1(H) et Γ2(H) d´esignent donc respectivement le foncteur grassmannienne
des droites et des plans de H.
Regardons maintenant ces d´efinitions d’un peu plus pr`es. Nous avons d´ej`a
fait remarquer que tous les ´el´ements xde Ov´erifient (1), i.e.
x2−T(x)x+q(x) = 0.
Par cons´equent la d´efinition de X(α1) devient
X(α1)(R) = {D∈Γ1(H)(R)|∀u∈D(q|H)R(u) = 0}
o`u (q|H)Rd´esigne la forme quadratique qrestreinte `a Het ´etendue `a R. Tou-
jours pour all´eger les notations, nous posons q0=q|H. En effet, un module pro-
jectif de rang 1 d´efinit un faisceau localement libre de rang 1. Par cons´equent,
localement la condition uv = 0 est ´equivalente `a su2= 0 (puisque le module
est libre de rang 1, il existe un scalaire stel que v=su) et donc ´equivalente
`a q0(u) = 0. Ce r´esultat ´etant vrai localement, il l’est ´egalement globalement.
Ainsi, il devient clair que
X(α1) = Γ1(H, q0)
i.e. que X(α1) est le foncteur des droites isotropes de Hou en d’autres termes,
il s’agit d’une quadrique projective de dimension 5. Ce r´esultat a d´ej`a ´et´e mis en
´evidence par M. Demazure (cf. [Dem77, §2 c)]), il s’agit d’un des quelques cas
o`u des vari´et´es homog`enes projectives associ´ees `a deux groupes alg´ebriques bien
distincts sont isomorphes. En ce qui nous concerne, cet article pr´esente aussi un
autre int´erˆet ; si Gd´esigne encore une fois un groupe adjoint de type G2, l’article
de M. Demazure nous apprend que Aut(X(α1)) 'SO(q0) et que Aut(X(α2)) '
G. D`es lors, les vari´et´es X(α1) et X(α2) ont des groupes d’automorphismes
diff´erents et ne sont donc pas isomorphes en tant que vari´et´es pro jectives lisses.
Documenta Mathematica 8 (2003) 247–277
Deux Vari´
et´
es Homog`
enes Projectives 257
Concernant maintenant X(α2), nous constatons l`a encore que tout ses points
sont des plans totalement isotropes. En effet, ils sont de traces nulles et le
produit de deux ´el´ements quelconques est ´egalement nul. Ainsi, en vertu des
´equations (1) et (2) que nous rappelons :
x2−T(x)x+q(x) = 0
et
xy +yx −T(x)y−T(y)x+ 2Bq(x, y) = 0,
nous constatons que q(x) = Bq(x, y) = 0, i.e. que tous les ´el´ements sont
isotropes et orthogonaux deux `a deux. En revanche, un plan totalement isotrope
constitu´e d’´el´ements de trace nulle n’appartient pas n´ecessairement `a X(α2).
En effet, dans ce cas l`a les formules (1) et (2) nous indiquent juste que x2= 0
et xy +yx = 0 ce qui n’implique pas que xy =yx = 0. Par exemple, dans
la base normale (3), le module libre engendr´e par f1et f2est bien isotrope
et v´erifie les conditions requises car f1f2=−f2f1mais f1f2=−e36= 0. En
conclusion, nous ne pouvons pas simplifier la d´efinition de X(α2).
Nous allons maintenant donner la structure cellulaire de X(α2).
4 Structure cellulaire de X(α2)
Dans toute cette sous-section, nous d´esignons par Oune alg`ebre d’octonions
d´eploy´ee.
On rappelle que la structure cellulaire d’une vari´et´e alg”´ebrique X
(lisse et compl`ete) est la donn´ee d’une filtration
X=Xn⊃Xn−1⊃...⊃X0⊃X−1=∅
constitu´ee de sous-vari´et´es ferm´ees Xitelles que les diff´erences Xi\Xi−1, avec
i∈ {0,...,n}, soient des espaces affines. Par la suite, on appelle ces diff´erences
des cellules.
D’apr`es l’article de [K¨oc91], on sait que lorsque X(α2) est d´eploy´ee, une
telle filtration existe. Toutefois, nous voulons l’´etablir explicitement afin de
prouver plus loin dans ce texte la rationnalit´e de certains cycles. Pour cela, nous
allons partir d’une structure cellulaire de Γ2(H) et en prendre l’intersection avec
X(α2) avant de raffiner la filtration en supprimant les termes redondants (i.e.
ceux dont les cellules sont vides).
Remarque 5.En g´en´eral, mˆeme lorsqu’une vari´et´e Xadmet une structure cel-
lulaire et que Yest une sous-vari´et´e ferm´ee de X, l’intersection de la structure
cellulaire de Xavec Yne donne pas n´ecessairement une structure cellulaire
pour Y(consid´erez par exemple une quadrique projective anisotrope dans un
espace projectif.. . ). Le fait que cela fonctionne dans le cas pr´esent est donc
assez exceptionnel.
Documenta Mathematica 8 (2003) 247–277
258 Jean-Paul Bonnet
La construction d’une telle filtration pour Γ2(H) se fait `a partir de ses
vari´
et´
es de Schubert (cf. ci-dessous), lesquelles se d´efinissent `a partir d’un
drapeau de H. Dans le cas d’une grassmannienne cette construction ne d´epend
pas du choix du drapeau de d´epart. En revanche, ce choix est primordial si
l’on veut ˆetre capable d’´ecrire explicitement le r´esultat de l’intersection de la
structure cellulaire de Γ2(H) avec X(α2). En l’occurence, pour construire ce
drapeau nous partons d’une base normale (cf. (3)) de O, notre alg`ebre d’octo-
nions d´eploy´ee et nous munissons Hd’une base qui s’en d´eduit. Concr`etement
nous avons
H= Vect{e1, f2, f3, e =e0−f0, e3, e2, f1}
et l’ordre dans lequel nous venons d’´ecrire les vecteurs qui engendrent Hest
important. En effet, pour d´efinir notre drapeau, nous prenons comme premier
espace vectoriel (le plus grand), V7=H. Nous d´eduisons ensuite Vi, nouvel
espace vectoriel de la filtration comme ´etant ´egal `a Vect{vji,...,vj1}o`u les vjk
sont les iderniers vecteurs de l’ensemble {e1, f2, f3, e =e0−f0, e3, e2, f1}
pris dans le mˆeme ordre. Par exemple, V6= Vect{f2, f3, e, e3, e2, f1}et
V3= Vect{e3, e2, f1}.
Un drapeau de H´etant maintenant fix´e, on peut d´efinir de fa¸con classique
les vari´
et´
es de Schubert (voir par exemple [M] ou [F]) de Γ2(H). Pour cela,
`a un couple λ= (λ1, λ2) (avec 5 >λ1>λ2>0) on associe la vari´et´e dont les
R-points (R∈Algk) sont les suivants :
Xλ(R) = {M∈Γ2(V)(R)|rg(M∩(V5+i−λi)R)>i, 16i62}.
Ces vari´et´es ne forment ´evidemment pas une filtration mais en prenant des
r´eunions de vari´et´es (et/ou de cellules) de Schubert, il est possible d’en fabri-
quer une. Nous n’en dirons pas plus ici sur les vari´et´es de Schubert et nous ne
reproduisons pas non plus la structure cellulaire de Γ2(H) ; nous nous conten-
tons de donner la structure cellulaire qui en r´esulte pour X(α2) et dont les
R-points (R∈Algk) sont les suivants :
X5(R) = X(α2)(R)
X4(R) = {P∈ X (α2)(R)|rg(P∩(V7)R)>2,rg(P∩(V5)R)>1}
X3(R) = {P∈ X (α2)(R)|rg(P∩(V6)R)>2,rg(P∩(V3)R)>1}
X2(R) = {P∈ X (α2)(R)|rg(P∩(V5)R)>2,rg(P∩(V2)R)>1}
X1(R) = {P∈ X (α2)(R)|rg(P∩(V3)R)>2,rg(P∩(V1)R)>1}
X0(R) = {P∈ X (α2)(R)|rg(P∩(V2)R)>2,rg(P∩(V1)R)>1}
L`a encore, il n’est pas n´ecessaire de v´erifier qu’il s’agit bien de sous-foncteurs
ferm´es. Pour s’en convaincre on peut, par exemple, adapter les arguments
donn´es dans [Kar01, Lem. 9.7 p. 25].
Documenta Mathematica 8 (2003) 247–277
Deux Vari´
et´
es Homog`
enes Projectives 259
Maintenant que nous avons une filtration, il nous faut v´erifier que les cellules
sont bien des espaces affines afin d’avoir effectivement une d´ecomposition cel-
lulaire. Tout d’abord, nous introduisons la notation suivante pour d´esigner les
cellules :
∀i∈ {0,...,5} X(i\i−1) =Xi\Xi−1
avec la convention X−1=∅. Il ne nous reste maintenant plus qu’`a ´etablir le
r´esultat suivant :
Lemme 4.∀i∈ {0,...,5},
X(i\i−1) 'i
o`u id´esigne le foncteur espace affine de dimension i.
D´emonstration. Dans sa d´emarche, la preuve est la mˆeme pour toutes les cel-
lules. Nous allons par cons´equent nous limiter `a celle de X(4\3) '4.
On se donne donc Rune k-alg`ebre et Pun R-point de X(4\3)(R). Nous allons
´etablir qu’il existe une bijection entre X(4\3) (R) et R4.
Soit j:V7³V7/V6la projection canonique. Dire que P∈ X(4\3) (R) est
´equivalent `a dire que d’une part, l’application j´etendue `a Ret restreinte `a P,
(jR)|P, est surjective, d’autre part que ker(jR)|P⊂(V5)Ret enfin que (V5)R→
(V5/V4)Rrestreinte `a ker(jR)|Pest un isomorphisme. En cons´equence, nous
posons i: (V5/V4)R→Pl’application induite par l’isomorphisme (V5/V4)R
∼
→
ker(jR)|P. La situation peut donc se r´esumer `a la suite exacte courte suivante :
0→(V5/V4)R
i
→P
(jR)|P
³(V7/V6)R→0.
Il en d´ecoule que
P'(V5/V4)R⊕(V7/V6)R
o`u l’isomorphisme d´epend de la donn´ee d’une section de (jR)|P. De cet isomor-
phisme nous d´eduisons que Pest en fait un module libre et par cons´equent
nous allons pouvoir raisonner `a partir des bases des Vi. Comme (V7/V6)Rest
engendr´e par e1, classe de e1modulo (V6)Ret (V5/V4)Rpar f3, classe de f3
modulo (V4)R, une fa¸con g´en´erique de remonter ces ´el´ements est de prendre
m=m(a, b, c, d, g, h) = e1+a·f2+b·f3+c·e+d·e3+g·e2+h·f1
et
n=n(w, x, y, z) = f3+w·e+x·e3+y·e2+z·f1
o`u a, b, c, d, g, h, w, x, y et zsont des scalaires. Ces deux ´el´ements forment
bien un module libre de rang 2. En fait, ce module est le mˆeme si nous rem-
pla¸cons mpar m−b·net ainsi nous ´eliminons un scalaire et r´eduisons le
probl`eme. En cons´equence et quitte `a renommer les scalaires restants nous
pouvons travailler avec
Documenta Mathematica 8 (2003) 247–277
260 Jean-Paul Bonnet
m=m(a, c, d, g, h) = e1+a·f2+c·e+d·e3+g·e2+h·f1
au lieu de la pr´ec´edente d´efinition de m. Dans l’ensemble de tous les modules
qu’il est possible de g´en´erer `a partir de met nen faisant varier la valeur des sca-
laires, nous nous int´eressons au sous-ensemble des modules qui appartiennent
`a X(4\3)(R). Par d´efinition mˆeme, met nsont dans H, il ne nous reste donc
plus qu’`a v´erifier que m·n= 0 et m2=n2= 0.
En effectuant les calculs, nous obtenons
m·n= 0 ⇐⇒
0 = hw −cz −xg +yd
0 = xc −dw +az
0 = yc +h−gw
0 = cw −z−d
0 = cw −ya
0 = x+aw
0 = −w−a
0 = −y−c
⇐⇒
h=c2+gw
d=cw −z
x=w2
y=−c
a=−w
ce qui nous laisse d´ej`a les variables c,g,wet zlibres. Le calcul suivant nous
donne
m2= 0 ⇐⇒ 0 = c2−h−ag ⇐⇒ h=c2−ag
qui est trivialement v´erifi´e avec les pr´ec´edentes relations. Enfin, le dernier calcul
nous donne
n2= 0 ⇐⇒ 0 = w2−x⇐⇒ x=w2
qui est l`a encore une relation d´ej`a pr´esente dans le premier calcul.
R´eciproquement, si nous consid´erons un module libre Pengendr´e par
m=m(−w, c, cw −z, g, c2+gw) et n=n(w, w2,−c, z), les cal-
culs pr´ec´edents montrent directement que m2=n2=m·n= 0 et par
cons´equent que P∈ X(4\3)(R). Nous avons donc mis en bijection X(4\3)(R)
et l’ensemble des modules engendr´es par m=m(−w, c, cw −z, g, c2+gw)
et n=n(w, w2,−c, z) qui est en bijection avec R4. Comme annonc´e, nous
avons ainsi ´etabli que
X(4\3) '4.
Le calcul des autres cellules se fait en proc´edant de la mˆeme fa¸con et finale-
ment, pour tout i∈ {0,...,5}, nous trouvons que
X(i\i−1) 'i.
Documenta Mathematica 8 (2003) 247–277
Deux Vari´
et´
es Homog`
enes Projectives 261
5 Anneau de Chow de X(α2)
On rappelle qu’`a toute vari´et´e alg´ebrique Xqui est lisse et compl`ete, on as-
socie son anneau de Chow CH∗(X), engendr´e sur par les classes de cycles
alg´ebriques sur Xmodulo l’´equivalence rationnelle et gradu´e par la codimension
des classes de cycles. On peut ´egalement consid´erer CH∗(X), l’anneau gradu´e
cette fois-ci par la dimension des classes de cycles et lorsque Xest irr´eductible,
on a CHp(X) = CHd−p(X) o`u d= dim X. Bien que cela soit un abus de
langage, nous parlerons souvent de cycles plutˆot que de classes de cycles.
Le but de cette section est de d´eterminer, dans le cas d´eploy´e, la structure
g´en´erale de l’anneau de Chow de X(α2). Pour cela, nous allons exhiber les
relations que v´erifient les g´en´erateurs de CH∗(X(α2)).
Lorsqu’une vari´et´e poss`ede une structure cellulaire, nous savons (c.f. [F, Ex.
1.9.1 p. 23]) que son groupe de Chow est librement engendr´e par les classes
pour l’´equivalence rationnelle de l’adh´erence des cellules. En cons´equence, la
construction de la structure cellulaire de X(α2) pr´ec´edemment ´etablie nous
permet d’affirmer que CH∗(X(α2)) poss`ede un unique g´en´erateur libre par
codimension. Ce qu’il nous faut maintenant comprendre, c’est comment ces
g´en´erateurs se multiplient entre eux. Pour cela, nous allons utiliser le fait que
X(α1, α2) peut ˆetre vue comme une fibration projective au-dessus de X(α2) au
moyen de l’application suivante :
pr :X(α1, α2)−→ X (α2)
(D, P )7→ P.
Cette fibration induit alors par pull-back une application qui fait du groupe
CH∗(X(α1, α2)) un CH∗(X(α2))-module libre de rang 2 (c.f. [F, Ex. 8.3.4 p. 141
et Th. 3.3 b) p. 64]). Nous allons utiliser cette structure de CH∗(X(α2))-module
pour calculer de deux fa¸cons diff´erentes des invariants de CH∗(X(α1, α2)). En
comparant les r´esultats de ces deux calculs nous obtiendrons de fa¸con presque
compl`ete la table de multiplication des g´en´erateurs de CH∗(X(α2)). Nous ver-
rons que ces relations sont suffisantes pour ´etablir l’isomorphisme motivique.
Pour commencer, il nous faut en apprendre d’avantage sur CH∗(X(α1, α2)).
5.1 Relations dans CH∗(X(α1, α2))
En premier lieu, il est connu (voir par exemple [Mar76, Lem. 5.1.1 p. 237])
que CH∗(X(α1, α2)) est un groupe libre engendr´e par un g´en´erateur libre en
codimension 0 et 6 et deux g´en´erateurs libres dans les autres codimensions.
Ainsi, nous d´esignons par giet hiles g´en´erateurs de CHi(X(α1, α2)) pour i
dans {1,...,5}et par g0et g6ceux de CH0(X(α1, α2)) et CH6(X(α1, α2))
respectivement. En second lieu, le calcul du produit de n’importe quel ´el´ement
de CH∗(X(α1, α2)) avec un ´el´ement de codimension 1 peut ˆetre obtenu par une
formule du type Pieri-Giambelli, la formule de Chevalley ´etablie dans [Dem74,
§4 Cor. 2 p. 78]. Grˆace `a cette formule, nous calculons la table de multiplication
des g´en´erateurs de CH∗(X(α1, α2)).
Documenta Mathematica 8 (2003) 247–277
262 Jean-Paul Bonnet
(g1)2= 3g2(h1)2=h2h1g2=g3+h3g1h2=g3+ 3h3
(g1)3= 6g3(h1)3= 2h3h1g3= 2g4+h4g1h3=g4+ 2h4
(g1)4= 18g4(h1)4= 2h4h1g4=g5+h5g1h4=g5+ 3h5
(g1)5= 18g5(h1)5= 2h5h1g5=g6g1h5=g6
(g1)6= 0 (h1)6= 0 h1g1=h2+g2
Comme pr´ec´edemment annonc´e, nous allons maintenant calculer les inva-
riants de CH∗(X(α1, α2)).
5.2 Calcul des invariants de CH∗(X(α1, α2))
Nous d´esignons par Ale sous-anneau de CH∗(X(α1, α2)) engendr´e par les
´el´ements du groupe CH1(X(α1, α2)). Nous consid`erons ensuite Aile groupe
ab´elien constitu´e des ´el´ements de codimension ide A(i.e. engendr´e par les
polynˆomes homog`enes de degr´e ien g1et h1). Par cons´equent, apr`es calculs
nous obtenons que
A1= gr(g1, h1)
A2= gr((g1)2, g1h1,(h1)2)
= gr(3g2, g2+h2, h2)
A3= gr((g1)3,(g1)2h1, g1(h1)2,(h1)3)
= gr(6g3,3(g3+h3), g3+ 3h3,2h3)
A4= gr((g1)4,(g1)3h1,(g1)2(h1)2, g1(h1)3,(h1)4)
= gr(18g4,12g4+ 6h4,6(g4+h4),2g4+ 4h4,2h4)
A5= gr((g1)5,(g1)4h1,(g1)3(h1)2,(g1)2(h1)3, g1(h1)4,(h1)5)
= gr(18g5,18(g5+h5),12g5+ 18h5,6g5+ 12h5,2g5+ 6h5,2h5)
A6= gr((g1)6,(g1)5h1,(g1)4(h1)2,(g1)3(h1)3,(g1)2(h1)4, g1(h1)5,(h1)6)
= gr(0,2g6,6g6,12g6,18g6,18g6,0)
o`u l`a encore, nous d´esignons par gr(E) le groupe ab´elien libre engendr´e par les
´el´ements de Esur .
Nous rappellons que pour tout idans {1,... 5}, nous avons
CHi(X(α1, α2)) = gr(gi, hi)
et que
CH6(X(α1, α2)) = gr(g6).
Documenta Mathematica 8 (2003) 247–277
Deux Vari´
et´
es Homog`
enes Projectives 263
En calculant les diff´erents quotients nous trouvons ainsi que :
(CH1(X(α1, α2)) : A1) = 1
(CH2(X(α1, α2)) : A2) = 1
(CH3(X(α1, α2)) : A3) = 2
(CH4(X(α1, α2)) : A4) = 4
(CH5(X(α1, α2)) : A5) = 4
(CH6(X(α1, α2)) : A6) = 2
o`u nous d´esignons par (CHi(X(α1, α2)) : Ai), l’indice du sous-groupe Aidans
CHi(X(α1, α2)).
Ces indices sont des invariants de l’anneau CH∗(X(α1, α2)) dont nous allons
nous servir pour d´eterminer la structure d’anneau de CH∗(X(α2)). Pour cela,
nous allons calculer une nouvelle fois ces indices en utilisant la structure de
CHi(X(α2))-module de CHi(X(α1, α2)).
5.3 Calcul de la structure de CH∗(X(α2))
Pour commencer, nous rappelons que le groupe CH∗(X(α2)) poss`ede un seul
g´en´erateur par codimension que nous notons hi
2(i∈ {0,...,5}). Ensuite, nous
avons d´ej`a signal´e que CH∗(X(α1, α2)) est un CH(X(α2))-module libre de rang
2 . Plus pr´ecisement, il admet pour base l’ensemble {1, ζ}o`u 1 d´esigne l’´el´ement
neutre et ζest un ´el´ement qui v´erifie
ζ2−c1h1
2ζ+c2h2
2= 0
et o`u cid´esigne la i`eme classe de Chern du fibr´e vectoriel associ´e au fibr´e
projectif sur X(α2) (voir [H, App. A §3]). Ainsi, pour i`a valeurs dans l’en-
semble {1,...,5}, les groupes CHi(X(α1, α2)) correspondent `a gr(hi
2, ζhi−1
2),
et pour les indices 0 et 6, nous avons CH0(X(α1, α2)) 'CH0(X(α2)), et
CH6(X(α1, α2)) 'CH5(X(α2))ζ. Nous nous donnons ensuite quatre nombres
entiers positifs l, m, n et ptels que
(h1
2)2=lh2
2,(h1
2)3=lmh3
2,(h1
2)4=lmnh4
2,(h1
2)5=lmnph5
2.
Ceci ´etant pos´e, nous allons, l`a encore, consid´erer les sous-groupes Aiex-
prim´es cette fois-ci en fonction de (h1
2)iet ζ(h1
2)i−1. Pour commencer,
A1= gr(h1
2, ζ)
nous avons donc bien
(CH1(X(α1, α2)) : A1) = 1.
Documenta Mathematica 8 (2003) 247–277
264 Jean-Paul Bonnet
Ensuite,
A2= gr((h1
2)2, h1
2ζ, ζ 2)
= gr(lh2
2, h1
2ζ, c1h1
2ζ−c2h2
2)
= gr(lh2
2, c2h2
2, h1
2ζ)
et comme
(CH2(X(α1, α2)) : A2) = 1
nous en d´eduisons que les nombres let c2sont premiers entres eux. Ce
r´esultat sera tr`es largement exploit´e dans les calculs suivants. Concernant le
groupe A3, nous avons
A3= gr((h1
2)3,(h1
2)2ζ, h1
2ζ2, ζ3)
= gr((lmh3
2, lh2
2ζ, lc1h2
2ζ−mc2h3
2,(lc2
1−c2)h2
2ζ−mc1c2h3
2)
= gr(mh3
2, h2
2ζ)
d’o`u
(CH3(X(α1, α2)) : A3) = m= 2.
Nous calculons maintenant A4,
A4= gr((h1
2)4,(h1
2)3ζ, (h1
2)2ζ3, h1
2ζ3, ζ4)
= gr(2lnh4
2,2lh3
2ζ, 2lc1h3
2ζ−2nc2h4
2,2(lc2
1−c2)h3
2ζ−2nc1c2h4
2,
2c1(lc2
1−2c2)h3
2ζ−2n
l(lc2
1−c2)c2h4
2)
= gr(2nh4
2,2h3
2ζ, 2n
lc2
2h4
2)
ainsi
(CH4(X(α1, α2)) : A4) = 2 pgcd(2n, 2n
lc2) = 4
o`u pgcd(2n, 2n
lc2) d´esigne le plus grand commun multiple de 2n
lc2et 2n.
Par suite, comme pgcd(2n, 2n
lc2) = 2, n´ecessairement pgcd(n, n
lc2) = 1 et ainsi
l=n. Nous calculons maintenant
A5= gr((h1
2)5,(h1
2)4ζ, (h1
2)3ζ2,(h1
2)2ζ3, h1
2ζ4, ζ5)
= gr(2l2ph5
2,2l2h4
2ζ, 2l2c1h4
2ζ−2lpc2h5
2,2l(lc2
1−c2)h4
2ζ−2lpc1c2h5
2,
2lc1(lc2
1−2c2)h4
2ζ−2pc2(lc2
1−c2)h5
2,
(2l2c4
1−6lc2
1c2+ 2c2
2)h4
2ζ−2pc1c2(lc2
1−2c2)h5
2)
= gr(2ph5
2,2h4
2ζ)
Documenta Mathematica 8 (2003) 247–277
Deux Vari´
et´
es Homog`
enes Projectives 265
ainsi
(CH5(X(α1, α2)) : A5) = 4p= 4
d’o`u p= 1. Enfin, nous calculons
A6= gr((h1
2)6,(h1
2)5ζ, (h1
2)4ζ2,(h1
2)3ζ3,(h1
2)2ζ4, h1
2ζ5, ζ6)
= gr(0,2l2h5
2ζ, 2l2c1h5
2ζ, 2l(lc2
1−c2)h5
2ζ, 2lc1(lc2
1−2c2)h5
2ζ,
(2l2c4
1−6lc2
1c2+ 2c2
2)h5
2ζ, (2l2c5
1−8lc3
1c2+ 6c1c2
2)h5
2ζ)
= gr(2h5
2ζ)
et nous trouvons bien que
(CH6(X(α1, α2)) : A6) = 2.
Finalement, la table de multiplication partielle de CH∗(X(α2)) est
(h1
2)2=lh2
2
(h1
2)3= 2lh3
2
(h1
2)4= 2l2h4
2
(h1
2)5= 2l2h5
2
Malgr´e tous nos efforts, lreste donc jusque l`a ind´etermin´e. Toutefois, l’image
de l’´el´ement h1
2dans CH∗(X(α1, α2) par l’application pr∗: CH∗(X(α2)) →
CH∗(X(α1, α2)) induite par la fibration projective, est une combinaison de g1
et h1, i.e. pr∗(h1
2) = ag1+bh1avec aet bdans , premiers entre eux (puisque
pr∗(h1
2) peut ˆetre choisis comme un des g´en´erateurs de CH1(X(α1, α2))). Or,
nous avons
lpr∗(h2
2) = (pr∗(h1
2))2= (3a2+ 2ab)g1+ (b2+ 2ab)h2
ce qui impose donc `a aet bd’ˆetre pairs si ll’est. Ceci est en contradiction avec
le fait que aet bsont premiers entre eux. Par cons´equent, lest n´ecessairement
impair et ce fait est primordial pour ´etablir l’isomorphisme motivique. En effet,
bien que n’ayant pas totalement d´etermin´e la structure de CH∗(X(α2)), nous
verrons que les informations dont nous disposons seront suffisantes pour ´etablir
l’isomorphisme motivique entre X(α1) et X(α2).
Troisi`
eme partie
L’isomorphisme motivique
Nous allons maintenant commencer par introduire la cat´egorie des correspon-
dances sur laquelle nous allons travailler ainsi que les r´esultats accompagnant
Documenta Mathematica 8 (2003) 247–277
266 Jean-Paul Bonnet
cette th´eorie. Il s’agit de r´esultats classiques et la motivation principale n’est
autre que l’introduction de nos notations.
6 Correspondances et motifs
Nous d´esignerons par Varkla cat´egorie des k-vari´et´es lisses, compl`etes mais
non n´ecessairement connexes (on inclut ´egalement ∅dans Vark). Nous avons
d´ej`a signal´e que pour Xdans Vark, nous d´esignons par CH∗(X) l’anneau de
Chow de Xet que bien que cela soit un abus de langage, nous parlons de cycles
plutˆot que de classes de cycles.
Une correspondance de5Xdans Y, o`u X, Y sont dans Vark, est par
d´efinition un cycle dans CH∗(X×Y). La composition des correspondances se
fait de la fa¸con classique (voir par exemple [F, D´efi. 16.1.1 p. 305]) suivante :
CH∗(X×Y)×CH∗(Y×Z)−→ CH∗(X×Z)
(f, g)7→ g◦f= (pr13)∗((f×Z)·(X×g))
o`u ·d´esigne la multiplication des cycles dans CH∗(X×Y×Z) et (pr13)∗le
push-forward par rapport `a la projection
pr13 :X×Y×Z−→ X×Z
(x, y, z)7→ (x, z).
Soient maintenant Xet Ydans Varkavec Ysuppos´ee connexe (ou d’une
fa¸con plus g´en´erale ´equidimensionnelle). On d´efinit dans un premier temps
une correspondance de Xdans Yde degr´
epcomme ´etant un cycle
homog`ene de CHdim Y+p(X×Y). On ´etend ensuite cette d´efinition au cas d’une
vari´et´e Yde Varkquelconque en d´esignant par correspondance de degr´e p, les
cycles homog`enes de ⊕iCHdim Yi+p(X×Yi) o`u les Yid´esignent les composantes
connexes de Y. Notez bien que l’on a
⊕iCHdim Yi+p(X×Yi) = ⊕jCHdim Xj−p(Xj×Y)
o`u les Xjd´esignent les composantes connexes de X.
Lorsque l’on compose des correspondances, les degr´es s’ajoutent ([F, Ex.
16.1.1 p. 308]), ainsi l’ensemble des correspondances de degr´e 0 est stable par
composition et on d´efinit par cons´equent :
D´
efinition 6.Soit Corr0
kla cat´egorie additive dont les objets sont ceux de
Varket les groupes de morphismes sont les correspondances de degr´e 0.
Une d´emonstration du fait que Corr0
kest bien une cat´egorie est consultable
dans [F, §16.1 p. 305] . Nous signalons tout de mˆeme que l’application identit´e
de X,idX, est donn´ee par la classe de l’application diagonale sur X×X. Par
ailleurs, nous d´esignerons par End(X) le groupe Hom(X, X ).
5Si Y=Xon parle de correspondance sur Xtout court.
Documenta Mathematica 8 (2003) 247–277
Deux Vari´
et´
es Homog`
enes Projectives 267
Dans ce texte, nous ne composons que des correspondances d´ecompos´ees et
homog`enes. Dans ce cas de figure, la composition de deux correspondances se
calcule explicitemment grˆace au lemme suivant :
Lemme 5.Soient X, Y, Z ∈Vark,f∈CH∗(X),g , g0∈CH∗(Y)et h∈
CH∗(Z). On suppose que la vari´et´e Yest connexe (ou de fa¸con plus g´en´erale
´equidimensionnelle) et que les cycles get g0sont homog`enes. Alors on a
(g0×h)◦(f×g) = (pr13 )∗(f×(g·g0)×h)
=(deg(g·g0)(f×h) si codim(g) + codim(g0) = dim Y
0 sinon
o`u deg(−)d´esigne le degr´e d’un 0-cycle (voir [F][D´efi. 1.4 p. 13]).
D’autre part, on d´efinit ´egalement la transpos´
etf=τ∗(f) dans Hom(Y, X )
d’une correspondance fde Hom(X, Y ) o`u τ:X×Y→Y×Xest la permutation
des points, i.e. τ(x, y) = (y, x).
Enfin, si Xest une vari´et´e d´efinie sur le corps de base ket /k est une
extension de corps, on d´esigne par Xla vari´et´e Xd´efinie sur . On dit qu’un
cycle fde CH∗(X) est d´
efini sur k, si fest dans l’image de l’homomor-
phisme de restriction res /k : CH∗(X)→CH∗(X). De mˆeme, on dit qu’une
correspondance est d´efinie sur k, si elle l’est en tant que cycle. De tels cycles
ou correspondances sont qualifi´es de rationnels.
Ces pr´eliminaires termin´es, nous allons maintenant prouver que les vari´et´es
X(α1) et X(α2) sont isomorphes dans la cat´egorie Corr0
ket qu’il s’agit par
cons´equent d’un isomorphisme motivique.
7 Isomorphisme
Nous allons maintenant nous employer `a prouver l’isomorphisme. Pour cela
nous allons proc´eder en trois ´etapes. Nous allons prouver qu’un tel isomor-
phisme existe lorsque les vari´et´es X(α1) et X(α2) sont d´eploy´ees. Ensuite,
nous allons ´etablir un th´eor`eme de nilpotence et enfin, grˆace `a ce th´eor`eme
de nilpotence, nous prouverons l’isomorphisme en toute g´en´eralit´e.
7.1 Cas d´
eploy´
e
Nous nous pla¸cons dans le cas o`u les vari´et´es X(α1) et X(α2) sont d´eploy´ees. On
rappelle que cela signifie que l’alg`ebre d’octonions sur laquelle le groupe de type
G2agit l’est, ou encore de fa¸con ´equivalente que la forme quadratique qd´efinie
sur l’alg`ebre des octonions est isotrope. Nous allons donc ´etablir qu’il existe
un cycle de degr´e 0 qui r´ealise un isomorphisme entre X(α1) et X(α2). Pour
prouver cet isomorphisme il nous faut trouver deux correspondances fet g,f
dans Hom(X(α1),X(α2)) et gdans Hom(X(α2),X(α1)) telles que g◦f= ∆1
et f◦g= ∆2o`u ∆1et ∆2d´esignent respectivement la classe de l’application
Documenta Mathematica 8 (2003) 247–277
268 Jean-Paul Bonnet
diagonale de X(α1) et X(α2). Si ∆1est d´ej`a connu, il va nous falloir expliciter
∆2.
Nous allons commencer par fixer quelques notations. Soit jun entier naturel
de l’ensemble {0, . . . , 5}, nous appelons hj
1le g´en´erateur de CHj(X(α1)) et hj
2
celui de CHj(X(α2)). Les relations multiplicatives entre ces g´en´erateurs sont
d´esormais (presque totalement) d´etermin´ees (cf. sous-section 5.3). En outre,
comme X(α1) et X(α2) ont toutes les deux6une structure cellulaire , X(α1)×
X(α1), X(α1)× X (α2), X(α2)× X (α1) et X(α2)×X (α2) en ont ´egalement une
que l’on d´eduit de celle de X(α1) et X(α2) (voir [Kar01, D´efi. 7.2 p. 18]). Ceci
nous permet d’´etablir le r´esultat suivant :
Lemme 6.Les applications
CH∗(X(αi)) ⊗CH∗(X(αj)) →CH∗(X(αi)× X (αj))
(f⊗g)7→ f×g
o`u iet jparcourent {1,2}, sont des isomorphismes.
En fait, ce r´esultat est plus g´en´eral ; il est v´erifi´e d`es que les deux vari´et´es
ont une structure cellulaire.
D’apr`es le lemme 6, les g´en´erateurs de CH∗(X(αi)× X (αj)) s’expriment
en fonction de ceux de CH∗(X(α1)) et CH∗(X(α2)). En particulier, en tant
qu’anneaux, ils sont sans torsion.
Remarque 6.On retrouve de cette fa¸con un r´esultat d´ej`a ´etabli dans [K¨oc91,
Cor. 1.5 p. 365].
Nous sommes maintenant en mesure d’en d´eduire l’expression de l’application
diagonale de X(α2) :
Lemme 7.
∆2=
5
X
i=0
hi
2×h5−i
2
D´emonstration. Tout ce qu’il y a faire ici, c’est de prouver que la correspon-
dance P5
i=0 hi
2×h5−i
2agit trivialement sur les g´en´erateurs de End(X(α2)) =
CH5(X(α2)× X (α2)). D’apr`es le lemme 5 on a :
(hi
2×h5−i
2)◦(hj
2×h5−j
2) = (deg(h5−j
2·hi
2)(hj
2×h5−i
2) si i=j
0 sinon
Si i=j, nous devons tout d’abord calculer h5−i
2·hi
2pour toutes les valeurs
de jpossibles, `a savoir 0, 1 et 2. Il est tout d’abord clair en vertu de ce que
nous avons calcul´e que
6La structure cellulaire de X(α1) bien que non d´ecrite ici est en fait classique et bien
connue.
Documenta Mathematica 8 (2003) 247–277
Deux Vari´
et´
es Homog`
enes Projectives 269
h0
2·h5
2=h5
2·h0
2=h5
2
et que
h1
2·h4
2=h4
2·h1
2=h5
2.
Pour j= 2, nous calculons tout d’abord
2h2
2·h3
2= (h1
2)2·h3
2
=h1
2·2h4
2
= 2h5
2
et par cons´equent nous avons
h2
2·h3
2=h3
2·h2
2=h5
2,
en vertu de quoi nous concluons que
deg(h5−j
2·hj
2) = deg(h5
2) = 1
pour tout indice jde l’ensemble {0,...,5}et de l`a, nous en d´eduisons que pour
tout indice j,
(
5
X
i=0
hi
2×h5−i
2)◦(hj
2×h5−j
2) = hj
2×h5−j
2.
De l’unicit´e de l’´el´ement neutre, nous concluons que
∆2=
5
X
i=0
hi
2×h5−i
2.
Nous allons maintenant exprimer la correspondance r´ealisant l’isomorphisme
motivique dans le cas d´eploy´e.
Proposition 3.Soit
J=
5
X
i=0
hi
1×h5−i
2∈CH5(X(α1)× X (α2)),
Jr´ealise un isomorphisme motivique entre X(α1)et X(α2)dont l’inverse est
la correspondance transpos´ee tJ.
Documenta Mathematica 8 (2003) 247–277
270 Jean-Paul Bonnet
D´emonstration. Nous pouvons nous contenter de prouver que J◦tJ= ∆2.
Pour cela nous utilisons une fois encore le lemme 5 pour calculer :
(hi
1×h5−i
2)◦(hj
2×h5−j
1) = (deg(h5−j
1·hi
1)(hj
2×h5−i
2) si i=j
0 sinon
et l`a encore nous avons
deg(h5−j
1·hi
1) = deg(h5
1) = 1
puisque
(h1
1)2=h2
1
(h1
1)3= 2h3
1
(h1
1)4= 2h4
1
(h1
1)5= 2h5
1
comme on peut s’en assurer en consultant [Kar90]. Par cons´equent, il vient tout
naturellement en d´eveloppant que
J◦tJ=
5
X
i=0
hi
2×h5−i
2= ∆2.
Nous ne les reproduisons pas ici, mais le mˆeme type de calculs nous montre
que tJ◦J= ∆1et par cons´equent, Jest donc bien un isomorphisme motivique
entre X(α1) et X(α2) comme annonc´e.
Nous prouvons maintenant un th´eor`eme de nilpotence pour X(α2) comme
M. Rost l’a fait dans le cas des quadriques (voir [Bro03]).
7.2 Th´
eor`
eme de nilpotence et cons´
equence
En premier lieu, nous reproduisons ici quelques r´esultats ´etablis par M. Rost.
On d´esigne par Xet Bdeux vari´et´es alg´ebriques lisses sur le corps de base
ket π:B×X→Bla premi`ere projection. Pour tout ´el´ement bde B,Xb=
Spec k(b)×kXd´esigne la fibre au-dessus de bet k(b) le corps r´esiduel en b. Pour
toute correspondance fde End(X), on note fb∈EndCorr0
(k(b)) (Xb) l’´el´ement
obtenu par changement de base.
Le r´esultat suivant est d´emontr´e dans [Bro03, Th. 3.1 p. 74].
Proposition 4.Soit f∈End(X)et supposons que
(fb)∗(CHi(Xb)) = 0
pour tout b∈Bet tout i∈ {0,...,dim B}. Alors
Documenta Mathematica 8 (2003) 247–277
Deux Vari´
et´
es Homog`
enes Projectives 271
f(1+dim B)◦Hom(B, X ) = 0.
Remarque 7.La puissance de fest prise dans l’anneau End(X).
Nous ´etablissons maintenant le r´esultat suivant :
Lemme 8.Si X(α2)est d´eploy´ee, alors
End(X(α2)) = ⊕iEnd ¡CHi(X(α2))¢.
D´emonstration. D’apr´es [Ros90, Lem. 6 p. 7] ce r´esultat est vrai pour les qua-
driques d´eploy´ees7. Il est donc vrai pour X(α1) lorsqu’elle l’est. Nous savons
maintenant que dans ce cas X(α2) lui est isomorphe. Ce r´esultat est donc
´egalement vrai pour X(α2).
Nous ´enon¸cons maintenant notre th´eor`eme de nilpotence.
Proposition 5(Th´
eor`
eme de nilpotence). Soit f∈End(X(α2)) et /k
une extension quelconque du corps de base k. Si f= 0 ∈EndCorr0(X(α2) ),
alors il existe un entier ntel que fn= 0.
D´emonstration. Dans le cas o`u X(α2) est d´eploy´ee, comme
End(X(α2)) = ⊕iEnd ¡CHi(X(α2))¢,
le fait que f= 0 implique n´ecessairement que f= 0 car End(X(α2)) est
invariant par extension.
Si maintenant nous sommes dans le cas o`u X(α2) n’est pas d´eploy´ee, on
applique alors la propositon prc´edente avec B=X(α2). Nous allons ´egalement
devoir utiliser, et donc prouver, le r´esultat suivant :
Lemme 9.Pour tout x∈ X (α2), la fibre X(α2)xest d´eploy´ee.
D´emonstration. Il est clair que X(α2)xa un point rationnel et en cons´equence,
il existe un plan Pde l’alg`ebre d’octonions Otel que la trace restreinte `a P
est identiquement nulle et que le produit de deux ´el´ements quelconques de P
est lui aussi nul. Nous avons d´eja fait remarquer (cf. sous-section 3.3) que dans
ce cas l`a, Pest totalement isotrope. Ainsi, la forme quadratique qsur Oest
´egalement isotrope, d’o`u Oest d´eploy´ee d’apr`es le th´eor`eme 1.8.1 de [SV]. Par
cons´equent, X(α2)xest d´eploy´ee.
La vari´et´e X(α2)x´etant totalement d´eploy´ee, en utilisant ce que l’on `a d´ej`a
dit en d´ebut de preuve, (fx) = 0 implique que fx= 0. D`es lors, on peut
appliquer la proposition pr´ec´edente (la condition (fx)∗(CHi(X(α2)x)) = 0 est
trivialement v´erifi´ee) et en d´eduire que
7Dans l’article de M. Rost, le r´esultat est ´etabli sur les dimensions mais comme nous tra-
vaillons avec des vari´et´es irr´eductibles nous pouvons passer `a la codimension sans probl`eme.
Documenta Mathematica 8 (2003) 247–277
272 Jean-Paul Bonnet
f6= 0.
Le r´esultat est donc ´etabli.
De ce r´esultat nous d´eduisons un th´eor`eme d’isomorphisme :
Corollaire 3(Th´
eor`
eme d’isomorphisme). Sous les hypoth`eses de la pro-
position 5, si fest un isomorphisme alors fen est un.
D´emonstration. Si X(α2) n’est pas d´eploy´ee, elle l’est sur une extension plus
grande. En cons´equence, quitte `a passer sur une autre extension, nous pouvons
supposer que X(α2)est d´eploy´ee. En utilisant le lemme 8, nous constatons
que
End(X(α2)) = ⊕5
i=0 End (CHi(X(α2)))
et ainsi la correspondance fest totalement d´etermin´ee par son action sur
les groupes CHi(X(α2)) '. D’o`u fsatisfait l’´equation t2−1 = 0. Ainsi,
f2= (∆2) et d’apr`es la proposition 5, nous en d´eduisons que f2= ∆2+g, o`u
gest un ´el´ement nilpotent. En conclusion, fest un automorphisme.
Remarque 8.V. Chernousov, S. Gille et A. Merkurjev ont depuis g´en´eralis´e
ce r´esultat (et le th´eor`eme de nilpotence 5) dans leur preprint [CGM03, Th.
7.4 p. 13].
Nous allons maintenant ´etablir que le cycle Jest rationnel et ainsi ˆetre en
mesure de conclure que l’isomorphisme motivique est aussi r´ealis´e dans le cas
anisotrope.
7.3 Cas anisotrope
Nous supposons `a pr´esent que les vari´et´es X(α1) et X(α2) sont anisotropes
sur le corps de base k. Nous consid´erons alors une clˆoture alg´ebrique de
ket les vari´et´es X(α1) et X(α2) sont, elles, clairement d´eploy´ees. Comme
pr´ec´edemment, nous d´esignons alors par, hi
1et hi
2les g´en´erateurs respectifs de
CHi(X(α1) ) et CHi(X(α2) ). Nous annon¸cons maintenant :
Proposition 6.La correspondance
J=
5
X
i=0
hi
1×h5−i
2∈CH5(X(α1)× X (α2) )
est rationnelle.
D´emonstration. Sur , les vari´et´es X(α1) et X(α2) sont d´eploy´ees et ad-
mettent une structure cellulaire. Par cons´equent, comme nous l’avons d´ej`a fait
remarquer
Documenta Mathematica 8 (2003) 247–277
Deux Vari´
et´
es Homog`
enes Projectives 273
CH∗(X(α1) ) ⊗CH∗(X(α2) ) 'CH∗(X(α1)× X (α2) )
et donc CH∗(X(α1)× X (α2) ) est engendr´e par les hi
1×hj
2. Pour prouver
la rationnalit´e de J, nous allons proc´eder en plusieurs ´etapes et pour cela
d´emontrer les deux lemmes suivants :
Lemme 10.Le cycle h1
2∈CH1(X(α2) ) est rationnel.
D´emonstration. Lorsque nous avons calcul´e la structure cellulaire de X(α2)
(cf. section 4) nous avons trouv´e que le premier terme de la filtration admettait
pour R-points (R∈Algk) :
X4(R) = {P∈ X (α2)(R)|rg(P∩(V7)R)>2,rg(P∩(V5)R)>1}
Par ailleurs, le groupe de Chow de la grassmannienne Γ2(H) a ´egalement un
seul g´en´erateur en codimension 1 et ce g´en´erateur est la classe de l’adh´erence
de la cellule de Schubert associ´ee `a la vari´et´e dont les R-points sont
(Γ2(H) )(1,0)(R) = {P∈Γ2(H)(R)|rg(P∩(V7)R)>2,rg(P∩(V5)R)>1}.
Nous constatons ainsi que X4(R) = X(α2) (R)∩(Γ2(H) )(1,0)(R) et comme
nous avons de plus
codimX(α2)X4= codimΓ2(H)X(α2)∩(Γ2(H) )(0,1) ,
l’image du g´en´erateur libre de CH1(Γ2(H)K) par le pull-back de l’application
X(α2)→Γ2(H) est exactement h1
2= [X4]. Nous consid´erons alors les pull-
backs des extensions des scalaires
X(α2)−→ X (α2) et Γ2(H)−→ Γ2(H)
c’est-`a-dire les applications
res /k : CH1(X(α2)) −→ CH1(X(α2) )
et
res /k : CH1(Γ2(H)) −→ CH1(Γ2(H) ).
Il est maintenant entendu qu’une base normale n’existe pas sur le corps de
base k, toutefois comme nous l’avons d´ej`a signal´e, n’importe quelle base per-
met de d´efinir toutes les vari´et´es de Schubert d’une grassmannienne et les
classes modulo ´equivalence rationnelle de ces vari´et´es forment un syst`eme de
g´en´erateurs libres de CH∗(Γ2(H)). D`es lors, il est bien clair que
Documenta Mathematica 8 (2003) 247–277
274 Jean-Paul Bonnet
CH∗(Γ2(H)) 'CH∗(Γ2(H) )
et ainsi en consid´erant le diagramme commutatif suivant
CH1(Γ2(H) ) CH1(X(α2) )
CH1(Γ2(H)) CH1(X(α2))
res /k
nous en d´eduisons que le cycle h1
2est rationnel.
Lemme 11.Le cycle c=h0
1×h3
2+h3
1×h0
2∈CH3(X(α1)× X (α2) ) est
rationnel.
D´emonstration. Pour ´etablir la rationalit´e de c, nous consid´erons le diagramme
commutatif suivant :
CH3(X(α1)× X (α2) ) (idX(α1)×p)∗
CH3(X(α1)(X(α2) ))
CH3(X(α1)× X (α2))
res /k
(idX(α1)×p)∗
CH3(X(α1)k(X(α2)))
res (X(α2) )/k(X(α2))
o`u les fl`eches horizontales sont les pull-backs par rapport aux morphismes plats
idX(α1)×p:X(α1)k(X(α2)) → X (α1)× X (α2)
et
idX(α1)×p:X(α1)(X(α2) ) → X (α1)× X (α2)
o`u p(resp. p) est le morphisme point g´en´erique de X(α1) (resp. X(α1) ).
Il est clair que la forme quadratique qest isotrope sur k(X(α2)) (comme
tout `a l’heure dans le lemme 9 nous rajoutons un point rationnel `a X(α1)).
Par cons´equent, elle est totalement isotrope (par le mˆeme argument que dans
la preuve du lemme 9) et (h3
1)(X(α2) ) est d´efini sur k(X(α2)) (puisque dans
ce cas l`a, tous les cycles le sont). Comme (idX(α1)×p)∗est surjective (voir
par exemple [IK00, §5, Prop. 5.1 p. 8]), il en d´ecoule, qu’il existe un cycle
d∈CH3(X(α1)× X (α2) ) d´efini sur ktel que
(idX(α1)×p)∗(d) = (h3
1)(X(α2) ).
Nous calculons maintenant l’action de (idX(α1)×p)∗sur les ´el´ements en-
gendrant le groupe CH3(X(α1)× X (α2) ) :
(idX(α1)×p)∗(hi
1×h3−i
2) = ((h3
1)(X(α2) ) si i= 3
0 sinon
Documenta Mathematica 8 (2003) 247–277
Deux Vari´
et´
es Homog`
enes Projectives 275
Et comme (idX(α1)×p)∗(d) = (h3
1)(X(α2) ), il s’ensuit que
d=h3
1×h0
2+
2
X
i=1
aihi
1×h3−i
2+ah0
1×h3
2
pour a1,a2et adans . Nous savons que h1
2est rationnel d’apr`es le lemme 10
donc (h1
2)2=lh2
2l’est. D’autre part, par un argument de transfert, 2h2
2est
aussi rationnel et comme lest impair (comme nous l’avons prouv´e `a la fin de la
sous-section 5.3), h2
2est rationnel. D’autre part, h1
1est aussi un cycle rationnel,
ce r´esultat classique rel`eve du mˆeme argument que pour h1
2et enfin, comme
h2
1= (h1
1)2, c’est aussi un cycle rationnel. De l`a, nous d´eduisons que h1
1×h2
2
et h2
1×h1
2sont rationnels. De la mˆeme fa¸con, h0
1×h1
2et h0
1×h2
2sont aussi
rationnels et comme nous pouvons ´ecrire que
2h0
1×h3
2= (h0
1×h1
2)·(h0
1×h2
2),
il s’ensuit que le cycle 2h0
1×h3
2est lui aussi rationnel. D`es lors en soustrayant
des multiples de ces cycles `a d, il en d´ecoule que selon la parit´e de a, soit
h3
1×h0
2est rationnel, soit h3
1×h0
2+h0
1×h3
2l’est. Dans ce dernier cas, la
preuve est termin´ee. Dans l’autre cas, nous devons refaire exactement le mˆeme
raisonnement avec X(α2)(X(α1) ) au lieu de X(α1)(X(α2) ) , avec l’hypoth`ese
que h3
1×h0
2est rationnel, pour en d´eduire que h0
1×h3
2l’est aussi. Dans tous
les cas, nous pouvons conclure que
c=h3
1×h0
2+h0
1×h3
2
est un cycle rationnel.
Les arguments pr´ec´edents, nous montrent que les cycles h1
1×h1
2et h2
1×h0
2
sont rationnels. Par cons´equent, les correspondances
(h0
1×h2
2)·c=h3
1×h2
2+h0
1×h5
2
(h1
1×h1
2)·c=h4
1×h1
2+lh1
1×h4
2
(h2
1×h0
2)·c=h5
1×h0
2+h2
1×h3
2
sont ´egalement rationnelles. D’autre part, par un argument de transfert, 2h1
1×
h4
2=h1
1×2h4
2est rationnel et comme lest impair,
h1
1×h4
2+h4
1×h1
2
est rationnel. Le cycle J´etant ´egal `a la somme des trois cycles, h3
1×h2
2+h0
1×h5
2,
h1
1×h4
2+h4
1×h1
2et h5
1×h0
2+h2
1×h3
2, il est par voie de cons´equence rationnel.
Le fait que Jsoit une correspondance rationnelle signifie qu’il existe une
correspondance ftelle que f=J. Nous avons ´etabli dans la proposition 3
que Jinduit un isomorphisme entre X(α1) et X(α2) . De mˆeme, tJinduit
Documenta Mathematica 8 (2003) 247–277
276 Jean-Paul Bonnet
un isomorphisme entre X(α2) et X(α1) et est ´egalement rationnelle comme
transpos´e d’une correspondance rationnelle. Ainsi, d’apr`es le th´eor`eme d’iso-
morphisme (cf. corollaire 3), f◦tfet tf◦fsont des automorphismes motiviques
de X(α2) et X(α1) respectivement. Par cons´equent, fr´ealise un isomorphisme
motivique de X(α1) dans X(α2).
Nous avons donc prouv´e que les vari´et´es X(α1) et X(α2) bien que non iso-
morphes en tant que vari´et´es alg´ebriques lisses sont motiviquement isomorphes.
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Jean-Paul Bonnet
U.S.T.L.
UFR de Math´ematiques
Bˆatiment M2
59655 Villeneuve d’Ascq C´edex
bonnet@agat.univ-lille1.fr
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Documenta Mathematica 8 (2003)
