Perspectives avec migrations

Abstract

Projections of births and deaths can be based on different assumptions : the situation becomes even more complex when migration is included. In general, emigration rates have been calculated and applied to the populations of countries of origin. The end result is a Markov process, with well known properties, and which ultimately leads to stable regional populations. However, it has been shown in many studies that such rates are not very satisfactory to describe migration flows between different areas. Indices which include the populations of both the region of origin and the region of arrival are more satisfactory, both from the theoretical and the practical points of view. The use of such indices over a finite period (between two censuses, for instance), leads to results very different from those obtained by using rates of emigration. In particular, populations do not tend towards stability, and some may even become extinct, or even negative. These difficulties are the results of using a discrete-time model ; we therefore investigate what happens if continuous-time models are used. The difficulties caused by discrete- time models can be overcome. In all
circumstances, there is a unique solution for a given initial population and hazards of moving. A number
of continuous-time and discrete-time models are compared. However, the use of continuous-time
models leads to problems of its own. e.g. how to estimate a hazard function which would enable us to
find the total number of migrants during an intercensal period. Although these methods do not result in
stable populations, they make it possible to disentangle the interactions that exist between populations
of different regions and to show the consequences of this distribution. The methods should be
generalized to populations to apply to populations disaggregated into sub-groups, e.g. age groups,
occupational groups, or marital status groups.

Full text

Daniel Courgeau
Perspectives avec migrations
In: Population, 46e année, n°6, 1991 pp. 1513-1530.
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Courgeau Daniel. Perspectives avec migrations. In: Population, 46e année, n°6, 1991 pp. 1513-1530.
http://www.persee.fr/web/revues/home/prescript/article/pop_0032-4663_1991_num_46_6_3783

Résumé
Courgeau (Daniel). - Perspectives avec migrations Si les perspectives de naissances et de décès
posent déjà de nombreuses hypothèses, celles qui introduisent l'effet des migrations sont encore plus
complexes. On a coutume pour ce faire de calculer des taux d'émigration, que l'on applique aux
populations des zones de départ. On aboutit ainsi à un processus markovien dont les propriétés sont
bien connues et qui conduit à la limite à des populations régionales stables. Or, de nombreuses études
ont montré que de tels taux sont peu satisfaisants pour caractériser les flux entre zones. Les indices
d'intensité migratoire qui font intervenir, à la fois, la population de départ et celle d'arrivée, constituent
un substitut à ces taux, bien plus satisfaisant tant au point de vue théorique que pratique. L'utilisation de
tels indices, calculés sur une période finie (intercensitaire, par exemple), conduit à des perspectives très
rapidement différentes de celles qui utilisent des taux d'émigration. En particulier, il n'y a généralement
plus de populations limites stables et certaines populations peuvent s'éteindre. Dans certains cas
cependant, ces perspectives en arrivent à des situations incompatibles avec l'observation
démographique: certaines populations peuvent en particulier devenir négatives. Ces incohérences
venant de l'utilisation d'un modèle en temps discret, nous étudions dès lors ce qui se p?sse si l'on situe
un tel modèle dans un temps continu. Sous ces conditions, les difficultés rencontrées en temps discret
sont levées. On a dans tous les cas une solution unique pour des conditions initiales ainsi que des
indices d'intensité migratoire instantanés donnés. La comparaison est faite entre modèles en temps
discret et en temps continu à l'aide de divers exemples. L'utilisation d'un modèle en temps continu pose
cependant de nouveaux problèmes, tels que celui de l'estimation d'un indice d'intensité instantané qui
permette de retrouver les effectifs de migrants recensés au cours d'une période intercensitaire. Bien
que ces indices ne conduisent plus à des populations stables, ils permettent de mieux déceler les
interactions qui existent entre les populations de diverses régions et de montrer les conséquences que
l'on peut en attendre. Leur utilisation doit être généralisée aux cas de populations décomposées par
âges et en diverses catégories (professionnelles, matrimoniales, etc.).
Abstract
Courgeau (Daniel). - Projections that Include Migration Projections of births and deaths can be based
on different assumptions : the situation becomes even more complex when migration is included. In
general, emigration rates have been calculated and applied to the populations of countries of origin. The
end result is a Markov process, with well known properties, and which ultimately leads to stable regional
populations. However, it has been shown in many studies that such rates are not very satisfactory to
describe migration flows between different areas. Indices which include the populations of both the
region of origin and the region of arrival are more satisfactory, both from the theoretical and the practical
points of view. The use of such indices over a finite period (between two censuses, for instance), leads
to results very different from those obtained by using rates of emigration. In particular, populations do
not tend towards stability, and some may even become extinct, or even negative. These difficulties are
the results of using a discrete-time model ; we therefore investigate what happens if continuous-time
models are used. The difficulties caused by discrete- time models can be overcome. In all
circumstances, there is a unique solution for a given initial population and hazards of moving. A number
of continuous-time and discrete-time models are compared. However, the use of continuous-time
models leads to problems of its own. e.g. how to estimate a hazard function which would enable us to
find the total number of migrants during an intercensal period. Although these methods do not result in
stable populations, they make it possible to disentangle the interactions that exist between populations
of different regions and to show the consequences of this distribution. The methods should be
generalized to populations to apply to populations disaggregated into sub-groups, e.g. age groups,
occupational groups, or marital status groups.
Resumen
Courgeau (Daniel). - Proyecciones con migraciones. Si las proyecciones de los nacimientos y de las
defunciones plantean ya numerosas hipótesis, aquellas que introducen el efecto de las migraciones son
todavia más complejas. Para esto, se ha acostumbrado calcular tasas de emigración que se aplican a
las poblaciones de las zonas de partida. Llegando asi, a un proceso markoviano, cuyas propiedades
son bien conocidas y que conduce, en ultima instancia, a las poblaciones régionales estables. Ahora

bien, numerosos estudios han mostrado que taies tasas son poco satisfactorias para caracterizar los
flujos entre zonas. Los indices de intensidad migratoria, que hacen intervenir al mismo tiempo la
población iniciál y la población final, constituyen un substitute de esas tasas, mucho más satisfactorios,
tanto del punto de vista teórico commo practice. La utilización de tales indices, calculados sobre un
periodo terminado (intercensal, рог ejemplo), conduce a proyecciones, muy rapidamente diferentes, de
aquellas que utilizan las tasas de emigration. En particular, casi ya no existen poblaciones limites
estables y ciertas poblaciones pueden extinguirse. Sin embargo, en algunos casos, ésas proyecciones
llegan a situaciones incompatibles con 1'observación demográfica : algunas poblaciones pueden en
particular, devenir negativas. Esas incoherencias, viniendo de la utilización de un modelo en tiempo
discontinue estudiaremos entonces lo que sucede, si situamos tal modelo en un tiempo continuo. Bajo
ésas condiciones, las dificultades encontradas en tiempo discontinue han desaparecido. En todo caso
te nemos una única solución para las condiciones iniciales, asi como para los indices dados de
intensidad migratoria instantánea. La comparación es realizada entre mode- los en tiempo discontinue
y en tiempo continuo, con ayuda de diversos ejemplos. Sin embargo, la utilización de un modelo en
tiempo continuo plantea nuevos proble- mas, como el de la estimación de un indice de intensidad
instantánea que permite encontrar el numero de efectivos de migrantes empadronados en el transcurso
de un periodo intercensal. Aunque ésos indices no conducen más a poblaciones estables, ellos
permiten de des- cubrir mejor, las interacciones que existen entre las poblaciones de diversas regiones
y de mostrar las consecuencias que se pueden esperar. Su utilización debe ser generalizada a los
casos de poblaciones clasificadas por edad y en diversas categorias (profesionales, matrimoniales,
etc.).

PERSPECTIVES
AVEC
MIGRATIONS
Si
les
perspectives démographiques
qui
font
intervenir
les
naissances
et
les
décès
dans
une
population
fermée,
reposent
déjà
sur
de
nombreuses
hypothèses
(L.
Henry,
1973),
celles
qui
introduisent
en
plus
l'effet
de
mi
grations
professionnelles
(R.
Pressât,
1957)
ou
spatiales
(L.
Henry,
1973;
F.
Cazin,
1975;
A.
Rogers
et
F.
Willekens,
1986)
conduisent
à
une
complexité
encore
plus
grande.
Bien
entendu,
il
ne
peut
être
question,
ici,
d'examiner
toutes
ces
hypothèses.
Nous
préférons
en
discuter plus
à
fond
une
seule
qui
nous
paraît,
à
la
fois,
être
très
différente
des
hypothèses
sur
les
naissances
et
les
décès
dans
les
perspectives
classiques
et
cependant
avoir
un
effet
très
important
sur
les
perspectives
avec
migrations.
Nous
présenterons
dans
un
premier
temps
cette
hypothèse
qui
porte
sur
les
taux
pertinents
en
vue de
réaliser
une
perspective
avec
migration,
en
indiquant
les
raisons
qui
ont
conduit
à
son
adoption
et
à
sa
très
fréquente
utilisation.
Nous
montrerons
ensuite
les
raisons
qui
nous
amènent
à
douter
de
sa
validité
et
introduirons
un
indice plus
conforme
à
de
nombreuses
observations.
L'utilisation
de
ce
dernier
indice
n'est
cependant
pas
sans
dangers
et
peut
même
conduire
dans
certains
cas
à
des
résultats
absurdes.
C'est
la
raison
qui
nous
amènera
à
proposer
un
modèle
en
temps
continu
qui
permet
d'éviter
ces
inconvénients.
I.
-
Une
hypothèse
fréquemment
adoptée
Les
recensements
posent
de
plus
en
plus souvent
une
question
sur
le
lieu
de
résidence
à
une
date
antérieure
donnée
(D.
Courgeau,
1988)
:
ainsi
en
France,
depuis
le
recensement de
1962,
on
a
posé
une
question
sur
le
lieu de
résidence
le
premier
janvier
de
l'année
du
recensement
an
térieur.
L'utilisation
des
réponses
à
cette
question
permet
d'améliorer
les
perspectives
avec
migrations,
qui
utilisaient
auparavant
les
soldes
migrat
oires
intercensitaires,
estimés
de
façon
très
approchée,
par
différence.
On
dispose
maintenant
de
flux
entre
régions
d'un
pays
donné,
portant
sur
une
période
précise,
ce
qui
offre
de
nouvelles possibilités.
Pour
aller
plus
avant,
des
hypothèses
sont
cependant
nécessaires,
en
particulier
sur
les
taux
à
utiliser
qui
peuvent
être
élaborés
de
diverses
façons
et
conduire
à
des
ré
sultats
différents.
Population,
6,
1991,
1513-1530

1514
PERSPECTIVES
AVEC
MIGRATIONS
On
peut
en
premier
lieu
rapporter
le
flux
d'émigration
d'une
région
vers
une
autre
à
la
population
de
la
région
d'origine,
prise
à
la
date
an
térieure.
On
mesure
dès
lors
cette
émigration
par
des
quotients
analogues
aux
quotients
perspectifs
de
mortalité
qui
ont
la
signification
d'une
probab
ilité.
Mais
on
peut
considérer
ce
même
flux
comme
une
immigration
vers
la
région
de
destination
que
l'on
rapporte,
alors,
à
la
population
initiale
ou
moyenne
de
cette
région.
Ces
indices s'écartent
des
indices
classiques
en
démographie
car
les
événements
qui
figurent
au
numérateur
ne
concer
nent
pas
de membres
déterminés
de
la
population qui
figurent
au
dénomin
ateur.
On
ne
peut plus
les
assimiler
à
des
probabilités.
C'est
la
raison
pour
laquelle
on
considère
qu'il
est
préférable
de
me
surer
les
mouvements
de
/
vers
j
par
des
indices
ou
quotients
d'émigration
de
/
vers
j,
que
par
des
indices d'immigration
en
j
d'habitants
de
/
:
«
On
évite,
en
particulier,
le
risque
du
résultat
absurde
auquel
on
s'expose
avec
des
taux
d'immigration
:
obtenir
un
nombre
d'immigrants
supérieur
à
celui
des
immigrants
possibles»
(L.
Henry,
1973,
p.
83).
Une
fois
cette
hypothèse
posée,
on
peut
calculer,
à
l'aide
des données
d'un
recensement
sur
les
flux
entre
n
régions,
n
(n-l)
taux
d'émigration
d'une
zone
vers
une
autre,
et
cela
pour
chaque
groupe
d'âges
considéré.
Si
l'on
dispose
également
des
taux
de
mortalité
et
de
fécondité pour
les
mêmes
groupes
d'âges
et
pour
chacune
de
ces
régions,
il
est
dès
lors
pos
sible
de
réaliser
des
perspectives
multirégionales
(F.
Cazin,
1975;
A.
Ro
gers
et
F.
Willekens,
1986).
Lorsque
l'on
considère
que
ces
taux
restent
constants
à
l'avenir,
ces
perspectives
basées
sur
un
modèle
de
Markov conduisent
à
un
état
stable
caractérisé
à
la
fois
par
une
répartition
régionale
par
âge
constante,
et
une
répartition
par
région
de
la
population
totale
constante
(A.
Rogers,
1975).
Il
est
intéressant
de
noter
que
cette
évolution
vers
des
répartitions
indé
pendantes
du
temps
est
réalisée
en
deux
phases
consécutives (A.
Rogers,
1976)
:
intervient
d'abord
la
stabilisation
des
structures
par
âges
régionales,
suivie
par
la
stabilisation
des
populations
régionales
comparées
à
la
po
pulation
totale.
П.
-
Critique de
cette
hypothèse
L'utilisation
des
taux
d'émigration
va
cependant
à
rencontre
de
nom
breux
résultats
empiriques,
déjà
établis depuis
longtemps
et
maintes
fois
vérifiés.
Toutes
ces
études
ont
montré
que
les
flux
de
migration
d'une
zone
i
vers
une
zone
j
dépendent, non
seulement,
de
la
population
d'ori
gine,
mais
de
façon
aussi
importante,
de
la
population
de
la
zone
de
des-

PERSPECTIVES
AVEC
MIGRATIONS
1515
tination
(G.
Zipf,
1946;
G.
Steward,
1960
:
D.
Courgeau,
1970;
M.
Poulain,
1981).
Ce
résultat
nous
indique
que,
si
la
population
de
la
zone
/
reste
constante
tandis
que
celle
de
la
zone
j
croît
régulièrement
au
cours
du
temps,
on
devrait
s'attendre
à
une
augmentation
du
nombre
de
migrants
de
/
vers
j, alors
que
le
modèle
précédent
donne
cet
effectif
comme
constant
quel
que
soit
l'instant
considéré.
En
effet,
le
taux
d'émigration
de
/
vers
j
étant
supposé
constant,
le
flux
d'émigration
de
i
vers
j
sera
également
constant
puisque
la
population
de
la
zone
i
reste
inchangée.
On
voit
donc
dans
ce
cas
combien
cette
perspective
semble
peu
satisfaisante
:
elle
risque
de
conduire
à
des
résultats
en
contradiction
avec
les
observations.
D'où
l'idée
d'élaborer
un
indice d'intensité
migratoire
qui
garderait
la
signification
probabiliste
d'un
taux
d'émigration,
mais
qui
permettrait
de
faire
intervenir
les
populations
de
départ
et
d'arrivée.
Nous
avons
mont
ré
(D.
Courgeau,
1975)
qu'il
peut
se
définir
comme
la
probabilité
que
deux
individus
tirés
au
hasard,
l'un
dans
la
population
de
la
première
zone
à
l'instant
initial,
l'autre
dans
la
population
de
la
seconde
zone
à
l'instant
final,
soient
identiques.
Il
s'agit
bien
entendu
d'individus
en
vie
et
présents
dans
le
pays
aux
deux
dates.
Un
tel
indice
d'intensité
migratoire
peut
se
calculer
par
groupe
d'âges
et
sa
combinaison
avec
des
taux
régionaux
de
mortalité
et
de
fécondité
conduit
à
des
perspectives
de
population
très
différentes
de
celles
données
par
les
taux
d'émigration. On
y
observe
un
jeu
beaucoup
plus
complexe
entre
les
populations
des
diverses
régions
qui
ne
conduira
en
général
pas
à
un
état
stable,
comme
dans
le
cas
markovien.
Nous
allons
reprendre
rapidement
la
formalisation
d'un
tel
modèle
(D.
Courgeau,
1975,
1990),
puis
nous
montrerons
les
résultats
auxquels
il
conduit
et,
dans
certains
cas,
les
dangers
de
son
utilisation.
Ш. -
Formalisation
et
critique
d'un
modèle
utilisant
les
intensités
migratoires
II
n'est
pas possible
dans
le
cadre
d'un
article
de
développer
ce
mod
èle
dans
toute
sa
généralité,
car
nous
verrons
la
complexité des
cas
aux
quels
il
peut
conduire.
Nous
ferons
d'abord
l'hypothèse
que
les
populations
sont
soumises
seulement
au
risque
de
migration
interne
entre
régions
d'un
pays,
sans
migrations
internationales
et
sans
distinction
de
groupe
d'âges.
La
population
totale
du
pays
reste
dans
ce
cas
constante
au
cours
du
temps.
Bien
entendu
dans
une
étape
ultérieure,
il
sera
nécessaire
de
réintroduire
ces
divers
effets
qui
alourdissent
les
calculs
sans
introduire
de
problèmes
théoriques
importants.

1516
PERSPECTIVES
AVEC
MIGRATIONS
Nous
présentons
d'abord
le
modèle
appliqué
à
un
nombre
quelconque
de
régions
avant
de
restreindre
l'analyse
au
cas
de
trois
régions.
Nous
verrons
que
même
dans
ce
cas
simple,
les
résultats
pourront
être
très
compliqués,
car
le
modèle
n'est
plus
linéaire.
a)
Présentation
du
modèle
Nous
disposons
des données
d'un
re-
pour
un
nombre
quelconque
censément
fait
à
la
date
tu
qui
a
posé
de
régions
une
question
sur
la
région de
résidence
à
une
date
antérieure
t0.
L'indice
d'in
tensité
migratoire
entre
les
zones
/
et
j,
s'écrit
:
_
AftfQo.'i)
[1]
v
où
My
(to,
íi)
est
l'effectif
de
migrants
de
/
vers
j,
Pi(to)
la
population
originaire de
/
en
to
qui
survit
dans
le
pays
en
t\,
Pj(t\)
la
population
r
ecensée
en
j
en
t\,
originaire
du
pays
en
to.
Si
l'on
suppose
que
ces
indices
restent
constants
après
tu
on
peut
écrire,
pour
chaque
zone
j,
la
relation
suivante
:
Pj
(h)
=
Pj
(/,)
+
2
Щ
Pi
Ci)
Pj
(h)
-
X
Щ
Pj
(M
Pt
(h)
[2]
reliant
les
populations
attendues
à
la
date
t2
(telle
que
t2
-
t\
=
t\
-
t0)
aux
populations
recensées
à
la
date
ři,
et
aux
divers
indices
d'intensité.
Du
fait
que la
population
totale
du
pays
reste
constante,
cela
conduit
à
un
système
de
(n
-
1)
équations
linéaires
avec second
membre,
dont
les
variables
sont
les
populations
de
(n
-
1)
zones
à
la
date
t2.
On
montre
que
ces équations
ont
en
général
une
solution
unique,
qui
permet
d'estimer
chaque
population
à
la
date
t2
en
fonction
des
populations
observées
en
tx
et
des
indices
d'intensité
(D.
Courgeau,
1975,
1990).
Indiquons
seule
ment
que
contrairement
au
modèle
markovien,
le
vecteur
des
populations
P(t2)
n'est
plus
le
résultat
d'une
application
linéaire
du
vecteur
P(tx)
dans
l'espace,
R"
mais
d'une
application
beaucoup
plus
complexe
dont
le
vecteur
transformé
peut
se
trouver
hors
du
domaine
de
définition
des populations.
Nous
n'allons
pas
plus
avant
ici
dans
la
solution
du
système
général,
mais
nous
préférons
examiner
plus
en
détail
le
cas
de
trois
sous-populations
pour
poser les
problèmes
que
soulève
ce
type
de
modèle.
b)
Problèmes
posés
par
ce
modèle
Comme
la
population
totale
du
dans
le
cas
de
trois
régions
pays,
p,
reste
constante
au
cours
du
temps,
il
suffit
de
considérer
ici de
îx
populations
seulement
P\(tn)
et
P2(tn),
que
nous
noterons
désormais
pour
simplifier
xn
et
yn,
avec
P?,{.tn)
=
zn
=
p
-
x„
-
y„.
Nous

PERSPECTIVES
AVEC
MIGRATIONS
1517
prendrons
également
comme
unité
de
temps
la
période
intercensitaire,
ce
qui
conduit
à
la
récurrence
autonome
du
deuxième
ordre
:
.i[1
-
w31
p
+
m31
xn
+
(m31
-
m21)
yn]
=
xn
[1
-
тхгр
+
m13
x^
+
(m13
-
m12)
y^
,]
iil
-
тг2р
+
(m32-m12)
х„
+
тг2Уп\
=Уп
[1
-
т1Ър
+
(m23-m21)
хш
[3]
On
peut
résoudre
ce
système
linéaire
à
deux
variables
*я+1
et
yn+i
en
fonction
de
xn
et
yn
ainsi
que
des
indices
d'intensité
:
(mn
-
т1Ъ)
(1
-
/w23
p)
yn
-
[1
-
m32p
+
(m32
-
m12)
*„
+
(m32
-
w23)
yn]
(1
-
(w2t
-
m23)
(1
-
/n13p)
д:„
-
[1
-
m3l
p
+
(mn
-
mn)
yn
+
(m31
-
w2i)
Уп]
(1
-
т1гр)
D
[4]
où
le
dénominateur
D
s'écrit
:
D
=
(mn
-
mn)
(m2i
-w23)
х„уп
-[l-m3ip
+
(mn
-mn)
xn
+
(m3J
-
m2i)
у„]
х
[1
-
m32
p
+
(w32
-
ml2)
xn
+
(w32
-
m23)
yn]
[5]
On
vérifie
bien
dans
ce
cas
que
cette
récurrence
n'est
plus
linéaire,
mais
se
présente
sous
la
forme
d'une
fraction
dont
le
numérateur
et
le
dénominateur
sont
des
fonctions
quadratiques
de
xn
et
yn.
L'application
de
cette
récurrence
sur
une
dizaine
de
périodes
conduit
à
des
perspectives
dont
les
résultats
seront
vite
différents
de
ceux des
pers
pectives
markoviennes
(D.
Courgeau,
1990).
C'est
cependant
sur
le
plus
long
terme
que
les
divergences
s'accentueront.
Il
importe
dès
lors
de
dé
gager
des
éléments
plus
fondamentaux
de
cette
récurrence.
Il
est
en
premier
lieu
facile
de
déterminer
ses
points
fixes
(points
qu'elle
laisse
inchangés
tout
au
long
du
temps).
Ce
sont
les
solutions
du
système
[3]
ou
[4]
lorsqu'on
pose
xn+ï
=
xn
et
yn+l
=
yn.
On
vérifie
que
ces
points
fixes
sont
au
nombre
de
quatre
:
les
trois
premiers
correspondent
aux
cas
où
l'une
des
trois
sous-populations
est
égale à
p,
les
deux
autres
étant
nulles.
Le
quatrième
est
plus
intéressant
à
considérer
et
correspond
aux
valeurs
suivantes
des
trois
sous-populations
:
4
_
p
(w23
-
m32)
4_p(/n3i-Wi3)
4_p(m\2-m2i)
[6]
xf
7Г4
»У/
ТТЛ
>z/
JTa
Df Df
Df
où
D/
=
m23-

1518
PERSPECTIVES
AVEC
MIGRATIONS
Dans
notre
cas,
ce
point
fixe
ne
présente
d'intérêt
que
s'il
se
trouve
dans
le
domaine
de
définition
des
populations
(x/
,
y/
et
zf
doivent
être
po
sitives
et
inférieures
à
p).
On
vérifie
que
cela
se
produit
lorsque
D/
et
chacune
des
trois
différences
(/п2з
-
m32),
(m31
-
т^)
et
(/ni2
-
m21)
sont
de même
signe.
Dans
tous
les
autres
cas,
le
quatrième
point
fixe
est
hors
du
domaine
de
définition
des
populations
et
n'a
pas
à
être
pris
en
compte.
Pour
avoir plus
de
précisions
sur
la
stabilité
(attraction
ou répulsion)
de
ces
divers
points
fixes,
il
est
utile
d'effectuer
un
changement
de
variable
pour se
centrer
sur
ce
point
fixe
(x'n
=
xn
-
x{\
y'n
=
yn
-
yf),
puis
de
calculer
le
développement
en
série
réduit
aux
termes
linéaires
de
la
nou
velle
récurrence
obtenue.
où
les
divers
paramètres
sont
les
dérivées
partielles
au
point
p/
(xf,
yf)
et
où
les
fonctions
Fi
(х'„,
у'„)
sont
les
termes
non
linéaires d'ordre
supérieur
ou
égal
à
deux.
On
calcule
alors
les
multiplicateurs de
ce
point
fixe,
comme
les
racines
de
l'équation
en
S
(voir
I.
Gumowski
et
C.
Mira, 1980,
pp.
158-159,
pour
plus
de
détails
sur
cette
démonstration)
:
(a
-
S)
(d
-
S)
-
bc
=
0.
[8]
La
stabilité
du
point
fixe
est
alors
donnée
par
le
théorème
de
Lattes
:
si
tous
les
multiplicateurs
S,
sont
tels
que
|
5,-
|
<
1(1)
ce
point
fixe
est
attractif
ou
asymptotiquement
stable,
si
un
seul
multiplicateur
Se
est
tel
que
I
Se
I
>
1,
ce
point
est
répulsif
pour
des
conditions
initiales
prises
dans
un
voisinage
suffisamment
petit
du
point
fixe.
Le
cas
particulier
où
ces
modules
sont
égaux
à
l'unité,
nécessite
l'observation
des
termes
de
degré
supérieur
à
1
pour
conclure.
Le
calcul
des
multiplicateurs
pour
les
trois
premiers
points
fixes
conduit
au
tableau
1.
On
voit
facilement
que
chaque
point
fixe
a
un
de
ses
multiplicateurs
égal
à
l'inverse
de
chacun
des
deux
autres.
Il
suffit
donc
de
considérer
les
trois
quantités
A,
B,
C,
données
dans
le
tableau
1.
On
constate
alors
que
seul
un
des
trois
points
pourra
être
attractif,
les
deux
autres
étant
ré
pulsifs.
Mais
inversement,
les
trois
points
pourront
être
répulsifs,
comme
(])
Les
racines
du
déterminant
pouvant
être
imaginaires,
il
s'agit
ici
du
module
de
la
racine.

PERSPECTIVES
AVEC
MIGRATIONS
1519
Tableau
1.
-
Multiplicateurs correspondants
aux
trois
premiers
points
fixes
où
l'une
des
populations
est
égale
àp
les
deux
autres
étant
nulles
Multi
plicateur
s,
s2
Point
fixe
4
(0,0)
1
-тъ\р
1
-mnp
(p,0)
ttSS
A
1
"c
\_
~
в
on
peut
le
vérifier
facilement.
La
connaissance
des
intensités
permet
fa
cilement
de
déterminer
la
solution
dans
laquelle
on
se
trouve.
Nous
laissons
ici de
côté
les
cas
critiques
où
Si
=
±
1
et
|
S2
I
*
1
ou
Sx
=
S2
=
1
dont
on
sait
déterminer
la
stabilité
(I.
Gumowski
et
C.
Mira,
1980).
En
nous
centrant
sur
le
quatrième
point
fixe,
il
est
aisé
d'obtenir
les
expressions
des
diverses
dérivées
en
ce
point(2).
On
vérifie
que
dans
ce
cas
la
relation
:
ad
-
bc
=
1
est
vérifiée
et
que
les
multiplicateurs
sont
:
[9]
S
=
a
+
d±
^(a
+
df-4
Lorsque
|
a
+
d
|
>
2,
on
a
deux
multiplicateurs
réels
et
l'on
vérifie
aisément
que
l'un
de
ces
multiplicateurs
est
toujours
en
module
supérieur
à
l'unité.
Le
quatrième
point
fixe
est
donc
dans
ce
cas
répulsif.
Lorsque
|
a
+
d
|
<
2,
on
a
deux
multiplicateurs
imaginaires
conjugués
que
l'on
peut
écrire
exp
(±./ф),
où
j
est
le
nombre
imaginaire
(V-
1)
et
ф
un
angle
tel
que
cos
ф
=
(a
+
ď)/2.
On
peut
dès
lors
par
un
changement
de
variable
approprié
и
=
(x
+
y)/2
et
v
=
-
j
(x
-
y)/2
écrire
la
récurrence
autour
de
ce
point
fixe,
appelé
dans
ce
cas
«centre»
:
un
cos
ф
-
v„
sin
ф
+
Fx
(ип
,
v„)
un
sin
ф
+
v„
cos
ф
+
F2
(un
,
v„)
.
[10]
Si
Fj
(m„,
v„)
et
F2
(un,
v„)
étaient
identiques
à
zéro,
on
obtiendrait
des
courbes
invariantes
circulaires
pour
les
populations
transformées
(tra
jectoires
en
fait
elliptiques
pour
les
populations
elles-mêmes).
Du
fait
que
ces
termes
sont
en
général
non
nuls,
l'allure
des
trajectoires
discrètes
au
voisinage
du
point
pf
lorsqu'il
est
dans
le
domaine
de
définition
des
po
pulations,
va
dépendre
des
termes
d'ordre supérieur
ou
égal
à
deux.
L'exa-
<2>
Vu
la
lourdeur
des
calculs,
nous
ne
les
détaillons
pas
ici,
mais
le
lecteur
intéressé
peut
nous
les
demander.

1520
PERSPECTIVES
AVEC
MIGRATIONS
men
de
ces
termes
de
calcul
très
lourd
et
l'absence
d'une
solution
simple
sur
l'allure
des
trajectoires
dans
le
cas
général
(I.
Gumowski
et
C.
Mira,
1980),
nous
conduit
à
en
examiner
les
solutions
à
l'aide
de
simulations.
On
constate numériquement
que,
lorsque les
flux
migratoires
sont
fai
bles
par
rapport
à
la
population
de
départ
et
d'arrivée
et
que
le
point
p/
est
dans
le
domaine
de
définition
des populations,
on
obtient
des
trajec
toires
cycliques
tournant
autour
de
ce
point
fixe
p/.
Lorsque
le point
p/
est
hors
du
domaine
de
définition
des
populations,
en
général(3),
deux
des
sous-populations
vont
tendre
vers
zéro,
la
troisième comprenant
l'e
nsemble
de
la
population
p.
Cette
sous-population
est
celle
pour
laquelle
les
deux
multiplicateurs
sont
en
modules
inférieurs
à
l'unité.
Donnons
ici
quelques
exemples
d'application
de
ces
projections.
La
figure
1
donne
les
diverses
populations
yn
en
fonction
des
populations
xn
dans
deux
cas
qui
partent
de
la
même
distribution
des
sous-populations
initiales
po
=
(200,
460,
340),
mais
avec
des
intensités
différentes.
,/
•
1,5
1,75\
0
(
>
*
2
)
V
125
2.5
•
/
./
•
1
1,75\
10"4(
1,5
•
2
)
\1,25
2,5
•
/
Figure
1.
-
Variation
des
populations
yn
(cf.
y(f))
en
fonction
de
xn
(et
x(/))
dans
le
cas
d'une
trajectoire
fermée
et
dans
le
cas
d'une
trajectoire
tendant
vers
le
point
(0,1000),
partant
de
populations
initiales
identiques (200,
460,
340).
<3)
II
est
également
possible
que
seule
l'une
des
sous-populations
tende
vers
zéro,
les
autres
tendant
vers
des
valeurs
fixes.

PERSPECTIVES
AVEC
MIGRATIONS
1521
Dans
le
premier
cas,
on
a
les
intensités
suivantes
en
p.
10
000
:
/7îj2
=
1
;
Wi3
=
1,75;
/W21
=
1,5;
/W23
=
2;
тц
=
1,25
et
W32
=
2,5.
On
vérifie
d'abord
que
les
valeurs
de
A
=
0,943,
В
=
1,067
et
С
=
0,944
montrent
que
les
trois
sommets
du
domaine
de
définition
sont
répulsifs.
En
revanche,
on
voit
que
D/
=
-
l,5.et
que
chacune
des
dif
férences
:
(w23
-
m32)
=
-
0,5
(w3i
-
/n13)
=
-
0,5
et
{mn
-
W21)
=
-
0,5
sont
égales
entre
elles
et
de même
signe
que
D/.
Il
en
résulte
que
le
qua
trième
point
fixe
est
dans
le
domaine
de
définition
des
populations. On
vérifie
dans
ce
cas
que
l'on
observe
bien
une
courbe
fermée
lorsque
l'on
porte
jc„+i
en
fonction
de
xn
(figure
1).
Si
l'on
porte
les
populations
suc
cessives
en
fonction
de
la
durée
écoulée
depuis
le
début
des
perspectives,
on
obtient
pour
chaque
sous-population des courbes périodiques,
de
même
période
(T
=
188,43)
mais
décalées
les
unes
par
rapport
aux
autres,
de
façon
que
leur
somme
soit
toujours
égale
à
p
=
1
000
(figure
2).
Quel que
soit
le
nombre
d'itérations,
si
élevé
soit-il(4),
nous
n'avons
observé
aucune
déformation
de
la
courbe,
qui
semble
être
une
trajectoire
stable.
Dans
le
second
cas,
nous
avons
juste
interverti
les
intensités
w12
et
m2\.
Les
valeurs
de
A
et
В
restent
identiques
à
ce
qu'elles
étaient
dans
le
cas
précédent,
alors
que
la
valeur
de
С
devient
égale à
1,059
:
dans
ce
XnOuYn
,
1000
500
250
•Ч
.•
Yn
ř..-*
•••"v
\
Xn
*•
INED
73991
50
150
250 300
n
en
périodes
Figure
2.
-
Variation
des
populations
xn
et
yn
en
fonction
de
la
pé
riode
intercensitaire
n
dans
les
deux
cas
décrits
dans
la
figure
1
.
(4)
Nous
avons
dépassé
le
million
d'itérations
sans
dégager
une
moindre
déviation
de
la
trajectoire.

1
522
PERSPECTIVES
AVEC
MIGRATIONS
cas,
le
point
fixe
(0,
p)
va
devenir
attractif.
En revanche,
on
vérifie
que
D/
= -0,5
et
que
seule
la
différence
(mn
-
w2i)
=
0,5
va
devenir
positive.
Il
en
résulte
que
le
quatrième
point
fixe
est
hors
du
domaine
de
définition
des
populations. On
vérifie
que
l'on
obtient
des valeurs
de
yn
fonction
de
xn
qui
vont
tendre
de
façon
régulière
vers
le
point
attractif
(figure
1).
Si
l'on
porte
les
sous-populations
successives
en
fonction
de
la
durée
écoulée
depuis
le
début
des
perspectives,
on
obtient
pour
la
sous-population
y„,
une
courbe
qui
va
tendre
vers
la
population
totale,
les
autres
sous-popul
ations
tendant
vers
zéro
(figure
2).
Comme
on
le
voit,
ces
résultats
sont
très
différents
de
ceux
que
donne
le
cas
markovien
où
les
sous-populations
tendent,
en
général,
vers
une
solution
limite
non
nulle.
Ici,
ou bien
aucune
solution
limite
n'existe
et
les sous-populations
oscillent
périodiquement,
ou bien
cette
solution
limite
conduit
à
l'extinction
de
toutes
les
populations,
sauf
une.
D'autres
cas
peu
vent
encore
se
produire,
comme
nous
allons
le
voir
maintenant.
En
particulier,
dès
que
les
flux
commencent
à
prendre
de
l'importance
par
rapport
aux
diverses
sous-populations
de
départ
ou d'arrivée, des
s
ituations
nouvelles
apparaissent.
Ainsi,
lorsque l'un
ou
plusieurs
des
indices
d'intensité
sont
supérieurs
à
l'inverse
de
la
population
totale
du
pays,
on
montre
que
(D.
Courgeau,
1990),
dans
certains
cas,
les
sous-populations
peuvent
sortir
de
leur
do
maine
de
définition
au
cours
des
itérations
:
certaines peuvent devenir
né
gatives,
d'autres
peuvent
devenir
supérieures
à
la
population
totale.
En
revanche,
si
toutes
les
intensités
sont
inférieures
à
l'inverse
de
la
populat
ion
totale,
les
sous-populations
prévues
seront
toujours
dans
le
domaine
de
définition.
Illustrons
cette
sortie
du
domaine
de
définition,
en
reprenant
les
in
dices
du
premier
cas
traité
dans
cet
article
et
en
redéfinissant
seulement
les
valeurs
de
deux
intensités
:
ml2
=
17
p.
10
000
et
m31
=
16,5
p.
10
000.
La
valeur
de
A
=
1,077
devient
supérieure
à
l'unité, ce
qui
fait
que
le
point
fixe
(p,0)
devient
attractif.
Cependant,
on
vérifie
facilement
que
le
quatrième
point
fixe
est
toujours
dans
le
domaine
de
définition
des
popul
ations.
On
devrait,
selon
les
populations
de
départ,
s'attendre
soit
à
une
courbe
fermée,
soit
à
une
courbe
tendant
vers
le
point
(p,0)
lorsque
l'on
porte
yn
en
fonction
de
xn.
La
figure
3
montre
que
tel
n'est pas
le
cas
lorsqu'on
part
des
populations
initiales
(200,
460,
340).
Dès
la
troisième
itération
les sous-populations
хъ
et
y3
ont
respectivement
un
effectif
de
582,4
et
462,1 individus
dont
la
somme
dépasse
la
population
totale
du
pays,
supposée
ici constante
et
égale à
mille
individus.
Cela
est
lié
au
fait
que
les
indices
d'intensité
mn
et
тгх
égaux
re
spectivement
à
1,7
x
10'3
et
1,65
x
10'3
sont
supérieurs
à
l'inverse
de
la
population
totale,
ici
un
millième.
Dans
certains
cas
également
un
comportement
dit
«chaotique»
peut
apparaître.
Du
fait
de
la
complexité
du
calcul
des
points
des
cycles
supé-

PERSPECTIVES
AVEC
MIGRATIONS
1523
2
)
INED
74091
1000
Axex
Figure
3.
-
Variation
des
populations
yn(cf.
y(f))
en
fonction
de
xn
(cf.
x(f))
lorsque
la
trajectoire,
en
temps
discret,
sort
du
domaine
de
définition
des
populations
(уз)
tandis
qu'en
temps
continu,
cette
trajectoire
est
toujours
dans
ce
domaine.
rieurs
à
1
(xn+k
=
xn
et
yn+k
=
yn),
la
recherche
des domaines
de
stabilité
et
d'instabilité
ne
peut
pas
être
menée
à
fond
ici.
Nous
donnons
seulement
un
exemple
pratique
d'instabilité
lorsque
les
populations initiales
sont
Po
=
(250,
500,
250)
et
les
indices
d'intensité
sont
en
p.
10
000
:
mn
=
12;
mî3
=
12;
m2\
=
15;
т1Ъ
=
15;
тъх
=
10;
mn
=
450.
On
vérifie
dans
ce
cas
que
les
trois
sommets
du
domaine
de
définition
sont
répulsifs
et
que
le
quatrième
point
fixe
est
dans
le
domaine
de
défi
nition
des
populations.
Cependant
les
valeurs
successives
de
v„
en
fonction
de
xn
suivent
un
comportement
«
chaotique
»
comme le
montre
la
figure
4
:
aucune
trajectoire
sous-jacente
aux
points
de
la
récurrence
n'apparaît,
mais
un
nuage
de
points
situés
dans
un
sous-espace
des valeurs
possibles
des
populations.
La
figure
5
porte
les
deux
premières
sous-populations
en
fonc
tion
de
la
durée
écoulée
depuis
le
début
des perspectives.
Les
points
se
situent
toujours
sur
une
courbe
sous-jacente,
mais
celle-ci
est
loin
d'être
parfaitement
périodique.
La
complexité
du
comportement
observé
est
telle
que
celui-ci
semble
«chaotique»,
sans
que
cette
apparence
puisse
être
at
tribuée
à
des
fluctuations
erratiques
des
paramètres
du
processus,
puisque
le
modèle
lui-même
est
déterministe.

1524
PERSPECTIVES
AVEC
MIGRATIONS
-4/
•
n
12\
10
I
15
•
15
I
V
10
450
•'
INED
74191
Figure
4.
-
Variation
des
populations
y„(cf.
y(t))
en
fonction
de
x„
(cf.
x(t)),
lorsque
la
trajectoire,
en
temps
discret,
devient
«chaoti
que
»
tandis
qu'elle
reste
bien
définie
en
temps
continu.
Xn
ou
Yn
j
[
Figure
5.
-
Variation
des
populations
xn
et
yn
en
fonction
de
la
pé
riode
intercensitaire
л
dans
le
cas
«
chaotique
»
décrit
dans
la
figure
4.

PERSPECTIVES
AVEC
MIGRATIONS
1
525
Ces
résultats,
peu satisfaisants
pour
le
démographe,
sont
liés au
fait
que
l'on
travaille
en
temps
discret.
D'où
l'idée
de
traiter
le
même
problème
en
faisant
intervenir
cette
fois-ci
un
temps
continu.
IV.
-
Modèle
en
temps continu
Comme
pour
le
modèle
en
temps
discret,
nous
donnerons
d'abord
une
formulation
du
modèle
pour
un
nombre
quelconque
de régions
avant
de
nous
cantonner
au
cas
de
trois
régions.
a)
Présentation
du
modèle
Lorsque l'intervalle
de
temps
sur
le-
pour
un
nombre
quelconque
quel
on
mesure
l'indice
d'intensité
de
régions
tend
vers
zéro,
on
peut
définir,
de
çon
similaire
à
un
quotient
instantané,
un
indice
d'intensité
instantané
:
[11]
Dans
ce
cas,
la
relation
[2]
peut
s'écrire
:
d
Pj
(f)
=
Pj
(t)
dt
X
(щ
-
mjd
Pi
(0
[
1
2
J
Etant
donné
que la
somme
des
n
sous-populations
reste
constante
au
cours
du
temps,
on
dispose
donc
d'une
intégrale
première
et
le
système
d'équations
différentielles
est
d'ordre
(n
-
1).
Dans
ces
conditions,
on
sait
qu'il
existe
une
solution
unique,
passant
par
le
point
initial
(les
sous-po
pulations
de départ).
De
plus,
du
fait
que la
dérivée
de
Pj
(/)
par
rapport
à
/
tend
vers
zéro
lorsque
la
fonction
P}
(t)
tend
elle-même
vers
zéro,
cette
solution
sera
toujours
dans
le
domaine
de
définition
des populations. On
vérifie
enfin
facilement
que
les
points
fixes
de
ce
système
(points
où
toutes
les
dérivées
par
rapport
au
temps
sont
nulles)
sont
les
mêmes
que
ceux
de
la
récurrence
précédente,
si
l'on
prend
les
indices
d'intensité
instantanés
égaux
aux indices
d'intensité
calculés
sur
la période
(/0,
/i).
Voyons
maintenant
plus
en
détail
le
cas
de
trois
sous-populations.
b)
Le
cas
de
trois
On
vérifie
aisément
dans
ce
cas
qu'en
plus
sous-populations
de
la
relation
x(t)
+
y(t)
+
z(t)
=
p
où
x(t),
y(t)
et
z(t)
représentent
les
trois
sous-populations
à
l'instant
t,
la
relation
suivante
est
aussi
vérifiée
,
x
dx{t)
,
ч
dyjt)
.
x
dz
(t)
n
[13]
(m23
-
тЪ2)
x
(t)
dt
+ («,,
-
m13)
(/)
^
+
(mI2
-
ту^
=
О

1
526
PERSPECTIVES
AVEC
MIGRATIONS
Sous
ces
conditions
on
obtient,
en
combinaison
avec
la
précédente
intégrale
première,
la
solution
générale
liant
x(t)
à
y(t)
:
(m23
-
m32)
log
j^
+
(ma,
-
m13)
log
^
+
(m12
-
m21)
log (p
~
*Д~
y(f))
=
0
[14]
Cette relation
permet
de
vérifier
que
par
un
point
donné
(jc(O),
v(0))
de
l'espace
de
phase
des
coordonnées
(x(t),
y(t))
passe
une
courbe
et
une
seule,
représentant
l'évolution
en
temps
continu
des
populations
lorsque
les
intensités
instantanées
restent
constantes. L'intégration
du
système
[12]
montre
qu'il
suffit
de
connaître
les
trois
combinaisons
d'indices
(m23
-
/n32),
(w3i
-
m13)
et
(mn
-
m2\)
pour
déterminer
l'évolution
en
fonction
du
temps
des
populations
x(t)
et
y(t),
alors
qu'en
temps
discret
les
six
indices
sont
nécessaires
pour
connaître
cette
évolution.
On
peut
vérifier
à
partir
de
la
relation
[14]
que
lorsque les
trois
combinaisons
d'indices
précédentes
sont
de même
signe,
les
trajectoires
sont
fermées
et
décrivent
une
trajectoire
de
type
cyclique
autour
du
qua
trième
point
fixe.
Si
l'une
des
combinaisons
a
un
signe
différent
d'une
autre,
alors
les
trajectoires
vont
tendre
vers
le
sommet
attractif.
Ce
sont
les
solutions
que
nous
avions
obtenues
pour
le
cas
discret
lorsque les
in
tensités
étaient
très
faibles.
Reprenant
les exemples
précédents,
nous
avons
déterminé
les
trajec
toires
en
temps
continu
correspondant
aux mêmes
indices
d'intensité
qu'en
temps
discret.
Bien
qu'il
soit
possible
avec
certaines
valeurs des
indices
d'exprimer
explicitement
v(r)
en
fonction
de
x(t),
nous
avons
intégré
la
relation
[12],
en
utilisant
une
méthode
itérative
pour
chaque
intervalle
de
temps
unitaire,
divisé
en
intervalles
d'un
millième.
La
figure
1
nous
montre,
que
lorsque les
indices
sont
faibles
(infé
rieurs
ici
à
l'inverse
de
la
population
totale
du
pays),
la
courbe
en
temps
continu
est
très
proche
de
la
courbe
en
temps
discret.
Courbe
fermée
dans
le
premier
cas,
courbe
tendant
vers
le
point
(0,
p)
dans
le
second
cas.
En
revanche,
la
figure
3
nous
montre
combien
ces
courbes
vont
différer
lors
que
les
indices
sont
plus élevés
:
dans
le
cas
où
la
courbe
en
temps
discret
sort
du
domaine
de
définition
des
populations,
la
courbe
en
temps
continu
reste
toujours
dans
ce
domaine.
Enfin,
la
figure
4
nous
montre
que
la
courbe
continue
reste
toujours bien
définie
alors
que la
trajectoire
discrète
devient
chaotique.

PERSPECTIVES
AVEC
MIGRATIONS
1527
Conclusion
Après
avoir
montré
les
raisons
pour
lesquelles
l'utilisation
de
taux
d'émigration
nous semblait
peu
satisfaisante
lorsque
l'on
réalise
des
pers
pectives
avec
migration,
nous
avons
proposé
d'utiliser
les
intensités
mi
gratoires
entre
les
diverses
régions.
Elles
présentent
l'avantage
de
ne
privilégier
ni
la
population
de
départ,
ni
celle
d'accueil,
mais
de
leur
don
ner
un
poids
égal,
ce
qui
a
été
vérifié
dans
de
très
nombreuses
études.
Les
perspectives
réalisées
en
temps
discret
avec
ces
intensités
condui
sent
à
des
résultats
qui
diffèrent
rapidement
des
perspectives
classiques
avec
les
taux
d'émigration.
Mais
surtout,
alors
que
le
modèle
markovien
des
perspectives
classiques
conduit
à
un
état
stable,
ce
nouveau
modèle
conduit
à
des
solutions complètement
distinctes
sur
le
long
terme
:
cer
taines
populations
s'éteindront,
d'autres
suivront
une
évolution
cyclique.
Des
comportements
encore
plus
complexes
peuvent
apparaître.
Dans
certains
cas
des
populations
peuvent
sortir
de
l'intervalle
de
variation
et
être
supérieures
à
la
population
totale
du
pays
ou
devenir
négatives.
Dans
d'autres
cas,
on
voit
apparaître
des
solutions
«chaotiques»
qui
ne
donnent
plus
une
courbe simple
d'évolution
des
diverses
populations
les
unes
par
rapport
aux
autres,
mais
conduisent
à
un
nuage
de points.
D'autres
cas
aberrants
peuvent
d'ailleurs
se
produire
dont
nous
n'avons
pas
donné
d'exemple
ici
:
solutions
cycliques
autour
des
points
de
cycle d'ordre
к
supérieures
à
l'unité
(xn+k
=
xn
et
y„+k
=
v„),
cas
où
l'on
a,
à
la
fois,
un
point
fixe
«centre»
et
un
point
fixe
attractif,
etc..
D'où
l'idée
de
passer
en
temps
continu,
en
conservant
les
intensités
calculées
en
temps
discret
qui
deviennent
des
intensités
instantanées.
Il
en
résulte
une
solution
toujours
unique
partant
des
sous-populations
de départ
données.
Dans
le
cas
de
trois
sous-populations,
on
pourra,
selon
les
inten
sités
avoir
des
solutions
cycliques
autour
du
«centre»
ou
bien
avoir
cer
taines
populations
qui
tendent
vers
zéro
:
deux
peuvent
tendre
vers
zéro
et
la
troisième
vers
p,
une
seule
peut
tendre
vers
zéro
et
les
deux
autres
vers
des
valeurs
fixes,
mais
non
nulles(5).
Cet
article
a
essayé
de
montrer
la
complexité
de
ces
perspectives
dès
que
le
modèle
devient
non
linéaire.
Les
récurrences
rencontrées
en
temps
discret
mettent
en
évidence
certains
comportements
dynamiques
complexes
dus
à
l'effet
de
fortes
non
linéarités.
Si
les
récurrences
en
temps
continu
semblent
conduire
à
des solutions
plus simples,
elles
posent encore
de
nom
breux
problèmes.
Ainsi
lorsque
l'on
conserve
les
intensités
calculées
en
temps
discret
pour
en
faire
des
intensités
instantanées,
la
solution
en
temps
continu
ne
passe
plus
par
les
deux
points
(sous-populations
en
tu
et
en
(5)
On
peut
en
effet
montrer
que
dans
le
cas
de
deux
sous-populations,
il
n'y
a
pas
de
solutions
cycliques.

1528
PERSPECTIVES
AVEC
MIGRATIONS
t2)
qui
ont
servi
à
définir
les
intensités.
Pour
éviter
ce
résultat
gênant,
on
est
conduit
à
estimer
de
nouvelles
intensités
théoriques
instantanées.
C'est
là
un
nouveau
problème
que
nous
ne
pouvons
pas
résoudre
dans
cet
article,
mais
qui
est
important
à
considérer.
Les
perspectives
markoviennes
avec
migrations
donnent
certes
des
résultats
stables
et
simples,
mais
les
hypothèses
qui
sont
à
leur
base
sont
beaucoup
trop
simplificatrices
pour
conduire
à
des
projections
vraisemblab
les.
Il
sera
nécessaire
à
l'avenir
d'introduire
des
conditions
d'interaction
entre
les
diverses
zones
du
territoire
pour
arriver
à
des solutions
plus
sa
tisfaisantes.
Le
présent
essai,
en
faisant
intervenir
simplement
les
populat
ions
de
départ
et
d'arrivée,
a
montré
la
complexité des problèmes
à
résoudre
pour
réaliser
ces
projections.
La
complexité
de
cette
tâche
ne
doit
cependant
pas
nous
faire
lâcher
prise,
mais
au
contraire,
être
un
st
imulant
pour
la
recherche
à
venir.
Daniel
Courgeau
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PERSPECTIVES
AVEC
MIGRATIONS
1529
Courgeau
(Daniel).
-
Perspectives
avec
migrations
Si
les
perspectives
de
naissances
et
de
décès
posent
déjà
de
nombreuses
hypothèses,
celles
qui
introduisent
l'effet
des
migrations
sont
encore
plus
complexes.
On
a
coutume
pour
ce
faire
de
calculer
des
taux
d'émigration,
que
l'on
applique
aux
populations
des
zones
de
départ.
On
aboutit
ainsi
à
un
processus
markovien
dont
les
propriétés
sont
bien
connues
et
qui
conduit
à
la
limite
à
des
populations
régionales
stables.
Or,
de
nombreuses
études
ont
montré
que
de
tels
taux
sont
peu
satisfaisants
pour
ca
ractériser
les
flux
entre
zones.
Les
indices
d'intensité
migratoire
qui
font
intervenir,
à
la
fois,
la
population
de
départ
et
celle
d'arrivée,
constituent
un
substitut
à
ces
taux,
bien
plus
satisfaisant
tant
au
point
de
vue
théorique
que
pratique.
L'utilisation
de
tels
indices,
calculés
sur
une
période
finie
(intercensitaire,
par
exemp
le),
conduit
à
des
perspectives
très
rapidement
différentes
de
celles
qui
utilisent
des
taux
d'émigration.
En
particulier,
il
n'y
a
généralement
plus
de
populations
limites
stables
et
certaines
populations
peuvent
s'éteindre.
Dans
certains
cas
cependant,
ces
perspectives
en
arrivent
à
des
situations
incompatibles
avec
l'observation
démographique:
certaines
popul
ations
peuvent
en
particulier
devenir
négatives.
Ces
incohérences
venant
de
l'utilisation
d'un
modèle
en
temps
discret,
nous
étudions
dès
lors
ce
qui
se
p?sse
si
l'on
situe
un
tel
modèle
dans
un
temps
continu.
Sous
ces
condit
ions,
les
difficultés
rencontrées
en
temps
discret
sont
levées.
On
a
dans
tous
les
cas
une
so
lution
unique
pour
des
conditions
initiales
ainsi
que
des
indices
d'intensité
migratoire
instantanés
donnés.
La
comparaison
est
faite
entre
modèles
en
temps
discret
et
en
temps
continu
à
l'aide
de
divers
exemples.
L'utilisation
d'un
modèle
en
temps
continu
pose
cependant
de
nouveaux
problèmes,
tels
que
celui
de
l'estimation
d'un
indice
d'intensité
instantané
qui
permette
de
retrouver
les
effectifs
de
migrants
recensés
au
cours
d'une
période
intercensitaire.
Bien
que
ces
indices
ne
conduisent
plus
à
des
populations
stables,
ils
permettent
de
mieux
déceler
les
interactions
qui
existent
entre
les
populations
de
diverses
régions
et
de
montrer
les
conséquences
que
l'on
peut
en
attendre.
Leur
utilisation
doit
être
généralisée
aux
cas
de
populations
décomposées
par
âges
et
en
diverses
catégories
(professionnelles,
matrimoniales,
etc.).
Courgeau
(Daniel).
-
Projections
that
Include
Migration
Projections
of
births
and
deaths
can
be
based
on
different
assumptions
:
the
situation
becomes
even
more
complex
when
migration
is
included.
In
general,
emigration
rates
have
been
calculated
and
applied
to
the
populations
of
countries
of
origin.
The
end
result
is
a
Markov
process,
with
well
known
properties,
and
which
ultimately
leads
to
stable
regional
populations.
However,
it
has
been
shown
in
many
studies
that
such
rates
are
not
very
satisfactory
to
describe
migration
flows
between
different
areas.
Indices
which
include
the
populations
of
both
the
region
of
origin
and
the
region
of
arrival
are
more
satisfactory,
both
from
the
theoretical
and
the
practical
points
of
view.
The
use
of
such
indices
over
a
finite
period
(between
two
censuses,
for
instance),
leads
to
results
very
different
from
those
obtained
by
using
rates
of
emigration.
In
particul
ar,
populations
do
not
tend
towards stability,
and
some
may
even
become
extinct,
or
even
negative.
These
difficulties
are
the
results
of
using
a
discrete-time
model
;
we
therefore
inves
tigate
what
happens
if
continuous-time
models
are
used.
The
difficulties
caused
by
discrete-
time
models
can
be
overcome.
In
all
circumstances,
there
is
a
unique
solution
for
a
given
initial
population
and
hazards
of
moving.
A
number
of
continuous-time
and
discrete-time
models
are
compared.
However,
the
use
of
continuous-time
models
leads
to
problems
of
its
own.
e.g.
how
to
estimate
a
hazard
function
which
would
enable
us
to
find
the
total
number
of
migrants
during
an
intercensal
period.
Although
these
methods
do
not
result
in
stable
populations,
they
make
it
possible
to
disentangle
the
interactions
that
exist
between
populations
of
different
regions
and
to
show
the
consequences
of
this
distribution.
The
methods
should
be
generalized
to
populations
to
apply
to
populations
disaggregated
into
sub-groups,
e.g.
age
groups,
occupational
groups,
or
marital
status
groups.

1530
PERSPECTIVES
AVEC
MIGRATIONS
Courgeau
(Daniel).
-
Proyecciones
con
migraciones.
Si
las
proyecciones
de
los
nacimientos
y
de
las
defunciones
plantean
ya
numerosas
hipótesis,
aquellas
que
introducen
el
efecto
de
las
migraciones
son
todavia
más
complejas.
Para
esto,
se
ha
acostumbrado
calcular
tasas
de
emigración
que
se
aplican
a
las
poblaciones
de
las
zonas
de
partida.
Llegando
asi,
a
un
proceso
markoviano,
cuyas
propiedades
son
bien
conocidas
y
que
conduce,
en
ultima
instancia,
a
las
poblaciones
régionales
estables.
Ahora
bien,
numerosos
estudios
han
mostrado
que
taies
tasas
son
poco
satisfactorias
para
caracterizar
los
flujos
entre
zonas.
Los
indices
de
intensidad
migratoria,
que
hacen
in
tervenir
al
mismo
tiempo
la
población
iniciál
y
la
población
final,
constituyen
un
substitute
de
esas
tasas,
mucho
más
satisfactorios,
tanto
del
punto
de
vista
teórico
commo
practice.
La
utilización
de
tales
indices,
calculados
sobre
un
periodo
terminado
(intercensal,
рог
ejemplo),
conduce
a
proyecciones,
muy
rapidamente
diferentes,
de
aquellas
que
utilizan
las
tasas
de
emigration.
En
particular,
casi
ya
no
existen
poblaciones
limites
estables
y
ciertas
poblaciones
pueden
extinguirse.
Sin
embargo,
en
algunos
casos,
ésas
proyecciones
llegan
a
situaciones
incompatibles
con
1'observación
demográfica
:
algunas
poblaciones
pueden
en
particular,
devenir
negativas.
Esas
incoherencias,
viniendo
de
la
utilización
de
un
modelo
en
tiempo
discontinue
estudiaremos
entonces
lo
que
sucede,
si
situamos
tal
modelo
en
un
tiempo
continuo.
Bajo
ésas
condiciones,
las
dificultades
encontradas
en
tiempo
discontinue
han
desaparecido.
En
todo
caso
te
nemos
una
única
solución
para
las
condiciones
iniciales,
asi
como
para
los
in
dices
dados
de
intensidad
migratoria
instantánea.
La
comparación
es
realizada
entre
mode-
los
en
tiempo
discontinue
y
en
tiempo
continuo,
con
ayuda
de
diversos
ejemplos.
Sin
embargo,
la
utilización
de
un
modelo
en
tiempo
continuo
plantea
nuevos
proble-
mas,
como
el
de
la
estimación
de
un
indice
de
intensidad
instantánea
que
permite
encontrar
el
numero
de
efectivos
de
migrantes
empadronados
en
el
transcurso
de
un
periodo
intercens
al.
Aunque
ésos
indices
no
conducen
más
a
poblaciones
estables,
ellos
permiten
de
des-
cubrir
mejor,
las
interacciones
que
existen
entre
las
poblaciones
de
diversas
regiones
y
de
mostrar
las
consecuencias
que
se
pueden
esperar. Su
utilización
debe
ser
generalizada
a
los
casos
de
poblaciones
clasificadas
por
edad
y
en
diversas
categorias
(profesionales,
matri
moniales,
etc.).