Victor Matveevich Buchstaber

• professor
• Principal Investigator at Russian Academy of Sciences

The article presents results on the well-known problem concerning the structure of integer polynomials $p_n(z; x, y)$, which define multiplication laws in $n$-valued groups $\mathbb{G}_n$ over the field of complex numbers $\mathbb{C}$. We show that the $n$-valued multiplication in the group $\mathbb{G}_n$ is realized in terms of the eigenvalues of...

The hexagonal lattice and its dual, the triangular lattice, serve as powerful models for comprehending the atomic and ring connectivity, respectively, in graphene and carbon (p,q)-nanotubes. The chemical and physical attributes of these two carbon allotropes are closely linked to the average number of closed paths of different lengths k∈N0 on their...

Fullerenes are hollow carbon molecules where each atom is connected to exactly three other atoms, arranged in pentagonal and hexagonal rings. Mathematically, they can be combinatorially modeled as planar, 3-regular graphs with facets composed only of pentagons and hexagons. In this work, we outline a few of the many open questions about fullerenes,...

Рассмотрены задачи теории поперечников Колмогорова и теории разверток временных рядов. Эти теории связывает теория экстремальных задач на многообразиях Грассмана $G(n,q)$ всех $q$-мерных линейных подпространств в $\mathbb R^n$. Описаны необходимые сведения о многообразиях $G(n,q)$. На основе развертки временного ряда введено понятие его $q$-попереч...

In this paper, a theory of hyperelliptic functions based on multidimensional sigma functions is developed and explicit formulas for hyperelliptic solutions to the Kadomtsev-Petviashvili equations KP-I and KP-II are obtained. The long-standing problem of describing the dependence of these solutions on the variation of the parameters of hyperelliptic...

The theory of $n$-valued groups and its applications is developed by going over from groups defined axiomatically to combinatorial groups defined by generators and relations. A wide class of cyclic $n$-valued groups is introduced on the basis of cyclically presented groups. The best-known cyclically presented groups are the Fibonacci groups introdu...

We analyze the numbers of closed paths of length k∈N on two important regular lattices: the hexagonal lattice (also called graphene in chemistry) and its dual triangular lattice. These numbers form a moment sequence of specific random variables connected to the distance of a position of a planar random flight (in three steps) from the origin. Here,...

The theory of a two-valued algebraic group structure on a complex plane and complex projective line is developed. In this theory, depending on the choice of the neutral element, the local multiplication law is given by the Buchstaber polynomial or the generalized Kontsevich polynomial. One of the most exciting results of our studies is a simple con...

The theory of the trigraded Buchstaber spectral sequence $\operatorname{Bss}$ for graded Hopf algebras is developed. It is shown that the differentials of $\operatorname{Bss}$ define an increasing exhaustive filtration as a new structure in the cohomology of Hopf algebras. This structure is described explicitly for a number of known Hopf algebras....

Развита теория $n$-значных групп и ее приложений на основе перехода от групп, заданных аксиоматикой, к комбинаторным группам, заданным образующими и соотношениями. На основе групп с циклическим представлением введен широкий класс циклических $n$-значных групп. Наиболее известными группами с циклическим представлением являются группы Фибоначчи, введ...

Fullerenes are hollow carbon molecules where each atom is connected to exactly three other atoms, arranged in pentagonal and hexagonal rings. Mathematically, they can be combinatorially modeled as planar, 3-regular graphs with facets composed only of pentagons and hexagons. In this work, we outline a few of the many open questions about fullerenes,...

In 1956 Hirzebruch found an explicit formula for the denominators of the Todd polynomials, which was proved later in his joint work with Atiyah. We present a new formula for the Todd polynomials in terms of the “forgotten symmetric functions,” which follows from our previous work on complex cobordisms. In particular, this leads to a simpler proof o...

We relate the theory of moduli spaces $\overline{\mathcal{M}}_{0,\mathcal{A}}$ of stable weighted curves of genus $0$ to the equivariant topology of complex Grassmann manifolds $G_{n,2}$, with the canonical action of the compact torus $T^n$. We prove that all spaces $\overline{\mathcal{M}}_{0,\mathcal{A}}$ can be isomorphically or up to birational...

This paper provides a brief introduction of the mathematical theory behind the time series unfolding method. The algorithms presented serve as a valuable mathematical and analytical tool for analyzing data collected from brain-computer interfaces. In our study, we implement a mathematical model based on polyharmonic signals to interpret the data fr...

На основе явного решения задачи дифференцирования гиперэллиптических функций по параметрам в работе получены явные формулы для символов Кристоффеля связности Гаусса-Манина в универсальном расслоении гиперэллиптических кривых и как следствие решение задачи дифференцирования гиперэллиптических функций по периодам.

В 1956 г. Ф. Хирцебрух нашел явную формулу для знаменателей многочленов Тодда, которая была позже доказана в его совместной работе с М. Атьей. В настоящей работе представлена новая формула для многочленов Тодда в терминах "забытых" симметрических функций, которая следует из предыдущих работ авторов по комплексным кобордизмам. В частности, это приво...

The hexagonal lattice and its dual, the triangular lattice, serve as powerful models for comprehending the atomic and ring connectivity, respectively, in \textit{graphene} and \textit{carbon $(p,q)$--nanotubes}. The chemical and physical attributes of these two carbon allotropes are closely linked to the average number of closed paths of different...

We describe the cohomological structure of the sequence of Heisenberg nilmanifolds MH2n-1→MH2n+1\documentclass[12pt]{minimal} \usepackage{amsmath} \usepackage{wasysym} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsbsy} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{upgreek} \setlength{\oddsidemargin}{-69pt} \begin{document}$${M}_{H}^{2n-1}\to {M}_{H...

Развита теория триградуированной спектральной последовательности Бухштабера $\operatorname{Bss}$ для градуированных алгебр Хопфа. Показано, что ее дифференциалы задают возрастающую исчерпывающую фильтрацию как новую структуру в когомологиях этих алгебр. Для ряда известных алгебр Хопфа введенная структура описана в явном виде. На тензорной алгебре $...

Статья посвящена 70-летнему юбилею Асхабова Султана Нажмудиновича, доктора физико-математических наук, профессора Чеченского государственного университета имени А.А. Кадырова, известного специалиста в области нелинейных интегральных, интегродифференциальных и дискретных уравнений. Ключевые слова: дискретные, интегральные и интегро-дифференциальные...

The complex Grassmann manifolds $G_{n,k}$ appear as one of the fundamental objects in developing an interaction between algebraic geometry and algebraic topology. The case $k=2$ is of special interest on its own as the manifolds $G_{n,2}$ have several remarkable properties which distinguish them from the $G_{n,k}$ for $k>2$. In our paper we obtain...

We survey recent achievements in the theory of the canonical action of the compact torus on the complex Grassmann manifolds. The fundamental problem of this theory is to describe the equivariant topology of Grassmann manifolds and combinatorial structure of their orbit spaces. We introduce new notions that we use to solve this problem and give a se...

This paper begins with a review of the well-known KdV hierarchy, the $N$-th Novikov equation, and its finite hierarchy in the classical commutative case. This finite hierarchy consists of $N$ compatible integrable polynomial dynamical systems in $\mathbb{C}^{2N}$. We discuss a non-commutative version of the $N$-th Novikov hierarchy defined on the f...

В статье изучаются башни расслоений $M^{n+1}\to M^{n}\to …\to S^1$, $\geqslant 1$, со слоем $S^1$, где $M^n = L^n/\Gamma^n$ - компактные гладкие нильмногообразия и $L^n\thickapprox \mathbb{R}^n$ - группа полиномиальных преобразований прямой $\mathbb{R}^1$. В центре внимания известная задача вычисления колец когомологий с рациональными коэффициентам...

Комплексные многообразия Грассмана $G_{n,k}$ являются фундаментальными объектами в развитии взаимосвязей алгебраической геометрии и алгебраической топологии. Случай $k=2$ выделяется особо, так как многообразия $G_{n,2}$ обладают несколькими замечательными свойствами, отличающими их от многообразий с $k>2$. Эта статья посвящена результатам, существе...

В работе дано явное решение известной задачи дифференцирования гиперэллиптических функций по параметрам соответствующей гиперэллиптической кривой. Библиография: 24 названий.

В работе построена дифференциально-алгебраическая теория динамической системы Мамфорда. Введена $(P,Q)$-рекурсия, которая по данной функции $P_1$ и любой последовательности параметров $h_1,h_2,…$ определяет последовательность функций $P_1,P_2,…$. Показано, что общее решение $(P,Q)$-рекурсии дает решение параметрической градуированной иерархии Корте...

We analyse the numbers of closed paths of length $k\in\mathbb{N}$ on two important regular lattices: the hexagonal lattice (also called $\textit{graphene}$ in chemistry) and its dual triangular lattice. These numbers form a moment sequence of specific random variables connected to the distance of a position of a planar random flight (in three steps...

In this paper, we describe a relation between the notion of graphicahedron, introduced by Araujo-Pardo, Del Río-Francos, López-Dudet, Oliveros, and Schulte in 2010 and toric topology of manifolds of sparse isospectral Hermitian matrices. More precisely, we recall the notion of a cluster-permutohedron, a certain finite poset defined for a simple gra...

A complete classification of finitely generated involutive commutative two-valued groups is obtained. Three series of such two-valued groups are constructed: principal, unipotent and special, and it is shown that any finitely generated involutive commutative two-valued group is isomorphic to a two-valued group belonging to one of these series. A nu...

In this paper, we introduce the notion of cyclic Frobenius algebras (CF-algebras). Canonical structures of CF-algebras exist on associative and Poisson algebras. It turns out that the modern theory of integrable systems yields non-trivial examples of CF-algebras. In the theory of the KdV hierarchy there is a structure of CF-algebra which leads to e...

A complete classification of finitely generated involutive commutative two-valued groups is obtained. Three series of such two-valued groups are constructed: a principal series, a unipotent series, and a special series; it is shown that any finitely generated involutive commutative two-valued group is isomorphic to a two-valued group in one of thes...

We express the topological characteristics of the theta divisors and their intersections in terms of the combinatorics of permutohedra. In particular, we show that two-parameter Todd genus of theta divisor $\Theta^n$ coincides with $h$-polynomial of the corresponding permutohedron. As an application we find all the Hodge numbers of the theta diviso...

Изучается пространство орбит $X_n = G_{n,2}/T^n$ стандартного действия компактного тора $T^n$ на комплексном многообразии Грассмана $G_{n,2}$. Описана структура множества критических точек $\operatorname {Crit}G_{n,2}$ обобщенного отображения моментов $\mu _n: G_{n,2}\to \mathbb {R}^n$, образом которого является гиперсимплекс $\Delta _{n,2}$. Канон...

In this paper we define the parametric Korteweg-de Vries hierarchy that depends on an infinite set of graded parameters $a = (a_4,a_6,\dots)$. We show that, for any genus $g$, the Klein hyperelliptic function $\wp_{1,1}(t,\lambda)$ defined on the basis of the multidimensional sigma function $\sigma(t, \lambda)$, where $t = (t_1, t_3,\dots, t_{2g-1}...

Получена полная классификация конечно порожденных инволютивных коммутативных двузначных групп. Построены три серии таких двузначных групп: основная, унипотентная и специальная - и показано, что любая конечно порожденная инволютивная коммутативная двузначная группа изоморфна двузначной группе, принадлежащей одной из этих серий. Получен ряд классифик...

В работе определена параметрическая иерархия Кортевега-де Фриза, зависящая от бесконечного набора градуированных параметров $a = (a_4,a_6,…)$. Показано, что для любого рода $g$ гиперэллиптическая функция Клейна $\wp_{1,1}(t,\lambda)$, определенная на основе многомерной сигмa-функции $\sigma(t, \lambda)$, где $t = (t_1, t_3,…, t_{2g-1})$, $\lambda =...

In this paper we describe a relation between the notion of graphicahedron, introduced by Araujo-Pardoa, Del R\'{\i}o-Francosa, L\'{o}pez-Dudeta, Oliverosa, and Schulte in 2010, and toric topology of manifolds of sparse isospectral Hermitian matrices. More precisely, we recall the notion of a cluster-permutohedron, a certain poset defined for a simp...

The paper is devoted to biography and scientific achievements of professor Victor Nikolaevich Latyshev

The paper is devoted to professor Victor Nikolaevich Latyshev

The paper is devoted to biography of professor Latyshev

Описаны представления групп $G_I$, $G_II$, $G_III$, $G_IV$, характеризующих симметрии пространства решений специального дважды конфлюентного уравнения Гойна. Введены категории групп, коммутант которых изоморфен группе целых чисел, и описан алгоритм категорной характеризации таких групп. Дана реализация этого алгоритма для групп $G_I,…,G_IV$. Библио...

The paper begins with a review of the well known Novikov's equations and corresponding finite KdV hierarchies. For a positive integer $N$ we give an explicit description of the $N$-th Novikov's equation and its first integrals. Its finite KdV hierarchy consists of $N$ compatible integrable polynomial dynamical systems in $\mathbb{C}^{2N}$. Then we...

Обзор посвящен интегрируемым полиномиальным гамильтоновым системам, ассоциированным с симметрическими степенями плоских алгебраических кривых. В центре внимания открытые авторами связи систем Штеккеля, уравнений Новикова для $g$-й стационарной иерархии Кортевега-де Фриза и координат Дубровина-Новикова на универсальном расслоении якобианов гиперэлли...

В работе В. М. Бухштабера и Д. В. Лейкина, опубликованной в 2004 г. в журнале «Функциональный анализ и его приложения», для каждого $g>0$ была построена система из $2g$ многомерных уравнений теплопроводности в неголономном репере. Сигма-функция универсальной гиперэллиптической кривой рода $g$ является решением этой системы. В нашей предыдущей работ...

In a 2004 paper by V. M. Buchstaber and D. V. Leykin, published in ``Functional Analysis and Its Applications,'' for each $g > 0$, a system of $2g$ multidimensional heat equations in a nonholonomic frame was constructed. The sigma function of the universal hyperelliptic curve of genus $g$ is a solution of this system. In the work arXiv:2007.08966 e...

The article is devoted to the classical problems about the relationships between elliptic functions and hyperelliptic functions of genus 2. It contains new results, as well as a derivation from them of well-known results on these issues. Our research was motivated by applications to the theory of equations and dynamical systems integrable in hypere...

Матрицей-стрелкой называется матрица с нулями вне главной диагонали, первой строки и первого столбца. В работе исследуется пространство $M_{\operatorname{St}_n,\lambda}$ всех эрмитовых матриц-стрелок размера $(n+1)\times (n+1)$, имеющих заданный простой спектр $\lambda$. Доказано, что это пространство - гладкое $2n$-мерное многообразие с локально с...

The focus of our paper is on the complex Grassmann manifolds $G_{n,2}$ which appear as one of the fundamental objects in developing the interaction between algebraic geometry and algebraic topology. In his well-known paper Kapranov has proved that the Deligne-Mumford compactification $\overline{\mathcal{M}}(0,n)$ of $n$-pointed curves of genus zero...

After Curl, Kroto and Smalley were awarded 1996 the Nobel Prize in chemistry, fullerenes have been subject of much research. One part of that research is the prediction of a fullerene’s stability using topological descriptors. It was mainly done by considering the distribution of the twelve pentagonal facets on its surface, calculations mostly were...

The article considers the scientific heritage of V. A. Rokhlin in algebraic topology from the point of view of the modern development of mathematics and shows the influence of his results on the development of algebraic topology up to the present. The second part of the article contains new results with fairly detailed sketches of their proofs. The...

In 1896 Frobenius and Fricke published two seemingly unrelated papers: Frobenius started to develop his theory of k k -characters for finite groups motivated by Dedekind’s question about factorisation of the group determinant, while Fricke followed Klein’s approach to the uniformization theorem. We show that in fact these two works can be naturally...

Yang–Baxter maps (YB maps) are set-theoretical solutions to the quantum Yang–Baxter equation. For a set X = Ω × V , where V is a vector space and Ω is regarded as a space of parameters, a linear parametric YB map is a YB map Y : X × X → X × X such that Y is linear with respect to V and one has πY = π for the projection π : X × X → Ω × Ω. These cond...

В работе В. М. Бухштабера и Д. В. Лейкина, опубликованной в 2004 г. в журнале «Функциональный анализ и его приложения», для каждого $g > 0$ определена система из $2g$ многомерных уравнений Шрeдингера в магнитных полях с квадратичными потенциалами. Такие системы эквивалентны системам уравнений теплопроводности в неголономном репере. Доказано, что та...

The problem of the description of the orbit space $X_{n} = G_{n,2}/T^n$ for the standard action of the torus $T^n$ on a complex Grassmann manifold $G_{n,2}$ is widely known and it appears in diversity of mathematical questions. A point $x\in X_{n}$ is said to be a critical point if the stabilizer of its corresponding orbit is nontrivial. In this pa...

Yang--Baxter maps (YB maps) are set-theoretical solutions to the quantum Yang--Baxter equation. For a set $X=\Omega\times V$, where $V$ is a vector space and $\Omega$ is regarded as a space of parameters, a linear parametric YB map is a YB map $Y\colon X\times X\to X\times X$ such that $Y$ is linear with respect to $V$ and one has $\pi Y=\pi$ for t...

Исследуются свойства пространства $\boldsymbol{\Omega}$ решений специального дважды конфлюэнтного уравнения Гойна, тесно связанного с моделью сильношунтированного перехода Джозефсона. Описаны операторы, действующие на $\boldsymbol{\Omega}$, и соотношения в порожденной ими алгебре $\mathcal A$ над полем вещественных чисел. Структура алгебры $\mathca...

In the work by V. M. Buchstaber and D. V. Leikin for any $g > 0$ is defined a system of $2g$ multidimensional Schr\"odinger equations in magnetic fields with quadratic potentials. This systems are equivalent to systems of heat equations in nonholonomic frame. It is proved that such a system determines the sigma function of the universal hyperellipt...

We show that the smooth theta divisors of general principally polarised abelian varieties can be chosen as irreducible algebraic representatives of the coefficients of the Chern-Dold character in complex cobordisms and describe the action of the Landweber-Novikov operations on them. We introduce a quantisation of the complex cobordism theory with t...

Построены алгебры Ли систем из $2g$ градуированных операторов теплопроводности $Q_0,Q_2,…,Q_{4g-2}$, определяющих сигма-функции $\sigma(z,\lambda)$ гиперэллитических кривых рода $g=1,2$ и $3$. В качестве следствия получено, что системы из трех операторов $Q_0$, $Q_2$ и $Q_4$ уже достаточно, чтобы определить сигма-функции. Оператор $Q_0$ является оп...

This survey is devoted to the classical and modern problems related to the entire function ${\sigma({\bf u};\lambda)}$, defined by a family of nonsingular algebraic curves of genus $2$, where ${\bf u} = (u_1,u_3)$ and $\lambda = (\lambda_4, \lambda_6,\lambda_8,\lambda_{10})$. It is an analogue of the Weierstrass sigma function $\sigma(u;g_2,g_3)$ o...