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Rudolf Taschner

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TU Wien | TU Wien · Institute of Analysis and Scientific Computing

Doctor of Philosophy

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Introduction
Skills and Expertise

Publications

Publications (80)
Chapter
Ein Verfahren f, das bei einem mit u symbolisierten Input einen mit v bezeichneten Output liefert, nennen wir eine Zuordnung, die jedenfalls für den Input u definiert ist. Seit Leibniz wird die Tatsache, dass dem Input oder dem Eingangswert u durch das Verfahren f der Output oder der Ausgangswert v zugeordnet wird, mit f(u)=v symbolisiert.
Chapter
Die Zahlen 1, 2, 3,... „hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk.“ Kronecker hat völlig recht: Nichts lässt sich einfacher und elementarer denken als das Konzept der Zahlen.
Chapter
Bisher wurde nur von „Punkten“ gesprochen, die reelle Größen sind, also von Punkten auf der eindimensionalen Skala. Tatsächlich ist der Begriff des Punktes viel weiter gefasst: Punkte müssen nicht unbedingt auf einer eindimensionalen Geraden verortet sein. So befinden sich in einer Zeichnung Punkte auf der zweidimensionalen Zeichenebene. Und mit un...
Chapter
Im ganzen folgenden Kapitel bezeichnen I ein offenes Intervall des Kontinuums und X eine diskrete und im Intervall I dichte Menge reeller Größen. Ziel dieses Abschnittes ist, den Begriff des Integrals so zu fassen, wie ihn Bernhard Riemann und Thomas Jean Stieltjes geprägt haben.
Book
Konstruktive Analysis wird in diesem Buch mit anschaulichen Graphiken und bestechenden Beispielen so vorgestellt, dass sie bereits mit elementaren Schulkenntnissen als Voraussetzung verstanden wird. Sie stellt eine höchst attraktive Alternative zur konventionellen, auf den willkürlich gesetzten Axiomen der Mengentheorie fußenden formalen Mathematik...
Chapter
Kaum eine andere naturwissenschaftliche Theorie hat so spektakuläre und nachhaltige Erfolge vorzuweisen wie die Quantentheorie, die uns mitteilt, was die stoffliche »Welt im Innersten zusammenhält«. Bis heute ließ kein einziges physikalisches Experiment leiseste Zweifel an der Gültigkeit dieser fundamentalen Theorie aufkommen – und dies will viel b...
Chapter
Erklingt eine der Kompositionen Mozarts, Haydns, Beethovens, Schuberts oder Johann Sebastian Bachs, sind wir von der Tiefe des musikalischen Ausdrucks, den genialen Einfällen, den kunstvollen Verarbeitungen hingerissen. Verändert man nur eine Note, hören wir den Misston; lässt man nur eine Phrase aus, bricht das Werk in sich zusammen. Es ist dem ra...
Chapter
Nichts wird geheimnisvoller empfunden als die Zeit. Wir schauen auf eine vergilbte Photographie unserer Groß- oder Urgroßeltern: Wohin sind das Lächeln der Gesichter, der scheue, erwartungsvolle Blick in die Kamera, das unbeholfen ausgedrückte Verlangen nach Zuneigung entschwunden? Wir blicken einem lächelnden, die Arme nach uns ausstreckenden Klei...
Chapter
L’homme n’est qu’un roseau, le plus faible de la nature, mais c’est un roseau pensant. Nur ein Schilfhalm, das Zerbrechlichste in der Welt, ist der Mensch, aber ein Schilfhalm, der denkt. Das Universum hat es nicht nötig, sich zu wappnen, um ihn zu vernichten: ein Windhauch, ein Wassertropfen genügen, ihn zu töten. Aber selbst wenn das Universum ih...
Chapter
»Warum sind die Berge blau?« soll Giordano Bruno als kleiner Bub seinen Vater bei einem Ausflug gefragt und von diesem die Antwort erhalten haben: dies käme daher, weil sie so weit weg sind. Der tiefe Eindruck von den Weiten des Raumes hat Giordano Bruno nie verlassen. Er war so prägend, dass Bruno ihn in seiner ganzen Wucht zu spüren und zu verkün...
Chapter
Zu den wichtigsten Ereignissen in bundesweiten Wahlkämpfen zählen die sogenannten »Elefanten-Runden«. In ihnen debattieren die Spitzenkandidaten der wichtigsten konkurrierenden Parteien untereinander und mit Journalisten vor den Fernsehkameras. Man ahnt kaum, welch dominierende Rolle Zahlen in diesen Konfrontationen spielen: Bei einer vor einigen J...
Chapter
»Ein Maulheld!« So beschimpfte René Descartes seinen Zeitgenossen Pierre de Fermat. Doch der machte sich nichts daraus. Denn er wusste, dass er Descartes, so wie vielen anderen auch, an Scharfsinn und Ideenreichtum überlegen war. Descartes hatte das Koordinatensystem erfunden, um die Punkte des Raumes, ja sogar Kurven und Flächen mit Zahlen fassen...
Chapter
Kein Denker war von der Kraft der Logik mehr überzeugt als Gottfried Wilhelm Leibniz und kein anderer Gelehrter war je so universell gebildet wie er. Leibniz zählt zu den Philosophen wie zu den Historikern, zu den Theologen wie zu den Sprachwissenschaftlern, zu den Biologen wie zu den Geologen, zu den Mathematikern wie zu den Logikern, zu den Juris...
Chapter
»Onkel Ludwig, komm in den Salon, der Tee kocht schon!« Wittgensteins Neffe ruft seinen berühmten Onkel herbei, der von Cambridge zu Besuch nach Wien gekommen war, der aber herrscht ihn barsch an: »Der Tee kocht nicht! Das Teewasser kocht.« Diese Szene der heftigen Zurechtweisung prägte sich im Gedächtnis von Wittgensteins Neffen unauslöschlich ein...
Chapter
Niemand weiß, wie Pythagoras von Samos auf den Gedanken verfiel, alles, der gesamte Kosmos, uns selbst mit eingeschlossen, wäre Zahl. Die spärlichen historischen Indizien veranlassen bloß zu vagen Vermutungen: Eine knappe Generation vor Pythagoras, knapp 600 Jahre vor Beginn der christlichen Ära, lebte Thales von Milet, und es ist nicht ausgeschlos...
Book
Wie sehr Zahlen die vielfältigen Aspekte des Daseins durchdringen, ist wenig bekannt, und kaum jemand scheint bisher ermessen zu haben, wie unfassbar weit der Zahlen lange Schatten reichen. Das Buch spürt diesen Schatten nach und gelangt unversehens zu überraschenden Einsichten. Nicht was die Zahlen sind, wird hier erzählt, sondern was sie bedeuten...
Article
Integration within constructive, especially intuitionistic mathematics in the sense of L. E. J. Brouwer, slightly differs from formal integration theories: Some classical results, especially Lebesgue's dominated convergence theorem, have tobe substituted by appropriate alternatives. Although there exist sophisticated, but rather laborious proposals...
Chapter
Kaum eine andere naturwissenschaftliche Theorie hat so spektakuläre und nachhaltige Erfolge vorzuweisen wie die Quantentheorie, die uns mitteilt, was die stoffliche »Welt im Innersten zusammenhält«. Bis heute ließ kein einziges physikalisches Experiment leiseste Zweifel an der Gültigkeit dieser fundamentalen Theorie aufkommen — und dies will viel b...
Chapter
Kein Denker war von der Kraft der Logik mehr überzeugt als Gottfried Wilhelm Leibniz und kein anderer Gelehrter war je so universell gebildet wie er. Leibniz zählt zu den Philosophen wie zu den Historikern, zu den Theologen wie zu den Sprachwissenschaftlern, zu den Biologen wie zu den Geologen, zu den Mathematikern wie zu den Logikern, zu den Juris...
Chapter
Erklingt eine der Kompositionen Mozarts, Haydns, Beethovens, Schuberts oder Johann Sebastian Bachs, sind wir von der Tiefe des musikalischen Ausdrucks, den genialen Einfällen, den kunstvollen Verarbeitungen hingerissen. Verändert man nur eine Note, hören wir den Misston; lässt man nur eine Phrase aus, bricht das Werk in sich zusammen. Es ist dem ra...
Chapter
Blaise Pascal notierte diese Worte im Bewusstsein der Erbärmlichkeit menschlicher Existenz, ausgeliefert einer kalten, seelenlosen Welt, preisgegeben dem Verfall. Und er findet im Menschen Größe und Elend zugleich: »Der Mensch weiß, dass er hinfällig ist: Also ist er hinfällig, da er es ist. Groß aber ist er, weil er es weiß.«
Chapter
Nichts wird geheimnisvoller empfunden als die Zeit. Wir schauen auf eine vergilbte Photographie unserer Groß- oder Urgroßeltern: Wohin sind das Lächeln der Gesichter, der scheue, erwartungsvolle Blick in die Kamera, das unbeholfen ausgedrückte Verlangen nach Zuneigung entschwunden? Wir blicken einem lächelnden, die Arme nach uns ausstreckenden Klei...
Chapter
Niemand weiß, wie Pythagoras von Samos auf den Gedanken verfiel, alles, der gesamte Kosmos, uns selbst mit eingeschlossen, wäre Zahl. Die spärlichen historischen Indizien veranlassen bloß zu vagen Vermutungen: Eine knappe Generation vor Pythagoras, knapp 600 Jahre vor Beginn der christlichen Ära, lebte Thales von Milet, und es ist nicht ausgeschlos...
Chapter
»Warum sind die Berge blau?« soll Giordano Bruno als kleiner Bub seinen Vater bei einem Ausflug gefragt und von diesem die Antwort erhalten haben: dies käme daher, weil sie so weit weg sind. Der tiefe Eindruck von den Weiten des Raumes hat Giordano Bruno nie verlassen. Er war so prägend, dass Bruno ihn in seiner ganzen Wucht zu spüren und zu verkün...
Chapter
Zu den wichtigsten Ereignissen in bundesweiten Wahlkämpfen zählen die so-genannten »Elefanten-Runden«. In ihnen debattieren die Spitzenkandidaten der wichtigsten konkurrierenden Parteien untereinander und mit Journalisten vor den Fernsehkameras. Man ahnt kaum, welch dominierende Rolle Zahlen in diesen Konfrontationen spielen: Bei einer vor einigen...
Chapter
It will come as no surprise to the reader to note that the title “The Continuum” refers to Hermann Weyl’s renounced book on the continuum, and in fact: the author of this book, though light-years away from the mathematical and philosophical capabilities of Weyl, shares his scepticism about the foundation of analysis in the sense of Georg Cantor and...
Chapter
A procedure f that, given x as input, calculates y as output, is called an assignment that is defined at x and that appoints the value y to the argument x with the notation $$f\left( x \right) = y.$$ We say that the assignment f is defined on a set U, if 1. f is defined at all elements of U, and 2. only elements of U are allowed to be arguments of...
Chapter
A system S of objects x, y, z,... that are called points is a metric space if and only if it is possible to construct out of any pair x, y of two points a real number ‖x - y‖that is called the metric or the distance of these points x and y. The notation ‖x - y‖ obviously generalizes the absolute difference |α - β| of two real numbers α, β. Neverthe...
Chapter
“The whole numbers are created by God, and everything else is the work of man.” Kronecker is right indeed: nothing is more fundamental than the concept of the numbers 1, 2, 3,..., n, n + 1,.... Very simple constructions, for instance formal differences n - m, uniquely determined by setting $$n - m\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} k \\ 0 \\ { - l} \\...
Article
In this small text the basic theory of the continuum, including the elements of metric space theory and continuity is developed within the system of intuitionistic mathematics in the sense of L.E.J. Brouwer and H. Weyl. The main features are proofs of the famous theorems of Brouwer concerning the continuity of all functions that are defined on "who...
Article
It was the late Paul Lorenzen who rediscovered the ancient Socratic method of putting forward arguments and proofs by dialogues, and who applied it to definitions and theorems of mathematics. In the light generated by such dialogues the differences between the fundamental assumptions of classical mathematics, of recursive constructivism, of Bishop’...
Chapter
Wie bei Pythagoras wissen wir auch wenig über die Lebensgeschichte des Euklid zu berichten. Möglicherweise lebte er um 300 v. Chr. in Athen und wurde danach von einem der Ptolemäer, die damals als Diadochen Alexanders des Großen Ägypten beherrschten, nach Alexandria berufen. Dort lehrte er am »Museion«, der mit zwei großen Bibliotheken ausgestattet...
Chapter
Legenden ranken sich um das Leben des Pythagoras. Man sagt, er sei auf der griechischen Insel Samos, nur wenig mehr als zwei Kilometer westlich vom Festland Kleinasiens gelegen, um 570 v. Chr. geboren. Aus Protest gegen die politischen Verhältnisse in seiner Heimat verließ er diese. Er bereiste Kleinasien, Phönizien, Ägypten, Mesopotamien, lernte v...
Chapter
Das Leben des Georg Cantor verlief tragisch. Dabei hatte es so verheißungsvoll begonnen: Cantor wurde am 3. März 1845 als Sohn eines reichen Kaufmanns dänischer Herkunft in St. Petersburg geboren. Mit elf Jahren ließ er sich zusammen mit seinen Eltern in Frankfurt nieder. Der Vater förderte die Ausbildung des jungen Georg Cantor und legte ihm nahe,...
Article
In the English edition, the chapter on the Geometry of Numbers has been enlarged to include the important findings of H. Lenstraj furthermore, tried and tested examples and exercises have been included. The translator, Prof. Charles Thomas, has solved the difficult problem of the German text into English in an admirable way. He deserves transferrin...
Chapter
The congruences introduced by Gauss in his “Disquitiones Arithmeticae” endowed the set ℤ of all integers with an infinite multiplicity of finite abelian groups, the prime groups of residues modulo a coprime integer. Whereas the investigations of the two previous chapters have been valid for asymptotic calculations for number theoretic functions ove...
Chapter
In this section we present an algorithm, which has several applications in number theory.
Chapter
Whereas in the previous chapter we presented asymptotic calculations for several number theoretic functions, in this chapter we consider essentially the asymptotic description of a single number theoretic function, namely the function π(n), which counts all prime numbers 15 between 1 and n, or extended to ℝ: $$\pi(x)=\sum\limits_{p\leq x}1.
Chapter
So far multidimensional diophantine approximation has concerned only points of the number spaces ℝN or ℤN . If, making use of the language of geometry, one passes from number spaces to vector spaces, the concept of an integer in the one-dimensional case and that of an integral N-tuple in ℝN generalises to the natural concept of a lattice. If N line...
Chapter
By the Dirichlet approximation theorem, for each real number α and each natural number N there exists an integer p and a natural number n ≤ N with ∣αn − p∣ < 1/N. If instead of the real number α and the real line ℝ one considers only the fractional part α − [α] = {α} and the half-open interval [0,1[, i.e. one identifies two real numbers if they dif...
Chapter
“The integers are the source of all mathematics.” Hermann Minkowski prefaced his book on diophantine approximation with this sentence and justifiably — the natural numbers 1,2,3 … are the only data which the mathematician knows he has to hand. His lack of control over the real numbers, that is points on the continuous real line is already plain fro...
Chapter
Until now the approximation of individual real numbers has been studied with the help of integers, and for this the methods of Analysis and Geometry have been seen to be helpful. From now on the reverse problem will be attacked: number theoretic functions, the calculation of which for large values is severely limited because of the irregularity of...
Article
A metric theorem onC-uniform distribution will be proved and some applications will be mentioned, e. g. theC-uniform distribution for (in a certain sense) almost all continuously differentiable functions.
Article
Let ω(n) be a real-valued sequence, and let us assume that for all positive integers g the difference-sequences Δgω(n) = ω(n + g) - ω(n) are uniformly distributed modulo 1, then ω(n) itself is uniformly distributed modulo 1. This is van der Corput’s difference theorem or theso-called main theorem in the theory of uniform distribution. In this paper...
Article
The tool of van der Corput's difference theorem in the theory of uniform distribution is his so-called fundamental inequality.Kemperman showed that even the non-constructive proofs of the difference theorem byBass, Bertrandias andCigler implicitly use a more general form of van der Corput's fundamental inequality. In this article, the inequality wh...
Article
In this paper a criterion forC-uniformly distributed differentiable functions is given by using uniformly distributed double sequences. This criterion allows to find lower bounds of theC-discrepancy of differentiable functions.
Article
It is the aim of this paper to introduce two new notions of discrepancy. They are defined by the formulas $$\begin{gathered} \Delta _N^r \left( {\omega ;f} \right) = \mathop {\sup }\limits_{\left| z \right| = r} \left| {\left( {{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 N}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} N}} \right)\sum\limits_{n = 1}^N {f\left( {z e^2 \...

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