Roger Nelsen

Lewis & Clark College · Department of Mathematical Sciences

We show visually that certain pairs of consecutive subsets of consecutive odd numbers have equal sums.

We present some visual arguments for various Pell and Pell-Lucas number identities.

We illustrate an identity for the sum of two arctangents of ratios of Fibonacci numbers.

We give rectangular tiling proofs for sum-product identities are recurrences involving the Padovan and Perrin numbers, closely related third order recursively-defined integer sequences.

We use plane tilings with golden rectangles to derive arctangent identities.

We compute the area of a square in two different ways to show that infinitely many pairs of consecutive powerful numbers exist.

We prove two lemmas visually to establish Nesbitt’s inequality.

Using rectangles partitioned into right triangles, we evaluate tan kπ24 for k=1,2,3,5,7,9,10, and 11.

We show that if the Pell equation x2−Ny2=1 has a solution in positive integers, then it has infinitely many.

We illustrate a Pythagorean-like theorem for the lengths of the two legs, the hypotenuse, and the altitude to the hypotenuse in a right triangle.

We use integral calculus to establish the inequality that π is less than 2ϕ.

We discuss Milne’s inequality and apply it to the sides of a convex quadrilateral to derive an approximation to the area of the quadrilateral via arithmetic and harmonic means of pairs of opposite sides.

We use the arctangent function and Pythagorean triples to derive expressions for π4.

We present elementary proofs of the inequalities of Huygens, Cusa, and Wilker, using visual proofs of several simpler inequalities and integral calculus. [Mismatch]

We show visually that the square of a prime greater than or equal to 5 is congruent to 1 modulo 24.

We present a visual proof of an inequality known as Titu’s lemma or Sedrakayan’s inequality.

We interpret the terms of Maclaurin’s inequality for three nonnegative numbers as the volume, total face area, and total side length of a rectangular box and provide a visual proof of the inequality.

We evaluate some nested square roots by computing the area of a square in two ways.

We wordlessly prove using the Pythagorean theorem.

We study a three-urn version of the Ehrenfest model. This model can be viewed as a simple random walk on the graph represented by , the -fold direct product of the cyclic group of order 3, where is the total number of balls distributed in the three urns. We build an electric network by placing a unit resistance on each edge of the graph. We then ap...

We partition triangular numbers to show wordlessly that every even perfect number except 28 is congruent to 1 or 6 modulo 7.

We use a figure to relate the semiperimeter, inradius, and circumradius of a right triangle.

A maximum entropy copula is the copula associated with the joint distribution, with prescribed marginal distributions on [ 0 , 1 ] , which maximizes the Tsallis–Havrda–Chavát entropy with q = 2 . We find necessary and sufficient conditions for each maximum entropy copula to be a copula in the class introduced in Rodríguez-Lallena and Úbeda-Flores (...

We study some sequences of multi-polygonal numbers, specifically the square triangular, oblong triangular, pentagonal triangular, and pentagonal square numbers. To do so, we state and prove theorems that relate the factors of a given triangular number to a pair of larger triangular numbers with a triangular sum, and relate a triangular number that...

We show wordlessly that every even perfect number greater than six is one more than nine times a triangular number.

We show wordlessly that there are infinitely many nearly cubic Pythagorean boxes.

We illustrate wordlessly a one-to-one correspondence between square triangular numbers and almost isosceles Pythagorean triples.

Wordlessly, we show that there are infinitely many Pythagorean triples with consecutive integers as legs and infinitely many Pythagorean triples with consecutive triangular numbers as legs.

Using Ptolemy′s theorem and similar triangles, we prove the pentagon–hexagon–decagon identity, Proposition 10 in Book XIII of Euclid′s Elements.

We employ a square with area 5 to determine the golden ratio (without using the quadratic formula).

We wordlessly “prove” that 48 equals 47 and mention a ramification.

We show wordlessly that every even perfect number greater than six is a sum of consecutive odd cubes.

We wordlessly prove a theorem relating centered triangular numbers to the ordinary triangular numbers. © 2015, Mathematical Association of America. All rights reserved.

Sie rätseln gerne und haben ein Faible für Mathematik? Mit den Grafiken dieses Buches finden Sie einen eleganten Zugang zu ausgewählten mathematischen Kostbarkeiten. Die gesammelten Illustrationen sind nicht nur schön anzusehen, sie helfen auch beim Verstehen von Formeln und bebildern erstaunliche Zusammenhänge. Beweise ohne Worte animieren zum se...

In this paper we study some properties of multivariate lower and upper tail dependence coefficients, and analyze the relationship between pairwise tail independence, mutual tail independence, and extremal independence.

We show wordlessly that each triangular number except 1 and 6 is a sum of three triangular numbers.

Ein großer Floh hat kleine Flöhe, die beißen ihn hier und dort, Den kleinen tun noch kleinere wehe, und so geht es immer fort. Die großen Flöhe aber setzen noch größeren Flöhen zu – und selbst die rauben, zum Entsetzen, nächstgrößeren Flöhen die Ruh. (Augustus De Morgan, A Budget of Paradoxes, 1872) Ein Objekt heißt selbstähnlich, wenn es zu einer...

Das Auge ist der erste Kreis; der von ihm geformte Horizont der zweite; und überall in der Natur wiederholt sich diese grundlegende Figur. Es ist das höchste Symbol unter den Chiffren der Welt. (Ralph Waldo Emerson, Essays) Der Halbkreis spielte lange Zeit eine wichtige Rolle in der Architektur und der Kunst. Die Römer verwendeten halbkreisförmige...

…es heißt, die Kunst der Geometrie bestehe in der richtigen Begründung abgeleitet aus irreführenden Zeichnungen. (Jean Dieudonné, Mathematics – The Music of Reason) Der vermutlich bekannteste Satz der Mathematik ist der Satz des Pythagoras, Proposition 47 in Buch I der Elemente von Euklid (um 300 v. Chr.). Dort heißt es: Am rechtwinkligen Dreieck i...

Welcher Mathematiker hat nie über einer Hyperbel gebrütet und die unglückliche Kurve hier und dort mit Geraden schneiden lassen, in seinem Bemühen, irgendeine Eigenschaft zu beweisen …? (Lewis Carroll, The Dynamics of a Particle, 1865) Hyperbeln gehören zusammen mit den Kreisen, Ellipsen und Parabeln zu der Familie ebener Kurven, die als Kegelschni...

Viele der Aufgaben haben mehrere Lösungen, von denen wir hier immer nur eine zeigen. Die Leser seien jedoch dazu angehalten, nach weiteren Lösungen zu suchen.

Über der Wolke mit ihrem Schatten steht der Stern mit seinem Licht. (Pythagoras) Selbst ein kleiner Stern leuchtet in der Dunkelheit. (Finnisches Sprichwort) Vielecke in Form von Sternen haben die Menschen schon immer fasziniert. Seit der Antike waren sie Symbole in Mythologie und Religion, und sie spielen im Judaismus, Islam und Christentum eine b...

Ein Quadrat ist weder eine Linie noch ein Kreis; es ist zeitlos. Punkte jagen in einem Quadrat nicht umher. Fest und standhaft sitzt es da und kennt seinen Platz. Ein Kreis lässt sich nicht quadrieren. (Unbekannt) Die Schlüsselfiguren in den vorangegangenen Kapiteln bestanden meist aus einer geometrischen Figur, die in mehrere andere Figuren untert...

…so ist doch unter den gebildeteren Schichten bekannt, dass kein Kreis in Wirklichkeit ein Kreis ist, sondern nur ein Vieleck mit einer sehr großen Anzahl kleinster Seiten. Wenn die Zahl z. B. drei- oder vierhundert beträgt, so ist es selbst für die feinste Berührung äußerst schwierig, irgendeinen Vieleckswinkel zu spüren. (Edwin Abbott Abbott, Flä...

Arithmetik! Algebra! Geometrie! Großartige Dreieinigkeit! Strahlendes Dreieck! Wer Dich nicht kennt, hat keinen Verstand! (Comte de Lautréamont, 1846–1870) Unter einer Transversalen versteht man in der Geometrie eine Gerade oder Strecke, die eine geometrische Figur, beispielsweise ein Dreieck, schneidet. Verläuft die Transversale durch einen der Ec...

„…ich habe da etwas Wichtigeres. Etwas wirklich Bleibendes.“ „Und was ist es?“ „Vorsicht! Verwische meine Kreise nicht! Es ist eine Methode, die Oberfläche eines Kreisausschnitts zu errechnen.“ (Karel Čapek, Der Tod des Archimedes) Euklid widmete Buch IV seiner Elemente Aussagen, in denen es um Vielecke geht, die Kreisen ein- bzw. umbeschrieben wer...

Die Summe der Quadratwurzeln von je zwei Seiten eines gleichschenkligen Dreiecks ist gleich der Quadratwurzel der dritten Seite. (Die Vogelscheuche, Der Zauberer von Oz, 1939) Der Satz des Pythagoras ist vermutlich der bekannteste Satz der Geometrie (trotz seiner fehlerhaften Wiedergabe durch die Vogelscheuche) und auch die bekannteste Eigenschaft...

In der physikalischen Welt kann man die Abmessungen oder Menge einer Sache nicht vergrößern, ohne seine Eigenschaften zu ändern. Ähnliche Figuren gibt es nur in der reinen Geometrie. (Paul Valéry) Ähnliche Figuren gibt es nicht nur in der Geometrie, sondern überall. Unsere Schlüsselfigur für dieses Kapitel über ähnliche Figuren zeigt ein Paar ähnli...

Die Hsuan-Thu-Figur des Zhoubi suanjing zeigt den ältesten nachgewiesenen Beweis für den Satz des „Pythagoras“. (Frank J. Swetz und T. I. Kao, Was Pythagoras Chinese?) Das Zhoubi suanjing ( ), „arithmetischer Klassiker des Zhou-Gnomons“, ist ein chinesischer Text, der auf die Zhou-Dynastie zurückgeht (1046–256 v. Chr.). Obwohl es sich in erster Lin...

In der Mathematik scheint mein Geist außergewöhnlich klar und kraftvoll, was mir für die Zukunft eine beachtliche Hoffnung und Zuversicht verleiht. (James A. Garfield) Im Jahre 1876 erschien im New England Journal of Education (Band 3, Seite 161) ein neuer Beweis für den Satz des Pythagoras. Der Autor des Beweises war James Abram Garfield (1831–188...

Seine zwei Elemente vereinen sich und werden zum Konkreten. Auf diese Weise werden die Vielfalt der Dinge und der menschlichen Wesen geschaffen. In ihrer unaufhörlichen Abfolge bilden die beiden Elemente des Yin und Yang die großen Prinzipien dieses Universums. (Zhang Zai, 1020–1077) In der chinesischen Philosophie stehen Yin und Yang für die beide...

Jedes Genie sieht die Welt unter einem anderen Blickwinkel als seine Mitmenschen. (Havelock Ellis, 1858–1939) Auf die Schlüsselfigur dieses Kapitels – ein Winkel und ein kreisförmiger Bogen (oder auch ein Vollkreis) – stößt man überall in der Mathematik. Sie tritt in vielen Problemen auf: in mathematischen Sätzen, Konstruktionen, geometrischen Anwe...

Ein Kreis ist ein Abbild der Ewigkeit. Er hat keinen Anfang und kein Ende. (Maynard James Keenan) Das gesamte Universum beruht auf Rhythmen. Alles ereignet sich in Kreisen. (John Cowan Hartford) Dieses Kapitel ist den Eigenschaften von Kreispaaren in unterschiedlichen Anordnungen gewidmet: (a) getrennt, (b) sich berührend, (c) sich schneidend oder...

Unser Ziel muss es sein, uns aus diesem Gefängnis zu befreien, indem wir den Horizont unseres Mitgefühls erweitern, bis er alle lebenden Wesen und die gesamte Natur in all ihrer Schönheit umfasst. (Albert Einstein) Im Jahre 1880 führte John Venn (1834–1923) in seinem Artikel On the Diagrammatic and Mechanical Representation of Propositions and Reas...

Heller Herbstmond über den Tatamimatten, die Schatten der Kiefern. (Takarai Kikaku, 1661–1707) Tatami nennt man die Bodenmatten in traditionellen japanischen Häusern. Während der Muromachi-Zeit (1332–1573) bestand Tatami aus einen Kern aus Reisstroh (heute sind es meist Holzspäne oder Styropor) überdeckt mit geflochtener Binse. Tatamiböden sind im...

Un bon croquis vaut mieux qu’un long discours (Eine gute Skizze ist besser als eine lange Rede). (Napoleon Bonaparte) In Kap. 1 haben wir den Stuhl der Braut untersucht – ein rechtwinkliges Dreieck mit Quadraten über seinen Seiten. In diesem Kapitel betrachten wir eine ähnliche Figur – drei gleichseitige Dreiecke über den Seiten eines Dreiecks. Es...

Die Formen des Mathematiker müssen ebenso wie die der Maler oder Dichter schön sein. (G. H. Hardy, A Mathematician’s Apology) Zu den schönsten Formen, mit denen sich Mathematiker beschäftigen, gehören Parkettierungen. Eine ebene Parkettierung oder Kachelung ist eine Anordnung von geschlossenen Formen, die eine Ebene vollständig überdecken, ohne sic...

We prove wordlessly the Cauchy–Schwarz inequality (for n = 2) using a trapezoid partitioned into three right triangles.

We prove wordlessly the identity sec x + tan x = tan(π/4 + x/2).

A visual proof relating sums of every third triangular number to a single triangular number.

We prove wordlessly the arithmetic mean-geometric mean inequality for two positive numbers by an equivalent trigonometric inequality.

We determine the area of a regular dodecagon inscribed in a unit circle by dissecting it into twelve triangles that are reassembled into three squares.