Pierre Deligne

• Institute for Advanced Study

In his last letter to Crelle, Abel states a criterion for the solvability by radicals of an irreducible equation of prime degree. Sylow finds Abel’s statement ambiguous, and writes that it should be modified. We show the correctness of Abel’s original statement.

In what follows, I dwell on some major influences on my mathematical education. The account Luc Illusie gives of my work is much more systematic. I would like to begin by thanking him for it.

Résumé Soit G un groupe réductif sur un corps k de caractéristique p>0. Pour n un entier ⩾0 et q:=pn, notons G{n} le groupe réductif sur k déduit de G par l'extension des scalaires x⟼xq:k⟶k. Si k est parfait, cette définition garde un sens pour tout entier n. Nous montrons que, si k est parfait, il existe m>0 tel que les groupes algébriques G et G{...

We give a new proof, inspired by an argument of Atiyah, Bott and Patodi, of the first fundamental theorem of invariant theory for the orthosymplectic super group. We treat in a similar way the case of the periplectic super group. Lastly, the same method is used to explain the fact that Sergeev's super Pfaffian, an invariant for the special orthosym...

Let $G$ be a reductive group over a field $k$ which is algebraically closed of characteristic $p \neq 0$. We prove a structure theorem for a class of subgroup schemes of $G$, for $p$ bounded below by the Coxeter number of $G$. As applications, we derive semi-simplicity results, generalizing earlier results of Serre proven in 1998, and also obtain a...

Let $G$ be a reductive group over a field $k$ which is algebraically closed of characteristic $p \neq 0$. We prove a structure theorem for a class of subgroup schemes of $G$, for $p$ bounded below by the Coxeter number of $G$. As applications, we derive semi-simplicity results, generalizing earlier results of Serre proven in 1998, and also obtain a...

Let X0 be a projective non singular curve over Fq, S0 a finite set of closed points, and let (X, S) be obtained from (X0, S0) by extension of scalars to an algebraic closure of Fq. The relation between cuspidal automorphic representations (for GL(n)), and n-dimensional irreducible smooth Ql-sheaves on X0 - S0, shows that the number of isomorphism c...

Let X-1 be a curve of genus g, projective and smooth over F-q. Let S-1 subset of X-1 be a reduced divisor consisting of N-1 closed points of X-1. Let (X, S) be obtained from (X-1, S-1) by extension of scalars to an algebraic closure F of F-q. Fix a prime l not dividing q. The pullback by the Frobenius endomorphism Fr of X induces a permutation Fr*...

Soient G un schéma en groupes affine sur un corps k de caractéristique p≠0, et (V i ) une famille finie de représentations semi-simples de G. Nous montrons que si ∑(dimV i −1)<p, alors la représentation de G produit tensoriel des V i est encore semi-simple. Sous l’hypothèse additionnelle que G est lisse, ce théorème a été prouvé par J.-P. Serre en...

Sauf pour quelques corrections ajoutées en 2010, l’article reproduit des notes, envoyées à Nagata dans les années 70, qui étaient une traduction en langage des schémas de ses articles [2] et [3] Les démonstrations sont une version “constructive” de celles de Nagata. Rendre les démonstrations “constructives” a permis de les débarrasser de l’usage de...

The lectures which provided the source for these notes covered several different topics which are related to each other but which do not in any reasonable sense form a coherent whole. As a result, this text is a collection of four parts which refer to each other but otherwise are independent. In the first part we introduce the motivic homotopy cate...

The matricial Euler congruence modulo p n , previously announced in Arnold, Japanese J. Math. 1(1), 1–24, 2006 for A∈M N (ℤ), is given a proof based on extending it to the ring of Witt vectors of length n.

Soit X le demi-plan de Poincaré $$ X = \{ z \in \mathbb{C}|Im(z) > 0\} . $$ Le groupe SL(2, ℝ) agit sur X par transformations homographiques $$ z \mapsto \frac{{az + b}} {{cz + d}}. $$ Si Γ est un sous-groupe de SL(2, ℤ,) défini par des conditions de congruence, la surface de Riemann X/Γ est le complément d’un ensemble fini de points («à l’infini»)...

Cet exposé, qui ne prétend à aucune originalité, se veut complémentaire au rapport de Robert [13] sur Jacquet-Langlands [9]. On peut le diviser en deux parties d’esprit assez différent. Les paragraphes 0, 1 et 2 se veulent un pont, dans la théorie des formes modulaires, entre le point de vue classique et celui des représentations de GL(2). Le parag...

Les résultats essentiels de cet article sont les suivants. (A) On donne une démonstration simple du théorème de Langlands [9] (déjà prouvé au signe près par Dwork [6]) qui permet d’écrire la constante des équations fonctionnelles des fonctions L d’Artin (ou de Weil [19]) comme produit de constantes locales.

We determine the group of automorphisms generated, in the endomorphisms of the cohomology of an Abelian variety on a flnite fleld, by the Lefschetz operators and the complex multiplications.

Let Cr(k) = Autk(X; Y ) be the Cremona group of rank 2 over a eld k. We give a sharp multiplicative bound M(k) for the orders of the

Soient k un corps de caracteristique 0 et t dans k, supposen e pasetre un entier ≥0. Nous construisons une categorie tensorielle semi-simple Rep(St) qui "interpole" les categories des representations lineaires (sur k) des groupes symetriques Sn, n grand. En une valeur entiere ≥ 0d et, au moins deux categories tensorielles "specialisation" de Rep(St...

Sans rsum

One extends P. Deligne's notion of integrality over a finite field for a $\ell$-adic sheaf on a scheme of finite type over a local field with finite residue field. One shows that this integrality notion is preserved by $Rf_!$, as it is over a finite field after P. Deligne.

We define the category of mixed Tate motives over the ring of S-integers of a number field. We define the motivic fundamental group (made unipotent) of a unirational variety over a number field. We apply this to the study of the motivic fundamental group of the projective line punctured at zero, infinity and all Nth roots of unity.

Many of the striking similarities which occur for the adjoint representation of groups in the exceptional series (cf. [1], [2], [3]) also occur for certain representations of specific reductive subgroups. The tensor algebras on these representations are easier to describe (cf. [4], [5], [7]), and may offer clues to the original situation. The subgr...

We give a super mathematics analogue to the theorem that, over an algebraically closed field of characteristic zero, categories of representations of affine group schemes, with their associative, commutative and unital tensor product, are characterized by the property that for any object large enough exterior powers vanish. Exterior powers are repl...

We develop classical globally supersymmetric theories. As much as possible, we treat various dimensions and various amounts of supersymmetry in a uniform manner. We discuss theories both in components and in superspace. Throughout we emphasize geometric aspects. The beginning chapters give a general discussion about supersymmetric field theories; t...

We try to explain four fundamental ideas invented by Grothendieck: schemes, topos, the six operations and motives. Dans Recoltes et Semailles (troisieme partie), Grothendieckecrit :

We describe how to define by generators and relations an action of the braid group on a category. More generally, how to define a functor from a generalized positive braids monoid, corresponding to a finite Coxeter group, to a monoidal category. Applications to constructions of Bondal (exceptional systems) and of Broué–Michel (correspondences on fl...

Let S be a nonsingular complex algebraic variety and (Eqution presented) a polarized variation of Hodge structure of weight 2p with polarization form Q. Given an integer K, let be S(K)the space of pairs (s, u) with s ∈ S, (Eqution presented) integral of type (p, p), and Q(u, u) ≤ K. We show in Theorem 1.1 that S(K) is an algebraic variety, finite o...

Let S be a nonsingular complex algebraic variety and V a polarized variation of Hodge structure of weight 2p with polarization form Q. Given an integer K, let S(K) be the space of pairs (s, u) with s ∈ S, u ∈ Vs integral of type (p, p), and Q(u, u) ≤ K. We show in Theorem 1.1 that S(K) is an algebraic variety, finite over S. When V is the local sys...

Le présent article doit beaucoup à A. Grothendieck. Il a inventé la philosophie des motifs, qui est notre fil directeur. Il y a quelques cinq ans, il m’a aussi dit, avec force, que le complété profini \({\hat \pi _1}\) du groupe fondamental de X := P1(C) — {0,1, oo} , avec son action de Gal(\(\overline Q \)/ℚ) est un oject remarquable, et qu’il fau...

Soit S une variété algébrique complexe lisse (i.e. sans singularité) connexe et soit (Xs)s∈S une famille algébrique, paramétrisée par S, de variétés projectives lisses Xs ⊂ ℙN (₵).

The main result proved in these notes is that any Hodge cycle on an abelian variety (in characteristic zero) is an absolute Hodge cycle — see §2 for definitions and (2.11) for a precise statement of the result.

... j’ai fait quelques progrès quant à la relation de ton groupe de Taniyama T avec les motifs. Je m’intéresserai aux structures suivantes dont on dispose sur T.

In the first section it is shown how to introduce on an abstract category operations of tensor products and duals having properties similar to the familiar operations on the category Vec k of finite-dimensional vector spaces over a field k. What complicates this is the necessity of including enough constraints so that, whenever an obvious isomorphi...

Let X be a smooth projective variety over ℂ. Hodge conjectured that certain cohomology classes on X are algebraic. The work of Deligne that is described in the first article of this volume shows that, when X is an abelian variety, the classes considered by Hodge have many of the properties of algebraic classes.

The ring of finite adèles, ⊗ φ, of φ is denoted by IAf, and IA denotes the full ring of adèles IR. × IAf. For E a number field, IA Ef and IAE denote E ⊗φ IAf and E ⊗ IA. The group of idèles of E is IA xE, and the idèle class group is CE =IA Ef/Ex.

The ring of finite adèles, ⊗ φ, of φ is denoted by IAf, and IA denotes the full ring of adèles IR. × IAf. For E a number field, IA Ef and IAE denote E ⊗φ IAf and E ⊗ IA. The group of idèles of E is IA xE, and the idèle class group is CE =IA Ef/Ex.

Let X be a smooth projective variety over ℂ. Hodge conjectured that certain cohomology classes on X are algebraic. The work of Deligne that is described in the first article of this volume shows that, when X is an abelian variety, the classes considered by Hodge have many of the properties of algebraic classes.

Sans rsum

Sans rsum

Dans cet exposé, j’explique comment la formule des traces permet de calculer ou d’étudier diverses sommes trigonométriques et comment, jointe à la conjecture de Weil, elle peut permettre de les majorer.

Ce travail reprend 6 exposés donnéspar P. Deligne à Arcata en août 1974 (AMS Summer School on algebraic geometry), sous le titre: «Inputs of etale cohomology». Un 7 e exposé est devenu le «rapport sur la formule des traces», dans ce même volume. Le but des exposés était de donner les démonstrations des théorèmes fondamentaux en cohomologie étale, d...

Dans ce texte, j’ai tenté d’exposer de façon aussi directe que possible Ia théorie cohomologique de Grothendieck des fonctions L. Je suis de très près certains des exposés donnés par Grothendieck à l’IHES au printemps 1966. Dans l’esprit de ce volume, il ne sera pas fait appel à SGA5 — sauf deux références à des passages de l’exposé XV, indépendant...

Dans tout cet exposé, S sera un schéma noethérien at A un anneau noethérien à gauche, de torsion annulé par un entier inversible sur S, Notre résultat principal est le suivant.

On trouvera dans cet exposé quelques théorèmes et compatibilités, tous relatifs à la dualité de Poincaré. Au paragraphe 1, le théorème de bidualité locale en dimension 1 (SGA 5 I 5.1) et quelques caieuis de duaux.

Les exposés I à VI de SGA 4 donnent la théorie générale des topologies de Grothendieck. Très détaillés, ils peuvent être précieux lors de l’étude de topologies exotiques, telle celle qui donne naissance à la cohomologie cristalline. Pour la topologie etale, si proche de l’intuition classique, un garde-fou si imposant n’est pas nécessaire : il suffi...

Dans cet exposé, je prouve une formule analogne au théorème du rapport sur la formule des traces (ce volume; cité «Rappart» par la suite) pour un anneau de coefficients A qui soit de torsion premier à p, au un corps de caractéristique p. Un usage essentiel sera fait de SGA 4 XVII 5.5.