Norbert Straumann

• PhD
• Professor Emeritus at University of Zurich

The analysis of a previous paper, in which it was shown that the energy for the Aharonov-Bohm effect could be traced to the interaction energy between the magnetic field of the electron and the background magnetic field, is extended to cover the case in which the magnetic field of the electron is shielded from the background magnetic field by super...

We adapt the post-Newtonian gravitational-radiation methods developed within general relativity by Epstein and Wagoner to the gravitation theory with torsion, recently proposed by Hehl et al., and show that the two theories predict in this approximation the same gravitational radiation losses. Since they agree also on the first post-Newtonian level...

One of the major developments of twentieth century physics has been the gradual recognition that a common feature of the known fundamental interactions is their gauge structure. In this lecture the early history of gauge theory is reviewed, emphasizing especially Hermann Weyl’s seminal contributions of 1918 and 1929. Wolfgang Pauli’s early construc...

Contribution to the Lemaitre Symposium of the Swiss Physical Society in Bern, Nov. 21, 2019. Beside the presentation of Lemaitre's inhomogeneous model of 1933, its recent revival is summarised.

The recently taken photos from a supermassive black hole in the center of the giant galaxy M87 are a milestone in the evolution of black hole physics. Please read more about its history starting more than hundred years ago on p. 38.

One of the major developments of twentieth century physics has been the gradual recognition that a common feature of the known fundamental interactions is their gauge structure. In this essay the early history of gauge theory is reviewed, emphasizing primarily Weyl’s seminal contributions of 1918 and 1929, that originated in a new concept of space-...

Wir charakterisieren nun die Gleichverteilung auf der Energiefläche durch ein Extremalprinzip.

Gibt es einen vernünftigen Zugang zur kanonischen Gesamtheit ohne den Umweg über die mikrokanonische Gesamtheit, welche wir ja letztlich auch nicht befriedigend begründen können? (Außerdem ist ein wirklich isoliertes System eine Fiktion, siehe Aufgabe I.10.).

Wir haben gesehen, dass der kanonische Zustand ein System im Gleichgewicht beschreibt, welches mit seiner Umgebung Energie, aber keine Teilchen austauschen kann. Nun wollen wir den Gleichgewichtszustand eines Untersystems ermitteln, dass auch hinsichtlich der Teilchenzahl offen ist.

Wir diskutieren in diesem Kapitel die einfachen Korrelationsungleichungen für Ising-ähnliche Systeme und einige ihrer wichtigsten Anwendungen.

Für die kanonische Gesamtheit ist nur der Mittelwert der Energie vorgegeben, und deshalb ist.

Das Peierls-Argument (aus dem Jahr 1936) für eine nicht-verschwindende spontane Magnetisierung des zweidimensionalen Ising-Modells in der strengen Ausgestaltung durch Griffith (1964) ist ein schönes Beispiel dafür, wie auf die Existenz von Phasenübergängen ohne Kenntnis der expliziten Lösung des Modells geschlossen werden kann.

Wir schreiben Gleichung (2.13) in der Form.

Nach (9.14) gilt im großkanonischen Zustand für die relativen Schwankungen.

Durch die Arbeiten von W. Adams war um 1925 eindeutig gesichert, dass Sirius B eine enorme Dichte von etwa 106 g/cm3 hat. Dank der damals neuen Quantenmechanik wurde sehr schnell klar, in welchem Zustand sich die Materie in einem Weißen Zwerg befindet.

Wir zeigen in diesem Abschnitt, dass die kanonische Zustandssumme in einer Entwicklung nach ћ in führender Ordnung gleich der in früheren Kapiteln benutzten halbklassischen Näherung ist (siehe z. B. Gleichung (6.7)). Wir zeigen dies über die sogenannte Bloch-Gleichung. (Für einen anderen Zugang siehe Huang (1987), Abschnitt 9.2.).

In der Nähe kritischer Punkte von Phasenübergängen zweiter Art, bei denen die Kohärenzlänge im thermodynamischen Limes divergiert, zeigt sich eine Skaleninvarianz, auf der gewisse universelle Gesetzmäßigkeiten beruhen. Durch Beiträge einer Reihe von Autoren, zu denen in erster Linie Kadanoff (1966), Fisher (1974) und Wilson (1971) gehören, wurde da...

Die Molekularfeldnäherung (MFN) wurde zuerst von Pierre Weiss eingeführt. Sie ist ein einfaches, aber nützliches Werkzeug zum Studium von Phasenübergängen. Ihre Gültigkeit hängt aber stark von der räumlichen Dimension ab: Für d > d c (= obere kritische Dimension) ist die MFN sehr gut, und zwar bei allen Temperaturen; sie gibt die richtigen kritisch...

Das eindimensionale Ising-Modell lässt sich auf verschiedene Weisen sehr einfachlösen. Wegen ihrer allgemeinen Bedeutung benutzen wir hier die Methode der Transfermatrix.

Für ein isoliertes makroskopisches System mit der Gesamtenergie E können wir die Werte von makroskopischen Observablen in einem Gleichgewichtsszustand nach unserer Grundannahme als Erwartungswerte bezüglich des Wahrscheinlichkeitsmaßes μE darstellen.

Nun wollen wir den Anschluss an die Thermodynamik herstellen.

Wir betrachten jetzt einen Bereich der Gesamtenergie eines Systems von N Atomen, bei dem diese sich im thermodynamischen Gleichgewicht im festen Zustand befinden.

Durch Spezialisierung der kinetischen Energie eines symmetrischen Kreisels erhält man für die kinetische Energie eines Rotators mit Trägheitsmoment I (siehe z. B. Straumann (2015), Abschnitt 11.6).

Man zeige, dass die Entropie gemäß den Ausführungen in Kapitel 27 nicht negativ ist und genau dann verschwindet, wenn der Zustand ρ ein reiner Fall ist.

Wir betrachten im Folgenden nur eine Sorte von Fermionen oder Bosonen. (Die Verallgemeinerung auf mehrere Teilchensorten ist trivial.) \( {\mathcal{F}} \) bezeichne wie in (30.10) den zugehörigen antisymmetrischen bzw. symmetrischen Fockraum (siehe die Fußnote auf Seite 170).

Dieser Anhang gibt einige Ergänzungen zu Kapitel 1.

Zum Schluss dieses grundlegenden Teil wollen wir noch einmal das Wichtigste festhalten.

Für Ising-Modelle wissen wir, dass für d ≥ 2 eine spontane Magnetisierung bei genügend tiefen Temperaturen auftritt. Entsprechend ist die Symmetrie Z 2 spontan gebrochen. In Kapitel 22 wurde gezeigt, dass klassische O(n)-Spinmodelle für d ≥ 3 unterhalb einer kritischen Temperatur ebenfalls eine spontane Magnetisierung aufweisen, dass dies aber in z...

Die Überlegungen dieses Abschnitts sind in der Theorie der Supraleitung und der Suprafluidität (3He, Neutronen in einem Neutronenstern) sehr wichtig.

Interpretieren wir S(ρ) als das Maß für die Ignoranz im Zustand ρ, so stellt sich natürlicherweise folgende Aufgabe.

Für schwache Magnetfelder setzt sich die Magnetisierung des Elektronengases aus zwei unabhängigen Teilen zusammen.

Die klassische super-mikrokanonische Gesamtheit hat kein vernünftiges quantentheoretisches Gegenstück, da für endliche Systeme in einem endlichen Volumen die Energien i. Allg. diskret sind. Hingegen hat das mikrokanonische Maß (2.6) die folgende quantentheoretische Übersetzung.

Wir leiten in diesem Abschnitt für ψ(K) = −β f (darin ist f die freie Energie pro Gitterplatz im thermodynamischen Limes) die bemerkenswerte Beziehung.

Wir diskutieren nun ein exakt lösbares Modell, welches einen Phasenübergang beschreibt. Dieses ist zwar etwas künstlich, erlaubt es uns aber, gewisse allgemeine Gesichtspunkte zu illustrieren.

Wir betrachten nun wieder, wie beim Beweis der Additivität der Entropie in Kapitel 3, zwei Systeme im Wärmekontakt, siehe Abbildung 6.1. Diesmal sei aber N 1 ≪ N 2 , V 1 ≪ V 2 ; wir untersuchen also das Verhalten eines Systems 1 in thermischem Kontakt mit einem Wärmebad.

Onsagers Lösung des zweidimensionalen Ising-Modells (aus dem Jahre 1944) gehört zu den Großtaten der mathematischen Physik. Ihr Einfluss auf die Entwicklung der SM kann nicht überschätzt werden.

Wir beschreiben ein klassisches mechanisches System in der Hamilton’schen Formulierung der Mechanik (siehe dazu Straumann (2015), speziell Kapitel 5).

Die Verallgemeinerung der reinen Zustände auf Gemische wurde bereits in der Quantenmechanik (siehe Straumann (2013)) ausführlich behandelt. Letztere entsprechen den Maßen auf dem Phasenraum und werden mathematisch durch statistische Operatoren ρ mit den folgenden Eigenschaften beschrieben.

In diesem Abschnitt zeigen wir, dass für Spinmodelle (O(n)-Modelle) in d ≥ 3 Phasenübergänge stattfinden, mit denen Symmetriebrechungen verbunden sind. In zwei Dimensionen ist dies nur für Ising-Spins der Fall, während es für S n-1 - wertige Spins mit n > 1 keinen Phasenübergang gibt. Dieses Theorem von Mermin und Wagner werden wir in Kapitel 36 au...

In diesem Kapitel führen wir einige wichtige Modellsysteme ein, welche wir im Folgenden näher untersuchen werden.

Die zentrale Rolle von Konvexitätseigenschaften wurde bereits in der Thermodynamik (Straumann, 1986) betont. Wir zeigen nun, dass für das zuletzt betrachtete Modell (Abschnitt 18.2) die freie Energie f im thermodynamischen Limes tatsächlich konvex ist.

Es wurde schon mehrfach betont, dass die Thermodynamik erst im Grenzfall unendlich vieler Freiheitsgrade aus der SM folgt.

Für einen eindimensionalen harmonischen Oszillator mit der Hamilton-Funktion.

Wir kehren nochmals zum klassischen monoatomaren Gas zurück.

Ähnlich wie in der klassischen Theorie führen wir als Maß für die Ignoranz die Entropie S(ρ) eines Zustandes ein. Wir setzen.

In this contribution I discuss a peak in Einstein's endeavor to extract as much information as possible about the nature of radiation from the Planck distribution is his paper "On the Quantum Theory of Radiation" of 1916. This is one of the most important contributions of Einstein to quantum theory.

textbook (no abstract)

Dieses Kapitel dient der formalen Ausgestaltung der kanonischen Mechanik. Wir beschäftigen uns vor allem mit der Transformationstheorie der Hamilton’schen Gleichungen sowie der Charakterisierung und Erzeugung kanonischer Transformationen.

Raum und Zeit gehören zu den grundlegendsten Begriffen der Physik. Jede physikalische Theorie setzt zur Formulierung ihrer Gesetze und deren Interpretation eine gewisse Raum–Zeit–Struktur voraus, und umgekehrt schränkt die Geometrie von Raum und Zeit die Form dieser Gesetze in erheblichem Maße ein.

In diesem Kapitel entwickeln wir die Theorie kleiner Schwingungen und illustrieren ihre vielfältigen Anwendungen an einigen Beispielen. Dieselben Methoden lassen sich auch auf die Mechanik kontinuierlicher Medien und auf die Feldtheorie übertragen.

Es kommt häufig vor, dass die Bewegung eines mechanischen Systems durch Nebenbedingungen eingeschränkt wird. Beispiele dafür sind:1. Die Bewegung eines Massenpunktes verläuft auf einer vorgegebenen Fläche (Beispiel: sphärisches Pendel). 2. Ein Gas ist in einem festen Volumen eingeschlossen. 3. Die Abstände der Massenpunkte sind konstant (z. B. fest...

Hamilton’sche Gleichungen sind uns bisher schon wiederholt begegnet. Wir zeigen im Folgenden, dass unter recht allgemeinen Bedingungen ein Lagrange’sches System zu einem Hamilton’schen äquivalent ist.

Wir betrachten zunächst wieder die Newton’schen Bewegungsgleichungen für einen Massenpunkt (die Verallgemeinerung auf N Massenpunkte ist offensichtlich):$$m\ddot{x}=F\left( x{,}\dot{x}{,}t \right).$$ (3.1)

Dieses Kapitel stellt eine enge Beziehung her zwischen den gewöhnlichen Differentialgleichungen von Hamilton und einer partiellen Differentialgleichung von Hamilton und Jacobi. Diese spielte, neben den Anwendungen in der Mechanik, beispielsweise auch eine wichtige Rolle in Schrödingers Suche nach seiner Wellengleichung.

In Abschnitt 2.3 haben wir am Beispiel des Zweikörper-Problems gesehen, wie die zehn klassischen Erhaltungssätze dazu führen können, dass das Problem „integrabel“ wird. Die bekannten integrablen Probleme haben alle eine gemeinsame Struktur, die wir in diesem Abschnitt aufdecken wollen.

Der Zusammenhang zwischen Symmetrien und Erhaltungssätzen (Noether-Theorem) wurde bereits im Lagrange’schen Formalismus diskutiert (siehe Abschnitt 3.1). Dieses Thema wollen wir jetzt im kanonischen Formalismus wieder aufnehmen.

Es ist einfach einzusehen, dass die Maxwell’schen Gleichungen der Elektrodynamik bezüglich der Galileigruppe nicht invariant sein können. Diese Gleichungen enthalten nämlich eine Konstante c, welche die Ausbreitungsgeschwindigkeit der elektromagnetischen Wellen angibt, und nach dem Additionstheorem der Geschwindigkeiten in der Galilei’schen Kinemat...

Die Zeitevolution eines mechanischen Systems ist durch gewöhnliche Differentialgleichungen – die Newton’schen Bewegungsgleichungen – bestimmt. Diese legen für einen gegebenen Zustand, charakterisiert durch die Orte und Geschwindigkeiten der Teilchen, die weitere Entwicklung des Systems fest.

Invited contribution at the Joint EPS-APS Historic site 'Einstein Haus' Bern, September 14, 2015

In diesem Kapitel studieren wir die Kinematik und die Dynamik des starren Körpers. Besondere Aufmerksamkeit werden wir dem kräftefreien und dem schweren symmetrischen Kreisel mit Fixpunkt widmen. Beide Systeme sind integrabel im Sinne von 10.1. Besonderer Wert wird auf eine gruppentheoretische Analyse des Kreiselproblems gelegt werden (11.5). Letzt...

Minkowski’s great discovery of the spacetime structure behind Einstein’s special theory of relativity (SR) had an enormous impact on much of twentieth-century physics. (For a historical account of Minkowski’s Raum und Zeit lecture and Poincaré’s pioneering contribution, we refer to [1] and Chap. 2.) The symmetry requirement of physical theories wit...

We demonstrate that it is conceptually and computationally favorable to regard spin-weighted spherical harmonics as vector valued functions on the total space $SO(3)$ of the Hopf bundle, satisfying a covariance condition with respect to the gauge group $U(1)$ of this bundle. A key role is played by the invariant connection form of the principle Hop...

a) Theoretische Physiker sind mit dem Erreichten nie zufrieden. Nach Vollendung einer Theorie suchen sie immer nach möglichen Schwachstellen und fragen, welche Elemente willkürlicher Natur sind und einer tieferen Erklärung bedürfen. Diese Art von Fragen werde ich nun am Beispiel der Newtonschen Gravitationstheorie erörtern. Ein Großteil hat erst vi...

Die Interpretation der QM wurde historisch erst geklärt, nachdem die formale Struktur der Theorie bereits einige Zeit vorlag. Die grundlegenden Arbeiten gehen auf Born, Heisenberg und Bohr zurück. Bohr und Heisenberg haben sich auch später wiederholt zur ‚Kopenhagener Deutung‘ — von manchen etwas abschätz ig als die ‚orthodoxe Interpretation‘ bezei...

Zwischen der Planckschen Entdeckung (1900) des Wirkungsquantums und dem endgültigen Durchbruch zur QM in ihrer abschließenden Form (1925– 26) verstrich genau das erste Viertel dieses Jahrhunderts. Dies scheint eine lange Zeit zu sein. Aber auch in der Retrospektive hätte kaum viel Zeit gewonnen werden können, denn die Entdeckung der QM war eine ung...

In diesem Anhang beweisen wir den Satz von H. Weyl, der in Abschn. 8.3 in wesentlicher Weise benutzt wurde.

In diesem Schlussabschnitt geben wir Lösungen der Übungsaufgaben, die nicht schon im Haupttext gelöst wurden.

In diesem Kapitel erweitern wir die Wellenmechanik auf Teilchen mit innerem Drehimpuls (Spin). Dies erfolgt auf zwingende Weise auf der Basis von gruppentheoretischen Überlegungen. Besonders wesentlich ist dabei die Beziehung von proj ektiven Darstellungen der Drehgruppe S0(3) und unitären Darstellungen der universellen Überlagerungsgruppe SU(2). D...

Die Analyse von Streuprozessen in der Atom- Kern- und Elementarteilchenphysik ist ein besonders wichtiger Anwendungsbereich der QM. Deshalb ist die Streutheorie heute eine sehr weit entwickelte Disziplin.

In diesem etwas abstrakten Kapitel werden wir die allgemeine formale Struktur der QM besprechen. Diese ergibt sich durch eine naheliegende Abstraktion der Wellenmechanik und wurde — wenn ich das richtig sehe — zuerst von H. Weyl in seiner Gruppentheorie und Quantenmechanik (s. Literaturverzeichnis) klar formuliert. Verallgemeinerungen der in den be...

Die Wellennatur der Elektronen wurde erst nach der Entdeckung der QM experimentell nachgewiesen. 1927 erhielten C.J. Davisson und L.H. Germer deutliche Interferenzmaxima bei der Reflexion von Elektronen an Nickeleinkristallen.1 Im gleichen Jahr konnte G.P. Thomson an Interferenzen beim Durchgang von Elektronen durch dünne Metallfolien die Beziehung...

Die Quantenmechanik (QM) hat gegen¨uber der klassischen Mechanik und den klassischen Feldtheorien (Elektrodynamik, Allgemeine Relativit¨atstheorie) eine tief greifende Erweiterung unseres physikalischen Denkens gebracht. Den genannten klassischen Theorien liegt – in einer Formulierung von Einstein – folgende gemeinsame Idealisierung zugrunde: ” Es...

Wie in anderen Gebieten der Physik, lassen sich auch in der QM nur wenige Probleme exakt lösen. Für die Anwendungen der Theorie sind deshalb Näherungsverfahren sehr wichtig. Im folgenden entwickeln wir zunächst die stationäre Störungstheorie. Wir gehen dabei — wie in den allermeisten Büchern über QM — formal vor. Die Genauigkeit der darauf beruhend...

Auf ein System, das durch einen zeitunabhängigen Hamiltonoperator Ho beschrieben wird, wirke eine zeitabhängige Störung V(t). In dieser Situation arbeitet man zweckmässig in der Wechselwirkungsdarstellung (siehe §3.8). Der Übergang vom Schrödingerbild zum Wechselwirkungsbild ist gegeben durch die zeitabhängige unit äre Transformation yW (t) = U°...

Auf Grund der klassischen Physik ist es ganz unmöglich zu verstehen, warum zwei neutrale Atome, z.B. zwei H-Atome, ein Molekül bilden. Die homöopolare (kovalente) Bindung zeigt überdies Sättigungseigenschajten, welche klassisch erst recht nicht verständlich sind. Die Sättigung kommt im Begriff der Valenz zum Ausdruck. Ein H-Atom vermag genau ein an...

In diesem Anhang entwickeln wir die grundlegenden gruppentheorethischen Gruppentheoretischen Hilfsmittel die im Haupttext benötigt werden. Um den elementaren Rahmen dieser Vorlesung nicht zu sprengen, beschränken wir uns auf lineare Liesche Gruppen. ” Nur“ diese spielen in der Physik eine Rolle.

Einstein, Schrödinger, von Laue und andere hofften zeitlebens zur Realitätsvorstellung der klassischen Physik zurückkehren zu können, also zur Vorstellung einer objektiven, realen Welt, deren kleinste Teile in der gleichen Weise objektiv existieren wie die Gegenstände der makroskopischen Physik, gleichgültig, ob wir sie beobachten oder nicht.

Wir knüpfen an den Anfang von Abschn. 6.6 an und beweisen zunächst den folgenden Satz 13.1.1. Jede irreduzible stetige (unitäre) Darstellung Ug einer kompakten Gruppe G in einem Hilbertraum H ist endlichdimensional.

In diesem Anhang berechnen wir die Clebsch-Gordan-Koeffizienten der Gruppe SU(2).

Cartan’s calculus of differential forms is particularly useful in general relativity (and also in other fields of physics). We begin our discussion by repeating some algebraic preliminaries on exterior algebras. Then exterior differential forms and the associated exterior algebra are introduced. On this we study general properties of derivations an...

In this central chapter we introduce an important additional structure on differentiable manifolds, thus making it possible to define a “covariant derivative” which transforms tensor fields into other tensor fields. This allows us to introduce many important notions, such as the parallel transport of tensor fields along a curve, geodesics, exponent...

In this first chapter of the purely mathematical part on the most important tools of differential geometry needed for GR, we introduce several basic concepts connected with the notion of a differentiable manifold. We give two definitions of a differentiable manifold. The standard one starts with a topological space. One can alternatively begin with...

Most gravitational fields encountered in the physical universe are weak. Exceptions are the strong fields near compact objects (black holes and neutron stars) or in the very early universe. It is remarkable that Einstein investigated weak gravitational fields quite exhaustibly only one month after his first systematic exposition of GR (see [58]). B...

The study of the motion of multiple isolated bodies under their mutual gravitational interaction and of the accompanying emission of gravitational radiation is obviously of great astrophysical interest. The first investigations on this subject by Einstein, Droste, de Sitter and others were made very soon after the completion of GR. Since then a vas...

Three equivalent definitions of the tangent space at a point of a manifold are given. It is important that one is able to switch freely among these definitions. On the basis this notion vector fields are introduced, together with their Lie algebra structure. In the subsection on tensor fields, the reader is assumed to be familiar with some basic ma...

The hard core of the theory consists of Einstein’s field equation, which relates the metric field to matter. After a discussion of the physical meaning of the curvature tensor, we shall first give a simple physical motivation for the field equation and will then show that it is determined by only a few natural requirements (Lovelock theorem), with...

We first introduce some tools and facts on integral curves and flows of vector fields. Then mappings of tensor fields, in particular by diffeomorphisms, are defined. This allows us to introduce the Lie derivative of a tensor field with respect to a vector field. The properties of this important differential operation are formulated in several theor...

The solution of the field equations, which describes the field outside of a spherically symmetric mass distribution, was found by Karl Schwarzschild only two months after Einstein published his field equations. Schwarzschild performed this work under rather unusual conditions. In the spring and summer of 1915 he was assigned to the eastern front. T...

In this chapter we give detailed proofs of some of the theorems formulated in previous chapters. In addition, we clarify the notion of vector fields along maps and their induced covariant derivatives, because this is used at various places in the book. For a convenient formulation we introduce the tangent bundle of a manifold, the prototype of a ve...

This extended chapter of almost hundred pages on black hole physics is a central part of the book. We begin with Israel’s original demonstration of the statement that a static black hole solution of Einstein’s vacuum equation has to be spherically symmetric, and is thus a Schwarzschild black hole. Then a detailed derivation of the Kerr solution is...