Martin Brokate

• Technical University of Munich

We prove strong stationarity conditions for optimal control problems that are governed by a prototypical rate-independent evolution variational inequality, i.e., first-order necessary optimality conditions in the form of a primal-dual multiplier system that are equivalent to the purely primal notion of Bouligand stationarity. Our analysis relies on...

We consider the heat equation on a bounded domain subject to an inhomogeneous forcing in terms of a rate-independent (hysteresis) operator and a control variable. The aim of the paper is to establish a functional analytical setting which allows to prove weak differentiability properties of the control-to-state mapping. Using results of Brokate and...

Wir kommen zurück auf den Raum \(\mathsf {L}_{2}(\mathsf {S}; \upmu )\) quadratintegrabler Funktionen, dessen grundlegende Eigenschaften wir in Kap. 6 behandelt haben. Daraus ergeben sich geometrische Sachverhalte, die wir nun kennenlernen wollen. Dies sind die Eigenschaften eines Hilbertraumes, für den der Raum \(\mathsf {L}_{2}(\mathsf {S}; \upmu...

Bisher hatten wir zwei Typen von Konvergenz messbarer Funktionen im Blick: monotone Konvergenz und Konvergenz fast überall. Beides sind Begriffe, die sich aus der Konvergenz der Funktionen in Punkten des Grundraumes ergeben. Für die beiden wichtigen Konvergenzbegriffe dieses Kapitels, Konvergenz im Mittel und Konvergenz im Maß, ist dies nicht mehr...

Die Bestimmung des Volumens von Parallelotopen im Euklidischen Raum mittels Determinanten haben wir in Satz 3.4 behandelt. In diesem Kapitel geben wir eine weitreichende Verallgemeinerung dieses Sachverhalts an, die auf Jacobi zurückgeht.

Ausgehend von einem Maß \(\upmu \) auf dem messbaren Raum \((\mathsf {S}, \mathcal {A})\) definieren wir nun Integrale für beliebige messbare Funktionen \(\mathsf {f} \ge 0.\) Gemeint sind damit messbare Funktionen von S mit Werten in \(\bar{\mathbb {R}}_{+} = [0, \infty ]\).

In diesem Abschnitt führen wir messbare Mengen und messbare Funktionen ein. Wie in der Einleitung erläutert geht es dabei hauptsächlich um ein Rechnen mit Mengen-systemen. Dabei betrachten wir auch endliche oder unendliche Folgen von Mengen. Für solche Folgen unbestimmter Länge benutzen wir die Notation \(\mathsf {A}_{1}, \mathsf {A}_{2}, \ldots \)...

In diesem Kapitel behandeln wir die Frage, wann Maße und wann Funktionen Dichten besitzen.

Eindeutigkeitssätze dienen in der Maß- und Integrationstheorie dazu, Maße festzulegen und zu identifizieren. Der wichtigste dieser Sätze klärt, wann zwei Maße auf einer \(\upsigma \)-Algebra \(\mathcal {A}\) gleich sind, sofern sie auf einem Erzeuger \(\mathcal {E}\) von \(\mathcal {A}\) übereinstimmen. Das ist nicht immer der Fall: Auf {1, 2, 3, 4...

Man kann messbare Funktionen mehrfach nach verschiedenen Variablen integrieren, das ist nicht besonders überraschend. Dass aber das Resultat von der Reihenfolge beim Integrieren abhängen kann, war für Mathematiker wie Cauchy irritierend. Beim Differenzieren ist das normalerweise anders.

Sei \(\mathcal {A}\) eine \(\upsigma \)-Algebra auf S mit Erzeuger \(\mathcal {E}\) und sei

In den vorangehenden Kapiteln haben wir bereits mehrfach Funktionen als Elemente von Funktionenräumen aufgefasst. Wir vertiefen nun diese Sichtweise, indem wir lineare stetige Funktionale auf solchen Räumen näher betrachten.

A differential equation is an equation relating a function with its derivatives. In these equations, the functions often represent physical quantities, the derivatives represent their rates of change and the equation defines their relationship. Differential equations have been and still are a major and important branch of pure and applied mathemati...

In the previous chapter, we have introduced the notion of the integral as the limit of certain sums known as Riemannian sums, and we have seen that it yields the area below the graph of a given nonnegative function f(x) defined over a closed interval [a, b].

The concepts of sequence and series provide another basic tool of calculus. One may use them, among other things, to approximate functions by comparatively simple formulas. In 1668, Mercator published the formula for the logarithmic series. Since that time, series have been used for countless purposes in science and engineering. We give here a brie...

The concept of a function is of vital importance for the proper understanding of many phenomena occurring in different areas of human knowledge. The fundamental processes of calculus known as differentiation and integration are processes applied to functions. We discuss here the notion of a function, various forms of functions, and important classe...

The Mathworks Corp. is the world’s leading developer of technical computing software MATLAB for engineers and scientists in industries, government, and education; it is the language of technical computing which is high-level language and interactive environment that enables us to perform computationally intensive tasks faster than with traditionall...

In this chapter, we introduce the concept of the limit of a function. This concept bridges the gap between the areas of algebra, geometry, and calculus. The limit is the most important concept of calculus, without limits calculus simply does not exist. Practically, every notion of calculus is a limit in one sense or another. Physical concepts and r...

The concept of the derivative was hidden in the problem of finding the line tangent to a given curve at a given point, a problem tackled by the Greek mathematicians more than two thousand years ago. This concept took definite shape during the years 1665–1666, when the famous English scientist Isaac Newton, the founder of modern physics, developed t...

In Chap. 1, we have seen how mathematical functions model real processes. The differential calculus deals with finding the rate of change of a function (thus, of a process). We have studied this subject in Chaps. 3 and 4. But this part reveals only half of the story. It is good to know, at any given instant, the rate of change of a function, but it...

In Sect. 1.1, we have introduced functions of one independent variable, expressed by \(y=f(x)\). Functions of one variable represent various phenomena. A number of illustrative examples have been given in Sect. 1.4. Let us recall that a real-valued function f of one variable assigns to each point x of its domain D(f) on the line \(\mathbb {R}\) a u...

Very often a real-world problem is equivalent to finding an element in the domain of a function at which the value of the function is larger or smaller than at all other elements of the domain. The techniques for finding such an element, that is, finding an element at which the maximal or minimal values of the function are attained, make up the fie...

In the previous chapters, we have studied properties of functions defined on \(\mathbb {R}\) (the line), \(\mathbb {R}^2\) (the plane), or \(\mathbb {R}^3\) (the space) with values in \(\mathbb {R}\), which are called real-valued or scalar functions, or scalar fields. Here, we would like to study the calculus of functions taking values in \(\mathbb...

Fourier method or Fourier analysis is a branch of mathematics that was developed formally some 150 years after Newton’s and Leibniz’ calculus and heavily depended on integral and differential calculus. Jean Baptiste Joseph Fourier was born in 1768 in Auxerre, a town between Paris and Dijon. He became fascinated by mathematics at the age of 13 years...

This book presents the basic concepts of calculus and its relevance to real-world problems, covering the standard topics in their conventional order. By focusing on applications, it allows readers to view mathematics in a practical and relevant setting. Organized into 12 chapters, this book includes numerous interesting, relevant and up-to date app...

Das Lebesgue-Integral ist ein essentielles Werkzeug für Analysis und Stochastik und damit für viele Bereiche, in denen Mathematik zum Einsatz kommt. Das vorliegende Lehrbuch ist eine kompakte, in Vorlesungen erprobte Einführung in die damit befasste Maß- und Integrationstheorie. Es werden die wichtigen Themen der Theorie angesprochen und auch weite...

We consider the heat equation on a bounded domain subject to an inhomogeneous forcing in terms of a rate-independent (hysteresis) operator and a control variable. The aim of the paper is to establish a functional analytical setting which allows to prove weak differentiability properties of the control-to-state mapping. Using results of [BK] and [B]...

The existence of a unique solution, in terms of initial data of the hierarchy of quantum kinetic equations with delta potential, has been proven. The proof is based on nonrelativistic quantum mechanics and application of semigroup theory methods.

Mit diesem Kapitel steigen wir in die Stochastik, die Mathematik des Zufalls, ein. Dabei wollen wir nicht über Grundsatzfragen wie Existiert Zufall überhaupt? philosophieren, sondern den pragmatischen Standpunkt einnehmen, dass sich so verschiedene Vorgänge wie die Entwicklung von Aktienkursen, die Ziehung der Lottozahlen, das Schadensaufkommen von...

Die Bezeichnung „Interpolation“ stammt von dem lateinischen Wort interpolo, was so viel wie „neu herrichten“ oder „auffrischen“ bedeutet. In der Numerik versteht man unter Interpolation die Angabe einer Funktion, die durch vorgeschriebene diskrete Daten verläuft. Die Bezeichnung „Approximation“ stammt ebenfalls aus dem Lateinischen und kommt aus de...

Die doppelte Bedeutung des Namens Hilbertraum für das Foyer des Mathematischen Instituts in Göttingen, siehe Titelfoto, erschließt sich dem Studierenden erst nach drei bis vier Semestern. Denn zunächst müssen Begriffe wie Vektorraum, Skalarprodukt und Vollständigkeit nachvollziehbar sein, bevor man sich mit diesen Räumen sinnvoll beschäftigen kann....

Wenn die Operatornorm eines linearen Operators hinreichend klein ist, haben wir in Kapitel 8.1 gesehen, dass das Störungslemma die eindeutige Lösbarkeit von Gleichungen zweiter Art garantiert. In diesem Kapitel wollen wir Gleichungen zweiter Art betrachten, ohne diese relativ starke Einschränkung. Dabei steht eine andere Eigenschaft des störenden O...

Eine große Vielfalt unterschiedlicher praxisrelevanter Problemstellungen führt in ihrer numerischen Umsetzung und Lösung auf die Betrachtung linearer Gleichungssysteme. Die schnelle Lösung dieser Systeme stellt dabei häufig den wesentlichen Schlüssel zur Entwicklung eines effizienten und robusten Gesamtverfahrens dar. Bei der Lösung linearer Gleich...

Die in der Mechanik im Rahmen der linearen Elastizitätstheorie vorgenommene Modellierung von Brückenkonstruktionen führt auf ein Eigenwertproblem, bei dem die Brückenschwingung unter Kenntnis aller Eigenwerte und Eigenvektoren vollständig beschrieben werden kann. Generell charakterisieren die Eigenwerte sowohl die Eigenschaften der Lösung eines mat...

Geometrische Aspekte einer Differenzialgleichung gehen von einem Vektorfeld aus. Gesucht ist dann eine Kurve, deren Tangentialvektoren in allen Punkten mit den Richtungen des Vektorfelds übereinstimmen. Unter qualitativer Theorie von Differenzialgleichungen versteht man das Verhalten von Lösungen speziell für lange Zeiträume. Oft kann man durch das...

„Numerische Mathematik“ beginnt eigentlich schon im Altertum, als erste Algorithmen zur Berechnung der Quadratwurzel ersonnen wurden. Seit es Mathematik gibt, gibt es auch die Notwendigkeit des numerischen Rechnens, d. h. des Rechnens mit Zahlen. Numerische Mathematik heute ist die Mathematik der Näherungsverfahren, entweder weil eine exakte Berech...

Im letzten Kapitel haben wir uns ausgiebig mit diskreten Verteilungen beschäftigt. Solche Verteilungen modellieren stochastische Vorgänge, bei denen nur abzählbar viele Ergebnisse auftreten können. In diesem Kapitel stellen wir zum einen allgemeine Betrachtungen über reelle Zufallsvariablen und k-dimensionale Zufallsvektoren an, die das bereits Gel...

Bereits innerhalb der Kapitel 2 und 3 haben wir uns mit der Lösung gewöhnlicher Differenzialgleichungen befasst und deren Relevanz für die mathematische Beschreibung realer Phänomene angesprochen. Es zeigte sich dabei auch, dass die analytische Lösung einer Differenzialgleichung respektive eines Systems von Differenzialgleichungen an spezielle Type...

Neben der Interpolation ist die numerische Berechnung von Integralen, die „Quadratur“, eine weitere wichtige Grundaufgabe der Numerischen Mathematik und sogar älter als das Integral selbst. Schon Archimedes hat die Fläche unter Kurven berechnet, indem er die Fläche durch einfach zu berechnende Teilflächen dargestellt hat. In der modernen Mathematik...

Die Analysis im Komplexen befasst sich hauptsächlich mit holomorphen Funktionen, so werden die im Komplexen differenzierbaren Funktionen genannt.

Gegenstand der Maß- und Integrationstheorie sind Maßräume und der dazugehörige Integrationsbegriff. Kenntnisse dieses Teilgebiets der Mathematik sind unerlässlich für jede systematische Darstellung der Stochastik und anderer mathematischer Disziplinen, insbesondere der Analysis. In diesem Kapitel stellen wir die wichtigsten Resultate und Methoden a...

Mit der Analysis und der Linearen Algebra werden im ersten Studienjahr klassische Grundlagen der Mathematik gelegt. Im Hinblick auf die moderne Entwicklung dieses Fachs sind heute weitere Aspekte ebenso maßgebend, die üblicherweise Gegenstand des zweiten und dritten Studienjahrs sind. Aus diesem Grund setzen wir mit dem vorliegenden Werk das im Fol...

In Kapitel 23 des ersten Bandes wurden die Grundlagen der Vektoranalysis entwickelt. Neben regulären Kurven und Flächen wurden auch die Differenzialoperatoren Gradient, Divergenz und Rotation (nur in ℝ3) eingeführt und mit dem Satz von Gauß eine erste Verallgemeinerung des Hauptsatzes der Differenzialund Integralrechnung (HDI) auf Vektorfelder im ℝ...

Thema dieses Kapitels ist das Lösen von nichtlinearen Differenzialgleichungen. Allerdings wird es nur für spezielle Typen von Differenzialgleichungen gelingen, Lösungen explizit anzugeben, d. h. analytische Lösungsmethoden zu finden. Verschiedene Ansätze führen bei unterschiedlichen Typen von Differenzialgleichungen zum Erfolg. Wir betrachten in di...

Immer wieder begegnen wir dem Phänomen, dass mathematische Fragestellungen erheblich leichter zu erfassen sind, wenn zugrunde liegende abstrakte Strukturen herauskristallisiert und somit Zusammenhänge deutlicher werden. Genau aus diesem Grund sind Aspekte der linearen Funktionalanalysis in vielen Bereichen der Mathematik anzutreffen; denn sie besch...

In der Schule lernt man eine explizite Formel zur Lösung quadratischer Gleichungen, die schon den alten Mesopotamiern etwa 1500 v. Chr. bekannt war. Der nächste Fortschritt kam allerdings erst im 16. Jahrhundert in Italien, als Nicolo Tartaglia und Gerolamo Cardano explizite Lösungsformeln für die Wurzeln einer kubischen Gleichung fanden. Kurz dara...

Differenzialgleichungen sind Gleichungen, in denen eine gesuchte Funktion und deren Ableitung(en) auftauchen. Sie spielen innerhalb der Mathematik und auch in vielen Anwendungen eine zentrale Rolle, etwa bei der Modellierung von dynamischen und parameterabhängigen Prozessen in Naturwissenschaften und Technik, aber auch in den Wirtschafts- und Leben...

Auf Seite 710 haben wir die Verteilung einer Zufallsvariablen mit Werten in einer allgemeinen Menge eingeführt. In diesem Kapitel werden wir deutlich konkreter und betrachten reelle Zufallsvariablen oder Zufallsvektoren, die höchstens abzählbar viele verschiedene Werte annehmen können. Die zugehörigen Verteilungen sind meist mit Zählvorgängen verkn...

In diesem Kapitel lernen wir mit den Begriffsbildungen bedingte Wahrscheinlichkeit und stochastische Unabhängigkeit zwei grundlegende Konzepte der Stochastik kennen. Bedingte Wahrscheinlichkeiten dienen in Form von Übergangswahrscheinlichkeiten insbesondere als Bausteine bei der Modellierung mehrstufiger stochastischer Vorgänge über die erste Pfadr...

In diesem Kapitel lernen wir die wichtigsten Grundbegriffe und Konzepte der Mathematischen Statistik kennen. Hierzu gehören die Begriffe statistisches Modell, Verteilungsannahme, Schätzer, Maximum-Likelihood-Schätzmethode, Konfidenzbereich und statistischer Test. Wünschenswerte Eigenschaften von Schätzern reeller Parameter sind eine kleine mittlere...

In diesem Kapitel lernen wir mit der fast sicheren Konvergenz, der stochastischen Konvergenz, der Konvergenz im p-ten Mittel und der Verteilungskonvergenz die wichtigsten Konvergenzbegriffe der Stochastik kennen. Hauptergebnisse sind das starke Gesetz großer Zahlen von Kolmogorov und die Zentralen Grenzwertsätze von Lindeberg-Lévy und Lindeberg-Fel...

We prove that the play and the stop operator possess Newton and Bouligand derivatives, and exhibit formulas for those derivatives.

In diesem Kapitel werden wir Systeme betrachten, bei denen die Zeilenzahl m größer als die Spaltenzahl n ist. Demzufolge liegen mehr Bedingungen als Freiheitsgrade vor, sodass auch im Fall linear unabhängiger Spaltenvektoren keine Lösung des Problems existieren muss. Dennoch weisen derartige Aufgabenstellungen, die sich in der Literatur unter dem B...

Dieses vierfarbige Lehrbuch wendet sich an Studierende der Mathematik in Bachelor-Studiengängen. Es bietet in einem Band ein lebendiges Bild der mathematischen Inhalte, die üblicherweise im zweiten und dritten Studienjahr behandelt werden (mit Ausnahme der Algebra). Mathematik-Studierende finden wichtige Begriffe, Sätze und Beweise ausführlich und...

Dieses Arbeitsbuch enthält die Aufgaben, Hinweise, Lösungen und Lösungswege aller Kapitel des Lehrbuchs Brokate et al., Grundwissen Mathematikstudium - Höhere Analysis, Numerik und Stochastik. Die Inhalte des Buchs stehen als PDF-Dateien auch auf der Website zum Buch matheweb zur Verfügung. Durch die stufenweise Offenlegung der Lösungen ist das Wer...

This paper presents a numerical simulation of one phase flow through a porous medium showing a hysteretic relation between the capillary pressure and the saturation of the phase. The flow model used is based on mass conservation principle and Darcy's law. Boundary conditions of Neumann and Signorini type are imposed. The hysteretic relation between...

Integration of measurable functions \( \mathrm{f}:\mathrm{S}\to \bar{\mathrm{\mathbb{R}}} \) is reduced to integration of nonnegative measurable functions as follows.

It is not particularly surprising that one may integrate measurable functions multiply with respect to different variables. But it did irritate mathematicians like Cauchy that the result may depend on the sequential arrangement of the integrals. When computing derivatives this is usually not the case.

We return to the space \( {\mathrm{L}}_2\left(\mathrm{S};\upmu \right) \) of square integrable functions whose basic properties we have discussed in Chap. 6 They are related to some geometric issues which we now want to learn about.

So far we had in mind two notions of convergence for measurable functions: monotone convergence and convergence almost everywhere. Both are notions which result from convergence of the values taken by functions at fixed (but arbitrary) points of the domain. This is no longer the case for the two important notions of convergence discussed in the pre...

In this chapter we discuss under which circumstances measures and functions have densities.

We have determined the volume of parallelotopes in Euclidean space with the aid of determinants in Proposition 3. 4. In this chapter we present a far-reaching generalization of this issue which dates back to Jacobi.

Carrying measures is an essential purpose of measurable spaces.

In this chapter we introduce measurable sets and measurable functions. As explained in the introduction, the objects we operate with are mainly systems of sets, and not individual sets. In doing so, there will arise finite as well as infinite sequences of sets. In both cases and, regardless of their length, we denote such sequences as \( {\mathrm{A...

Uniqueness theorems in measure and integration theory serve to determine and identify measures.

Let \(\pi : \varepsilon \rightarrow {\bar{\mathbb{R}}}\) be a \( \upsigma \)-algebra on S with generator \( \mathbf{\mathcal{E}} \), and let $$ \uppi :\mathbf{\mathcal{E}}\to {\bar{\mathrm{\mathbb{R}}}}_{+} $$ be a mapping which associates a nonnegative number π(E) (or possibly the value ∞) to each element E of the generator.

In the preceding chapters, several times already we have interpreted functions as elements of function spaces. We now deepen this view, looking more closely at continuous linear functionals on such spaces. We will characterize them in two important cases intimately linked to integration theory, namely for the spaces of p-integrable functions and of...

Given a measure μ on a measurable space \(S,\mathcal{A}\), we now define the integral for arbitrary measurable functions $$f\;\geq\;0.

Preface.- 1 Introduction.- 2 Measurability.- 3 Measures.- 4 The Integral of Nonnegative Functions.- 5 Integrable Functions.- 6 Convergence.- 7 Uniqueness and Regularity of Measures.- 8 Multiple Integrals and Product Measures.- 9 Absolute Continuity.- 10 The Transformation Formula of Jacobi.- 11 Construction of Measures.- 12 Hilbert Spaces.- 13 Bana...

Rate independent evolutions can be formulated as operators, called hysteresis operators, between suitable function spaces. In this paper, we present some results concerning the existence and the form of directional derivatives and of Hadamard derivatives of such operators in the scalar case, that is, when the driving (input) function is a scalar fu...

In this paper, we evaluate energy-optimal paths in the road network of Ingolstadt. The energy consumptions associated with the segments of the road network are derived from the measurements of the traffic load based on vehicle probe data, using a mesoscopic traffic model and a physical vehicle consumption model. The resulting description of the net...

We consider a time-dependent network with a continuous-time variable, in which time constraints are imposed both on the arrival times and on the waiting times at the nodes. Under certain continuity assumptions, we prove the existence of optimal paths, and we show that the optimal value function is lower-semicontinuous. We present an exact solution...

We consider jumps in the input-output relationship of a system composed of a Preisach hysteretic transducer and a mean-field type global positive feedback loop. The discontinuities are induced by the feedback loop, which promotes avalanches of cascading flips of the independent domains (spins) in the Preisach model in response to a monotone variati...

This paper is concerned with an optimal control problem for a system of ordinary differential equations with rate independent hysteresis modelled as a rate independent evolution variational inequality with a closed convex constraint Z⊂ℝ m . We prove the existence of optimal solutions as well as necessary optimality conditions of first order. In par...

We derive a multiphase flow model oriented to CO2 sequestration and complete it with a hysteresis operator relating saturations to capillary pressures. A relaxation iterative algorithm for the numerical treatment of the model is developed and implemented. Numerical simulations of a three-phase flow are presented.

The Preisach operator with inputs defined by a Markov process xt is considered. The question we address is: what is the distribution of the random memory state of the Preisach operator at a given time moment t0 in the limit r→∞ of infinitely long input history xt, t0−r≤t≤t0? In order to answer this question, we introduce a Markov chain (called the...

The paper is devoted to the numerical simulation of a multiphase flow in porous medium with a hysteretic relation between the capillary pressures and the saturations of the phases. The flow model we use is based on Darcy's law. The hysteretic relation between the capillary pressures and the saturations is described by a play-type hysteresis operato...

Cyclic wetting and drying of soils due to changing weather conditions is characterised by a well-documented hysteresis in the relationship between the pressure or matric potential and the water content in the soil. Hysteresis manifests itself through a difference in drying and wetting curves. Its presence suggests that there is dissipation of energ...

We consider the long term effect of stochastic inputs on the state of an open loop system which exhibits the so-called return point memory. An example of such a system is the Preisach model; more generally, systems with the Preisach type input-state relationship, such as in spin-interaction models, are considered. We focus on the characterisation o...

Sei A eine σ-Algebra auf S mit Erzeuger ɛ und sei $$ \pi :\varepsilon \to {\mathbb{R}_ + } $$ eine Abbildung, die jedem Element E des Erzeugers als Wert eine nichtnegative Zahl π(E) zuordnet (möglicherweise den Wert ∞). In diesem Abschnitt wollen wir Bedingungen angeben, unter denen sich π zu einem Maß μ auf A fortsetzen lässt. In Anlehnung an Cara...

In den vorangehenden Kapiteln haben wir bereits mehrfach Funktionen als Elemente von Funktionenräumen aufgefasst. Wir vertiefen nun diese Sichtweise, indem wir lineare stetige Funktionale auf solchen Räumen näher betrachten. Wir werden sie in zwei wichtigen Fällen charakterisieren, die in enger Beziehung zur Integrationstheorie stehen, nämlich für...

Die Integration von messbaren Funktionen \( f:\mathcal{S} \to \mathbb{R} \) führt man auf die Integration von nichtnegativen messbaren Funktionen zurück. Dazu zerlegen wir f in Positiv- und Negativteil: $$ f = f^ + - f^ - , f^ + : = max \left( {f,0} \right) und f^ - : = max \left( { - f,0} \right).

Wir kommen zurück auf den Raum L2 (S; μ) quadratintegrabler Funktionen, dessen grundlegende Eigenschaften wir in Kapitel VI behandelt haben. Daraus ergeben sich geometrische Sachverhalte, die wir nun kennenlernen wollen. Dies sind die Eigenschaften eines Hilbertraumes1, für den der Raum L2 (S; μ) ein Prototyp ist.

In diesem Kapitel behandeln wir die Frage, wann Maße und wann Funktionen Dichten besitzen.

In diesem Abschnitt führen wir messbare Mengen und messbare Funktionen ein. Wie in der Einleitung erläutert geht es dabei hauptsächlich um ein Rechnen mit Mengensystemen. Dabei betrachten wir auch endliche oder unendliche Folgen von Mengen. Für solche Folgen unbestimmter Länge benutzen wir die Notation A1, A2, …, für deren Vereinigung ∪n≥1 An und s...

Bisher hatten wir zwei Typen von Konvergenz messbarer Funktionen im Blick: monotone Konvergenz und Konvergenz fast überall. Beides sind Begriffe, die sich aus der Konvergenz der Funktionen in Punkten des Grundraumes ergeben. Für die beiden wichtigen Konvergenzbegriffe dieses Kapitels, Konvergenz im Mittel und Konvergenz im Maß, ist dies nicht mehr...

Die Bestimmung des Volumens von Parallelotopen im Euklidischen Raum mittels Determinanten haben wir in Satz III.4 behandelt. In diesem Kapitel geben wir eine weitreichende Verallgemeinerung dieses Sachverhalts an, die auf Jacobi1 zurückgeht.

Man kann messbare Funktionen mehrfach nach verschiedenen Variablen integrieren, das ist nicht besonders überraschend. Dass aber das Resultat von der Reihenfolge beim Integrieren abhängen kann, war für Mathematiker wie Cauchy irritierend. Beim Differenzieren ist das normalerweise anders.

Eindeutigkeitssätze dienen in der Maß- und Integrationstheorie dazu, Maße festzulegen und zu identifizieren. Der wichtigste dieser Sätze klärt, wann zwei Maße auf einer σ-Algebra A gleich sind, sofern sie auf einem Erzeuger ɛ von A übereinstimmen. Das ist nicht immer der Fall: Auf {1, 2, 3, 4} etwa erzeugt das System \( \varepsilon : = \left\{ {\{...

Ausgehend von einem Maß μ auf dem messbaren Raum (S, A) definieren wir nun Integrale für beliebige messbare Funktionen \( f \geqslant 0. \) Gemeint sind damit messbare Funktionen von S mit Werten in \( {\mathbb{R}_ + } = [0,\infty ] \).

In the present work by a semigroup method the existence of a unique solution in terms of initial data of the BBGKY hierarchy of quantum kinetic equations with coulomb potential is proved.

In this technical note, we analyze the error behavior of the discrete-time extended Kalman filter for nonlinear systems with intermittent observations. Modelling the arrival of the observations as a random process, we show that, given a certain regularity of the system, the estimation error remains bounded if the noise covariance and the initial es...

X-ray computed tomography is a powerful medical imaging device. It allows high-resolution 3-D visualization of the human body. However, one drawback is the health risk associated with ionizing radiation. Simply downscaling the radiation intensities over the entire scan results in increased quantum noise. This paper proposes the concept of computer-...

In this paper, we consider time-dependent networks, and the task of computing cost-optimal paths, which are constrained to stay close to fastest paths. We derive pruning criteria, which significantly improve both the number of vertex-time pairs expanded during search and the memory required to ensure the correctness of any solution algorithm. We th...