Jörg Neunhäuserer

Jörg Neunhäuserer
Technische Universität Braunschweig · Institut für Analysis und Algebra

PhD

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Introduction
RESEARCH INTERESTS AND EXPERTISE: Geometric measures, dimension theory and fractals (28A75, 28A78, 28A80) \\ Metric theory of numbers (11K50, 11K55) \\ Dynamical systems and ergodic theory (37C40, 37C45, 37C70)\\ Random walks (60G50) \\ General Mathematics (00A05, 00A06, 00A20, 00A22)
Additional affiliations
October 2020 - present
Technische Universität Braunschweig
Position
  • Lecturer
March 2016 - April 2018
Leibniz Universität Hannover
Position
  • Lecturer
April 2014 - December 2015
Leuphana University Lüneburg
Position
  • Professor (Associate)
Education
September 1989 - October 1999
Freie Universität Berlin
Field of study
  • Mathematics, Philosophy

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Full-text available
We show that for the base two expansion \[ x=\sum_{i=1}^{\infty}2^{-(d_{1}(x)+d_{2}(x)+\dots+d_{i}(x))}\] with $x\in(0,1]$ and $d_{i}(x)\in\mathbb{N}$ the set $A=\{x|\lim_{i\to\infty}d_{i}(x)=\infty\}$ has Hausdorff dimension zero and set $B=\{x|\limsup_{i\to\infty}d_{i}(x)=\infty\}$ has Hausdorff dimension one. This result is strongly opposed to a...
Chapter
Immanuel Kant (1724–1804) gilt manchen als der bedeutendste Philosoph der Neuzeit, sein Werk ist in der Tat umfangreich, vielfältig und originell.
Chapter
Der Platonismus ist ein metaphysisches und erkenntnistheoretisches Konzept, das auf den antiken griechischen Philosophen Platon (428–348 v. Chr.) aus Athen zurückgeht. Platon war ein Schüler des Sokrates (469–399 v. Chr.) und Lehrer Aristoteles und ist eine der bedeutendsten Persönlichkeiten der europäischen Geistesgeschichte.
Chapter
Der Naturalismus ist eine einflussreiche philosophische Denkrichtung, die Spuren im aktuellen medialen Diskurs hinterlässt: Alles was existiert, auch der Mensch und sein Werk, sind Teil der Natur. Wenn wir Natur als Gegensatz der spirituell-mystischen Welt des Übernatürlichen begreifen, ist die These des Naturalismus ein Grundsatz der Aufklärung.
Chapter
Wir werden in diesem Abschnitt die grundlegende Idee des Strukturalismus in der Philosophie der Mathematik vorstellen. Dazu müssen wir zunächst erläutern, was eine Struktur ist. Betrachten wir ein System, das aus einer Zusammenfassung von Gegenständen und aus Relationen zwischen diesen Gegenständen besteht.
Chapter
Der Intuitionismus in der Philosophie der Mathematik geht auf den niederländischen Mathematiker Luitzen Brouwer (1881–1966) zurück und ist bis heute untrennbar mit dessen Werk verknüpft. Wir beginnen daher dieses Kapitel mit einer kurzen Biographie.
Chapter
Wir geben in diesem Anhang eine kurze Einführung in die Mengenlehre, die eine Grundlage der modernen Mathematik darstellt.
Chapter
Pythagoras war bereits in der Antike eine legendäre Gestalt; die Quellen sind im Hinblick auf seine Biographie nicht ganz eindeutig.
Chapter
Der Konzeptualismus ist eine aktuelle Position in der Philosophie der Mathematik, die durch den amerikanischen Mathematiker und Philosophen Nik Weaver (1969–) vertreten wird.
Chapter
Die Grundannahme des Rationalismus ist, dass wir als rationale Wesen apriorisches Wissen besitzen, das unabhängig von jedweder Erfahrung ist und keiner Begründung durch Erfahrung bedarf. Dieses Wissen ist unserer Vernunft entweder unmittelbar gegeben oder es wird durch die Tätigkeit der reinen Vernunft, ohne Rückgriff auf Erfahrung, erschlossen. Di...
Chapter
Formeln sind nicht nur Instrument der Formalisierung mathematischer Theorien, sondern auch die Grundlage des Formalismus in der Philosophie der Mathematik. Eine Formel ist eine endliche Aneinanderreihung primitiver Symbole aus einem Alphabet. Primitive Symbole sind wohlunterschiedene und eindeutig identifizierbare Zeichen, die sich physikalisch etw...
Chapter
Ein Konstruktivismus in der Philosophie der Mathematik geht von folgender ontologischen Grundannahme aus:Ein mathematischer Gegenstand existiert dann und nur dann, wenn er konstruierbar ist.
Chapter
Die logizistische Position in der Philosophie der Mathematik geht, kurz gesagt, davon aus, dass sich die Mathematik auf eine hinreichend umfangreiche formale Logik zurückführen lässt und die Mathematik daher einen Teil der Logik darstellt.
Chapter
Der deutsche Idealismus ist eine philosophische Bewegung, die sich um die Wende des 18. zum 19. Jahrhunderts entwickelt. Als Hauptvertreter des deutschen Idealismus gelten Johann Gottlieb Fichte (1762–1814), Georg Wilhelm Friedrich Hegel (1770–1831) und Friedrich Wilhelm Joseph Schelling (1775–1854). Manche Autoren zählen auch Immanuel Kant (1724–1...
Chapter
Klassische Anwendungen der Hausdorff-Dimension, die wir in Abschn. 2.3 definiert haben, finden sich in der Zahlentheorie. Zunächst betrachten wir wieder die übliche b-adische Darstellung reeller Zahlen x∈[0,1] zu einer ganzzahligen Basis b≥2, x=∑i=1∞dibimit di∈{0,⋯,b-1}. x heißt normal zur Basis b, wenn die Ziffern 0,⋯,b-1 in der Folge (di) mit gle...
Chapter
Für Mengen \(A\subseteq \mathbb {R}^n\) und \(B\subseteq \mathbb {R}^m\) betrachten wir das kartesische Produkt
Chapter
Wir führen hier einige Notationen der Analysis und Topologie ein, die wir in den folgenden Abschnitten durchgehend verwenden. Lesenden, denen diese Grundbegriffe hier zum ersten Mal begegnen, empfehlen wir die Lektüre eines Lehrbuchs zur Analysis oder Topologie zur weiteren Erläuterung und Vertiefung.
Article
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We introduce and study non-uniform expansions of real numbers, given by two non-integer bases.
Book
Welche Art von Gegenständen untersucht die Mathematik und in welchem Sinne existieren diese Gegenstände? Warum dürfen wir die Aussagen der Mathematik zu unserem Wissen zählen und wie lassen sich diese Aussagen rechtfertigen? Eine Philosophie der Mathematik versucht solche Fragen zu beantworten. In dieser Einführung stellen wir maßgebliche Position...
Chapter
Der erste Satz dieses Buches beschäftigt sich mit der Existenz invarianter Maße und der Struktur der Menge dieser Maße.
Chapter
Die Ergodentheorie baut zwar auf der Maßtheorie auf, dessen ungeachtet spielen topologische Begriffe in manchen Sätzen und vielen Anwendungen eine Rolle. Wir wollen unsere Darstellung mit diesen Begriffen beginnen. Da Räume, deren Topologie nicht durch eine Metrik erzeugt werden, in der Ergodentheorie irrelevant sind, dürfen wir im folgenden getros...
Chapter
Wir stellen hier vier herausragende zahlentheoretische Ergebnisse vor, die sich mit ergodentheoretischen Mitteln beweisen lassen.
Chapter
Sei im Folgenden X ein metrischer Raum, \(T:X\rightarrow X\) Borel-messbar und \(\mu \in \mathcal {M}_{\text {INV}}(X,T)\) ein invariantes Wahrscheinlichkeitsmaß. Eine maßtheoretische Partition \({\mathfrak P}\) von X ist eine Überdeckung von X, deren Elemente sich nur in Mengen vom Maß Null schneiden. Die gemeinsame Verfeinerung von zwei Partition...
Chapter
Wir betrachten zunächst Rotationen des Kreisringes \(\mathbb {S}^{1}\subseteq \mathbb {R}^{2}\) und des n-Torus \(\mathbb {T}^{n}\subseteq \mathbb {R}^{2n}\). Zwecks einfacher Notation identifizieren wir [0, 1) mit \(\mathbb {S}^{1}\) mittels der Bijektion \(\kappa (x)=(\sin (2\pi x),\cos (2\pi x))\) und versehen [0, 1) mit der Kreismetrik \(d(x,y)...
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We show that Somos' constant is universal in sense that is similar to the universality of the Khinchin constant.
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We introduce and study expansions of real numbers with respect to two integer bases.
Chapter
In diesem Kapitel geben wir eine Einführung in die Begriffe ausgewählter Teilgebiete der Geometrie. Als Fortsetzung des letzten Kapitels beginnen wir mit der analytischen Geometrie, die zur Beschreibung und Untersuchung geometrischer Objekte Mittel der linearen Algebra heranzieht. Wir definieren Objekte der elementaren Geometrie und stellen die Bew...
Chapter
In diesem Kapitel geben wir einen Einblick in die Begriffe der numerischen Mathematik, die sich mit der Konstruktion und der Analyse von Algorithmen zur Lösung von Berechnungsaufgaben beschäftigt. Wie in Vorlesungen zur Numerik üblich führen wir zunächst den Grundbegriff der Kondition einer Berechnungsaufgabe und der Stabilität eines Verfahrens ein...
Chapter
Wir geben in diesem Kapitel einen Überblick über die Begriffe der linearen Algebra, die üblicherweise zu Beginn des Mathematikstudiums eingeführt werden. Zunächst definieren wir Vektorräume sowie deren Unterräume und Quotientenräume. Wir zeigen hierbei zahlreiche Beispiele und veranschaulichen die Operationen auf Vektoren durch Abbildungen.
Chapter
In diesem Kapitel geben wir einen Überblick über die Grundbegriffe der Funktionentheorie, die Funktionen auf Mengen komplexer Zahlen untersucht. Zunächst zeigen wir holomorphe und harmonische Funktionen ein und geben deren charakteristische Differenzialgleichungen. Rationale Funktionen, die Exponentialfunktionen sowie trigonometrische und hyperboli...
Chapter
In diesem Kapitel findet der Leser eine Einführung in die Grundbegriffe der Algebra, die Studierende zum Teil schon in den Grundvorlesungen zur Linearen Algebra oder in einer Vorlesung zur Algebra kennen lernen. Wir definieren in den ersten drei Abschnitten die algebraischen Strukturen Gruppe, Ring und Körper und gehen dann auf strukturerhaltende A...
Chapter
Wir geben in diesem Kapitel eine Einführung in die Begriffe der Maßtheorie und der Integrationstheorie. Dieser Stoff wird zum Teil in einem Vorlesungszyklus zur Analysis behandelt, doch manche der Begriffe, die wir hier definieren, bleiben zumeist einer Spezialvorlesung über Maß- und Integrationstheorie vorbehalten. Wir beginnen mit der Definition...
Chapter
In diesem Kapitel findet sich ein Überblick über die Grundbegriffe der Theorie dynamischer Systeme. Wir definieren im Abschn. 13.1 topologische dynamische Systeme und zeigen zahlreiche paradigmatische Beispiele. Weiterhin definieren wir periodische und rekurrente sowie heterokline und homokline Orbits.
Chapter
Wir geben in diesem Kapitel eine Einführung in die Begriffe der allgemeinen Topologie. Zunächst werden metrische und topologische Räume definiert und das Konzept der offenen und abgeschlossenen Mengen vorgestellt. Die Definitionen sind so bestimmt, dass wir im Abschn. 6.2 stetige Abbildungen und Homöomorphismen zwischen topologischen Räumen und die...
Chapter
In diesem Kapitel geben wir einen Überblick über die Begriffe der elementaren Zahlentheorie, unter Berücksichtigung einiger grundlegender Notationen der algebraischen und der analytischen Zahlentheorie. Im ersten Abschnitt beschreiben wir den euklidischen Algorithmus zur Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers, definieren Primzahlen und Primzahl...
Chapter
In diesem Kapitel findet der Leser eine Einführung in die Grundbegriffe der Analysis, die üblicherweise in einem Vorlesungszyklus zur Analysis behandelt werden. Wir definieren zunächst die Konvergenz und die bestimmte Divergenz von Folgen und Reihen sowie Cauchy-Folgen und führen damit den Begriff der Vollständigkeit ein. In Abschn. 7.2 betrachten...
Chapter
In diesem Kapitel stellen wir zentrale Begriffe der diskreten Mathematik vor. Wir führen zunächst mit Permutationen, Kombinationen und Variationen die Grundbegriffe der elementaren Kombinatorik ein und zeigen Beispiele. Im nächsten Abschnitt definieren wir wichtige kombinatorische Zahlenfolgen, wie Fibonacci-, Bell-, Stirling-, Euler- und Catalan-Z...
Chapter
In diesem Kapitel geben wir eine Einführung in die Grundbegriffe der Funktionalanalysis, in der unendlich-dimensionale Vektorräume und die Abbildung auf diesen Räumen untersucht werden. Zu Beginn führen wir Banach-Räume ein und zeigen als Beispiele Folgenräume, Funktionenräume und Räume von Maßen. Des Weiteren definieren wir Dualräume, d. h. Räume...
Chapter
In diesem Kapitel werden grundlegende mathematische Begriffe definiert. Wir geben in den ersten zwei Abschnitten eine Einführung in die Begriffe der Aussagenlogik, der Prädikatenlogik und der naiven Mengenlehre anhand von Definitionen und Beispielen. Die folgenden zwei Abschnitte sind Relationen und Funktionen gewidmet.
Chapter
In diesem Kapitel geben wir einen Überblick über die Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie. Im ersten Abschnitt definieren wir Wahrscheinlichkeitsräume sowie diskrete und kontinuierliche Verteilungen und geben die wichtigsten Verteilungen als Beispiele an. Im Abschn. 12.2 wird das Konzept der Zufallsvariable eingeführt und die Unabhängigkeit...
Book
Dieses Buch ist ein wichtiges studienbegleitendes Hilfsmittel für alle, die Mathematik-Lehrveranstaltungen besuchen. Die Lektüre dieses Buches ermöglicht Ihnen, begriffliche Sicherheit für Mathematik-Vorlesungen und Prüfungen aufzubauen. Die Lektüre jedes Kapitels dieses Buches erlaubt Ihnen, einen Überblick über die Begriffe eines Teilgebiets der...
Book
Dieses essential gibt eine kompakte Einführung in die Ergodentheorie, die Dynamische Systeme mit Methoden der Maßtheorie untersucht. Lesende lernen wundervolle Resultate von herausragenden Mathematikern des 20. Jahrhunderts kennen. Eine Fülle von Beispielen Dynamischer Systeme mit invarianten und ergodischen Maßen werden beschrieben. Zusätzlich fin...
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We introduce and study non-uniform expansions of real numbers, given by two non-integer bases.
Chapter
Wir werden in diesem Abschnitt die grundlegende Idee des Strukturalismus in der Philosophie der Mathematik vorstellen. Dazu müssen wir zunächst erläutern, was eine Struktur ist. Betrachten wir ein System, das aus einer Zusammenfassung von Gegenständen und aus Relationen zwischen diesen Gegenständen besteht.
Chapter
Die logizistische Position in der Philosophie der Mathematik geht, kurz gesagt, davon aus, dass sich die Mathematik auf eine hinreichend umfangreiche formale Logik zurückführen lässt und die Mathematik daher einen Teil der Logik darstellt.
Chapter
Der Intuitionismus in der Philosophie der Mathematik geht auf den niederländischen Mathematiker Luitzen Brouwer (1881–1966) zurück und ist bis heute untrennbar mit dessen Werk verknüpft. Wir beginnen daher dieses Kapitel mit einer kurzen Biographie.
Chapter
Der Naturalismus ist eine einflussreiche philosophische Denkrichtung, die Spuren im aktuellen medialen Diskurs hinterlässt: Alles was existiert, auch der Mensch und sein Werk, sind Teil der Natur. Wenn wir Natur als Gegensatz der spirituell-mystischen Welt des Übernatürlichen begreifen, ist die These des Naturalismus ein Grundsatz der Aufklärung. D...
Chapter
Pythagoras war bereits in der Antike eine legendäre Gestalt; die Quellen sind im Hinblick auf seine Biographie nicht ganz eindeutig. Pythagoras wurde vermutlich 570 v. Chr. auf der griechischen Insel Samos in der östlichen Ägäis nahe der Küste Kleinasiens geboren.
Chapter
Der Platonismus ist ein metaphysisches und erkenntnistheoretisches Konzept, das auf den antiken griechischen Philosophen Platon (428–348 v. Chr.) aus Athen zurückgeht. Platon war ein Schüler des Sokrates (469–399 v. Chr.) und Lehrer Aristoteles und ist eine der bedeutendsten Persönlichkeiten der europäischen Geistesgeschichte. Das Werk von Platon i...
Chapter
Immanuel Kant (1724–1804) gilt manchen als der bedeutendste Philosoph der Neuzeit, sein Werk ist in der Tat umfangreich, vielfältig und originell.
Chapter
Ein Konstruktivismus in der Philosophie der Mathematik geht von folgender ontologischen Grundannahme aus
Chapter
Wir geben in diesem Anhang eine kurze Einführung in die Mengenlehre, die eine Grundlage der modernen Mathematik darstellt. Details findet der Leser zum Beispiel in Deiser (2010). Eine Menge, im Sinne der naiven Mengenlehre, ist eine wohlbestimmte Zusammenfassung von wohlunterschiedenen Objekten unseres Denkens oder unserer Anschauungen zu einem Gan...
Chapter
Formeln sind nicht nur Instrument der Formalisierung mathematischer Theorien, sondern auch die Grundlage des Formalismus in der Philosophie der Mathematik. Eine Formel ist eine endliche Aneinanderreihung primitiver Symbole aus einem Alphabet. Primitive Symbole sind wohlunterschiedene und eindeutig identifizierbare Zeichen, die sich physikalisch etw...
Chapter
Die Grundannahme des Rationalismus ist, dass wir als rationale Wesen apriorisches Wissen besitzen, das unabhängig von jedweder Erfahrung ist und keiner Begründung durch Erfahrung bedarf. Dieses Wissen ist unserer Vernunft entweder unmittelbar gegeben oder es wird durch die Tätigkeit der reinen Vernunft, ohne Rückgriff auf Erfahrung, erschlossen. Di...
Chapter
Der Konzeptualismus ist eine aktuelle Position in der Philosophie der Mathematik, die durch den amerikanischen Mathematiker und Philosophen Nik Weaver (1969) vertreten wird.
Article
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We describe a class of fractal attractors induced by β-shifts. We use a coding by these shifts to show that the systems are mixing with topological entropy log β and have an ergodic measure of full entropy. This demonstrates that, symbolic dynamics can be used to determine significant properties of a geometric model in chaotic dynamics. Moreover we...
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We observe that a probability distribution supported by $\mathbb{N}$, induces a representation of real numbers in [0, 1) with digits in $\mathbb{N}$. We first study the Hausdorff dimension of sets with prescribed digits with respect to these representations. Than we determine the prevalent frequency of digits and the Hausdorff dimension of sets wit...
Book
Welche Art von Gegenständen untersucht die Mathematik und in welchem Sinne existieren diese Gegenstände? Warum dürfen wir die Aussagen der Mathematik zu unserem Wissen zählen und wie lassen sich diese Aussagen rechtfertigen? Eine Philosophie der Mathematik versucht solche Fragen zu beantworten. In dieser Einführung stellen wir maßgebliche Positio...
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In [8] we found a class of overlapping asymmetric self-similar measures on the real line, which are generically absolutely continuous with respect to the Lebesgue measure. Here we construct exceptional measures in this class being singular.
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We generalize results of Fan and Zhang [6] on absolute continuity and singularity of the golden Markov geometric series to nonuniform stochastic series given by arbitrary Markov process. In addition we describe an application of these results in fractal geometry.
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We introduce the continued logarithm representation of real numbers and prove results on the occurrence and frequency of digits with respect to this representation
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We describe a class of fractal attractors induced by \beta-shifts. We use a coding by these shifts to show that the systems are mixing with topological entropy log \beta and have an ergodic measure of full entropy. Moreover we determine the Hausdorff dimension of the attractor.
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We show that for some simple classical chaotic dynamical systems the set of Li-Yorke pairs has full Hausdorff dimension on invariant sets.
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We show that dimensional theoretical properties of dynamical systems can considerably change because of number theoretical peculiarities of some parameter values
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We develop the dimension theory for a class of linear solenoids, which have a "fractal" attractor. We will find the dimension of the attractor, proof formulas for the dimension of ergodic measures on this attractor and discuss the question whether there exists a measure of full dimension.
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We show that for generalized Baker's transformations there is a parameter domain where we have an absolutely continuous ergodic measure and in direct neighborhood there is a parameter domain where not even the variational principle for Hausdorff dimension holds.
Article
We introduce the continued logarithm representation of real numbers and prove results on the occurrence and frequency of digits with respect to this representation. Mathematical Reviews subject classification: Primary: 11K25; Secondary: 28D05, 28A80 Key words: representation of real numbers, continued logarithms, digits, frequency, Hausdorff dimens...
Chapter
Die diskrete Mathematik beschäftigt sich hauptsächlich mit endlichen, aber auch mit abzählbar unendlichen Objekten, die sich nicht stetig ändern, sondern unterschiedlich separierte Werte annehmen. Obwohl ein Teil der diskreten Mathematik aus „klassischen“ Resultaten besteht, gewann das Gebiet in der zweiten Hälfte des 20. Jahrhunderts mit der Mögli...
Chapter
Die Topologie ist ein recht junges Gebiet der Mathematik, das um die vorletzte Jahrhundertwende mit Konzepten aus Mengenlehre, Geometrie und Analysis entstand. Eine entscheidende Rolle kommt hierbei insbesondere den Werken von Poincaré (1854–1912) und Hausdorff (1868–1942) zu. Die Topologie beschäftigt sich im Wesentlichen mit der Gestalt und den E...
Chapter
Der Ausgangspunkt der Analysis ist die von Leibniz (1646–1716) und Newton (1643–1727) im 17. Jahrhundert entwickelte Infinitesimalrechnung. Die grundlegenden Begriffe des Grenzwerts und damit der Stetigkeit, der Differenzierbarkeit und der Integrierbarkeit von Funktionen wurden hierbei noch weitgehend intuitiv verwendet. Erst im 19. Jahrhundert gel...
Chapter
Die Theorie der dynamischen Systeme beschäftigt sich mit der Analyse von mathematischen Modellen zeitabhängiger Prozesse. In kontinuierlicher Zeit sind dies die Lösungen von Differenzialgleichungen und in diskreter Zeit die Iterationen einer Abbildung. Die moderne Theorie der dynamischen Systeme geht auf das Werk von Ljapunow (1857–1918), Poincaré...
Chapter
Seit den Werken von Thales (etwa 624–546 v. Chr.), Pythagoras (570–500 v. Chr.), Euklid (etwa 365–300 v. Chr.) und Archimedes (287–212 v. Chr.) in der Antike ist die Geometrie eine der Kerndisziplinen der Mathematik. Dabei ist die klassische Geometrie an unserer räumlichen Anschauung der flachen Ebene und des ungekrümmten dreidimensionalen Raumes o...
Chapter
Die Mengenlehre bildet gleichsam die Grundlage und die Sprache der modernen Mathematik. Sie wurde von Georg Cantor (1845–1918) entwickelt, der eine Menge als eine Zusammenfassung von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen definiert. Die Mengenlehre erlaubt die eindeutige Definition mathematis...
Chapter
Der Leser findet hier eine Zusammenstellung der Grundbegriffe der naiven Mengenlehre. Mengen sind durch ihre Elemente charakterisiert. Wir schreiben \(x\in A\), wenn x ein Element von A ist, und \(x\not\in A\), wenn dies nicht der Fall ist. Zwei Mengen A, B sind gleich, wenn jedes Element aus A auch in B ist und umgekehrt: $$A=B:\Leftrightarrow x\i...
Chapter
Die Algebra befasst sich, allgemein gesprochen, mit den Eigenschaften der Rechenoperationen auf Mengen unter Verwendung von Variablen und gehört damit zu den grundlegenden Gebieten der Mathematik. Die klassische Algebra beschäftigt sich hierbei im Wesentlichen mit der Lösung von algebraischen Gleichungen mittels Wurzeln. In der modernen Algebra tri...
Chapter
Die Zahlentheorie gilt als die Königsdisziplin der Mathematik und weist eine Vielzahl von Beziehungen zu anderen Teilgebieten der Mathematik auf. Der erste und zentrale Gegenstand zahlentheoretischer Forschung sind die ganzen Zahlen. Je nach den eingesetzten Methoden unterscheidet man hierbei die elementare und die analytische Zahlentheorie. Die al...
Chapter
Die Wahrscheinlichkeitstheorie beschäftigt sich mit der mathematischen Modellierung und Untersuchung zufälliger Ereignisse. Die mathematische Präzisierung des Begriffs der Wahrscheinlichkeit gelang erst Kolmogorow (1903–1987). Eine Vorstufe der modernen Wahrscheinlichkeitstheorie findet sich aber schon bei Pascal (1623–1662) und Fermat (1607–1665),...
Chapter
Die Lektüre dieses Buches hat dem Leser, wie wir hoffen, gezeigt, dass die Mathematik der letzten zweieinhalb Jahrtausende viele wirkliche schöne wahre Sätze hervorgebracht hat, die sich mit akzeptablem Aufwand formulieren und beweisen lassen. Auch die Mathematik des 20. Jahrhunderts hat, wie wir gesehen haben, eine Reihe solcher Sätze zu bieten. I...
Chapter
Wir geben in diesem Kapitel eine Einführung in die Begriffe der allgemeinen Topologie. Zunächst werden metrische und topologische Räume definiert und das Konzept der offenen und abgeschlossenen Mengen vorgestellt. Die Definitionen sind so bestimmt, dass wir im Abschn. 6.2 stetige Abbildungen und Homöomorphismen zwischen topologischen Räumen und die...
Chapter
In diesem Kapitel geben wir eine Einführung in die Grundbegriffe der Funktionalanalysis, in der unendlich-dimensionale Vektorräume und die Abbildung auf diesen Räumen untersucht werden. Zu Beginn führen wir Banach-Räume ein und zeigen als Beispiele Folgenräume, Funktionenräume und Räume von Maßen. Des Weiteren definieren wir Dualräume, d. h. Räume...
Chapter
In diesem Kapitel findet der Leser eine Einführung in die Grundbegriffe der Analysis, die üblicherweise in einem Vorlesungszyklus zur Analysis behandelt werden. Wir definieren zunächst die Konvergenz und die bestimmte Divergenz von Folgen und Reihen sowie Cauchy-Folgen und führen damit den Begriff der Vollständigkeit ein. In Abschn. 7.2 betrachten...
Chapter
In diesem Kapitel findet sich ein Überblick über die Grundbegriffe der Theorie dynamischer Systeme. Wir definieren im Abschn. 13.1 topologische dynamische Systeme und zeigen zahlreiche paradigmatische Beispiele. Weiterhin definieren wir periodische und rekurrente sowie heterokline und homokline Orbits. Mit den Begriffen Transitivität, Sensitivität,...
Chapter
Wir geben in diesem Kapitel einen Überblick über die Begriffe der linearen Algebra, die üblicherweise zu Beginn des Mathematikstudiums eingeführt werden. Zunächst definieren wir Vektorräume sowie deren Unterräume und Quotientenräume. Wir zeigen hierbei zahlreiche Beispiele und veranschaulichen die Operationen auf Vektoren durch Abbildungen. Danach...
Chapter
In diesem Kapitel geben wir einen Überblick über die Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie. Im ersten Abschnitt definieren wir Wahrscheinlichkeitsräume sowie diskrete und kontinuierliche Verteilungen und geben die wichtigsten Verteilungen als Beispiele an. Im Abschn. 12.2 wird das Konzept der Zufallsvariable eingeführt und die Unabhängigkeit...
Chapter
In diesem Kapitel geben wir eine Einführung in die Begriffe ausgewählter Teilgebiete der Geometrie. Als Fortsetzung des letzten Kapitels beginnen wir mit der analytischen Geometrie, die zur Beschreibung und Untersuchung geometrischer Objekte Mittel der linearen Algebra heranzieht. Wir definieren Objekte der elementaren Geometrie und stellen die Bew...
Chapter
Wir geben in diesem Kapitel eine Einführung in die Begriffe der Maßtheorie und der Integrationstheorie. Dieser Stoff wird zum Teil in einem Vorlesungszyklus zur Analysis behandelt, doch manche der Begriffe, die wir hier definieren, bleiben zumeist einer Spezialvorlesung über Maß- und Integrationstheorie vorbehalten. Wir beginnen mit der Definition...
Chapter
In diesem Kapitel geben wir einen Einblick in die Begriffe der numerischen Mathematik, die sich mit der Konstruktion und der Analyse von Algorithmen zur Lösung von Berechnungsaufgaben beschäftigt. Wie in Vorlesungen zur Numerik üblich führen wir zunächst den Grundbegriff der Kondition einer Berechnungsaufgabe und der Stabilität eines Verfahrens ein...
Chapter
In diesem Kapitel findet der Leser eine Einführung in die Grundbegriffe der Algebra, die Studierende zum Teil schon in den Grundvorlesungen zur Linearen Algebra oder in einer Vorlesung zur Algebra kennen lernen. Wir definieren in den ersten drei Abschnitten die algebraischen Strukturen Gruppe, Ring und Körper und gehen dann auf strukturerhaltende A...
Chapter
In diesem Kapitel werden grundlegende mathematische Begriffe definiert. Wir geben in den ersten zwei Abschnitten eine Einführung in die Begriffe der Aussagenlogik, der Prädikatenlogik und der naiven Mengenlehre anhand von Definitionen und Beispielen. Die folgenden zwei Abschnitte sind Relationen und Funktionen gewidmet. Wir definieren Relationen un...
Chapter
In diesem Kapitel geben wir einen Überblick über die Begriffe der elementaren Zahlentheorie, unter Berücksichtigung einiger grundlegender Notationen der algebraischen und der analytischen Zahlentheorie. Im ersten Abschnitt beschreiben wir den euklidischen Algorithmus zur Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers, definieren Primzahlen und Primzahl...
Chapter
In diesem Kapitel stellen wir zentrale Begriffe der diskreten Mathematik vor. Wir führen zunächst mit Permutationen, Kombinationen und Variationen die Grundbegriffe der elementaren Kombinatorik ein und zeigen Beispiele. Im nächsten Abschnitt definieren wir wichtige kombinatorische Zahlenfolgen, wie Fibonacci-, Bell-, Stirling-, Euler- und Catalan-Z...
Chapter
In diesem Kapitel geben wir einen Überblick über die Grundbegriffe der Funktionentheorie, die Funktionen auf Mengen komplexer Zahlen untersucht. Zunächst zeigen wir holomorphe und harmonische Funktionen ein und geben deren charakteristische Differenzialgleichungen. Rationale Funktionen, die Exponentialfunktionen sowie trigonometrische und hyperboli...
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We determine the probability of return for random walks on Z whose increment is given by the Fibonacci sequence. In addition we calculate the Hausdorff dimension of the set of these walks that return an infinite number of times.
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Dieses Buch ist ein wichtiges studienbegleitendes Hilfsmittel für alle, die Mathematik-Lehrveranstaltungen besuchen. Die Lektüre dieses Buches ermöglicht Ihnen, begriffliche Sicherheit für Mathematik-Vorlesungen und Prüfungen aufzubauen. Die Lektüre jedes Kapitels dieses Buches erlaubt Ihnen, einen Überblick über die Begriffe eines Teilgebiets der...
Book
In diesem Buch finden Sie Perlen der Mathematik aus 2500 Jahren, beginnend mit Pythagoras und Euklid über Euler und Gauß bis hin zu Poincaré und Erdös. Sie erhalten einen Überblick über schöne und zentrale mathematische Sätze aus neun unterschiedlichen Gebieten und einen Einblick in große elementare Vermutungen. Die Vielfalt an schönen Resultaten...
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We determine the probability of return for random walks on whose increment is given by the Fibonacci sequence. It addition we calculate the Hausdorff dimension of the set of these walks that return an infinite number of times.

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