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Hellmuth Stachel

Hellmuth Stachel
TU Wien | TU Wien · Institute of Discrete Mathematics and Geometry

PhD, Dr.h.c.

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Publications

Publications (538)
Chapter
A billiard is the trajectory of a mass point in a domain with ideal physical reflections in the boundary e. If e is an ellipse, then the billiard’s sides are tangents of a confocal conic called caustic c. The variation of billiards in e with caustic c is called billiard motion. We recall and extend a classical result of Poncelet on the diagonals of...
Chapter
Ein Taschenrechner bietet neben den Grundrechenarten üblicherweise weitere Funktionen an, zum Beispiel die Berechnung des Kosinus oder des Sinus. Anders als die Grundrechenarten wird die Bestimmung solcher Funktionswerte nicht exakt durch elektronische Schaltungen, sondern durch Näherungen auf genügend viele Dezimalstellen durchgeführt. Das funktio...
Chapter
In den kombinatorischen Beispielen konnten wir Wahrscheinlichkeit explizit ausrechnen. Aber das Modell des Wahrscheinlichkeitsraums (Ω;S;P) ist noch sehr abstrakt geblieben. Wie können wir von hier aus die Brücke zu praktischen Problemen schlagen und vor allem, wie können wir Wahrscheinlichkeiten für ganz reale, nicht triviale Probleme berechnen? D...
Chapter
Im vorangegangen Kapitel zur analytischen Geometrie haben wir ausführlich das kanonische Skalarprodukt im Anschauungsraum behandelt. Wir haben festgestellt, dass zwei Vektoren genau dann orthogonal zueinander sind, wenn ihr Skalarprodukt den Wert null ergibt. Wir sind auch mit höherdimensionalen Vektorräumen und auch mit Vektorräumen, deren Element...
Chapter
Die Mathematik findet ihre Anwendung, wenn natürliche Phänomene theoretisch erfasst und ergründet werden sollen. Wir bilden abstrakte Modelle von Teilaspekten der Wirklichkeit, letztendlich um natürliche oder technische Gegebenheiten besser zu verstehen oder am Rechner zu simulieren. Dabei werden die Abhängigkeiten von verschiedenen Größen durch Ab...
Chapter
Wir haben inzwischen viele Funktionen kennengelernt, die sich in den verschiedensten Situationen als nützlich oder gar unentbehrlich erwiesen haben. Zu diesen elementaren Funktionen zählen Polynome, Winkelfunktionen, die Exponentialfunktion, Hyperbelfunktionen, Logarithmen, Arkus- und Areafunktionen. Einige Male sind wir aber auch an die Grenzen de...
Chapter
Bei linearen Gleichungssystemen dienen Matrizen als Hilfsmittel; durch sie wird das Lösen von großen Gleichungssystemen übersichtlich. Die Entscheidung, ob Spaltenvektoren linear unabhängig sind oder eine Basis bilden, wird oft vorteilhaft mittels einer Matrix gefällt. Und im nächsten Kapitel werden wir sehen, dass man mit Matrizen Abbildungen zwis...
Chapter
Deskriptive Statistik ordnet Daten und beschreibt sie in konzentrierter Form. Dagegen schließen wir in der induktiven Statistik aus beobachteten Daten auf latente Strukturen und bewerten unsere Schlüsse innerhalb vorgegebener Modelle der Wahrscheinlichkeitstheorie. In der deskriptiven Statistik lässt man nur die Daten selbst reden und kommt zuminde...
Chapter
Die Differenzialrechnung ist mit Sicherheit das zentrale Kalkül der Mathematik in den technischen und naturwissenschaftlichen Anwendungen. Den meisten Lesern werden deswegen die Begriffe Ableitung und Differenzial schon in verschiedenen Facetten begegnet sein. Häufig überlagern aber die mathematisch-technischen Aspekte den wesentlichen Charakter de...
Chapter
Die lineare Algebra kann auch als Theorie der Vektorräume bezeichnet werden. Diese Theorie entstand durch Verallgemeinerung der Rechenregeln von klassischen Vektoren im Sinne von Pfeilen in der Anschauungsebene. Der wesentliche Nutzen liegt darin, dass unzählige, in fast allen Gebieten der Mathematik und auch in zahlreichen Naturwissenschaften auft...
Chapter
Wer eine neue Sprache lernen will, benötigt ein gewisses Grundvokabular, um sich einigermaßen zurechtzufinden und seine Kenntnisse auf dieser Basis weiter auszubauen. In einer Fremdsprache sind das viele hundert, ja eher mehrere tausend Vokabeln. In der Mathematik kommt man für den Anfang mit sehr viel weniger Wörtern aus. Viel ist dabei schon gewo...
Chapter
Nachdem wir im vorangegangenen Kapitel die Differenzialrechnung in das Mehrdimensionale übertragen haben, wollen wir nun den ersten Schritt unternehmen, auch die Integralrechnung auf höhere Dimensionen zu übertragen. Es gibt dabei viele verschiedene Integralbegriffe im Mehrdimensionalen, zum Beispiel Kurvenintegrale oder Oberflächenintegrale, mit d...
Chapter
Der Schritt hin zu den komplexen Zahlen wird oft als schwer greifbarer Einstieg in die „Höhere Mathematik“ empfunden. Dabei handelt es sich nur um eine konsequente Erweiterung in der Ausgestaltung unseres Zahlenbereichs, so wie man von den natürlichen zu den ganzen Zahlen, zu den rationalen Zahlen und schließlich zu den reellen Zahlen gelangt. Früh...
Chapter
Eine Abbildung zwischen Vektorräumen, also zwischen Mengen mit einer Vektoraddition und einer skalaren Multiplikation, werden wir lineare Abbildung oder Homomorphismus nennen, wenn sie die Struktur der Vektorräume berücksichtigt, d. h., wenn sie additiv und multiplikativ ist. Diese Gleichheit der Strukturen besagt der Begriff Homomorphie. In dieser...
Chapter
Im vorigen Kapitel haben wir den Begriff der Zufallsvariablen als globales Modell kennengelernt. Nun sollen die Modelle spezialisiert werden. Vor allem werden wir nun auch stetige Zufallsvariable vorstellen und uns den zentralen Begriff einer Wahrscheinlichkeitsdichte erarbeiten. Wir werden für die wichtigsten, in der Praxis häufig auftretenden Fra...
Chapter
Historisch gesehen hat sich die Geometrie aus einer Idealisierung unserer physikalischen Welt entwickelt. Zunächst war allein die Zeichnung die Grundlage für geometrische Fragestellungen, für deren Analyse und deren Lösung. Es bedeutete zweifellos einen besonderen Durchbruch, als man begann, geometrische Elemente durch Zahlen zu beschreiben und dam...
Chapter
Mathematik kann man als eine Sprache auffassen. Das Vokabular basiert auf der Mengenlehre, und die Logik übernimmt die Rolle der Grammatik. Die Begriffe und Symbole der Mengenlehre und der Logik werden dabei als eine Art Stenografie verwendet, um Definitionen, Sätze und Beweise prägnant und klar formulieren zu können.
Chapter
Im Kapitel 2 haben wir bereits den Begriff der Abbildung kennengelernt, eines der ganz wesentlichen Konzepte der abstrakten Mathematik. In diesem Kapitel werden wir uns mit ganz speziellen Abbildungen, den Funktionen, beschäftigen, bei denen Zahlen wieder Zahlen zugeordnet werden.
Chapter
In diesem Kapitel beginnen wir mit dem systematischen Studium von Funktionen mehrerer Veränderlicher und der ausführlichen Betrachtung von Funktionenräumen. Wir entwickeln das Konzept des metrischen Raums, das einen Mittelweg zwischen geometrischer Anschauung und Abstraktion darstellt.
Chapter
Unter einer Quadrik in einem affinen Raum verstehen wir die Menge jener Punkte, deren Koordinaten einer quadratischen Gleichung genügen.
Chapter
Die elementare Zahlentheorie beschäftigt sich – nicht ausschließlich, aber vornehmlich – mit Eigenschaften der ganzen Zahlen. Ein systematisches Studium der natürlichen Zahlen begannen die Griechen, etwa ab 600 v. Chr. Euklids Elemente, ein Buch, in dem sich Euklid mit Fragen zum Aufbau des Zahlensystems beschäftigt, ist eines der einflussreichsten...
Chapter
Im Kapitel 7 zur analytischen Geometrie haben wir ausführlich das kanonische Skalarprodukt im (reellen) Anschauungsraum behandelt. Wir haben festgestellt, dass zwei Vektoren genau dann orthogonal zueinander sind, wenn ihr Skalarprodukt den Wert null ergibt.
Chapter
In diesem Kapitel kehren wir wieder zu den Folgen zurück. Allerdings werden wir uns nun mit einer Klasse von Folgen beschäftigen, bei denen die Folgenglieder als Summen dargestellt werden. Solche Objekte nennt man Reihen.
Chapter
Die Differenzialrechnung ist mit Sicherheit ein zentrales Kalkül der Mathematik. Den meisten Lesern werden deswegen die Begriffe Ableitung und Differenzial schon in verschiedenen Facetten begegnet sein.
Chapter
Die Suche nach dem Maximum oder dem Minimum einer Funktion ist uns bereits an verschiedenen Stellen begegnet. Die Tragweite solcher Fragen ist zu Beginn des Studiums aber kaum abschätzbar. Die Disziplin, die diese Vielfalt an Problemen in einen allgemeinen mathematischen Rahmen fasst, ist die Optimierungstheorie. Der Optimierung kommt eine zentrale...
Chapter
Neben der Differenzialrechnung ist die Integralrechnung die zweite tragende Säule der Analysis. Während sich die Differenzialrechnung in erster Linie mit dem lokalen Änderungsverhalten von Funktionen befasst, macht die Integralrechnung globale Aussagen. Entscheidend ist der Zusammenhang – das Integrieren lässt sich als Umkehrung des Differenzierens...
Chapter
Die bisher in Beispielen betrachteten Funktionen, Polynomfunktionen, rationale Funktionen und ihre Umkehrungen, sind dadurch gekennzeichnet, dass ihre Auswertung durch Lösen algebraischer Gleichungen beschrieben werden kann. Man fasst all diese Abbildungen zur Klasse der algebraischen Funktionen zusammen. Dem gegenüber steht die Klasse der transzen...
Chapter
Die Tätigkeit, die umgangssprachlich mit „Rechnen“ bezeichnet wird, ist ein zielorientiertes Hantieren mit Symbolen und mit Regeln, die man einfach weiß, ohne sie immer extra aufzulisten. Im Rahmen der Schulmathematik sind die Symbole Zahlen, Unbestimmte, aber auch Mengen oder Funktionen. Auch die Rechenoperationen wie Addition, Subtraktion, Multip...
Chapter
Die diskrete Mathematik beschäftigt sich vornehmlich mit endlichen oder abzählbar unendlichen Mengen, also letztlich mit den Ideen und Methoden des Abzählens. Das Wort „diskret“ steht hier für das Gegenteil von „kontinuierlich“; der für andere mathematische Teilgebiete so wichtige Begriff der Stetigkeit fehlt hier völlig. Der Wechsel von analog zu...
Chapter
In fast allen Bereichen der linearen Algebra stößt man auf Aufgaben, die auf lineare Gleichungssysteme zurückführbar sind. Bereits einfache Fragestellungen nach Schnittpunkten von Geraden in der Ebene liefern solche Systeme. Kompliziertere Aufgabenstellungen, wie etwa Eigenwertprobleme oder Fragen aus der linearen Optimierung, können in riesige Gle...
Chapter
In der Mathematik, eine der ältesten Wissenschaften überhaupt, geht es darum, Aussagen auf ihren Wahrheitsgehalt hin zu überprüfen und allgemeingültige Aussagen zu beweisen und diese als mathematische Sätze zu formulieren. Mathematik ist eine exakte Wissenschaft, ist ein Satz bewiesen, so gilt dieser für immer und ewig.
Chapter
Zahlen stellen eine wichtige Grundlage der gesamten Mathematik, speziell aber der Analysis dar.
Chapter
In den Kapiteln 21 und 22 ist deutlich geworden, wie sich wesentliche Aussagen der Differenzial- und Integralrechnung aus dem Eindimensionalen auf vektorwertige Funktionen in mehreren Variablen übertragen lassen. Offen geblieben ist bisher, ob sich der enge Zusammenhang, der durch die Hauptsätze der Differenzial- und Integralrechnung ausgedrückt wi...
Chapter
Nachdem wir uns im Kapitel 19 ausführlich mit dem Begriff der Stetigkeit von Abbildungen zwischen metrischen und topologischen Räumen beschäftigt haben, entwickeln wir in diesem zentralen Kapitel die fundamentalen Tatsachen der Differenzialrechnung für Abbildungen f : D → Rm, deren Definitionsbereich i. Allg. eine offene (nichtleere) Menge D ⊆ Rn i...
Chapter
Gleichungen, in denen eine gesuchte Funktion und ihre Ableitungen auftauchen, nennt man Differenzialgleichungen. Viele physikalische Probleme lassen sich mithilfe von Differenzialgleichungen mathematisch beschreiben. Solche Gleichungen sind ein wesentlicher Baustein der mathematischen Modellierung von naturwissenschaftlichen Phänomenen.
Chapter
Die lineare Algebra kann auch als Theorie der Vektorräume bezeichnet werden. Diese Theorie entstand durch Verallgemeinerung der Rechenregeln von klassischen Vektoren im Sinne von Pfeilen in der Anschauungsebene. Der wesentliche Nutzen liegt darin, dass unzählige, in fast allen Gebieten der Mathematik auftauchende Mengen eben diese gleichen Rechenge...
Chapter
Eine der wichtigsten Errungenschaften der Mathematik ist die konkrete Beschreibung des Unendlichen. Dadurch wurde unendlich groß und unendlich klein greifbar und mathematischen Aussagen zugänglich. Die Geschichte der Naturwissenschaften und Technik ist voll von Irrtümern, die man bei dem Versuch beging, Unendlichkeit zu fassen. Sie zeigen, wie komp...
Chapter
Zu jeder quadratischen Matrix A über einem Körper K gibt es eine Kenngröße – ihre Determinante. Diese Zahl aus K gibt Aufschluss über Eigenschaften der Matrix. So ist etwa eine Matrix A genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante von null verschieden ist. Und genau diese Eigenschaft ist es, welche die Determinante so wertvoll macht.
Chapter
Den Begriff Homomorphismus haben wir bereits im Zusammenhang mit Gruppen, Ringen und Körpern im Kapitel 4 kennengelernt. Der Begriff ist also sehr allgemein. Ins Deutsche übersetzt man ihn wohl am besten mit strukturerhaltende Abbildung. Ein Homomorphismus ist also eine Abbildung zwischen Mengen, welche kompatibel ist mit der Struktur, d. h. die Ve...
Chapter
In diesem Kapitel wollen wir den ersten Schritt unternehmen, die Integralrechnung auf den Rn zu übertragen. Es gibt dabei viele verschiedene Integralbegriffe im Mehrdimensionalen, z. B. Kurvenintegrale oder Oberflächenintegrale, mit denen wir uns erst im Kapitel 23 beschäftigen werden. In diesem Kapitel wird es dagegen ausschließlich um sogenannte...
Chapter
Lineare Abbildungen von Vektorräumen in sich sind im Allgemeinen nicht einfach zu beschreiben. Bei endlichdimensionalen Vektorräumen ist es möglich, solche Abbildungen bezüglich einer gewählten Basis des Vektorraums durch Matrizen darzustellen. Zu jedem Endomorphismus eines endlichdimensionalen Vektorraums gehört eine Äquivalenzklasse von zueinande...
Article
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For billiards in an ellipse e with an ellipse as caustic, there exist canonical coordinates on e such that the billiard transformation from vertex to vertex is equivalent to a shift of coordinates. A kinematic analysis of billiard motions offers a new approach to canonical parametrizations of billiards and associated Poncelet grids. This parametriz...