Georg Schlüchtermann

• Hochschule München

In diesem letzten Abschnitt präsentieren wir drei Probeklausuren zu den Inhalten dieses Buches. Diese Probeklausuren sollen eine Idee einer möglichen Klausur als Abschlussprüfung einer einsemestrigen Vorlesung darstellen.

Lineare Gleichungssysteme sind auf den ersten Blick einfach strukturiert. Sie bestehen aus einer Anzahl von m Gleichungen, in denen jeweils n Unbekannte linear kombiniert auftreten. Solange keine große Anzahl von Gleichungen vorliegt, ist es auch möglich, sie noch per Hand zu lösen.

Der Vektor ist eines der grundlegenden Konzepte in der Mathematik. Dieses Konzept ist vor allem für Wissensschaften wichtig, in denen die Anwendung der Mathematik von zentraler Bedeutung ist, wie z. B. der Physik, der Mechanik oder den Wirtschaftswissenschaften.

Matrizen, wie im Gedicht von Hubert Cremer, sind ein Spezialfall linearer Abbildungen. Um zu den Matrizen zu kommen, werden wir zuerst allgemein lineare Abbildungen auf einem K -Vektorraum betrachten und dann zum Spezialfall eines endlich dimensionalen Vektorraums übergehen. Abbildungen zwischen endlich dimensionalen Vektorräumen besitzen dann in d...

In diesem Abschnitt wollen wir die Untersuchung über lineare Abbildungen und deren Zusammenhang mit Matrizen fortsetzen. Wir werden sehen, dass eine bijektive Beziehung zwischen m×n -Matrizen einerseits und den linearen Abbildungen zwischen n und m dimensionalen Vektorräumen andererseits besteht. Dabei wird sich zeigen, dass allgemeine n -dimension...

Lösungen zu „Kurzaufgaben zum Verständnis“ .

This paper derives a free analog of the Euler-Maruyama method (fEMM) to numerically approximate solutions of free stochastic differential equations (fSDEs). Simply speaking fSDEs are stochastic differential equations in the context of non-commutative random variables (e.g. large random matrices). By applying the theory of multiple operator integral...

For stochastic processes of non-commuting random variables, we formulate a Cox–Ingersoll–Ross (CIR) stochastic differential equation in the context of free probability theory which was introduced by D. Voiculescu. By transforming the classical CIR equation and the Feller condition, which ensures the existence of a positive solution, into the free s...

Komplexe Zahlen waren vor allem ab dem 18 Jh. Gegenstand intensive mathematischer Forschung. Einer, der sich in diesem Zusammenhang vor allem Verdienste erworben hat, war Leonhard Euler. Nach ihm ist eine der zentralen Formeln zur Darstellung der komplexen Zahlen benannt. Heute gibt es eine Vielzahl von Anwendungen für komplexe Zahlen unter denen j...

In Frank Stocktons Geschichte „Die Lady oder der Tiger“ (siehe [DOT]) wird ein Gefangener von einem König gezwungen zwischen zwei Räumen zu wählen, wobei sich in dem einen eine Dame befindet und in dem anderen ein hungriger Tiger lauert.

Nach den Elementen aus der Aussagenlogik im vorangehenden Kapitel wenden wir uns jetzt einigen grundlegenden Begriffen der Mathematik zu - der Menge, der Abbildung und dem Zahlenkörper. Sie sind unverzichtbare Konzepte in der Mathematik und nicht nur da. Da dies keine Monographie über Mengen oder Zahlen sein soll, wird zu diesem Zweck eine begriffl...

Eines der grundlegenden Konzepte der Mathematik ist das der Folge und damit zusammenhängend das Konzept der Reihe. Es sollte darauf hingewiesen werden, dass eine detaillierte Darstellung den Rahmen dieser Monographie sprengen würde und auch nicht ihr Ziel ist. Nachdem wir die Folgen eingeführt haben, werden wir einen kleinen Exkurs in die Kombinato...

Anders als viele Lehrbücher der Ingenieurmathematik wird hier Wert auf die Konzentration eines bestimmten Gebiets der Ingenieurmathematik gelegt. Durch überschaubare Inhalte soll der Studierende nicht überfordert werden. Beispiele aus den Ingenieur- und Naturwissenschaften bringen klare Bezüge zur Anwendung. Jedes Kapitel enthält Verständnisfragen...

Komplexe Zahlen waren vor allem ab dem 18 Jh. Gegenstand intensive mathematischer Forschung. Einer, der sich in diesem Zusammenhang vor allem Verdienste erworben hat, war Leonhard Euler.

Eines der grundlegenden Konzepte der Mathematik ist das der Folge und damit zusammenhängend das Konzept der Reihe. Es sollte darauf hingewiesen werden, dass eine detaillierte Darstellung den Rahmen dieser Monographie sprengen würde und auch nicht ihr Ziel ist. Nachdem wir die Folgen eingeführt haben, werden wir einen kleinen Exkurs in die Kombinato...

Nach den Elementen aus der Aussagenlogik im vorangehenden Kapitel wenden wir uns jetzt einigen grundlegenden Begriffen der Mathematik zu - der Menge, der Abbildung und dem Zahlenkörper. Sie sind unverzichtbare Konzepte in der Mathematik und nicht nur da. Da dies keine Monographie über Mengen oder Zahlen sein soll, wird zu diesem Zweck eine begriffl...

In Frank Stocktons Geschichte „Die Lady oder der Tiger“ (siehe [DOT]) wird ein Gefangener von einem König gezwungen zwischen zwei Räumen zu wählen, wobei sich in dem einen eine Dame befindet und in dem anderen ein hungriger Tiger lauert.

Anders als viele Lehrbücher der Ingenieurmathematik wird hier Wert auf die Konzentration eines bestimmten Gebiets der Ingenieurmathematik gelegt. Durch überschaubare Inhalte soll der Studierende nicht überfordert werden. Beispiele aus den Ingenieur- und Naturwissenschaften bringen klare Bezüge zur Anwendung. Jedes Kapitel enthält Verständnisfragen...

For stochastic processes of non-commuting random variables we formulate a Cox-Ingersoll-Ross (CIR) stochastic differential equation in the context of free probability theory which was introduced by Voicelescu. By transforming the classical CIR equation and the Feller condition, which ensures the existence of a positive solution, into the free setti...

We prove a general Picard–Lindelöf-type framework for stochastic differential equations driven by Mandelbrot–Van Ness fractional Lévy processes. This allows us to derive the existence of a fractional Lévy Cox–Ingersoll–Ross and Jacobi model with almost surely positive, respectively bounded, samples paths.

Schon in den Abschnitten 3.1 und 3.2 haben wir die Bewertung von Derivaten mittels der Methode von Cox-Ross-Rubinstein in einem zeitstetigen Modell betrachtet. In 2.5 sahen wir, dass eine Darstellung gerade für die Bewertung von Zinsprodukten im zeitdiskreten Modell sehr mühsam war. Die elegante Methode, Derivate zu bewerten, deren Weg auch histori...

Wurden bisher amerikanische oder europäische Optionen behandelt, deren Auszahlungsfunktionen von einem Zeitpunkt abhingen, so wollen wir uns jetzt den Derivaten zuwenden, deren Auszahlungen von einer ganzen Periode bestimmt werden. Hier geht die Entwicklung des zugrundeliegenden Vermögenswertes über die gesamte Periode ein. Daher muss der Pfad des...

Die grundlegenden Prinzipien für die Bewertung von Derivaten und den zugrundeliegenden Vermögenswerten lassen sich anhand von diskreten Zeitmodellen, ja sogar schon im Zweiperiodenmodell, erläutern. Dennoch ist für die Modellbildung der kontinuierliche Fall, dem wir im Kapitel 3 bzw. 4 begegnen werden, wichtig, da er besonders für die Zinsderivate...

Bereits in Abschnitt 2.5 haben wir uns mit der Zinsstruktur von Bonds beschäftigt, dort allerdings im zeitdiskreten Fall. Wir haben schon einige Grundprinzipien kennengelernt und Beispiele für Zinskurvenmodelle diskutiert, wenn auch zum Teil heuristisch. Ausgestattet mit den Techniken der stochastischen Integration und der Martingaltheorie können w...

Anhand von drei Beispielen wollen wir einerseits illustrieren, welche Grundideen die Finanzmathematik aufweist und gleichzeitig fundamentale Begriffe nennen, die im Buch eine zentrale Rolle spielen.

Dieses Kapitel beginnt mit einem allgemeineren und abstrakteren Zugang, Derivate zu bewerten. Ein allgemeines Derivat werden wir in Zukunft als eine Abbildung f:W® f:\Omega \to ansehen, wobei f( w) f\left( \omega \right) die Auszahlung angibt, falls w Î W \omega \in \Omega eintritt. Eine Bewertung ordnet jedem derartigen Derivat eine Zahl zu, nämli...

Grundlegende Begriffe wie fehlendes Arbitrage, fairer Preis, vollständiger Markt und Martingal werden anhand von einem Markt mit einem risikolosen Bond und einer Aktie definiert. Anschließend wird mit dem Übergang zum zeitstetigen Modell die Black-Scholes Formel für Optionen hergeleitet und die Faktoren zur praktischen Implementierung eingeführt. I...

Schlägt man eine Börsenzeitschrift auf, so wird man bei der Analyse von Optionen oder Aktien auf Begriffe wie „Volatilität“, „Black-Scholes-Preis“, etc. stoßen. Was bedeuten sie? Und warum sind sie von Interesse? Wir versuchen, in diesem Kapitel Antworten auf diese Fragen zu geben (vgl. 3.2, 3.3). Doch um diese Begriffe elegant einführen zu können,...

In diesem Kapitel untersuchen wir eine neue Art von Optionen, die dem Halter dieser Option die Möglichkeit bietet, die Option jederzeit bis zum Enddatum T > 0 einzulösen. Da dem Halter somit mehr Rechte zu stehen, wird der Preis dieser Option auch höher sein als bei einem Derivat europäischen Stils. Ein Halter einer europäischen Option kann nur am...

This book presents different approaches in IP traffic theory and classifies them, especially towards applications in the Internet. It comprises the state of the art in this area, which is currently presented only by numerous research papers and overview articles. The book provides an ideal starting point for detailed studies of traffic analysis in...

In this chapter we will deal with the problem of determine waiting queues in various models as well as some aspects of optimization. It is obvious that we cannot cover the full range of approaches, offered by the research community. In this respect, we will provide suitable literature for the interested reader. Our optimization approaches will be t...

As we already pointed out in section 1.4, the Bellcore experiment of the Leland group raised doubts on applying the classical traffic theory of telecommunication. We briefly summarize the facts and the major ingredients, which lead to the application of new mathematical models.

Before starting with the mathematical analysis of IP traffic, we give an introduction to the characteristics and special properties of the Internet, so as to get a better understanding in the different models and their justification. In this first chapter, we will explain the structure of the protocols and networks as well as the applications in th...

A broad variety of approaches exists to estimate an appropriate distribution and its parameters, when given a sample of data. They contain among others: unbiased estimators, regression methods or maximum likelihood estimator (see e.g. [118, 98, 158]). In this chapter we introduce relevant estimators for characteristic properties of IP traffic. We s...

The principal result of the paper reduces the study of certain weakly compact sets in Banach spaces of measurable operators to that of the corresponding sets of generalized singular value functions. In particular, under natural conditions, it is shown that the orbit of a relatively weakly compact subset of the Köthe dual of a symmetric space of...

In this note we give a proof of Lomonosov's extension of Burnside's theorem to infinite dimensional Banach spaces.

We study when c0 is isomorphic to a quotient of Lp(μ, X) (1<p<[infty infinity]). The results are extended to order continuous Köthe function spaces.

For a finite and positive measure space (Ω,Σ,μ) hereditary results which hold for Bochner Lp-spaces are derived for their dual spaces. In addition, results of N. Kalton, G. Pisier and N. Randrianantoanina-E. Saab are given alternative proofs.

To generalize the Hausdorff measure of noncompactness to other classes of bounded sets (like e.g. conditionally weakly compact or Asplund sets), we introduce Grothendieck classes. We deduce integral inequalities for quantities (called Grothendieck measures) related to these classes. As a by-product, we can answer a question concerning the measure o...

We prove that for Banach spaces E,F,G,H and operators T∈ℒ(E,G), S∈ℒ(F,H) the tensor product T⊗S:E⊗ ε F→G⊗ ε H is a Grothendieck operator, provided T is a Grothendieck operator and S is compact.

We prove that in the setting of operator spaces the result of Davis, Figiel, Johnson and Pelczynski on factoring weakly compact operators holds accordingly. Though not related directly to the main theorem we add a remark on the description of weakly compact subsets in the dual of noncommutative vector valued ${\rm L}_1$.

Let (Ω, ε, μ) be a finite and positive measure space, and let Un. U. be strongly measurable functions with values in the space of bounded linear operators on a Banach space. Then the product Un. , U n is again strong measurable.

Let (Omega, Sigma, mu) be a finite and positive measure space, and let U-1,...,U-n be strongly measurable functions with values in the space of bounded linear operators on a Banach space. Then the product U-1 ... U-n is again strongly measurable.

An extension of a result on the essential spectral radius of a perturbed semigroup obtained by L. Weis is presented. In addition, integral inequalities for the measure of non-compactness for strongly measurable operator-valued functions and linear semigroups are given.

For a finite and positive measure space (Ω, Σ, μ) characterization of relatively weakly compact sets in L∞ (μ, X) the space of μ-essentially bounded vector valued functions f: Ω → X are presented. Application to Banach space theory is given.

A locally convex space ( E , ) has the Mazur Property if and only if every linear -sequential continuous functional is -continuous (see [11]). In the Banach space setting, a Banach space X is a Mazur space if and only if the dual space X * endowed with the w *-topology has the Mazur property. The Mazur property was introduced by S. Mazur, and, for...

A sufficient condition is given when a subspaceL⊂L 1(μ,X) of the space of Bochner integrable function, defined on a finite and positive measure space (S, Φ, μ) with values in a Banach spaceX, is locally uniformly convex renormable in terms of the integrable evaluations {∫ A fdμ;f∈L}. This shows the lifting property thatL 1(μ,X) is renormable if an...

continuous duals of both (C(S,X*),fll) and (C(S,X*),fl2) can be represented as L i (/~, X), the space of Bochner integrable functions from f2 into X. One consequence of this representation was a characterization of the subsets of L 1 (#, X) which are equicontinuous with respect to the fll and f12 topologies. A natural question to ask is whether or...

To illustrate the complexity of traffic theory we begin this chapter with three basic examples. Each example refers to certain aspects of traffic theory briefly and motivates the broad variety of models we will introduce in later sections of this chapter.

For a semifinite von Neumann algebra M we define the noncommutative vector-valued function space as the projective Banach space tensor product M * ⊗ ^X, where M * is the predual and X a Banach space. In this setting, we prove an Egorov type result, give a complete answer for the Dunford-Pettis property for the predual of a von Neumann algebra and s...

For a finite and positive measure space (Ω,Σ,μ) we present results on the factorization of strongly measurable operator-valued functions. This leads on the one hand to characterizations of weakly compact and conditionally weakly compact operators T:X→L ∞ (μ,Y), and on the other hand to structural properties, like the strong WCG-spaces introduced by...