Erwin Engeler

• ETH Zurich

This essay addresses the concerns of the foundations of mathematics of the early 20th century which led to the creation of formally axiomatized universes. These are confronted with contemporary developments, particularly in computational logic and neuroscience. Our approach uses computational models of mental experiments with the infinite in set-th...

This chapter discusses combinatorial theorems for the construction of models. It provides a further study of the interconnections between model theory and combinatorics and attempt a systematic development. Since the compactness of first-order logic is one of the most successfully used properties in model theory, it is natural to investigate the ro...

MirkowskaG. and SalwickiA.. Algorithmic logic. D. Reidel Publishing Company, Dordrecht etc., and PWN-Polish Scientific Publishers, Warsaw, 1987, xi + 372 pp. - Volume 54 Issue 3 - E. Engeler

FefermanSolomon. Some recent work of Ehrenfeucht and Fraïssé. Summaries of talks presented at the Summer Institute for Symbolic Logic, Cornell University, 1957, 2nd edn., Communications Research Division, Institute for Defense Analyses, Princeton, N.J., 1960, pp. 201–209. - Volume 32 Issue 2 - Erwin Engeler

Lopez-EscobarE. G. K.. An interpolation theorem for denumerably long formulas. Fundamenta mathematicae, vol. 57 no. 3 (1965), pp. 253–257. Lopez-EscobarE. G. K.. Universal formulas in the infinitary language Lαβ. Bulletin de l'Académie Polonaise des Sciences, Série des sciences mathématiques, astronomiques et physiques, vol. 13 (1965), pp. 383–388....

BarendregtH. P.. The lambda calculus. Its syntax and semantics. Studies in logic and foundations of mathematics, vol. 103. North-Holland Publishing Company, Amsterdam, New York, and Oxford, 1981, xiv + 615 pp. - Volume 49 Issue 1 - E. Engeler

In Memoriam: Ernst Specker 1920–2011 - Volume 18 Issue 3 - Erwin Engeler

Thoughts are spatio-temporal patterns of coalitions of firing neurons and their interconnections. Neural algebras represent these patterns as formal algebraic objects, and a suitable composition operation reflects their interaction. Thus, a neural algebra is associated with any neural net. The present paper presents this formalization and develops...

It is a commonplace, that the use of mathematical software is in the process of influencing, if not shaping, the working style of the mathematician, physicist and engineer. Considerable effort has been put into the creation of integrated systems by various groups. On the other hand, relatively small progress has been seen in making a telling impact...

The literature of theoretical computer science abounds with proposals for mathematical frameworks for parallel and distributed computing; they span the spectrum from automata (Petri Nets) to logic (Linear Logic), from process algebras to programming languages. Some of them are beautiful, some of them successful in their chosen goals. But we have al...

In the fall of 1928 a young American turned up at the Mathematical Institute of Göttingen, a mecca of mathematicians at the time; he was a young man with a dream and his name was H. B. Curry. He felt that he had the tools in hand with which to solve the problem of foundations of mathematics once and for all. His was an approach that came to be call...

Es soll heute die Rede sein von Logik und Mathematik, und von den Antworten, welche diese Wissenschaften zur Frage: Was gibt es, was gibt es nicht? anzubieten haben.

The purpose of the programme in combinatory logic is to rework the mathematical foundations of computer science on a theory of pure thought. It begins from the idea that, if logic is to be the science of correctly dealing with thought-objects, the underlying theory must be in some sense a part of, or at least a preliminary to, its structure, ie, a...

Let us remind ourselves once again what “combinatory algebra” means: for each term t(x1,…, xn) there exists an element T in DA, so that for arbitrary M1,…,Mn ∈ DA we have $$ T{M_1}{M_2} \ldots {M_n} = t\left( {{M_1}, \ldots {M_n}} \right); $$ the algorithmic rule becomes a concrete object. It lies in the nature of the subject, that by applications...

The completeness axiom V for plane Euclidean Geometry leaves us facing the problem already considered in Chapter I: In what sense are the sets M and N named in it to be understood? In other words, how to adequately express the content of Axiom V in our formal language? And once more we choose the same solution - we identify sets with extensions of...

For the first hundred and fifty years of its existence, differential and integral calculus were known as the analysis of the infinitely small. Euler’s influential textbook, for example, is entitled “Introductio in Analysin Infinitorum” (Lausanne, 1748). The infinitely small magnitudes which we encountered as “atoms of straight lines” in Cavalieri’s...

In the question of the concept of space, even more evidently than in the question of the real numbers, the problem of the relation between mathematics and the so-called real world is posed. Newton formulated his position as follows: “Geometry is founded in practical mechanics, and indeed is no more than that part of mechanics as a whole, which orig...

First of all I must apologize for the word “concrete”; the concreteness of the model we describe is somewhat comparable with the concreteness of the field of real numbers, as constructed by Dedekind. It is thus concreteness relative to an unreflectively borrowed substratum from naive set-theory — as concrete therefore as the objects of classical ma...

What are the real numbers? At least the question has become somewhat clearer since it was posed in Section 1: any satisfactory answer must provide a frame of reference for mathematical activity, in particular for proving theorems in analysis. There seem to be two aspects of this activity that go hand in hand: on the one hand there is what active ma...

Since we have imposed on Euclidean Geometry the duty of using the field R of real numbers as distance system, this is easiest to understand as a twodimensional vector space ε over ℝ. With the help of the scalar product the distance function is defined to be \(\left\| {x,y} \right\| = \sqrt {\left( {x - y} \right)\left( {x - y} \right)} \) for arbit...

About one hundred years ago, Dedekind was Professor of Mathematics at the ETH in Zurich, teaching differential and integral calculus. He describes how teaching this particular subject he was confronted with the questions of the foundations of analysis. Dedekind’s little book „Was sind und was sollen die Zahlen“1, which still makes enjoyable reading...

Modern logic owes its existence to a truly grandiose dream — one already dreamed by Leibniz. Before recounting the dream, let me describe the historical context.

The axiomatization presented in the previous section is an attempt to axiomatize the set of theorems true in the intended structure. How well does it do this? The best for which one can hope in an axiomatization is that it can serve as the basis for an effective decision procedure, i.e. a procedure which, given any sentence S of the language, decid...

If the reader has tried to manufacture a useful example of a combinatory algebra for himself, at some stage he will blame me for doing away, along with type differences with a great deal of mathematical intuition. Indeed in this connection the step from the possible to the contradictory has been made by various mathematicians. From the point of vie...

In the present section we want briefly to go into the connections between combinatory algebra and logic, and recursion theory. This will serve as a demonstration that concept formation in combinatory algebra has achieved its declared aim. We started out from the idea of capturing “algorithmic rules” by objects in an algebraic structure. But this is...

The traditional description of the theory of geometric constructions starts out by listing the different so-called constructional methods: ruler, compass, dividers, parallel ruler, permitted curves and the like, and aims to set down theorems on the possibility of applying these tools and their limitations. The best known are theorems of the impossi...

At the start of the study of algorithms stands the concept of a function, more precisely, the concept of calculable functions.

This book appeared about ten years ago in Gennan. It started as notes for a course which I gave intermittently at the ETH over a number of years. Following repeated suggestions, this English translation was commissioned by Springer; they were most fortunate in finding translators whose mathemati­ cal stature, grasp of the language and unselfish ded...

The goal of this paper is to use an artificial context of reduction of one world to another to illustrate two pheonomena which have so far not been described as types of failure of reductionist methodology.

Combinatory differential fields arise if differential fields are augmented by operations which allow functions that are programmable in the usual recursive sense to be denoted. The present paper defines this concept. It is shown that every differential field whose field of constants is ordered can be extended to a combinatory field. We generalize t...

It is shown that the set of completions of algebras in a variety can be represented as the set of solutions of a single equation of the formA X=B X in the author's model of combinatory algebra.A andB are determined directly from the equations which present the variety. Conversely, the individual structures are realized as retracts and the algebraic...

Das ganze Kapitel 1 war dem Studium der Funktionen auf den natürlichen Zahlen, insbesondere dem Problem der Berechenbarkeit und der Bildung von Funktionsklassen gewidmet. Dabei wurde auch die enge Beziehung zwischen Funktionen und Teilmengen herausgearbeitet: Jede Funktion lässt sich als Menge (eine n-stellige Funktion als (n+l)-Tupelmenge), jede M...

Zuerst sei das Induktionsaxiom der natürlichen Zahlen in Erinnerung gerufen.

Wir denken uns PASCAL in dem Sinne verallgemeinert, dass der Datentyp STRING mit der Menge ASCII* zusammenfällt. In einer solchen Programmiersprache sind nun Programme, als Objekte vom Typ STRING verstanden, selbst mögliche Eingabewerte von Programmen. Deshalb ist es denkbar, dass man eine Prozedur programmieren könnte, welche für eine Eingabe, bes...

In den bisherigen Ausführungen kam implizit die Grundhaltung zum Ausdruck, dass die Klasse der partiell-rekursiven Funktionen auf N nicht nur eine mathematisch reizvolle Klasse von Objekten darstellt, sondern überhaupt den Begriff des programmierten Rechnens erst zu einem theoretischen Gegenstand macht. Was nun das Rechnen auf natürlichen Zahlen be...

Für Programmiersprachen ist die Einfachheit der Kontrollstrukturen wie Zeilennummern plus goto die while-, repeat- und loop-Konstruktion von nicht zu unterschätzender Bedeutung. Diese wirken sich aus in der Übersichtlichkeit der Programme und in der Konzisheit welche sie für die Theorie, insbesondere die Semantik ermöglichen. Nachdem wir eben nachg...

Algorithmen beschreiben den Ablauf von Prozessen, in welchen aufgrund von Eingabewerten gewisse Resultate, Ausgabewerte, produziert werden. Dies gilt grundsätzlich ohne Rücksicht darauf, ob in diesem Prozess “gerechnet” wird, ob Zeichenreihen verarbeitet werden, ob das Resultat nur eine Ja-Nein-Antwort, ein Steuersignal ist, oder ob es sich um eine...

In diesem Kapitel werden Mengenabbildungen τ über einer Grundmenge M betrachtet, also τ: P(M)→P(M).

Vorbemerkung: Das Halteproblem in PASCAL: Wir denken uns PASCAL in dem Sinne verallgemeinert, dass der Datentyp STRING mit der Menge ASCII* zusammenfallt. In einer solchen Programmiersprache sind nun Programme, als Objekte vom Typ STRING verstanden, selbst mögliche Eingabewerte von Programmen. Deshalb ist es denkbar, dass man eine Prozedur programm...

Zuerst sei das Induktionsaxiom der natürlichen Zahlen in Erinnerung gerufen. Es lautet: Für jede Teilmenge M⊆N gilt: Falls 0∈M und für jedes x∈M auch S(x)∈M, dann ist M = N.

Algorithmen beschreiben den Ablauf von Prozessen, in welchen aufgrund von Eingabewerten gewisse Resultate, Ausgabewerte, produziert werden. Dies gilt grundsätzlich ohne Rücksicht darauf, ob in diesem Prozess “gerechnet” wird, ob Zeichenreihen verarbeitet werden, ob das Resultat nur eine Ja-Nein-Antwort, ein Steuersignal ist, oder ob es sich um eine...

Das ganze Kapitel 1 war dem Studium der Funktionen auf den natürlichen Zahlen, insbesondere dem Problem der Berechenbarkeit und der Bildung von Funktionsklassen gewidmet. Dabei wurde auch die enge Beziehung zwischen Funktionen und Teilmengen herausgearbeitet: Jede Funktion lässt sich als Menge (eine n-stellige Funktion als (n+1)-Tupelmenge), jede M...

Vorbemerkung: Die Church’sche These: In den bisherigen Ausführungen kam implizit die Grundhaltung zum Ausdruck, dass die Klasse der partiell-rekursiven Funktionen auf ℕ nicht nur eine mathematisch reizvolle Klasse von Objekten darstellt, sondern überhaupt den Begriff des programmierten Rechnens erst zu einem theoretischen Gegenstand macht. Was nun...

In diesem Kapitel werden Mengenabbildungen τ über einer Grundmenge M betrachtet, also τ: P(M)→P(M).

Vorbemerkung: Programmieren in reflexiven Bereichen Für Programmiersprachen ist die Einfachheit der Kontrollstrukturen wie Zeilennummern plus goto, die while-, repeat- und loop-Konstruktion von nicht zu unterschätzender Bedeutung. Diese wirken sich aus in der Übersichtlichkeit der Programme und in der Konzisheit welche sie für die Theorie, insbeson...

The formation process of pure logic programs over a first-order language is iterated to give rise to cumulative logic programs. Such programs turn out to be objects in a combinatory model and are therefore amenable to algebraic manipulation including equation solving. It is pointed out how this fact can be employed in a discipline of modelling for...

It seems obvious that the education of future scientists and engineers should include a facile familiarity with one of their present and future main tools, mathematical software. Less obvious is the methodology and the facilities which an institution of higher learning should provide for this educational goal. Since our 1985 report [1] on the ETH s...

Without Abstract

Dieses Buch ist kein Lehrbuch. Doch ist es aus Vorlesungen gewachsen, die ich seit ein paar Jahren an der ETH in ZUrich gehalten habe. Es wendet sich an Studenten der Mathematik mittlerer und oberer Semester, aber weniger mit dem Ziel, diesen mathematische Logik oder Axiomatik beizubringen, als vielmehr, urn in ihnen die kritischen Fahigkeiten gege...

In der Frage nach dem Raumbegriff, viel deutlicher als bei der Frage nach den reellen Zahlen, stellt sich das Problem des Verhältnisses zwischen Mathematik und der sogenannten Wirklichkeit. Newton formuliert seine Stellungnahme wie folgt: „Geometrie hat ihre Begründung in der mechanischen Praxis und ist in der Tat nichts anderes als derjenige Teil...

Nachdem wir also der euklidischen Geometrie die Pflicht auferlegt haben, als Distanzensystem den Körper IR der reellen Zahlen zu gebrauchen, ist diese wohl am einfachsten zu verstehen als zweidimensionaler Vektorraum E über IR. Die Distanzfunktion wird dann mit Hilfe des Skalarproduktes erklärt als $$ \left\| {x,y} \right\| = \sqrt {{\left( {x - y}...

Das im vorhergehenden Abschnitt angegebene Axiomensystem ist ein Versuch, die Menge der in der intendierten Struktur geltenden Sätze zu axiomatisieren. Inwieweit ist er gelungen? Der schönste Erfolg einer Axiomatisierung ist erreicht, wenn sich auf ihr ein effektives Entscheidungsverfahren begründen lässt, d.h. ein Verfahren, welches für jeden Satz...

Zuerst muss ich mich für das Wort „konkret“ entschuldigen: Die Konkretheit des zu beschreibenden Modells ist etwa vergleichbar mit der Konkretheit des Körpers der reellen Zahlen, konstruiert mit Dedekindschen Schritten; sie ist also eine Konkretheit relativ zu einem unreflektiert übernommenen Substrat von naiver Mengenlehre. Aber also doch, und imm...

Was sind die reellen Zahlen? Inzwischen haben wir diese Fragestellung aus §1 etwas besser verstanden: Offenbar geht es um die Erarbeitung eines gemeinsamen Bezugrahmens für die mathematische Tätigkeit, insbesondere für das Beweisen von Sätzen der Analysis. Der individuellen Erfahrung gemäss spielen bei dieser Tätigkeit zwei Aspekte einander gegense...

Vor rund hundert Jahren war Dedekind Professor für Mathematik an der ETH in Zürich; er lehrte Differential- und Integralrechnung. Er erzählt, wie eben dieser Unterricht ihn mit den Fragen der Grundlegung der Analysis konfrontierte. Von seiner gescheiten Auseinandersetzung mit dem Problem zeugt das heute noch mit Genuss lesbare Büchlein „Was sind un...

Vergegenwärtigen wir uns noch einmal, was „kombinatorische Algebra“ bedeutet: Für jeden Term t(x1,…, xn) gibt es ein Element T in B, so dass für beliebige M1,…, Mn ∈ B gilt $$T M_1 M_2 ...M_n = t(M_1 ,...M_n );$$ die Rechenvorschrift t wird zu einem Objekt T konkretisiert. Es liegt in der Natur der Sache, dass wir bei Anwendungen immer wieder von e...

Die moderne Logik verdankt ihr Entstehen einem wahrhaft grandiosen Traum, einem Traum, den schon Leibniz geträumt hat. Bevor ich Ihnen diesen Traum erzähle, lassen Sie mich die geschichtliche Situation beschreiben.

Im vorliegenden Abschnitt wollen wir noch kurz auf Anschlüsse zwischen kombinatorischer Algebra und Logik mit der Rekursionstheorie eingehen. Diese sollen zum Nachweis dafür dienen, dass die Begriffsbildung der kombinatorischen Algebra ihren erklärten Zweck erfüllt: Wir gingen aus von der Idee, das Konzept der „Rechenvorschrift“ durch Objekte einer...

Am Anfang der Algorithmik steht der Funktionsbegriff, genauer, der Begriff der berechenbaren Funktionen.

Die traditionelle Darstellung der Theorie der geometrischen Konstruktionen geht aus von verschiedenen Aufzählungen von sogenannten Konstruktionsmitteln, Lineal, Zirkel, Stechzirkel, Einschieblineal, gegebene Kurve und dergleichen, und zielt darauf ab, Sätze über Möglichkeiten und Grenzen der Verwendung dieser Hilfsmittel aufzustellen. Wohl am bekan...

Das Vollständigkeitsaxiom V̄ für die ebene euklidische Geometrie stellt uns wiederum vor das bereits im ersten Kapitel behandelte Problem: In welchem Sinne sind die darin genannten Mengen M und N zu verstehen; wie, mit andern Worten, wollen wir den Inhalt von Axiom V̄ adäquat in unserer formalen Sprache ausdrücken? Und wiederum wählen wir denselben...

Sollte der Leser versucht haben, sich ein handliches Beispiel einer kombinatorischen Algebra zu verschaffen, so wird er mir nach einiger Zeit beipflichten, dass mit dem Verzicht auf Typenunterscheidungen auch ein gut Teil mathematischer Intuition entschwunden ist. In der Tat ist in diesem Zusammenhang der Schritt vom Möglichen zum Widerspruchsvolle...

We generalize those aspects of classical Galois theory that have to do with the discussion of solvability of problems (namely polynomial equations) relative to auxiliary procedures (e.g. radicals). The underlying structures need no longer be fields, and the problems and procedures more typically arise as algorithmic (e.g. combinatorial) problems. S...

Without Abstract

Without Abstract

By a problem in a universal first-order theory Γ we understand a formula φ(y) with a free variable y. The problem φ(y) is solvable relative to auxiliary problems ψ1(υ),…s, (υ) if solution algorithms for the ψi can be so composed as to yield all solutions of φ in all models of Γ. The complexity of the composite algorithm is the number of times that...

This chapter discusses the basic concepts of a generalized Galois theory to make the paradigm of Galois available for the discussion of the solvability of algorithmic problems.. The chapter presents this development as an abstract theory in the framework of the theory of models of a modest extension of first-order logic. The chapter also discusses...