Claes Johnson

• Prof em at KTH Royal Institute of Technology

We present a unified methodology for the computational solution of parabolic systems of differential equations with adaptive selection of discretization in space and time, based on a posteriori error estimates involving residuals of computed solutions and stability factors/weights, obtained by solving an associated linearized dual problem. We defin...

We give a brief introduction to research on adaptive computational methods for laminar compressible and incompressible flows and then focus on computability and adaptivity for turbulent incompressible flow, where we present a framework for adaptive finite element methods with duality-based a posteriori error control for chosen output quantities of...

We present a new mathematical theory explaining the fluid mechanics of subsonic flight, which is fundamentally different from the existing boundary layer-circulation theory by Prandtl–Kutta–Zhukovsky formed 100 year ago. The new theory is based on our new resolution of d’Alembert’s paradox showing that slightly viscous bluff body flow can be viewed...

We present a new strategy for solving stiff ordinary differential equations (ODEs) with explicit methods. By adaptively taking a small number of stabilizing small explicit time steps when necessary, a stiff ODE system can be stabilized enough to allow for time steps much larger than what is indicated by classical stability analysis. For many stiff...

In this short note, we discuss the basic approach to computational modeling of dynamical systems. If a dynamical system contains multiple time scales, ranging from very fast to slow, computational solution of the dynamical system can be very costly. By resolving the fast time scales in a short time simulation, a model for the effect of the small ti...

The FEniCS project aims towards the goals of generality, efficiency, and simplicity, concerning mathematical methodology, implementation and application, and the Unicorn project is an imple- mentation aimed at FSI and high Re turbulent flow guided by these principles. Unicorn is based on the DOLFIN/FFC/FIAT suite and the linear algebra package PETS...

We give evidence that most trajectories of the Lorenz system of ordinary differential equations are pointwise computable on time intervals of moderate length using an adaptive finite element method. Based on accurate computation, we present a description of the structure of the solutions of the Lorenz system as a repeated process of cutting-expandi...

We prove on a posteriori error estimate for a finite element method for an elliptic variational inequality with unilateral constraint. We formulate a corresponding adaptive method and prove reliability and efficiency of the method.

All these fifty years of conscious brooding have brought me no nearer to the answer to the question, “What are light quanta?”. Nowadays every Tom, Dick and Harry thinks he knows it, but he is mistaken. (Einstein 1954) 1.1 Wave-Particle Duality and Modern Physics Maxwell’s equations represent a culmination of classical mathematical physics by offeri...

We show by computational solution of the incompressible Navier-Stokes equa- tions with friction force boundary conditions, that the cla ssical inviscid circulation theory by Kutta-Zhukovsky for lift and laminar viscous boundary layer theory by Prandtl for drag, which have dominated 20th century fluid dyn amics, do not cor- rectly describe the real...

We present a deterministic foundation of thermodynamics for slightly viscous fluids or gases based on a 1st Law in the form of the Euler equations express-ing conservation of mass, momentum and energy, and a 2nd Law formulated in terms of kinetic energy, internal (heat) energy, work and shock/turbulent dissipa-tion, without reference to entropy. Th...

We propose a resolution of d’Alembert’s Paradox comparing observation of substantial drag/lift in fluids with very small viscosity such as air and water, with the mathematical prediction of zero drag/lift of stationary irrotational solutions of the incompressible inviscid Euler equations, referred to as potential flow. We present analytical and com...

We consider a model for atmospheric circulation based on the Euler equations for a compressible gas. We consider two hydrostatic base solutions depending on height, one with constant temperature and one isentropic with constant tem-perature gradient or lapse rate. We argue that these solutions represent solutions with maximal and minimal turbulent...

We use a simple climate model to assess climate sensitivity as temperature response to heat forcing. How wonderful that we have met with a paradox. Now we have some hope of making progress. (Nils Bohr) Some aspects of climate have not been observed to change. (IPCC Summary for Policymakers 2007) 1 IPCC Climate Sensitivity and Global Warming Climate...

We show by computational solution of the incompressible Navier-Stokes equa- tions with friction force boundary conditions, that the cla ssical inviscid circulation theory by Kutta-Zhukovsky for lift of a wing and laminar viscous boundary layer theory by Prandtl for drag, which have dominated 20th century flight mechan- ics, do not correctly describ...

Abstract We present a new matematical and physical explanation of the generation of lift and drag of an airplane wing, which is fundamentally different from the explana- tions by Kutta-Zhukovsky connecting lift to circulation and by Prandtl connecting drag to boundary layer friction, which have dominated 20th century flight mechan- ics and still re...

We discuss the formulation of the Clay Mathematics Institute Millen-nium Prize Problem on the Navier-Stokes equations in the perspective of Hadamard's notion of wellposedness. 1 The Clay Navier-Stokes Millennium Problem The Clay Mathematics Institute Millennium Prize Problem on the incompress-ible Navier-Stokes equations [3, 7] asks for a proof of...

We present evidence that the problem of breakdown/blowup of smooth solutions of the Euler and Navier-Stokes equations, is closely related to Hadamard's concepts of wellposedness and illposedness. We present a combined criterion for blowup, based on detecting increasing L2-residuals and stability factors, which can be tested computationally on meshe...

We present analytical and computational evidence of blowup of initially smooth solutions of the incompressible Euler equations into non-smooth turbulent solutions. We detect blowup by observing increasing L 2-residuals of computed solutions under decreasing mesh size.

We propose a new resolution to d'Alembert's Paradox from 1752 comparing the mathematical prediction of zero drag (resistance to motion) through an ideal (zero viscosity) incompressible uid, with massive observations of non-zero drag in uids with very small viscosity, such as air and water. Our resolution is fundamentally dieren t from the accepted...

We identify, by computing turbulent solutions of the incompressible Navier- Stokes equations with friction force boundary conditions, the physical mechanisms generating lift and drag of a wing, which make it possible to fl y with a lift/drag ra- tio larger than 10. We discover mechanisms fundamentally different from those of the classical inviscid...

Applied Mathematics: Body&Soul is a mathematics education reform program including a series of books, together with associated educational material and open source software freely available from the project web page at www.bodysoulmath.org. Body&Soul reflects the revolutionary new possibilities of mathematical modeling opened by the modern computer...

This is Volume 4 of the book series of the Body & Soul mathematics education reform program, and presents a unified new approach to computational simulation of turbulent flow starting from the general basis of calculus and linear algebra of Vol 1-3. The book puts the Body & Soul computational finite element methodology in the form of General Galerk...

The purpose of this lecture is to give an introductory overview of our recent work together with coworkers on computational methods for conservation laws, which are reliable in the sense that the computational error may be controled on a given tolerance level in a given norm, and efficient in the sence that the desired error control may be achieved...

In these lecture notes we describe the construction, analysis, and application of ENO (Essentially Non-Oscillatory) and WENO (Weighted Essentially Non-Oscillatory) schemes for hyperbolic conservation laws and related Hamilton-Jacobi equations. ENO and WENO schemes are high order accurate finite difference schemes designed for problems with piecewis...

In these notes, we study the Runge Kutta Discontinuous Galerkin method for numericaly solving nonlinear hyperbolic systems and its extension for convection-dominated problems, the so-called Local Discontinuous Galerkin method. Examples of problems to which these methods can be applied are the Euler equations of gas dynamics, the shallow water equat...

We present a new approach to computational fluid dynamics (CFD) using adaptive stabilized Galerkin finite element methods with duality based a posteriori error control for chosen output quantities of interest. We address the basic question of computability in CFD: For a given flow, what quantity is computable to what tolerance to what cost? We focu...

We discuss aspects of Adaptive DNS/LES, where adaptive finite element methods are used to accurately compute chosen output from a turbulent flow with the computational power of a PC. The key to this break-through is: (i) application of the general approach to adaptitive error control in Galerkin methods based on duality, coupled with (ii) crucial p...

In this paper we propose and study a subgrid model for linear convection–diffusion–reaction equations with fractal rough coefficients. The subgrid model is based on scale extrapolation of a modeling residual from coarser scales using a computed solution on a finest scale as reference. We show in experiments that a solution with subgrid model on a s...

We present an overview of recent work together with J. Hoffman, A. Logg and R. Scott developing a new approach towards resolving the classical paradox of irreversibility in formally reversible Hamiltonian systems such as inviscid fluid models and particle models. We base our solution on finite precision computation in the form of General Galerkin G...

In einigen Fällen können wir eine Stammfunktion (oder ein Integral) zu einer Funktion analytisch berechnen, d.h. wir können eine Formel für die Stammfunktion mit Hilfe bekannter Funktionen angeben. Beispielsweise können wir eine Formel für die Stammfunktion einer Polynomfunktion angeben, die wieder eine Polynomfunktion ist. Wir werden im Kapitel ”I...

Sei A = (aij ) eine quadratische n × n-Matrix. Wir wollen die Situation untersuchen, in der sich die Multiplikation eines Vektors mit A wie eine skalare Multiplikation auswirkt. Zunächst wollen wir annehmen, dass die Elemente aij reelle Zahlen sind. Ist x = (x1, ..., xn ) ∈ ℝn ein von Null verschiedener Vektor, für den Ax = λx (43.1) gilt, wobei λ...

Warum fiel die Mauer am 9. November 1989? Warum löste sich die Sowjetunion im Januar 1992 auf? Warum brach der Börsenmarkt im Oktober 1929 und 1987 zusammen? Warum trennten sich Peter und Maria letzten Herbst nach 35 Jahren Ehe? Was verursachte das Attentat vom 11. September? Warum ändert sich die Strömung im Fluss von gleichmäßig laminar zu chaoti...

In diesem Kapitel betrachten wir das Anfangswertproblem für eine skalare autonome nicht-lineare Differentialgleichung: Dabei suchen wir eine Funktion u : [0, 1] → ℝ, so dass $$ u^\prime (x)=f(u(x))\quad\mbox{für }0<x\leq 1,\, u(0)=u_0 $$, (38.1) wobei f : ℝ → ℝ eine gegebene Funktion ist und u0 ein gegebener Anfangswert. Wir nehmen an, dass f : ℝ →...

Skalarprodukt zweier Vektoren a = (a1, a2) und b = (b1, ab2) in ℝ2: $$ a\cdot b=(a,b)=a_1b_1+a_2b_2 $$. Norm: \( \vert a\vert =(a_1^2+a_2^2)^{1/2} \). Winkel zwischen zwei Vektoren a und b in ℝ2: \( \cos(\theta)=\frac{a\cdot b}{\vert a\vert\,\vert b\vert} \). Die Vektoren a und b sind dann und nur dann orthogonal, wenn a · b = 0. Vektorprodukt zwei...

Bei einigen Anwendungen ist es notwendig, Integrale von Funktionen, die in einzelnen Punkten unbeschränkt sind, oder Integrale von Funktionen über unbeschränkte Intervalle zu berechnen. Derartige Integrale werden uneigentliche oder verallgemeinerte Integrale genannt. Wir bestimmen diese Integrale mit Hilfe konvergenter Folgen, die wir ja bereits ei...

In diesem Kapitel wollen wir die Untersuchung der Exponentialfunktion exp(x), vgl. Abb. 31.1, eine der wichtigen Funktionen der Infinitesimalrechnung, wieder aufnehmen. Wir haben sie bereits in den Kapiteln ”Kurzer Kurs zur Infinitesimalrechnung“ und ”Galileo, Newton, Hooke, Malthus und Fourier“ kennengelernt. Wir sagten, dass exp(x) für x > 0 die...

Wir untersuchen nun eine Reihe wichtiger Masse-Faden Modelle, deren Reaktionsverhalten von der Geometrie abhängt. Diese einfachen Modelle führen zu separierbaren Gleichungen in der Phasenebene. Die Modelle können verallgemeinert werden und zu Systemen hoher Komplexität gekoppelt werden.

Die Annäherung einer komplizierten Funktion auf beliebige Genauigkeit durch ”einfachere“ Funktionen ist ein wichtiges Werkzeug der angewandten Mathematik. Wir haben gesehen, dass stückweise definierte Polynome für diesen Zweck sehr nützlich sind und deswegen spielt die Näherung durch stückweise definierte Polynome eine sehr wichtige Rolle in versch...

Ein wichtiger Spezialfall des allgemeinen Anfangswertproblems (40.1) ist das lineare System $$ u^\prime (x)=Au(x)\quad\mbox{für }0<x\leq T,\, u(0)=u^0 $$ (46.1), (46.1) mit u0 ∈ ℝd , T > 0 und konstanter d×d-Matrix A. Die Lösung u(x) ∈ ℝd ist ein d-Spaltenvektor. Aus dem allgemeinen Existenzbeweis in Kapitel ”Das allgemeine Anfangswertproblem“ wiss...

In diesem Kapitel untersuchen wir Reihen, d.h. Summen von Zahlen. Wir unterscheiden zwischen einer endlichen Reihe, bei der die Summe endlich viele Summanden besitzt und einer unendlichen Reihe, mit einer unendlichen Zahl von Summanden. Eine endliche Reihe gibt uns keine Rätsel auf; mit genügend Zeit können wir zumindest prinzipiell die Summe einer...

Es ist prinzipiell nicht möglich, eine explizite Formel für eine Stammfunktion einer beliebigen Funktion anzugeben, auch wenn diese sich als Linearkombinationen bekannter einfacher Funktionen wie Polynome, rationale Funktionen, Wurzelfunktionen, Exponentialfunktionen und trigonometrische Funktionen zusammen mit deren Inversen zusammensetzt. Es stim...

Wir untersuchen nun das Anfangswertproblem oder AWP für ein System nicht-linearer Differentialgleichungen der Form: Gesucht ist u : [0, 1] → ℝd , so dass $$ u^\prime (x)=f(u(x),x)\quad\mbox{für }0<x\leq 1,\, u(0)=u^0 $$, (40.1) wobei f : ℝd × [0, 1] → ℝd eine gegebene beschränkte und Lipschitz-stetige Funktion ist, u0 ∈ ℝd ist ein gegebener Anfangs...

Die Exponentialfunktion spielt aufgrund ihrer besonderen Eigenschaften eine wichtiger Rolle bei Modellbetrachtungen und in der Analysis. Insbesondere findet sie bei der analytischen Lösung einer Reihe von Differentialgleichungen Verwendung, wie wir in diesem Kapitel zeigen werden. Wir beginnen mit einer Verallgemeinerung des Anfangswertproblems (31...

In diesem Kapitel werden wir das folgende Anfangswertproblem für eine Differentialgleichung zweiter Ordnung lösen: Gesucht wird für x ≥ 0 eine Funktion u(x), die $$ u^{\prime\prime}(x)=-u(x)\quad\mbox{für }x>0,\quad u(0)=u_0,\,\,u^\prime(0)=u_1 $$ (32.1) löst, wobei u0 und u1 gegebene Anfangswerte sind. Wir verlangen hier zwei Anfangsbedingungen, d...

Wir wollen nun die Diskussion der analytischen Geometrie auf den ℝn verallgemeinern, wobei n eine beliebige natürliche Zahl ist. Entsprechend der obigen Definitionen für ℝ2 und ℝ3 definieren wir ℝn als die Menge aller möglichen geordneten n-Tupel der Form (x1, x2, ..., xn ) mit xi ∈ ℝ. Wir bezeichnen ℝn als den n-dimensionalen euklidischen Raum.

Wir kommen auf die Frage nach der Existenz einer Stammfunktion für f(x) = 1/x für x > 0, die wir uns oben gestellt haben, zurück. Da die Funktion f(x) = 1/x auf jedem Intervall [a, b] mit 0 < a < b Lipschitz-stetig ist, wissen wir aus dem Fundamentalsatz, dass eine eindeutige Funktion u(x) existiert, die u'(x) = 1/x für a ≤ x ≤ b erfüllt und an ein...

Wir beginnen mit einem Modell, das auf folgendem Erhaltungsprinzip aufbaut: Das Änderungstempo einer bestimmten Größe in einem Gebiet entspricht der Geschwindigkeit, mit der die Größe in das Gebiet eintritt und wieder verlässt, zuzüglich der Geschwindigkeit, mit der die Größe innerhalb des Gebiets gebildet oder verbraucht wird. Solch ein Erhaltungs...

Lagrange (1736–1813), vgl. Abb. 47.1, fand eine Möglichkeit für die Beschreibung bestimmter dynamischer Probleme der Mechanik mit Hilfe des Prinzips der kleinsten Wirkung. Dieses Prinzip besagt, dass sich der Zustand u(t) eines Systems mit der Zeit t in einem bestimmten Zeitintervall [t1, t2] so verändert, dass das Wirkungsintegral $$ I(u)=\int_{t_...

Wir stellen hier einen Werkzeugkoffer I der Infinitesimalrechnung zusammen, der ein Minimum an wichtigen Werkzeugen und Begriffen der Infinitesimalrechnung für Funktionen f : ℝ → ℝ enthält. Unten werden wir noch einen Werkzeugkoffer II liefern, der die entsprechenden Werkzeuge und Begriffe der Infinitesimalrechnung für Funktionen f : ℝm → ℝn beinha...

In diesem Kapitel haben wir verschiedene nützliche Eigenschaften von Integralen zusammengestellt. Wir werden diese Eigenschaften auf zwei Arten zeigen: (i) Indem wir die Verbindung zwischen Integral und Ableitung nutzen und Eigenschaften der Ableitung einbringen und (ii) indem wir ausnutzen, dass das Integral Grenzwert der Riemannschen Summennäheru...

Wir betrachten nun das Anfangswertproblem für eine skalare nicht-autonome Differentialgleichung: $$ u^\prime (x)=f(u(x),x)\quad\mbox{für }0<x\leq 1,\, u(0)=u_0 $$, (39.1) für den Spezialfall, dass f(u(x), x) die Gestalt $$ f(u(x),x)=\frac{h(x)}{g(u(x))} $$ (39.2) besitzt, mit h : ℝ → ℝ und g : ℝ → ℝ. Somit betrachten wir das Anfangswertproblem $$ u...

Es gibt eine Analogie zwischen mechanischen Modellen mit Massen, Federn und Pralltöpfen und Modellen elektrischer Stromkreise mit Schleifen, Widerständen und Kondensatoren. Das zentrale Modell für einen elektrischen Stromkreis, vgl. Abb. 50.1, mit diesen drei Komponenten besitzt die Form $$ L\ddot q(t) +R\dot q(t) +\frac{q(t)}{C} = f(t), \quad\mbox...