Table 3 - available via license: Creative Commons Attribution 3.0 Unported
Content may be subject to copyright.
![[5].](publication/325341284/figure/tbl1/AS:652973562687501@1532692437788/5.png)
[5].
![Table 3 [5].](publication/325341284/figure/tbl1/AS:652973562687501@1532692437788/5_Q320.jpg)
Context in source publication
Similar publications
In this paper, the traveling wave solutions of perturbed nonlinear Schr$\ddot{o}$dinger equation in nanofibers are studied by using the bifurcation theory of dynamic systems. The phase portrait and orbit analysis of perturbed nonlinear Schr$\ddot{o}$dinger equation are given in the form of graph, and the traveling wave solutions corresponding to pe...
In this paper, we give the different topological types of phase portrait for Liénard system ẋ=y,ẏ=−g(x)\documentclass[12pt]{minimal} \usepackage{amsmath} \usepackage{wasysym} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsbsy} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{upgreek} \setlength{\oddsidemargin}{-69pt} \begin{document}$\dot {x}=y, \dot {...
The Painlevé-Ince differential equation y′′+3yy′+y3=0\documentclass[12pt]{minimal} \usepackage{amsmath} \usepackage{wasysym} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsbsy} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{upgreek} \setlength{\oddsidemargin}{-69pt} \begin{document}$$y'' + 3 y y' + y^3=0$$\end{document} has been studied from many poi...
![The phase portrait of system (3.1)|ε=0\documentclass[12pt]{minimal}...](publication/338923155/figure/fig5/AS:962343798321166@1606452049552/The-phase-portrait-of-system-31e0documentclass12ptminimal-usepackageamsmath_Q320.jpg)
In this paper, the different topological types of phase portrait of the unperturbed Liénard system \( {\dot{x}}=y,\ \ {\dot{y}}=-g(x)\) are given, where \(\deg {g(x)}=6\). We find that the expansion of the Melnikov function near any of closed orbits appeared in the above phase portraits, except a heteroclinic loop with a hyperbolic saddle and a nil...
Citations
... A detailed analysis of possible topological types of the point O(0; 0) was performed in [8,9,13,16,17]. It was proved that the systems (1) do not have limit cycles on the plane R 2 ...
... x;y . Indeed, such a cycle would have to surround the singular point O(0; 0) of the system, and the Poincaré index I(O) if this point would have to be equal to 1 (see [8,16,20]) . However, the Bendixson formula for the index of an isolated singular point of a smooth dynamical system, which has the form I(O) = 1 + (e − h)/2, where e(h) is the number of elliptic (hyperbolic) O-sectors of the system (see [9, p. 559]) combining with a theorem proved in [8,9] allow us to conclude that for the singular point O(0; 0) of any system (1), the Poincaré index is equal to zero, I(O) = 0. 3. Singular points of the system (1) at infinity. ...
... The reader can find detailed results for this and other subfamilies, rigorous proofs, and the phase portraits themselves in the monograph [8] and the articles [3][4][5][6][7][9][10][11][12][13][14][15][16][17][18][19]. ...
In this paper, we discuss a wide family of dynamical systems whose characteristic feature is a polynomial right-hand side containing coprime forms of the phase variables of the system. One of the equations of the system contains a third-degree polynomial (cubic form), the other equation contains a quadratic form. We consider the problem of constructing all possible phase portraits in the Poincaré disk for systems from the family considered and establish criteria for the implementation of each portrait that are close to coefficient criteria. This problem is solved by using the central and orthogonal Poincaré methods of sequential mappings and a number of other methods developed by the authors for the purposes of this study. We obtained rigorous qualitative and quantitative results. More than 250 topologically distinct phase portraits of various systems were constructed. The absence of limit cycles of systems of this family is proved. Methods developed can be useful for the further study of systems with polynomial right-hand sides of other forms.
... In addition, let us note that in [14], the classification of two-dimensional quadratic-cubic homogeneous systems with no common multiplier is performed; their phase portraits in the Poincare circle are found. μ ...
This paper is the sixth in a series of papers devoted to two-dimensional homogeneous cubic systems. It considers a case where a homogeneous vectorial polynomial in the right-hand part of the system does not have a common multiplier. A set of such systems is divided into classes of linear equivalence ; in each of them, the simplest system is a third-order normal form which is separated on the basis of properly introduced principles. Such a form is defined by the matrix of its right-hand part coefficients, which is called the canonical form (CF). Each CF has its own arrangement of non-zero elements, their specific normalization and a canonical set of permissible values for the unnormalized elements, which relates the CF to the selected equivalence class. In addition to the classification, each CF is provided with: a) the conditions on the coefficients of the initial system, b) non-singular linear substitutions that reduce the right-hand side of the system under these conditions to the selected CF, c) obtained values of CF's unnormalized elements. The proposed classification was primarily created to obtain all possible structures of generalized normal forms for the systems with a CF in the unper-turbed part. This paper presents another application of the resulting classification related to finding phase portraits in the Poincare circle for the CF.
В статье рассматривается обширное семейство динамических систем, характерным признаком которых служит наличие у них полиномиальных правых частей, содержащих взаимно простые формы фазовых переменных системы. Одно из уравнений системы содержит полином третьей степени (форму кубическую), другое уравнение - квадратичную. Ставится задача построения в круге Пуанкаре всех возможных для систем данного семейства фазовых портретов и установления близких к коэффициентным критериев реализации каждого портрета. Задача решается с применением метода Пуанкаре последовательных отображений (центрального и ортогонального), а также целого ряда методов, специально разработанных авторами для целей данного исследования. Получены строгие результаты, как качественные, так и количественные. Построено свыше 250 топологически различных фазовых портретов систем семейства. Доказано отсутствие у систем данного семейства предельных циклов. Разработанные методы исследования могут быть полезны при дальнейшем изучении систем с полиномиальными правыми частями иного вида, как в чисто теоретическом, так и в прикладном аспектах.
В статье исследуются поперечные колебания неоднородной круглой тонкой пластины. С помощью метода возмущений получены асимптотические формулы для частот свободных колебаний пластины, толщина и модуль Юнга которой линейно зависят от радиуса. Проанализировано влияние условий закрепления края пластины на частоты и поведение частот при фиксированной массе пластины. Для низших частот пластины асимптотические результаты сравниваются с результатами конечно-элементного анализа.
Данная статья является шестой в цикле работ, посвященном двумерным однородным кубическим системам. В ней рассматривается случай, когда однородный векторный
многочлен в правой части системы не имеет общего множителя. Множество таких систем разбивается на классы линейной эквивалентности, в каждом из которых на основании определенным образом введенных принципов выделяется простейшая система - нормальная форма третьего порядка, задаваемая матрицей коэффициентов своей правой части, которая называется канонической формой (КФ). Каждая КФ имеет свою структуру расположения ненулевых элементов, их определенную нормировку и каноническое множество допустимых значений для ненормированных элементов,
относящее КФ в выбранному классу эквивалентности. Помимо классификации для каждой КФ приводятся: a) условия на коэффициенты исходной системы, b) линейные неособые замены, преобразующие правую часть системы при этих условиях в выбранную КФ, c) получаемые значения ненормированных элементов КФ. Предложенная классификация в первую очередь создавалась для получения всех возможных структур обобщенных нормальных форм систем с КФ в невозмущенной части. В статье приводится еще одно приложение полученной классификации, связанное с нахождением для КФ фазовых портретов в круге Пуанкаре.
