Daniel Heldt

Technische Universität Berlin, Berlín, Berlin, Germany

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Publications (5)2.06 Total impact

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    ABSTRACT: We investigate edge-intersection graphs of paths in the plane grid, regarding a parameter called the bend-number. I.e., every vertex is represented by a grid path and two vertices are adjacent if and only if the two grid paths share at least one grid-edge. The bend-number is the minimum $k$ such that grid-paths with at most $k$ bends each suffice to represent a given graph. This parameter is related to the interval-number and the track-number of a graph. We show that for every $k$ there is a graph with bend-number $k$. Moreover we provide new upper and lower bounds of the bend-number of graphs in terms of degeneracy, treewidth, edge clique covers and the maximum degree. Furthermore we give bounds on the bend-number of $K_{m,n}$ and determine it exactly for some pairs of $m$ and $n$. Finally, we prove that recognizing single-bend graphs is NP-complete, providing the first such result in this field.
    Discrete Applied Mathematics 04/2014; 167:144-162. DOI:10.1016/j.dam.2013.10.035 · 0.68 Impact Factor
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    ABSTRACT: The bend-number b(G) of a graph G is the minimum k such that G may be represented as the edge intersection graph of a set of grid paths with at most k bends. We confirm a conjecture of Biedl and Stern showing that the maximum bend-number of outerplanar graphs is 2. Moreover we improve the formerly known lower and upper bound for the maximum bend-number of planar graphs from 2 and 5 to 3 and 4, respectively.
    Discrete Applied Mathematics 12/2011; DOI:10.1007/978-3-642-29344-3_39 · 0.68 Impact Factor
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    ABSTRACT: The Buchberger–Möller algorithm is a well-known efficient tool for computing the vanishing ideal of a finite set of points. If the coordinates of the points are (imprecise) measured data, the resulting Gröbner basis is numerically unstable. In this paper we introduce a numerically stable Approximate Vanishing Ideal (AVI) Algorithm which computes a set of polynomials that almost vanish at the given points and almost form a border basis. Moreover, we provide a modification of this algorithm which produces a Macaulay basis of an approximate vanishing ideal. We also generalize the Border Basis Algorithm ([Kehrein, A., Kreuzer, M., 2006. Computing border bases. J. Pure Appl. Algebra 205, 279–295]) to the approximate setting and study the approximate membership problem for zero-dimensional polynomial ideals. The algorithms are then applied to actual industrial problems.
    Journal of Symbolic Computation 11/2009; 44(11-44):1566-1591. DOI:10.1016/j.jsc.2008.11.010 · 0.71 Impact Factor
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    ABSTRACT: Zusammenfassung – Möchte man auf der Basis von Messdaten Vorhersagen über das weitere Verhalten von komplexen Systemen machen, so benötigt man üblicherweise ein mathematisches Modell, das die Daten annäherungsweise inter-poliert. Oftmals sind geeignete Modelle nicht bekannt oder wegen ihrer hohen Komplexität unzugänglich, so dass man eine auf statistische Beschreibung zurückgreifen muss. Der hier kurz skizzierte Ansatz erlaubt es, einfache, approxi-mativ geltende Relationen und somit Modelle di-rekt aus den Daten abzuleiten. Er basiert auf ei-nem Algorithmus aus der approximativen Com-puteralgebra. Zwei mögliche Anwendungen des Verfahrens werden anhand aktueller Probleme in der Ölindustrie beschrieben. Zum einen han-delt es sich dabei um ein Problem aus der Ölför-derung, zum anderen geht es um die Kompensa-tion von Messfehlern defekter Messinstrumente. Stichworte – approximate computeralgebra, da-ta mining, approximation theory, modeling 1 Einführung Verwendet man Methoden des Operations Re-search, um Prozesse oder Planungsabläufe zu opti-mieren, so basiert diese Optimierung üblicherweise auf einem geeigneten mathematischen Modell. Wie geht man aber vor, wenn ein solches Modell nicht vorhanden ist, sondern nur approximative Daten, z.B. Messdaten oder Schätzungen, zur Verfügung stehen? Im Folgenden stellen wir eine Methode aus der approximativen Computeralgebra vor, mit der man in gegebenen Daten bei vorgegebener Toleranz nach polynomialen Relationen suchen kann, von denen dann Modelle abgeleitet werden können. Diese Methode unterscheidet sich von den klassi-schen Verfahren des Data Minings, da sie bei-spielsweise eine vollständige Beschreibung der ap-proximativ geltenden polynomialen Relationen er-laubt. Insbesondere ermöglicht unsere Methode, zwei Modelle auf Äquivalenz bezüglich der Ein-gangsdaten zu prüfen. Die gewonnenen Modelle bilden dann eine Basis für weitere Untersuchungen. Ebenso können sie als Ansatzpunkt für Optimie-rungsverfahren dienen.
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    MICHAEL ABSHOFF, DANIEL HELDT