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Phase diagram and commensurate-incommensurate transitions in the phase field crystal model with an external pinning potential

Department of Physics, Oakland University, Рочестер, Michigan, United States
Physical Review E (Impact Factor: 2.33). 09/2006; 74(2 Pt 1):021104. DOI: 10.1103/PhysRevE.74.021104
Source: PubMed

ABSTRACT We study the phase diagram and the commensurate-incommensurate transitions in a phase field model of a two-dimensional crystal lattice in the presence of an external pinning potential. The model allows for both elastic and plastic deformations and provides a continuum description of lattice systems, such as for adsorbed atomic layers or two-dimensional vortex lattices. Analytically, a mode expansion analysis is used to determine the ground states and the commensurate-incommensurate transitions in the model as a function of the strength of the pinning potential and the lattice mismatch parameter. Numerical minimization of the corresponding free energy shows reasonable agreement with the analytical predictions and provides details on the topological defects in the transition region. We find that for small mismatch the transition is of first order, and it remains so for the largest values of mismatch studied here. Our results are consistent with results of simulations for atomistic models of adsorbed overlayers.

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Available from: Cristian Vasile Achim, Jul 07, 2015
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    • "The phase field crystal model is now widely used in order to predict crystal nucleation and growth on atomic length scales. The PFC model was first developed in [3] and then subsequently applied to many scenarios like interfaces [4], polycrystalline pattern formation [5] [6], commensurate– incommensurate transitions [7], edge dislocations [8], grain boundary pre-melting [9] and colloidal solidification [10]. The model resolves the atomic scale density wave structure of a polycrystalline material and describes the defect-mediated evolution of this structure on timescales orders of magnitude larger than those of molecular dynamic simulations. "
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    ABSTRACT: We extract the anisotropy of the solid-liquid interfacial energy of small crystals using phase field crystal simulations. The results indicate a strong dependence of the interfacial energy on the parameters in the phase field crystal model determining the position in the solid-liquid coexistence region in the phase diagram. Furthermore a size dependence of the anisotropy is shown if the crystal shape is reduced to the size of a nucleus.
    Journal of Physics Condensed Matter 11/2009; 21(46):464109. DOI:10.1088/0953-8984/21/46/464109 · 2.22 Impact Factor
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    ABSTRACT: Numerical simulations of crystals with multiple crystal orientations have become the subject of intense interest in the last decade, as a vast range of industrial materials - from polycrystals to nanoparticles - falls into that category. In this work, I present several detailed studies which examine the potential of three different phase-field models for such systems. First, I expand an existing coupled phase-field/Monte Carlo approach [H. Assadi, A Phase-Field Model for Crystallization into Multiple Grain Structures, in Solidification and Crystallization (2004), ed. by D. Herlach] to eliminate lattice effects and use it to simulate crystal growth competition in veins. Secondly, I propose a new model for the growth of metal nanoparticles in ionic liquids based on a classical phase-field model [Wheeler et al., Phys. Rev. A 45 (1992) 7424] and use it in combination with the extended Monte Carlo algorithm developed earlier for some first qualitative studies. Next, I use the newly introduced phase-field crystal method [K. R. Elder et al., Phys. Rev. Lett. 88 (2002) 235702-2 ] to investigate the correlation between thermal noise and nucleation rates, which will be of use in future nucleation studies - including the nanoparticle growth described earlier. Finally, I discuss the parallels between the three different models and how to combine the knowledge gained from them in future studies of nonlinear systems. Numerische Simulationen von Kristallen mit multiplen Orientierungen sind im letzten Jahrzehnt zum Gegenstand intensiven Interesses der Industrie geworden, da eine große Bandbreite von industriellen Materialien - von Polykristallen bis zu Nanopartikeln - in diese Kategorie fallen. In dieser Arbeit stelle ich mehrere detaillierte Studien vor, die das Potential von drei verschiedenen Phasenfeldmodellen für die Beschreibung solcher Systeme untersuchen. Als erstes erweitere ich einen existierenden gekoppeltes Phasenfeld/Monte Carlo-Ansatz [H. Assadi, A Phase-Field Model for Crystallization into Multiple Grain Structures, in Solidification and Crystallization (2004), ed. von D. Herlach], um Gittereffekte zu eliminieren und verwende diesen Ansatz in Kombination mit dem zuvor entwickelten erweiterten Monte Carlo-Algoritmus, um Kristall-Wachstumswettbewerb in Gesteinskluften zu beschreiben. Anschliessend stelle ich ein neues Modell für das Wachstum von metallischen Nanopartikeln in ionischen Lösungen vor, welches auf einem klassischen Phasenfeldmodell basiert [Wheeler et al., Phys. Rev. A 45 (1992) 7424] und verwenden es für erste qualitative Studien. Danach verwende ich die neue Phasenfeld-Kristall-Methode [K. R. Elder et al., Phys. Rev. Lett. 88 (2002) 235702-2 ] um die Korellation zwischen thermalem Rauschen und Nukleationsraten zu untersuchen, was für zukünftige Nukleationsstudien von Nutzen sein wird - inklusive dem zuvor beschriebenen Wachstum von Nanopartikeln. Zuletzt diskutiere ich die Parallelen zwischen den drei verschiedenen Modellen, und wie das durch sie erlangte Wissen in zukünftigen Studien nichtlinearer Systeme verwendet werden kann.
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    ABSTRACT: Die vorliegende dreiteilige Arbeit besch\"aftigt sich sowohl mit Gleichgewichts- als auch dynamischen Eigenschaften dreier verschiedener kolloidaler Suspensionen. Im ersten Teil analysieren wir mit den Methoden der klassischen Dichtefunktionaltheo- rie (DFT), der dynamischen Dichtefunktionaltheorie (DDFT) und mit Computer-Simulationen der Brownschen Dynamik (BD) die Kristallisation einer Suspension von paramagnetischen Kugeln auf einer {Grenzfl\"ache}, die einem senkrecht zur {Grenz-} fl\"ache stehenden magnetischen Feld ausgesetzt sind. Das Gleichgewichtsphasenverhalten, das vollst\"andig durch die langreichweitige Dipol-Dipol-Wechselwirkung und die thermodynamischen Zustandsgr\"o\ssen charakterisiert ist, wird durch zwei verschiedene DFT-N\"aherungen ermittelt, zum einen durch eine erweiterte Form der N\"aherung von Ramakrishnan und Yussouff (RY) und zum anderen durch eine sogenannte {\it extended modified weighted density}-N\"aherung. Beide Methoden stimmen bis zur dritten Ordnung mit der Funktionalentwicklung der Exzess-Freien Energie in den lokalen Dichteschwankungen bez\"uglich einer Fl\"ussigkeit mit konstanter Dichte exakt \"uberein und sind ihren einfacheren, lediglich bis zur zweiten Ordnung \"ubereinstimmenden Vorg\"angern \"uberlegen. Anschlie\ss end betrachten wir die {Relaxa-} tionsdynamik von schmelzenden und wachsenden Kristallen mit Hilfe der DDFT und mit BD-Simulationen, erstere auf Basis der RY-N\"aherung. Um das Wachstumsverhalten zu untersuchen, ordnen wir wenige Teilchen in einer bei niedrigem {magne-} tischen Feld im thermodynamischen Gleichgewicht befindlichen Fl\"ussigkeit zu einem Kristalliten an, dessen Zeitentwicklung wir nach einer instantanen Erh\"ohung der Feldst\"arke in der umgebendendn, dann metastabilen bzw.\ unterk\"uhlten Fl\"ussigkeit beobachten. Der Relaxationsprozess besteht im wesentlichen aus zwei Schritten: Auf sehr kurzer Zeitskala relaxiert der zuvor festgehaltene Kristallit zu einem Ausschnitt eines thermodynamisch stabilen, unendlich ausgedehnten Kristalls. Anschlie\ss end w\"achst oder kollabiert die kristalline Konfiguration, je nach origin\"arer Geometrie und je nach St\"arke des magnetischen Feldes. Im zweiten Teil der Arbeit untersuchen wir die Kristallisation einer weiteren kolloidalen Suspension zwischen zwei repulsiven oder attraktiven, planaren W\"anden. Das System, dessen Teilchen \"uber sehr weiche, beschr\"ankte Potentiale miteinander wechselwirken, modelliert in einfacher Weise beispielsweise eine L\"osung von amphiphilen Dendrimeren. Mit Hilfe der hier sehr akuraten {\it mean-field}-N\"aherung der DFT und BD-Simulationen finden wir, dass die Teilchen sich bei niedrigen {Tempera-} turen zu sogenannten {\it Cluster}-Kristallen ordnen, in denen jeweils mehrere Teilchen die Position eines einzigen Gittervektors annehmen. Die Teilchen kristallisieren {ent-} weder zun\"achst in der Mitte der Pore und erst dann an den W\"anden, oder gerade andersherum, je nach der Form der Wand-Teilchen-Wechselwirkung. Im Fall gro\ss er Wand-Wand-Abst\"ande wachsen die fl\"ussigen oder kristallinen Lagen beim Ann\"ahern an den Einfrier\"ubergang kontinuierlich von beiden W\"anden in die Mitte, was auf eine vollst\"andige Benetzung durch die jeweilige Phase hindeutet. Das {Wachstum} wird schlie\ss lich durch die Kapillarkondensation der kristallinen oder fl\"ussigen Phase unterbrochen. Im dritten und letzten Teil geht es schie\ss lich um die Dynamik eines aktiven, selbst angetriebenen, kolloidalen St\"abchens in zwei Dimensionen, das als ein vereinfachtes Model f\"ur die Bewegung von Bakterien, Spermien, oder k\"unstlichen Nano-Schwimmern in der N\"ahe planarer Oberfl\"achen dienen kann. Der Selbstantrieb wir durch eine konstante Kraft in Richtung der St\"abchenorientierung und ein konstantes Drehmoment modelliert, die zusammen zu einer zirkul\"aren Bewegung des Teilchens f\"uhren; das St\"abchen wird daher auch als ''Brownscher Kreisschwimmer'' bezeichnet. Ohne Anwesenheit eines \"au\ss eren Potentials, d.h., in der homogenen, ausgedehnten Fl\"ussigkeit, lassen sich die Langevin-Bewegungsgleichungen analytisch integrie- ren. F\"ur die Analyse der Bewegung in linearen, einschr\"ankenden Kan\"alen bedienen wir uns einer nicht-Hamiltonschen Ratentheorie und Computer-Simulationen, die \"ubereinstimmend eine deutlich schnellere diffusive Bewegung als in der ausgedehnten Fl\"ussigkeit vorhersagen. Die beschleunigte Bewegung wird durch einen metastabilen, station\"aren Zustand des Gleitens entlang einer der beiden W\"ande bedingt und kann durch eine Optimierung des Verh\"altnisses von Vorw\"artskraft und Drehmoment noch gesteigert werden. This thesis deals with equilibrium and dynamical properties of colloidal dispersions. It contains three parts, each concerned with a different colloidal system: in the first part, we present results from classical density functional theory (DFT), dynamical density functional theory (DDFT), and Brownian dynamics (BD) computer simulations on crystallization of a colloidal suspension of paramagnetic spheres on a planar interface that carry a magnetic-field-induced dipole moment, directed perpendicular to the interface. The equilibrium system is completely characterized by the long-range dipole-dipole interactions. The phase behavior is addressed by two different approximations to the DFT, an extended form of the approach by Ramakrishnan and Yussouff (RY) and the extended modified weighted density approximation. Both approaches, which are exact up to third order in the functional expansion of the excess free energy about a fluid with uniform density, are superior to their simpler second-order counterparts. Subsequently, the relaxation dynamics of crystal growth and melting is studied by means of DDFT with the RY density functional as an input and with BD computer simulations. To study the growth scenario, a crystalline cluster of few particles is tagged in an equilibrated fluid at a low magnetic field, before instantaneously increasing the field, which renders the fluid undercooled, and letting the particles free at the same time. Observed is a two-stage process, consisting of a fast relaxation towards a cutout of the stable bulk crystal, which then either collapses or serves as a heterogeneous nucleation seed for further crystal growth, depending on the quench depth and on the structure of the incipient cluster. The second part deals with crystallization in slit-pore confinement of a model system of particles interacting via ultrasoft repulsive pair potentials representing, e.g., amphiphilic dendrimers in solution, which is addressed with an accurate mean-field DFT and BD computer simulations. The particles are shown to freeze into cluster crystals either from the middle of the slit towards the walls or vice versa, depending on the particle-wall interaction. For large wall-wall separations, a continuous growth of the fluid or solid layer on either wall, upon approaching the bulk freezing line, indicates complete wetting in both cases. The continuous growth is interrupted by capillary melting or freezing. The third part is devoted to the dynamics of an active, self-propelled, colloidal rod in two dimensions, which serves as a simplified model to study the motion of, e.g., bacteria, spermatozoa, or artificial nano-swimmers close to planar walls. The self-propulsion is modeled through a constant force in the rod orientation and a constant torque, both yielding motion along circles rather than along straight lines; we therefore designate the particle a ``Brownian circle swimmer.'' The motion in the bulk is examined by integrating analytically the Langevin equations of motion, whereas the motion in linear, confining channels is assessed by a non-Hamiltonian rate theory and BD computer simulations. A sliding mode close to the channel wall leads to a huge acceleration as compared to the bulk motion, which can further be enhanced by an optimum torque-to-force ratio.