Quantum theory of orbital magnetization and its generalization to interacting systems.
ABSTRACT Based on standard perturbation theory, we present a full quantum derivation of the formula for the orbital magnetization in periodic systems. The derivation is generally valid for insulators with or without a Chern number, for metals at zero or finite temperatures, and at weak as well as strong magnetic fields. The formula is shown to be valid in the presence of electron-electron interaction, provided the one-electron energies and wave functions are calculated self-consistently within the framework of the exact current and spin-density functional theory.
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arXiv:0704.3824v2 [cond-mat.mes-hall] 21 Sep 2007
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M = −1
V
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∂B
?
T,µ
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M ≡ −1
V
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∂B
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T,µ
,
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???? ?????????????????? ??????????? (∂S/∂B)T,µ=
Page 2
(∂M/∂T)µ,B
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∂β
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M,
???
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˜
M
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????? ????? q
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???????????? ??????????????? ??????????????????????
???????????????????????? ??????????????? B
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M · B(r).
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M
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?????ˆH0
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???? ǫnk
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2[ˆ υ · A(r) + A(r) · ˆ υ],
???
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A(r) = −Bsinqy
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???
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?????ˆK =ˆH −µˆ N
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.
???
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˜
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2
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???
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Mz
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4iq
?
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ǫnk− ǫn′k+q
− (q → −q)
?
,
????
????? ˆ υ(k) ≡ ∂ˆH0(k)/∂(?k)
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??????????????? ??????????? ????????? ????? ????????????? ???? unk
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˜
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4qIm
?
nn′k
(ǫnk+ ǫn′k+q− 2µ)?unk|un′k+q??un′k+q| ˆ υx(k) + ˆ υx(k + q)|unk?
ǫnk− ǫn′k+q
(fnk− fn′k+q).
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2Im
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(ǫnk+ ǫn′k− 2µ)?unk|∂un′k/∂ky??un′k| ˆ υx(k)|unk?
ǫnk− ǫn′k
(fnk− fn′k)
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nk
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∂ky
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f′
nk,
????
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nk≡ ∂f(ǫnk)/∂ǫnk
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M
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∂unk
∂k
?
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?∂unk
∂k
????[ǫn(k) −ˆH0(k)]×
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∂unk
∂k
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f′
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??? ????? ????????????????????????????????????????
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?
nk
?
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?
1 + e−β(ǫnk−µ)??
,
????
????? mn(k)
|∇kunk?
i?∇kunk|×|∇kunk?
≡(e/2?)i?∇kunk|[ǫn(k) −ˆH0(k)] ×
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??? Ωn(k) ≡
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1
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σ(r))2+ V′
σ(r)
?
ψiσ(r) = ǫiσψ(r),
????
????
V′
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2m
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σ− A′2
σ
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A′
σ=Aσ+ Axcσ.
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? eAxcσ = δΩxc/δjpσ
?
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????? jpσ(r)
????????????????? ?????????????????????
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????
(−i?/2m)?
???? nσ(r) =
i|ψiσ(r)|2f(ǫiσ)
??? jpσ(r) =
i[ψ∗
iσ(r)∇ψiσ(r) − ∇ψ∗
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jpσ
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????℄?
??????
Ω = −1
β
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iσ
ln
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σ
?
drnσ(r)Vxcσ(r)
− e
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σ
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drjpσ(r) · Axcσ(r) + Ωxc[nσ,jpσ],
????
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?? ??????????????????????????????????????????
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??????? ????????? δAσ
??????????? δΩ
????? ?????????
??????????????????????????????? ????δΩ|nσ,jpσ
???????
?????????????????????????????? ?????????? ???????????
??? nσ
??? jpσ
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nσ
????δΩ|Vσ,Aσ)
???????????????????????? ??
??? jpσ
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?????????? Ω
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???????? VH
? Vxcσ
??? Axcσ
??
δΩ = δΩ|nσ,jpσ+ δΩ|Vσ,Aσ.
????
???? ????????????? δΩ|nσ,jpσ
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?????????? δΩ|Vσ,Aσ
???????????? ????????????????
????? ????????? ?????????????????? ???????????? ???? Ω
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??? ???????????????????????????? ? ?????? δΩ/δnσ =
δΩ/δjpσ= 0 ?
?????? ????
δΩ|Vσ,Aσ= 0.
????
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Ωxc[nσ,B]?
??????
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??? ??????????????? ?????? ?????? ??????????????????
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????? ??????????????????????????????????? ????????
??????????????? ??????????????? h/e ? ??????????? ???
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