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Adaptive estimation of covariance functions via wavelet thresholding and information projection

Source: OAI

ABSTRACT In this paper, we study the problem of nonparametric adaptive estimation of the covariance function of a stationary Gaussian process. For this purpose, we consider a wavelet-based method which combines the ideas of wavelet approximation and estimation by information projection in order to warrants the positive semidefiniteness property of the solution. The spectral density of the process is estimated by projecting the wavelet thresholding expansion of the periodogram onto a family of exponential functions. This ensures that the spectral density estimator is a strictly positive function. Then, by Bochner theorem, we obtain a semidefinite positive estimator of the covariance function. The theoretical behavior of the estimator is established in terms of rate of convergence of the Kullback-Leibler discrepancy over Besov classes. We also show the excellent practical performance of the estimator in some numerical experiments.

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Available from: Jean-Michel Loubes, Jul 11, 2015
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    ABSTRACT: Eine Punktmenge 𝔖 heißt halbmetrisch, wenn ein Abstand PQ erklärt ist mit PQ=QP>0 für P≠Q und PP=0. Ist F(t) für t≧0 eine stetige Funktion mit F(t)>0 für t>0, F(0)=0 und geht man in 𝔖 von PQ zur Abstandsfunktion F(PQ) über, so spricht man von einer Metriktransformation; es entsteht wieder ein halbmetrischer Raum F(𝔖). Mit 𝛱(𝔖) wird die Gesamtheit aller Metriktransformationen F(t) des separablen halbmetrischen Raumes 𝔖 bezeichnet, für welche F(𝔖) isometrisch in den Hilbertschen Raum E ∞ einbettbar ist. Es gilt: F(t)∈𝛱(𝔖) dann und nur dann, wenn für jeden Parameter λ>0 die Funktion exp(-λ[F(t)] 2 )∈𝔓(𝔖). Dabei ist 𝔓(𝔖) die Gesamtheit aller bezüglich 𝔖 positiv definiten Funktionen g(t), t≧0 (d. h. für je n Punkte P i ∈𝔖 ist ∑ 1...n g(P i P j )ϱ i ϱ j positiv semidefinit). Verf. bestimmt die Klasse 𝔓(𝔖) für die euklidischen Räume endlicher Dimension und für E ∞ :g(t)∈𝔓(E m ) dann und nur dann, wenn g(t)=∫ 0 ∞ 𝛺 m (tu)dα(u), worin α(u) nichtfallend und beschränkt ist für u≧0 und die ganze transzendente Funktion 𝛺 m (r) für endliche Dimension m durch Besselfunktionen ausgedrückt werden kann, während 𝛺 ∞ (r)=e -r 2 ist. Die Funktionen aus 𝔓(E m ) sind m-1 2-mal differenzierbar. Zwischen der Klasse 𝔓(E ∞ ) und der Gesamtheit 𝔐 der vollständig monotonen reellen Funktionen f(t), t≧0, besteht eine umkehrbar eindeutige Beziehung: f(t)∈𝔐 dann und nur dann, wenn f(t 2 )∈𝔓(E ∞ ). Für die Funktionen F(t) der Klasse 𝛱(E ∞ ) gibt Verf. die Integraldarstellung F(t)=∫ 0 ∞ 1-e -t 2 u udγ(u) 1 2 , wo γ(u) nicht-fallend für u≧0 und ∫ 1 ∞ dγ(u) u existiert. Die Klasse 𝛱(E ∞ ) läßt sich noch auf andere Weise kennzeichnen: Es bedeute T die Klasse aller Funktionen 𝛷(t), t≧0, welche Integrale von in 0<t vollständig monotonen Funktionen ψ(t) sind: 𝛷(0)=0, 𝛷(t)=∫ 0+ t ψ(τ)dτ; zwischen den Funktionen 𝛷(t)∈T und F(t)∈𝛱(E ∞ ) besteht eine umkehrbar eindeutige Beziehung vermöge der Gleichung 𝛷(t 2 )=(F(t)) 2 . Verf. beschäftigt sich ferner mit der Struktur der Klassen 𝔓(E ∞ ), 𝔐, T, insbesondere mit “inneren Transformationen” dieser Klassen: Die Klasse der nicht-negativen stetigen Funktionen F(t) (F(0)=0) mit der Eigenschaft, daß mit g(t)∈𝔓(E ∞ ) auch g(F(t))∈𝔓(E ∞ ), stimmt mit 𝛱(E ∞ ) überein. Die Klasse der nicht-negativen stetigen Funktionen 𝛷(t) (𝛷(0)=0) von der Art, daß mit f(t)∈𝔐 auch f(𝛷(t))∈𝔐, ist mit T identisch. Mit letztem Satz ist eine wesentliche Vervollständigung eines Ergebnisses von S. Bochner (Duke Math. J. 3 (1937), 488-502; JFM 63.0390.*) erzielt. Die Klasse der inneren Transformationen von T enthält alle Elemente von T. Verf. bestimmt schließlich die allgemeine Gestalt der Funktionen aus 𝔐 mit gewissen Normierungs- bzw. Beschränkungsbedingungen, ferner die Teilklasse 𝛱 ' (E m ) der “rektifizierenden” F(t) (d. h. für welche F ' (0)<∞ ist) von 𝛱(E m ), m endlich. (IV 8 A.)
    Annals of Mathematics DOI:10.2307/1968466
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    ABSTRACT: . In this paper we consider logspline density estimation for random variables which are contaminated with random noise. In the logspline density estimation for data without noise, the logarithm of an unknown density function is estimated by a polynomial spline, the unknown parameters of which are given by maximum likelihood. When noise is present, B-splines and the Fourier inversion formula are used to construct the logspline density estimator of the unknown density function. Rates of convergence are established when the log-density function is assumed to be in a Besov space. It is shown that convergence rates depend on the smoothness of the density function and the decay rate of the characteristic function of the noise. Simulated data are used to show the finite-sample performance of inference based on the logspline density estimation.
    Scandinavian Journal of Statistics 02/1999; 26(1):73-86. DOI:10.1111/1467-9469.00138
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    Advances in Applied Probability 12/1973; DOI:10.2307/1425830
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