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POUR L'OBTENTION DU GRADE DE DOCTEUR ÈS SCIENCES
PAR
acceptée sur proposition du jury:
Suisse
2008
Prof. C. Pfi ster, président du jury
Prof. C. Stuart, directeur de thèse
Prof. T. Cazenave, rapporteur
Prof. L. Jeanjean, rapporteur
Prof. T. Ratiu, rapporteur
Théorie de bifurcation et de stabilité pour une équation de
Schrödinger avec une non-linéarité compacte
François GENOUD
THÈSE NO 4233 (2008)
ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE DE LAUSANNE
PRÉSENTÉE LE 19 DÉCEMBRE 2008
À LA FACULTÉ SCIENCES DE BASE
CHAIRE D'ANALYSE
PROGRAMME DOCTORAL EN MATHÉMATIQUES
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Remerciements
Je tiens tout d’abord à remercier très chaleureusement Charles Stuart de m’avoir donner l’op-
portunité de me lancer dans cette belle aventure mathématique. Je ne saurais dire à quel point
je lui suis reconnaissant, tant pour sa générosité humaine que pour ses hautes compétences pé-
dagogiques et mathématiques. J’ai énormément bénéficié de son enthousiasme, de sa disponibilité
et de la grande liberté qu’il m’a accordée. Il a aussi su me redonner confiance dans des périodes
de doutes et c’est en partie grâce à lui que je suis maintenant décidé à poursuivre l’aventure et à
entreprendre une carrière académique.
Ma reconnaissance va également aux experts, membres de mon jury de thèse, Thierry Cazenave,
Louis Jeanjean et Tudor Ratiu, ainsi qu’au président du jury, Charles Pfister, pour leur lecture
attentive et leurs questions et remarques pertinentes. Je remercie en particulier Louis Jeanjean qui
a mis le doigt sur certaines lacunes dans mon travail et m’a ainsi permis de corriger et de compléter
le présent rapport.
Il y a un peu plus de trois ans que j’ai intégré la Section de Mathématiques de l’EPFL, après
avoir fait mes études en Physique, également à l’EPFL. Mais avant ça, ayant fait ma scolarité
dans des domaines littéraires, je suis passé par le Cours de Mathématiques Spéciales (CMS) de
l’EPFL, qui forme les personnes qui n’ont pas un niveau suffisant, en vue d’intégrer l’école. J’ai
également passé une année en échange à l’ETH de Zürich pendant mes études. Ma formation a ainsi
traversé quatre phases distinctes, au cours desquelles j’ai eu la chance de recevoir un enseignement
d’une grande qualité. Je tiens donc aussi à remercier ceux que je considère aujourd’hui comme mes
mentors.
Tout d’abord, au CMS, Olivier Woringer et Guido Burmeister, qui ont été mes premiers maîtres,
respectivement de mathématiques et de physique. Quand je suis entré au CMS, je savais bien peu
de choses dans ces deux domaines et je dois beaucoup à Olivier et à Guido, qui m’ont permis de
commencer mes études à l’EPFL avec une base solide, et surtout, qui m’ont fait découvrir les joies
des mathématiques.
Durant mes études en Physique, j’ai eu de nombreux enseignants de qualité et j’aimerais re-
mercier en particulier Tudor Ratiu, qui a été mon maître d’analyse en première année et dont le
cours (et les exercices!) est profondément gravé dans ma mémoire. Pour l’analyse, merci encore à
Charles Stuart, grâce à qui j’ai découvert l’analyse complexe, qui est peut-être la plus belle théorie
mathématique que l’on puisse enseigner à un niveau élémentaire. En ce qui concerne la physique,
je dois beaucoup à Christian Gruber, qui était très exigeant et qui a su me montrer la beauté
de l’interaction entre les mathématiques et la physique, introduisant d’ailleurs souvent dans ses
cours des notions mathématiques que j’ignorais totalement! J’ai découvert grâce à lui la mécanique
quantique et la relativité générale et ces deux rencontres m’ont profondément bouleversé.
A Zürich, j’ai étudié l’analyse fonctionnelle avec Michael Struwe, dans un cours d’une élégance
rare. C’est durant cette année passée à Zürich que mon idée d’aller plutôt en direction des mathé-
matiques que de la physique s’est trouvée définitivement confirmée et je le dois en partie à Michael
Struwe.
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Je dois aussi énormément à Charles Pfister, qui a été mon superviseur durant mon travail de
diplôme, et avec qui j’ai appris à avoir des exigences de rigueur élevées et à ne pas prendre pour
argent comptant les textes scientifiques que je lis. C’est avec lui que j’ai fait mes premiers pas dans
la recherche.
J’aimerais encore remercier mon collègue Gilles Évéquoz, pour les nombreuses heures passées
ensemble à étudier dans le calme et pour toutes les discussions intéressantes que nous avons eues.
Merci aussi à Boris Buffoni, dont j’ai été l’assistant pour le cours d’analyse fonctionnelle et avec
qui j’ai eu des discussions fort intéressantes.
Ma plus grande gratitude va également à ma famille, et particulièrement à ma mère, Martine,
pour son soutien, sa grande sagesse et son regard toujours si serein sur le monde, qui m’apportent
beaucoup.
Malgré la distance, je suis resté très proche de mon ami physicien(-mathématicien!) Sven Bach-
mann, avec qui j’ai fait mes études. Cette amitié m’est très chère et nos innombrables conversations,
scientifiques ou non scientifiques, sont pour moi inestimables. Je lui suis aussi très reconnaissant
de me tenir au courant de ce qui se passe dans le monde de la physique théorique.
Finalement, merci à Jim, mon vieux frère, mon éternel ami, qui est toujours là.
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Résumé
L’équation de Schrödinger non-linéaire
i∂tw + ∆w + V (x)|w|p−1w = 0
est étudiée, où p > 1, V : RN\ {0} → R et I ⊂ R est un intervalle. Le coefficient V fait l’objet de
diverses hypothèses. En particulier, il est toujours supposé que V (x) → 0 lorsque |x| → ∞. Des
situations où V est non-borné à l’origine sont envisagées, voire imposées. Une attention spéciale
est portée au cas où V est radial.
La recherche de solutions sous la forme d’ondes stationnaires w(t,x) = eiλtu(x) conduit natu-
rellement à l’équation elliptique semi-linéaire
w = w(t,x) : I × RN→ C, N ≥ 2,
(1)
∆u − λu + V (x)|u|p−1u = 0
u : RN→ R, N ≥ 2.
(2)
Les deux objectifs principaux de la thèse sont
(A) établir des résultats d’existence et de bifurcation pour (2),
(B) discuter la stabilité orbitale des ondes stationnaires de (1) correspondant aux solutions
trouvées en (A).
Tout d’abord, au Chapitre 1, dans le cas où V est radial, une approche variationnelle montre
l’existence d’états fondamentaux de (2). Une propriété de non-dégénérescence de ces solutions est
démontrée, qui joue un rôle crucial dans les arguments de continuation du Chapitre 2.
La première partie du Chapitre 2 établit des résultats locaux d’existence et de bifurcation pour
(2), sans hypothèse de symétrie sur V . Moyennant certaines conditions sur la puissance p et le
coefficient V , deux branches de solutions sont obtenues, au voisinage de λ = 0 et au voisinage de
λ = +∞, qui sont de classe Crsi V ∈ Cr(RN\ {0},R), pour r = 0,1. Ces résultats indépendants
sont démontrés en imposant respectivement que lim|x|→∞V (x)|x|b= B > 0 avec b ∈ (0,2) et que
limx→0V (x)|x|a= A > 0 avec a ∈ (0,2). Le comportement asymptotique le long des branches
de solutions est discuté en détail, en fonction de la valeur de p. La seconde partie du Chapitre
2 montre l’existence d’une branche globale de solutions de (2), dans le cas où V est radial. Sous
certaines hypothèses, en particulier si a ∈ (0,b], la branche globale “réunit” les deux branches
locales obtenues dans la première partie.
Le Chapitre 3 traite de la stabilité des ondes stationnaires de (1) qui correspondent aux solutions
de (2) trouvées dans la première partie du Chapitre 2. Il est expliqué en détail comment appliquer
la théorie générale de stabilité à (1). Des résultats locaux de stabilité/instabilité sont démontrés,
au voisinage de λ = 0 et au voisinage de λ = +∞.
Mots clés : équations de Schrödinger non-linéaires, équations elliptiques semi-linéaires, bifur-
cation, stabilité orbitale.
iii
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Abstract
The nonlinear Schrödinger equation
i∂tw + ∆w + V (x)|w|p−1w = 0
is studied, with p > 1, V : RN\ {0} → R and I ⊂ R an interval. The coefficient V is subject
to various hypotheses. In particular, it is always assumed that V (x) → 0 as |x| → ∞. Situations
where V is unbounded at the origin are considered. A special attention is paid to the radial case.
Seeking solutions of (1) as standing waves w(t,x) = eiλtu(x) leads naturally to the semilinear
elliptic equation
∆u − λu + V (x)|u|p−1u = 0
The main goals of the thesis are
w = w(t,x) : I × RN→ C, N ≥ 2,
(1)
u : RN→ R, N ≥ 2.
(2)
(A) to establish existence and bifurcation results for (2),
(B) to discuss the orbital stability of the standing waves of (1) corresponding to the solutions
found in (A).
First, in Chapter 1, in the case where V is radial, a variational approach shows the existence
of ground states for (2). A non-degeneracy property of these solutions is proved, which plays a
crucial role in the continuation arguments of Chapter 2.
The first part of Chapter 2 establishes local existence and bifurcation results for (2), without
any symmetry assumption on V . Under certain hypotheses on the power p and the coefficient V ,
two branches of solutions are obtained, in a neighborhood of λ = 0 and in a neighborhood of
λ = +∞. The branches are of class Crif V ∈ Cr(RN\ {0},R), for r = 0,1. These independent
results are proved by requiring respectively that lim|x|→∞V (x)|x|b= B > 0 with b ∈ (0,2) and
that limx→0V (x)|x|a= A > 0 with a ∈ (0,2). The asymptotic behaviour along the branches
is discussed in detail and depends on the value of p. The second part of Chapter 2 proves the
existence of a global branch of solutions of (2), in the case where V is radial. Under appropriate
hypotheses, in particular if a ∈ (0,b], the global branch “sticks together” the two local branches
obtained in the first part.
Chapter 3 is concerned with the orbital stability of the standing waves of (1) corresponding
to the solutions of (2) found in the first part of Chapiter 2. It is explained in detail how to apply
the general theory of orbital stability to (1). Local stability/instability results are proved, in a
neighborhood of λ = 0 and in a neighborhood of λ = +∞.
Key words : nonlinear Schrödinger equations, semilinear elliptic equations, bifurcation, orbital
stability.
v
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Table des matières
1 États fondamentaux
1.1 Existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2Régularité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Unicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Non-dégénérescence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
14
21
25
27
2Bifurcation
2.1 Théorie locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Étude des problèmes auxiliaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Retour aux variables initiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Théorie globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Une propriété d’accumulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2Unicité locale des états fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Continuation globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
37
39
47
51
51
55
61
3Stabilité
3.1
3.2
3.3
3.4
65
67
71
73
83
Le problème de Cauchy
Formalisme hamiltonien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Les conditions spectrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
La condition de pente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A Estimations utiles 89
B Continuité et différentiabilité de quelques opérateurs 91
C EDO, comportement asymptotique 95
D Régularité par ‘boot-strap’ 99
E Harmoniques sphériques103
F Opérateurs différentiels ordinaires, théorie spectrale105
vii
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Introduction
L’objet de cette thèse est l’étude de quelques aspects de l’équation de Schrödinger non-linéaire
i∂tw + ∆w + V (x)|w|p−1w = 0
où p > 1, V : RN\ {0} → R et I ⊂ R est un intervalle. ∆ désigne ici le laplacien par rapport
à la variable d’espace, x ∈ RN. Nous ferons diverses hypothèses sur la puissance p et sur le
coefficient V selon les résultats à démontrer. Typiquement, pour assurer l’existence de solutions,
nous supposerons toujours que p est borné supérieurement par une quantité qui dépend de V , c.f.
l’hypothèse (H2) du Chapitre 1. La fonction V pourra être non-bornée à l’origine, ce qui entraîne
des difficultés techniques importantes, mais nous supposerons toujours que V (x) → 0 lorsque
|x| → ∞, c.f. (H2). Comme il apparaîtra clairement par la suite, c’est cette dernière hypothèse qui
justifie le terme ‘non-linéarité compacte’.
Nous nous intéresserons spécialement à l’existence et aux propriétés des solutions particulières
de (NLS) que sont les ondes stationnaires. Une onde stationnaire est une fonction de la forme
ϕ(t,x) = eiλtu(x), où nous supposons que la fonction u, définie sur RN, est à valeurs réelles. Une
telle fonction est solution de (NLS) si et seulement si la fonction u satisfait l’équation elliptique
semi-linéaire
∆u − λu + V (x)|u|p−1u = 0
Les solutions des équations (NLS) et (Eλ) seront pour nous des solutions faibles, ces notions étant
précisées respectivement dans les Définitions 3.0.1 et 1.1.3. Il existe une abondante littérature
concernant les équations de Schrödinger semi-linéaires de la forme générale
w = w(t,x) : I × RN→ C, N ≥ 2,
(NLS)
u : RN→ R, N ≥ 2.
(Eλ)
i∂tw + ∆w + f(x,w) = 0
(NLSG)
et il serait par trop ambitieux de vouloir en faire une présentation exhaustive. Nous nous concentre-
rons donc dans cette introduction sur certaines questions traitées dans le présent rapport et nous
tenterons de les situer au mieux dans la littérature existante. L’équation (NLSG) intervient dans
la modélisation de nombreux systèmes physiques dans des domaines aussi variés que la physique
des plasmas, la physique des gaz froids et l’optique non-linéaire. Néanmoins, nous n’entrerons pas
sur le terrain des applications dans ce travail. Nous notons tout de même en passant qu’en dimen-
sion N = 1, des méthodes dans le même esprit que celles présentées ici permettent de donner des
conditions générales garantissant l’existence et la stabilité d’ondes stationnaires pour une équation
du type (NLS), dans le contexte des guides d’ondes planaires en optique non-linéaire, c.f. [47, 48].
Ces résultats seront présentés dans un prochain travail [15].
Avant de résumer les résultats consignés dans ce rapport, laissez-nous brièvement inscrire notre
travail dans une perspective historique.
Héritage historique
Les théorèmes principaux que nous établissons dans cette thèse sont des résultats d’existence,
de bifurcation et de stabilité d’ondes stationnaires pour (NLS). Des recherches mathématiques
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rigoureuses sur ces questions pour des équations de Schrödinger et de Klein-Gordon non-linéaires
ont commencé à la fin des années 70. Le problème de l’existence de solutions stationnaires pour
ces équations est ramené à celui de l’existence de solutions d’une équation elliptique non-linéaire
de la forme
∆u + g(x,u) = 0
(1)
((Eλ) dans le contexte de (NLS)). Sur cette question, on retiendra en particulier les travaux précur-
seurs de Strauss [37], de Stuart [42] et de Berestycki et Lions [4], dans lesquels les auteurs utilisent
des méthodes de minimisation sous contrainte dans l’espace de Sobolev H1(RN). L’originalité de
ces travaux réside en ce que les techniques utilisées permettent de prouver l’existence de solutions
pour (1) sur tout l’espace RN, sous des conditions assez générales sur la non-linéarité g et pour
des dimensions N > 1. Le défi majeur consistait alors à adapter les méthodes variationnelles qui
avaient depuis longtemps fait leurs preuves pour des équations définies sur des domaines bornés
réguliers de RN, le problème principal étant, lorsque l’on travaille sur tout l’espace, de palier la
perte de compacité dans les injections de Sobolev. Une méthode à la fois efficace et élégante pour
combler ce manque de compacité fut introduite par Strauss [37], qui consiste à utiliser des suites
de fonctions à symétrie sphérique comme suites minimisantes. Nous faisons l’usage de ce genre
d’arguments dans la Section 1, où nous prouvons l’existence d’un état fondamental pour l’équation
(Eλ), pour tout λ > 0. Le travail de Strauss [37] concerne essentiellement des équations autonomes
avec des non-linéarités de la forme g(x,u) = |u|p−1u − α|u|q−1u, α ≥ 0. Dans [4], Berestycki et
Lions ont considérablement généralisé le type de non-linéarités g pouvant être traitées par la mé-
thode variationnelle. Cependant, ils ne considèrent également que des non-linéarités autonomes, i.e.
g(x,u) = g(u). L’article [42] de Stuart s’inscrit dans une série de travaux novateurs [38, 26, 40, 41]
qui mettent en évidence des phénomènes de bifurcation pour des équations elliptiques non-linéaires
à partir d’un point du spectre essentiel de l’opérateur linéarisé. Plus précisément, des équations de
la forme
Su − F(u) = λu
sont considérées dans [42], où S est un opérateur auto-adjoint agissant dans un espace fonctionnel
approprié (typiquement S = ∆ agissant dans H1(RN)), F(0) = 0 et F est sur-linéaire à l’origine.
On s’intéresse alors à la bifurcation à partir de points λ pour lesquels S−λI n’est pas un opérateur
de Fredholm. C’est le cas si λ est un point du spectre essentiel de S. La bifurcation à partir d’un
point du spectre essentiel ne peut être démontrée en utilisant la théorie standard de bifurcation via
la méthode de réduction de Liapounov-Schmidt car l’opérateur S − λI est typiquement injectif et
pas surjectif. La méthode mise en oeuvre dans [42] consiste alors à établir l’existence de solutions
de (2) par des arguments de minimisation sous contrainte du même genre que ceux mentionnés
ci-dessus, puis à établir des relations entre certaines normes des solutions ainsi obtenues et le
paramètre λ afin de prouver la bifurcation dans les normes en question. Les résultats obtenus dans
[42] concernent le problème de Dirichlet associé à des équations non-autonomes du genre de (Eλ).
Sous des hypothèses appropriées, ils sont obtenus dans les cas où la fonction V est bornée sur RN
et, soit tend vers zéro à l’infini, soit est radiale. Ces deux dernières hypothèses permettent chacune
de récupérer de la compacité, assurant par là la convergence des suites minimisantes. La méthode a
été considérablement améliorée dans [45], qui ne suppose plus que V tend vers zéro à l’infini, ni de
symétrie particulière. Cependant, il est toujours supposé que V est borné alors que nous prouvons
ici un résultat de bifurcation depuis l’infimum du spectre essentiel dans des situations où V n’est
pas borné à l’origine. Nous obtenons au Chapitre 1 l’existence de solutions par minimisation sous
contrainte sous l’hypothèse que V est radiale. En revanche, au Chapitre 2, nous obtenons des
résultats de bifurcation locale sans hypothèse de symétrie sur la fonction V . Nous obtenons en fait
bifurcation le long de branches (au moins) continues de solutions dans R×H1(RN), ce qui diffère
des résultats purement variationnels mentionnés ci-dessus. Des résultats du même genre on été
(2)
2
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établis dans [44, 31, 46] et, plus récemment, dans [1, 2]. Nous verrons que le cas où les branches
de solutions sont de classe C1permet de discuter la stabilité des ondes stationnaires à l’aide d’un
critère simple.
A cette époque de travail intensif sur les problèmes elliptiques semi-linéaires est finalement
apparue la méthode la plus aboutie permettant de palier le manque de compacité dans les problèmes
variationnels, à savoir la méthode de concentration-compacité de P.-L. Lions [28, 29]. Parmi ses
nombreuses applications, cette technique a notamment contribué à établir certains des premiers
résultats rigoureux concernant la stabilité orbitale des ondes stationnaires pour les équations de
Schrödinger et de Klein-Gordon non-linéaires, voir l’article célèbre de Cazenave et Lions [8]. On
retiendra aussi les résultats d’instabilité par ‘blow-up’ de Berestycki et Cazenave [3] et de Berestycki
et Lions [5], également démontrés par des arguments variationnels. On consultera avec profit [7, 27]
pour un regard plus récent sur ces travaux. Signalons encore la référence [20] pour un travail récent
dans le même esprit, où des équations de Schrödinger asymptotiquement périodiques sont étudiées.
En parallèle de l’école française, un travail important a été entrepris par d’autres auteurs à la même
époque sur la question de la stabilité pour des problèmes similaires, voir par exemple [35, 36]. Ces
derniers travaux ont finalement abouti à une théorie générale de la stabilité orbitale pour des
systèmes hamiltoniens [17] et nous expliquons en détail à la Section 3.2 comment appliquer cette
théorie à la situation qui nous intéresse. La notion de stabilité orbitale est rappelée au Chapitre
3, c.f. Définition 3.0.2. Il existe de nombreuses notions de stabilité différentes, dépendant du type
d’équations considéré. L’idée générale est que, plus le système admet de symétries, plus la notion
de stabilité qui convient est faible. Grillakis, Shatah et Strauss traitent d’ailleurs de groupes de
symétrie assez généraux dans la seconde partie de leur théorie de stabilité [18]. Dans notre cas,
nous observons que si w est une solution de (NLS), alors eiθw est aussi une solution, pour tout
θ ∈ R. Ainsi, l’équation est invariante par rapport à l’action du groupe {eiθ}θ∈Rsur l’ensemble des
solutions et la notion de stabilité qui convient est ici celle de la Définition 3.0.2. La situation où
V est constant, i.e. où l’équation est autonome en espace, présente une symétrie supplémentaire,
l’invariance par les translations de RN. La notion de stabilité adaptée est alors celle considérée
dans [8]. Notons finalement que, même sans symétrie supplémentaire, il est possible de considérer
des notions de stabilité plus faibles. Voir par exemple le Théorème 1.2 de [11] pour un résultat
dans cette direction.
Résultats récents
Notre travail sur (NLS) a été stimulé par deux contributions récentes [6, 23], qui établissent
des résultats d’existence et de stabilité d’ondes stationnaires sous des hypothèses analogues aux
nôtres. Dans [6], De Bouard et Fukuizumi considèrent (NLS) pour N ≥ 3 avec les hypothèses
suivantes, où b ∈ (0,2) et 1 < p < 1 +4−2b
N−2:
(A1) V ∈ C(RN\ {0},R) avec V ≥ 0 mais V ?≡ 0 et V ∈ Lθ(|x| ≤ 1) avec θ =
2N
(N+2)−(N−2)p.
(A2) Il existe C > 0 et a >(N+2)−(N−2)p
2
> b tel que
??V (x) − |x|−b??≤ C|x|−apour |x| ≥ 1.
Sous ces hypothèses, il a été montré dans [10] que, pour tout λ > 0, (Eλ) possède une solution uλ∈
H1(RN)\{0}. (Notez que le travail sur la stabilité orbitale pour (NLS) avec des hypothèses du genre
de (A1)-(A2) a commencé dans [10], où un résultat d’instabilité est prouvé.) Il est démontré dans
[6] que, pour λ > 0 suffisamment petit, l’onde stationnaire correspondante, eiλtuλ, est orbitalement
stable si p < 1 +4−2b
Ces résultats ont ensuite été étendus et améliorés dans [23] par Jeanjean et Le Coz. A la place
de (A1) et (A2), ils font les hypothèses plus faibles suivantes :
N.
3
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(B1) V ∈ Lγ
loc(RN) pour un γ >
2N
(N+2)−(N−2)p.
(B2) Il existe b ∈ (0,2) tel que lim
|x|→∞V (x)|x|b= 1.
Ils supposent encore 1 < p < 1 +4−2b
(NLSG) avec une non-linéarité plus générale f(x,s) = V (x)g(s) que le cas g(s) = |s|p−1s, et ils
supposent alors, en plus de (B1) et (B2), que g(eiθs) = eiθg(s) pour tout θ,s ∈ R et que
g?(s)
psp−1= 1 et lim
N−2. Il faut noter que Jeanjean et Le Coz considèrent en fait
g ∈ C1(R,R), g(0) = 0, lim
s→0+
s→∞
|g?(s)|
sα
< ∞ pour un α ∈ (0,
4
N−2).
Nous mentionnons plus loin un travail, qui ne sera pas présenté dans ce rapport, dans lequel
nous recouvrons essentiellement le cas considéré par Jeanjean et Le Coz et qui traite même de
non-linéarités un peu plus générales. Sous les hypothèses ci-dessus, il est démontré dans [23] que,
pour 1 < p < 1 +4−2b
uλ∈ H1(RN) \ {0} de
∆u − λu + V (x)g(u) = 0,
que l’on a
?uλ?H1(RN)→ 0
et que l’onde stationnaire associée à uλest orbitalement stable.
Les approches utilisées dans [6] et dans [23] sont similaires. Tout d’abord, l’existence de solutions
est établie par des arguments variationnels : minimisation sur la variété de Nehari dans [6] et une
version du théorème du col dans [23]. Ensuite, la stabilité orbitale est démontrée en utilisant
un critère qui peut être déduit de l’analyse très générale présentée dans [17]. Ce critère (c.f. la
Proposition 3 de [23]), qui est discuté en détail dans la Section 3 de [50], convient bien aux
situations où l’on ne sait pas si les solutions uλsont dérivables par rapport à λ. C’est typiquement
le cas lorsque les solutions sont obtenues par une approche variationnelle. Si l’application λ ?→ uλ
est dérivable, la stabilité peut être déduite d’un critère souvent plus simple à vérifier, la condition
de pente, dont nous parlerons plus loin. La vérification du critère de stabilité dans [6] et [23]
présente des difficultés techniques importantes et peut être résumée comme suit. Tout d’abord, il
est démontré qu’après un changement de variables (similaire au changements de variables que nous
utilisons dans la Section 2.1), les solutions uλconvergent, lorsque λ → 0, vers l’unique solution
positive et radiale ψ ∈ H1(RN) de
∆u − u + |x|−b|u|p−1u = 0,
l’unicité étant assurée, en dimension N ≥ 3, par un théorème de Yanagida (c.f. Section 1.3). Il est
ensuite montré que cette solution est non-dégénérée, dans le sens que v = 0 est l’unique solution
dans H1(RN) de
∆v − v + p|x|−bψp−1v = 0.
Cette propriété de non-dégénérescence permet alors de montrer que le critère de stabilité est vérifié
dans les nouvelles variables, dans la limite λ → 0, et par suite, pour tout λ > 0 assez petit. La
partie la plus difficile consiste à prouver la non-dégénérescence de la solution ψ de (3) et, pour ce
faire, les auteurs de [6] et [23] utilisent des équations auxiliaires satisfaites par ψ et le théorème
d’unicité de Yanagida.
N, il existe λ0 > 0 tel que, pour tout λ ∈ (0,λ0), il existe une solution
et
|uλ|L∞(RN)→ 0
lorsque λ → 0,
(3)
Nous allons maintenant donner une description détaillée du contenu de la thèse, tout en situant
nos résultats par rapport à ceux de [6, 23].
4
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Contenu de la thèse
Dans la suite de cette introduction, nous ferons référence aux hypothèses (H0) à (H8), qui sont
formulées au début des Chapitres 1 et 2.
Les résultats des deux premiers chapitres ne concernent que l’équation stationnaire (Eλ). Néan-
moins, comme nous verrons au Chapitre 3, la stabilité orbitale des ondes stationnaires repose
essentiellement sur les propriétés de l’équation stationnaire.
Dans le Chapitre 1, nous prouvons l’existence pour tout λ > 0 d’un état fondamental de
(Eλ), c.f. Théorème 1.1.8. Pour nous, un état fondamental est une solution faible qui minimise la
fonctionnelle dont (Eλ) est l’équation d’Euler-Lagrange, sur la variété de Nehari dans H1(RN), c.f.
Définition 1.1.4. La méthode de minimisation sous contrainte que nous employons est fortement
inspirée de [45] (voir aussi [43]) et remonte à Nehari [33]. Pour obtenir ce résultat d’existence en
dimension N ≥ 2, nous formulons des hypothèses assez fortes sur le coefficient V . Nous supposons
que V ∈ C(RN\{0}) est une fonction radiale telle que V (r) = V (x) > 0 est décroissante en r > 0 et
qu’il existe k ∈ (0,2) tel que |x|kV (x) est borné sur RN. En particulier, V tend vers zéro à l’infini.
Nous supposons également que 1 < p < 1 +4−2b
radiales et radialement décroissantes. La suite du Chapitre 1 est consacrée à l’étude de certaines
propriétés des états fondamentaux de (Eλ). Par la Proposition 1.1.10, ces solutions sont radiales et
nous ferons donc largement recours à des équations différentielles ordinaires. La Section 1.2 traite
de la régularité des états fondamentaux, sous les mêmes hypothèses qu’au Chapitre 1. Le Théorème
1.2.7 résume ces propriétés. Dans la Section 1.3, nous supposons que V ∈ C1(RN\ {0}) et nous
faisons de plus l’hypothèse (H4), qui stipule que rV?(r)/V (r) < 0 est une fonction décroissante.
Nous prouvons alors, grâce au théorème de Yanagida mentionné ci-dessus, un résultat d’unicité (c.f.
1.3.2) des états fondamentaux de (Eλ), valable en dimension N ≥ 3. Finalement, dans la Section
1.4, nous montrons que, sous les mêmes hypothèses supplémentaires mais en toute dimension
N ≥ 2, les états fondamentaux sont des solutions non-dégénérées de (Eλ) (c.f. 1.4.10), au sens de
la Définition 1.4.2. Le résultat de non-dégénérescence est un élément essentiel dans la théorie de
bifurcation développée au Chapitre 2.
Les résultats de ce premier chapitre sont obtenus sous des hypothèses assez fortes et sont appli-
qués dans le Chapitre 2 aux équations auxiliaires qui interviennent dans la théorie de bifurcation
locale et qui apparaissent comme des cas particulier de (Eλ), ainsi qu’à l’équation (Eλ) elle-même
dans la théorie globale, qui nécessite des hypothèses plus restrictives.
N−2. Nous obtenons alors des solutions positives,
Le Chapitre 2 présente des résultats de bifurcation locale dans la Section 2.1 et un résultat
de continuation globale dans la Section 2.2. Nous travaillons en dimension N ≥ 2 pour la théorie
locale mais la continuation globale utilise de façon essentielle le résultat d’unicité 1.3.2, qui n’est
valable qu’en dimension N ≥ 3. De plus, dans la Section 2.1, nous ne faisons pas d’hypothèse de
symétrie sur la fonction V . Dans la Section 2.2, V est supposée positive, radiale et radialement
décroissante. La théorie locale établit l’existence dans R × H1(RN) d’une branche de solutions de
(Eλ) de la forme
{(λ,uλ) : 0 < λ < λ0} ⊂ R × H1(RN)
(c.f. Théorème 2.1.10) et d’une branche de solutions de la forme
(4)
{(λ,uλ) : λ∞< λ < ∞} ⊂ R × H1(RN)
(5)
(c.f. Théorème 2.1.11). Commençons par discuter les résultats au voisinage de λ = 0. Nous obtenons
une branche continue de la forme (4) sous les hypothèses (H0) et (H5). Si, de plus, (H1) et (H6)
sont vérifiées, la branche est de classe C1. Les hypothèses (Hr), r = 0,1, stipulent simplement que
5
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V ∈ Cr(RN\ {0}). L’hypothèse (H5) prescrit le comportment de V à l’infini, de façon analogue à
l’hypothèse (B2) ci-dessus, et, avec (H0), remplace les hypothèses d’intégrabilité locale (A1)/(B1).
On pourrait certainement se contenter de telles hypothèses mais l’analyse est déjà assez technique
sous notre hypothèse plus forte, qui stipule que V (x)|x|best borné à l’origine. Dans le cas C1,
l’hypothèse (H6) contrôle le comportement asymptotique du gradient de V . Nous obtenons la
branche (4) pour tout 1 < p < 1 +4−2b
bifurcation se présentent suivant les valeurs de p. Notre résultat englobe le résultat de bifurcation
de Jeanjean et Le Coz, si ce n’est que nous travaillons sous des hypothèses plus fortes. De fait, les
restrictions concernant la régularité de V sont nécessaires pour obtenir une branche de solutions
ayant la même régularité. La méthode que nous employons pour démontrer le Théorème 2.1.10
utilise deux ingrédients essentiels, un argument de perturbation et un argument de continuation.
Tout d’abord, nous effectuons dans (Eλ) le changement de variable (2.6) qui conduit à l’équation
auxiliaire
∆v − v + µ−bV (x/µ)|v|p−1v = 0,
où le paramètre λ a été remplacé par le nouveau paramètre µ =√λ. Utilisant le fait que V (x)|x|b→
B > 0 lorsque |x| → ∞ (hypothèse (H5)), un passage à la limite µ → 0 dans (?Eµ) conduit
∆v − v + B|x|−b|v|p−1v = 0,
qui correspond précisément à (3) si B = 1. A ce stade, notre démarche procède en un certain sens
à l’inverse de ce qui est fait dans [6] et [23]. Par perturbation de l’équation limite (?E0), en utilisant
de solutions (µ,v(µ)) de (?Eµ), pour µ ≥ 0 assez petit (c.f. 2.1.6). On obtient alors le Théorème
dans une situation où le théorème des fonctions implicites peut effectivement être appliqué, alors
que dans les variables initiales, des phénomènes de bifurcation ont lieu. Les résultats du Chapitre
1 assurent l’existence d’un état fondamental non-dégénéré ψ ∈ H1(RN) \ {0} de l’équation limite
(?E0). C’est cette propriété de non-dégénérescence qui permet d’appliquer le théorème des fonctions
alors que v(µ) → v(0) = ψ dans H1(RN) lorsque µ → 0. Utilisant les propriétés du changement de
variables (2.6), nous obtenons alors le comportement précis des quantités |uλ|L2(RN), |∇uλ|L2(RN)
et |uλ|L∞(RN), le long de la branche (4), lorsque λ → 0, ce qui permet de discuter des résultats de
bifurcation/bifurcation asymptotique en fonction de la valeur de la puissance p. Nous obtenons en
particulier que
N−2et le Théorème 2.1.10 montre que différents scénarios de
(?Eµ)
formellement à l’équation limite
(?E0)
une version du théorème des fonctions implicites, nous produisons dans R × H1(RN) une branche
2.1.10 en revenant aux variables initiales. L’intérêt du changement de variable est qu’il nous place
implicites à une fonction appropriée au point (0,ψ) ∈ R × H1(RN). Par construction, nous avons
|uλ|L∞(RN)→ 0 lorsque λ → 0, pour tout 1 < p < 1 +4−2b
|∇uλ|L2(RN)→ 0 lorsque λ → 0, pour tout 1 < p < 1 +4−2b
|uλ|L2(RN)→ 0/∞ lorsque λ → 0, selon que p < 1 +4−2b
Nous verrons que ces résultats sont cohérents avec la vérification de la condition de pente et que,
pour λ > 0 assez petit, nous avons précisément stabilité/instabilité de l’onde stationnaire associée
à uλselon que p < 1 +4−2b
Les résultats d’existence et de bifurcation au voisinage de λ = +∞ contenus dans le Théo-
rème 2.1.11 sont obtenus de façon tout à fait similaire, en utilisant cette fois le changement de
variable (2.8) et le problème auxiliaire (E’τ). Puisque les deux situations présentent des analogies
structurelles très fortes, nous sommes en mesure de donner un traitement unifié des deux pro-
blèmes dans la Section 2.1.1. Le Théorème 2.1.11 donne précisément le comportement des normes
N−2et
N−2, alors que
N/p > 1 +4−2b
N.
N/p > 1 +4−2b
N.
6
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|uλ|L2(RN), |∇uλ|L2(RN)et |uλ|L∞(RN), le long de la branche (5), lorsque λ → ∞. En particulier,
nous avons que
|∇uλ|L2(RN)→ ∞ lorsque λ → ∞, pour tout 1 < p < 1 +4−2a
N−2, que
|uλ|L2(RN)→ ∞/0 lorsque λ → ∞, selon que p < 1 +4−2a
N/p > 1 +4−2a
N
et que
|uλ|L∞(RN)→ ∞ lorsque λ → ∞, si N = 2 ou si N ∈ {3,4,5}, a < 3 − N/2 et 1 < p <4−2a
Pour certaines valeurs des paramètres, nous observons donc un phénomène de concentration des so-
lutions lorsque λ → ∞, dans le sens que |uλ|L∞(RN)→ ∞ alors que |uλ|L2(RN)→ 0. Ce phénomène
est discuté plus en détail aux points 2.1.12 et 2.1.15.
N−2.
Remarquons que le Théorème 2.1.11, qui concerne la bifurcation au voisinage de λ = +∞ est
totalement indépendant du Théorème 2.1.10. Il est établi sous les hypothèses (H7) et (H8), qui
prescrivent le comportement de V à l’origine, alors que le Théorème 2.1.10 utilise les hypothèses
(H5) et (H6), qui prescrivent le comportement de V à l’infini. C’est seulement à la Section 2.2 que
nous ferons ces hypothèses simultanément, de sorte que la branche globale de solutions donnée par
le Théorème 2.2.10 réunira les deux branches locales (4) et (5).
Remarquons également que le Théorème 2.1.10 présente un phénomène de bifurcation du
spectre essentiel car la valeur λ = 0 est précisément l’infimum du spectre essentiel du laplacien,
vu comme un opérateur non-borné agissant dans L2(RN).
Les résultats concernant la branche (4) ont été publiés dans [11] et ceux concernant la branche
(5) font l’objet de l’article [14].
La méthode de perturbation/continuation utilisée à la Section 2.1 a pour origine l’article [44] de
Stuart, où un problème elliptique semi-linéaire sur la demie-droite est étudié. La mise en oeuvre de
ce programme en dimension supérieure présente des difficultés importantes. La partie la plus diffi-
cile est de démontrer la non-dégénérescence des solutions des équations limites, (?E0) dans la limite
départ ne l’est pas. Grâce à cela, la démonstration de la non-dégénérescence fait essentiellement
appel à la théorie des équations différentielles ordinaires. Dans la situation à une dimension consi-
dérée dans [44], cette propriété peut être prouvée par des arguments élémentaires. En revanche,
en dimension supérieure, la présence d’un terme d’ordre 1 dans les équations radiales complique
beaucoup la situation et nous devons recourir à des techniques plus sophistiquées, notamment la
théorie spectrale pour des opérateurs différentiels ordinaires.
λ → 0, (E’0) dans la limite λ → ∞. Notez que ces équations sont radiales, même si le problème de
La théorie globale présentée à la Section 2.2 utilise aussi en partie des idées développées dans
[44]. La démonstration du théorème de continuation globale 2.2.10 est essentiellement inspirée de
la démonstration du Théorème 2 de [44]. L’idée centrale est de montrer, par une application itérée
du théorème des fonctions implicites, que la branche de solutions (4) amorcée par le Théorème
2.1.10 sous les hypothèses (H5) et (H6) peut être prolongée en une branche globale
{(λ,uλ) : 0 < λ < ∞} ⊂ R × H1(RN).
(6)
Pour ce faire, nous travaillons sous des hypothèses plus fortes qu’à la Section 2.1. Nous supposons
dans un premier temps que les hypothèses (H1), (H5) et (H6) sont vérifiées, qui assurent l’existence
d’une branche de classe C1, de la forme (4). Nous faisons aussi l’hypothèse (H3) qui garantit
l’existence d’états fondamentaux de (Eλ), pour tout λ > 0. Cette hypothèse stipule que V est
positive, radiale et radialement strictement décroissante. Nous supposons aussi que N ≥ 3, ce qui
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permet d’utiliser le résultat d’unicité 1.3.2, si l’hypothèse supplémentaire (H4) est satisfaite. Il est
intéressant de remarquer que l’hypothèse (H4) intervient de façon naturelle dans les démonstrations
de l’unicité et de la non-dégénérescence de l’état fondamental de (Eλ), qui sont deux éléments
essentiels à la preuve du Théorème 2.2.10. En ce sens, nous avons le sentiment qu’elle est “presque
nécessaire” pour obtenir la continuation globale avec notre méthode.
Pour prolonger la branche (4), nous montrons dans la Section 2.2.2 qu’il existe?λ ∈ (0,λ0) tel
pondance biunivoque entre les solutions sur la branche, pour λ ∈ (0,?λ), et les états fondamentaux
est obtenu sans l’hypothèse supplémentaire (H4). En revanche, nous utilisons de façon cruciale
l’unicité de la solution de l’équation limite (?E0) qui, elle, satisfait (H4).
des états fondamentaux lorsque l’on passe à la limite λ →?λ, i.e. qu’il existe u?λ= limλ→?λuλdans
qui nécessite une étude approfondie de la structure variationnelle de (Eλ) et fait l’objet de la Section
2.2.1. Notez que les arguments employés dans cette section sont en partie inspirés de [20]. La Section
2.2.1 établit également des bornes a priori sur la norme H1des états fondamentaux. Utilisant
l’hypothèse (H4), qui assure à la fois la non-dégénérescence et l’unicité de l’état fondamental de
(Eλ) pour tout λ > 0, on peut alors appliquer le théorème des fonctions implicites à une fonction
appropriée, au point (?λ,u?λ) ∈ R×H1(RN) et, en fait, en chaque point (λ,uλ), où λ > 0 et uλest
fondamental de (Eλ) définit une courbe de classe C1dans R × H1(RN).
Nous montrons ensuite au Corollaire 2.2.11 que les prescriptions sur le comportement de V à
l’origine et à l’infini peuvent être rendues compatibles et que, dans ce cas, la branche globale (6)
réunit les deux branches locales (4) et (5). Dans cette situation, nous contrôlons alors précisément
le comportement des solutions sur la branche globale lorsque λ → 0/∞, en fonction des paramètres
a et b. Ces propriétés asymptotiques sont résumées à la Remarque 2.2.13.
La continuation globale fait l’objet de l’article [13].
que, pour tout λ ∈ (0,?λ), uλest un état fondamental de (Eλ). Nous obtenons en fait une corres-
positifs. Ceci implique en particulier l’unicité locale des états fondamentaux positifs. Ce résultat
Il faut ensuite s’assurer que les solutions uλpour λ ∈ (0,?λ) ne peuvent pas quitter l’ensemble
H1(RN) et que u?λest un état fondamental de (E?λ). C’est une conséquence de la Proposition 2.2.2,
un état fondamental de (Eλ). Il en découle que la fonction qui à chaque λ > 0 associe l’unique état
Le Chapitre 3 traite de la stabilité orbitale des ondes stationnaires associées aux solutions
uλdonnées par les Théorèmes 2.1.10 et 2.1.11. Le résultat principal est le Théorème 3.4.2. Il est
valable en dimension N ≥ 2 et ne suppose pas que V est radiale. D’une part, sous les hypothèses
(H1), (H5) et (H6), il existe λ ∈ (0,λ0) tel que, pour tout λ ∈ (0,λ), l’onde stationnaire eiλtuλest
stable si 1 < p < 1+4−2b
N
et instable si 1+4−2b
N
< p < 1+4−2b
(H1), (H7) et (H8), il existe λ ∈ (λ∞,∞) tel que, pour tout λ ∈ (λ,∞), l’onde stationnaire eiλtuλ
est stable si 1 < p < 1 +4−2a
N
et instable si 1 +4−2a
ce théorème utilise la théorie générale de stabilité présentée dans [17]. La théorie est également
exposée dans un travail récent de Stuart [50], où une attention particulière est portée à (NLSG).
Le critère de stabilité utilisé par Jeanjean et Le Coz y est également discuté en détail à la Section
3, alors qu’il n’est pas tout à fait évident de le déduire des résultats de [17]. Ayant fourni des efforts
considérables pour obtenir des branches de solutions de classe C1, nous utiliserons quant à nous
un autre critère, parfois appelé la condition de pente. Nous expliquons à la Section 3.2 comment
cette condition découle de la théorie générale, dans le contexte de (NLS). Ce critère affirme que,
sous certaines conditions sur le spectre de l’opérateur correspondant à la linéarisation de (NLS) au
point uλ, l’onde stationnaire eiλtuλest orbitalement stable/instable si
critère a été utilisé, par exemple, dans le travail [30], où la stabilité est étudiée pour un problème
à une dimension avec un terme linéaire non-trivial, le long d’une branche globale de solutions, qui
bifurque d’une valeur propre de l’opérateur linéarisé. L’existence d’une telle branche a été prouvée
dans [22] et l’étude des propriétés des états fondamentaux pour ce problème est approfondie dans
N−2. D’autre part, sous les hypothèses
N
< p < 1 +4−2a
N−2. La démonstration de
d
dλ
?
RNu2
λdx > 0/ < 0. Ce
8
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l’article [49].
Nous commençons le Chapitre 3 par deux définitions. Tout d’abord, nous introduisons la notion
appropriée de solution de (NLS) (c.f. 3.0.1), puis nous définissons la stabilité orbitale (c.f. 3.0.2).
Ensuite la Section 3.1 discute des conditions sous lesquelles le problème de Cauchy correspondant
à (NLS) est bien posé localement/globalement dans H1(RN). La Section 3.2 explique brièvement
comment inscrire (NLS) dans le cadre des systèmes hamiltoniens et quelles hypothèses doivent être
vérifiées pour pouvoir appliquer la condition de pente, notamment les hypothèses sur le spectre
de l’opérateur linéarisé. La Section 3.3 est entièrement consacrée à la vérification des conditions
spectrales. Ces propriétés sont vérifiées localement, au voisinage de λ = 0 et au voisinage de
λ = +∞, en utilisant à nouveau une approche qui englobe les deux situations. Elles reposent en
grande partie sur la caractérisation variationnelle des solutions des problèmes limites (?E0) et (E’0)
la Section 3.4.
Nos résultats de stabilité le long des branches (4) et (5) sont présentés respectivement dans
[11] et [14].
et sont obtenues par perturbation des cas limites. Finalement, le Théorème 3.4.2 est démontré à
Le cas homogène
L’exemple le plus simple d’une fonction V satisfaisant les hypothèses (H0) à (H8) est donné par
le cas homogène où V (x) = B|x|−b. Dans ce cas, on obtient immédiatement une branche globale
de solutions en posant
uλ(x) = λ
2−b
2(p−1)ψ(λ
1
2x)
pour tout λ > 0, x ∈ RN,
où ψ est un état fondamental de (?E0). Il n’est pas difficile de vérifier que l’application λ ?→ uλainsi
?
de sorte que
dλ
ainsi un résultat de stabilité/instabilité sur toute la branche. Malheureusement, malgré des efforts
importants dans cette direction, nous n’avons pas réussi à obtenir un résultat de stabilité sur
toute la branche globale donnée par le Théorème 2.2.10 dans le cas radial mais non-homogène, en
dimension N ≥ 3. Nous sommes en mesure de démontrer un tel résultat dans le cas N = 1, que
nous présenterons dans [15]. Notez que nous sommes aussi en mesure d’établir tous les résultats
principaux de ce rapport en dimension N = 1, en utilisant des méthodes souvent plus élémentaires,
ce que nous ferons dans [15].
définie est de classe C1((0,∞),H1(RN)). Nous avons alors
RNuλ(x)2dx = λ
2−b
p−1−N
2
?
RNψ(x)2dx,
d
?
RNu2
λdx > 0/ < 0 pour tout λ > 0 si p < 1 +4−2b
N/p > 1 +4−2b
N. On obtient
Nous terminons cette introduction en mentionnant des résultats concernant des non-linéarités
plus générales que nous n’avons pas pu intégrer à ce rapport, faute d’espace et de temps.
Non-linéarités plus générales
Dans [12], nous considérons (NLSG) avec une non-linéarité f qui peut être écrite comme une
perturbation du cas particulier (NLS), à savoir f(x,s) = V (x)|s|p−1s+r(x,s). Sous les hypothèses
(H1), (H5), (H6) et sous des hypothèses appropriées sur la fonction r, nous pouvons démontrer
l’existence et la stabilité/instabilité orbitale d’ondes stationnaires pour λ > 0 assez petit. La
méthode que nous employons (et qui est décrite plus en détail dans [11]) consiste à tronquer la
non-linéarité en dehors d’un voisinage de s = 0 puis à étudier l’équation auxiliaire ainsi obtenue.
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En prescrivant judicieusement le comportement de la perturbation r pour |s| petit, nous sommes
en mesure de démontrer l’existence et la stabilité/instabilité orbitale d’ondes stationnaires pour
l’équation auxiliaire, par les méthodes exposées ci-dessus. Comme dans le cas où r = 0, nous
contrôlons le comportement de différentes normes de ces solutions lorsque λ → 0. On a notamment
un résultat de bifurcation en norme L∞. Or, par construction, les solutions de l’équation auxiliaire
qui sont petites dans L∞(RN) sont aussi solutions de l’équation de départ. Nous obtenons ainsi
les résultats d’existence et de bifurcation pour l’équation initiale. Il n’est ensuite pas difficile de
discuter la stabilité de ces solutions.
Les théorèmes démontrés dans [12] s’appliquent par exemple au cas où r est une somme de
puissances de la forme
r(x,s) =
m
?
i=1
Zi(x)|s|qi−1s
avec
p < qi< 1 +4−2b
N−2,
où les fonctions Zi∈ C1(RN\ {0}) sont telles que Zi(x)|x|bet x · ∇Zi(x)|x|bsont bornés sur RN.
Il nous semble que ce type de non-linéarités n’est pas couvert par des travaux antérieurs.
D’autre part, nous couvrons aussi la situation f(x,s) = V (x)g(s) considérée par Jeanjean et Le
Coz, essentiellement sous les mêmes hypothèses, si ce n’est des restrictions mineures qui concernent
la régularité des fonctions V et g, nécessaires pour obtenir une branche de solutions de classe C1.
Notations
Les sous-ensembles de Rm, m ≥ 1, sont munis des mesures de Lebesgue usuelles et toutes les
fonctions sont supposées mesurables. L’intégration est toujours entendue au sens de Lebesgue.
Nous utiliserons différents espaces de fonctions réelles et complexes. Dans les Chapitres 1 et 2,
nous travaillons sur le problème stationnaire (Eλ) et nous n’utilisons que des fonctions à valeurs
réelles. Dans le Chapitre 3, nous utilisons aussi des fonctions à valeurs complexes. Pour 1 ≤ p ≤ ∞,
nous noterons Lp(RN,K), K = R ou C, Lp(RN) ou simplement Lples espaces de Lebesgue réels ou
complexes. Nous les munissons de leurs normes usuelles, que nous notons |·|Lp(RN)ou simplement
| · |Lp. Le produit scalaire usuel sur L2(RN,R) est noté ?·,·?L2.
Nous dirons que α,β ∈ [1,∞] sont des exposants de Hölder conjugués si
convention que
1
α+1
β= 1, avec la
1
∞= 0.
Nous aurons souvent affaire à la quantité
N = 2. En particulier, nous utiliserons souvent l’exposant de Sobolev conjugué à 2, 2∗=
1
N−2et nous faisons la convention que
1
N−2= ∞ si
2N
N−2.
Nous utilisons la notation habituelle Wm,p(RN,K) pour les espaces de Sobolev, munis des
normes usuelles ?·?Wm,p et, s’il n’y a pas de confusion possible, nous écrirons simplement Wm,p(RN)
ou encore Wm,p. Les espaces de Sobolev hilbertiens W1,2(RN,K) sont notés H1(RN,K). H1(RN)
désignera toujours l’espace de fonctions à valeurs réelles H1(RN,R). Nous utiliserons aussi les
notations plus compactes H = H1(RN,R), H∗= H1(RN,R)∗et H1= H1(RN,C), H−1=
H1(RN,C)∗, où E∗désigne l’espace dual d’un espace vectoriel normé E. Le produit scalaire usuel
sur H sera simplement noté ?·,·?, ou parfois ?·,·?H, et la norme correspondante ? · ?. Pour λ > 0,
nous utiliserons aussi le produit scalaire ?·,·?λet la norme ? · ?λ, qui sont définis au début de la
Section 1.1. De façon générale, ?·?Edésignera la norme de l’espace vectoriel normé E. Le produit
de dualité entre E et son dual sera noté ?ϕ,u?E∗×E, pour ϕ ∈ E∗et u ∈ E.
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Nous aurons également affaire aux espaces de fonctions (à valeurs réelles) sur la demie-droite,
ret H1
?∞
et des normes correspondantes, | · |L2
Si E et F sont deux espaces vectoriels normés, l’espace des opérateurs linéaires bornés de E
dans F est noté L(E,F). D’autre part, sans précision supplémentaire, lorsque nous dirons qu’une
fonction f : E → F est dérivable, nous entendrons par là qu’elle est dérivable au sens de Fréchet.
Si E et F sont des espaces de fonctions définies sur RNet si g : RN× K → K est une
fonction de Carathéodory, nous noterons simplement G : E → F, G(u) = g(x,u), sans mentionner
explicitement la variable x ∈ RN, l’opérateur de superposition qui à une fonction u ∈ E associe la
fonction x ?→ g(x,u(x)).
Au Chapitre 1, sous les hypothèses (H0), (H2) et (H3), nous démontrons l’existence d’un état
fondamental de l’équation (Eλ), que nous noterons ψλ, pour tout λ > 0.
Au Chapitre 2, nous serons spécialement intéressés par le cas particulier de l’équation
L2
r, définis au point 1.2.1 et munis respectivement des produits scalaires
?u,v?L2
r=
0
rN−1uvdr
et
?u,v?r,λ= ?u?,v??L2
r+ λ?u,v?L2
r, λ > 0,
ret ? · ?r,λ.
∆u − u − K|x|−k|u|p−1u = 0,
qui satisfait les hypothèses (H0), (H2) et (H3) pour k ∈ (0,2) et 1 < p < 1 +4−2k
explicitement la dépendance dans les paramètres, nous noterons ψK,kun état fondamental de cette
équation.
N−2. Pour indiquer
Sauf précision supplémentaire, les symboles C,C1,C2,K,... désigneront des constantes qui
peuvent changer de valeur d’une ligne à l’autre et qui dépendent des paramètres d’une façon
qui n’est pas essentielle pour l’analyse.
Finalement, signalons que tous les théorèmes, lemmes, propositions, définitions, etc. sont nu-
mérotés par le même compteur et de façon continue dans toute la thèse. La numérotation fait
référence à la section où se trouve l’objet considéré et les références croisées seront parfois faites
en ne citant que le numéro d’un objet. Par exemple, le Théorème 1.1.8 est le huitième objet de la
Section 1.1 et l’on pourra s’y référer en disant simplement “comme il a été vu sous 1.1.8...”. Nous
appelons indifféremment “section” les sections et les sous-sections.
11
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Chapitre 1
États fondamentaux
Dans ce premier chapitre, nous présentons une approche variationnelle du problème elliptique
non-linéaire
∆u − λu + V (x)|u|p−1u = 0
où p > 1 et V : RN\ {0} → R. Par une méthode de minimisation sous contrainte dans l’espace
de Sobolev H1(RN), sous les hypothèses (H0), (H2) et (H3) ci-dessous, nous prouvons dans la
Section 1.1 l’existence d’un état fondamental de (Eλ), pour tout λ > 0.1Un état fondamental est
une solution de (Eλ) jouissant de propriétés particulières. Dans la littérature, il existe plusieurs
définitions de ce qu’est un état fondamental pour ce genre d’équations, dépendant souvent d’une
caractérisation variationnelle d’une telle solution. Pour nous, un état fondamental sera une solution
faible non-triviale de (Eλ) qui minimise la fonctionnelle dont (Eλ) est l’équation d’Euler-Lagrange,
sur un certain sous-ensemble de H1(RN) qui contient toutes les solutions faibles non-triviales de
(Eλ). Ces notions seront précisées dans les Définitions 1.1.3 et 1.1.4.
Sous les hypothèses (H0), (H2) et (H3), la Proposition 1.1.10 affirme qu’à un facteur de signe
près, tous les états fondamentaux sont des fonctions positives, radiales et radialement décrois-
santes. Forts de ce résultat, nous établirons dans la Section 1.2 des propriétés de régularité des
états fondamentaux en ayant recours à des équations différentielles ordinaires. Nous verrons, entre
autre, qu’une telle solution est (toujours à un facteur de signe près) strictement positive, stric-
tement radialement décroissante et tend vers zéro exponentiellement vite à l’infini. Ces dernières
propriétés sont souvent prises comme définition d’état fondamental, ce qui donne une définition
indépendante de toute caractérisation variationnelle. Nous verrons ensuite à la Section 1.3 que,
sous les hypothèses (H1) à (H4) et pour N ≥ 3, pour chaque λ > 0, il n’existe qu’une seule solution
de (Eλ) ayant ces propriétés, et donc qu’un seul état fondamental (au sens de la Définition 1.1.4)
positif. Finalement, à la Section 1.4, nous prouverons que, sous les hypothèses (H1) à (H4), un
état fondamental est non-dégénéré au sens de la Définition 1.4.2, propriété qui intervient de façon
cruciale dans les arguments de continuation utilisés au Chapitre 2.
u : RN→ R, N ≥ 2,
(Eλ)
Avant d’attaquer le problème de l’existence, nous formulons les hypothèses sous lesquelles nous
démontrerons les résultats mentionnés ci-dessus.
(H0)
V ∈ C(RN\ {0}).
V ∈ C1(RN\ {0}).
Il existe un nombre k ∈ (0,2) tel que |x|kV (x) ∈ L∞(RN). De plus, 1 < p < 1 +4−2k
1Dans le cas particulier où V (x) = |x|−k, k ∈ (0,2), une identité de type ‘Pohoˇ zaev’ montre que, pour 1 < p <
1 + (4 − 2k)/(N − 2), (Eλ) n’admet pas de solution dans H1(RN) \ {0} si λ ≤ 0.
(H1)
(H2)
N−2.
13
Page 24
CHAPITRE 1. ÉTATS FONDAMENTAUX
(H3)
décroissante. Si (H1) est vérifiée, la fonction?V : (0,∞) → R telle que?V (r) = V (x) pour r = |x| > 0
(H4)
La fonction r?V?(r)/?V (r) est décroissante sur (0,∞).
Cette dernière propriété du coefficient V est cruciale pour démontrer la non-dégénérescence
des états fondamentaux et c’est également sous cette hypothèse que l’unicité est établie.
Des exemples typiques de fonctions satisfaisant les hypothèses (H0) à (H4) sont donnés par
?V (r) = r−kpour le cas où V est non borné et?V (r) = 1/(1 + r2)k/2pour le cas où V est borné.
intervient dans les problèmes limites de la méthode perturbative utilisée pour obtenir les résultats
de bifurcation locale.
Les hypothèses (H0), (H2) et (H3) interviennent dans la démonstration d’existence de la Section
1.1, qui n’utilise pas (H1). Les résultats de la Section 1.2 ne nécessitent (H1) que pour obtenir plus
de régularité des solutions trouvées à la Section 1.1. L’hypothèse (H4) ne sera utilisée que dans les
Sections 1.3 et 1.4.
V (x) > 0 pour tout x ∈ RN\ {0} et V est à symétrie sphérique, radialement strictement
satisfait?V?(r) < 0 pour tout r > 0.
Dans le Chapitre 2, nous serons particulièrement intéressés par le cas homogène?V (r) = r−kqui
1.1 Existence
Nous exposons à présent la formulation variationnelle de (Eλ), qui va nous permettre de prou-
ver l’existence d’états fondamentaux dans l’espace de Sobolev H1(RN). Nous commencerons par
montrer que, pour tout λ > 0, on peut définir sur H1(RN) une fonctionnelle Sλdont (Eλ) est
l’équation d’Euler-Lagrange associée. Ces notions vont de paire avec la notion de solution faible
que nous rappelons également ci-dessous. Ensuite, nous présenterons la méthode de minimisa-
tion sous contrainte que nous allons employer, ce qui nous conduira naturellement à la définition
d’état fondamental. Le reste de la section est consacré à la démonstration d’existence d’un état
fondamental de (Eλ), pour tout λ > 0.
Nous supposons dans cette section que la fonction V est radiale. Les résultats que nous obtenons
sous cette hypothèse seront utiles au Chapitre 2 dans plusieurs contextes. Tout d’abord, dans la
Section 2.1, où nous établissons des résultats de bifurcation locale par une méthode perturbative,
les équations auxiliaires (2.3) et (2.4) satisfont les hypothèses (H0) à (H4) (elles correspondent
au cas où?V (r) = r−k). L’existence et les propriétés d’un état fondamental pour ces équations
de bifurcation locale sans l’hypothèse que V est radiale.
D’autre part, à la Section 2.2, où nous montrons un résultat de bifurcation globale, nous
supposerons cette fois que l’équation (Eλ) elle-même satisfait les hypothèses (H0) à (H4). Nous
utiliserons alors le théorème d’existence 1.1.8 et le résultat d’unicité 1.3.2 pour établir l’existence
d’une branche globale d’états fondamentaux positifs de (Eλ).
interviennent de façon cruciale dans nos arguments de continuation. Nous établirons les résultats
Dès maintenant et dans toute la suite du chapitre, nous notons H l’espace de Sobolev réel
H1(RN) et H∗son dual topologique. Nous munissons H de la famille de normes équivalentes
?u?λ= {|∇u|2
L2 + λ|u|2
L2}1/2
pour λ > 0.
Nous notons simplement ?·? = ?·?1la norme usuelle de H. Nous introduisons également la famille
de produits scalaires correspondants à ces normes,
?u,v?λ= ?∇u,∇v?L2 + λ?u,v?L2
pour λ > 0.
14
Page 25
1.1. EXISTENCE
Dans toute cette section, nous travaillons avec une valeur de λ > 0 fixée. Néanmoins, nous
gardons dans nos notations la dépendance explicite en λ comme indice des objets qui interviennent
dans l’analyse, ce pour un usage ultérieur.
Grâce à l’inégalité (A.2) du Lemme A.1, les hypothèses (H0) et (H2) assure que la fonctionnelle
φ : H → R,
φ(u) =
?
RNV (x)|u|p+1dx
(1.1)
est bien définie et qu’il existe des constantes K,Kλ> 0 telles que
|φ(u)| ≤ K?u?p+1≤ Kλ?u?p+1
λ
pour tout u ∈ H.
(1.2)
Notez que si, de plus, l’hypothèse (H3) est vérifiée, alors φ(u) > 0 pour tout u ∈ H \ {0}.
Lemme 1.1.1 Supposons que les hypothèses (H0) et (H2) sont satisfaites. La fonctionnelle φ
définie par (1.1) appartient à la classe C2(H,R). De plus, on a les formules suivantes :
?
et
φ??(u)[v,w] = p(p + 1)
φ?(u)v = (p + 1)
RNV (x)|u|p−1uvdx
?
pour tout u,v ∈ H
RNV (x)|u|p−1vwdx
pour tout u,v,w ∈ H.
Démonstration. Ce résultat découle immédiatement du Lemme B.1(iii). Dans les notations de
l’Annexe B, il suffit en effet de poser z(x) = V (x)|x|ket d’identifier φ avec Φ.
Il découle de (H2) que lim|x|→∞V (x) = 0, ce qui permet d’établir la propriété de compacité
suivante.
?
Lemme 1.1.2 Supposons que les hypothèses (H0) et (H2) sont satisfaites. La fonctionnelle φ
définie par (1.1) est faiblement séquentiellement continue (f.s.c.) sur H.
Démonstration. Soit {un} ⊂ H et u ∈ H tels que un? u faiblement dans H. Par l’hypothèse
(H2), nous avons que
?
Pour tout R > 0, l’inégalité de Hölder implique
?
pour tout r ≥ 1,1
équivaut à s > N/(N −k). D’autre part, la compacité de l’injection de Sobolev sur les bornés lisses
de RNet la continuité de l’application u ?→ |u|p+1de L(p+1)s(B(0,R)) dans Ls(B(0,R)), s ≥ 1,
impliquent que
??|un|p+1− |u|p+1??Ls(B(0,R))→ 0
deux conditions si
N−k<
Si N ≥ 3, elle est équivalente à p < 1 +4−2k
?
|φ(un) − φ(u)| ≤ C
RN|x|−k??|un|p+1− |u|p+1??dx.
B(0,R)
|x|−k??|un|p+1− |u|p+1??dx ≤ {
r+1
?
B(0,R)
|x|−krdx}1/r{
?
B(0,R)
??|un|p+1− |u|p+1??sdx}1/s
s= 1. La première intégrale du membre de droite converge si N−kr > 0, ce qui
lorsque n → ∞
si l’on peut choisir s ≥ 1 tel que (p+1)s ∈ [1,
N
2N
N−2). Il est possible de trouver s ≥ 1 satisfaisant les
(p+1)(N−2). Si N = 2, cette inégalité est satisfaite, pour tout k ∈ (0,2).
N−2, qui est vrai par (H2). Par conséquent,
|x|−k??|un|p+1− |u|p+1??dx ≤ C??|un|p+1− |u|p+1??Ls(B(0,R))→ 0
15
2N
B(0,R)
lorsque n → ∞.
Page 26
CHAPITRE 1. ÉTATS FONDAMENTAUX
Pour traiter l’intégrale sur le complément de B(0,R), fixons ε > 0. Puisque p + 1 ∈ (2,
nous avons, pour R ≥ ε−1/k,
?
par le plongement de Sobolev et la bornitude de {un} dans H. Comme ε > 0 est arbitraire, ceci
termine la démonstration.
2N
N−2),
RN\B(0,R)
|x|−k??|un|p+1− |u|p+1??dx ≤ ε
?
RN\B(0,R)
|un|p+1+ |u|p+1dx ≤ Cε
?
Nous définissons à présent la fonctionnelle Sλ: H → R par
Sλ(u) =1
2?u?2
λ−
1
p + 1φ(u).
Il découle du Lemme 1.1.1 que, sous les hypothèses (H0) et (H2), Sλ∈ C2(H,R) avec
1
p + 1φ?(u)v
?
et
1
p + 1φ??(u)[v,w]
?
Définition 1.1.3 Une fonction u ∈ H est appelée solution faible de (Eλ) si S?
?
Une solution classique est une fonction u ∈ C2(RN\ {0}) qui vérifie (Eλ).
Nous dirons qu’une solution, faible ou classique, est non-triviale si elle n’est pas identiquement
nulle.
S?
λ(u)v = ?u,v?λ−
(1.3)
=
RN∇u · ∇v + λuvdx −
?
RNV (x)|u|p−1uvdx
pour tout u,v ∈ H
S??
λ(u)[v,w] = ?v,w?λ−
(1.4)
=
RN∇v · ∇w + λvwdx − p
?
RNV (x)|u|p−1vwdx
pour tout u,v,w ∈ H.
λ(u) = 0, i.e. si
RN∇u · ∇v + λuvdx −
?
RNV (x)|u|p−1uvdx = 0
pour tout v ∈ H.
En utilisant la densité de C∞
est aussi solution faible.
0(RN) dans H, on montre facilement que toute solution classique
Chercher des solutions faibles de (Eλ) revient donc à chercher des points critiques de Sλ. Il
n’est pas difficile de se convaincre que la fonctionnelle Sλn’est ni bornée inférieurement ni bornée
supérieurement sur H. Par conséquent, on ne peut espérer trouver des points critiques qui soient
des points d’extremum global de Sλ. Une façon de contourner cette difficulté est d’utiliser une
méthode de minimisation sous contrainte qui remonte à Nehari [33] et qui consiste à minimiser
Sλsur une sous-variété de H qui contient toutes les solutions faibles non-triviales de (Eλ) et qui
est parfois appelée variété de Nehari. Il s’avère que, restreinte à cette sous-variété, la fonctionnelle
Sλ est bornée inférieurement. Nous allons voir que, grâce à la continuité séquentielle faible de
φ et utilisant la technique de symétrisation de Schwarz, il est possible d’établir l’existence d’un
minimiseur de Sλsur la variété de Nehari qui soit une fonction positive et radiale. Il découle des
propriétés de la variété de Nehari et de la méthode des multiplicateurs de Lagrange que tous les
minimiseurs de Sλsur la variété de Nehari sont des points critiques de Sλ.
16
Page 27
1.1. EXISTENCE
La contrainte est donnée par la fonctionnelle Jλ∈ C2(H,R) définie par
Jλ(u) =1
2?u?2
λ−1
2φ(u).
La variété de Nehari Nλ⊂ H est ainsi définie par
Nλ= {u ∈ H \ {0} : Jλ(u) = 0}.
Le reste de cette section est consacré à l’étude du problème de minimisation
mλ= inf{Sλ(u) : u ∈ Nλ}.
(1.5)
Nous sommes maintenant en mesure de donner une définition du terme ‘état fondamental’.
Définition 1.1.4 Une fonction u ∈ H est appelée état fondamental de (Eλ) si c’est un minimiseur
du problème (1.5). Le Lemme 1.1.5(v) ci-dessous affirme qu’un état fondamental est une solution
faible de (Eλ).
Établissons à présent quelques propriétés importantes de la variété Nλ.
Lemme 1.1.5 Supposons que les hypothèses (H0) et (H2) sont vérifiées.
(i) Si u ∈ H \ {0} est une solution faible de (Eλ), alors u ∈ Nλ.
(ii) Il existe δλ> 0 tel que ?u?λ≥ δλpour tout u ∈ Nλ.
(iii) Nλest une sous-variété de H de classe C2.
(iv) Pour tout u ∈ Nλ, Sλ(u) = A(p)?u?2
(v) Si u ∈ Nλet Sλ(u) = mλ, alors u est une solution faible de (Eλ).
Démonstration. (i) Puisque
Jλ(u) =1
λ, où A(p) =
p−1
2(p+1)> 0.
2S?
λ(u)u
pour tout u ∈ H,
(1.6)
si u ?≡ 0 est solution faible, on a Jλ(u) = 0 et donc u ∈ Nλ.
(ii) Remarquons tout d’abord que
φ(u) = ?u?2
λ> 0
pour tout u ∈ Nλ.
(1.7)
Maintenant, si u ∈ Nλ, (1.2) implique
?u?2
λ= φ(u) ≤ Kλ?u?p+1
λ
,
où Kλ> 0. Le résultat suit du fait que p > 1.
(iii) découle du théorème de submersion car, pour tout u ∈ Nλ,
J?
λ(u)u = ?u?2
λ−1
2φ?(u)u = φ(u) −p + 1
2
φ(u) =1 − p
2
φ(u) < 0
(1.8)
par (1.7).
(iv) Pour u ∈ Nλ, (1.7) implique
Sλ(u) =1
2?u?2
λ−
1
p + 1φ(u) = (1
2−
1
p + 1)?u?2
λ=
p − 1
2(p + 1)?u?2
λ.
(v) Si u ∈ Nλet Sλ(u) = mλ, c’est-à-dire, si u est un minimiseur du problème (1.5), il existe
un multiplicateur de Lagrange ξ ∈ R tel que S?
nous voyons que S?
nous avons que J?
λ(u)v = ξJ?
λ(u)u = 0 par (1.6) car u ∈ Nλ. D’autre part,
λ(u) = 0.
λ(u)v pour tout v ∈ H. Posant v = u,
λ(u)u = ξJ?
λ(u)u < 0 par (1.8). Par conséquent ξ = 0 et S?
λ(u)u. D’une part, S?
?
17
Page 28
CHAPITRE 1. ÉTATS FONDAMENTAUX
Remarque 1.1.6
(a) Les points (ii) et (iv) du Lemme 1.1.5 impliquent que mλ> 0, de sorte que Sλ> 0 sur Nλ.
(b) Le point (iv) implique que toute suite minimisante pour le problème (1.5) est bornée.
Le lemme suivant établit l’existence d’une projection lisse de H \ {0} sur Nλ.
Lemme 1.1.7 Supposons que les hypothèses (H0) et (H2) sont vérifiées. Il existe une fonction
tλ∈ C2(H \ {0},(0,∞)) qui jouit des propriétés suivantes.
(i) Pour u ∈ H \ {0} et t ∈ R, tu ∈ Nλsi et seulement si t = tλ(u).
(ii) Pour tout u ∈ H \ {0}, nous avons que
tλ(u) ≤ 1 si Jλ(u) ≤ 0
Démonstration. On vérifie facilement que la fonction définie par
et
tλ(u) ≥ 1 si Jλ(u) ≥ 0.
tλ(u) =
??u?2
λ
φ(u)
?
1
p−1
pour tout u ∈ H \ {0}
a les propriétés énoncées.
?
Nous sommes maintenant en mesure de prouver l’existence d’un état fondamental de (Eλ).
Théorème 1.1.8 Supposons que les hypothèses (H0), (H2) et (H3) sont satisfaites. Pour tout
λ > 0, il existe une fonction ψλ∈ Nλtelle que Sλ(ψλ) = mλ. De plus, ψλest positive, à symétrie
sphérique et radialement décroissante.
Démonstration. Considérons une suite {un} ⊂ Nλtelle que Sλ(un) → mλlorsque n → ∞. Comme
|u| ∈ H si u ∈ H et Sλ,Jλne changent pas lorsqu’on remplace u par |u|, nous pouvons supposer
que un≥ 0. Soit alors la suite {vn} ⊂ H définie par vn= tλ(u∗
de Schwarz de unet tλest la projection donnée par le Lemme 1.1.7. (Nous renvoyons le lecteur
à l’ouvrage [32] pour ce qui concerne les propriétés de la symétrisation de Schwarz.) Nous allons
montrer que {vn} est aussi une suite minimisante pour le problème (1.5).
Tout d’abord, il découle des propriétés de la symétrisation de Schwarz que
?
De plus, puisque la fonction s ?→ |s|p+1est croissante sur [0,∞) et comme V = V∗par (H3), nous
avons que
?
Ainsi, ?un?2
par le Lemme 1.1.7. Maintenant, vn∈ Nλpar construction et le Lemme 1.1.5(iv) implique
mλ≤ Sλ(vn) = A(p)?vn?2
≤ A(p)?u∗
Donc {vn} ⊂ Nλest aussi une suite minimisante. D’après la Remarque 1.1.6, {vn} est bornée dans
H. Nous pouvons donc supposer qu’il existe v ∈ H tel que vn? v faiblement dans H. Nous allons
montrer que v ∈ Nλet Sλ(v) = mλ.
n)u∗
n, où u∗
nest la symétrisation
RNu2
ndx =
?
RN(u∗
n)2dx
et
?
RN|∇un|2dx ≥
?
RN|∇u∗
n|2dx.
RNV (x)up+1
n?2
n
dx ≤
?
n). Par conséquent, Jλ(u∗
RNV∗(x)(up+1
n
)∗dx =
?
RNV (x)(u∗
n) ≤ Jλ(un) = 0 et donc tλ(u∗
n)p+1dx.
λ≥ ?u∗
λet φ(un) ≤ φ(u∗
n) ≤ 1
λ= A(p)?tλ(u∗
n?2
n)u∗
λ= Sλ(un) → mλ.
n?2
λ= A(p)tλ(u∗
n)2?u∗
n?2
λ
λ≤ A(p)?un?2
18
Page 29
1.1. EXISTENCE
Puisque φ est f.s.c. par le Lemme 1.1.2, nous avons que
φ(v) = lim
n→∞φ(vn) = lim
n→∞?vn?2
λ≥ δ2
λ> 0
par le Lemme 1.1.5(ii). On en déduit que v ?= 0. Maintenant, comme ? · ?2
tiellement semi-continue inférieurement, on a
λest faiblement séquen-
Jλ(v) =1
2?v?2
λ−1
2φ(v) ≤1
2liminf
n→∞?vn?2
λ−1
2φ(v) =1
2liminf
n→∞φ(vn) −1
2φ(v) = 0
et donc tλ(v) ≤ 1 par le Lemme 1.1.7. Nous allons voir qu’en fait, tλ(v) = 1. Puisque tλ(v)v ∈ Nλ,
on a
mλ≤ Sλ(tλ(v)v) = A(p)?tλ(v)v?2
≤ A(p)?v?2
λ= A(p)tλ(v)2?v?2
λ= lim
λ
λ≤ liminf
n→∞A(p)?vn?2
n→∞Sλ(vn) = mλ.
(1.9)
Ceci montre que Sλ(tλ(v)v) = mλet que tλ(v) = 1 car sinon, nous aurions inégalité stricte dans
(1.9), i.e. mλ< mλ, ce qui est absurde. Finalement, puisque vnest positive, à symétrie sphérique et
radialement décroissante par construction, v jouit des mêmes propriétés. Nous posons alors ψλ= v
et le théorème est démontré.
?
Remarque 1.1.9 En fait, à une sous-suite près, nous avons montré que ?v?2
lim?vn?2
La proposition suivante affirme que, sous les hypothèses (H0), (H2) et (H3), tous les états
fondamentaux sont, au signe près, des fonctions positives, radiales et radialement décroissantes.
De façon générale, il est clair que si u ∈ H \{0} est un état fondamental de (Eλ), alors −u a aussi
cette propriété.
λ= φ(v) = limφ(vn) =
λet donc, que ?vn− v?λ→ 0 puisque nous savions déjà que vn? v.
Proposition 1.1.10 Supposons les hypothèses (H0), (H2) et (H3) vérifiées et soit u ∈ Nλtel que
Sλ(u) = mλ. Alors |u| = u∗, où u∗désigne la symétrisation de Schwarz de |u|.
Démonstration. Nous savons que |u| ∈ Nλet que Sλ(|u|) = Sλ(u) = mλ. Nous allons montrer que
si |u| ?= u∗, alors Sλ(tλ(u∗)u∗) < Sλ(u), où tλest la fonction donnée par le Lemme 1.1.7. Comme
tλ(u∗)u∗∈ Nλ, c’est une contradiction. Suivant la démonstration du Théorème 1.1.8, nous avons
que
?u∗?2
Ainsi Jλ(u∗) ≤ Jλ(u) = 0, de sorte que tλ(u∗) ≤ 1. Maintenant,
Sλ(tλ(u∗)u∗) = A(p)?tλ(u∗)u∗?2
Comme Sλ(u) = A(p)?u?2
Tenant compte de (1.10), nous aurons donc Sλ(tλ(u∗)u∗) < Sλ(u) si ?u∗?2
Nous allons montrer que le Théorème 6.1 de [19] s’applique ici et qu’il implique que φ(u∗) > φ(u)
si |u| ?= u∗. Remarquons tout d’abord que |u| ∈ FN, où FNest l’ensemble défini à la Section 2 de
[19]. Suivant les notations de [19], nous posons G(|x|,s) =?V (|x|)sp+1. La fonction g du Théorème
Nous montrons maintenant que les hypothèses du Théorème 6.1 de [19] sont vérifiées.
λ≤ ?u?2
λ
et
φ(u∗) ≥ φ(u).
(1.10)
λ= A(p)tλ(u∗)2?u∗?2
λ.
λ, on aura que Sλ(tλ(u∗)u∗) < Sλ(u) si tλ(u∗) < 1 ou ?u∗?2
λ< ?u?2
λ.
λ< ?u?2
λou φ(u∗) > φ(u).
6.1 est donnée par g : (0,∞) × [0,∞) → R, g(r,s) = (p + 1)?V (r)sp.
(i) stipule que l’on doit avoir g(·,s) strictement décroissante sur (0,∞) pour presque tout s ≥ 0,
ce qui découle de (H3).
19
Page 30
CHAPITRE 1. ÉTATS FONDAMENTAUX
(ii) Il faut vérifier que
?
?
RN
?∞
?∞
0
|g(|x|,s)|1{s≤v(x)}dsdx < ∞
et que
RN
0
|g(|x|,s)|1{s≤v∗(x)}dsdx < ∞
pour les fonctions v ∈ FNqui nous intéressent. Or, pour tout v ∈ FN∩ H, nous avons que
?
De même,
?
où v∗est la symétrisation de Schwarz de v.
RN
?∞
0
|g(|x|,s)|1{s≤v(x)}dsdx = (p + 1)
?
RN
?v(x)
0
?V (|x|)spdsdx =
?
?
RN
?V (|x|)v(x)p+1dx < ∞.
RN
?∞
0
|g(|x|,s)|1{s≤v∗(x)}dsdx =
RN
?V (|x|)v∗(x)p+1dx < ∞,
(iii) On doit avoir lim|x|→∞g(|x|,s) = ls > −∞ pour presque tout s ≥ 0. Cette propriété
découle de (H2) avec ls≡ 0.
Ainsi, on peut appliquer le Théorème 6.1 de [19] qui donne
?
pour tout v ∈ FN∩ H, avec égalité si et seulement si v = v∗. On en déduit que φ(u∗) > φ(u) si
|u| ?= u∗et, par conséquent, que Sλ(tλ(u∗)u∗) < Sλ(u) si |u| ?= u∗.
Remarque 1.1.11 Désormais, si les hypothèses (H0), (H2) et (H3) sont vérifiées, nous appellerons
états fondamentaux les minimiseurs positifs de (1.5). Avec cette restriction, sous les hypothèses
(H1) à (H4) et en dimension N ≥ 3, le Corollaire 1.3.2 assure l’unicité de l’état fondamental de
(Eλ), pour tout λ > 0.
RNG(|x|,v(x))dx ≤
?
RNG(|x|,v∗(x))dx
?
Nous concluons cette section par un dernier lemme qui interviendra de façon centrale lorsqu’il
s’agira de démontrer la non-dégénérescence des états fondamentaux.
Lemme 1.1.12 Sous les hypothèses du Théorème 1.1.8, considérons la forme bilinéaire symétrique
S??
λ(ψλ) : H × H → R. Nous avons que
S??
λ(ψλ)[ψλ,ψλ] < 0
et
S??
λ(ψλ)[ξ,ξ] ≥ 0
pour tout ξ ∈ H tel que J?
λ(ψλ)ξ = 0.
Démonstration. Posons Rλ(u) = Sλ(tλ(u)u) pour tout u ∈ H \ {0}, où tλest la fonction donnée
par le Lemme 1.1.7. Alors Rλ∈ C2(H \ {0}) et ψλest un point de minimum local de Rλpar le
Théorème 1.1.8. Par conséquent, R?
fait que S?
λ(ψλ)ξ = 0 et R??
λ(ψλ)[ξ,ξ] ≥ 0 pour tout ξ ∈ H. Utilisant le
λ(ψλ) = 0, un calcul simple montre que, pour tout ξ ∈ H,
λ(ψλ)[ξ,ξ] = (t?
R??
λ(ψλ)ξ)2S??
λ(ψλ)[ψλ,ψλ] + 2(t?
λ(ψλ)ξ)S??
λ(ψλ)[ψλ,ξ] + S??
λ(ψλ)[ξ,ξ].
(1.11)
Pour discuter le signe de S??
droite de (1.11) utilisant Jλ. Puisque S?
Mais S?
λ(ψλ)[ξ,ξ], il est utile de récrire les deux premiers termes du membre de
λ(u)u = 2Jλ(u), nous avons S??
λ(u)[u,v]+S?
λ(u)v = 2J?
λ(u)v.
λ(ψλ) = 0 et donc
S??
λ(ψλ)[ψλ,ξ] = 2J?
λ(ψλ)ξ
pour tout ξ ∈ H.
(1.12)
20
Page 31
1.2. RÉGULARITÉ
De plus, comme Jλ(tλ(u)u) = 0 pour tout u ∈ H \ {0}, en dérivant cette dernière relation par
rapport à u au point ψλ, nous obtenons
(t?
λ(ψλ)ξ)J?
λ(ψλ)ψλ+ J?
λ(ψλ)ξ = 0
pour tout ξ ∈ H.
λ(ψλ)ξ)/(J?
Puisque J?
conséquent, (1.11) devient
λ(ψλ)ψλ< 0 par (1.8), il vient t?
λ(ψλ)ξ = −(J?
λ(ψλ)ψλ) pour tout ξ ∈ H. Par
R??
λ(ψλ)[ξ,ξ] = 2(J?
λ(ψλ)ξ)2
λ(ψλ)ψλ)2J?
= −2(J?
J?
(J?
λ(ψλ)ψλ− 4(J?
λ(ψλ)ξ)
λ(ψλ)ψλ)J?
(J?
λ(ψλ)ξ + S??
λ(ψλ)[ξ,ξ]
(1.13)
λ(ψλ)ξ)2
λ(ψλ)ψλ
+ S??
λ(ψλ)[ξ,ξ]
pour tout ξ ∈ H.
(1.14)
Ainsi S??
implique S??
λ(ψλ)[ξ,ξ] = R??
λ(ψλ)[ψλ,ψλ] = 2J?
λ(ψλ)[ξ,ξ] ≥ 0 pour tout ξ ∈ H tel que J?
λ(ψλ)ψλ< 0, ce qui achève la démonstration.
λ(ψλ)ξ = 0. D’autre part, (1.12)
?
Remarque 1.1.13
(a) Puisque ψλest une solution faible de (Eλ), il découle de (1.12), (1.4) et (1.3) que
J?
λ(ψλ)ξ =1
2S??
λ(ψλ)[ψλ,ξ] =1
2{?ψλ,ξ?λ−
1
p + 1φ??(ψλ)[ψλ,ξ]}
=1
2{?ψλ,ξ?λ− p
=1
2{?ψλ,ξ?λ−
?
RNV (x)ψp−1
p
p + 1φ?(ψλ)ξ} =1 − p
λ
ψλξdx}
2
?ψλ,ξ?λ
pour tout ξ ∈ H.
Par conséquent, la condition J?
à Nλau point ψλest orthogonal à ψλ. Cette propriété est due à la relation fondamentale
Jλ(u) =1
(b) Le Lemme 1.1.12 exprime le fait que l’indice de Morse de S??
λ(ψλ)ξ = 0 est équivalente à ?ψλ,ξ?λ= 0 et l’espace tangent
2S?
λ(u)u, qui est une conséquence de l’homogénéité de la non-linéarité.
λau point ψλvaut 1.
1.2 Régularité
Dans cette section, nous montrons que l’état fondamental donné par le Théorème 1.1.8 est en
fait une solution classique de (Eλ) et nous étudions ses propriétés asymptotiques. Nous travaillons
toujours avec λ > 0 fixé et, pour alléger la notation, nous notons simplement ψ l’état fondamental.
Nous verrons, entre autre, que ψ ∈ C2(RN\{0}) et que ψ et toutes ses dérivées partielles d’ordre 1
tendent vers zéro exponentiellement vite à l’infini. Nous n’utiliserons ici que les hypothèses (H0) à
(H3). Pour N ≥ 3, l’hypothèse supplémentaire (H4) sera utile à la Section 1.3 pour obtenir l’unicité
d’une solution classique ayant de bonnes propriétés de décroissance à l’infini. Sans cette dernière
hypothèse, nous ne savons pas s’il existe un seul ou plusieurs états fondamentaux. Comme ψ est
une fonction radiale, l’étude de sa régularité se ramène à l’étude de la régularité d’une solution
d’une équation différentielle ordinaire (EDO) du deuxième ordre.
Nous commençons par introduire deux espaces de fonctions sur la demie-droite.
Définition 1.2.1 Nous définissons les espaces hilbertiens réels L2
?∞
ret H1
r⊂ L2
rpar
L2
r= {v : (0,∞) → R :
0
rN−1v(r)2dr < ∞}
et
H1
r= {v ∈ L2
r: v?∈ L2
r} ⊂ L2
r
21
Page 32
CHAPITRE 1. ÉTATS FONDAMENTAUX
et nous les munissons respectivement des produits scalaires
?∞
et des normes correspondantes, | · |L2
?u,v?L2
r=
0
rN−1uvdr
et
?u,v?r,λ= ?u?,v??L2
r+ λ?u,v?L2
r,
ret ? · ?r,λ.
Proposition 1.2.2 Soit u : RN→ R une fonction à symétrie sphérique et v : (0,∞) → R tel que
u(x) = v(r) pour |x| = r > 0. Alors u ∈ H si et seulement si v ∈ H1
Démonstration. Tout d’abord, on peut montrer que v a une dérivée généralisée v?: (0,∞) → R
si u possède des dérivées partielles généralisées ∂iu(x) et que, dans ce cas, v?(|x|) = ?x/|x|,∇u(x)?
pour tout x ?= 0. Pour ce faire, on commence par montrer que la fonction w(x) = ?x/|x|,∇u(x)?
est aussi radiale, où ?·,·? désigne ici le produit scalaire euclidien sur RN. Plus précisément, on
montre que, pour wΓ(x) ≡ w(Γx),
ξ ∈ C∞
?
Ensuite, en utilisant cette identité avec Γ = IdRN, il n’est pas difficile de vérifier que la fonction v?
définie par v?(r) = w(x) pour r = |x| > 0 est bien la dérivée généralisée de la fonction v.
D’autre part, si l’on suppose que v ∈ H1
généralisées sur RNet que ∂iu(x) = v?(|x|)xi/|x|. Il faut commencer par montrer ce résultat sur
RN\ {0} puis l’étendre à RNen utilisant le fait que v ∈ H1
Notant ωNla surface de la sphère unité dans RN, il suffit alors de remarquer que
?
pour conclure.
r.
?
RNwΓ(x)ξ(x)dx est indépendant de Γ ∈ O(N), pour tout
0(RN). En intégrant par parties et après un petit calcul, on obtient en fait
?
RNwΓ(x)ξ(x)dx = −
RNu(x){(N − 1)ξ(x)/|x| + ?x/|x|,∇ξ(x)?}
pour tout Γ ∈ O(N).
r, on peut montrer que u admet des dérivées partielles
r.
RNu(x)2dx = ωN
?∞
0
rN−1v(r)2dr
et
?
RN|∇u(x)|2dx = ωN
?∞
0
rN−1v?(r)2dr
?
Grâce à la Proposition 1.2.2, le résultat suivant réduit l’étude des propriétés de ψ à celle des
propriétés d’une fonction de H1
r, solution d’une EDO du deuxième ordre.
Proposition 1.2.3 Supposons que la fonction V est radiale et soit?V : (0,∞) → R tel que V (x) =
pour |x| = r > 0. Si u ∈ H et u est une solution faible de (Eλ), alors v ∈ H1
au sens des distributions de
?V (r) pour |x| = r > 0. Soit u : RN→ R une fonction radiale et v : (0,∞) → R tel que u(x) = v(r)
ret v est une solution
v??+N − 1
r
v?− λv +?V (r)|v|p−1v = 0,
0(RN) ⊂ H et la Définition 1.1.3 implique
r > 0.
(1.15)
Démonstration. Nous savons par la Proposition 1.2.2 que v ∈ H1
ξ(x) = ϕ(|x|). Alors ξ ∈ C∞
?
Ainsi rN−1v?possède une dérivée au sens des distributions (rN−1v?)?: (0,∞) → R telle que
(rN−1v?)?= rN−1[λ −?V (r)|v|p−1]v.
r. Soit ϕ ∈ C∞
0(0,∞) et posons
0 =
RN∇u∇ξ + [λ − V (x)|u|p−1]uξdx = ωN
?∞
0
rN−1{v?ϕ?+ [λ −?V (r)|v|p−1]vϕ}dr,
22
Page 33
1.2. RÉGULARITÉ
Puisque r1−N∈ C∞(0,∞), v?a une dérivée au sens des distributions v??: (0,∞) → R qui satisfait
(v?)?= (r1−N[rN−1v?])?= (1 − N)r−N[rN−1v?] + r1−N[rN−1v?]?
= −(N − 1)
r
v?+ [λ −?V (r)|v|p−1]v,
ce qui montre que v est une solution au sens des distributions de (1.15).
?
Nous savons donc maintenant qu’il existe une fonction?ψ ∈ H1
propriétés asymptotiques, nous allons considérer l’équation un peu plus générale
rtelle que ψ(x) ≡?ψ(|x|) et qui
satisfait l’équation (1.15). Afin d’établir que ψ est une solution classique de (Eλ) et d’étudier ses
v??+N − 1
r
v?− γv −µ
r2v + Q(r)v = 0,r > 0.
(1.16)
Nous supposons ici que γ > 0, µ ≥ 0 et Q : (0,∞) → R est une fonction continue telle que rkQ(r)
est bornée sur (0,∞), où k ∈ (0,2). Les résultats que nous allons prouver concernant (1.16) nous
serons utiles plus tard dans un autre contexte.
Lemme 1.2.4 Soit v ∈ H1
et v est une solution classique de (1.16). Si, de plus, Q ∈ C1(0,∞), alors v ∈ C3(0,∞).
Démonstration. Comme v ∈ H1
(1.16) que v ∈ H2
que v ∈ C2(0,∞). Si Q ∈ C1(0,∞), (1.16) implique alors v ∈ C3(0,∞).
Définition 1.2.5 Soit f : Ω ⊂ Rm→ R où Ω est un ouvert non-borné de Rm, m ≥ 1.
Nous disons que f tend vers zéro exponentiellement (vite) à l’infini s’il existe ? > 0 tel que
limx∈Ω, |x|→∞e?|x|f(x) = 0. Nous écrivons alors f(x) → 0 exponentiellement (vite) lorsque |x| → ∞
ou simplement f → 0 exponentiellement (vite) à l’infini.
rune solution au sens des distributions de (1.16). Alors v ∈ C2(0,∞)
r, v ∈ C(0,∞) et v?∈ L2
loc(0,∞). Par conséquent, il découle de
loc(0,∞), ce qui implique v ∈ C1(0,∞). Utilisant à nouveau (1.16), nous voyons
?
Lemme 1.2.6 Si v ∈ H1
(i) Les limites limr→0v(r) et limr→0rv?(r) existent et sont finies.
De plus, si µ = 0, on a limr→0rv?(r) = 0.
(ii) Si Q → 0 exponentiellement à l’infini, alors v,v?→ 0 exponentiellement à l’infini.
Démonstration. Le Lemme 1.2.6 est démontré dans l’Annexe C.
rest une solution de (1.16), alors v jouit des propriétés suivantes.
?
Nous sommes maintenant en mesure d’établir les propriétés principales de l’état fondamental
ψ. En fait, le théorème que nous démontrons concerne toutes les solutions de (Eλ), éléments de
H, qui sont positives, à symétrie sphérique et radialement décroissantes.
Théorème 1.2.7 Supposons satisfaites les hypothèses (H0), (H2) et (H3) et soit u ∈ H une
solution non-triviale de (Eλ), positive, à symétrie sphérique et radialement décroissante. Alors u
jouit des propriétés suivantes.
(i) u ∈ C(RN)∩C2(RN\{0}) et u est une solution classique de (Eλ). De plus, si V satisfait (H1),
alors u ∈ C3(RN\ {0}).
(ii) u est strictement positive et radialement strictement décroissante sur RN.
(iii) u(x) → 0 et |∇u(x)| → 0 exponentiellement lorsque |x| → ∞.
23
Page 34
CHAPITRE 1. ÉTATS FONDAMENTAUX
Démonstration. Soit v : (0,∞) → R la fonction telle que u(x) = v(|x|) pour |x| > 0.
(i) La continuité de u découle du Lemme 2.1.4 et en fait, u ∈ C(RN) ∩ L∞(RN) et
lim
|x|→∞u(x) = 0.
(1.17)
Alors v est borné sur (0,∞) et l’on obtient que u ∈ C2(RN\ {0}) en appliquant le Lemme
1.2.4 à l’équation (1.15) en posant dans (1.16) γ = λ, µ = 0 et Q(r) ≡?V (r)|v(r)|p−1. Ainsi, u
également que l’on a u ∈ C3(RN\ {0}) si V ∈ C1(RN\ {0}).
(ii) Nous savons de la Proposition 1.2.3 et du Lemme 1.2.4 que v est une solution classique non-
triviale de l’équation différentielle ordinaire (1.15), ce qui implique qu’elle ne peut être constante
sur un intervalle. De plus, par hypothèse, v est une fonction positive et décroissante sur (0,∞).
Elle est donc strictement positive et strictement décroissante sur (0,∞).
(iii) La Proposition 4.4 de [45] assure que les solutions classiques de l’équation linéaire ∆u−λu+
q(x)u = 0 sur RNavec λ > 0 qui tendent vers zéro à l’infini tendent vers zéro exponentiellement
vite à l’infini, pourvu que q(x) → 0 lorsque |x| → ∞. C’est une conséquence du principe du
maximum. Grâce à (1.17), nous obtenons donc que |u(x)| → 0 exponentiellement lorsque |x| → ∞
en appliquant cette proposition à (Eλ) avec q(x) ≡ V (x)|u(x)|p−1. Il découle alors du Lemme
1.2.6(ii) appliqué à (1.15) que v?→ 0 exponentiellement vite à l’infini et donc que |∇u(x)| =
|v?(|x|)| → 0 exponentiellement lorsque |x| → ∞.
Remarque 1.2.8 Si, de plus, V est borné, alors u ∈ C2(RN). Voir par exemple le Lemme 4.5 de
[45] pour ce résultat. En revanche, sans cette hypothèse supplémentaire, (H2) garantit seulement
que la fonction V n’ “explose” pas plus vite que |x|−klorsque x → 0, où k ∈ (0,2). Mais cette
prévention n’est pas suffisante pour assurer que les solutions de (Eλ) sont même dérivables à
l’origine. Considérons en effet le cas où V (x) = |x|−kavec k ∈ (1,2), et montrons que ψ ?∈ C1(RN).
Nous avons vu que la fonction?ψ ∈ H1
(rN−1?ψ?)?= rN−1[λ?ψ − r−k?ψp]
?1
et donc
?ψ?(r) = r1−N{?ψ?(1) −
Supposons par l’absurde que?ψ?reste bornée lorsque r → 0. On a alors
?ψ?(1) −
Par la règle de Bernoulli-L’Hospital, il vient
?ψ?(1) −?1
= lim
r→0
pour k > 1, car?ψ(0) > 0. Par conséquent,?ψ?(r) → −∞ lorsque r → 0, contradiction.
24
est automatiquement une solution classique de (Eλ) sur RN\ {0}. Par le Lemme 1.2.4, on voit
?
rtelle que ψ(x) =?ψ(|x|) satisfait l’EDO (1.15). Nous avons
pour tout r > 0.
alors
Ainsi, pour 0 < r < 1,
?ψ?(1) − rN−1?ψ?(r) =
r
tN−1[λ?ψ(t) − t−k?ψ(t)p]dt
tN−1[λ?ψ(t) − t−k?ψ(t)p]dt}.
?1
r
?1
r
tN−1[λ?ψ(t) − t−k?ψ(t)p]dt → 0
lorsque r → 0.
lim
r→0
?ψ?(r) = lim
r→0
rtN−1[λ?ψ(t) − t−k?ψ(t)p]dt
rN−1[λ?ψ(r) − r−k?ψ(r)p]
rN−1
(N − 1)rN−2
= lim
r→0
rλ?ψ(r) − r1−k?ψ(r)p
N − 1
= −∞
Page 35
1.3. UNICITÉ
1.3Unicité
Dans cette section, nous supposons que N ≥ 3. Nous travaillons sous les hypothèses (H1) à
(H4) et avec λ > 0 fixé. Nous montrons qu’il est alors justifié d’appliquer à (Eλ) un théorème
d’unicité dû à Yanagida, le Théorème 2.2 de [53]. Ce théorème très technique fournit un résultat
d’unicité des plus généraux concernant les solutions positives de l’équation
∆u + g(|x|)u + h(|x|)up= 0
(1.18)
sur B(0,R) ⊂ RNavec 0 < R ≤ ∞, N ≥ 3 et p > 1. Moyennant l’abus de notation u(x) ≡ u(r)
pour |x| = r, toute solution (classique) radiale de (1.18) satisfait l’EDO du deuxième ordre
u??+N − 1
r
u?+ g(r)u + h(r)up= 0.
(1.19)
Le papier [53] est consacré à la question de l’unicité des solutions positives de (1.19) sur un
intervalle [0,R] où R > 0 peut être fini ou infini. Les deux cas sont respectivement traités dans les
Théorèmes 2.1 et 2.2. Nous sommes bien sûr intéressés par la situation où R = ∞. Dans ce cas-là,
la discussion dans [53] porte plus précisément sur l’unicité des solutions de (1.19) qui satisfont
u(0) < ∞,u(r) > 0 pour tout r > 0
et
lim
r→∞u(r) = 0.
(1.20)
Les hypothèses de base concernant les coefficients g et h sont les suivantes.
(A1) g,h ∈ C1(0,∞).
(A2) r2−σg(r) → 0 et r2−σh(r) → 0 lorsque r → 0 pour un σ > 0.
L’auteur note que, sous ces conditions, toute solution u de (1.19)-(1.20) appartient à C[0,R)∩
C2(0,R) et satisfait ru?(r) → 0 lorsque r → 0. Il renvoie à [34] pour ces résultats.
Dans notre contexte, nous nous intéressons à la situation qui correspond à l’EDO (1.15), à
savoir
g(r) ≡ −λ
si bien que (A1) et (A2) sont satisfaites puisque, par (H2), rk+??V (r) → 0 lorsque r → 0 pour tout
être formulé comme suit.
et
h(r) ≡?V (r),
(1.21)
? > 0, avec k ∈ (0,2). Sous ces hypothèses, le Théorème 2.2 de [53] concernant le cas R = ∞ peut
Théorème 1.3.1 Si les conditions (C1)-(C6) ci-dessous sont satisfaites, alors il existe au plus
une solution de (1.19)-(1.20) qui vérifie (C7).
Nous utilisons maintenant ce théorème pour prouver le résultat d’unicité suivant.
Corollaire 1.3.2 Supposons que les hypothèses (H1) à (H4) sont vérifiées et que N ≥ 3. Il existe
au plus une solution non-triviale de (Eλ) qui soit positive, à symétrie sphérique et radialement
décroissante.
Démonstration. Soit u une solution non-triviale de (Eλ) qui soit positive, à symétrie sphérique
et radialement décroissante. Il découle du Théorème 1.2.7 que u satisfait (1.20). Il nous suffit donc
d’exposer les conditions (C1) à (C6) intervenant dans le Théorème 1.3.1 (et qui ne concernent que
les coefficients de (1.19)), de montrer qu’elles sont satisfaites, puis de vérifier que u satisfait la
25
Page 36
CHAPITRE 1. ÉTATS FONDAMENTAUX
condition (C7). Les hypothèses (C1) à (C7) portent sur les trois fonctions suivantes, J,G and H,
dépendant d’un paramètre m ∈ [0,N − 2] :
J(r;u,m) ≡ rm+2u?(r)2+ (2N − 4 − m)rm+1u?(r)u(r)
+ (N − 2 − m)(2N − 4 − m)rmu(r)2/2
+ rm+2g(r)u(r)2+ 2rm+2h(r)u(r)p+1/(p + 1),
G(r;m) ≡ rm+2g?(r) − 2(N − 3 − m)rm+1g(r)
+ m(N − 2 − m)(2N − 4 − m)rm−1/2,
H(r;m) ≡ 2rm+2h?(r)/(p + 1)
− {2N − 4 − m − 2(m + 2)/(p + 1)}rm+1h(r).
Tenant compte de (1.21), ces fonctions sont ici données explicitement par
J(r;u,m) ≡ rm+2u?(r)2+ (2N − 4 − m)rm+1u?(r)u(r)
+ (N − 2 − m)(2N − 4 − m)rmu(r)2/2
− λrm+2u(r)2+ 2rm+2?V (r)u(r)p+1/(p + 1),
G(r;m) ≡ 2λ(N − 3 − m)rm+1
+ m(N − 2 − m)(2N − 4 − m)rm−1/2,
H(r;m) ≡ 2rm+2?V?(r)/(p + 1)
− {2N − 4 − m − 2(m + 2)/(p + 1)}rm+1?V (r).
(C1) exige que h(r) ≥ 0 pour tout r > 0 et h(r) > 0 pour un r > 0, ce qui est vrai par (H3).
(C2) exige que G(r;N−2) ≤ 0 pour tout r > 0. Dans notre cas, c’est équivalent à −2λrN−1≤ 0
pour tout r > 0, ce qui est vrai.
(C3) exige que, pour tout m ∈ [0,N − 2), il existe α(m) ∈ [0,∞] tel que G(r;m) ≥ 0 pour
r ∈ (0,α(m)) et G(r;m) ≤ 0 pour r ∈ (α(m),∞). Si α(m) = 0 (resp. α(m) = ∞), cela signifie
que G(r;m) ≤ 0 (resp. G(r;m) ≥ 0) pour tout r > 0. Écrivant G comme
G(r;m) = rm−1{2λ(N − 3 − m)r2+ m(N − 2 − m)(N − 2 − m/2)},
nous voyons que α(m) dépend de m via les coefficients du polynôme du deuxième degré entre
accolades.
Si m ∈ [0,N − 3], on a
N − 3 − m ≥ 0
et l’on peut choisir α(m) = ∞.
Si m ∈ (N − 3,N − 2), on a
N − 3 − m < 0
et
m(N − 2 − m)(N − 2 − m/2) ≥ 0
et
m(N − 2 − m)(N − 2 − m/2) > 0
26
Page 37
1.4. NON-DÉGÉNÉRESCENCE
et α(m) est la racine positive de 2λ(N − 3 − m)r2+ m(N − 2 − m)(N − 2 − m/2) = 0.
(C4) exige que H(r;0) ≤ 0 pour tout r > 0. Dans notre cas, cela revient à dire que
2
p + 1r2?V?(r) −
Tout d’abord, par (H3), nous avons que?V (r) > 0 et?V?(r) < 0 pour tout r > 0. D’autre part,
2N − 4 −
?
2N − 4 −
4
p + 1
?
r?V (r) ≤ 0
pour tout r > 0.
4
p + 1≥ 0
⇐⇒
p ≥4 − N
N − 2.
Or4−N
N−2≤ 1 pour tout N ≥ 3. Par conséquent, puisque p > 1, (C4) est vérifiée.
(C5) exige que, pour tout m ∈ (0,N − 2], il existe β(m) ∈ [0,∞] tel que H(r;m) ≥ 0 pour
r ∈ (0,β(m)) et H(r;m) ≤ 0 pour r ∈ (β(m),∞). Si β(m) = 0 (resp. β(m) = ∞), cela signifie
que H(r;m) ≤ 0 (resp. H(r;m) ≥ 0) pour tout r > 0. C’est pour cette condition que nous avons
besoin de l’hypothèse (H4). Écrivant H comme
??
H(r;m) = rm+1?V (r)
2
p + 1
?
r
?V?(r)
?V (r)
− am
?
où am= 2N − 4 − m − 2(m + 2)/(p + 1), nous voyons que (C5) est satisfaite si r?V?(r)/?V (r) est
(C6) concerne le cas où g ≡ 0 et n’intervient donc pas dans la discussion.
(C7) demande que J(r;u(r),m) → 0 lorsque r → ∞ pour tout m ∈ [0,N − 2], condition
satisfaite si u est une solution de (Eλ) vérifiant les hypothèses du Théorème 1.2.7.
Le corollaire est démontré.
décroissante, ce qui est précisément l’hypothèse (H4). Par conséquent, (C5) est vérifiée.
?
1.4 Non-dégénérescence
Dans cette section, nous travaillons à nouveau avec N ≥ 2. Pour λ > 0 fixé, considérons la
fonctionnelle Sλ: H → R définie dans la Section 1.1. Nous savons que Sλ∈ C2(H,R) et nous
posons Tλ= S?
λ∈ C1(H,H∗). La fonction Tλest donnée explicitement par
Tλ(u) = −∆u + λu − V (x)|u|p−1u,
où nous interprétons le membre de droite comme un élément de H∗en posant
?
et en identifiant L2avec un sous-espace de H∗par
?
Remarque 1.4.1 Notez qu’avec ces conventions, dire que u ∈ H est une solution faible de (Eλ)
revient à dire que Tλ(u) = −∆u + λu − V (x)|u|p−1u = 0 dans H∗.
?∆u,v?H∗×H≡
RN∇u · ∇vdx
pour tout u,v ∈ H,
(1.22)
?u,v?H∗×H≡
RNuvdx
pour tout u ∈ L2,v ∈ H.
(1.23)
27
Page 38
CHAPITRE 1. ÉTATS FONDAMENTAUX
Pour tout u ∈ H, T?
λ(u) ∈ L(H,H∗) et nous avons
?T?
λ(u)v,w?H∗×H= S??
λ(u)[v,w]
pour tout u,v,w ∈ H
ou encore, plus explicitement,
T?
λ(u)v = −∆v + λv − pV (x)|u|p−1v
pour tout u,v ∈ H.
Définition 1.4.2 Une solution faible non-triviale de (Eλ), u ∈ H \ {0}, Tλ(u) = 0, est dite
non-dégénérée si T?
λ(u) : H → H∗est un isomorphisme.
Sous les hypothèses (H0), (H2) et (H3), le Théorème 1.1.8 nous assure qu’il existe un minimiseur
ψλdu problème variationnel (1.5). D’autre part, ψλest une fonction positive, radiale et strictement
radialement décroissante et nous savons par la Proposition 1.1.10 que tout état fondamental a ces
propriétés (au signe près). Le but de cette section est de prouver que tout état fondamental (positif)
ψλest une solution non-dégénérée de (Eλ). Pour ce faire, nous effectuons une démonstration par
l’absurde procédant en plusieurs étapes. Tout d’abord, le lemme suivant montre qu’il nous suffit
d’étudier le noyau de l’opérateur T?
λ(ψλ) : H → H∗.
Lemme 1.4.3 Supposons que V satisfait les hypothèses (H0) et (H2) et soit z ∈ L∞(RN). L’opé-
rateur linéaire C : H → H∗défini par Cv = V (x)z(x)v pour tout v ∈ H est compact.
Démonstration. La démonstration du Lemme 1.4.3 est très similaire à celle du Lemme 1.1.2 et
nous la laissons au soin du lecteur.
?
En effet, ce résultat implique que T?
−∆ + λ : H → H∗, ce dernier opérateur étant un isomorphisme pour tout λ > 0. Par conséquent,
pour montrer que T?
Nous supposons alors par l’absurde qu’il existe v ∈ H \ {0} tel que
−∆v + λv − pV (x)ψp−1
Nous procédons ensuite de la façon suivante. Dans un premier temps, nous montrons que si v ∈ H
est solution de (1.24), alors v est une fonction radiale. Nous notons ? v : (0,∞) → R la fonction qui
|x| > 0. Nous sommes ramené à l’étude d’une équation différentielle ordinaire pour la fonction ? v :
r
λ(ψλ) = −∆+λ−pV (x)ψp−1
λ
est une perturbation compacte de
λ(ψλ) : H → H∗est un isomorphisme, il suffit de montrer qu’il est injectif.
λ
v = 0
dans H∗.
(1.24)
satisfait v(x) = ? v(|x|) pour |x| > 0 et?
ψλ: (0,∞) → R la fonction telle que ψλ(x) =?
−? v??−N − 1
Nous appliquons alors à cette équation la théorie spectrale pour les opérateurs différentiels de
Sturm-Liouville. Nous obtenons ainsi que, si v ∈ H\{0} est solution de (1.24), la fonction ? v possède
de ψλet, plus précisément, du Lemme 1.1.12 qui implique que l’indice de Morse de l’opérateur
R−1T?
cette propriété de ? v et deux identités intégrales dérivées des EDO satisfaites respectivement par ? v
Avant de montrer que v est radiale, nous avons besoin d’un peu plus de régularité.
ψλ(|x|) pour
? v?+ λ? v − p?V (r)?
ψλ
p−1? v = 0.
un et un seul zéro sur (0,∞). Ce résultat est une conséquence de la caractérisation variationnelle
λ(ψλ) : H → H est égal à 1, où R ≡ −∆+1 : H → H∗est l’isomorphisme de Riesz. Utilisant
et par?
ψλ, nous arrivons finalement à contredire la non-trivialité de v.
Lemme 1.4.4 Supposons que les hypothèses (H0) et (H2) sont vérifiées et soit v ∈ H une solution
de (1.24). Alors v ∈ L∞(RN) ∩ C(RN).
28
Page 39
1.4. NON-DÉGÉNÉRESCENCE
Démonstration. Ce résultat découle du Lemme D.1 de l’Annexe D.
?
Remarque 1.4.5 La preuve du Lemme 1.4.4 montre que v ∈ H2(RN) si 2 < N/b. Cette inégalité
est vérifiée pour tout 0 < b < 2 lorsque N ≥ 4, pour 0 < b < 3/2 si N = 3 et pour 0 < b < 1 si
N = 2.
Lemme 1.4.6 Supposons que les hypothèses (H1) à (H3) sont vérifiées. Si v ∈ H est solution de
(1.24), alors v est une fonction radiale.
Démonstration. Comme v ∈ L2(RN), v admet une décomposition en harmoniques sphériques
(c.f. Annexe E) de la forme
∞
?
où r = |x| et ϑ = x/r pour x ∈ RN\ {0}. Dans cette représentation,
?
Ym
v(x) =
k=0
ak
?
m=1
vm
k(r)Ym
k(ϑ),
(1.25)
ak=
k
N + k − 1
?
−
?
k − 2
N + k − 3
?
pour k ≥ 2,a1= N et a0= 1.
k, 1 ≤ m ≤ ak, est une harmonique sphérique satisfaisant
∆Ym
k = −µk
r2Ym
k
pour m = 1,...,ak,
(1.26)
avec µk= k(N + k − 2) pour tout k ∈ N ∪ {0}. {Ym
la fonction vm
?
Remarquons que vm
convergente au sens de L2(RN). Nous allons montrer que vm
k ≥ 1.
Puisque v satisfait (1.24), nous avons
?
Posant ϕ(x) = ξ(|x|)Ym
(1.28),
?∞
Cette relation, (1.27) et le théorème de Fubini impliquent
?∞
Il découle alors du Lemme 1.2.4 que vm
k} est une base orthonormée de L2(SN−1) et
k(r) est donc donnée par la projection de v sur l’harmonique sphérique Ym
k
:
vm
k(r) =
SN−1v(rϑ)Ym
k(ϑ)dϑ
pour m = 1,...,ak, pour tout k ∈ N ∪ {0}.
(1.27)
k∈ C(0,∞) car v ∈ L∞(RN) ∩ C(RN) par le Lemme 1.4.4. La série (1.25) est
k≡ 0 pour m = 1,...,ak, pour tout
RNv{−∆ϕ + λϕ − pV (x)ψp−1ϕ}dx = 0
pour tout ϕ ∈ C∞
0(RN).
(1.28)
k(x/|x|) pour ξ ∈ C∞
0(0,∞), on a que ϕ ∈ C∞
0(RN) et, utilisant (1.26) et
0
?
SN−1rN−1v?−ξ??−N − 1
r
ξ?+µk
r2ξ + λξ − p?V (r)?
ψλ
p−1ξ?Ym
k(ϑ)dϑdr = 0.
0
rN−1vm
k
?−ξ??−N − 1
r
ξ?+µk
r2ξ + λξ − p?V (r)?
k∈ C3(0,∞) et que vm
ψλ
p−1ξ?dr = 0
kest solution de l’EDO
pour tout ξ ∈ C∞
0(0,∞).
(vm
k)??+N − 1
r
(vm
k)?− λvm
k−µk
r2vm
k+ p?V (r)?
ψλ
p−1vm
k= 0.
29
Page 40
CHAPITRE 1. ÉTATS FONDAMENTAUX
Pour simplifier l’écriture, nous posons w = vm
k. Ainsi, w ∈ C3(0,∞) et
w?− λw −µk
w??+N − 1
rr2w + p?V (r)?
ψλet nous rappelons que ψ : (0,∞) → R est
ψλ
p−1w = 0.
(1.29)
Pour la fin de la démonstration, nous posons ψ =?
solution de l’EDO (1.15), i.e. que
ψ??+N − 1
r
ψ?− λψ +?V (r)ψp= 0.
(1.30)
Puisque ψ ∈ C3(0,∞) par le Lemme 1.2.4, on peut dériver les deux membres de (1.30) par rapport
à r, ce qui donne
ψ???+N − 1
r
ψ??−N − 1
r2
ψ?− λψ?+?V?(r)ψp+ p?V (r)ψp−1ψ?= 0.
(1.31)
En posant ζ = ψ?, (1.31) devient
ζ??+N − 1
r
ζ?− λζ −N − 1
r2
ζ +?V?(r)ψp+ p?V (r)ψp−1ζ = 0.
ru?− λu. Pour 0 ≤ α < β ≤ ∞, les équations (1.29) et (1.32)
(1.32)
Écrivons maintenant Su ≡ u??+N−1
fournissent l’identité de Lagrange suivante pour w et ζ :
rN−1(ζw?− ζ?w) |β
α=
?β
α
rN−1{ζSw − wSζ}dr
?β
= (µk− N + 1)
α
rN−3wζdr +
?β
α
rN−1?V?ψpwdr.
(1.33)
Supposons maintenant que w ?≡ 0 et, sans perte de généralité, soit (α,β) un intervalle maximal où
w > 0.
Si α > 0, alors w(α) = 0 et w?(α) > 0.
Si β < ∞, alors w(β) = 0 et w?(β) < 0.
D’autre part, les fonctions w et ψ satisfont les hypothèses du Lemme 1.2.6 et ζ?= −(N−1
λψ +?V (r)ψp) par (1.30). Par conséquent,
lim
et
rψ?−
r→0rN−1(ζw?− ζ?w) = 0lim
r→∞rN−1(ζw?− ζ?w) = 0.
Alors, comme ζ = ψ?< 0, nous avons dans tous les cas que rN−1(ζw?− ζ?w) |β
implique
?β
car?V?< 0 par (H3) et w > 0 sur (α,β). Mais ζ < 0 et donc µk− N + 1 < 0. Comme µk=
dans la décomposition (1.25) est v1
Y1
N
démonstration est terminée.
α≥ 0. Ainsi (1.33)
(µk− N + 1)
α
rN−3wζdr ≥ −
?β
α
rN−1?V?ψpwdr > 0
k(N + k − 2), on doit avoir k = 0. Nous avons ainsi prouvé que la seule composante non-triviale
0(r)Y1
0≡ ω−1/2
0(ϑ). Or la première harmonique sphérique est constante,
, où ωN est l’aire de SN−1. Nous avons donc montré que v(x) = ω−1/2
N
v1
0(|x|) et la
?
Dès maintenant, jusqu’à la fin de cette section, nous n’aurons affaire qu’à des EDO. Pour
simplifier l’écriture, nous noterons ψ =?
30
ψλet w = ? v les fonctions définies sur (0,∞) correspondant
Page 41
1.4. NON-DÉGÉNÉRESCENCE
respectivement aux fonctions radiales ψλet v. Nous avons vu dans la démonstration du Lemme
1.4.6 que w = ω−1/2
N
v1
0est solution de l’équation (1.29) avec µk= 0, soit
z??+N − 1
r
z?− λz + p?V (r)ψp−1z = 0.
(1.34)
De plus, nous savons par le Lemme 1.2.4 que toute solution au sens des distributions de cette
équation, appartenant à H1
D’autre part, nous savons que ψ satisfait (1.30). Nous commençons par récrire ces deux équa-
tions en utilisant la fonction f(r,s) ≡ −λs +?V (r)sp, ce qui donne respectivement
r
r, est en fait une solution classique.
z??+N − 1
z?+ ∂2f(r,ψ)z = 0
(1.35)
et
ψ??+N − 1
r
ψ?+ f(r,ψ) = 0.
(1.36)
Nous établissons à présent deux identités intégrales qui découlent de ces équations.
Lemme 1.4.7 Supposons les hypothèses (H0), (H2) et (H3) satisfaites. Soit z ∈ H1
(classique) de (1.35). Nous avons alors
?∞
et
?∞
Démonstration. La preuve nécessite plusieurs intégrations par parties. Nous laissons au lecteur
le soin de vérifier, en utilisant le Lemme 1.2.6, que tous les termes de bord sont nuls.
Pour prouver (1.37), multiplions (1.36) par rN−1z, (1.35) par rN−1ψ et soustrayons. Nous obtenons
?∞
En intégrant par parties, il vient
?∞
Pour la seconde identité, commençons par multiplier (1.35) par rN−1rψ?et intégrons :
?∞
Intégrant par parties le premier terme, nous avons
?∞
Par (1.36), (rψ?)?= (2 − N)ψ?− rf(r,ψ), d’où
?∞
31
rune solution
0
rN−1{f(r,ψ) − ∂2f(r,ψ)ψ}zdr = 0
(1.37)
0
rN−1{2f(r,ψ) + r∂1f(r,ψ)}zdr = 0.
(1.38)
0
{(rN−1ψ?)?z − (rN−1z?)?ψ + rN−1[f(r,ψ)z − ∂2f(r,ψ)ψz]}dr = 0.
0
rN−1{f(r,ψ)z − ∂2f(r,ψ)ψz}dr = 0.
0
{(rN−1z?)?rψ?+ rN∂2f(r,ψ)zψ?}dr = 0.
0
{−rN−1z?(rψ?)?+ rN∂2f(r,ψ)zψ?}dr = 0.
0
{−rN−1z?[(2 − N)ψ?− rf(r,ψ)] + rN∂2f(rψ)zψ?}dr = 0.
Page 42
CHAPITRE 1. ÉTATS FONDAMENTAUX
En intégrant par parties le terme en z?ψ?(qui est absent si N = 2) et en utilisant à nouveau (1.36),
il vient
(N − 2)
00
Mais
?∞
Par conséquent, (1.39) devient
?∞
+
0
?∞
rN−1f(r,ψ)zdr +
?∞
rN{f(r,ψ)z?+ ∂2f(r,ψ)zψ?}dr = 0.
(1.39)
0
rNf(r,ψ)z?dr = −
?∞
0
{NrN−1f(r,ψ) + rN∂1f(r,ψ) + rN∂2f(r,ψ)ψ?}zdr.
(N − 2)
?∞
0
rN−1f(r,ψ)zdr
{−NrN−1f(r,ψ)z − rN∂1f(r,ψ)z − rN∂2f(r,ψ)ψ?z + rN∂2f(r,ψ)zψ?} = 0,
si bien que
?∞
0
rN−1{2f(r,ψ) + r∂1f(r,ψ)}zdr = 0.
?
Pour établir que w a précisément un zéro dans (0,∞), nous allons utiliser la théorie spectrale
des opérateurs différentiels agissant dans l’espace L2
forme bilinéaire βλ: H1
?∞
Nous montrons dans l’Annexe F que βλest bien définie sur H1
(H0), (H2) et (H3), il existe un unique opérateur auto-adjoint Aλ: D(Aλ) ⊂ L2
D(Aλ) = {y ∈ H1
rdéfini sous 1.2.1. Nous pouvons définir une
r× H1
r→ R par
βλ(y,z) =
0
rN−1{y?z?+ λyz − p?V (r)ψp−1yz}dr
pour tout y,z ∈ H1
r.
(1.40)
r× H1
ret que, sous les hypothèses
r→ L2
Aλy = z.
rtel que
r: ∃z ∈ L2
r∀ξ ∈ H1
rβλ(y,ξ) = ?z,ξ?L2
r}
et(1.41)
La propriété suivante de βλest cruciale pour la suite de notre argument.
Lemme 1.4.8 Supposons que les hypothèses (H0), (H2) et (H3) sont vérifiées. La forme bilinéaire
βλ: H1
r× H1
r→ R satisfait
βλ(ψ,ψ) < 0
et
βλ(ξ,ξ) ≥ 0
pour tout ξ ∈ H1
rtel que ?ψ,ξ?r,λ.
Démonstration. Ce résultat est une traduction dans l’espace H1
tions radiales de H. Il est démontré dans l’Annexe F.
rdu Lemme 1.1.12 pour les fonc-
?
Nous pouvons alors prouver le résultat qui nous intéresse, conséquence des propriétés spectrales
de l’opérateur de Sturm-Liouville Aλ.
Lemme 1.4.9 Supposons que les hypothèses (H0), (H2) et (H3) sont vérifiées et soit z ∈ H1
solution (classique) non-triviale de (1.34). Alors z ∈ ker(Aλ) et il existe un unique r0∈ (0,∞) tel
que z(r0) = 0 et z change de signe au point r0.
rune
32
Page 43
1.4. NON-DÉGÉNÉRESCENCE
Démonstration. Puisque z est une solution de (1.34), nous avons que βλ(z,ξ) = 0 pour tout
ξ ∈ H1
De plus, c’est une valeur propre de multiplicité finie car, comme il est démontré à l’Annexe F,
σess(Aλ) ⊂ [1,∞). Il découle de (1.37) avec f(r,s) ≡ −λs +?V (r)spque
Théorème 14.10), z ne peut être une fonction propre pour la plus petite valeur propre de Aλ. Ainsi
Aλa au moins une valeur propre négative, que l’on note λ1< 0. Nous allons voir qu’en fait, Aλn’a
qu’une valeur propre négative. Soit ξ1∈ D(Aλ)\{0} tel que Aλξ1= λ1ξ1. Supposons par l’absurde
qu’il existe λ2< 0, λ2?= λ1et ξ2∈ D(Aλ) \ {0} tels que Aλξ2= λ2ξ2. Nous avons alors
βλ(ξ1,ξ2) = ?Aλξ1,ξ2?L2
Par la symétrie de βλ, il vient (λ1− λ2)?ξ1,ξ2?L2
est possible de choisir α1,α2∈ R, (α1,α2) ?= (0,0), tels que ?ψ,α1ξ1+ α2ξ2?r,λ= 0. Mais alors le
Lemme 1.4.8 implique
0 ≤ βλ(α1ξ1+ α2ξ2,α1ξ1+ α2ξ2) = α2
= α2
1?Aλξ1,ξ1?L2
ce qui est absurde. Ainsi, Aλa exactement une valeur propre négative et, par conséquent, z est
une fonction propre de Aλcorrespondant à sa deuxième valeur propre. Le Théorème 14.10 de [52]
implique alors que z a exactement un zéro r0∈ (0,∞) et que z change de signe en ce point.
Nous pouvons maintenant prouver la non-dégénérescence de l’état fondamental ψλ.
r. Ainsi z ∈ D(Aλ) et Aλz = 0. Comme z ?= 0, 0 est donc une valeur propre de Aλ.
?∞
0rN−1?V ψpzdr = 0,
ce qui implique que z change de signe sur (0,∞), au moins une fois. Par conséquent (c.f. [52],
r= λ1?ξ1,ξ2?L2
r
et
βλ(ξ2,ξ1) = ?Aλξ2,ξ1?L2
r= 0. Donc ?ξ1,ξ2?L2
r= λ2?ξ2,ξ1?L2
r= 0 et βλ(ξ1,ξ2) = 0. Or il
r.
1βλ(ξ1,ξ1) + α2
r= α2
2βλ(ξ2,ξ2)
r+ α2
r+ α2
2?Aλξ2,ξ2?L2
1λ1|ξ1|2
L2
2λ2|ξ2|2
L2
r< 0,
?
Théorème 1.4.10 Supposons que les hypothèses (H1) à (H4) sont vérifiées. Tout minimiseur
(positif) ψλdu problème (1.5) est une solution non-dégénérée de (Eλ).
Démonstration. D’après les considérations du début de cette section, il suffit de montrer que
T?
Par le Lemme 1.4.6, nous savons que v est radiale et que la fonction w : (0,∞) → R telle que
v(x) = w(|x|) pour |x| > 0 est une solution classique de l’EDO (1.34). Par conséquent, le Lemme
1.4.9 implique qu’il existe un unique r0∈ (0,∞) tel que w(r0) = 0 et w change de signe en r0.
Sans perte de généralité, supposons que w(r) > 0 pour tout r < r0et w(r) < 0 pour tout r > r0.
Par le Lemme 1.4.7, nous avons que
?∞
pour toute constante C ∈ R. Avec f(r,s) = −λs +?V (r)sp, nous obtenons
0
Puisque (1 − p)?V ψp< 0, nous pouvons récrire cette identité comme
0
où
g(r) =2λ?V (r)−1ψ1−p− 2 − r?V?(r)/?V (r)
Or 1−p < 0, ψ est strictement décroissante,?V est strictement décroissante par (H3) et r?V?(r)/?V (r)
C = g(r0), l’intégrant dans (1.42) est strictement positif sur (0,∞) \ {r0}. Cette contradiction
montre que l’on doit avoir v = 0.
λ(ψλ) : H → H∗est injectif. Supposons par l’absurde qu’il existe v ∈ H\{0} tel que T?
λ(ψλ)v = 0.
0
rN−1{C[f(r,ψ) − ∂2f(r,ψ)ψ] + [2f(r,ψ) + r∂1f(r,ψ)]}wdr = 0
?∞
rN−1{C(1 − p)?V ψp− 2λψ + 2?V ψp+ r?V?ψp}wdr = 0.
?∞
rN−1(1 − p)?V ψp{C − g(r)}wdr = 0,
(1.42)
1 − p
.
est décroissante par (H4). Donc g est strictement décroissante sur (0,∞). Par conséquent, avec
?
33
Page 44
Page 45
Chapitre 2
Bifurcation
Nous présentons dans ce chapitre des résultats d’existence et de bifurcation concernant l’équa-
tion elliptique semi-linéaire
∆u − λu + V (x)|u|p−1u = 0
u : RN→ R, N ≥ 2,
(Eλ)
qui a déjà été étudiée au Chapitre 1 par des méthodes variationnelles. Nous ne supposerons pas
que la fonction V est radiale dans la Section 2.1. Les Théorèmes 2.1.10 et 2.1.11 démontrés dans
la Section 2.1.2 sont des résultats locaux qui assurent l’existence dans R×H1(RN) d’une branche
de solutions de (Eλ) de la forme
{(λ,uλ) : 0 < λ < λ0}
et d’une branche de solutions de la forme
(2.1)
{(λ,uλ) : λ∞< λ < ∞}.
(2.2)
Ce qu’on entend par branche de solutions est une application continue λ ?→ uλ, définie sur un
intervalle de R, à valeur dans H1(RN) et telle que uλest une solution faible de (Eλ). Par extension,
nous appelons aussi branche de solutions le graphe d’une telle application. Dans les deux cas
mentionnés ci-dessus, nous obtenons que l’application λ ?→ uλest de classe Crsi V ∈ Cr(RN\{0}),
pour r = 0,1. Pour prouver l’existence de la branche (2.1), nous prescrivons le comportement du
coefficient V à l’infini et pour (2.2), le comportement de V à l’origine. Plus précisément, nous
supposons pour (2.1) qu’il existe B > 0 et b ∈ (0,2) tels que (H2) est satisfaite avec k = b
et que, de plus, |x|bV (x) → B lorsque |x| → ∞. C’est-à-dire, nous imposons que V décroisse à
l’infini exactement comme B|x|−bet n’ “explose” pas plus vite que B|x|−blorsque x → 0. Pour
démontrer l’existence de la branche (2.2), nous supposons qu’il existe A > 0 et a ∈ (0,2) tels que
(H2) est vérifiée avec k = a et que, de plus, |x|aV (x) → A lorsque x → 0. Cette fois les rôles
sont inversés, nous exigeons que V “explose” précisément comme A|x|−aà l’origine et décroisse au
moins comme A|x|−aà l’infini. Dans la Section 2.1.2, nous discutons également de façon détaillée
le comportement asymptotique des solutions le long des branches (2.1) et (2.2).
La méthode que nous utilisons pour établir ces résultats locaux possède deux ingrédients impor-
tants. Le premier est un argument de perturbation qui consiste, après un changement d’échelle, à
étudier l’équation (Eλ) au voisinage d’un point limite, λlim= 0 pour la branche (2.1) et λlim= +∞
pour la branche (2.2). Dans les deux cas, l’équation limite obtenue après le changement de variables
en laissant λ → λlimest une équation particulière de la forme (Eλ). Les équations limites en ques-
tion sont
∆u − u + B|x|−b|u|p−1u = 0
et
∆u − u + A|x|−a|u|p−1u = 0
pour λlim= 0
(2.3)
pour λlim= +∞.
(2.4)
35
Page 46
CHAPITRE 2. BIFURCATION
Notez que ces équations satisfont les hypothèses (H1) à (H4). En particulier, elles sont invariantes
par les rotations de RN, même si la fonction V ne l’est pas. Grâce aux résultats du Chapitre 1,
nous savons que, pour K > 0 et k ∈ (0,2), l’équation
∆u − u + K|x|−k|u|p−1u = 0
possède un état fondamental (positif), que nous notons ψK,k, et que ψK,kest une solution non-
dégénérée de (Eλ), au sens de la Définition 1.4.2. De plus, ψK,ka les propriétés données par le
Théorème 1.2.7. Si N ≥ 3, le Corollaire 1.3.2 implique que ψK,k est l’unique solution de (2.5)
ayant ces propriétés. Notez que l’équation (2.5) satisfait les hypothèses (H1) à (H4) mais aussi
les hypothèses (H5) à (H8) ci-dessous, avec B = A = K et b = a = k. Pour mettre en oeuvre la
méthode perturbative, nous introduisons un nouveau paramètre, µ = λ1/2pour le cas où λlim= 0
et τ = λ−1/2pour le cas où λlim = +∞ et nous faisons dans chaque cas un changement de
variables utilisant le nouveau paramètre, c.f. (2.6) et (2.8). Nous obtenons respectivement dans
les nouvelles variables les équations (?Eµ) et (E’τ). Notez que µ → 0 lorsque λ → 0 et que τ → 0
en prenant formellement la limite µ → 0 dans (?Eµ) et τ → 0 dans (E’τ).
chacune des deux situations, λlim = 0 et λlim = +∞, l’idée est de produire une branche de
solutions pour chacune des équations auxiliaires (?Eµ) et (E’τ) en appliquant le théorème des
l’équation limite correspondante, à savoir (0,ψB,b) ∈ R × H1(RN) pour λlim = 0 (µ = 0) et
(0,ψA,a) ∈ R × H1(RN) pour λlim= +∞ (τ = 0). Un élément essentiel pour pouvoir appliquer le
théorème des fonctions implicites est la non-dégénérescence des solutions ψB,bet ψA,ades équations
limites. L’existence de branches de solutions locales pour les équations auxiliaires (?Eµ) et (E’τ) est
Dans les nouvelles variables, les solutions des équations (?Eµ) et (E’τ) ainsi obtenues convergent
limites (2.3) et (2.4). Nous déduisons de ce fait des informations précises concernant le compor-
tement des normes |uλ|L2, |∇uλ|L2 et |uλ|L∞, le long des branches (2.1) et (2.2), lorsque λ → 0
et λ → +∞ respectivement. Ces informations nous permettent de discuter divers phénomènes de
bifurcation, de bifurcation asymptotique et de concentration pour l’équation (Eλ). Les résultats
concernant les branches de solutions (2.1) et (2.2) sont indépendants et font l’objet de la Section
2.1.2.
Comme nous le verrons à la Section 2.1, l’intérêt des changements d’échelle (2.6) et (2.8) réside
en ce qu’ils transforment le problème de l’étude de (Eλ) au voisinage de λ = λlimen un problème
auquel le théorème des fonctions implicites peut être appliqué, ce qui n’est pas le cas dans les
variables initiales, où des phénomènes de bifurcation ont précisément lieu.
(2.5)
lorsque λ → +∞. Les équations (2.3) et (2.4) correspondent respectivement à ce que l’on obtient
Le deuxième ingrédient fondamental de la méthode est un argument de continuation. Dans
fonctions implicites à une fonction appropriée, au point de R × H1(RN) associé à la solution de
établie dans la Section 2.1.1.
respectivement dans H1(RN), lorsque µ → 0 et τ → 0, vers les solutions ψB,bet ψA,ades équations
La Section 2.2 traite de la continuation globale des branches de solutions obtenues à la Section
2.1. Dans toute cette section, nous supposons que la fonction V est radiale. Nous montrons que,
sous les hypothèses (H1) à (H8), avec N ≥ 3, il existe une unique fonction u : (0,∞) → H1(RN)
qui “réunit” ces deux branches et telle que uλ≡ u(λ) est l’unique état fondamental (positif) de
(Eλ), pour tout λ > 0. L’hypothèse supplémentaire N ≥ 3 est nécessaire pour utiliser le théorème
d’unicité discuté à la Section 1.3. L’idée centrale de la démonstration est une application itérée du
théorème des fonctions implicites. Partant de la branche (2.1) déjà existante, on produit ainsi une
suite de branches de solutions, définies sur des intervalles de λ > 0 de plus en plus grands, et on
montre que ce processus ne peut pas s’ “arrêter”. Il faut tout d’abord vérifier que l’on peut en effet
appliquer le théorème des fonctions implicites à une fonction appropriée, en un point “convenable”
(λ1,uλ1) de la branche (2.1). Pour cela, nous avons besoin que uλ1soit une solution non-dégénérée
36
Page 47
2.1. THÉORIE LOCALE
de (Eλ). Nous nous assurons qu’un tel point existe en montrant qu’en fait, il existe?λ ∈ (0,λ0) tel
donc, d’après le Théorème 1.4.2, des solutions non-dégénérées. Ce résultat est démontré dans la
Section 2.2.2. Il faut ensuite voir que l’on ne peut pas sortir de l’ensemble des états fondamentaux
le long d’une branche de solution, propriété cruciale pour pouvoir itérer le théorème des fonctions
implicites. Ceci nécessite en particulier d’obtenir des bornes a priori dans H1(RN) sur les états
fondamentaux de (Eλ). Ces résultats sont établis dans la Section 2.2.1. Le Théorème 2.2.10, qui
donne l’existence d’une branche globale de solutions de (Eλ), est démontré à la Section 2.2.3.
que toutes les solutions uλsur la branche (2.1) pour 0 < λ <?λ sont des états fondamentaux et
2.1 Théorie locale
Commençons par formuler les hypothèses supplémentaires qui interviennent dans cette section.
(H5)
Il existe B > 0 et b ∈ (0,2) tels que
|x|→∞|x|bV (x) = B
lim
et
limsup
x→0
|x|bV (x) < ∞.
De plus, 1 < p < 1 +4−2b
N−2.
(H6)
Posant Wb(x) = x · ∇V (x) + bV (x), nous avons que
lim
|x|→∞|x|bWb(x) = 0
et
limsup
x→0
|x|bWb(x) < ∞.
(H7)
Il existe A > 0 et a ∈ (0,2) tels que
lim
x→0|x|aV (x) = A
et
limsup
|x|→∞
|x|aV (x) < ∞.
De plus, 1 < p < 1 +4−2a
N−2.
(H8)
Posant Wa(x) = x · ∇V (x) + aV (x), nous avons que
lim
x→0|x|aWa(x) = 0
et
limsup
|x|→∞
|x|aWa(x) < ∞.
Il est clair que si (H5) ou (H7) est vérifiée, alors (H2) est vérifiée. Les hypothèses (H5) et
(H6) sont utilisées pour établir les résultats de bifurcation concernant l’équation (Eλ) au voisinage
de λ = 0 et les hypothèses (H7) et (H8) pour les résultats au voisinage de λ = +∞, qui sont
indépendants des résultats au voisinage de λ = 0. Bien entendu, les hypothèses (H6) et (H8)
présupposent que V satisfait (H1), à savoir que V ∈ C1(RN\{0}). Nous verrons que l’on peut s’en
passer si l’on se contente d’obtenir des branches de solutions continues et non de classe C1. Notez
que, pour K > 0 et k ∈ (0,2), la fonction V (x) = K|x|−ksatisfait (H5) et (H6) avec B = K et
b = k ainsi que (H7) et (H8) avec A = K et a = k.
Cette remarque sera amplifiée à la Section 2.2 mais notons déjà que les hypothèses (H5) et
(H6) sont compatibles avec les hypothèses (H7) et (H8) pour autant que 0 < a ≤ b.
Dès maintenant et dans tout le chapitre, nous notons H l’espace de Sobolev H1(RN), H∗sont
dual, ?·? sa norme usuelle et ?·,·? le produit scalaire correspondant. Les changements de variables
mentionnés dans l’introduction de ce chapitre sont définis de la façon suivante.
37
Page 48
CHAPITRE 2. BIFURCATION
Pour l’étude de (Eλ) au voisinage de λ = 0, soit l’opérateur T0(µ) : H → H défini par
T0(µ)v(x) = µ
2−b
p−1v(µx)
pour µ > 0 et v ∈ H.
(2.6)
Il n’est pas difficile de montrer que T0∈ C((0,∞),L(H,H)) et que T0(µ) est inversible pour tout
µ > 0. D’autre part, si u,v ∈ H sont tels que u = T0(µ)v, alors
|u|2
L2 = µβ|v|2
L2,
|∇u|2
L2 = µβ+2|∇v|2
L2
et
|u|L∞ = µ
2−b
p−1|v|L∞,
(2.7)
où
β =4 − 2b − N(p − 1)
p − 1
.
Posant alors λ = µ2, µ > 0, u = T0(µ)v et y = µx ∈ RN, l’équation (Eλ) pour λ > 0 devient
∆v − v + µ−bV (y/µ)|v|p−1v = 0.
Sous les hypothèses (H0) et (H5), nous avons que µ−bV (y/µ) → B|y|−blorsque µ → 0, pour tout
y ?= 0. Il est donc naturel de considérer l’équation limite
∆v − v + B|y|−b|v|p−1v = 0.
(?Eµ)
(?E0)
Concernant l’étude de (Eλ) au voisinage de λ = +∞, nous définissons de façon analogue un
opérateur T∞(τ) : H → H par
T∞(τ)v(x) = τ−2−a
p−1v(τ−1x)
pour τ > 0 et v ∈ H.
(2.8)
On montre également que T∞∈ C((0,∞),L(H,H)) et que T∞(τ) est inversible pour tout τ > 0.
De plus, si u,v ∈ H vérifient u = T∞(τ)v, on a
|u|2
L2 = τ−α|v|2
L2,
|∇u|2
L2 = τ−α−2|∇v|2
L2
et
|u|L∞ = τ−2−a
p−1|v|L∞,
(2.9)
où
α =4 − 2a − N(p − 1)
p − 1
.
Avec λ = τ−2, τ > 0, u = T∞(τ)v et y = τ−1x ∈ RN, l’équation (Eλ) pour λ > 0 devient
∆v − v + τaV (τy)|v|p−1v = 0.
Sous les hypothèses (H0) et (H7), on a τaV (τy) → A|y|−alorsque τ → 0, pour tout y ?= 0. Nous
sommes donc amenés à considérer l’équation
(E’τ)
∆v − v + A|y|−a|v|p−1v = 0.
(E’0)
Afin de démontrer l’existence d’une branche de solutions de (Eλ) au voisinage de λ = 0,
respectivement au voisinage de λ = +∞, nous allons travailler sur le problème auxiliaire (?Eµ) pour
des analogies importantes, nous les traitons à la Section 2.1.1 dans une approche unifiée.
µ ≥ 0, respectivement sur le problème (E’τ) pour τ ≥ 0. Puisque ces deux problèmes présentent
38
Page 49
2.1. THÉORIE LOCALE
2.1.1Étude des problèmes auxiliaires
Nous nous proposons de prouver dans cette section l’existence dans R × H d’une branche de
solutions de l’équation auxiliaire
∆u − u + z(s,x)|x|−k|u|p−1u = 0,
N−2et z : R × (RN\ {0}) → R est une fonction pour laquelle
interviendront les hypothèses suivantes.
(Ps)
où k ∈ (0,2), 1 < p < 1 +4−2k
(z1) Il existe K > 0 tel que z(·,x) ∈ C(R) et z(0,x) = K pour tout x ?= 0.
(z2) Il existe M1> 0 tel que z(s,·) ∈ L∞(RN) avec |z(s,·)|L∞ ≤ M1pour tout s ∈ R.
(z3) z(·,x) ∈ C1(0,∞) pour tout x ?= 0 et il existe M2 > 0 tel que ∂sz(s,·) ∈ L∞(RN) avec
|∂sz(s,·)|L∞ ≤ M2/s pour tout s ∈ (0,∞).
Nous définissons à présent une fonction non-linéaire G : R × H → H∗par
G(s,u) = z(s,x)|x|−k|u|p−1u.
Il suit des résultats de l’Annexe B que la fonction G est bien définie et que, pour tout s ∈ R,
G(s,·) : H → H∗est différentiable avec
DuG(s,u)v = pz(s,x)|x|−k|u|p−1v
En outre, la fonction G jouit des propriétés suivantes.
(2.10)
pour tout u,v ∈ H.
(2.11)
Lemme 2.1.1 Soit k ∈ (0,2), 1 < p < 1 +4−2k
vérifiées.
(i) G ∈ C(R × H,H∗).
(ii) DuG ∈ C(R × H,L(H,H∗)).
(iii) Si, en outre, (z3) est vérifiée, alors G ∈ C1((0,∞) × H,H∗) avec
DsG(s,u) = ∂sz(s,x)|x|−k|u|p−1u
Démonstration. (i) Fixons (s,u) ∈ R × H et considérons (h,v) ∈ R × H comme variable. Nous
avons alors
N−2et supposons que les hypothèses (z1) et (z2) sont
pour tout (s,u) ∈ (0,∞) × H.
(2.12)
?G(s,u) − G(h,v)?H∗ ≤ ?G(s,u) − G(h,u)?H∗ + ?G(h,u) − G(h,v)?H∗,
où
G(h,u) − G(h,v) =
?1
0
d
dtG(h,tu + (1 − t)v)dt =
?1
0
DuG(h,tu + (1 − t)v)(u − v)dt
et donc
?G(h,u) − G(h,v)?H∗ ≤
?1
0
?DuG(h,tu + (1 − t)v)?L(H,H∗)dt?u − v?
?1
≤ D|z(h,·)|L∞
0
?tu + (1 − t)v?p−1dt?u − v?
39
Page 50
CHAPITRE 2. BIFURCATION
par le Lemme B.1(ii). Notez que la constante D > 0 est indépendante de h,u et v et que
|z(h,·)|L∞ ≤ M1 pour tout h ∈ R par l’hypothèse (z2). Si ?u − v? ≤ 1, nous avons que
?tu + (1 − t)v)? ≤ ?u? + 1 pour tout t ∈ [0,1], d’où
?G(h,u) − G(h,v)?H∗ ≤ DM1(?u? + 1)p−1?u − v?
pour tout h ∈ R et ?u − v? ≤ 1. Étant donné ε > 0, il existe donc δ > 0 tel que
?G(h,u) − G(h,v)?H∗ < ε
D’autre part, pour tout ϕ ∈ H, nous avons
?
Par conséquent, posant h = s + r et wr= z(s,·) − z(s + r,·), il vient
pour tout h ∈ R,
si ?u − v? < δ.
?G(s,u) − G(h,u),ϕ?H∗×H=
RN{z(s,x) − z(h,x)}|x|−k|u|p−1uϕdx.
?G(s,u) − G(s + r,u)?H∗ ≤
sup
ϕ∈H\{0}
?
RN|wr||x|−k|u|p|ϕ|dx
?ϕ?
.
Or |wr|L∞ ≤ 2M1et wr(x) → 0 lorsque r → 0 pour tout x ?= 0 par les hypothèses (z1) et (z2).
Étant donné ε > 0, le Lemme A.1(ii) implique alors qu’il existe δ1> 0 tel que
?G(s,u) − G(s + r,u)?H∗ < ε
si |r| < δ1.
Ces inégalités montrent la continuité de G au point (s,u).
(ii) Suivant les notations de l’Annexe B, posons
Bs(u)v = z(s,x)|x|−k|u|p−1v
pour tout s ∈ R, u,v ∈ H.
Fixons à nouveau (s,u) ∈ R × H et prenons (h,v) ∈ R × H comme variable. Nous avons
?DuG(s,u) − DuG(h,v)?L(H,H∗)
≤ ?DuG(s,u) − DuG(h,u)?L(H,H∗)+ ?DuG(h,u) − DuG(h,v)?L(H,H∗)
= p{?Bs(u) − Bh(u)?L(H,H∗)+ ?Bh(u) − Bh(v)?L(H,H∗)}.
Puisque |z(h,·)|L∞ ≤ M1pour tout h ∈ R, la preuve du Lemme B.1(ii) implique (c.f. (B.2)) que
les fonctions {Bh: H → L(H,H∗)}h∈Rsont équicontinues au point u et, par conséquent, pour
tout ε > 0, il existe δ > 0 tel que
?Bh(u) − Bh(v)?L(H,H∗)< ε
pour tout h ∈ R,
si ?u − v? < δ.
D’autre part,
?Bs(u) − Bh(u)?L(H,H∗)≤
sup
ϕ,ξ∈H\{0}
?
RN|wr||x|−k|u|p−1|ϕ||ξ|dx
?ϕ??ξ?
où h = s + r et wrest comme dans la partie (i). Par le Lemme A.1(ii), nous avons alors
lim
r→0?Bs(u) − Bs+r(u)?L(H,H∗)= 0,
ce qui prouve la continuité de DuG au point (s,u).
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