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Formas semidefinidas positivas e somas de

quadrados

Carla Fidalgo

Instituto Superior de Engenharia de Coimbra

Rua Pedro Nunes

3030-199 Coimbra, Portugal

e-mail: cfidalgo@isec.pt

Resumo: Usando a teoria das agiformas de Reznick obtêm-se condições

suficientes, fáceis de testar, para uma forma ser soma de quadrados, uma

das quais é linear nos coeficientes do polinómio, tal como as de Lasserre,

mas obtida de modo completamente diferente.

Abstract Using the Reznick’s theory of agiformas one obtains sufficient

conditions, easy to test, for a form to be sum of squares, one of which is

linear in the coefficients of the polynomial, such as those of Lasserre, but

made quite differently.

palavras-chave: somas de quadrados; semidefinipositividade.

keywords: sums of squares; positive semidefinitness.

1 Introdução

A questão da representação de polinómios homogéneos (formas) semide-

finidos positivos (sdp)(i.e., não negativos para todas as concretizações das

variáveis) como soma de quadrados (sdq) tem uma longa história, que co-

meça com a tese de doutoramento de Minkowski, onde era afirmado ser

pouco provável que toda a forma sdp positiva fosse sdq de formas. Contudo

os primeiros exemplos explícitos de formas que sendo sdp não são sdq foram

dados por Motzkin, em 1967, e pouco depois por Robinson. Com o virar do

milénio o interesse nesta matéria aumentou consideravelmente, em boa parte

devido ao importante papel da optimização. Se tivermos em consideração

que Blekherman mostrou recentemente que para um dado grau a probabili-

dade de uma forma sdp ser sdq tende para zero à medida que o número de

variáveis aumenta, percebemos o interesse de encontrar uma classe infinita

de formas para as quais ser sdp é condição suficiente para ser sdq.

É bem conhecido que no que diz respeito a semidefinipositividade e a

soma de quadrados é indiferente trabalhar com polinómios ou formas

Lema. Seja P(x1,...,xn) um polinómio de grau m e Ph(x1,...,xn,xn+1)

a sua homogeneização relativamente a xn+1. Então

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Formas semidefinidas positivas e somas de quadrados

i. P é semidefinido positivo se e só se Phfor semidefinido positivo.

ii. P é soma de quadrados se e só se Phfor soma de quadrados.

Em [1] Reznick mostra que as formas F(a,x) = a1x2d

2dxa1

como somas de, quando muito, 3n − 4 quadrados de polinómios.

Usamos um dos resultados de Reznick para as agiformas de Hurwitz, para

mostrar que formas diagonal menos cauda (dmc) semidefinidas positivas são

soma de quadrados.

1+ ··· + anx2d

n−

1···xan

n, com aiinteiros não negativos e de soma 2d, podem ser escritas

2 Formas diagonal menos cauda sdp são sdq

A representação de um polinómio homogéneo como uma soma P =

P1+ ··· + Pk de formas não-nulas Pi, tais que para todos os

j ≤ k,

var(Pi) ∩ var(Pj) = ∅ diz-se uma decomposição de P. Se uma tal

decomposição obrigar a que k = 1, P é indecomponível. Uma decomposição

diz-se completa se os Piforem indecomponíveis.

Chamamos diagonal menos cauda, dmc, às formas

F(x) =?n

onde I é o conjunto de n−uplos inteiros não negativos com soma 2d e pelo

menos duas entradas não nulas.

O lema seguinte mostra-nos que podemos reduzir o estudo ao estudo das

formas indecomponíveis.

Lema 2.1. a. Se F = D−T for uma forma dmc sdp, então var(T) ⊆ var(D).

b. Se F = F1+ F2+ ··· + Fkfor uma decomposição de F, então

i. F é dmc sse todo o Fifor dmc;

ii. F é sdp sse todo o Fifor sdp.

Dizemos que uma forma dmc é elementar se a sua cauda consiste num

único termo,

E(x) = b1x2d

Repare-se que estas formas são generalizações das formas de Hurwitz

(agiformas de Reznick) F(a,x) = a1x2d

teiros não negativos e de soma 2d), que são conhecidas por serem soma de

quadrados. De facto os coeficientes da parte diagonal não são necessaria-

mente os expoentes dos termos da cauda e os coeficientes da cauda não são

necessariamente iguais à soma dos coeficientes diagonais.

Teorema 2.2.

Sejam b1,...,bn ∈ R≥0, d ∈ Z≥1, µ ∈ R e E(x) =

b1x2d

n

uma forma de grau 2d. Definindo µ0=

n

?

i = 1

ai?= 0

1 ≤ i <

i=1bix2d

i−?

i∈Iaixi,

com bi,ai≥ 0,

1+ ··· + bnx2d

n− µxa1

1···xan

n.

1+ ··· + anx2d

n− 2dxa1

1···xan

n (aiin-

1+ ··· + bnx2d

?bi

n− µxa1

?ai/2d

1···xan

2d

ai

, são equivalentes as seguintes condições:

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i. E é sdp.

ii. |µ| ≤ µ0

iii. E é sdq.

Este teorema é uma versão bastante refinada da desigualdade aritmética-

geométrica, α1x1+ ··· + αnxn− xα1

0 com

?n

são iguais à potências da cauda e o seu coeficiente não é necessariamente

igual à soma dos coeficientes da parte diagonal.

A ideia para provar o resultado principal, relativo à representabilidade de

formas dmc sdp F(x), consiste em determinar o respectivo mínimo e escrever

a forma como soma de uma forma diagonal com formas E(x) que têm o

mesmo mínimo. Para o conseguirmos usamos os dois resultados seguintes,

dos quais o segundo nos mostra como construir formas dmc elementares sdp

com uma cauda e um zero desejados.

Recorde-se que o (n − 1)-simplex é ∆n−1= {x ∈ Rn

seu interior (relativo) é int(∆n−1) = {x ∈ ∆n−1: ∀ixi> 0}.

Lema 2.3. Seja F uma forma sdp dmc indecomponível de dimensão n ≥ 2.

Então existe um mínimo local de F|∆n−1em int(∆n−1).

ou ( todos os aisão pares e µ < −µ0).

1···xαn

n

≥ 0, para todos os αi,xi ≥

i=1αi = 1. Repare-se que os coeficientes da parte diagonal não

≥0:?

ixi= 1} e o

Proposição 2.4. Seja u ∈ int(∆n−1), a1,...,an∈ Z≥0,

n

?

i=1

ai= 2d ≥ 2, e

µ > 0. Definam-se bi, i = 1,...,n e a forma E por

µ

2daiua1

u2d

i

estão bem definidos. Se E ?= 0 então E é uma forma dmc sdp indecomponível

e tem um zero em u. Se dim(E) = n, u é o único zero em ∆n−1.

O teorema seguinte constitui um dos dois resultados mais importantes

deste trabalho

Teorema 2.5 Para toda a forma dmc indecomponível F, de dimensão n,

são equivalentes as seguintes condições:

i. F é sdp.

ii. F tem um mínimo local u no int(∆n−1) tal que F(u) ≥ 0.

iii. F tem um único mínimo local u no int(∆n−1) tal que F(u) ≥ 0.

iv. F é soma de formas dmc sdp elementares indecomponíveis

mais uma forma diagonal sdp.

v. F é uma soma de quadrados.

Em particular toda a forma dmc sdp é uma soma de quadrados.

Repare-se que este resultado permite-nos estudar a semidefinipositivi-

dade de uma forma dmc usando processos de minimização clássicos. As

provas dos resultados apresentados são construtivas, pelo que para decidir se

bi =

1···uan

n

e E(x) =

n

?

i=1

bix2d

i

− µxa1

1···xan

n. Então os bi

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uma dada forma dmc F(x) pode ser escrita como sdq, e em caso afirmativo,

encontrar uma representação explícita pode ser feito através do algoritmo:

1. Escreva a decomposição completa de F, F = F1+···+Fkem formas

dmc indecomponíveis Fi;

2. Determine para cada uma das formas indecomponíveis Fi, o único

mínimo local uino interior do simplex;

3. Se existir um i tal que Fi(ui) < 0, então pare: Fi, e consequentemente

F, não pode ser sdq;

4. Caso contrário, para cada termo da cauda de Fiuse a proposição 2.4

para encontrar uma forma dmc sdp elementar indecomponível que tenha

este termo na cauda e que se anule em ui;

5. Escreva cada um dos Fi como soma de formas dmc não-diagonais

elementares mais uma forma diagonal.

6. Escreva cada uma das formas dmc não-diagonais elementares obtidas

no passo 5 como soma de quadrados de binómios.

7. Somando as representações como sdq de todos os Fino passo 6 e as

respectivas formas diagonais do passo 5 obtemos uma representação de F

como soma de quadrados de binómios.

Agradecimentos. Os meus sinceros agradecimentos ao Professor Alexander Ko-

vačec pelas numerosas e valiosas conversas que tivemos, os seus conselhos sempre

sensatos, a sua total disponibilidade e o ter partilhado comigo a sua enorme cul-

tura matemática. Agradeço ainda ao M. Marshall e ao M. Ghasemi, o interesse

manifestado por [2], do qual resultaram dois artigos [4, 5].

Referências

[1] B. Reznick, A quantitative version of Hurwitz’ theorem on the arithmetic-

geometric inequality, J. reine angew. Math. 377, (1987), pp. 108-112.

[2] C. Fidalgo e A. Kovačec, Positive semidefinite diagonal minus tail forms are

sums of squares, Math. Zeit., Springer, Vol 269, Issue 3, (2011), pp. 629-645.

[3] G. Blekherman, There are significantly more nonnegative polynomials than

sums of squares, Israel J. Math. 153, (2006), pp. 355-380.

[4] M. Ghasemi e M. Marshall, Lower bounds for a polynomial in terms of its

coefficients. Arch. Math. 95, No. 4, (2010), pp. 343-353.

[5] M. Ghasemi e M. Marshall, Lower bounds for polynomials using geometric

programming, SIAM J. Optim. 22, No. 2, (2012), pp. 460-473.

[6] J. B. Lasserre, Sufficient conditions for a polynomial to be a sum of squares,

Arch. Math. 89, (2007), pp. 390-398.

[7] T. S. Motzkin,The arithmetic-geometric inequality, (Inequalities Oved Shisha,

Ed.), Proc. of Sympos. at Wright-Patterson AFB, August 19-27, (1965), pp.

205-224.

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