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Formas semidefinidas positivas e somas de
quadrados
Carla Fidalgo
Instituto Superior de Engenharia de Coimbra
Rua Pedro Nunes
3030-199 Coimbra, Portugal
e-mail: cfidalgo@isec.pt
Resumo: Usando a teoria das agiformas de Reznick obtêm-se condições
suficientes, fáceis de testar, para uma forma ser soma de quadrados, uma
das quais é linear nos coeficientes do polinómio, tal como as de Lasserre,
mas obtida de modo completamente diferente.
Abstract Using the Reznick’s theory of agiformas one obtains sufficient
conditions, easy to test, for a form to be sum of squares, one of which is
linear in the coefficients of the polynomial, such as those of Lasserre, but
made quite differently.
palavras-chave: somas de quadrados; semidefinipositividade.
keywords: sums of squares; positive semidefinitness.
1 Introdução
A questão da representação de polinómios homogéneos (formas) semide-
finidos positivos (sdp)(i.e., não negativos para todas as concretizações das
variáveis) como soma de quadrados (sdq) tem uma longa história, que co-
meça com a tese de doutoramento de Minkowski, onde era afirmado ser
pouco provável que toda a forma sdp positiva fosse sdq de formas. Contudo
os primeiros exemplos explícitos de formas que sendo sdp não são sdq foram
dados por Motzkin, em 1967, e pouco depois por Robinson. Com o virar do
milénio o interesse nesta matéria aumentou consideravelmente, em boa parte
devido ao importante papel da optimização. Se tivermos em consideração
que Blekherman mostrou recentemente que para um dado grau a probabili-
dade de uma forma sdp ser sdq tende para zero à medida que o número de
variáveis aumenta, percebemos o interesse de encontrar uma classe infinita
de formas para as quais ser sdp é condição suficiente para ser sdq.
É bem conhecido que no que diz respeito a semidefinipositividade e a
soma de quadrados é indiferente trabalhar com polinómios ou formas
Lema. Seja P(x1,...,xn) um polinómio de grau m e Ph(x1,...,xn,xn+1)
a sua homogeneização relativamente a xn+1. Então
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Formas semidefinidas positivas e somas de quadrados
i. P é semidefinido positivo se e só se Phfor semidefinido positivo.
ii. P é soma de quadrados se e só se Phfor soma de quadrados.
Em [1] Reznick mostra que as formas F(a,x) = a1x2d
2dxa1
como somas de, quando muito, 3n − 4 quadrados de polinómios.
Usamos um dos resultados de Reznick para as agiformas de Hurwitz, para
mostrar que formas diagonal menos cauda (dmc) semidefinidas positivas são
soma de quadrados.
1+ ··· + anx2d
n−
1···xan
n, com aiinteiros não negativos e de soma 2d, podem ser escritas
2 Formas diagonal menos cauda sdp são sdq
A representação de um polinómio homogéneo como uma soma P =
P1+ ··· + Pk de formas não-nulas Pi, tais que para todos os
j ≤ k,
var(Pi) ∩ var(Pj) = ∅ diz-se uma decomposição de P. Se uma tal
decomposição obrigar a que k = 1, P é indecomponível. Uma decomposição
diz-se completa se os Piforem indecomponíveis.
Chamamos diagonal menos cauda, dmc, às formas
F(x) =?n
onde I é o conjunto de n−uplos inteiros não negativos com soma 2d e pelo
menos duas entradas não nulas.
O lema seguinte mostra-nos que podemos reduzir o estudo ao estudo das
formas indecomponíveis.
Lema 2.1. a. Se F = D−T for uma forma dmc sdp, então var(T) ⊆ var(D).
b. Se F = F1+ F2+ ··· + Fkfor uma decomposição de F, então
i. F é dmc sse todo o Fifor dmc;
ii. F é sdp sse todo o Fifor sdp.
Dizemos que uma forma dmc é elementar se a sua cauda consiste num
único termo,
E(x) = b1x2d
Repare-se que estas formas são generalizações das formas de Hurwitz
(agiformas de Reznick) F(a,x) = a1x2d
teiros não negativos e de soma 2d), que são conhecidas por serem soma de
quadrados. De facto os coeficientes da parte diagonal não são necessaria-
mente os expoentes dos termos da cauda e os coeficientes da cauda não são
necessariamente iguais à soma dos coeficientes diagonais.
Teorema 2.2.
Sejam b1,...,bn ∈ R≥0, d ∈ Z≥1, µ ∈ R e E(x) =
b1x2d
n
uma forma de grau 2d. Definindo µ0=
n
?
i = 1
ai?= 0
1 ≤ i <
i=1bix2d
i−?
i∈Iaixi,
com bi,ai≥ 0,
1+ ··· + bnx2d
n− µxa1
1···xan
n.
1+ ··· + anx2d
n− 2dxa1
1···xan
n (aiin-
1+ ··· + bnx2d
?bi
n− µxa1
?ai/2d
1···xan
2d
ai
, são equivalentes as seguintes condições:
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i. E é sdp.
ii. |µ| ≤ µ0
iii. E é sdq.
Este teorema é uma versão bastante refinada da desigualdade aritmética-
geométrica, α1x1+ ··· + αnxn− xα1
0 com
?n
são iguais à potências da cauda e o seu coeficiente não é necessariamente
igual à soma dos coeficientes da parte diagonal.
A ideia para provar o resultado principal, relativo à representabilidade de
formas dmc sdp F(x), consiste em determinar o respectivo mínimo e escrever
a forma como soma de uma forma diagonal com formas E(x) que têm o
mesmo mínimo. Para o conseguirmos usamos os dois resultados seguintes,
dos quais o segundo nos mostra como construir formas dmc elementares sdp
com uma cauda e um zero desejados.
Recorde-se que o (n − 1)-simplex é ∆n−1= {x ∈ Rn
seu interior (relativo) é int(∆n−1) = {x ∈ ∆n−1: ∀ixi> 0}.
Lema 2.3. Seja F uma forma sdp dmc indecomponível de dimensão n ≥ 2.
Então existe um mínimo local de F|∆n−1em int(∆n−1).
ou ( todos os aisão pares e µ < −µ0).
1···xαn
n
≥ 0, para todos os αi,xi ≥
i=1αi = 1. Repare-se que os coeficientes da parte diagonal não
≥0:?
ixi= 1} e o
Proposição 2.4. Seja u ∈ int(∆n−1), a1,...,an∈ Z≥0,
n
?
i=1
ai= 2d ≥ 2, e
µ > 0. Definam-se bi, i = 1,...,n e a forma E por
µ
2daiua1
u2d
i
estão bem definidos. Se E ?= 0 então E é uma forma dmc sdp indecomponível
e tem um zero em u. Se dim(E) = n, u é o único zero em ∆n−1.
O teorema seguinte constitui um dos dois resultados mais importantes
deste trabalho
Teorema 2.5 Para toda a forma dmc indecomponível F, de dimensão n,
são equivalentes as seguintes condições:
i. F é sdp.
ii. F tem um mínimo local u no int(∆n−1) tal que F(u) ≥ 0.
iii. F tem um único mínimo local u no int(∆n−1) tal que F(u) ≥ 0.
iv. F é soma de formas dmc sdp elementares indecomponíveis
mais uma forma diagonal sdp.
v. F é uma soma de quadrados.
Em particular toda a forma dmc sdp é uma soma de quadrados.
Repare-se que este resultado permite-nos estudar a semidefinipositivi-
dade de uma forma dmc usando processos de minimização clássicos. As
provas dos resultados apresentados são construtivas, pelo que para decidir se
bi =
1···uan
n
e E(x) =
n
?
i=1
bix2d
i
− µxa1
1···xan
n. Então os bi
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uma dada forma dmc F(x) pode ser escrita como sdq, e em caso afirmativo,
encontrar uma representação explícita pode ser feito através do algoritmo:
1. Escreva a decomposição completa de F, F = F1+···+Fkem formas
dmc indecomponíveis Fi;
2. Determine para cada uma das formas indecomponíveis Fi, o único
mínimo local uino interior do simplex;
3. Se existir um i tal que Fi(ui) < 0, então pare: Fi, e consequentemente
F, não pode ser sdq;
4. Caso contrário, para cada termo da cauda de Fiuse a proposição 2.4
para encontrar uma forma dmc sdp elementar indecomponível que tenha
este termo na cauda e que se anule em ui;
5. Escreva cada um dos Fi como soma de formas dmc não-diagonais
elementares mais uma forma diagonal.
6. Escreva cada uma das formas dmc não-diagonais elementares obtidas
no passo 5 como soma de quadrados de binómios.
7. Somando as representações como sdq de todos os Fino passo 6 e as
respectivas formas diagonais do passo 5 obtemos uma representação de F
como soma de quadrados de binómios.
Agradecimentos. Os meus sinceros agradecimentos ao Professor Alexander Ko-
vačec pelas numerosas e valiosas conversas que tivemos, os seus conselhos sempre
sensatos, a sua total disponibilidade e o ter partilhado comigo a sua enorme cul-
tura matemática. Agradeço ainda ao M. Marshall e ao M. Ghasemi, o interesse
manifestado por [2], do qual resultaram dois artigos [4, 5].
Referências
[1] B. Reznick, A quantitative version of Hurwitz’ theorem on the arithmetic-
geometric inequality, J. reine angew. Math. 377, (1987), pp. 108-112.
[2] C. Fidalgo e A. Kovačec, Positive semidefinite diagonal minus tail forms are
sums of squares, Math. Zeit., Springer, Vol 269, Issue 3, (2011), pp. 629-645.
[3] G. Blekherman, There are significantly more nonnegative polynomials than
sums of squares, Israel J. Math. 153, (2006), pp. 355-380.
[4] M. Ghasemi e M. Marshall, Lower bounds for a polynomial in terms of its
coefficients. Arch. Math. 95, No. 4, (2010), pp. 343-353.
[5] M. Ghasemi e M. Marshall, Lower bounds for polynomials using geometric
programming, SIAM J. Optim. 22, No. 2, (2012), pp. 460-473.
[6] J. B. Lasserre, Sufficient conditions for a polynomial to be a sum of squares,
Arch. Math. 89, (2007), pp. 390-398.
[7] T. S. Motzkin,The arithmetic-geometric inequality, (Inequalities Oved Shisha,
Ed.), Proc. of Sympos. at Wright-Patterson AFB, August 19-27, (1965), pp.
205-224.
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