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Die Riemannsche Vermutung

DOI: 10.1007/978-3-540-77889-9_26

ABSTRACT In dem hier vorzustellenden Millenniumsproblem handelt es sich um eine zahlentheoretische Fragestellung aus dem 19. Jahrhundert,
die seit ein paar Jahren auch überraschende Zusammenhänge zu anderen Gebieten der Mathematik und der theoretischen Physik
erkennen lässt. Die Problemstellung hat ihren Ursprung bei der Frage nach der Dichte der Primzahlen im Bereich der natürlichen
Zahlen. Um den Leser in den Problemkreis einzuführen, wollen wir einfach beginnen. Wir bezeichnen mit ℕ die Menge der natürlichen
Zahlen, d.h.

$
\mathbb{N} = \{ 0,1,2,3, \ldots \} .
$
\mathbb{N} = \{ 0,1,2,3, \ldots \} .

Mit ℙ bezeichnen wir die Menge der Primzahlen, d.h. die Menge aller natürlichen Zahlen grösser als Eins, die nur durch sich
selbst und durch Eins teilbar sind, also

$
\mathbb{P} = \{ 2,3,5,7,11,13, \ldots ,229, \ldots \} .
$
\mathbb{P} = \{ 2,3,5,7,11,13, \ldots ,229, \ldots \} .

Wir erinnern nun an zwei Tatsachen, die vermutlich den meisten Lesern wohl bekannt sind.

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    ABSTRACT: . In this article we describe what a cohomology theory related to zeta and L-functions for algebraic schemes over the integers should look like. We then point out some striking analogies with the leafwise reduced cohomology of certain foliated dynamical systems. 1991 Mathematics Subject Classification: Primary 14A20; Secondary 14G10, 14F99, 58F18, 58F20. Keywords and Phrases: L-functions of motives, leafwise cohomology, dynamical systems, foliations. 1 Introduction For the arithmetic study of varieties over finite fields powerful cohomological methods are available which in particular shed much light on the nature of the corresponding zeta functions. These investigations culminated in Deligne's proof of an analogue of the Riemann conjecture for such zeta functions. This had been the hardest part of the Weil conjectures. For algebraic schemes over Spec Z and in particular for the Riemann zeta function no cohomology theory has yet been developed that could serve similar purposes. For a ...
    12/1998;
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    ABSTRACT: We give a spectral interpretation of the critical zeros of the Riemann zeta function as an absorption spectrum, while eventual noncritical zeros appear as resonances. We give a geometric interpretation of the explicit formulas of number theory as a trace formula on the noncommutative space of Adele classes. This reduces the Riemann hypothesis to the validity of the trace formula and eliminates the parameter d \delta of our previous approach.
    Selecta Mathematica 11/1998; 5(1):29-106. · 0.72 Impact Factor

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