Chaos stabilization via hybrid control

Abstract

In this paper we propose a new control method which stabilizes chaotic systems in the neighborhood of unstable periodic orbits (UPO) embedded in a strange attractor. It is used for that a piecewise continuous signal generated by means of two controllers, one analogic and other digital. The hybrid control method is synthesized in an algorithm which makes easy its application. Numerical simulations with chaotic and hyperchaotic systems show satisfactory results, achieving system stabilization in the proximity of UPO's.

Full text

Page 1

1Abstract— In this paper we propose a new control method
which stabilizes chaotic systems in the neighborhood of unstable
periodic orbits (UPO) embedded in a strange attractor. It is used
for that a piecewise continuous signal generated by means of two
controllers, one analogic and other digital. The hybrid control
method is synthesized in an algorithm which makes easy its
application. Numerical simulations
hyperchaotic systems show satisfactory results, achieving system
stabilization in the proximity of UPO`s.

Keywords— Analogical Controller,
Hypersurface, Digital Controller, Event Condition, Hybrid
Controller, Hyperchaos, Piecewise Continuous Control Signal,
Unstable Periodic Orbit.
with chaotic and
Chaos, Control
I. INTRODUCCIÓN
A ESTABILIZACIÓN de órbitas periódicas inestables
(Unstable Periodic Orbits, UPO’s) embebidas en
atractores extraños, ha llamado mucho la atención desde hace
casi dos décadas y se ha realizado una investigación
multidisciplinar muy activa. El primer control del caos,
conocido como el método OGY, fue propuesto por Ott,
Grebogi y Yorke en [1] y estabiliza los sistemas caóticos en
torno a UPOs, conocidas a priori, mediante la utilización de
pequeñas perturbaciones discontinuas de un parámetro.
Posteriormente Pyragas en [2], [3] desarrolla un método de
control continuo basado en auto-sincronización empleando
retroalimentación del vector de estado y donde la señal de
control se determina proporcionalmente a la diferencia entre el
estado retrasado un tiempo T igual al período de la UPO a
estabilizar y el estado actual. Este método de control necesita
estimar el período de la órbita a estabilizar. Otras técnicas
relacionadas con el control por realimentación retardada
(Delayed Feedback Control, DFC) pueden verse en [4]-[6].
En [7]-[9], Matías y Güémez presentan un método para la
estabilización de sistemas caóticos mediante la aplicación de
pulsos proporcionales a las variables del sistema. González en
[10] propone un método de control del caos para sistemas
dinámicos continuos, utilizando técnicas de integración por
tramos y una ley discreta de control impulsivo. Este método
de control, está basado en el cambio instantáneo del estado
del sistema en el momento de cruzar la trayectoria del mismo
por una determinada sección de Poincaré, lográndose con ello
estabilizar el sistema caótico en torno a una UPO. Dicha
técnica quedaría enmarcada en el problema de control por
impulsos (Impulsive Control) [11]-[13]. Ushio y Yamamoto
proponen en [14] un método de control del caos para sistemas


M. J. López, Universidad de Cádiz, Spain, manueljesus.lopez@uca.es
F. M. Verdulla, Universidad de Cádiz, Spain, francisco.verdulla@uca.es
1M. Prian, Universidad de Cádiz, Spain, manuel.prian@uca.es
en tiempo discreto, basado en predicción, para controlar
órbitas T-periódicas. En [15] Yu-Ping Tian y Xinghuo Yu
proponen un método de control llamado (Time Delayed
Impulsive Control) basado en la utilización de una ley de
control retroalimentado en tiempo discreto. Otros trabajos
relacionados con la estabilización del caos en UPOs, en ciclos
límite o bien en puntos de equilibrio, ofrecen una visión del
problema desde el punto de vista de la ingeniería de control y
pueden verse en [16]- [23].
En este artículo, se propone un nuevo método para la
estabilización de sistemas caóticos e hipercaóticos en la
vecindad de órbitas periódicas inestables, es decir en sombras
de UPOs, ya que la trayectoria del sistema controlado, se
acercará asintóticamente a una UPO conocida o no conocida a
priori, pero el ruido inherente a todo sistema físico, la hará
fluctuar en un pequeño entorno de la misma. La leyes de
control, serán generadas mediante el empleo de un controlador
hibrido analógico-digital. El resto del artículo queda
organizado como sigue: En la sección II se describe el método
de control para la estabilización de procesos caóticos en torno
de UPOs no conocidas a priori. En la sección III se presenta
un algoritmo que facilita el ajuste de los parámetros del
controlador hibrido. En la sección IV se modifica ligeramente
el controlador digital para que estabilice el sistema de control
en la vecindad de UPOs conocidas a priori. En la sección V se
muestran algunos resultados de simulación numérica del
sistema de control estabilizado en sombras de UPOs que son
desconocidas de antemano. En la sección VI se muestra un
ejemplo de los efectos del ruido de medida en el sistema de
control. Finalmente, en la sección VII se presentan las
conclusiones.
II. ESTABILIZACIÓN DEL CAOS EN UNA ÓRBITA
PERIÓDICA INESTABLE
Se considera un sistema dinámico no lineal n-dimensional
en tiempo continuo (planta), cuyas ecuaciones de estado son:

( )( ( ), ( )) ( ( ))tttt
==+
x G xu F x

( )t Bu

(1)
Con ( ) tU
∈
x
()
n
U ⊂ ℜ
, ( ) tuV
∈
()
p
V ⊂ ℜ
y U , V son
ℜ y
ℜ donde
vector de
respectivamente conjuntos abiertos en
( )[ ( ),( ),... ( )]T
tx t x t x t
=
x
( ) [ ( ),( ),...t u t u tu t
=
u
W → ℜ
G
bucle cerrado,
:U → ℜ
F
vector de campo en bucle abierto y B es una matriz de
np
12
n
es un estado,
12
( )]T
p
es el vector de entradas de
W ⊂ ℜ
es el vector de campo en
con
1
[ ,f
=
F
control,
:
n
()
n
n
2
,...]T
n
ff
es el
M. Prian, M. J. López, Member, IEEE and F. M. Verdulla
Chaos Stabilization
via Hybrid Control
L

Page 2

coeficientes constantes y dimensión (n x p). Se asume que el
vector de salida ( ) ty del sistema dinámico es accesible e igual
al vector de estado ( ) tx , y también, que la planta o proceso,
libre de control, presenta comportamiento caótico para unas
determinadas condiciones iniciales. Para estabilizar la planta,
en la vecindad de una UPO inherente al caos, es decir, en una
sombra de la misma, se utiliza un controlador hibrido
analógico-digital que genera
retroalimentado, una en tiempo continuo y otra en tiempo
discreto.

dos leyes de control
A. Definiciones
Se dan a continuación las definiciones necesarias para la
síntesis del método de control híbrido propuesto.
1) Hipersuperficie de Poincaré o de control
Sea la hipersuperficie de Poincaré, la cual será
denominada de control, dada por
( )
x
{
S Q → ℜ es una
( )0
≠
x
para todo
}
:0
p
Q S
Σ =∈=
x
,
donde Q es un conjunto abierto de
n
ℜ y :
función de clase
∈Σ
x
y que es transversal al campo vectorial G de (1) en
lazo cerrado, es decir,
( ( )),S
∇
x
, ( )
p
t ∈Σ
x x
.
2) Condiciones de evento
La hipersuperficie de control
estado de (1) en lazo cerrado en dos regiones, expresadas por
los siguientes conjuntos:
( )
:0 U S
+
 =∈>
xx
, donde
la trayectoria definida por el vector ( ) t
de estado en el sentido de
−
 hacia
ciertos instantes de evento,
=
x
, diremos que se ha cumplido una condición de
evento ascendente (CEA). Se denota la citada CEA, por
( ( ))0
j
Stx
( 1,2,...)j =
. De forma análoga se define la
condición de evento descendente (CED) y que viene
expresada por ( ( ))0
j
Stx
. El subíndice j se denomina de
impacto o de evento, por indicar el orden en las intersecciones
de la trayectoria del vector de estado
Σ .
3) Ley de control digital
Se considera la ley
( )( ) ( )
jjj
ttt
=−
vz B x
definida para los sucesivos impactos
de la trayectoria del vector de estado
Σ , siendo ( )
salida del filtro
( )( )( ()
jjj
ttt
−
=+−
z B xA z B x
( )
∈ℜ
v
, ( )
x
denota la variable cuantificada de tiempo
k
C ,
1k ≥ tal que
S
∇
p
( ( ), ( ))t
G x
0t
 ≠
u
para todo
p
 divide el espacio de
( )
x
{}
:0 U S
−
 =∈<
x
y
{}
n
p
−+

Σ
 ⊂ ℜ

x

. Cuando
, viaje por el espacio
 y se verifique en
(1,2,...)j =
+
j
tt
=
que
( ( ))t0
j
S
↑=
↓=
( ) tx
con la
hipersuperficie de control
p
de control digital
T
( ) t
j =
x
, con la
1,2,...)
hipersuperficie de control
p
jtz
tiempo
donde
(
la
en
( ))
j
t
discreto
( )
∈ℜ
1
TT
,
p
jtz
,
p
jt
jt
discreto del vector de estado de la planta en los instantes de
evento
j
tt
=
(1,2,...)j =
,
(z
filtro en el instante anterior al presente, tomando para
valor
0
( )tz que es la condición inicial en el origen de los
tiempos del mismo;
B es la matriz transpuesta de B y
(,,...,)
pp
diag aaa
=
A
es
parámetros constantes de dimensión (
4) Tiempos de vuelo
Los intervalos de tiempo
j =
son usualmente llamados tiempos de vuelo, y son
los tiempos transcurridos, entre dos impactos consecutivos de
la trayectoria del vector de estado ( ) t
Σ , en un sentido determinado.
5) Ley de control en tiempo continuo
Se considera la ley de control en tiempo continuo
( )( )tt
=
uKe
con ( ) ( )tt
= −
e Ke

donde ( ) tV
∈
e
y
(diag k
=
K
diagonal de parámetros constantes de dimensión (
dicha ley de control, se le imponen nuevas condiciones
iniciales en los instantes de evento retardados
(1,2,...) j =
, dadas por (
j
t
δ
+
e
función vectorial de conversión digital-analógica (D/A) donde
( )
v
es la ley de control en tiempo discreto y
intervalo de tiempo, denominado de retardo, que debe ser
mucho menor que el tiempo de vuelo, es decir
1
)
jt−
es el vector de salida del
1j = el
T
1122
una matriz diagonal de
) pxp .
jt Δ , dados por
1jjj
ttt
+
Δ=−

(1,2,...)
x
con la hipersuperficie
de control
p
y condición inicial
, ,...,)
pp
kk
0
( )t
e
,
1122
es una matriz
)pxp . A
jj
tt
δ=+

)( ( )) t
Q v
jj
=
, siendo Q una
jt
j δ un
jjt
=
δΔ

. Por
lo visto, la ley de control en tiempo continuo
viene dada, a partir del primer impacto de la trayectoria del
vector de estado ( ) t
x
con la hipersuperficie de control, por
δ=−−+
uKKQ v
intervalos de tiempo
jj
tt
δ
+ ≤ <
tanto es una función vectorial a trozos y continua en cada uno
de ellos, presentando una discontinuidad de salto finito en los
instantes de evento retardados
( )t ( )t
uKe

( )texp[(())] ( ( ))
jjj
ttt

+
definida
δ
+
(
para los
11jj
t
+
1,2,...)j =
y por
jj
tt
δ=+
(
KQ v
1,2,...)j =
siendo
la amplitud del salto aproximada igual a
( ( ))
jt .

B. Método de control híbrido
Se describe aquí el método de control hibrido para
estabilizar caos e hipercaos en torno de UPOs no conocidas a
priori. En el diagrama de bloques de la Fig. 1 se observan los
bloques del controlador analógico, controlador digital y planta
o proceso a controlar. Se ha optado, por incluir el detector de
condición de evento en el controlador analógico y no en el
digital, porque la máxima frecuencia de muestreo que permita
este último, limitaría la efectividad del método de control en
procesos caóticos muy rápidos.

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Figura 1. Diagrama de bloques del sistema de control hibrido.
Supóngase elegida una cualquiera de las dos condiciones
de evento posibles CEA o CED y que ésta se verifica en los
instantes de evento
j
tt
=
(1,2,...)j =
detector de condición de evento activa el convertidor
analógico-digital (A/D) para obtener el vector
vector será empleado por el controlador digital para calcular la
ley de control en tiempo discreto
subsección II-A-3. En los instantes de evento retardados
tt
δ=+
( 1,2,...)j =
estarán disponibles las condiciones
iniciales () ( ( ))
jjj
tt
δ
+=
e Q v
en el controlador analógico y
se generará la ley de control continua a trozos ( )
La ley de control en tiempo continuo
planta a través de su entrada de control, obteniéndose
( ) ( ( ))( )ttt
=+
x F xBKe

. El tiempo de retardo
la subsección II-A-5, es igual, al empleado por el controlador
digital en la síntesis de la condición inicial del controlador
analógico, más el tiempo necesario para la introducción en el
mismo, de dicha condición inicial. Este tiempo debe ser
jt
δΔ

para el correcto funcionamiento del sistema de
control.
La entrada de referencia SP, que se observa en la Fig. 1, es
un valor constante que se utiliza para dirigir el sistema hacia
una UPO conocida previamente, los cambios necesarios en el
controlador digital para lograrlo, se darán en la sección IV.
A continuación se describe formalmente el sistema de
control para la búsqueda de UPOs no conocidas a priori
mediante las siguientes expresiones:

( ) ( ( )) ( )ttt
=+
x F x Bu


Donde (2) representa la planta con la ley de control aplicada.

( ( ))0 ( ( ))0
jj
StóSt
==
xx
Donde (3) son las dos condiciones de evento posibles.

( ) ( )( ()
( )( ) ( )
jjj
ttt
=−
vz B x
Donde (4) es la ley de control en tiempo discreto.

( )
( ) ( )
()
( ) ( )
(1,2,...)j
=

Donde (5) es la ley de control en tiempo continuo con las
condiciones iniciales (CI) indicadas.
, en dichos instantes, el
( )
jt
x
, este
( )
jtv
definida en la
jj
( )tt
=
u Ke
.
( ) tu
es sumada a la
j δ , definido en
j
(2)
↑↓
, (1,2,...)j =

(3)
1
( ))
j
t
( 1,2,...)
TT
jjj
T
ttt
j
−



 
=+−
=
z B xA zB x

(4)
0
( ( ))t
Q v
jjj
t
t
tt
CI
tt
δ




= −
=
=+=
e
e
e

Ke
Keu

(5)

C. Estabilidad del sistema de control en lazo cerrado
Una UPO es una órbita periódica inestable, que es solución
del sistema de control en lazo abierto y que coexiste con el
atractor caótico del mismo. Si el sistema de control en lazo
cerrado tiene como órbita solución una UPO asintóticamente
estable, entonces, existe una cuenca de atracción desde la cual
la trayectoria del sistema se acercará a dicha orbita para unas
determinadas condiciones iniciales y por consiguiente, se
deberá cumplir que la ley de control en tiempo continuo
( )exp[(( ))] ( ( ))
jj
ttt
δ
=−−+
uKK Q v
intervalos
11
jjjj
ttt
δδ
++
+ ≤ <+
el subíndice de impacto j tienda a infinito. En los resultados
presentados en la subsección V se refleja este hecho y se
observa en las simulaciones, que la señal de control tiende a
desvanecerse a medida que el sistema de control se estabiliza.
El cálculo de los exponentes de Lyapunov [24] de dichos
sistemas controlados, es decir en bucle cerrado, dan como
resultado, tres exponentes negativos y uno cero para los
sistemas caóticos y cuatro exponentes negativos y uno cero
para el hipercaótico. En lo que sigue, con objeto de abreviar la
notación empleada, se hacen los siguientes cambios:
( )
j
=
xx
,
( )
j
=
zz
,
j
v
suponiéndose en todo momento que el subíndice de impactos
j toma los valores (1,2,...)j =
.

III. ALGORITMO DE CONTROL HÍBRIDO
El algoritmo se expone para el caso de control escalar,
( ) u t ∈ℜ y para estabilizar órbitas periódicas inestables,
desconocidas previamente, de periodo uno con respecto a la
hipersuperficie de control. En estas condiciones las matrices
diagonales de parámetros constantes K y A tienen un único
coeficiente, sean estos respectivamente
es una matriz de dimensión (nx1) con un único coeficiente
distinto de cero e igual a la unidad, sea este
{
1,2,...i
∈
se aplica al sistema de control por la entrada i -ésima.

A. Pasos del algoritmo
El algoritmo consta de los cinco pasos siguientes:
1) Elección de la hipersuperficie de control, condición de
evento y entrada de control
La condición necesaria que debe cumplir la hipersuperficie
de control para que el método de control funcione, es que la
misma, sea transversal a la trayectoria del vector de estado
( ) tx
del sistema de control en bucle cerrado. Para facilitar su
elección, se dan a continuación algunas recomendaciones que
suelen dar buenos resultados: Para procesos cuya no-
linealidad esté compuesta por tramos lineales, probar
inicialmente con una hipersuperficie de control construida con
uno de los hiperplanos de conmutación del sistema. Para
sistemas cuya no-linealidad sea diferenciable, probar con un
hiperplano formado con una de las componentes del vector de
j
t
, definida en los
, tienda a cero a medida que
jt
jt ( )
jt
=
v
y
()
jjj
t
δ
=+
ee

iik y
ii a . La matriz B
1
ib = ,
indicando el subíndice i ,
}
n
que el control escalar

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estado ( ) t
una combinación lineal del valor absoluto de la misma, en la
forma
0c
− =
donde el subíndice d puede ser igual o
distinto al i . También se pueden probar combinaciones
lineales de la derivada del vector de estado ( ) t
En general, la condición de evento más apropiada CEA o
CED será aquella que logre la estabilización del sistema en
una sombra de UPO con un valor del parámetro
pequeño. Una condición que parece ser suficiente, aunque no
necesaria, para la elección de la entrada a la cual aplicar el
control, es comprobar si el mapa de retorno
del sistema de control en bucle abierto, es filiforme en las
proximidades de un punto fijo, si esto ocurre, se comprobará
que con el control aplicado dicho mapa de retorno gira
alrededor del punto fijo al variar el parámetro
A .
2) Ajuste de los parámetros de control
Para el ajuste de los parámetros de control e iniciar la
búsqueda de las posibles UPOs, se recomienda seguir el
siguiente procedimiento: Fijar
por la izquierda y fijar un valor para
se estabiliza, incrementar el valor de
estabilizarse, incrementar
la convergencia hacia una UPO es muy lenta, decrementar
Para estabilizar otros tipos de UPOs quizás poco frecuentes en
los sistemas caóticos, fijar un valor de
la derecha y fijar un valor para
estabiliza, decrementar el valor de
estabiliza, pero la convergencia hacia la UPO es muy lenta,
incrementar el parámetro
presente que existe una cota superior para
sistema no se estabiliza. Experimentalmente se ha obtenido
para la cota superior el valor
ii
k
es el periodo de la órbita a estabilizar y
posibilidad para estabilizar algunos procesos caóticos, es
prefijar el parámetro
valor para
0
, a continuación, incrementar o
decrementar
posible.
3) Cálculo de las leyes de control
Si se cumple la condición de evento elegida CEA o CED
en los instantes de evento
tt
=
filtro en tiempo discreto:
()
i ji j iii jij
zx a zx
−
=+−

z obtenido en (6) calcular la ley de control en
tiempo discreto:
vzx
=−

x
cuya derivada no tenga entrada de control o bien
dx
x como en [18].
iik mas
i j
z frente a
( 1)
i j
z
+
ii a de la matriz
ii a en un valor próximo a uno
0
, si el sistema no
iik >
ii a , si sigue sin
iik . Si el sistema se estabiliza, pero
ii a .
ii a próximo a uno por
0
, si el sistema no se
iik >
ii a . Si el sistema se
ii a o incrementar
iik , pero teniendo
iik en la cual el
0
(1/ )ln
ii
a
τ
=Δ
, donde
0 τ
Δ

1
ii a > . Otra
ii a en el intervalo 0
1
ii a
<< y fijar un
iik <
iik hasta conseguir la estabilización, si ello fuera
j
, calcular la salida
i j
z del
( 1)
(6)
Con el valor
i j
i ji ji j
(7)
Dar en los instantes de evento retardados
jj
tt
δ
=+
las
condiciones iniciales
tiempo continuo siguiente:
( ) ( )
( ) ( )
iii i
u tk e t
=
4) Cumplimiento de la condición de evento
Si se cumple la condición de evento saltar al paso 3.
5) Reajustes de parámetros
Si la planta no se estabiliza, ir al paso 2 y reajustar los
parámetros
ir al paso 1 y reajustar los coeficientes de la hipersuperficie de
control o aplicar la ley control a la planta por otra entrada.

B. Estabilización de UPOs de periodo múltiple
El algoritmo de control hibrido propuesto, también puede
funcionar, para estabilizar el sistema de control en lazo
cerrado en la vecindad de una UPO de periodo m, siendo
1
m ≥ y siempre que m no sea demasiado elevado. Para ello,
basta con aplicar el algoritmo propuesto cuando se verifique
cada m veces la condición de evento elegida, CEA o CED. Es
interesante reseñar, que si la planta tiene múltiples entradas de
control, se puede aplicar el algoritmo a cada una de ellas,
utilizando en todas, la misma condición de evento. En ese
caso, las matrices diagonales A y K tendrían más de un
elemento. En muchos ocasiones, la aplicación de control por
múltiples entradas da mejores resultados que utilizando
solamente control escalar, fundamentalmente, en cuanto a la
rapidez de convergencia hacia una determinada UPO y a la
robustez del sistema de control, no obstante, en algunos casos,
el control múltiple es contraproducente, porque puede
provocar que el sistema controlado no converja hacia una
UPO, sino a otro tipo de ciclo límite estable, dando con ello
lugar, a un mayor esfuerzo de control, ya que la ley de control
en tiempo continuo no tendería a desvanecerse.

IV. ESTABILIZACIÓN DE ORBITAS PERIÓDICAS
INESTABLES PREVIAMENTE CONOCIDAS
Si se requiere que el sistema se estabilice en torno de la
misma UPO, independientemente de las condiciones iniciales
existentes en el instante de aplicación del control, se deberá
dar a la entrada de referencia SP del sistema de control, un
valor constante, que se debe corresponder con el que debería
tener la variable
i j
x del filtro en tiempo discreto cuando la
respuesta del sistema evolucionara en la sombra de la UPO
previamente elegida. Es
()
i jii i j
z SP a zSP
−
=+−
, el valor dado a SP deberá ser lo
más próximo posible al valor asociado a la UPO
correspondiente, ya que de esta forma, la amplitud de la señal
de control sería la menor posible. Otra posibilidad sería tomar
el parámetro
cuyo caso la ley de control en tiempo discreto pasaría a ser
vSPx
=−
, para que la respuesta de la planta controlada
también converja hacia una UPO.
()
i jii j
eQ v
=
a la ley de control en
iii i
k e te t

= −

(8)
iik o
ii a , si sigue sin conseguirse la estabilización,
decir, se debe hacer
( 1)
ii a del filtro en tiempo discreto igual a uno, en
i ji j

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V. RESULTADOS DE SIMULACIÓN NUMÉRICA
Los siguientes resultados de simulación numérica, se han
obtenido aplicando el algoritmo de control híbrido, a tres
sistemas con comportamiento caótico y a uno hipercaotico. Se
ha considerado solamente la estabilización de órbitas
periódicas inestables desconocidas de periodo uno. Las UPOs
estabilizadas que se muestran en las figuras, se han
representado sin añadir ruido a las variables medidas, con
objeto de una mayor nitidez en las mismas. Para integrar
numéricamente el sistema de control se ha empleado un
integrador de Runge Kutta de cuarto orden con paso de
integración t Δ fijo y se ha empleado un tiempo de retardo
constante de 10 t Δ . Los tres casos de control escalar simulados
se han efectuado con una condición de evento del tipo
( ( ))0
c
−=
con di
≠ o bien (
subíndice d igual o distinto al i , donde i es el subíndice de
una componente de la derivada del vector de estado
donde se aplica el control escalar. En el caso del sistema
hipercaotico se ha aplicado control por dos entradas.

A. Sistema caótico de Lorenz
El sistema de Lorenz [25], con la ley de control escalar en
tiempo continuo
333 3
( ) ( )u tk e t
=
de la tercera ecuación, queda expresado por:

( )( ( ) ( ))
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( )( ) ( )
x tx tx t x tu t
β
= −++


Los valores de los parámetros utilizados son:
8/3
β =
y las condiciones iniciales empleadas:
1,5x
=
,
5x
= − . Con las condiciones anteriores (9)
presenta comportamiento caótico, suponiendo que
El paso de integración empleado en la simulación ha sido
5
10ts
Δ =
, la condición de evento empleada ha sido una
CEA de la forma
2
(5)
j
x
−
parámetros de control los siguientes valores:
56k
=
s-1.
j δ
dx t
↑
( ))0
dx tc
↑
−=
con el
( ) t
x

aplicada en el lado derecho
121
21132
33123
( )
x t
x t

x t x t
rx tx t x t x t
σ
=
=−
−−


(9)
10
x
σ =
, 28
2,5
r =
=
,
,
1(0)
2(0)
3(0)
3( ) u t =
0
.
−
0
↑
=
. Se han tomado para los
33
0,8a
=
y
33

Figura 2. Diagramas temporales de la variable de estado
1( ) x t
(arriba) y señal
de control normalizada
3( )e t
0
. Los valores de los parámetros de control son:
(abajo) del atractor de Lorenz. La condición de
evento es
=
En la Fig. 2 se observa la evolución temporal de la variable
de estado
x t (arriba) y de la señal de control normalizada
( )( )/e t u tk
=
(abajo). Como puede apreciarse el valor de
la señal de control normalizada tiende a disminuir a medida
que el sistema estabilizado converge hacia una UPO.
La Fig. 3 representa un retrato de fases de las variables de
estado
x t y
x t del sistema caótico de Lorenz estabilizado
en torno a una UPO, una vez pasado el transitorio y se
corresponde con el instante de control indicado en la Fig. 2.
2
(5)
j
x
↑
−
a =
=
0,8
1
33
56ks−
y
33
.
1( )
33 33
1( )
2( )

Figura 3. Retrato de fases del sistema de Lorenz estabilizado en torno a una
UPO.

B. Sistema caótico OPWM
El sistema caótico, Oscilador en Puente de Wien
Modificado (OPWM), denominado así, por su descubridor,
nuestro añorado amigo y maestro, Profesor Dr. D. Rafael
González López [26], queda expresado, con la ley de control