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1Abstract— In Physics and Fluid Mechanics, the Boundary
Layer is a fluid layer in the neighborhood of a surface. This
phenomena is important in many disciplines, mainly in
aerodynamics. This paper presents a two-dimensional numerical
simulation of this problem considering a incompressible laminar
flux in steady state with non-slip condition. A adaptive mesh
refinement is carried out by the Autonomous Leaves Graph
(ALG) with finite volume discretizations. The Modified Hilbert
Curve is implemented to traverse and provide the total ordering
of the finite volumes that compose the domain. The numerical
solution of the flat plate problem is compared with the Blasius
Solution. Besides, flux simulations are presented around a airfoil
NACA four digits. The results show evidences that the scheme is
adequate in terms of performance and accuracy.
Keywords— Finite Volume Method, NACA airfoil, Boundary
Layer Problem, adaptive mesh refinement, Hilbert space filling
curve.
I. INTRODUÇÃO
AUTONOMOUS LEAVES GRAPH (ALG) é uma
estrutura que se integra ao resolutor de sistemas lineares
ou não-lineares baseado na minimização de funcionais. O
ALG foi proposto para refinamento adaptativo de malhas em
soluções numéricas de equações diferenciais parciais (EDPs)
por volumes finitos quadrangulares, objetivando menor custo
computacional que outras técnicas empregadas nesse contexto,
como estruturas quadtree e octree. O ALG, que implementa a
numeração total da malha por uma Curva Modificada de
Hilbert (CHM), foi proposto e teve sua eficácia e eficiência
demonstradas em [1], [2] e [3] em problemas clássicos da
Engenharia. Isto é, o ALG foi aplicado a problemas
acadêmicos em [1], [2] e [3].
O ALG pode ser considerado uma estrutura de dados que
representa adequadamente o refinamento adaptativo de malhas
de volumes finitos quadrangulares. Em [4], os autores
aplicaram o ALG em um problema real. Os autores aplicaram
um esquema simplificado do ALG na análise de plasma
quando interage com fluxo de gás.
1S. L. G. Oliveira, Universidade Federal de Lavras (UFLA), Minas Gerais,
Brasil, sanderson@dcc.ufla.br
M. Kischinhevsky, Universidade Federal Fluminense (UFF), Niterói,
Brasil, kisch@ic.uff.br
D. Burgarelli, Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG), Minas
Gerais, Brasil, burgarel@mat.ufmg.br
Neste trabalho, todos os recursos do ALG são aplicados na
modelagem numérica de um problema aerodinâmico.
Especificamente, o grafo é aplicado para representar o
refinamento adaptativo de malhas no estudo do Problema da
Camada Limite, que é também um problema real importante.
Mais especificamente, em [5], o autor demonstrou a existência
de uma camada fina no fluxo de fluidos muito próxima à
superfície de um objeto [6]. Isso permitiu simplificar as
equações de fluxo de fluidos dividindo-se o campo de fluxo
em duas áreas. Uma área dentro da camada limite, onde a
viscosidade é dominante e ocorre a maior parte do arrasto
experimentado por um corpo imerso no fluido; outra área
encontra-se fora da camada limite, onde a viscosidade pode
ser ignorada sem efeitos relevantes na solução. Essa é uma
simplificação das equações de Navier-Stokes nesse tipo de
problema e, portanto, facilita a solução.
As equações de Navier-Stokes têm um comportamento
elíptico: o campo de fluxo completo deve ser resolvido
simultaneamente de acordo com condições de contorno
específicas definidas ao longo da fronteira inteira do fluxo. Já
as equações do Problema da Camada Limite têm um
comportamento parabólico: permitem um esforço analítico
grande e simplificações computacionais. Elas podem ser
resolvidas iterativamente por um procedimento marchante
downstream (em direção do fluxo) de onde o fluxo encontra
um corpo, sujeito a condições específicas inflow (para o fluxo)
no limite externo da camada limite. O cálculo sistemático
fornece as variáveis de fluxo na camada limite, incluindo o
gradiente de velocidade na superfície do objeto. A pressão de
cisalhamento no objeto, consequência do arrasto de fricção na
superfície, é obtida diretamente dos gradientes de velocidade
[7]. Além de [7], em [8], o autor apresenta uma discussão
muito detalhada sobre esses conceitos.
Em mais detalhes sobre a camada limite, grosso modo, a
camada limite é uma camada fina de fluxo entre a superfície
do objeto inserido no domínio em estudo e o fluxo fora da
camada limite. No topo da camada limite, as moléculas se
movem na mesma velocidade que as moléculas fora da
camada limite. Na superfície do objeto, a velocidade do fluxo
é nula. Isto é, há uma variação grande na velocidade do fluxo
na camada limite. Com isso, um esquema numérico necessita
refinar a malha com uma quantidade adequada de pontos para
representar com qualidade a velocidade do fluxo na camada
limite. No entanto, uma malha muito refinada fora da camada
limite resulta em esforço computacional (total para resolver o
problema) desnecessário porque a variação da velocidade do
O
S. L. G. de Oliveira, M. Kischinhevsky and D. Burgarelli
Finite Volume Adaptive Mesh Refinement
Based on Graph Applied
to the Boundary Layer Problem
Page 2
fluxo nessa região é pequena ou mesmo nula. Dessa forma,
um esquema que utiliza a técnica de refinamento adaptativo de
malhas pode resultar em menor esforço computacional do que
refinar a malha uniformemente. Por esses motivos, o Problema
da Camada Limite tem características adequadas para ser
simulado com o uso do ALG: uma grafo para representar o
refinamento adaptativo de malhas. Note que o objetivo é
mostrar a viabilidade do uso do ALG em um problema
aerodinâmico. Isto é, mostrar que o conjunto de métodos
acoplado ao ALG permite o estudo de problemas como esse e
que o esforço computacional pode ser reduzido.
Ainda, estuda-se a malha computacional ao se incluir um
aerofólio 4 dígitos simétrico, NACA0009, no domínio
discretizado para demonstrar que o ALG pode ser utilizado
para representar o refinamento adaptativo de malhas em
estudos de problemas aerodinâmicos desse porte.
Após essa breve introdução, a seção II apresenta mais
detalhes do Problema da Camada Limite. A seção III trata do
Problema da Camada Limite sobre uma placa plana incluída
na base do domínio computacional. A seção IV trata da
modelagem do problema com discretizações por volumes
finitos. A seção V mostra resultados experimentais.
Finalmente, a seção VI apresenta as conclusões.
II. CAMADA LIMITE
A Camada Limite é uma camada muito fina na vizinhança
de um objeto que funciona como obstáculo ao escoamento de
um fluido, como ocorre no caso do fluxo de ar em torno de um
aerofólio. As moléculas que tocam diretamente a superfície do
objeto são virtualmente sem movimento. Cada camada de
moléculas na camada limite move-se mais rápido que a
camada mais perto da superfície do objeto. No topo da camada
limite, as moléculas se movem na mesma velocidade que as
moléculas fora da camada limite, representada por u∞. Dentro
da camada limite, a velocidade com que se movem as
moléculas depende do formato do objeto, da massa do fluido
em direção do objeto, da viscosidade e da compressibilidade
do fluido. Isso fornece à camada limite um formato não
necessariamente correspondente ao formato físico do objeto.
As equações do Problema da Camada Limite para um fluxo
bidimensional incompressível em regime permanente em
coordenadas retangulares são dadas pelas equações [9]
1
ρyx
∂∂
v
+
x
∂∂
onde p é a pressão, u é a variável dependente da EDP, ρ é a
densidade do fluido e υ é a viscosidade cinemática.
Momento:
2
2
y
u
υ+
dx
dp
=
u
v+
u
u
∂
∂
−
∂∂
(1)
Continuidade:
0=
y
u
∂∂
(2)
III. CAMADA LIMITE SOBRE UMA PLACA PLANA
Considere uma placa fina e plana imersa em um fluido
viscoso uniforme em regime permanente, cuja velocidade u∞ é
paralela à superfície da placa. Acima da superfície, a
velocidade do fluxo aumenta na direção vertical até que, por
razões práticas, iguala-se à velocidade total do fluxo.
A espessura da camada limite é definida como a distância
acima da placa plana onde ue=0,99u∞ e u∞ é a velocidade do
fluxo fora da camada limite [10]. Considera-se um fluxo
bidimensional em regime permanente com condição de não-
deslizamento sobre uma placa plana com ângulo de ataque de
0º em um fluxo laminar incompressível sem transferência de
calor. A equação de energia não é necessária para calcular o
campo de velocidade em um fluxo incompressível. Assim, as
EDPs não-lineares que modelam o problema, em termos de
variáveis dimensionais, são dadas pelas equações (1-2).
IV. DISCRETIZAÇÃO POR VOLUMES FINITOS DO PROBLEMA DA
CAMADA LIMITE
Para o problema apresentado nas equações (1-2), não há
gradiente de pressão do fluxo [11]. A pressão é constante, i.e.,
dp/dx=0 porque o fluxo invíscido [12] sobre uma placa plana
produz uma pressão constante sobre a superfície do objeto.
Assim, a equação (1) pode ser reescrita como
2
u
υ=
yx
∂∂∂
A equação (4) é o resultado da integração da equação (3)
no volume de controle.
u
v+
x
∂∂
A equação (5) é o resultado da aplicação do Teorema da
Divergência na equação (4).
ws
ou
|(vu+dy)|uu|(uu
we
∂
−
∂
Supondo que o fluxo no meio da extremidade do volume
de controle representa o meio de sua variação na extremidade
[13], a equação (6) pode ser reescrita como
|Δx(vu+)|uu|Δy(uu
nwe
∂
−
∂
ondeΔxeΔyrepresentam o espaçamento nas direções
horizontal e vertical, respectivamente.
Funções de interpolação objetivam avaliar o valor da
variável dependente na extremidade do volume de controle,
bem como sua derivada. A função de interpolação usada neste
trabalho avalia o valor de uma propriedade genérica u na
interface do volume de controle. Além disso, os esquemas
diferenciais empregam a linearização do termo convectivo,
i.e., a discretização da quantidade convectiva. Sendo que o
fluxo do problema é de oeste para leste e de sul para norte
para avaliar a camada limite, o seguinte Upwind Difference
Scheme é usado
2
y
u
v+
u
u
∂∂∂
(3)
dx )dy
y
u
2
(υ=dx)dy
y
u
(u
∂
∂∂∂
2
(4)
w
⋅
∂
∂
⋅⋅
e
y
e
y
n
x
dxn
ˆ
y
u
υ'=dxn
ˆ
v(u)+dyn
ˆ
u(u)
(5)
dx)|
y
u
υ|
y
u
(υ
=dx)|vu
ssnn
sn
∂
∂
−−
(6)
)|
y
u
υ|
y
u
Δx(υ
=)| vu
ssnn
s
∂
∂
−−
(7)
)u+(u
h
υ
=uvuv+uuuu
SPNSpPpWPPP
2u
−−−
(8)
Page 3
ondeh=Δx=Δyeν=νn=νs . Em seguida, a equação (8) é
dividida por up para clareza da apresentação. Também, uw é
considerado da iteração anterior. Assim, manipulações
algébricas fornecem a seguinte discretização da equação do
momento
υ
+v
u
hu
onde υ é a viscosidade cinemática, h representa a distância
da extremidade vertical e horizontal do volume de controle.
Ainda, (uW,vW), (uN,vN) e (uS,vS) são os vizinhos oeste, norte e
sul do volume de controle (uP,vP), respectivamente.
Seguindo a mesma abordagem, a equação (2) é discretizada
como
Continuidade:
WSP
u=vv
−
Dessa forma, as equações (9-10) definem discretizações
pelo Método dos Volumes Finitos, i.e., são aproximações
numéricas semi-implícitas da modelagem matemática dada
pelas equações (3-2), respectivamente. A Fig. 1 mostra o
esquema de discretização adotado, em que os círculos cinzas
representam os volumes de controle na malha discretizada
pelo Método dos Volumes Finitos.
k
P
k
W
k
P
k
P
+k
S
k
P
+k
N
+k
P
v
h
υ
u=
u
h
υ
uu
−−−−
2
111
(9)
111+k
P
1+k+k+k
u
−
(10)
Figura 1. Esquema de discretização adotado para as equações do momento e
de continuidade, respectivamente (este é o mesmo esquema nas abordagens de
[14] e [15]).
A. Generalização da discretização por volumes finitos da
equação do momento.
De acordo com [10], as condições de contorno usuais
podem ser aplicadas como
u(x,
e refere-se às condições na extremidade da camada limite. O
termo do gradiente de pressão na equação (1) é avaliado com
informações das condições de contorno. Sendo ue(x)
determinado, dp/dx pode ser avaliado com a aplicação de
equações que modelam o fluxo invíscido fora da camada
limite (equações de Euler) dadas por dp/dx = -ρue due/dx [9].
(x)u=y)
e
, onde o subscrito
Sendo assim, a equação do momento é determinada como uma
aproximação numérica semi-implícita dada por
υ
+v
u
hu
−
−−
2
k
P
k
eW
k
eP
ep
k
P
k
W
k
P
u
k
P
+k
S
k
P
+k
N
+k
P
hu
u
u+v
h
υ
u
=
u
h
υ
uu
−−
111
(11)
ondeυ é a viscosidade cinemática, h representa o tamanho da
extremidade vertical e horizontal do volume de controle.
Ainda, (uW,vW), (uN,vN) e (uS,vS) são os vizinhos oeste, norte e
sul do volume de controle (uP,vP), respectivamente.
V. TESTES EXPERIMENTAIS
Sendo que o objetivo deste trabalho é mostrar a viabilidade
do ALG na representação do refinamento adaptativo de
malhas por discretização de volumes finitos, testes foram
realizados escolhendo-se a viscosidade cinemática do ar,
i.e.υ=1,5.10-5m2/s. O critério de refinamento adotado foi a
diferença relativa da quantidade de interesse tanto na direção
horizontal quanto na vertical. Um volume é refinado se a
diferença de seu fluxo e o fluxo de um dos seus vizinhos,
dividido pelo tamanho da respectiva face do volume de
controle é maior que um limite adotado pelo usuário.
Primeiramente, a solução numérica do problema sobre uma
placa plana é comparada com sua solução analítica, conhecida
como Solução de Blasius [17]. Em [14], os autores
apresentaram resultados preliminares de simulações deste
esquema numérico aplicado ao Problema da Camada Limite
sobre uma placa plana e em [15] foram apresentadas
simulações preliminares do fluxo em torno de um aerofólio
NACA0012. Neste trabalho são apresentadas novas
simulações do fluxo em torno de um aerofólio NACA0009.
A. Solução analítica para um fluxo laminar incompressível
sobre uma placa plana.
Essa solução analítica é conhecida como Solução de
Blasius. Ela mostra que para um fluxo com número de
Reynolds (Re) muito maior que a unidade, i.e., Re >> 1, os
perfis de velocidade têm o mesmo formato dentro da camada
limite. Para demonstrar isso, é definida uma variável de
similaridade na direção normal dada por [17]
u
y=η
2υυ
∞
(12)
Este trabalho determina a altura da camada limite sobre a
placa por
5x
υ
xu
=Δ
∞
(13)
onde x é o eixo horizontal, u∞ é a velocidade do fluxo fora da
camada limite eυ é a viscosidade cinemática.
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B. Aproximação numérica para o Problema da Camada
Limite sobre uma placa plana.
As simulações do problema sobre uma placa plana foram
realizados com u∞=300, u∞=20 e também um limite de nove
níveis de refinamento para cada volume de controle. A
Solução de Blasius é mostrada na Fig. 2.
Figura 2. Solução de Blasius para viscosidade cinemática ν=1,5.10-5, u∞ = 10
m/s e u∞ = 200 m/s, cf. [14;15].
Um exemplo dos testes realizados deste refinamento
adaptativo de malhas é mostrado na Fig. 3, composto de
x=[0;1], y=[0;0,1] e u∞=200. Os volumes de controle são
conectados pela CHM para numeração total da malha.
Figura 3. Problema da Camada Limite com viscosidade cinemática ν=1,5.10-
5, u∞=200 e refinamento adaptativo da malha gerado pelo Autonomous Leaves
Graph com x=[0;1] e y=[0;0,1].
Foram realizados testes para comparar o refinamento
adaptativo de malhas e uma solução sem refinamento
adaptativo. Isso para mostrar a melhora no desempenho total
que o refinamento adaptativo fornece. Num dos exemplos, o
refinamento não-adaptativo precisou de 340 volumes de
controle, enquanto o refinamento adaptativo, apresentado na
Fig. 3, precisou de 164 volumes de controle. Este representa
42,2% daquele total de volumes de controle. O refinamento
adaptativo durou 234 milissegundos, enquanto a solução não-
adaptativa durou 469 milissegundos. O erro numérico médio é
n
BlasiusSimulação
= erro
n
i=
ii
−
1
(14)
A Fig. 4 mostra um teste realizado com x=[0;1], y=[0; 0,01]
e u∞=10. A linha que inicia no volume superior mais à direita
é a CHM, que realiza a ordenação total da malha. Nesse teste,
foram criados 340 volumes de controle para a solução sem
refinamento adaptativo e 169 volumes de controle para a
solução com refinamento adaptativo, i.e., 49,7% do total de
volumes de controle da solução sem refinamento adaptativo.
A solução com refinamento adaptativo durou 813
milissegundos e a solução sem refinamento adaptativo durou
1282 milissegundos. O tempo de execução da solução com
refinamento adaptativo representa aproximadamente 63,4% da
solução sem refinamento adaptativo. A média do erro
numérico entre a solução com refinamento adaptativo e a
solução de Blasius é de 1694x10-6.
Figura 4. Problema da Camada Limite sobre uma placa plana com viscosidade
cinemática ν=1,5.10-5, u∞=10, x=[0;1] e y=[0;0,01].
Em outro teste, com u∞=200, foram criados também 340
volumes de controle para a solução sem refinamento
adaptativo com tempo de execução de 469 milissegundos. Na
solução com refinamento adaptativo, foram criados 164
volumes de controle, sendo aproximadamente 48,2% da
quantidade de volumes finitos da solução sem refinamento
adaptativo. A solução com refinamento adaptativo teve tempo
de execução de 234 milissegundos. Este tempo de execução
representa aproximadamente 49,9% da solução sem
refinamento adaptativo. A média do erro numérico entre a
solução com refinamento adaptativo e a solução de Blasius é
de 562x10-6. Esses testes são conforme os resultados de
[14;15].
C. Solução do problema com um aerofólio NACA0009 no
domínio.
As figuras desta subseção apresentam o aerofólio
NACA0009 com 45º de ângulo de ataque no domínio
computacional. A Fig. 5 mostra o aerofólio inserido no
domínio computacional. Os testes a seguir foram realizados
com u∞=300. A Fig. 5 mostra um exemplo dos testes em que o
número máximo dos níveis de refinamentos para cada volume
Page 5
de controle é sete, sendo que os volumes finitos são ordenados
pela CHM. A CHM é linha que inicia no baricentro do volume
finito quadrangular superior mais à direita. A Fig. 5 mostra
que, na simulação, há um maior refinamento da malha na
camada limite do fluxo.
Figura 5. Simulação do Problema da Camada Limite com um aerofólio
NACA0009 com com 45º de ângulo de ataque.em que u∞=300, x=[0;1] e
y=[0;1].
A Fig. 6 mostra um detalhe da Fig. 5, onde a turbulência da
camada limite pode ser observada. A Fig. 6 mostra a
velocidade do fluxo nos baricentros dos volumes finitos. A
componente horizontal do campo vetorial é mostrada, onde
houve arrendondamento na primeira casa decimal. Observa-se
na Fig. 6 que volumes finitos muito próximos ao aerofólio
mostram uma região em que a velocidade do fluxo pode
apresentar vórtice. Isso porque o ângulo de ataque do
aerofólio é maior do que o ângulo conhecido como stall angle
(ângulo de “parada”). Veja [5,7,9,10,16] para detalhes.
Figura 6. Detalhe da simulação do problema com aerofólio NACA0009
inserido no domínio discretizado com u∞=300 (x=[0;1], y=[0;1]), mostrando a
componente horizontal do campo vetorial.
A Fig. 7 esboça o fluxo mostrado na Fig. 5, representando
seus campos vetoriais. Mais especificamente, as direções e
intensidades do fluxo em cada volume são representadas.
A Fig. 8 mostra uma parte da Fig. 7. A Fig. 8 esboça a
turbulência do fluxo na camada limite em posições muito
próximas do aerofólio. Mais especificamente, as direções e
intensidades do fluxo em determinados volume são
representadas em detalhe.
Figura 7. Representação do fluxo da simulação do problema com o aerofólio
NACA0009 no domínio e u∞=300 (x=[0;1], y=[0;1]), mostrando as direções e
intensidades do campo vetorial (u,v) para determinados volumes.
Figura 8. Detalhe da representação do fluxo da simulação numérica do
problema com o aerofólio NACA0009 no domínio e u∞=300 (x=[0;1],
y=[0;1]), mostrando as direções e intensidades do campo vetorial (u,v) para
determinados volumes.
A Fig. 9 mostra uma simulação onde o nível máximo de
refinamentos para cada volume de controle é nove e u∞=300.
Esse teste resultou em 3985 elementos de volume.
A Fig. 10 mostra uma simulação numérica onde o nível
máximo de refinamentos para cada volume de controle é dez e
u∞=300. Esse teste resultou em 7615 elementos de volume.
Nota-se que o refinamento concentra-se em regiões muito
próximas ao aerofólio.
Page 6
VI. CONSIDERAÇÕES E TRABALHOS FUTUROS
Este trabalho apresenta uma solução numérica do Problema
da Camada Limite com refinamento adaptativo de malhas de
Volumes Finitos baseado no Autonomous Leaves Graph. A
ordenação total dos elementos de volumes de controle é feito
pela Curva de Hilbert Modificada.
O Problema da Camada Limite sobre uma placa plana é
comparada com a Solução de Blasius, cf. [14;15]. São
apresentadas simulações do problema em que inserido no
domínio há um aerofólio NACA0009. Os resultados
evidenciam que o método fornece, a esse problema de
aerodinâmica, bons resultados em termos de desempenho e
precisão. Isto é, o esquema numérico pode ser viável para o
estudo de problemas complexos. A utilização do esquema de
grafo para representar o refinamento adaptativo de malhas
triangulares pelo Método dos Volumes Finitos, bem como
com em malhas de elementos finitos, devem ser aplicados no
Problema da Camada Limite em trabalhos futuros.
Figura 9. Simulação do problema com aerofólio NACA0009 no domínio e
u∞=300 (x=[0;1], y=[0;1]) como 9 como nível máximo de refinamento para
cada volume finito.
Figura 10. Simulação do problema com aerofólio NACA0009 no domínio
e u∞=300 (x=[0;1], y=[0;1]) e 10 como nível máximo de refinamento para
cada volume finito.
REFERÊNCIAS
[1]
D. Burgarelli, "Modelagem computacional e simulação numérica
adaptativa de equações diferenciais parciais evolutivas aplicadas a um
problema termoacústico", Tese de doutorado, Pontifícia Universidade
Católica do Rio de Janeiro, 1998.
D. Burgarelli e M. Kischinhevsky , "Efficient numerical simulation of
a simplified thermoacoustic engine with new adaptive mesh refinement
tools" in Proceedings of the XX CILAMCE - Iberian Latin American
Congress on Numerical Methods in Engineering, 1999.
D. Burgarelli, M. Kischinhevsky, M. e R. J. Biezuner, "A new adaptive
mesh refinement strategy for numerically solving evolutionary PDE's",
J. of Computational and Applied Math., vol. 196, pp. 115-31, 2006.
T. Unfer, J.-P. Boeuf, F. Rogier e F. Thivet, “Multi-scale gas discharge
simulations using asynchronous adaptive mesh refinement”, Computer
Physics Communications, vol. 181, pp. 247–258, 2010.
L. Prandtl, “Über Flüssigkeitsbewegung bei sehr kleiner Reibung”, in
Verhandlungen des dritten inernationalen Mathematiker-Kongresses in
Heidelberg 1904, A. Krazer, ed., Teubner, Leipzig, Germany, pp. 484-
493, 1905.
B. S. Venkatachari, “Development and validation of a transient viscous
flow solver based on a space-time CE/SE framework”, M.Sc.
Dissertation, The University of Alabama at Birmingham, 2005.
J. D. Anderson Jr., “Ludwig Prandtl’s Boundary Layer”, Physics
Today, pp. 42-48, 2005.
J. D. Anderson Jr., “A History of Aerodynamics”, Cambridge U. Press,
New York, 1998.
D. A. Anderson, J. C. Tannehill, e R. H. Pletcher, “Computational Fluid
Mechanics and Heat Transfer”, Hemisphere, New York, 1984.
[10] J. D. Anderson, “Fundamentals of Aerodynamics”, McGraw-Hill Inc.,
New York, 1991.
[11] R. E. Neel, “Advances in computational fluid dynamics: turbulent
separated flows and transonic potential flows”, Ph.D. Thesis, Faculty of
Virginia Polytechnic Institute and State University, 1997.
[12] M. V. G. Morais, “Modelagens numéricas pelo Método dos Elementos
Finitos em problemas de interação fluido-estrutura”, Dissertação de
Mestrado, Universidade de Brasília, 2000.
[13] C. R. Maliska, “Transferência de Calor e Mecânica dos Fluidos
Computacional”, 2a. ed., LTC, Rio de Janeiro, 2004.
[14] S. L. Gonzaga de O., M. Guedes e M. Kischinhevsky, “Método dos
Volumes Finitos com Refinamento Adaptativo de Malhas Aplicado ao
Problema da Camada Limite” in Proceedings of the CNME/CILAMCE,
Congresso de Métodos Numéricos em Engenharia – XXVIII Iberian
Latin American Congress on Numerical Methods in Engineering, Porto,
Portugal, 2007.
[15] S. L. Gonzaga de O. e M. Kischinhevsky, Autonomous Leaves Graph
Applied to the Boundary Layer Problem. Lecture Notes in Computer
Science. , v.5544, p.560-569, 2009.
[16] H. Blasius, Grenzschichten in Flussigkeiten mit kleiner Reibung,
Zeitschrift für Mathematik und Physik, vol. 56 (1), pp. 1-37, 1908.
[17] H. Schlichting, “Boundary-Layer Theory”, McGraw-Hill Inc., New
York, 1979.
Sanderson L. Gonzaga de Oliveira bacharelou-se em
Análise de Sistemas pela PUC-PR em 1996. Recebeu o
título de mestre em Modelagem Computacional pelo IPRJ-
UERJ em 2004 e o de doutor em Computação pelo IC-UFF
em 2009. Atualmente é professor do DCC-UFLA. Seus
estudos são em
Computacional e Modelagem Computacional.
Mauricio Kischinhevsky obteve os graus de Bacharel
(1982) e Mestre (1985) em Física, e Doutorado em
Ciências - Informática (1993), pela PUC-Rio. Foi Professor
da PUC-Rio (1983 a 1987) e é Professor da UFF desde
1987. Realizou um estágio pós-doutoral e foi Professor
Assistente do Departamento de Matemática da Purdue
University, EUA (1995 a 1997). Na UFF, atuou como
Chefe do Departamento de Ciência da Computação (2000 a
2004). Foi Diretor do Instituto de Computação (IC) da UFF (2005 a 2009).
Participou da criação do Programa de Pós-Graduação em Computação da UFF
(1995), no qual orientou várias Dissertações de Mestrado e Teses de
Doutorado. Desde 2010 é Coordenador do Curso de Bacharelado em Ciência
da Computação da UFF. Métodos numéricos para equações diferenciais,
[2]
[3]
[4]
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Métodos Numéricos, Geometria
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computação de alto desempenho, modelagem computacional em Ciências
Naturais e Engenharia são suas áreas de interesse.
Denise Burgarelli fez graduação em Matemática pela
Universidade Federal de Minas Gerais (1989), mestrado
(1994) e doutorado (1998) em Matemática pela
Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.
Desde 1999 é docente no Departamento de Matemática
da Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG),
onde atualmente é Professora Associada. Desde 2009 é
coordenadora do Curso de Bacharelado em Matemática Computacional da
UFMG. Tem interesse na área de Matemática Aplicada, atuando
principalmente nos seguintes temas: Métodos Numéricos para Resolução de
Equações Diferenciais Parciais, Refinamento Adaptativo de malhas, Grafos de
Folhas Autônomas (ALG), Simulação Numérica e Algoritmos de Malhas
Adaptativas para Reconhecimento de Padrões Geométricos.
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