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Dithering by Differences of Convex Functions

SIAM Journal on Imaging Sciences (Impact Factor: 2.87). 01/2011; 4(1):79-108. DOI: 10.1137/100790197
Source: DBLP

ABSTRACT Motivated by a recent halftoning method which is based on electrostatic principles, we analyze a halftoning framework where one minimizes a functional consisting of the difference of two convex functions. One describes attracting forces caused by the image’s gray values; the other one enforces repulsion between points. In one dimension, the minimizers of our functional can be computed analytically and have the following desired properties: The points are pairwise distinct, lie within the image frame, and can be placed at grid points. In the two-dimensional setting, we prove some useful properties of our functional, such as its coercivity, and propose computing a minimizer by a forward-backward splitting algorithm. We suggest computing the special sums occurring in each iteration step of our dithering algorithm by a fast summation technique based on the fast Fourier transform at nonequispaced knots, which requires only O(mlogm) arithmetic operations for m points. Finally, we present numerical results showing the excellent performance of our dithering method.

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    ABSTRACT: In this paper, we investigate a weak*-convergence property of certain sequences of probability measures to an energy-minimizing measure and then derive a simple heuristic algorithm to realize optimal point distributions constrained by a given density function as a nearly minimum energy state. With the derived results, we develop a new dispersed-dot halftoning technique, which achieves uniform distributions of dots while approximating the original image in the weak*-sense.
    SIAM Journal on Imaging Sciences 04/2014; 7(2). DOI:10.1137/130941894 · 2.87 Impact Factor
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    ABSTRACT: Die Faszination der angewandten Mathematik beruht nicht zuletzt auf der Tatsache, dass sie sich als ein äußerst erfolgreiches Modellierungswerkzeug etabliert hat. Vie-le Vorgänge in Natur und Technik lassen sich durch ma-thematische Gleichungen sehr kompakt und oft auch mit hoher Genauigkeit darstellen. Differentialgleichungen, die Zusammenhänge zwischen einer unbekannten Funktion und ihren Ableitungen beschreiben, haben sich dabei als besonders wichtige Modelle erwiesen. Da es häufig an-gebracht ist, Funktionen mit mehreren Variablen zu ver-wenden, können partielle Ableitungen auftreten. Entspre-chende Gleichungen nennt man partielle Differentialglei-chungen (englisch: partial differential equations, kurz PDEs). Seit vielen Jahren weiß man, dass zahlreiche physikalische Vorgänge, wie z. B. Wärmeleitung, Diffusion, strömungs-mechanische Prozesse und elektrodynamische Phänome-ne, partiellen Differentialgleichungen genügen. Auf ma-thematischer Seite hat man solche Gleichungen intensiv untersucht und hocheffiziente numerische Techniken ent-wickelt, um sie schnell und mit hoher Genauigkeit auf Computern zu approximieren. Damit hat sich die nume-rische Simulation zu einem dritten Standbein neben der Theorie und dem Experiment etabliert und das Gebiet des wissenschaftlichen Rechnens begründet, das zahlrei-chen Mathematikern ein spannendes Betätigungsfeld bie-tet. Weniger bekannt ist jedoch die Tatsache, dass sich auch wichtige Teilgebiete in der digitalen Bildverarbeitung und der Computergrafik mit großem Erfolg mathematischer Modelle bedienen, die auf partiellen Differentialgleichun-gen beruhen. Dabei wurden zahlreiche Anstrengungen unternommen, praktisch das gesamte Spektrum dieser Prozesse nutzbar zu machen, angefangen von elliptischen über parabolische bis hin zu hyperbolischen Gleichungen. Ziel dieses Beitrags ist es zu illustrieren, wie einige die-ser grundlegenden Modelle aus Natur und Technik Ein-gang in die moderne Bildverarbeitung und Computergra-fik gefunden haben. Nicht zuletzt diesen Erfolgen ist es zu verdanken, dass sich die sogenannte mathematische Bildverarbeitung als eigenständiges Forschungsgebiet eta-bliert hat, bei dem Deutschland international sehr gut po-sitioniert ist. Wir werden Prozesse betrachten, die Inspi-rationen aus fünf Bereichen schöpfen: Elektrostatik, Dif-fusion, Wellenausbreitung, Wärmeleitung und Osmose.
    01/2012; 20(2). DOI:10.1515/dmvm-2012-0040
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    ABSTRACT: Authors’ abstract: This paper deals with continuous-domain quantization, which aims to create the illusion of a gray-value image by appropriately distributing black dots. For lack of notation, we refer to the process as halftoning, which is usually associated with the quantization on a discrete grid. Recently a framework for this task was proposed by minimizing an attraction-repulsion functional consisting of the difference of two continuous, convex functions. The first one of these functions describes attracting forces caused by the image gray values, the second one enforces repulsion between the dots. In this paper, we generalize this approach by considering quadrature error functionals on reproducing kernel Hilbert spaces (RKHSs) with respect to the quadrature nodes, where we ask for optimal distributions of these nodes. For special reproducing kernels these quadrature error functionals coincide with discrepancy functionals, which leads to a geometric interpretation. It turns out that the original attraction-repulsion functional appears for a special RKHS of functions on ℝ 2 . Moreover, our more general framework enables us to consider optimal point distributions not only in ℝ 2 but also on the torus 𝕋 2 and the sphere 𝕊 2 . For a large number of points the computation of such point distributions is a serious challenge and requires fast algorithms. To this end, we work in RKHSs of bandlimited functions on 𝕋 2 and 𝕊 2 . Then the quadrature error functional can be rewritten as a least squares functional. We use a nonlinear conjugate gradient method to compute a minimizer of this functional and show that each iteration step can be computed in an efficient way by fast Fourier transforms at nonequispaced nodes on the torus and the sphere. Numerical examples demonstrate the good quantization results obtained by our method.
    SIAM Journal on Scientific Computing 01/2012; 34(5). DOI:10.1137/100814731 · 1.94 Impact Factor