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Dithering by Differences of Convex Functions

SIAM Journal on Imaging Sciences (Impact Factor: 2.87). 01/2011; 4(1):79-108. DOI: 10.1137/100790197
Source: DBLP

ABSTRACT Motivated by a recent halftoning method which is based on electrostatic principles, we analyze a halftoning framework where one minimizes a functional consisting of the difference of two convex functions. One describes attracting forces caused by the image’s gray values; the other one enforces repulsion between points. In one dimension, the minimizers of our functional can be computed analytically and have the following desired properties: The points are pairwise distinct, lie within the image frame, and can be placed at grid points. In the two-dimensional setting, we prove some useful properties of our functional, such as its coercivity, and propose computing a minimizer by a forward-backward splitting algorithm. We suggest computing the special sums occurring in each iteration step of our dithering algorithm by a fast summation technique based on the fast Fourier transform at nonequispaced knots, which requires only O(mlogm) arithmetic operations for m points. Finally, we present numerical results showing the excellent performance of our dithering method.

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    ABSTRACT: We study the long time behavior of the Wasserstein gradient flow for an energy functional consisting of two components: particles are attracted to a fixed profile $\omega$ by means of an interaction kernel $\psi_a(z)=|z|^{q_a}$,and they repel each other by means of another kernel $\psi_r(z)=|z|^{q_r}$. We focus on the case of one space dimension and assume that $1\le q_r\le q_a\le 2$. Our main result is that the flow converges to an equilibrium if either $q_r<q_a$ or $1\le q_r=q_a\le4/3$,and if the solution has the same (conserved) mass as the reference state $\omega$. In the cases $q_r=1$ and $q_r=2$, we are able to discuss the behavior for different masses as well, and we explicitly identify the equilibrium state, which is independent of the initial condition. Our proofs heavily use the inverse distribution function of the solution.
    SIAM Journal on Mathematical Analysis 01/2014; 46(6). DOI:10.1137/140951497 · 1.40 Impact Factor
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    ABSTRACT: This paper is concerned with the study of the consistency of a variational method for probability measure quantization, deterministically realized by means of a minimizing principle, balancing power repulsion and attraction potentials. The proof of consistency is based on the construction of a target energy functional whose unique minimizer is actually the given probability measure \omega to be quantized. Then we show that the discrete functionals, defining the discrete quantizers as their minimizers, actually \Gamma-converge to the target energy with respect to the narrow topology on the space of probability measures. A key ingredient is the reformulation of the target functional by means of a Fourier representation, which extends the characterization of conditionally positive semi-definite functions from points in generic position to probability measures. As a byproduct of the Fourier representation, we also obtain compactness of sublevels of the target energy in terms of uniform moment bounds, which already found applications in the asymptotic analysis of corresponding gradient flows. To model situations where the given probability is affected by noise, we additionally consider a modified energy, with the addition of a regularizing total variation term and we investigate again its point mass approximations in terms of \Gamma-convergence. We show that such a discrete measure representation of the total variation can be interpreted as an additional nonlinear potential, repulsive at a short range, attractive at a medium range, and at a long range not having effect, promoting a uniform distribution of the point masses.
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    ABSTRACT: Die Faszination der angewandten Mathematik beruht nicht zuletzt auf der Tatsache, dass sie sich als ein äußerst erfolgreiches Modellierungswerkzeug etabliert hat. Vie-le Vorgänge in Natur und Technik lassen sich durch ma-thematische Gleichungen sehr kompakt und oft auch mit hoher Genauigkeit darstellen. Differentialgleichungen, die Zusammenhänge zwischen einer unbekannten Funktion und ihren Ableitungen beschreiben, haben sich dabei als besonders wichtige Modelle erwiesen. Da es häufig an-gebracht ist, Funktionen mit mehreren Variablen zu ver-wenden, können partielle Ableitungen auftreten. Entspre-chende Gleichungen nennt man partielle Differentialglei-chungen (englisch: partial differential equations, kurz PDEs). Seit vielen Jahren weiß man, dass zahlreiche physikalische Vorgänge, wie z. B. Wärmeleitung, Diffusion, strömungs-mechanische Prozesse und elektrodynamische Phänome-ne, partiellen Differentialgleichungen genügen. Auf ma-thematischer Seite hat man solche Gleichungen intensiv untersucht und hocheffiziente numerische Techniken ent-wickelt, um sie schnell und mit hoher Genauigkeit auf Computern zu approximieren. Damit hat sich die nume-rische Simulation zu einem dritten Standbein neben der Theorie und dem Experiment etabliert und das Gebiet des wissenschaftlichen Rechnens begründet, das zahlrei-chen Mathematikern ein spannendes Betätigungsfeld bie-tet. Weniger bekannt ist jedoch die Tatsache, dass sich auch wichtige Teilgebiete in der digitalen Bildverarbeitung und der Computergrafik mit großem Erfolg mathematischer Modelle bedienen, die auf partiellen Differentialgleichun-gen beruhen. Dabei wurden zahlreiche Anstrengungen unternommen, praktisch das gesamte Spektrum dieser Prozesse nutzbar zu machen, angefangen von elliptischen über parabolische bis hin zu hyperbolischen Gleichungen. Ziel dieses Beitrags ist es zu illustrieren, wie einige die-ser grundlegenden Modelle aus Natur und Technik Ein-gang in die moderne Bildverarbeitung und Computergra-fik gefunden haben. Nicht zuletzt diesen Erfolgen ist es zu verdanken, dass sich die sogenannte mathematische Bildverarbeitung als eigenständiges Forschungsgebiet eta-bliert hat, bei dem Deutschland international sehr gut po-sitioniert ist. Wir werden Prozesse betrachten, die Inspi-rationen aus fünf Bereichen schöpfen: Elektrostatik, Dif-fusion, Wellenausbreitung, Wärmeleitung und Osmose.
    01/2012; 20(2). DOI:10.1515/dmvm-2012-0040