Das asymptotische Verhalten der Grundzustandsenergie des Müllerfunktionals für schwere Atome

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Das asymptotische Verhalten der
Grundzustandsenergie des M¨ ullerfunktionals f¨ ur
schwere Atome
Heinz Siedentop∗
Mathematisches Institut
Ludwig-Maximilians-Universit¨ at M¨ unchen
Theresienstraße 39
DE-80333 M¨ unchen†
Email: h.s@lmu.de
14.11.2008
Zusammenfassung
Wir zeigen, daß die Grundzustandsenergie EM(Z) des M¨ ullerfunktio-
nals von (neutralen) Atomen der Ordnungszahl Z mit der quantenmecha-
nischen Grundzustandsenergie EQ(Z) bis zur Ordnung o(Z5/3) ¨ uberein-
stimmt, d.h.
EM(Z) = ES(Z) + o(Z
5
3),
wobei ES(Z) die quantenmechanische Grundzustandsenergie des neutra-
len Atoms der Ordnungszahl Z bezeichnet.
1 Einleitung
1.1 Quantenmechanik
Der Zustandsraum eines N-Elektronensystems sind die Einheitsstrahlen im N-
Teilchen-Hilbertraum
N?
Der Schr¨ odingeroperator eines N-Elektronenatoms
HN:=
n=1
L2(R3) ⊗ C2.
SN,Z=
N
?
n=1
?
−∆n−
Z
|xn|
?
+
?
1≤m<n≤N
1
|xm− xn|
(1)
∗Mein Dank gilt dem Institute for Mathematics and its Applications an der University
of Minnesota f¨ ur seine großz¨ ugige Unterst¨ utzung meiner Forschung sowie der Deutschen For-
schungsgemeinschaft, die diese Arbeit teilweise im Rahmen des SFB TR 12 gef¨ ordert hat.
Mein besonderer Dank gilt Rupert Frank f¨ ur seine kritischen Bemerkungen zum Manuskript.
†Derzeitige Anschrift: Institute for Mathematics and its Applications, University of Min-
nesota, 114 Lind Hall, 207 Church Street S.E., Minneapolis, MN 55455-0134, USA
1

Page 2

ist in diesem Raum kanonisch als St¨ orung des Laplaceoperators selbstadjungiert
realisiert. Dessen Grunzustandsenergie ist ES(N,Z) := inf(σ(SN,Z)). Wir ver-
merken f¨ ur sp¨ ater, daß wir im neutralen Fall, also N = Z, das erste Argument
aller auftauchenden Energiefunktional einfach unterdr¨ ucken, d.h. wir werden
z.B. kurz ES(Z) f¨ ur ES(Z,Z) schreiben.
1.2Funktional der Einteilchendichtematrix
Wir nennen γ eine (fermionische) Einteilchendichtematrix, wenn γ ein selbstad-
jungierter Operator der Spurklasse S1(L2(R3) ⊗ C2) auf L2(R3) ⊗ C2ist und
0 ≤ γ ≤ 1 gilt. Die Spur von γ heißt die Teilchenzahl N, d.h. N := Spγ. Wir
bezeichnen die Menge der Einteilchendichtematrizes mit
I := {γ ∈ S1(L2(R3) ⊗ C2) | 0 ≤ γ ≤ 1}
(2)
und setzen
IN:= {γ ∈ I | Spγ ≤ N}.
(3)
Nach Gilbert [14] kann die Grundzustandsenergie eines jeden quantenmecha-
nisches Coulombsystems – analog zum Hohenberg-Kohn-Theorem – als Mini-
mum eines universellen Funktionals der Einteilchendichtematrix γ geschrieben
werden.
0bwohl jedoch dieses Funktional unbekannt ist, gibt es mehrere Funktiona-
le, die eine gute Approximation f¨ ur ES(Z) liefern. Das bekannteste ist wohl
das Hartree-Fock-Funktional in der von Lieb [21] angegebenen Form. Um das
Funktional einzuf¨ uhren, verwenden wir folgende Notation: Zu gegebenem γ ∈ I
sei ϕ1,ϕ2,... ein vollst¨ andiges System orthonormierter Eigenvektoren mit zu-
geh¨ origen Eigenwerten λ1,λ2,.... Dann ist γ(x,y) :=?∞
Teilchendichte von γ. (Wie nicht un¨ ublich, bezeichnen wir mit x und y Raum-
Spin-Variablen, also x,y ∈ Γ := R3× {1,2} und sp¨ ater mit?
D(f,g) :=1
2
n=0λnϕn(x)ϕn(y) der
Integralkern von γ und ργ(x) :=?2
bez¨ uglich x und Summation ¨ uber σ.) Ferner sei
σ=1γ(x,x), die spinsummierte Diagonale, die
Γd die Integration
?
R3dx
?
R3dyf(x)g(y)
|x − y|
das Coulombskalarprodukt und mit das Austausch-Skalarpordukt
X(γ,δ) :=1
2
?
Γ
dx
?
Γ
dyγ(x,y)δ(x,y)
|x − y|
.
(Die zugeh¨ origen quadratischen Formen bezeichnen wir mit denselben Buchsta-
ben, setzen jedoch das Argument in eckige Klammern.)
Damit k¨ onnen wir das Hartree-Fock-Funktional
EHF: I→
?→
R
Sp[(−∆ − Z/| · |)γ] + D[ργ] − X[γ]
(4)
(5)
γ
definieren. Die Grundzustandsenergie des Hartree-Fock-Funktionals, kurz die
Hartree-Fock-Energie, ist
EHF(N,Z) = inf{EHF(γ) | γ ∈ IN}.
(6)
2

Page 3

Es ist bekannt, daß das Infimum in (6) unver¨ andert bleibt, wenn man die Mi-
nimierung zus¨ atzlich auf idempotente Dichtematrizes, also solche, die von Sla-
terdeterminanten herr¨ uhren, beschr¨ ankt. Ferner ist bekannt, daß das Infimum
f¨ ur N < Z + 1 und N ganzzahling stets f¨ ur eine Dichtematrix mit Teilchenzahl
N angenommen wird, d.h. ein Grundzustand mit Teilchenzahl N existiert (Lieb
und Simon [23, 24]).
Da f¨ ur idempotentes γ = |ϕ1??ϕ1| + ··· + |ϕN??ϕN| mit orthonormalen Spi-
noren ϕ1,··· ,ϕN die Identit¨ at
EHF(γ) = N!−1(ϕ1∧ ··· ∧ ϕN,SN,Zϕ1∧ ··· ∧ ϕN)
gilt, ist die Hartree-Fock-Energie ES(N,Z) stets eine obere Schranke an die
quantenmechanische Grundzustandsenergie.
Ein weiteres Funktional der Einteilchendichtematrix wurde von M¨ uller [26]
angegeben
EM: I→
?→
R
(7)
γ
Sp[(−∆ − Z/| · |)γ] + D[ργ] − X[γ
1
2] (8)
Die M¨ ullerenergie ist
EM(N,Z) = inf{EM(γ) | γ ∈ IN}.
(9)
Frank u.a. [12] zeigten, daß f¨ ur N ≤ Z der – auch ohne diese Einschr¨ ankung
existierende Minimierer – stets die Teilchenzahl N besitzt, d.h. es exisitiert
ein Grundzustand mit Teilchenzahl N. Im Gegensatz zu einem Hartree-Fock-
Minimierer γHF, dessen Bildraum stets N dimensional ist, ist der Bildraum
eines M¨ ullerminimieres jedoch immer unendlich dimensional. Offensichtlich ist,
wiederum per constructionem, daß die M¨ ullerenergie kleiner als die Hartree-
Fock-Energie ist. Weiter gilt, daß im Zweielektronenfall (auch mehrere Zentren
sind erlaubt), die M¨ ullerenergie sogar die quantenmechanische Energie nach un-
ten beschr¨ ankt [12], ein Faktum, daß durch numerische Rechnungen f¨ ur alle
Elektronenzahlen N nahe gelegt wird; mehr noch, diese numerischen Resultate
deuten darauf hin, daß die M¨ ullerenergien nicht mehr von den quantenmechani-
schen Energien abweichen als die Hartree-Fock-Energien. W¨ ahrend jedoch auf
der analytischen Seite f¨ ur die Hartree-Fock-Energie
EHF(Z) = ES(Z) + o(Z
5
3) (10)
gilt (Bach [2]) – dieses Resultat gilt auch f¨ ur Molek¨ ule und Ionen, wenn die
Neutralit¨ at des Systems nicht zu stark verletzt ist –, fehlt ein entsprechendes
Resultat f¨ ur die M¨ ullerenergie. Es k¨ onnte also sein, daß die M¨ ullerenergie unrea-
listisch klein ist. Daß dieses nicht zutrifft, ist der Inhalt der vorliegenden Arbeit.
Genauer gesagt ist unser Resultat
Satz 1. Es gibt eine positive Konstante c so, daß f¨ ur alle Z ≥ 1
EM(Z) ≤ EHF(Z) ≤ EM(Z) + cZ
5
3−
1
130
gilt.
3

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Wir bemerken dazu, daß dieses Resultat auf Molek¨ ule mit nicht zu kleinem
Kernabst¨ anden – einschließlich der physikalischen Abst¨ ande – ¨ ubertragbar ist.
Ferner ist die strikte Neutralit¨ at nicht wesentlich. Das System muß nur im we-
sentlichen neutral sein. Wir pr¨ asentieren jedoch der¨Ubersichtlichkeit halber hier
nur den atomaren Fall.
Weiterhin sei bemerkt, daß eine durch numerische Resultate nahe gelegte
Ungleichung ES(Z) ≥ EM(Z) auch sofort das Bachsche Resultat (10) implizieren
w¨ urde.
Desweiteren m¨ ochten wir darauf verweisen, daß erst j¨ ungst Dichtefunktionale
hergeleitet und untersucht wurden, die die gleiche asymptotische Genauigkeit
(bis zur Ordnung o(Z5/3)) besitzen, wie das M¨ ullerfunktional (Lee u. a. [17]).
W¨ ahrend die Konstruktion solcher Funktionale erheblichen Aufwand erfordert,
ist dieses im M¨ ullerfunktional ohne weiteres eingebaut.
Weiter bemerken wir, daß Satz 1 g¨ ultig bleibt, wenn man im M¨ ullerfunktional
X[γ1/2] durch X[γα] mit 1/2 ≤ α ≤ 1 ersetzt. Solche Funktionale wurden von
Sharma u.a. [16] eingef¨ uhrt.
Schließlich impliziert der Satz 1 mittels des obigen Bachschen Resultats
und der asymptotischen Entwicklung der quantenmechanischen Grundszustand-
senergie (Fefferman und Seco [9, 10, 4, 11, 7, 5, 6, 8]) sofort, daß
EM(Z) = ES(Z) + o(Z
5
3) = ETF(Z) +1
4Z2− cSZ
5
3 + o(Z
5
3) (11)
gilt. Hier ist ETF(Z) die Thomas-Fermi-Energie des neutralen Atoms der Ord-
nungszahl Z und cSist die Schwingerkonstante (Schwinger [27]).
Der Beweis des Satzes 1 ist wesentlich von der Bachschen Idee [1] gepr¨ agt, die
Energiedifferenz zwischen zwei Funktionalen durch eine Norm der abgeschnit-
tenen Einteilchendichtematrix γ(1 − γ) abzusch¨ atzen und diese Norm dann als
klein zu erkennen. Dieses wiederum wird durch Vergleich mit einem geeigneten
approximativen Zustand, hier dem halbklassichen Grundzustand des Schr¨ odin-
geroperators mit Thomas-Fermi-Potential, gewonnen, wobei unser Vorgehen von
Graf und Solovej [15] inspiriert ist.
2Einfache Schranke an die M¨ ullerenergie
Wir ben¨ otigen eine einfache Schranke der Gr¨ oßenordnung Z
renergie, um die Asymptotik in dieser Gr¨ oßenordnung zu finden. Eine solche
Schranke wird in diesem Abschnitt entwickelt.
Cioslowski und Pernal [3] (siehe auch [12]) konnten zeigen, daß der M¨ uller-
sche Austausch-Korrelations-Term keine einfache Ungleichung vom Lieb-Oxford-
5
3 an die M¨ ulle-
Typ (Lieb [19], Lieb und Oxford [22]) der Form X[γ
Dennoch bewirkt dieser Term – wie der Austauschterm des Hartree-Fock-Funk-
tionals – eine Energieerniedrigung, die h¨ ochstens der Gr¨ oßenordnung Z
was aus folgendem Lemma folgt; denn das reduzierte Hartree-Fock-Funktional
1
2] ≤ C?ρ
4
3
γ gelten kann.1
5
3 ist,
ErHF(γ) := Sp[(−∆ − Z/| · |)γ] + D[ργ](12)
ist offensichtlich gr¨ oßer als das Hartree-Fock-Funktional, da ein negativer Term
entfallen ist. Ferner sei ErHF(N,Z) das Infimum von ErHFauf IN.
1Hier und im folgenden bezeichne C eine generische Konstante.
4

Page 5

Lemma 1. Sei γ ein Minimierer des M¨ ullerfunktionals auf IN. Dann gilt
EM(Z) ≤ EHF(Z) ≤ ErHF(Z) ≤ ErHF(γ) ≤ EM(Z) + CZ
Beweis. Die ersten drei Ungleichungen sind per constructionem und Variations-
prinzip offensichtlich richtig, sodaß wir lediglich die letzte Schranke zeigen. Dazu
w¨ ahlen wir ein sp¨ ater n¨ aher zu bestimmendes ? ∈ (0,1) und bezeichnen mit γ
einen Minimierer des M¨ ullerfunktional. Dann gilt
5
3.
(13)
ErHF(Z,Z) ≥ EHF(Z,Z) ≥ EM(Z,Z) = Sp[(−∆ − Z/| · |)γ] + D[ργ] − X[γ
≥ Sp[(−(1 − ?)∆ − Z/| · |)γ] + D[ργ) + ?Sp(−∆γ) − X[γ
1
1 − ?ErHF(Z) + inf
?
≥ ErHF(Z) − ?CZ
Hier haben wir neben der Skalierung des reduzierten Hartree-Fock-Funktionals
benutzt, daß ErHF(Z) = ETF(Z) = ETF(1)Z
von [20, Satz 5.1] folgt. Sodann beachten wir, daß N = Z gilt und wir deshalb
? = Z−2
1
2]
1
2]
≥
??
Γ
dx
?
Γ
?|∇yγ
1
2(x,y)|2−|γ
1
2(x,y)|2
2|x − y|
dy
???
≥−1
7
3 − ?−1N/16 = ErHF(Z) − CZ
16?
R
Γ|γ
1
2(x,y)|2dy
??γ ∈ IN
?
5
3
(14)
7
3+o(Z
7
3) gilt, was aus dem Beweis
3 w¨ ahlen.
Lemma 2 (Virialsatz (Frank u.a [12])). Sei γ ein Minimierer des M¨ ullerfunk-
tionals EM auf IN. Dann gilt Sp(−∆γ) = −EM(γ).
Beweis. Wir strecken den Grundzustand γ und definieren f¨ ur positives λ die
gestreckte Dichtematrix γλ durch γλ(x,y) := λ3γ(λx,σ;λy,τ). Die gestreckte
Dichtematrix geh¨ ort offensichtlich auch zu IN. Da f(λ) := EM(γλ) f¨ ur positives
Argument differenzierbar ist und f¨ ur λ = 1 ein Minimum hat, folgt die Aussage
aus f?(1) = 0.
Da die EHF(Z) = ETF(1)Z
Lemmata 1 und 2, daß
7
3 + o(Z
7
3) (Lieb und Simon [25]) gilt, folgt aus
Sp(−∆γ) = O(Z
7
3)(15)
gilt.
3 Verdampfungsgrad des M¨ ullergrundzustandes
Der Bildraum einer das M¨ ullerfunktional minimierenden Einteilchendichtema-
trix γ ist unendlichdimensional (Frank u.a. [12]), eine Eigenschaft, die das
M¨ ullerfunktional mit der Schr¨ odingertheorie teil (Friesecke [13], Lewin [18]).
Frank u.a. vermuten sogar, daß ein solches γ trivialen Kern hat. Vom quanten-
mechanischen Minimierer ist jedoch seit Bach [1] bekannt, daß der Minimierer
nicht zu stark von einer Projektion abweichen kann. Ein Maß daf¨ ur ist die Spur
der Dichtematrix γ(1 − γ), die verschwindet, wenn γ vollst¨ andig kondensiert
5

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ist, d.h. γ eine Projektion ist. Eine st¨ arkere Eigenschaft ist die fast vollst¨ andi-
ge Kondensation der Dichtematrix in einen vorgegebenen Zustand, eine Eigen-
schaft, die im quantenmechanischen Fall von Graf und Solovej [15] untersucht
wurde. Praktikabilit¨ ats halber w¨ ahlen wir die halbklassiche Projektion P eines
Teilchens im Thomas-Fermi-Potential: Sei φ := Z/| · | − ρ ∗ | · |−1das Thomas-
Fermi-Potential, daß durch den Minimierer ρ des Thomas-Fermi-Funktionals
ETFeines Atoms mit Ladungszahl Z gegeben ist. Ferner sei
?
0
g(x) :=
(2πR)−1
2|x|−1sin(π|x|/R)
|x| ≤ R
|x| > R
mit R = Z−3/5. Weiter f¨ uhren wir den koh¨ arenten Zustand mit Implus p, Ort
q und Spin σ ein, d.h.
|α? = |p,q,τ? := eip··g(· − q)δ·,σ
(16)
mit α := (p,q,σ) ∈ Γ := R3× R3× {1,2}, und
?
sei das nat¨ urliche Maß auf Γ im Sinne von Planck, das die Zahl der Elektronen
im Phasenraum z¨ ahlt. Ferner sei M der klassisch erlaubte Bereich des Phasen-
raumes, d.h.
M := {(p,q,σ) ∈ Γ | p2− φ(q) < 0}.
Der”halbklassischen Projektor“2des Schr¨ odingeroperators mit Thomas-Fermi-
Potential ist
P =
M
Damit haben wir
Γ
dΩ(α) := (2π)−3
?
R3dp
?
rz3dq
?
τ=1,2
?
dΩ(α)|α??α|.
(17)
Lemma 3. Sei γ ein Grundzustand des M¨ ullerfunktionals eines neutralen Atoms
der Ordnungszahl Z. Dann gilt f¨ ur den Verdampfungsgrad δ(γ,P) des Zustands
γ aus dem fermionischen Zustand P
δ(γ,P) := Sp((1 − P)γ) = O(Z
69
70).
(18)
Beweis. Zun¨ achst erinnern wir daran, daß f¨ ur alle γ ∈ I
Sp(γ(−∆ − φ
? ?? ?
gilt (Lieb [Abschnitt V.A.2][20], Thirring [28]). Damit haben wir f¨ ur
?
da D[ρ − ργrHF] ≥ 0. Desweiteren benutzen wir die Phasenraumabsch¨ atzung
(Bach [2, Lemma 12], Graf und Solovej [15, Lemma 7 und den Beweis von
(1.16)])
?
2Es sei vermerkt, daß der so eingef¨ uhrte Operator P ist kein Projektor ist.
=:HTF
)) ≥
?
Γ
dΩ(α)(p2− φ(x))|α??α| − CZ
7
3−1
30
(19)
ErHF(γ) ≥ Sp(γHTF) − D[ρ] ≥
Γ
dΩ(α)(p2− φ(x))−− D[ρ] − CZ
7
3−1
30, (20)
−a<p2−φ(x)<0
dΩ(α)(p2− φ(x) + a) = O(a
7
4).
(21)
6

Page 7

Der Vollst¨ andigkeit halber f¨ ugen wir den Beweis der Absch¨ atzung (21) von Graf
und Solovej in leicht vereinfachter Form hier ein:
?
=4π
3
0
?a
wo wir das Potential φ durch Sommerfeldl¨ osung C|x|−4nach oben abgesch¨ atzt
haben (Lieb [20, S. 607]).
Weiter sei
EM,a(γ) := EM(γ) − aSp(1 − P)γ.
Nun gilt
−a<p2−φ(x)<0
?a
≤ 2π
dΩ(α)(p2− φ(x) + a) =
?a
3
2
+) = 2π
0
db
?
−b<p2−φ(x)<0
?a
?a
dΩ(α)
db
?
R3dx(φ(x)
?b
3
2 − (φ(x) − b)
0
db
?b
?b
0
dc
?
R3(φ(x) − c)
dcc−1
1
2
+
0
db
0
dc
?
R3dx(C|x|−4− c)
1
2
+= C
0
db
0
4 = C c
7
4,
(22)
aSp(1−P)γ = EM(Z)−EM,a(γ) ≤
????
?
(13)
ErHF(Z)−[ErHF(γ)−aSp((1−P)γ)]+CZ
5
3
≤ ErHF(Z) + aZ − Sp((HTF+ aP)γ) + D[ρ] + CZ
dΩ(α)(p2−φ(x)+a)−−D[ρ]−
?
138
105 erhalten wir
5
3
≤
?
Γ
Γ
dΩ(α)(p2−φ(x)+aχM(x))−+D[ρ]+CZ
69
30) ≤ C(a
69
30
=
−a<p2−φ(x)<0
dΩ(α)(p2− φ(x) + a) + O(Z
7
4 + Z
69
30),
(23)
d.h. f¨ ur a = Z
δ(γ,P) = O(Z
69
70),
(24)
also die behauptete Absch¨ atzung an den Verdampfungsgrad.
Wir m¨ ochten an dieser Stelle keine Vermutung ¨ uber den tats¨ achlichen Ver-
dampfungsgrad abgeben. Es ist aber klar, daß die hergeleitete Fehlerabsch¨ atzung
nicht optimal ist. Benutzt man z.B. den Z-Teilchen-Grundzustand von HTFund
die von Fefferman und Seco [9, 10, 4, 11, 7, 5, 6, 8] angegebene asymptotische
Entwicklung, so ergibt sich ein Fehler der maximalen Gr¨ oße O(Z
ten also fest, daß (18) zwar nicht optimal aber einfach und f¨ ur unsere Zwecke
hinreichend ist.
5
7). Wir hal-
Folgerung 1. Sei γ ein Minimierer des M¨ ullerfunktionals auf IZ. Dann ist
Sp(γ(1 − γ)) ≤ CZ
Beweis. Da 0 ≤ γ ≤ 1 und Spγ = SpP = Z ist, haben wir
Sp(γ(1−γ)) = Sp(Pγ(1−γ))+Sp((1−P)γ(1−γ)) ≤ Sp(P(1−γ))+Sp((1−P)γ)
= Z − Sp(Pγ) + Sp((1 − P)γ) = 2Sp((1 − P)γ) = 2δ(γ,P) = O(Z
69
70.
(25)
69
70).
(26)
7

Page 8

4 Schranke an die M¨ ullerenergie: Abgeschnitte-
ne Einteilchendichtematrix
Lemma 4. Sei γ ein Minimierer des M¨ ullerfunktionals EMauf IN. Dann gilt
0 ≤ EHF(Z) − EM(Z) ≤ CZ
7
6 Sp[γ(1 − γ)].
Beweis. Gem¨ aß Variationsprinzip haben wir
0 ≤ EHF(Z) − EM(Z) ≤1
?
?
Γ
?
wo wir die Schwarzsche Ungleichung von (28) nach (29) und die Hardysche Un-
gleichung und γ
O(Z
2
?
Γ
dx
?
Γ
dy|γ
1
2(x,y)|2− |γ(x,y)|2
|x − y|
2(x,y) − γ(x,y))
|x − y|
?
7
6?
(27)
=1
2
Γ
dx
?
Γ
dy(γ
1
2(x,y) + γ(x,y))(γ
1
(28)
≤1
2
?
?
??
Sp(−∆γ)
dx
?
Γ
dy|γ
1
2(x,y) + γ(x,y)|2
|x − y|2
Sp[γ(1 − γ)] ≤ CZ
Sp|γ
1
2(1 − γ
1
2)|2
(29)
≤ 2
?
Sp[γ(1 − γ)].
(30)
1
2 ≥ γ von (29) nach (30) sowie in der letzten Zeile Sp(−∆γ) =
3) (Gleichung (15)) benutzt haben.
7
Beweis des Satzes 1. Die untere Schranke ist trivial; denn die Hartree-Fock-
Energie ist stets gr¨ oßer als die M¨ ullerenergie. Um die obere Schranke zu zeigen,
m¨ ussen wir nun lediglich noch das Lemma 4 und die Folgerung 1 kombinieren
und erhalten die behauptete Ungleichung des 1. Satzes.
Literatur
[1]
Bach, Volker: Error Bound for the Hartree-Fock Energy of Atoms and
Molecules. In: Comm. Math. Phys. 147 (1992), S. 527–548
[2]
Bach, Volker: Accuracy of Mean Field Approximations for Atoms and
Molecules. In: Comm. Math. Phys. 155 (1993), S. 295–310
[3]
Cioslowski, Jerzy; Pernal, Katarzyna: Constraints upon Natural Spin
Orbital Functionals Imposed by Properties of a Homogeneous Electron Gas.
In: Journal of Chemical Physics 111 (1999), August, Nr. 8, S. 3396–3400
[4]
Fefferman, C. Seco, L.
Differential Operators. In: Adv. Math. 95 (1992), October, Nr. 2, S. 145–
305
Eigenfunctions and Eigenvalues of Ordinary
[5]
Fefferman, C. Seco, L. The Density of a One-Dimensional Potential.
In: Adv. Math. 107 (1994), September, Nr. 2, S. 187–364
[6]
Fefferman, C. Seco, L.
Potential. In: Adv. Math. 108 (1994), October, Nr. 2, S. 263–335
The Eigenvalue Sum of a One-Dimensional
8

Page 9

[7]
Fefferman, C. Seco, L. On the Dirac and Schwinger Corrections to the
Ground-State Energy of an Atom. In: Adv. Math. 107 (1994), August, Nr.
1, S. 1–188
[8]
Fefferman, C. Seco, L.
Potential. In: Adv. Math. 111 (1995), March, Nr. 1, S. 88–161
The Density in a Three-Dimensional Radial
[9]
Fefferman, C. L.; Seco, L. A.: An Upper Bound for the Number of
Electrons in a Large Ion. In: Proc. Nat. Acad. Sci. USA 86 (1989), S.
3464–3465
[10] Fefferman, C. L.; Seco, L. A.: On the Energy of a Large Atom. In: Bull.
AMS 23 (1990), October, Nr. 2, S. 525–530
[11] Fefferman, Charles L.; Seco, Luis A.: Aperiodicity of the Hamiltonian
Flow in the Thomas-Fermi Potential. In: Revista Mathem´ atica Iberoame-
ricana 9 (1993), Nr. 3, S. 409–551
[12] Frank, Rupert L.; Lieb, Elliott H.; Seiringer, Robert ; Sieden-
top, Heinz: M¨ uller’s Exchange-Correlation Energy in Density-Matrix-
Functional Theory. In: Phys. Rev. A 76 (2007), Nr. 052517
[13] Friesecke, G.: On the infinitude of non-zero eigenvalues of the single-
electron density matrix for atoms and molecules. In: R. Soc. Lond. Proc.
Ser. A Math. Phys. Eng. Sci. 459 (2003), Nr. 2029, S. 47–52. – ISSN
1364–5021
[14] Gilbert, T. L.: Hohenberg-Kohn Theorem for Nonlocal External Poten-
tials. In: Phys. Rev. B 12 (1975), Sep, Nr. 6, S. 2111–2120
[15] Graf, Gian M.; Solovej, Jan P.: A correlation estimate with applications
to quantum systems with Coulomb interactions. In: Rev. Math. Phys. 6
(1994), Nr. 5A, S. 977–997. – Special issue dedicated to Elliott H. Lieb. –
ISSN 0129–055X
[16] Gross,
http://www.ima.umn.edu/videos/?id=544. September 2008
E. K.U.TBA. IMAtalk
[17] Lee, Donghyung; Burke, Kieron; Constantin, Lucian A. ; Per-
dew, John P.Exact Condition on the Kohn-Sham Kinetic Energy,
and Modern Parametrization of the Thomas-Fermi Density.
http://arxiv.org/abs/0810.1992v1. October 2008
ArXiv.org
[18] Lewin, Mathieu: Quelques mod` eles non lin´ eaires en m´ ecanique quantique.
http://tel.archives-ouvertes.fr/documents/archives0/00/00/63/06/index.html,
Paris Dauphine, Diss., 2004
[19] Lieb, Elliott H.: A Lower Bound for Coulomb Energies. In: Phys. Lett.
70A (1979), S. 444–446
[20] Lieb, Elliott H.: Thomas-Fermi and Related Theories of Atoms and Mo-
lecules. In: Rev. Mod. Phys. 53 (1981), October, Nr. 4, S. 603–641
[21] Lieb, Elliott H.: Variational Principle for Many-Fermion Systems. In:
Phys. Rev. Lett. 46 (1981), Nr. 7, S. 457–459. – ISSN 0031–9007
9

Page 10

[22] Lieb, Elliott H.; Oxford, Stephen: Improved Lower Bound on the Indirect
Coulomb Energy. In: Intern. J. Quantum Chem. 19 (1981), S. 427–439
[23] Lieb, Elliott H.; Simon, Barry: On Solutions of the Hartree-Fock Problem
for Atoms and Molecules. In: Journal of Chemical Physics 61 (1974), July,
Nr. 2, S. 735–736
[24] Lieb, Elliott H.; Simon, Barry: The Hartree-Fock Theory for Coulomb
Systems. In: Comm. Math. Phys. 53 (1977), Nr. 3, S. 185–194
[25] Lieb, Elliott H.; Simon, Barry: The Thomas-Fermi Theory of Atoms,
Molecules and Solids. In: Adv. Math. 23 (1977), S. 22–116
[26] M¨ uller, A. M. K.: Explicit Approximate Relation between Reduced Two-
and One-Particle Density Matrices.
November, Nr. 9, S. 446–452
In: Physics Letters A105 (1984),
[27] Schwinger, Julian: Thomas-Fermi Model: The Second Correction. In:
Phys. Rev. A 24 (1981), Nr. 5, S. 2353–2361
[28] Thirring, W. A Lower Bound with the Best Possible Constant for Cou-
lomb Hamiltonians. In: Comm. Math. Phys. 79 (1981), S. 1–7
10