The Leray and Fujita-Kato theorems for the Boussinesq system with partial viscosity

Abstract

We are concerned with the so-called Boussinesq equations with partial viscosity. These equations consist of the ordinary incompressible Navier-Stokes equations with a forcing term which is transported {\it with no dissipation} by the velocity field. Such equations are simplified models for geophysics (in which case the forcing term is proportional either to the temperature, or to the salinity or to the density). In the present paper, we show that the standard theorems for incompressible Navier-Stokes equations may be extended to Boussinesq system despite the fact that there is no dissipation or decay at large time for the forcing term. More precisely, we state the global existence of finite energy weak solutions in any dimension, and global well-posedness in dimension $N\geq3$ for small data. In the two-dimensional case, the finite energy global solutions are shown to be unique for any data in $L^2(\R^2).$

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arXiv:0806.4083v1 [math.AP] 25 Jun 2008
Les th´ eor` emes de Leray et de Fujita-Kato pour le syst` eme de
Boussinesq partiellement visqueux.
The Leray and Fujita-Kato theorems for the Boussinesq
system with partial viscosity
R. Danchin et M. Paicu
25 juin 2008
Abstract
We are concerned with the so-called Boussinesq equations with partial viscosity. These
equations consist of the ordinary incompressible Navier-Stokes equations with a forcing
term which is transported with no dissipation by the velocity field. Such equations are
simplified models for geophysics (in which case the forcing term is proportional either to
the temperature, or to the salinity or to the density).
In the present paper, we show that the standard theorems for incompressible Navier-
Stokes equations may be extended to Boussinesq system despite the fact that there is no
dissipation or decay at large time for the forcing term.
More precisely, we state the global existence of finite energy weak solutions in any
dimension, and global well-posedness in dimension N ≥ 3 for small data. In the two-
dimensional case, the finite energy global solutions are shown to be unique for any data
in L2(R2).
R´ esum´ e
Dans cet article, on ´ etudie le syst` eme de Boussinesq d´ ecrivant le ph´ enom` ene de convec-
tion dans un fluide incompressible et visqueux. Ce syst` eme est compos´ e des ´ equations de
Navier-Stokes incompressibles avec un terme de force verticale dont l’amplitude est trans-
port´ ee sans dissipation par le flot du champ de vitesses.
On montre que les r´ esultats classiques pour le syst` eme de Navier-Stokes standard
demeurent vrais pour le syst` eme de Boussinesq bien qu’il n’y ait pas d’amortissement sur
le terme de force.
Plus pr´ ecis´ ement, on ´ etablit l’existence de solutions faibles globales d’´ energie finie en
n’importe quelle dimension et l’existence de solutions fortes uniques globales en dimension
N ≥ 3 pour de petites donn´ ees initiales. Dans le cas particulier de la dimension deux, les
solutions d’´ energie finie sont uniques pour n’importe quelle donn´ ee initiale dans L2(R2).
MSC : 35Q35, 76N10, 35B65, 76D99
Keywords : Boussinesq system, weak solutions, losing estimates, critical regularity.
Mots-clefs : Syst` eme de Boussinesq, solutions faibles, estimations ` a pertes, r´ egularit´ e cri-
tique.
1

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2
Introduction
Dans cet article, on ´ etudie l’´ evolution d’un fluide incompressible visqueux soumis ` a
une force verticale. On suppose que l’amplitude θ de cette force est transport´ ee par le flot
du champ de vitesses u du fluide. Le syst` eme de Boussinesq r´ egissant l’´ evolution de (θ,u)
s’´ ecrit donc :


Les inconnues θ, u et Π d´ ependent du temps t ≥ 0 et de la variable d’espace x. Pour
s’abstraire des difficult´ es dues aux conditions aux limites, on suppose que le fluide remplit
tout l’espace (donc x d´ ecrit RNtout entier).
Le syst` eme (1) est un mod` ele simplifi´ e courant pour l’´ evolution de fluides g´ eophysiques
(voir par exemple [26] ou [28]). Le champ de vecteurs u et le scalaire Π d´ esignent alors
respectivement la vitesse et la pression du fluide consid´ er´ e et θ, une quantit´ e scalaire1
transport´ ee par le fluide.
Pour avoir un mod` ele plus r´ ealiste, il conviendrait de rajouter des termes de forces
ext´ erieures aux deux ´ equations. Nous les supposerons nuls pour simplifier la pr´ esentation.
Notons au passage que dans le cas particulier o` u θ ≡ 0, on retrouve le syst` eme de Navier-
Stokes “classique”.
Les pr´ emices de l’´ etude math´ ematique du syst` eme de Boussinesq sont relativement
r´ ecentes et ne traduisent pas uniquement une pr´ eoccupation d’ordre physique. En r´ ealit´ e,
l’engouement des math´ ematiciens pour ce mod` ele se limite essentiellement au cas de la
dimension deux du fait d’une ressemblance formelle (dans le cas ν = 0) avec le syst` eme
d’Euler incompressible axisym´ etrique avec swirl. On peut montrer que l’apparition de
singularit´ es au temps T est li´ ee ` a l’explosion simultan´ ee de ∇θ et du tourbillon dans
L1(0,T;L∞) (voir [15]). Malheureusement, d´ eterminer si ces quantit´ es explosent effecti-
vement semble au moins aussi difficile que r´ epondre au probl` eme similaire pour le syst` eme
d’Euler incompressible en dimension 3.
Dans le cas ν > 0 en revanche, les r´ esultats obtenus sont nettement plus complets.
Divers auteurs ont ´ etabli l’existence globale dans le cas N = 2 lorsque l’´ equation sur θ
comporte en plus un terme de diffusion (voir [29] et les r´ ef´ erences qui s’y trouvent).
L’existence globale en dimension deux sans condition de petitesse demeure valable
dans la situation qui nous int´ eresse o` u θ est transport´ e sans diffusion. Le cas de donn´ ees
r´ eguli` eres dans des espaces de Sobolev a ´ et´ e r´ esolu (ind´ ependamment) par T. Hou et C.
Li dans [19], et par D. Chae dans [4]. Tr` es r´ ecemment, H. Abidi et T. Hmidi ont ´ etabli
dans [1] l’existence globale et unicit´ e sans condition de petitesse pour des donn´ ees initiales
(θ0,u0) appartenant ` a un tr` es gros sous-espace de (L2(R2))3. Comme on peut par ailleurs
construire des solutions faibles globales ` a la Leray pour des donn´ ees initiales θ0et u0dans
L2(R2) (voir par exemple [18]), il est raisonnable de penser que ces solutions “faibles” sont
uniques.



∂tθ + u · ∇θ = 0
∂tu + u · ∇u − ν∆u + ∇Π = θeN
divu = 0.
(1)
1que nous appellerons temp´ erature pour fixer les id´ ees mais qui physiquement pourrait parfaitement
ˆ etre proportionnelle ` a la densit´ e ou ` a la salinit´ e

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3
Dans cet article, nous souhaitons montrer que trois des r´ esultats math´ ematiques les
plus c´ el` ebres pour le syst` eme de Navier-Stokes incompressible sont encore valables pour
le syst` eme de Boussinesq (1), ` a savoir :
– l’existence de solutions faibles globales d’´ energie finie en n’importe quelle dimension
(th´ eor` eme de Leray, voir [22]),
– l’unicit´ e des solutions d’´ energie finie en dimension deux (r´ esultat figurant implicite-
ment dans un autre article de J. Leray, voir [23], et d´ emontr´ e par J.-L. Lions et G.
Prodi dans [24]),
– l’existence de solutions globales uniques pour des donn´ ees petites en dimension N ≥
3 (th´ eor` eme de Fujita-Kato [16]).
Nous verrons plus loin que la d´ emonstration de l’existence globale de solutions faibles
se fait en suivant la d´ emarche originale de J. Leray : la pr´ esence de la temp´ erature n´ ecessite
un peu d’attention mais n’introduit pas de difficult´ e majeure.
En revanche, pour d´ emontrer l’unicit´ e en dimension deux, l’approche na¨ ıve consistant
` a ´ ecrire le syst` eme v´ erifi´ e par la diff´ erence de deux solutions semble vou´ ee ` a l’´ echec. En
effet, du fait de la pr´ esence d’une ´ equation de transport dans le syst` eme, les estimations de
stabilit´ e ne peuvent ˆ etre ´ etablies qu’avec perte d’au moins une d´ eriv´ ee donc dans un espace
` a r´ egularit´ e strictement n´ egative. Or, pour contrˆ oler ce type de r´ egularit´ e, l’hypoth` ese que
le champ de vitesses soit au moins lipschitzien semble in´ evitable. Mais le champ de vitesses
construit n’est a priori que dans L2
Enfin, pour ´ etablir l’existence de solutions fortes globales en dimension N ≥ 3, une
application directe de l’approche de Fujita-Kato associant point fixe contractant et utilisa-
tion du semi-groupe de la chaleur ne saurait convenir. En effet, la m´ ethode de Fujita-Kato
exige non seulement une donn´ ee initiale petite mais aussi un terme de force f qui soit
int´ egrable en temps sur R+entier, et d’int´ egrale petite.`A moins que θ ne soit identique-
ment nulle, cette derni` ere condition n’est pas v´ erifi´ ee par le terme de force θeN puisque
θ est transport´ ee sans amortissement donc est constante le long des caract´ eristiques.
loc(R+;H1).
Nous avons adopt´ e le plan suivant. La premi` ere section est consacr´ ee ` a la pr´ esentation
de nos r´ esultats principaux. Dans la partie suivante, nous d´ emontrons l’analogue du
th´ eor` eme de Leray pour le syst` eme de Boussinesq ` a l’aide d’arguments ´ el´ ementaires d’ana-
lyse fonctionnelle. Dans la troisi` eme section, nous pr´ esentons l’artillerie technique n´ eces-
saire pour venir ` a bout du reste de notre programme : espaces de Lorentz et de Besov,
d´ ecomposition de Littlewood-Paley et calcul paradiff´ erentiel. La quatri` eme partie regroupe
diverses estimations a priori – dont certaines avec perte de r´ egularit´ e – pour l’´ equation
de la chaleur ou de Stokes, l’´ equation de transport et le syst` eme de Navier-Stokes. Les
r´ esultats li´ es aux solutions fortes sont alors d´ emontr´ es dans la cinqui` eme partie, et l’unicit´ e
des solutions faibles d’´ energie finie en dimension deux, dans la sixi` eme partie. Nous avons
regroup´ e en derni` ere section quelques r´ esultats suppl´ ementaires. Un lemme technique fi-
gure en appendice.
1R´ esultats principaux
Avant d’´ enoncer notre r´ esultat d’existence globale de solutions faibles, pr´ esentons
bri` evement les ´ egalit´ es d’´ energie formelles associ´ ees au syst` eme.

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4
Soit donc (θ,u,∇Π) une solution r´ eguli` ere et d´ ecroissante ` a l’infini du syst` eme de
Boussinesq avec donn´ ees (θ0,u0). Tout d’abord, sachant que le champ de vitesses est ` a
divergence nulle, on a
?θ(t)?Lp = ?θ0?Lp
pour tout t ≥ 0 et 1 ≤ p ≤ ∞. (2)
Par ailleurs, en prenant le produit scalaire L2(RN)Nde l’´ equation de la vitesse avec u
puis en int´ egrant en temps, on obtient
?t
Il est clair que l’int´ egrale du terme de droite peut ˆ etre absorb´ ee par le membre de gauche
pourvu que l’on dispose d’un contrˆ ole sur la norme H−1de θ. Ce contrˆ ole est donn´ e par
(2) d` es que Lp(RN) s’injecte continˆ ument dans H−1(RN). Si N ≥ 3 (resp. N = 2), cette
condition est v´ erifi´ ee si et seulement si p ≥
Comme de coutume, l’obtention des solutions faibles globales se fera en passant ` a la
limite dans une suite de solutions approch´ ees v´ erifiant (2) et (3). Le passage ` a la limite
dans le terme u · ∇θ = div(uθ) exige que l’injection de Lp(RN) dans H−1(RN) soit
localement compacte, donc que p >
N+2.
Ces consid´ erations sommaires m` enent ` a l’´ enonc´ e suivant :
?u(t)?2
L2 + 2ν
0
?∇u?2
L2dτ = ?u0?2
L2 + 2
?t
0
?
RNθuNdxdτ. (3)
2N
N+2(resp. p > 1).
2N
TH´EOR`EME 1.1 Soit θ0∈ Lp(RN) avec
divergence nulle et coefficients dans L2(RN). Alors le syst` eme de Boussinesq avec donn´ ee
initiale (θ0,u0) admet une solution faible globale
(θ,u) ∈ L∞(R+;Lp(RN)) ×?L∞
telle que pour tout t ≥ 0, on ait
?t
pour une constante C ne d´ ependant que de N et de p, et α = 1 − N?1
Dans le cas θ ≡ 0, il est bien connu que les solutions faibles globales en dimension deux
sont uniques (voir par exemple [24]). Il est donc l´ egitime de chercher ` a d´ emontrer que
cette propri´ et´ e persiste pour le syst` eme de Boussinesq avec des donn´ ees quelconques dans
L2(R2).`A notre connaissance, le r´ esultat le plus proche allant dans ce sens a ´ et´ e ´ etabli
par H. Abidi et T. Hmidi dans [1] (voir aussi [18]) : si θ0 appartient ` a l’espace de Besov
homog` ene2 ˙B0
construite.
Nous d´ emontrons ici qu’il y a encore unicit´ e des solutions faibles d’´ energie finie en
dimension deux sous la seule hypoth` ese que les donn´ ees sont dans L2(R2).
Cette propri´ et´ e remarquable d´ ecoule du fait que le champ de vitesses construit appar-
tient aussi ` a l’espace?L1
2N
N+2< p ≤ 2, et u0 un champ de vitesses ` a
loc(R+;L2(RN)) ∩ L2
loc(R+;H1(RN))?N,
?θ(t)?Lp ≤ ?θ0?Lp
et?u(t)?2
L2 + ν
0
?∇u?2
L2dτ ≤ C
?
?u0?2
L2 + να−1tα+1?θ0?2
Lp
?
p−1
2
?.
2,1(R2) et u0est dans˙B−1
∞,1∩L2(R2) alors il y a unicit´ e de la solution globale
loc(R+;H2(R2)) (d´ efini plus loin en (18)) qui est ` a peine plus gros
2voir la d´ efinition 3.3

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5
que L1
en temps ` a valeurs quasi-lipschitziennes et l’on peut faire appel ` a des estimations avec
perte de r´ egularit´ e dans l’esprit de celles qui ont ´ et´ e ´ etablies dans [2] ou, plus r´ ecemment,
dans [12].
loc(R+;H2(R2)). De ce fait, le champ de vitesses est presque localement int´ egrable
TH´EOR`EME 1.2 Supposons N = 2. Soit (θ0,u0) ∈ L2(R2)3avec u0 ` a divergence
nulle. Alors le syst` eme (1) a une unique solution globale (θ,u,∇Π) telle que
θ ∈ C(R+;L2)
De plus la norme L2de θ est conserv´ ee au cours de l’´ evolution, l’´ egalit´ e (3) est satisfaite
et u appartient ` a l’espace?L1
de solutions fortes ` a donn´ ees petites en dimension N ≥ 3, dans l’esprit de celui de Fujita-
Kato pour le syst` eme de Navier-Stokes incompressible (voir [16]).
Rappelons que le th´ eor` eme de Fujita-Kato se d´ emontre en r´ ecrivant le syst` eme de
Navier-Stokes en termes de probl` eme de point fixe pour une fonctionnelle construite ` a l’aide
du semi-groupe de Stokes. Sous des hypoth` eses de petitesse ad´ equates, le th´ eor` eme du point
fixe de Picard permet alors d’obtenir une solution globale unique. Cette approche s’av` ere
particuli` erement performante si l’espace fonctionnel F utilis´ e est critique, i.e. respecte
l’invariance par changement d’´ echelle (ou scaling en anglais) du syst` eme de Navier-Stokes.
Cela am` ene ` a choisir pour F un espace de distributions sur R+× RN` a norme invariante
pour tout λ > 0 par la transformation
etu ∈ C(R+;L2) ∩ L2
loc(R+;H1).
loc(R+;H2) d´ efini au-dessus de la remarque 3.12.
La derni` ere partie de notre programme consiste ` a ´ etablir un r´ esultat d’existence globale
u(t,x) ?−→ λu(λ2t,λx)
et donc ` a choisir une vitesse initiale u0dans un espace fonctionnel E ` a norme invariante
par la transformation u0?→ λu0(λ·). H. Fujita et T. Kato d´ emontrent ainsi que le syst` eme
de Navier-Stokes est globalement bien pos´ e pour des donn´ ees initiales petites par rapport
` a la viscosit´ e dans l’espace de Sobolev homog` ene ˙H
Fujita-Kato se g´ en´ eralise ` a un grand nombre d’espaces critiques (voir e.g. [21] ou [25]).
Un calcul facile montre que le syst` eme de Boussinesq est invariant par la transformation
1
2(R3) (voir [16] et [5]). Le r´ esultat de
u(t,x) ?−→ λu(λ2t,λx)et θ(t,x) ?−→ λ3θ(λ2t,λx).
Autrement dit, les espaces critiques pour la vitesse sont les mˆ emes que pour le syst` eme de
Navier-Stokes et il faut en quelque sorte exiger deux d´ eriv´ ees de moins sur la temp´ erature.
En l’absence de dissipation sur la temp´ erature, il ne semble pas possible de d´ emontrer
que le syst` eme de Boussinesq est bien pos´ e mˆ eme localement pour des donn´ ees aussi peu
r´ eguli` eres. On peut cependant ´ etablir l’existence locale pour des donn´ ees initiales dans
l’espace de Besov homog` ene
˙B0
pour la vitesse seulement :
N,1(RN) (gros sous-espace de LN(RN)) qui est critique
TH´EOR`EME 1.3 Supposons N ≥ 2. Soit θ0 ∈ ˙B0
divergence nulle et coefficients dans
unique solution locale (θ,u,∇Π) dans l’espace
ET:= C([0,T];˙B0
N,1et u0 un champ de vecteurs ` a
N,1. Alors le syst` eme de Boussinesq admet une
˙B0
N,1) ×
?
C([0,T];˙B0
N,1) ∩ L1(0,T;˙B2
N,1)
?N
×
?
L1(0,T;˙B0
N,1)
?N.

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6
Si de plus θ ∈ L∞(0,T∗;˙B0
peut ˆ etre prolong´ ee au-del` a de T∗.
N,1) et u ∈ L∞(0,T∗;˙B0
N,1)∩L1(0,T∗;˙B2
N,1) alors la solution
Si la construction de solutions ` a temps petit peut se faire par des arguments standard,
montrer l’existence de solutions fortes globales est nettement plus d´ elicat. En effet, comme
expliqu´ e dans l’introduction, l’absence d’amortissement pour la temp´ erature interdit l’ap-
proche classique associant estimations pour le semi-groupe de la chaleur et point fixe
de Picard, et le scaling de la temp´ erature semble bien trop bas pour pouvoir travailler
directement dans des espaces invariants par changement d’´ echelle.
Notre strat´ egie est la suivante : trouver deux espaces fonctionnels, X pour la vitesse
initiale u0 et Y pour la temp´ erature initiale θ0 tels que, en notant P le projecteur
orthogonal sur les champs ` a divergence nulle et
on ait les estimations suivantes :
?eτ∆?
τ>0le semi-groupe de la chaleur,
?θ?L∞(0,T;Y )≤ ?θ0?Y,
????
0
?et∆u0?L∞(0,T;X)≤ ?u0?X,
????L∞(0,T;X)
?t
e(t−s)∆P div(u ⊗ u)(s)ds
0
e(t−s)∆P(θeN)ds
≤ C1?θ?L∞(0,T;Y ),
????L∞(0,T;X)
????
?t
≤ C2?u?2
L∞(0,T;X)
avec des constantes C1et C2ind´ ependantes du temps T. (Nous avons suppos´ e que ν = 1
pour simplifier l’heuristique.)
Pour de tels espaces, on obtiendra alors
?u?L∞(0,T;X)≤ ?u0?X+ C1?θ0?Y+ C2?u?2
L∞(0,T;X).
Supposons que (1) admette une solution locale (θ,u) dans L∞([0,T];Y ) × L∞([0,T];X)
et que de plus C1?θ0?Y+?u0?X≤ c avec c suffisamment petit. Soit T∗le temps maximal
pour lequel ?u?L∞(0,T∗;X)≤ 2c. Si l’on a choisi c de telle sorte que 4cC2< 1, l’in´ egalit´ e
ci-dessus implique que ?u?L∞(0,T∗;X)< 2c. Par des arguments classiques de bootstrap, on
conclut alors que T∗= +∞.
Nous verrons plus loin que l’on peut choisir pour X l’espace de Lorentz LN,∞(RN), et
pour Y l’espace de Lebesque L
que ces espaces sont critiques.
`A moins que θ ≡ 0, il n’est pas clair que l’on puisse d´ emontrer l’existence et l’unicit´ e de
solutions dans ces espaces sans hypoth` ese suppl´ ementaire de r´ egularit´ e. Pour y rem´ edier,
nous allons devoir exiger plus de r´ egularit´ e sur les donn´ ees initiales. Cette r´ egularit´ e doit
de plus pouvoir ˆ etre transport´ ee globalement si les donn´ ees sont petites dans X × Y. Le
caract` ere global demande un peu d’attention car les estimations habituelles de r´ egularit´ e
sur les solutions d’une ´ equation de transport font apparaˆ ıtre un terme qui d´ epend expo-
nentiellement de la norme lipschitzienne du champ de vitesse. On sait cependant depuis
un article de M. Vishik que ces estimations sont “meilleures” dans les espaces de Besov
d’indice nul (voir [30] et la proposition 4.8 pour plus de d´ etails).
N
3(RN) (voire L
N
3,∞(RN) si N ≥ 4). Notons au passage
Ces consid´ erations m` enent au r´ esultat suivant d’existence globale ` a donn´ ees petites :

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7
TH´EOR`EME 1.4 Supposons que N ≥ 3. Soit θ0 ∈ ˙B0
pour un p ∈ [N,∞]. Il existe une constante c > 0 ne d´ ependant que de N telle que si de
plus u0∈ LN,∞, θ0∈ L
?u0?LN,∞ + ν−1?θ0?L
N,1(RN) et u0 ∈ ˙B
−1+N
p,1
p
(RN)
N
3 et
N
3≤ cν (4)
alors le syst` eme de Boussinesq admet une unique solution globale
(θ,u,∇Π) ∈ C(R+;˙B0
N,1) ×
?
C(R+;˙B
N
p−1
p,1
) ∩ L1
loc(R+;˙B
N
p+1
p,1
)
?N
×
?
L1
loc(R+;˙B
N
p−1
p,1
)
?N.
De plus, il existe une constante C ne d´ ependant que de N telle que pour tout temps t ≥ 0,
on ait
?θ(t)?L
N
3= ?θ0?L
N
3,?u(t)?LN,∞ ≤ C
?
?u0?LN,∞ + ν−1?θ0?L
Ctν−1?θ0?˙B0
N,1+ ν
N
3
?
,
?u?
L∞
t(˙B
N
p−1
p,1
)+ ν?u?
L1
t(˙B
N
p+1
p,1
)≤ C?u0?
˙B
N
p−1
p,1
e
?
e
Ctν−1?θ0?˙B0
N,1− 1
?
,
?θ(t)?˙B0
N,1≤ C?θ0?˙B0
N,1e
Ctν−1?θ0?˙B0
N,1?1 + Cν−1?u0?˙B0
N,1
?.
REMARQUE 1.5`A partir de la dimension quatre, l’espace L
par L
N
3(RN) peut ˆ etre remplac´ e
N
3,∞(RN).
REMARQUE 1.6 Notons que les hypoth` eses suppl´ ementaires sur la vitesse sont cri-
tiques en terme de scaling. Par ailleurs, l’appartenance de θ0 ` a l’espace de Besov ho-
mog` ene ˙B0
N,1(qui est un sous-espace strict de l’espace de Besov non homog` ene B0
N,1) est
assur´ ee par θ0∈ L
par u0∈ LN,∞∩ B
N
3,∞∩B0
−1+N
p
p,1
N,1. De mˆ eme, si p > N, l’hypoth` ese u0∈˙B
(voir le lemme 3.9).
−1+N
p,1
p
est garantie
Notation : Dans tout l’article, C d´ esigne une “constante” susceptible de changer de ligne
en ligne et dont la valeur exacte n’influe pas sur l’exactitude des calculs. On utilise parfois
la notation abr´ eg´ ee A ? B au lieu de A ≤ CB.
2 Solutions faibles globales
Cette section est consacr´ ee ` a la d´ emonstration du th´ eor` eme 1.1.
Fixons une fonction χ ∈ C∞
l’op´ erateur de convolution par la fonction r−Nχ(r−1·). Dans un premier temps, nous
allons r´ esoudre le syst` eme de Boussinesq r´ egularis´ e suivant :
?
c(RN) positive et d’int´ egrale 1, et notons Ir (r > 0)
∂tθ + Iru · ∇θ = 0,
∂tu + P?Iru · ∇u?− ν∆u = P?Irθ eN
?,
(5)
avec donn´ ees initiales θ0 et u0 dans L2(RN).

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PROPOSITION 2.1 Pour tout couple de donn´ ees initiales (θ0,u0) dans L2(RN) tel
que divu0= 0, le syst` eme (5) admet une solution faible globale (θ,u) telle que
θ ∈ C(R+;L2),u ∈ L∞
loc(R+;L2) ∩ L2
loc(R+;H1)
et v´ erifiant l’in´ egalit´ e d’´ energie suivante pour tout t ∈ R+:
?t
Preuve : Nous allons r´ esoudre le syst` eme (5) ` a l’aide de la m´ ethode de Friedrichs. Pour
cela, on d´ efinit l’op´ erateur de troncature spectrale Jn par
?u(t)?2
L2 + 2ν
0
?∇u?2
L2dτ ≤ ?u0?2
L2 + 2
?t
0
?
RNIrθuNdxdτ.(6)
?
Jnf(ξ) = 1[1
n,n](|ξ|)?f(ξ)
et l’on cherche ` a r´ esoudre le syst` eme suivant pour n ≥ 1 :


Ce syst` eme est une ´ equation diff´ erentielle ordinaire sur L2v´ erifiant les hypoth` eses
du th´ eor` eme de Cauchy-Lipschitz. Il admet donc une unique solution maximale
(θn,un) ∈ C1?[0,Tn[;(L2(RN))N+1?
solution de (7). Par unicit´ e, on a donc Jnθn= θnet PJnun= un. Cela entraˆ ıne que
θnet unsont dans C1([0,Tn[;H∞) et v´ erifient
?
∂tun+ PJn
Une m´ ethode d’´ energie ´ el´ ementaire assure alors que ?θn(t)?L2 = ?Jnθ0?L2 pour tout
t ∈ R+, et
?t
Notons que ces deux ´ egalit´ es impliquent que Tn= +∞. En effet, si Tn est fini, on
montre facilement en majorant le terme de droite de (9) ` a l’aide de l’in´ egalit´ e de
Cauchy-Schwarz, que (θn,un) est dans L∞(0,Tn;L2) et peut donc ˆ etre prolong´ ee
en vertu des th´ eor` emes classiques sur les ´ equations diff´ erentielles ordinaires.



∂tθn+ Jn
∂tun+ PJn
(θn,un)|t=0= (Jnθ0,Jnu0).
?IrPJnun· ∇Jnθn?= 0,
?IrPJnun· ∇PJnun?− ν∆PJnun= P?IrJnθneN
?,
(7)
pour un Tn> 0.
n= Jn, le couple (Jnθn,PJnun) est aussi
Comme de plus (PJn)2= PJn et J2
∂tθn+ Jn
?Irun· ∇θn?= 0,
?Irun· ∇un?− ν∆un= P?IrθneN
?.
(8)
?un(t)?2
L2 + 2ν
0
?∇un?2
L2dτ = ?Jnu0?2
L2 + 2
?t
0
?
RNIrθnun
Ndxdτ.(9)
Il s’agit maintenant de passer ` a la limite dans (8). Tout d’abord, il est clair que la
suite (θn)n∈Nest born´ ee dans L∞(R+;L2) et que (9) assure que (un)n∈Nest born´ ee
dans L∞
la suite (Irun)n∈Nest born´ ee dans tous les espaces L∞
que (∂tθn)n∈Net (∂tun)n∈Nsont born´ ees dans L2
convergence faible et de compacit´ e classiques, on conclut qu’il existe θ ∈ L∞(R+;L2)
et u ∈ L∞
loc(R+;L2) ∩ L2
loc(R+;H1). En utilisant le syst` eme (8) et en remarquant que
loc(R+;Hs), on en d´ eduit alors
loc(R+;H−1). Par des arguments de
loc(R+;L2) ∩ L2
loc(R+;H1) ` a divergence nulle, tels que, ` a extraction pr` es,

Page 9

9
– θntend vers θ dans L∞
– θn(t) tend faiblement dans L2vers θ(t) pour tout t ∈ R+(et donc Irθn(t) tend
fortement vers Irθ(t) dans L2),
– untend vers u dans L2
loc) pour tout ε > 0,
– un(t) tend faiblement dans L2vers u(t) pour tout t ∈ R+.
Ces propri´ et´ es de convergence permettent de passer ` a la limite dans le syst` eme (8)
et de montrer que
?t
Le couple (θ,u) est donc une solution globale de (5) v´ erifiant (6).
loc
?R+;H−η
loc
?
pour tout η > 0,
loc(R+;H1−ε
lim
n→∞
0
?
RNIrθnun
Ndxdτ =
?t
0
?
RNIrθuNdxdτ.
Nous pouvons maintenant passer ` a la d´ emonstration du th´ eor` eme 1.1. Nous supposons
donc que la temp´ erature initiale θ0 appartient ` a Lp(RN) avec
u0∈ L2(RN) avec divu0= 0. Il est clair que Irθ0∈ L2pour tout r > 0. La proposition
pr´ ec´ edente appliqu´ ee avec r = 2−kassure donc l’existence d’une solution globale (θk,uk)
v´ erifiant (6) pour le syst` eme approch´ e
2N
N+2< p ≤ 2 et que





∂tθk+ div?I2−kukθk
(θk,uk)|t=0= (I2−kθ0,u0).
?= 0,
∂tuk+ P div?I2−kuk⊗ uk
?− ν∆uk= P?I2−kθkeN
?,
(10)
On constate que θk est solution d’une ´ equation de transport par le champ de vecteurs
r´ egulier ` a divergence nulle I2−kuk. Cela assure que θk∈ C(R+;L2∩ Lp) et que
?θk(t)?Lp = ?I2−kθ0?Lp ≤ ?θ0?Lp
pour toutt ≥ 0.(11)
Ensuite, en vertu de (6) et de l’in´ egalit´ e de H¨ older, on a
?uk(t)?2
L2 + 2ν
?t
0
?∇uk?2
L2dt ≤ ?u0?2
L2 + 2
?t
0
?θk?Lp?uk?Lp′ dt.(12)
Comme
2N
N+2< p ≤ 2, on dispose de l’in´ egalit´ e de Gagliardo-Nirenberg suivante :
?uk?Lp′ ≤ C?uk?α
L2?∇uk?1−α
L2
avecα = 1 − N
?1
p−1
2
?
.
En injectant cette in´ egalit´ e dans (12) et en utilisant (11) et l’in´ egalit´ e de Young, on trouve
?uk(t)?2
L2 + ν
?t
0
?∇uk?2
L2dt ≤ ?u0?2
L2 + Cν
α−1
α+1?θ0?
2
1+α
Lp
?t
0
?uk?
2α
1+α
L2 dτ,
d’o` u, apr` es une nouvelle utilisation de l’in´ egalit´ e de Young,
?t
?uk(t)?2
L2+ ν
0
?∇uk?2
L2dt ≤ C??u0?2
L2+ tα+1να−1?θ0?2
Lp?.(13)

Page 10

10
Il reste ` a justifier le passage ` a la limite dans (10). Tout d’abord (11) et (13) assurent
que (θk)k∈Nest born´ ee dans L∞(R+;Lp) et que (uk)k∈Nest born´ ee dans L∞(R+;L2) ∩
L2(R+;H1). En utilisant (7), on peut alors montrer que (∂tθk)k∈N et (∂tuk)k∈N sont
born´ ees dans L2
que Lp(RN) ֒→ H−N(1
– θktend vers une fonction θ dans L∞
loc
– uktend vers un champ u ` a divergence nulle dans L2
Ces propri´ et´ es de convergence permettent de justifier que div(I2−kukθk) tend vers
div(uθ) au sens des distributions pourvu que 1−N
` a p > 2N/(N+2). Le passage ` a la limite dans le terme div(I2−kuk⊗uk) se fait exactement
comme pour le syst` eme de Navier-Stokes incompressible “classique”.
loc(R+;H−N
2−1). Par des arguments de compacit´ e classiques et en notant
2)(RN) pour 1 < p ≤ 2, on en d´ eduit, quitte ` a extraire, que :
?R+;H
p−1
−N(1
loc
p−1
2)−η
?
pour tout η > 0,
loc(R+;H1−ε
loc) pour tout ε > 0.
p+N
2> 0, condition qui est ´ equivalente
3 Espaces fonctionnels et outils d’analyse harmonique
Commen¸ cons par rappeler la d´ efinition des espaces de type Lpfaible.
D´EFINITION 3.1 Pour 1 ≤ p < ∞, on d´ efinit l’espace Lpfaible (not´ e Lp,∞par la
suite) comme l’ensemble des fonctions mesurables de RNdans R telles que
?f?Lp,∞ := sup
λ>0λ
????x ∈ RN/|f(x)| > λ????
1
p< ∞.
REMARQUE 3.2 Dans le cas 1 < p < ∞, l’espace Lp,∞co¨ ıncide avec l’espace de
Lorentz d´ efini par l’interpolation r´ eelle (L∞,L1)(1
Lp,∞si et seulement si, pour tout A > 0, on peut ´ ecrire f = fA+ fA avec ?fA?L1 ≤
CA1−1/pet ?fA?L∞ ≤ CA−1/p, et la “meilleure constante” C est une norme ´ equivalente
` a la quantit´ e de la d´ efinition ci-dessus (voir par exemple [21]).
Plus g´ en´ eralement, pour 1 ≤ q ≤ ∞, l’espace de Lorentz Lp,qpeut ˆ etre d´ efini par
interpolation r´ eelle en posant :
p,∞). En d’autres termes, f est dans
Lp,q:= (L∞,L1)(1
p,q).
Dans la suite de cette partie, nous rappelons bri` evement la d´ efinition de la d´ ecomposition
de Littlewood-Paley (selon [6]) ainsi que celle des espaces de Besov.
La d´ ecomposition de Littlewood-Paley se d´ efinit ` a l’aide d’une d´ ecomposition dyadique
de l’unit´ e : soit χ une fonction positive radiale de classe C∞, support´ ee dans la boule
{|ξ| ≤
ϕ(ξ) = χ(ξ/2) − χ(ξ) de telle sorte que
∀ξ ∈ RN\ {0},
q∈Z
4
3}, valant 1 sur {|ξ| ≤
3
4}, et telle que r ?→ χ(rer) soit d´ ecroissante. On pose
?
ϕ(2−qξ) = 1et∀ξ ∈ RN, χ(ξ) = 1 −
?
q∈N
ϕ(2−qξ).(14)
On d´ efinit ensuite les op´ erateurs de localisation en fr´ equences˙∆q et˙Sq de L(S′;S) par :
˙∆qu := ϕ(2−qD)uet
˙Squ := χ(2−qD)u pour toutq ∈ Z.

Page 11

11
Notons que pour une distribution temp´ er´ ee u ∈ S′(RN), les fonctions˙∆qu et˙Squ sont
analytiques ` a croissance lente. Si de plus il existe un r´ eel s tel que u ∈ Hs(RN) alors˙∆qu
et˙Squ appartiennent ` a l’espace H∞:=?
Par ailleurs, on ´ etablit ` a l’aide de (14) que
?
Enfin, nous utiliserons souvent la propri´ et´ e de presque orthogonalit´ e suivante :
σ∈RHσ.
u =˙S0u +
?
q∈N
˙∆qu dans S′(RN) et
u =
q∈Z
˙∆qu dans S′(RN) modulo un polynˆ ome (voir par exemple [21]).
˙∆k˙∆qu ≡ 0si|k − q| ≥ 2 et
˙∆k(˙Sq−1u˙∆qv) ≡ 0si|k − q| ≥ 5. (15)
Nous pouvons maintenant d´ efinir les espaces de Besov homog` enes comme suit :
D´EFINITION 3.3 Soient s ∈ R, (p,r) ∈ [1,∞]2et u ∈ S′(RN). On note
??
?u?˙Bs
p,r
d´ ef
=
q∈Z
2rqs?˙∆qu?r
Lp
?1
r
si r < ∞, et ?u?˙Bs
p,∞
d´ ef
= sup
q∈Z
2qs?˙∆qu?Lp.
On d´ efinit l’espace de Besov homog` ene ˙Bs
–
˙Bs
˙Bs
ou s =N
p+ k + 1 et r = 1, pour un k ∈ N.
p,r:=˙Bs
p,r(RN) par
p,r= {u ∈ S′(RN) | ?u?˙Bs
p,r= {u ∈ S′(RN) | ∀ |α| = k+1, ∂αu ∈˙Bs−k−1
p,r< +∞}, lorsque s <N
pou s =N
} si
pet r = 1.
p+ k ≤ s <N
–
p,r
N
p+ k + 1,
REMARQUE 3.4 On prendra garde au fait que ˙Bs
et seulement si s < N/p ou s ≤ N/p et r = 1.
p,r(RN) est un espace de Banach si
Rappelons ´ egalement la d´ efinition des espaces de Besov non homog` enes :
D´EFINITION 3.5 Soient s ∈ R, (p,r) ∈ [1,∞]2et u ∈ S′(RN). On note
?
?u?Bs
?u?Bs
p,r:=?˙S0u?r
Lp +?
?˙S0u?Lp, supq∈N2qs?˙∆qu?Lp
q∈N2rqs?˙∆qu?r
Lp
?1
r
si r < ∞,
p,∞:= max
?
?
.
L’espace de Besov non homog` ene Bs
p´ er´ ees u telles que ?u?Bs
p,r:= Bs
p,r(RN) est l’ensemble des distributions tem-
p,rsoit fini.
REMARQUE 3.6 Les espaces de Besov Bs
les espaces de Sobolev Hset
co¨ ıncident respectivement avec les espaces de H¨ older Cset ˙Cs. Par abus, nous noterons
Cs:= Bs
∞,∞pour tout s ∈ R.
2,2et
˙Bs
2,2co¨ ıncident respectivement avec
˙Hs. Si s ∈ R+\ N, les espaces de Besov Bs
∞,∞et ˙Bs
∞,∞
∞,∞et ˙Cs:=˙Bs
Les in´ egalit´ es suivantes, dites de Bernstein et d´ emontr´ ees par exemple dans [6] seront d’un
usage constant.

Page 12

12
LEMME 3.7 Soit 1 ≤ p1≤ p2≤ ∞ et ψ ∈ C∞
?ψ(2−qD)u?Lp2 ≤ C2qN?
Comme cons´ equence de l’in´ egalit´ e de Bernstein et de la d´ efinition de˙Bs
sition suivante :
c(RN). Alors on a
?
1
p1−1
p2
?ψ(2−qD)u?Lp1.
p,r, on a la propo-
PROPOSITION 3.8 (i) Il existe une constante c strictement positive telle que
c−1?u?˙Bs
p,r≤ ?∇u?˙Bs−1
p,r≤ c?u?˙Bs
p,r.(16)
(ii) Pour 1 ≤ p1≤ p2≤ ∞ et 1 ≤ r1≤ r2≤ ∞, on a ˙Bs
(iii) Si p ∈ [1,∞], alors ˙B
(iv) Interpolation r´ eelle : (˙Bs1
p1,r1֒→˙B
s−N(1
p2,r2
p1−1
p2)
.
N
p
p,1֒→˙B
p,r,˙Bs2
N
p
p,∞∩ L∞. Si p est fini, l’espace ˙B
p,r)θ,r′ =˙Bθs2+(1−θ)s1
p,r′
N
p
p,1est une alg` ebre.
pour 0 < θ < 1 et 1 ≤ p,r,r′≤ ∞.
Signalons aussi le r´ esultat d’inclusion suivant qui nous sera fort utile :
LEMME 3.9 Pour 1 < p < q ≤ ∞, on a
Lp,∞(RN) ֒→˙B
N
q−N
q,∞
p
(RN).
D´ emonstration : Notons h= 2Nh(2·) avec h = F−1ϕ. On a˙∆u = h⋆ u, donc
par les in´ egalit´ es de convolution dans les espaces de Lorentz (voir par exemple [21]),
?˙∆u?Lq ≤ ?h?Lr,1?u?Lp,∞
avec
1
r= 1 +1
q−1
p·
En faisant un changement de variable, on constate que
?h?Lr,1 = 2N(1−1
r)?h?Lr,1,
d’o` u le r´ esultat.
Nous souhaitons maintenant donner quelques estimations a priori dans les espaces de
Besov pour l’´ equation de la chaleur. Ces estimations d´ ecoulent du lemme suivant d´ emontr´ e
dans [7] :
LEMME 3.10 Il existe deux constantes c et C telles que pour tout τ ≥ 0, q ∈ Z, et
p ∈ [1,∞], on ait
?eτ∆˙∆qu?Lp ≤ Ce−cτ22q?˙∆qu?Lp.
De ce lemme, on d´ eduit facilement (voir encore [7]) le r´ esultat suivant :
PROPOSITION 3.11 Soit s ∈ R, 1 ≤ p,r,ρ1≤ ∞. Soit u0∈˙Bs
Alors l’´ equation de la chaleur
p,ret f ∈?Lρ1
T(˙B
s−2+2
p,r
ρ1
).
∂tu − ν∆u = f,u|t=0= u0

Page 13

13
admet une unique solution u dans?L∞
tout t ∈ [0,T] et ρ ≥ ρ1 :
T(˙Bs
p,r) ∩?Lρ1
T(˙B
s+2
p,r
ρ1
) et il existe une constante C
ne d´ ependant que de la dimension N telle que l’on ait l’estimation a priori suivante pour
ν
1
ρ?u?eLρ
t(˙B
s+2
ρ
p,r )≤ C
?
?u0?˙Bs
p,r+ ν
1
ρ1−1?f?
eLρ1
t(˙B
s−2+2
p,r
ρ1
)
?
. (17)
Si r < ∞, la solution u appartient de plus ` a C([0,T];˙Bs
Dans la proposition ci-dessus, on a utilis´ e les espaces?Lρ
?u?eLρ
p,r).
T(˙Bs
p,r) qui se d´ efinissent comme
` a la d´ efinition 3.3 apr` es avoir pos´ e
T(˙Bs
p,r):=
???2qs?˙∆qu?Lρ
T(Lp)
???ℓr(Z). (18)
Notons qu’en vertu de l’in´ egalit´ e de Minkowski, on a
?u?Lρ
T(˙Bs
p,r)≤ ?u?eLρ
T(˙Bs
p,r)
pourρ ≥ r,(19)
et l’in´ egalit´ e oppos´ ee si ρ ≤ r.
On posera?CT(˙Bs
particulier o` u p = r = 2, on utilisera plutˆ ot la notation?Lρ
REMARQUE 3.12 Grˆ ace ` a la proposition 3.11, et en utilisant le fait que le projecteur
P sur les champs ` a divergence nulle est un multiplicateur de Fourier homog` ene de degr´ e
0 et est donc continu de ˙Bs
p,rdans lui-mˆ eme (voir e.g. [21]), il est facile de r´ esoudre le
syst` eme de Stokes non stationnaire
?
p,r) :=?L∞
T(˙Bs
p,r) ∩ C([0,T];˙Bs
p,r) et?Lρ
loc(R+;˙Bs
p,r) =?
T(Hs).
T>0?Lρ
T(˙Bs
p,r).
Sur le mˆ eme mod` ele, on peut d´ efinir des espaces non homog` enes?Lρ
T(Bs
p,r). Dans le cas
T(˙Hs) ou?Lρ
∂tu − ν∆u + ∇Π = f,
u|t=0= u0,
divu = 0,
(20)
avec donn´ ee initiale u0∈˙Bs
On obtient encore une unique solution (u,∇Π) avec u ∈?L∞
p,r` a divergence nulle, et force f ∈?L1
p,r), et u v´ erifie pour tout 1 ≤ ρ ≤ ∞ l’estimation
T(˙Bs
T(˙Bs
p,r).
p,r) ∩?L1
T(˙Bs+2
p,r) et
∇Π ∈?L1
T(˙Bs
ν
1
ρ?u?eLρ
T(˙B
s+2
ρ
p,r )≤ C
?
?u0?˙Bs
p,r+ ?Pf?eL1
T(˙Bs
p,r)
?
.
Si r < ∞, la solution u appartient de plus ` a C([0,T];˙Bs
p,r).
REMARQUE 3.13 On peut ´ enoncer une version non homog` ene de la proposition 3.11
s−2+2
p,r
de continuit´ e en temps demeurent, mais la constante C de (17) se met ` a d´ ependre (au
pire lin´ eairement) de T.
pour des donn´ ees u0∈ Bs
p,ret f ∈?Lρ1
T(B
ρ1
). Les r´ esultats d’existence, d’unicit´ e et

Page 14

14
La preuve de certaines estimations a priori pour des termes de type quadratique sera gran-
dement facilit´ ee par l’usage du calcul paradiff´ erentiel et notamment de la d´ ecomposition
suivante introduite par J.-M. Bony dans [3] :
fg =˙Tfg +˙Tgf +˙R(f,g),
o` u le terme de paraproduit˙T est d´ efini par ˙Tfg :=
?
Nous ´ enon¸ cons ci-dessous quelques r´ esultats de continuit´ e d’usage constant pour les
op´ erateurs de paraproduit et de reste (consulter par exemple [27] pour une ´ etude exhaus-
tive de ces op´ erateurs).
?
q
˙Sq−1f˙∆qg, et le terme de reste˙R,
par
˙R(f,g) :=
q
˙∆qf?∆qg avec?∆q:=˙∆q−1+˙∆q+˙∆q+1.
PROPOSITION 3.14 Soit 1 ≤ p,p1,p2,r,r1,r2 ≤ ∞ v´ erifiant
1
r1+1
– de L∞×˙Bt
– de ˙B−s
p,r pour tout t ∈ R et s > 0.
L’op´ erateur de reste ˙R est continu :
– de ˙Bs
– de ˙Bs
p,∞si s ∈ R et
1
p=
1
p1+
1
p2et
1
r=
r2. L’op´ erateur de paraproduit ˙T est continu :
p,rdans ˙Bt
p1,r1×˙Bt
p,rpour tout t ∈ R,
p2,r2dans ˙Bt−s
p1,r1×˙Bt
p1,r1×˙B−s
p2,r2dans ˙Bs+t
p2,r2dans ˙B0
p,r pour tout (s,t) ∈ R2tel que s + t > 0,
1
r1+1
r2≥ 1.
La proposition ci-dessus permet de montrer la plupart des r´ esultats de continuit´ e pour
le produit de deux distributions appartenant ` a des espaces de Besov. Nous utiliserons
fr´ equemment par exemple que l’application (u,v) ?→ uv est continue de
–
˙Bs
N,1
si −1 < s,t ≤ 1 et s + t > 0,
–
2,1
si |s| <N
N,1×˙Bt
˙Hs×˙Htdans˙Bs+t−N
N,1dans ˙Bs+t−1
2
2, |t| <N
2et s + t > 0.
4Quelques estimations a priori
4.1Espaces de Lorentz et syst` eme de Stokes non stationnaire
Dans cette section, on d´ emontre quelques estimations a priori dans les espaces de Lo-
rentz pour le syst` eme de Stokes non stationnaire (20). Le lemme suivant nous permettra de
contrˆ oler le terme de couplage avec l’´ equation de transport dans le syst` eme de Boussinesq.
LEMME 4.1 On a les estimations a priori suivantes pour tout t ≥ 0 :
– Si N = 3 alors ν
0
????
????
?t
?t
eν(t−s)∆P(θe3)(s)ds
????L3,∞≤ C?θ?L∞
t(L1).
– Si N ≥ 4 alors ν
0
eν(t−s)∆P(θeN)(s)ds
????LN,∞≤ C?θ?L∞
t(L
N
3,∞).

Page 15

15
D´ emonstration : Par un changement de variable temporel, on peut se ramener au cas
ν = 1. Notons par ailleurs que P ∈ L(Lp(RN);Lp(RN)) pour tout 1 < p < ∞. Par
interpolation r´ eelle, on a donc en particulier
P ∈ L?LN,∞(RN),LN,∞(RN)?.
Par cons´ equent, on peut “oublier” le projecteur P dans les in´ egalit´ es ` a d´ emontrer
et se limiter ` a la preuve d’in´ egalit´ es similaires pour l’op´ erateur de la chaleur. Pour
ce faire, on ´ ecrit la d´ ecomposition suivante avec A param` etre positif :
?t
?
Par calcul direct on a pour τ > 0 et 1 ≤ p ≤ q ≤ ∞,
?eτ∆?L(Lp,Lq)= ?F−1(e−τ|ξ|2)?Lr =
(21)
0
e(t−s)∆θ(s)ds =
?A
0
1[0,t](s)e(t−s)∆θ(s)ds
???
IA
+
?∞
?
A
1[0,t](s)e(t−s)∆θ(s)ds
???
IA
.
1
τN/2?G(x
√τ)?Lr =
1
τN/2r′?G?Lr
(22)
o` u l’on a not´ e G = F−1(e−|ξ|2), 1/r = 1 + 1/q − 1/p et 1/r′= 1/p − 1/q.
Supposons d’abord que N = 3. On a
?A
≤
0
?A
D’autre part, pour IA, on peut ´ ecrire
?∞
≤
A
?∞
≤
En tenant compte de ces deux estimations, de la remarque 3.2 et de (21), on obtient
le r´ esultat souhait´ e dans le cas N = 3.
Le cas N ≥ 4 se traite de mani` ere analogue.`A partir de (22), on montre par
interpolation que l’op´ erateur eτ∆est continu de L
born´ ee par C?G?L1. Cela assure que pour tout A ≥ 0, on a
?A
≤
?IA?L1
≤
0
?e(t−s)∆θ(s)?L11[0,t](s)ds,
?A
?G?L1
?e(t−s)∆?L(L1,L1)?θ(s)?L11[0,t](s)ds,
≤
0
?θ(s)?L11[0,t](s)ds ≤ A?G?L1?θ?L∞
t(L1).
?IA?L∞
≤
A
?e(t−s)∆θ(s)?L∞1[0,t](s)ds,
?∞
?G?L∞
2A−1/2?G?L∞?θ?L∞
?e(t−s)∆?L(L1,L∞)?θ(s)?L11[0,t](s)ds,
1
(t − s)3/2?θ(s)?L11[0,t](s)ds,
t(L1).
≤
A
N
3,∞dans L
N
3,∞avec norme
?IA?L
N
3,∞
≤
0
?e(t−s)∆?L(L
CA?G?L1?θ?L∞
N
3,∞,L
N
3,∞)?θ(s)?L
3,∞).
N
3,∞1[0,t](s)ds,
t(L
N